3.3. Analytická geometrie kružnice a koule

3.3. ANALYTICKÁ GEOMETRIE KRUŽNICE A
KOULE
V této kapitole se dozvíte:
• jak popsat kružnici a kruh v rovině;
• jak určit vzájemnou polohu bodu nebo a kružnice, resp. bodu a kruhu;
• jakými metodami určit vzájemnou polohu přímky a kružnice;
• jak popsat kulovou plochu a kouli v prostoru;
• jak určit vzájemnou polohu bodu a kulové plochy, resp. bodu a koule;
• jakými metodami určit vzájemnou polohu přímky nebo roviny a kulové plochy.
Klíčová slova této kapitoly: středová rovnice, obecná rovnice,
parametrická rovnice, kružnice, kruh, kulová plocha, koule, vzájemná
poloha.
Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly:
0,5 + 1,0 hodiny (teorie + řešení příkladů)

Kružnice v rovině.
Kružnice se středem v bodě S [ s , s ]
= a poloměrem r je dána rovnicí
1 2
Jedná se o tzv. středovou rovnici kružnice.
Obecnou rovnicí kružnice je
( ) ( )
2 2 2
1 2
x− s + y− s = r .
2 2
x y ax by c
+ + + + = 0 ,
ovšem jen tehdy, jestliže se dá převést na středovou rovnici kružnice (s reálným poloměrem).
Parametrickou rovnicí kružnice je vyjádření
x= s1 + rcost
, y = s1 + rsin
t ,
kde reálný parametr t probíhá hodnoty 0 ≤ t < 2π
.
Kruh v rovině.
Kruh v rovině je analyticky vyjádřen nerovnicí
( ) ( )
2 2 2
1 2
x− s + y−s ≤ r nebo
+ + + + ≤ 0 ,
2 2
x y ax by c
kde význam jednotlivých veličin a komentář je obdobný jako u kružnice.
Vzájemná poloha bodu a kružnice, resp. kruhu.
Bod je prvkem kružnice, resp. kruhu, jestliže jeho souřadnice vyhovují rovnici, resp.
nerovnici tohoto útvaru.
Vzájemná poloha přímky a kružnice.
Nechť je dána kružnice ( S; )
k r a přímka p: ax+ by+ c= 0 . Mohou nastat tři případy:
1. Přímka p je sečnou kružnice k ⇔ d( S, p)
< r;
2. Přímka p je tečnou kružnice k ⇔ d( S, p)
= r;
3. Přímka p je nesečnou kružnice k ⇔ d( S, p)
> r.
Je zřejmé, že vzájemnou polohu přímky a kružnice vyšetříme nejjednodušeji pomocí
vzdálenosti d( S, p ) středu kružnice S = [ s1,
s2]
od přímky p . Druhou možností, jak zjistit
polohu přímky a kružnice, je nalézt průnik obou útvarů jako řešení soustavy jejich rovnic.

Rovnice kulové plochy v prostoru.
Kulová plocha v prostoru je analogií kružnice v rovině. Kulová plocha se středem v bodě
S = s , s , s a poloměrem r je dána rovnicí
[ ]
1 2 3
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 2 3
x− s + y− s + z− s = r .
Jedná se o tzv. středovou rovnici kulové plochy.
Obecná rovnice kulové plochy má tvar
+ + + + + + = 0 ,
2 2 2
x y z ax by cz d
ovšem jen tehdy, jestliže se dá převést na středovou rovnici kulové plochy (s reálným
poloměrem).
Koule v prostoru.
Koule v prostoru je analogií kruhu v rovině. Analyticky je koule vyjádřena nerovnicí
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 2 3
x− s + y− s + z−s ≤ r nebo
+ + + + + + ≤ 0 ,
2 2 2
x y z ax by cz d
kde význam jednotlivých veličin a komentář je obdobný jako u kulové plochy.
Vzájemná poloha bodu a kulové plochy, resp. koule.
Bod je prvkem kulové plochy, resp. koule, jestliže jeho souřadnice vyhovují rovnici, resp.
nerovnici tohoto útvaru.
Vzájemná poloha přímky a kulové plochy.
Nechť je dána kulová plocha ( S; r)
ϕ a přímka p:
r = a+
tu, t∈
R. Mohou nastat tři případy:
1. Přímka p je sečnou kulové plochy ϕ⇔ d( S, p)
< r;
2. Přímka p je tečnou kulové plochy ϕ⇔ d( S, p)
= r;
3. Přímka p je nesečnou kulové plochy ϕ ⇔ d( S, p)
> r.
Veličina d( S, p ) představuje vzdálenost středu kulové plochy S [ s , s , s ]
= od přímky p.
1 2 3
Vypočítat vzdálenost bodu od přímky v prostoru není sice obtížné, je ale třeba znát příslušný
vzorec (viz kapitolu „Analytická geometrie přímky“). Pokud ho neznáme, můžeme jako
obvykle u tohoto typu úloh, použít průniku obou útvarů.
Postup řešení pomocí průniku spočívá v dosazení za souřadnice x , y , z z parametrického
vyjádření přímky p . do rovnice kulové plochy ϕ . Tím dostaneme kvadratickou rovnici pro
reálný parametr t, která může mít, jak víme, dvě řešení (sečna), jedno řešení (tečna) nebo
žádné řešení (nesečna).

Vzájemná poloha roviny a kulové plochy.
Jedná se o velmi přesnou analogii vzájemné polohy přímky a kružnice.
Nechť je dána kulová plocha ϕ ( S; r)
a rovina ρ : ax + by + cz + d = 0. Mohou nastat tři
případy:
d S, ρ < r;
1. Rovina ρ je sečnou kulové plochy ϕ ⇔ ( )
2. Rovina ρ je tečnou ke kulové ploše ϕ ⇔ d( S, )
3. Rovina ρ je nesečnou kulové plochy ϕ ⇔ d( S, )
ρ = r ;
ρ > r .
as1+ bs2 + cs3+
d
Veličina d ( S, ρ ) =
představuje vzdálenost středu kružnice S=[ s
2 2 2
1, s2,
s
3]
od
a + b + c
roviny ρ .
Druhou možností, zde méně vhodnou, jak zjistit polohu roviny a kulové plochy, je nalézt
průnik obou útvarů jako řešení soustavy jejich rovnic a určit vzájemnou polohu podle počtu
nalezených společných bodů: ∞ bodů ⇔ sečna, 1 bod ⇔ tečna, 0 bodů ⇔ nesečna.
Shrnutí kapitoly:
Kružnici v rovině popisujeme středovou nebo obecnou rovnicí. Je ovšem
také možné popsat kružnici i další útvary parametrickou rovnicí.
Kruh v rovině popisujeme nerovnicí, kterou dostaneme ze středové nebo
obecné rovnice kružnice změnou znaménka = na znaménko ≤ .
Bod je prvkem kružnice, resp. kruhu, pokud splňuje její rovnici, resp.
jeho nerovnici.
Přímka může být sečnou, tečnou nebo nesečnou kružnice. Nejjednodušeji
o tom rozhodneme určením vzdálenosti přímky od středu kružnice nebo
také výpočtem průniku obou útvarů.
Kulovou plochu v prostoru popisujeme středovou nebo obecnou rovnicí.
Kouli v rovině popisujeme nerovnicí, kterou dostaneme ze středové nebo
obecné rovnice kulové plochy změnou znaménka = na znaménko ≤ .
Bod je prvkem kulové plochy , resp. koule, pokud splňuje její rovnici,
resp. nerovnici.
Přímka nebo rovina může být sečnou, tečnou nebo nesečnou kulové plochy
. Nejjednodušeji o tom rozhodneme určením vzdálenosti přímky či roviny
od středu kulové plochy nebo také výpočtem průniku obou útvarů.

Otázky:
• Jaké znáte způsoby popisu kružnice v rovině
• Formulujte středovou, obecnou a parametrickou rovnici kružnice.
• Jaké znáte způsoby popisu kruhu v rovině Jaký je vztah mezi popisem
kružnice a kruhu
• Jakou vzájemnou polohu mohou mít bod a kružnice, resp. bod a kruh Jak ji
určíme
• Jakou vzájemnou polohu mohou mít přímka a kružnice Jak ji nejsnadněji
určíme
• Jaké znáte způsoby popisu kulové plochy v prostoru
• Formulujte středovou a obecnou rovnici kulové plochy.
• Jaké znáte způsoby popisu koule v rovině Jaký je vztah mezi popisem kulové
plochy a koule
• Jakou vzájemnou polohu mohou mít bod a kulová plocha, resp. bod a koule
Jak ji určíme
• Jakou vzájemnou polohu mohou mít přímka nebo rovina a kulová plocha
Jakými metodami ji určíme
Příklad 1.
Rozhodněte, zda se jedná o rovnici kružnice:
2 2
2 2
a) x − y = 9 ;.b) x y 9
2 2
e) x + y + 2x− 4y+ 1= 0.
2 2
+ = ; c) ( x ) ( y )
− 2 + + 1 − 4= 0;d)
+ + 2 − 4 + 6= 0;
2 2
x y x y
Příklad 2.
Určete vzájemnou polohu přímky p a kružnice k :
2 2
a) k:( x ) ( y )
b) k: ( x 1) ( y 2)
c) k: ( x 1) ( y 2)
− 1 + + 2 = 9, p: x − 1 = 0 ;
2 2
− + + = , p: x− y = 0 ;
2 2
9
2
− + + = , p: x+ 2y− 6 = 0 .
Příklad 3.
Rozhodněte, zda se jedná o rovnici kulové plochy:
2 2 2
a) x + y + z + 2x− 4z+ 1= 0;
b)
c)
9 2
+ + + 2 − 8 + + 18 = 0 ;
2 2 2
x y z x y z
+ + + 2 − 8 + + 17 = 0 .
2 2 2
x y z x y z

Příklad 4.
Určete vzájemnou polohu přímky p a kulové plochy ϕ :
2 2
2
= = =− , ( x ) y ( z )
2
= = =− , ( x ) y ( z )
a) p: x t, y t, z 2t
b) p: x 4 t, y t, z 3t
Příklad 5.
ϕ: − 3 + + − 4 = 25;
2 2
ϕ: − 3 + + − 4 = 25.
Určete vzájemnou polohu roviny ρ a kulové plochy ϕ :
a) ρ : x y z 1 0
2 2 2
+ − + = , ( x ) ( y ) ( z )
− z+ = , ( x ) 2 ( y ) 2 ( z )
2
b) ρ : y 1 0
c) ρ : 2x 1y 2z
3 0
ϕ: − 1 + + 2 + − 3 = 3;
ϕ: − 1 + + 2 + + 1 = 0,01;
2 2 2 4
+ − + = , :( x 1) ( y 1) ( z 2)
ϕ − + − + − = .
9
Řešení příkladů:
1a) ne; 1b) ano, S = [0, 0], r = 3 ; 1c) ano, S = [2, − 1], r = 2; 1d) ne; 1e) ano,
S = [ − 1, 2], r = 2.
2a) sečna; 2b) tečna; 2c) nesečna.
3a) ano, S = [ − 1, 0, 2], r = 2; 3b) ne; 3c) ano,
4a) sečna; 4b) tečna.
5a) tečna; 5b) sečna; 5c) tečna.
⎡ 1⎤
1
S= ⎢
−1, 4, − , r =
2⎥
.
⎣ ⎦ 2
Další zdroje:
1. POLÁK, J. Přehled středoškolské matematiky. 6. vyd. Praha: Prometheus, 1997.
2. POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách I. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996.
3. POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách II. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996.
4. REKTORYS, K. a spol. Přehled užité matematiky. 6. přepr. vyd. Praha: Prometheus,
1995.
ZÁVĚR:
[Tady klepněte a pište]