Matematik A, hhx, den 23. maj 2011 (pdf) - Undervisningsministeriet

hhx-MAT/A-
Matematik A
Højere handelseksamen
1. Delprøve, uden hjælpemidler
kl. 9.00-10.00
Mandag den . maj
kl. . - .

Prøvens varighed er 1 time.
Matematik A
Prøven uden hjælpemidler
Dette opgavesæt består af 5 opgaver, der indgår i bedømmelsen af den samlede
opgavebesvarelse med lige stor vægtning.
Hjælpemidler, bortset fra skrive- og tegneredskaber, må ikke benyttes.
Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet med tydelig skrift.
I bedømmelsen lægges vægt på, at eksaminandens tankegang klart fremgår.
Besvarelsen skal dokumenteres ved hjælp af beregninger, uddybende tekst samt brug af
figurer og grafer med en tydelig sammenhæng mellem tekst og illustration.

Opgave 1
Vektorerne a og b er givet ved
⎛2
⎞
a = ⎜ ⎟
⎝1
⎠
,
⎛− 2⎞
b = ⎜ ⎟
⎝ t ⎠
a) Bestem værdien af t , således at a og b er ortogonale.
Opgave 2
2
En funktion f er givet ved forskriften f ( x)
= 3x
+ 2 .
En stamfunktion F ( x)
= ∫ f ( x)
dx opfylder, at F ( 1)
= 1.
a) Bestem en forskrift for F (x)
.
Opgave 3
I trekant ABC kendes følgende størrelser:
a = 5
b = 10
sin( C)
=
0,
2
a) Bestem arealet af trekant ABC.
Opgave 4
Aldersfordelingen for kunderne i en
legetøjskæde er vist i sumkurven til højre.
a) Bestem kvartilsættet, og forklar hvad
værdien af disse tal fortæller om
kundernes alder.
Opgave 5
En pris-afsætningsfunktion er givet ved
p ( x)
= −2x
+ 10
hvor p (x)
er prisen pr. stk. i kr. ved en afsætning på x stk.
−1
1
−1
a) Gør rede for, at p x)
= − x + 5 og forklar betydningen af p ( 6)
.
( 2
C
1
0.75
0.5
0.25
a = 5
summeret frekvens
B
b = 10
Side 1 af 1 side
Side 1 af 1 side
10 20 30 40 50 60 70 80 90
alder
A

Undervisningsministeriet
Opgaven er produceret med anvendelse af kvalitetsstyringssystemet ISO 9001 og miljøledelsessystemet ISO 14001

hhx-MAT/A-
Matematik A
Højere handelseksamen
2. Delprøve
Mandag den . maj
kl. . - .

Prøvens varighed er 5 timer.
Matematik A
Prøven med hjælpemidler
Dette opgavesæt består af 8 opgaver, hvor hvert delspørgsmål indgår i bedømmelsen af den samlede
opgavebesvarelse med lige stor vægtning.
Af opgaverne 8A og 8B må kun den ene afleveres til bedømmelse. Hvis begge opgaver afleveres,
bedømmes kun besvarelsen af opgave 8A.
I prøvens første time må hjælpemidler, bortset fra skrive- og tegneredskaber, ikke benyttes.
I prøvens sidste 4 timer er alle hjælpemidler tilladt.
Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet med tydelig skrift.
I bedømmelsen lægges der vægt på, at eksaminandens tankegang klart fremgår.
Besvarelsen skal dokumenteres ved hjælp af beregninger, uddybende tekst samt brug af figurer og
grafer med en tydelig sammenhæng mellem tekst og illustration. Hvor hjælpemidler, herunder ITværktøjer,
er benyttet, skal mellemregninger erstattes af forklarende tekst.

Side 1 af 8 sider
Opgave 1
Side 1 af 8 sider
Tabellen herunder viser fordelingen af 100 iværksætteres bruttoløn (i 1000 kr.) før start af egen
virksomhed.
Bruttoløn (i 1000 kr.)
] 0;
100]
] 100;
200]
] 200;
300]
] 300;
400]
] 400;
500]
Antal iværksættere 10 31 38 13 8
Kilde: www.startogvaekst.dk
a) Tegn et diagram, der beskriver fordelingen.
Fordelingen kan beskrives ved forskellige
statistiske deskriptorer, som f.eks.
typeinterval
median
kvartilsæt
gennemsnit
varians
standardafvigelse
b) Beskriv fordelingen ved hjælp af 2 statistiske deskriptorer.
Opgave 2
Vektorerne a og b er givet ved
⎛ 1 ⎞
a = ⎜ ⎟
⎝12⎠
⎛ 3 ⎞
og b = ⎜ ⎟ 2
⎝t
⎠
a) Bestem vinklen mellem vektorerne a og b for t = 1.
b) Bestem de to værdier af t , hvor vektorerne a og b er parallelle.

Side 2 af 8 sider
Opgave 3
Graferne for udbuddet og efterspørgslen for en bestemt vare er vist på figuren nedenfor.
150
100
P
50
pris
2
d(
x)
= 0,
5x
−16x
+ 175
2
s(
x)
= x + 15
mængde
2 4 6 8 10 12 14 16
Q
Udbuddet kan beskrives ved funktionen
2
s ( x)
= x + 15 , 0 < x < 16
hvor s (x)
angiver prisen pr. stk. ved en udbudt mængde på x stk.
Efterspørgslen kan beskrives ved funktionen
2
d ( x)
= 0,
5x
−16x
+ 175 , 0 < x < 16
hvor d (x)
angiver prisen pr. stk. ved en efterspurgt mængde på x stk.
Side 2 af 8 sider
Ligevægtsmængden Q og ligevægtsprisen P er bestemt ved, at udbud og efterspørgsel er lige store.
Ligevægtsmængden for den bestemte vare er Q = 8 stk.
a) Bestem ligevægtsprisen P .
Den samlede betalingsvillighed for den bestemte vare kan bestemmes som arealet af området under
grafen for efterspørgslen i intervallet fra 0 til Q (det skraverede område).
b) Bestem den samlede betalingsvillighed.
Den samlede velfærdseffekt for den bestemte vare kan bestemmes som arealet af området mellem
graferne for udbuddet og efterspørgslen i intervallet fra 0 til Q .
c) Bestem den samlede velfærdseffekt.

Side 3 af 8 sider
Opgave 4
Differentialkvotienten for en funktion f er givet ved
f ' ( x)
= ( x − 5)
⋅ x − 2 x > 2
Side 3 af 8 sider
For at bestemme monotoniforholdene for f bestemmes eventuelle nulpunkter for f ' ved at løse
ligningen
( x − 5)
⋅ x − 2 = 0 x > 2
a) Ligningen er løst nedenfor, og forklaringer til nedenstående løsning skal gives. Benyt bilag 1.
( − 5 ) ⋅ x − 2 = 0 x > 2
x f '( x)
sættes lig med 0 og ligningen løses for x > 2
x − 5 = 0 ∨ x − 2 = 0 ___________________________________________
x − 5 = 0 ∨ x − 2 = 0 ___________________________________________
x = 5 ∨ x = 2
___________________________________________
L = { 5}
___________________________________________
b) Bestem monotoniforholdene for funktionen f .
5
-5
y
f
2 4 6 8
x

Side 4 af 8 sider
Opgave 5
Grafen for en funktion f er vist i koordinatsystemet nedenfor.
y
-4 -2 2 4 6 8
f
Arealet af det skraverede område er 68. Det oplyses endvidere at f ( x)
dx = 52 .
a) Bestem integralet ∫ 8
4
f ( x)
dx .
8
∫−4 b) Bestem tallet k , så ( f ( x)
+ k)
dx = 112.
x
8
∫−4 Side 4 af 8 sider

Side 5 af 8 sider
Opgave 6
En virksomhed producerer og afsætter bl.a. varerne A og B.
Prisen p (x)
pr. stk. A kan bestemmes ved
p ( x)
= −0,
1x
+ 4 , 0 ≤ x ≤ 35
hvor x angiver afsætningen i stk. pr. uge af vare A.
Prisen q (y)
pr. stk. B er bestemt ved
q ( y)
= −0,
1y
+ 8 , 0 ≤ y ≤ 50
hvor y angiver afsætningen i stk. pr. uge af vare B.
Omsætningen for en vare er bestemt ved
omsætning = afsætning ⋅
pris pr.
stk.
Side 5 af 8 sider
a) Gør rede for, at den samlede ugentlige omsætning R for vare A og vare B er bestemt ved
2
2
R( x,
y)
= −0,
1x
+ 4x
− 0,
1y
+ 8y
Niveaukurven N(t) er givet ved R ( x,
y)
= t .
b) Gør rede for, at niveaukurven N ( 110)
er en cirkel.
Ud over begrænsningerne på x og y , er produktionen begrænset af, at virksomheden maksimalt
kan producere 70 stk. pr. uge, hvilket betyder at x + y ≤ 70 .
c) Bestem det antal stk. A og det antal stk. B, der skal produceres og afsættes pr. uge for at få
den størst mulige samlede ugentlige omsætning og bestem denne omsætning.

Side 6 af 8 sider
Opgave 7
Side 6 af 8 sider
Omkostningerne C (x)
og omsætningen R (x)
ved en afsætning på x stk. af en vare er bestemt ved
funktionerne
C(
x)
=
0,
04
R(
x)
= − 4x
x
2
3
− 4,
8x
+ 400x
2
+ 229x
+ 5100
,
0 ≤ x ≤ 100
,
0 ≤ x ≤ 100
Grænseomkostningerne GROMK og grænseomsætningen GROMS defineres som
GROMK ( x)
= C '(
x)
og GROMS ( x)
= R '(
x)
a) Bestem forskrifterne for GROMK (x)
og GROMS (x)
.
Det største overskud opnås ved den afsætning, hvor GROMK er lig med GROMS .
b) Bestem den afsætning, der giver det største overskud.
500
400
300
200
100
y
GROMS
overskud
GROMK
25 50 75 100
x

Side 7 af 8 sider
Opgave 8A
Af opgaverne 8A og 8B
må kun den ene afleveres til bedømmelse.
Hvis begge opgaver afleveres,
bedømmes kun besvarelsen af opgave 8A.
Side 7 af 8 sider
En iværksætter ønsker at låne 100000kr. Banken tilbyder et annuitetslån, der skal betales tilbage
over 7 år med en fast årlig ydelse. Renten er 6% p.a.
a) Bestem den årlige ydelse for lånetilbuddet.
Iværksætteren vælger i stedet at betale en ydelse på 20 000 kr. om året. Renten er 6% p.a. og lånet
betales tilbage over 7 år. Den sidste ydelse er mindre end de 6 første ydelser.
Tabellen nedenfor viser de seks første terminer i en amortisationsplan for dette lån.
Termin
Primo
restgæld
b) Bestem størrelsen af den sidste ydelse.
Ydelse Rente Afdrag
Ultimo
restgæld
1 100 000,00 20 000,00 6 000,00 14 000,00 86 000,00
2 86 000,00 20 000,00 5 160,00 14 840,00 71 160,00
3 71 160,00 20 000,00 4 269,60 15 730,40 55 429,60
4 55 429,60 20 000,00 3 325,78 16 674,22 38 755,38
5 38 755,38 20 000,00 2 325,32 17 674,68 21 080,70
6
7
21 080,70 20 000,00 1 264,84 18 735,16 2 345,54

Side 8 af 8 sider
Opgave 8B
Side 8 af 8 sider
En virksomhed ønsker at anskaffe et antal nye printere. Virksomheden skal vælge mellem type A,
som både kan printe og kopiere samt type B, som kun kan printe. Lad x angive antal printere af
type A og lad y angive antal printere af type B.
Virksomheden har besluttet maksimalt at anvende 560 000 kr. til anskaffelse af printere.
Type A koster 80 000 kr. pr. stk. og type B koster 40000 kr. pr. stk.
Virksomheden har besluttet højst at anskaffe 8 nye printere, hvoraf mindst 2 skal være af
type A.
Begrænsningerne definerer følgende polygonområde, der også er gengivet i bilag 2.
6
5
4
3
2
1
y
x = 2
y = −x
+ 8
y = −2
x +
1 2 3 4 5 6 7
Kapaciteten for type A er opgivet til 1 500 print eller kopier i timen og for printer type B til 1 000
print i timen.
Den samlede kapacitet er givet ved funktionen f ( x,
y)
= 1500x
+ 1000y
.
a) Bestem det antal printere af type A og det antal printere af type B, der giver virksomheden
den størst mulige samlede kapacitet i timen.
b) Gør rede for, at kapaciteten for type A kan variere i intervallet [ 1000;
2000]
, hvis f stadig
skal antage sin største værdi i punktet bestemt i spørgsmål a).
14
x

Undervisningsministeriet
Opgaven er produceret med anvendelse af kvalitetsstyringssystemet ISO 9001 og miljøledelsessystemet ISO 14001

Bilag 1 til opgave 4 (med hjælpemidler).
Skole:
Hold:
Eksamensnr. Navn:
( − 5 ) ⋅ x − 2 = 0 x > 2
x f '( x)
sættes lig med 0 og ligningen løses for x > 2
x − 5 = 0 ∨ x − 2 = 0 __________________________________________
x − 5 = 0 ∨ x − 2 = 0 __________________________________________
x = 5 ∨ x = 2
__________________________________________
L = { 5}
__________________________________________

Bilag 2 til opgave 8B (med hjælpemidler).
Skole:
Hold:
Eksamensnr. Navn:
6
5
4
3
2
1
y
x
= 2
y = −x
+ 8
y = −2
x +
1 2 3 4 5 6 7
14
x