PDF: Galaxen Nr. 17 - Marts 1998 - SmartData

GALAXEN
Marts 1998 – Nr. 17 Magasin om Matematik & Lommeregnere
NOGEN MÅ DA
VIDE DET?
I dette nummer af
GALAXEN er der
blandt andet to
indlæg, som
behandler spørgsmålet
om, hvilke
regnere, man bør
anbefale til de
mindste klasser –
og hvorfor! Mit
bidrag til diskussionen er meget
enkelt: Texas Instruments har et tæt
samarbejde med pædagoger over
hele verden, primært i USA, England
og Frankrig. Det er erfaringerne
herfra, der styrer udviklingen af
vore produkter til skolebrug – fra de
enkleste modeller til de mest avancerede
grafregnere.
Med venlig hilsen
Finn Suhr
Texas Instruments
INDHOLD
Nogen må da vide det? 1
Hvilken maskine skal jeg vælge? 1
Et nødråb 2
Værd at læse 3
Den store ener og en ny version 4
Tag tallene med
Anvendelse af TI-83 på markeds–
5
økonomi og HD 6
Nogle tegninger på TI-82 8
Inverse symbolske beregninger 10
I shall never believe
that God plays dice with the world 15
HVILKEN MASKINE SKAL JEG VÆLGE?
Af Viggo Hartz
Der er i hvert tilfælde helt klare
fordele ved, at det er læreren, der
vælger maskintype. Det er ikke blot
ulovligt, men også meget upraktisk,
hvis eleverne selv bliver bedt om at
købe maskinerne. Nogle elever vil
møde op med maskiner af en kvalitet,
der lader ane, at det er noget, der
er givet i gratis tilgift ved køb af en
eller anden vare, mens andre, jævnfør
de mægtige passersæt enkelte
elever med store forældreambitioner
tidligere kunne møde op med,
kommer med maskiner med en
kapacitet der rækker langt ind i
ingeniørstudiet, og en murstenstyk
manual.
Skal selvfølgelig passe til
behov
Mit valg for eleverne har altid været
en maskine, der kunne klare de
behov, der svarer til det, eleverne
kunne blive udsat for ved folkeskolens
afgangsprøver. Det betyder
selvfølgelig ikke, at jeg udelukker
muligheden for med enkelte elever
at arbejde med fx trigonometriske
funktioner, men de kan jo bare låne
en grafregner eller et andet tilsvarende
kraftigt værktøj af læreren.
Den forkerte indgangsvinkel
Når man ser, at mange lærere vælger
en lille firefunktionsregner til de
mindste elever, må det skyldes at
lommeregneren i skolen desværre
stadig blot betragtes som et værktøj
der er beregnet til at klare nogle
numeriske beregninger, der er for
vanskelige til at eleven kan magte
dem i hovedet.
Lommeregneres vigtigste
funktion
Men det vigtigste ved indførelsen af
lommeregneren fra skolestarten
eller fra ca. 2. klasse, er jo slet ikke
den side af sagen. Lommeregnerens
vigtigste funktion i skolen er dens
muligheder som et undervisningsmiddel,
der udvider elevernes talfornemmelse
og støtter deres indlæring
af algebra.
AOS - hvad ellers?
Det er fx vigtigt for mig at lommeregneren
regner efter de vedtagne
algebraiske regler. En firefunktionsregner
vil på indtastningen: 4+5×6
svare 54, hvor en matematikregner
svarer 34 i overensstemmelse med
den måde vi har valgt at skrive og
beregne den slags udtryk. Jeg finder
ikke, at det er en undervisningsmæssig
fordel at man får et forkert svar.
Det betyder ikke, at man med en
matematikregner fritages for at
arbejde med regningsarternes hierarki.
Det er stadig vigtigt undervisningsstof,
og det behandles netop
glimrende sammen med parenteser
og deres brug. Her giver matematikregneren
netop eleverne mulighed
for at skaffe sig eksperimentelle
erfaringer, der støtter eller ligefrem
fremkalder læringen på dette punkt.
Skal vi have brøker med?
Mange matematikregnere har i dag
et fuldt brøkregningsprogram, der
gør det muligt at udføre beregninger
indenfor de fire regningsarter og
potensopløftning med brøker, også
sådanne som er større end 1 eller
FORTSÆTTES PÅ SIDE 2
1

2
Nr. 17 – Marts 1998 GALAXEN
FORTSAT FRA SIDE 1
skrevet som „blandet tal“, når blot
nævneren ikke bliver for stor. Det er
klart, at en sådan mulighed ikke er
medtaget i lommeregneren af praktiske
grunde. Det er vanskeligt at
forestille sig, hvilke beregninger
elever vil kunne komme ud for, hvor
et tal skrevet med 8 betydende cifre
ikke er tilstrækkeligt i en praktisk
situation, den være sig fiktiv eller
reel. Altså er den del af lommeregneren
en hjælp til læreren i vedkommendes
arbejde med at give eleverne
en forståelse for, hvorledes regnings–
arterne virker på brøker.
Opfyldelse af læseplanerne
Det er vanskeligt for mig at se,
hvorledes det overhovedet er muligt
at forestille sig, hvordan det matematikprogram,
som læseplanerne lægger
op til, skulle kunne gennemføres
uden en eksperimenterende anvendelse
af lommeregneren, som antydet
i det ovenstående. Der skal undervisningsdifferentieres
og elevens fantasi
og ansvar for egen læring er absolutte
krav til matematikundervisningen.
Det er derfor, at det er muligt i
arbejdet med regningsarterne at stille
krav til, at eleverne udvikler deres
egne algoritmer. Dette er vanskeligt,
uden at de samtidig bliver vænnet til
at arbejde eksperimenterende og
kreativt med deres lommeregner, og
så er det vigtigt, at den kan noget.
ET NØDRÅB
Af Lars Høj
Det er næsten ikke til at bære. Hver
gang jeg spørger nogen om, hvordan
man med henvisning til indvundne
erfaringer kan argumentere for, at
den ene slags regnemaskine er bedre
end den anden, får jeg undvigende
svar.
Alle synes at være enige om, at Math
Explorer er bedre end TI-106 som
grundskoleregner – ingen tvivl om
den sag. Men lige så utvivlsomt er
det, at ingen tør stikke hovedet frem
og fortælle hvordan og hvorfor.
På næste side refererer Viggo Hartz
til en svensk redegørelse, hvor der
som generel anbefaling af regnemaskinen
udpeges konkrete fordele.
Helt fint, men ingen (af de citerede)
fordele er så funktions- eller designspecifikke,
at de kan bruges til at
sige: ”Derfor skal vi vælge Math
Explorer fremfor en simpel firefunktionsregner!“
Jeg nægter – som far til to børn i
folkeskolen – at tro på, at der ikke er
nogen, der gider gøre sig den ulejlighed
at undersøge sagen.
Der er ikke længere nogen tvivl om,
at regnemaskinen faktisk har sine
gode sider, også selvom der stadig er
mange svage regnere. Endda så gode
sider, at den almindelig regneuduelighed
kunne frygtes at være blevet
endnu værre, hvis ikke regnemaskinen
havde været der. (Det er selvfølgelig
rystende at se en ung ekspedient
i en boghandel haste til regnemaskinen
for at slå tallene 268 og 99
sammen, men hun kan i det mindste
bruge regnemaskinen...).
Danmark var i sin tid selve foregangslandet,
da vi fik indført lommeregnere
i undervisningen. Fra hele
verden valfartede de her til – for at
sælge regnemaskiner, men så sandelig
også for at finde ud af, hvad det
var, man havde forstået i Danmark,
siden vi gav børnene regnemaskiner.
I dag kommer der ikke mange til
Danmark for at se, hvad vi dog
finder på. Det skulle da lige være på
gymnasieniveau, hvor der kan
undervises i matematik efter bøger,
der er skrevet til at blive brugt med
en grafregner.
Mig bekendt er det efter 20 år kun
pioneren Viggo Hartz, der har udgivet
lærebøger til matematik i
folkeskolen, hvor man tager lommeregneren
som udgangspunkt. Ret
mig endelig, hvis jeg tager fejl!
Da lommeregneren for alvor kom ud
på skolerne i skoleåret 1977/78, var
der en lang række lærere, der med
statistikker i hånden kunne vise, at
det er er bedre at trykke på en tast
end at tælle på fingre. Er der ikke
nogen, der i dag kan påtage sig at
undersøge, om det er ligegyldigt eller
ej, hvilken regnemaskine man bruger,
mens man lærer at regne?

GALAXEN Nr. 17 – Marts 1998
VÆRD AT LÆSE
Af Viggo Hartz
Det er ikke kun i Danmark at matematikundervisningen
ændres radikalt
i disse år. I Sverige skrev Olof
Magne for få år siden en udredning
med titlen:
Matematikinlärning i teori och
praktik inför 2000.
Udredningen er på 65 A4 sider.
Hæftet, der har nummer 591, fås ved
henvendelse til:
Lärarhögskolan,
Lunds universitet
Box 23501
S-20045 Malmö.
Et spørgsmål om traditioner
Olof Magne siger i forordet: Det der
siges i heftet drejer sig om spørgsmålet
om hvorledes du og jeg stiller
os til at forandre skolematematikken.
Lad os se på nogle eksempler
på hvorledes vore modtagere,
eleverne, regner. Følger de vore
regnemønstre? Det viser sig at både
du og jeg og eleverne klarer sig
ganske fint uden dem. Hvorfor
anvender skolen så de rigide regneopstillinger
og andre algoritmer? Er
forklaringen den historiske tradition
fra tider hvor matematikken havde
en anden social rolle at spille end i
dag? I dag bør lommeregneren og
datamaskinerne prioriteres. Mange
algoritmer kan behandles som
kuriositeter. Læreren kan fortælle
om dem. Men behøver de at blive
trænet? Måske udgør algoritmetræningen
omkring 90% af grundskolens
matematikundervisning. Problemløsning
er betydningsfuld og
bør beherskes bedre end i dag. Ved
at bortskære hovedparten af den
traditionelle regnetræning får eleverne
tid til at arbejde meget mere med
de konstruktive sider af matematikken.
Vi får også meget bedre mulighed
for at integrere det matematiske
stof og inddrage matematikfærdigheder
i andre fag og emner.
Måske vækker disse tanker din og
min kritik af den indtil nu rådende
didaktiske opfattelse at det er fra
læreren at al elevens læring kommer.
Fra biopsykologien har vi fået
konstruktivismen. Den hævder at al
læring opstår i eleven. Læring er den
aktive og personlige virksomhed
som kun eleven selv kan skabe.
At udskifte regneopstillinger
med
lommeregneren
fører til positiv
indlæringseffekt
Nøgleord for undervisningen
Nøgleord: Algoritmer, individualisering,
konstruktivisme, undervisningsmidler,
læseplan, matematikindlæring,
lommeregnere, personlighedsprofilering,
problemløsning.
Til dette vil man måske sige, at det
ligner stort set det vi netop med den
nye skolelov og dertil hørende
CKFer og læseplaner, arbejder med
at få til at blive virkelighed i skolen.
Men Magnes argumentation er
stærk, ikke mindst hans glimrende
eksempler på, hvorledes børn tænker,
når de tænker matematik. Her er der
mange gode eksempler på noget,
som en del matematiklærere desværre
står lidt famlende overfor: Børns
udvikling af egne algoritmer.
Mange af eksemplerne vil også være
gode i en situation, hvor man snakker
med forældre om de nye tendenser
i matematikundervisningen. Vi
må ikke glemme at vi må påtage os
et stort medansvar for at oplyse
forældrene om disse ting, der er ikke
andre der gør det. Og uden forældrenes
forståelse for det rigtige i
forandringerne vil disse falde til
jorden. Det må jo huskes at det med
at kunne behandle de fire regning-
sarter på papir, var hovedindholdet
af de fleste af voksengenerationens
regnetimer.
De internationale forsøg
Et sted opsumerer Magne resultaterne
at de mange internationale forsøg
på følgende måde:
...viser de internationale forsøg med
al ønskelig tydelighed at, trods
meget lidt øvelse, forstår eleverne
„regning“ bedre, når de bruger
lommeregner.
At udskifte regneopstillinger med
lommeregneren fører til positiv
indlæringseffekt. Man opnår følgende:
✓ Eleverne får en bedre opfattelse
af vigtige begrebselementer
✓ De vælger oftere den rigtige
regneart
✓ De bliver dygtigere til overslagsregning
og hovedregning
✓ De klarer talbehandling lige så
godt (eller bedre)
✓ De får meget mere tid til problemløsning
✓ De kan bruge mere tid til emneområder
der er centrale i matematikken.
Bestil hæftet!
Men meget bedre end at jeg fortsætter
med at citere fra dette spændende
hæfte, vil det være om man selv
anskaffer det til personlig oplysning
og inspiration, så det være hermed
anbefalet på det varmeste.
3

4
Nr. 17 – Marts 1998 GALAXEN
DEN STORE ENER OG EN NY VERSION
Af David Fielker
Jeg har fornylig igen fået lejlighed til
at prøve nogle af de ‚hemmelige
funktioner‘, som jeg for et par år
siden skrev om – bl. a. Hartwig
Meissners Den Store Ener.
Denne opgave består i, at jeg tager
en almindelig 4-funktionslommeregner,
der har konstant divisor ved
division, og så indtaster f.eks. ÷, 31,
=. Nu beder jeg eleverne (der i dette
tilfælde svarede til en dansk 3.
klasse) om at give mig et tal.
Med en af de klasser, som jeg nu for
tiden arbejder med, gik det på den
følgende måde.
Børnene foreslog et tal, som jeg
indtastede, fulgt af =, og jeg skrev
resultatet på tavlen. Så kom der
efterhånden følgende forslag:
13 0.4193548
3 0.0967742
en million! 32258.064
17 0.5483871
14 0.4516129
70 2.2580645
Nu var det klart, efter meget diskussion,
at nogle resultater var større en
1, og nogle var mindre. Jeg spurgte,
om det var muligt at få nøjagtigt 1.
60 1.9354839
Ja, nu vidste de, at 60 var for meget
og 17 var for lidt.
21 0.6774194
59 1.9032258
25 0.8064516
Nu holdt vi en lille diskussion om
situationen. Jo, vi søgte nu efter
noget mellem 59 og 25, men var det
bedst at kravle langsomt ned fra det
første eller langsomt op fra det
andet? Kunne man ikke gætte lidt
mere nøjagtigt på, hvor det skulle
ligge henne?
Jo, det kunne man.
50 1.6129032
35 1.1290323
Ih, nu er vi meget tæt på det.
30 0.9677419
Endnu tættere, men lidt for lille!
32 1.0322581
Nå, lidt for højt!!
31 1
Ja!!!
Jeg skal påpege, at disse elever ikke
var ret fortrolige med decimaltal,
men de sad og fik efterhånden nogle
begreber om dem. De ting, de dog
sad og lærte, var ikke de sædvanlige
om tiendedele, hundrededele, tusindedele,
osv., eller om at addere eller
subtrahere. Det var begreber om,
hvor tæt tallene lå på andre tal, og at
de cifre, der var det nærmeste til
decimalkommaet, var de vigtiste -
begreber som vi sjældent underviser
i. (Det er bortset fra andre idéer om
strategier for at få svaret så hurtigt
som muligt!)
Efter nogle lignende opgaver præsenterede
jeg noget lidt anderledes, der
gik sådan:-
75 27.777778
24 8.8888889
5 1.8518519
4 1.4814815
3 1.1111111
2 0.7407407
Man kan se, hvor hurtigt det nu var
gået. Men nu fik eleverne et lille stød.
Det var klart, at svaret lå mellem 2
og 3 men ...
Nå, ja!
2.5 0.9259259
2.6 0.962963
2.7 1
Jeg havde også prøvet disse opgaver
med nogle ældre elever (der svarer
til en dansk 4. klasse). Det gik ikke
ret meget hurtigere, selv om de vidste
lidt mere om decimaltal. Men dog.
Pludselig gik det op for mig, for
første gang siden jeg for mange år
siden mødte opgaven, at man nemt
kunne lave det til noget andet. Hvis
man kunne bruge divisionskonstant,
så kunne man også bruge multiplikationskonstant
på den samme måde.
Man indtaster f.eks. 2 x 3 =. Nu når
man så indtaster 5 =, får man 10,
fordi alle følgende tal bliver ganget
med 2.
Jeg programmerede min lommeregner
til at gange med 7, og igen
inviterede jeg klassen til at give mig
forskellige tal og prøve at få 1. Man
kan følge deres tanker, og se hvordan
de genkender det, når svaret
ligger mellem 2 cifre, og så fortsætter
med det laveste med et 5-ciffer
bagefter:
10 70
5 35
2 14
1 7
0.5 3.5
0.2 1.4
0.1 0.7
0.15 1.05

GALAXEN Nr. 17 – Marts 1998
0.14 0.98
0.145 1.015
0.143 1.001
0.142 0.994
0.1425 0.9975
osv.
TAG TALLENE MED
Af Lars Høj
Der er ingen, der siger, at forældre
og børn ikke må regne sammen. TI
har udgivet et aktivitetshæfte (på
amerikansk), der giver en lang række
forslag til, hvordan familien kan få
tiden til at gå med at lave sjove talog
regneopgaver, mens man venter
på maden eller kører i bil.
Alt sammen med et glimt i øjet og
med gode anvisninger på, hvordan
man præsenterer ideen.
I min familie har vi udnyttet børnenes
regneglæde ved at give dem
Little Professor inde skolegangen,
hvad der har forhindret mange
„Hvornår er vi der Far“, når vi har
kørt langt. Med en lommeregner i
bilen og Uncovering Math With Your
Family er det faktisk lykkedes at få
en dreng på 14 til at begynde at
regne for sjov igen!
Læsere med Internet-adgang kan
hente hæfte som Acrobat PDF fil på
http://www.ti.com/calc/docs/familymath.htm
Andre kan bestille hæftet hos Texas
Instruments på telefon 44687400.
Det er en interessant måde at få en
syvendedel på! Og der var meget at
diskutere bagefter om brøker og
deres forbindelse med division.
Jeg skal også nævne Ken, en kvik
dreng. Det gik snart op for ham, at
lommeregneren gangede med 7,
derfor skulle man dividere 1 med 7
for at finde svaret. Mens resten af
klassen fortsatte med opgaven, på
den måde som jeg har beskrevet
ovenfor, begyndte Ken at regne 1:7 i
hovedet!
Bl.a. er det en af den type opgaver,
hvor alle i klassen kan få noget
passende ud af det, på deres eget
niveau, uanset hvor dygtige de er.
Det er i grunden noget vigtigt, når
man hele tiden skal holde øje med
undervisningsdifferentieringen.
5

6
Nr. 17 – Marts 1998 GALAXEN
ANVENDELSE AF TI-83 PÅ MARKEDSØKONOMI OG HD
Af Peter Zangenberg, Silkeborg
Handelsskole
På Markedsøkonomistudiet og HDstudiet
vil TI-83 kunne anvendes til
bl.a. statistiske og finansielle beregninger.
Jeg vil her komme ind på,
hvorledes TI-83 kan anvendes til
løsning af opgaver i statistik. Gennemgangen
tager udgangspunkt i
eksamensopgaven til markedsøkonomi
1997, dog således at besvarelsen
ikke vil være fyldestgørende. Der
anvendes . (punktum) som decimal–
tegn.
Et af de forhold, der gør TI-83 specielt
anvendelig i statistik, er muligheden
for ved tests at anvende
parametre. Ved i tests at anvende
Stats i stedet for Data som input,
vil stikprøveresultaterne kunne
indtastes (f.eks. middelværdien og
standardafvigelsen fra stikprøven) i
stedet for en liste med observationerne.
Dette bruges i opgave 4 (bringes i
næste nummer af GALAXEN).
Temaet for opgavesættet er anvendelsen
og salget af mobiltelefoner.
Opgave
1
Model
X = Antal samtaleminutter pr. 3
måneder
X ~ N( μ ; σ 2 ), μ = 120 σ 2 = 1200
1.1) Bestem P( X > 85 )
Sandsynligheden findes ved anvendelse
af DISTR (fordelinger).
normalcfd(lowerbound,upperbound,μ,σ)=
Antal
Kunde nr. Samtaleminutter
1 30
2 33
3 49
4 32
5 24
6 28
7 52
8 5
9 50
10 38
11 15
12 34
13 18
14 40
15 77
normalcfd(85,1000,120,√(1200)) =
0.8438
Ovenstånde skema viser en stikprøve
på n = 15 observationer af antal
samtaleminutter pr. måned:
De viste tal indlægges i liste L 1
(STAT,EDIT).
1.2) Undersøg om observationerne
kan antages at være normalfordelte.
Plot1 gøres aktiv. Under STAT
PLOT vælges Plot1 (se Fig. 1).
Fig. 1
TI-83 kan selv fastsætte ZOOMformat
ved ZOOM og ZoomStat.
Ved at vælge GRAPH fås en afbildning
af observationerne og de tilsvarende
z-fraktiler. Da punkterne
tilnærmelsesvis ligger på en ret linie,
antages normalitet.
Fig. 2
1.3) Bestem stikprøve middelværdi
og et konfidensinterval for μ.
De observerede værdier er i listen L 1 .
Et 95% konfidensinterval bestemmes
ved STAT, TESTS. Her vælges
8:TInterval, idet standardafvigelsen
er ukendt. Denne funktion viser
tillige middelværdien.
Input (Inpt) vælges til Data, idet
stikprøvedata foreligger.
Fig. 3-4
Middelværdien er altså 35 og konfidensintervallet
bliver:
25.288 < μ < 44.712
1.4) Test på 5% niveau, om observationerne
fortsat kan antages at
stamme fra en normalfordeling
med μ = 40 og σ = 20.
Først testes, om σ < 20.
Det gøres ved under DISTR at anvende
χ 2 cdf(lowerbound,upperbound,df).
χ2cdf(0,(n-1)*s 2
x /σ0 2 ,14) =
χ2cdf(0,14*17,53772 /202 ,14) =
0.2956
Del 1 af 2
(dette svarer til α Kr eller p-value)
s x 2 indsættes ved
VARS,5:Statistics og 3:Sx

GALAXEN Nr. 17 – Marts 1998
Da p-value er over 5% kan hypotesen
ikke forkastes – altså antages
σ = 20.
Nu testes, om μ < 40 (= alternativhypotese).
Da σ = 20 antages kendt, anvendes
et z-test.
Under STAT,TESTS vælges
1:Z-Test
Fig. 5-6
Resultatet p = 0.1665 svarer til α Kr
eller p-value.
Vi kan altså ikke forkaste at μ = 40
på 5% niveau.
Opgave
2
For at undersøge frafaldet blandt nye
abonnenter, har et teleselskab indsamlet
oplysninger fra 4 forhandlertyper
og 3 geografiske områder. Fra
hver forhandlertype og område er
der udtaget en stikprøve på 300 – i
alt 1200 abonnenter. Resultatet
fremgår af tabellen til højre.
2.1) Punkt- og intervalestimér den
andel, der opsiger abonnementet.
Under STAT, TESTS vælges
A:1-PropZInt.
Fig. 7-8
Estimeret andel ses at være 0.3858 og
konfidensintervallet:
0.3583 < p < 0.4134
2.2) Punkt- og intervalestimér
forskellen mellem andelene for
lavprisvarehuse og tankstationer.
Under STAT, TESTS vælges
B:2-PropZInt.
Fig. 9-10
Punktestimatet er altså
0.4500 – 0.5967 = - 0.1467
og konfidensintervallet:
- 0.2257 < p 1 - p 2 < - 0.0676
Forhandlertype
Geografisk
område
Det centrale
København
2.3) Test om der er uafhængighed
mellem forhandlertype og
geografi.
Tallene fra tabellen indlægges i en
4x3 matrix.
Vælg MATRX, EDIT og f.eks.
1:[A].
Indtast dimensionen for MATRIX [A]
til 4x3 og indtast tallene fra tabellen
ovenfor.
Fig. 11
Vælg nu STAT,TESTS og derefter
C:χ 2 –Test.
Fig. 12
df=6
angiver antal frihedsgrader =
(rækker-1)*(kolonner-1)
Idet vi får p=0.9955, må hypotesen
om uafhængighed accepteres. Pvalue
vurderes normalt i forhold til
0.01 eller 0.05.
Københavns
nordlige
forstæder
Københavns
sydlige
forstæder
I alt
Specialforretninger 18 15 20 53
Radio / tv kæder 34 24 38 96
Lavprisvarehuse 45 36 54 135
Tankstationer 59 52 68 179
I alt 156 127 180 463
7

8
Nr. 17 – Marts 1998 GALAXEN
NOGLE TEGNINGER PÅ TI-82
Af Jens Carstensen
Vi skal se på, hvordan man med
forholdsvis enkle programmer på
TI-82 kan få tegnet fraktale billeder.
Desuden skal vi beskrive et program
til tegning af plane kurver, hvis
ligninger kendes.
Affine transformationer
En såkaldt affin transformation f af
planen på sig selv er på matrixform
givet ved
⎛x
⎞ ⎛a
f ⎜
⎟ = ⎜
⎝y
⎠ ⎝c
b⎞⎛
x⎞
⎛ e ⎞
⎟
⎜
⎟ + ⎜
⎟
⎟.
d⎠⎝
y⎠
⎝ f ⎠
Vi vælger et passende tegnevindue,
nemlig [0;12]×[0;12], som vi indtaster
på forhånd. Dernæst indfører vi tre
affine transformationer f, g og h, der
alle benytter den samme matrix B
bestemt ved
1 ⎛ 3
B = ⎜
⎝ 0
0⎞
⎟.
1 ⎟
3 ⎠
Denne fremstiller en multiplikation
1
med 3 ud fra koordinatsystemets
begyndelsespunkt. Vi definerer nu
⎛ x⎞
⎛ x⎞
f ⎜
⎟ = B ⎜
⎟
⎝ y⎠
⎝ y⎠
⎛ x⎞
⎛ x⎞
⎛8⎞
g ⎜
⎟ = B ⎜
⎟ + ⎜
0 ⎟
⎝ y⎠
⎝ y⎠
⎝ ⎠
⎛ x⎞
⎛ x⎞
⎛8⎞
h ⎜
⎟ = B ⎜
⎟ + ⎜ .
8 ⎟
⎝ y⎠
⎝ y⎠
⎝ ⎠
Vi kan skrive f, g og h ud i koordinater:
1 1
f ( x,
y)
= ( x,
y)
3
1 1
g(
x,
y)
= ( 3 x + 8,
3 y)
1 h(
x,
y)
= ( x + 8,
y + 8)
.
3
Vi samler konstanterne i en 3×7matrix,
som vi i programmet betegner
[A]:
3
1
3
⎛0,
33
⎜
⎜
⎜
⎝0,
33
0
[ A]
= 0,
33 0 0 0,
33 8 0 0,
66 .
0
0
0
0,
33
0,
33
0
8
0
8
0,
33⎞
⎟
⎟
1
⎟
⎠
Denne matrix tastes ind på hovedskærmen
inden programmet sættes i
gang. Programmet kan nemlig så
referere til matricen. Første række
angiver konstanterne a, b, c, d, e, f
hørende til f og indeholder som sidste
element den kumulerede sandsynlighed
for at programmet vælger f, g
eller h. Tilsvarende indeholder 2.
række konstanterne for g og 3. række
for h.
Selve programmet, der tegner det
fraktale billede vises nedenfor.
Konstanten M angiver antallet af
iterationer. Hvis M som her sættes til
1000, får man billedet på figur 1, og
det tager ca. 3 minutter.
Programmet fungerer på den måde,
at det ved hvert gennemløb med
1
sandsynligheden 3 vælger afbildnin-
gen f, g eller h. Til slut i programmet
sørger vi for, at kun iterationer efter
de første 10 tegnes.
Fig. 1
Sierpinskitrekanten og snefnugfraktal
Vi kan ændre lidt på konstanterne i
den matrix [A], der beskriver de tre
affine afbildninger, fx sådan:
⎛0,
5
⎜
⎜
⎜
⎝0,
5
0
[ A]
= 0,
5 0 0 0,
5 6 0 0,
66 .
0
0
0
0,
5
0,
5
0
3
0
6
0,
33⎞
⎟
⎟
1
⎟
⎠
Så får vi den velkendte Sierpinskitrekant
frem som vist på figur 2. Her er
der brugt M = 2000 iterationer.
Fig. 2
Prøv at ændre matricen [A] til
⎛0,
5
⎜
⎜
⎜
⎝0,
5
0
[ A]
= 0,
5 0 0 −0,
5 12 6 0,
66 .
0
0
0
−0,
5
−0,
5
6
9
6
12
0,
33⎞
⎟
⎟
1
⎟
⎠

GALAXEN Nr. 17 – Marts 1998
Dette giver den meget smukke snefnugfraktal
på fig. 3, der også er
frembragt med M = 2000 iterationer.
Fig. 3
Som man kan se er der rigeligt med
muligheder for eksperimenter, der
kan frembringe smukke figurer - men
man må være forberedt på forholdsvis
lange regnetider.
Egeløv
Hvis man indfører 4 affine afbildninger
og andre matricer med nye
sandsynligheder, kan man frembringe
andre figurer. Prøv at ændre
matricen [A] til følgende
⎛ 0,
02 −0,
07 −0,
02 0,
48 141 83 0,
1⎞
⎜
⎟
⎜ 0,
4 0 − 0,
04 0,
65 88 10 0,
5⎟
[ A]
= ⎜
.
− 0,
02 0,
45 − 0,
37 0,
1 82 132 0,
7⎟
⎜
⎟
⎜ 0,
11 0,
6 0,
34 0,
22 237 125 1 ⎟
⎝ − − −
⎠
Man skal på forhånd indstille tegnevinduet
til [75;225] × [0;175]. Derved
får man det meget smukke egeløv på
fig. 4.
Fig. 4
Tegning af kurver
Mange kendte plane kurver er givet
ved ligninger i x og y. Vi ser altså ikke
på kurverne givet ved deres parameterfremstillinger.
Fx er den kendte
Descartes blad givet ved ligningen
x 3 + y 3 = 3axy ,
hvor a er en konstant. Også andre
mere eller mindre fantasifulde ligninger
i x og y angiver kurver i planen
og i reglen kender man ikke deres
parameterfremstillinger.
Af og til kan det derfor være af
interesse med et program, der ‚tegner
en ligning‘ i x og y. En udgave af
Descartes blad er for a = 1 givet ved
ligningen
x 3 + y 3 - 3xy = 0 .
Et program, der tegner denne lignings
løsningsmængde i vinduet
[-3;3]×[-3;3], er vist på fig. 5
Fig. 5
Programmet forudsætter, at venstre
side af ligningen er indtastet som Y 1 ,
altså Y 1 = X^3+Y^3-3XY. Så får
man en punkttegning af kurven på
fig. 6. Men regnetiden er over et
kvarter!
Fig. 6
Parameterfremstillingen for Descartes
blad er iøvrigt for de interesserede:
3at
x =
1 + t
3
,
2
3at
y =
1 + t
Kurven har linien x+y+a = 0 som
asymptote.
Fig. 7 viser kurven (‚stropløs kjole‘)
med ligningen
Fig. 8
(x 2 -1) 2 = y 2 (3-2y) .
Der er rig mulighed for selv at opfinde
nye ligninger i x og y, som kan
tegnes på maskinen.
3
.
9

10
Nr. 17 – Marts 1998 GALAXEN
INVERSE SYMBOLSKE BEREGNINGER
Af Bjørn Felsager
En grafisk lommeregner er primært
konstrueret til at omdanne et givet
symbolsk udtryk til et decimaltal.
Man starter altså med et eksakt
udtryk for et tal, fx et af udtrykkene
3
e
1
× x
1
dx
og
12
147 −
og omformer det til en ny repræsentation
i form af en endelig decimalbrøk:
Fig. 1
I en invers symbolsk beregning går
man omvendt ud fra decimaltallet,
og forsøger at finde et simpelt eksakt
udtryk, der netop frembringer dette
decimaltal. På trods af at tallet til at
begynde med kun er fremstillet ved
en endelig decimalbrøk, og dermed
behæftet med en vis usikkerhed,
giver dette god mening. Hvis vi
nemlig kan genskabe alle de givne
decimaler ud fra et tilpas simpelt
udtryk er der endog meget stor
sandsynlighed for at dette udtryk
netop repræsenterer det fundne tal.
Hvis vi således finder den endelige
decimalbrøk 0.3333333333 som
resultat af en simpel beregning, vil vi
få meget svært ved at frembringe
netop dette decimaltal, med mindre
der rent faktisk er tale om en beregning
af det rationale tal 1/3. Helt
sikre kan vi naturligvis kun være
gennem en direkte symbolsk omskrivning
af det oprindelige udtryk,
og det kan vi jo så passende forsøge
os med bagefter, når først vi har
genkendt resultatet som 1/3.
3
,
Frac-rutinen
På alle de grafiske Texas lommeregnere
er der indbygget en lille sød
rutine til genkendelse af et rationalt
tal ud fra decimalbrøken, den såkaldte
åFrac-rutine. Den er hurtig
og effektiv og klarer alle rationale tal
med en nævner under 10000. Den er
derfor som skabt til problemer, hvor
man på forhånd ved at svarene er
rationale, fx løsning af lineære
ligningssystemer.
Fig. 2
Her er det illustreret ved løsning af
ligningssystemet
13x – 17y = –4
35x – 13y = –10,
der altså har den eksakte løsning
x = –59/213 og y = 5/213.
Frac-rutinen lagrer ydermere værdien
af decimaltallet i variablen Ans,
hvorfor man kan indbygge den i fx
iterative processer, her illustreret
med Newtons metode til beregningen
af 2 :
Fig. 3
Her kan lommeregneren selvfølgelig
ikke uden videre genkende 2 , men
som vi kan se, kan det klares ved en
kvadrering til slut.
Men Frac-rutinen er desværre ikke
helt uden problemer. Sålænge tallet
er under 10, så vi har det fulde antal
betydende cifre til vores rådighed for
at fastlægge brøkdelen (14 cifre
internt, dvs. 13 decimaler efter
kommaet) er der ikke noget problem.
Men hvis fx tallet er over 1000 har vi
kun 10 cifre efter kommaet til rådighed
til at fastlægge brøkdelen (idet
heltalsdelen jo ikke volder nogle
problemer). Da Frac-rutinen ydermere
kun forsøger at opnå overensstemmelse
med 10 cifre i alt, dvs.
nøjes med de cifre, der umiddelbart
kan ses på skærmen, betyder det at
vi reelt kun sikrer overensstemmelse
med de 6 cifre efter kommaet. Og det
er ikke så uoverkommeligt, når vi har
alle brøker til rådighed med en
nævner op til 9999! I praksis vil vi
derfor med rimelig stor sandsynlighed
genkende et tal over 1000 som
værende rationalt alene på grundlag
af en tilfældig overensstemmelse med
de første 6 decimaler, og sommetider
vil vi endda være heldige hvis blot
tallet er over 100.
To eksempler vil klarlægge, hvorfor
det er uheldigt. Prøver vi at udregne
diagonalen i et kvadrat med siden 100,
dvs. forsøger vi at beregne tallet
100 2 vil Frac-rutinen genkende
det som værende rationalt. Prøver vi
tilsvarende at beregne omkredsen for
en cirkel med diameteren 1000, dvs.
beregne tallet 1000π, vil Fracrutinen
også genkende tallet som
værende rationalt:
Fig. 4
Det kan selvfølgelig godt give anledning
til lidt begrebsforvirring hos
elever, der ikke er helt sikre i forskellen
mellem de rationale tal og de
irrationale tal, og det er ærgerligt, at

GALAXEN Nr. 17 – Marts 1998
Frac-rutinen lader disse eksempler
passere, da maskinen faktisk regner
præcist nok til at kunne se forskellen:
Fig. 5
Hvis man fx sammenligner brøkdelen
fPart af 100 2 med den tilsvarende
brøkdel for 1103228/7801 ses
det jo tydeligt, at de afviger for de
decimaler, der følger efter de første
otte. Et simpelt check indbygget i
Frac-rutinen ville altså kunne fjerne
fejlen. Men som det er nu, må man
leve med den og blot være opmærksom
på, at Frac-rutinen ikke er
troværdig, når tallene bliver for
store, og man derfor reelt kun har 6-
7 decimaler at arbejde med.
Teorien
Hvordan foregår nu en sådan invers
symbolsk beregning i almindelighed?
For at forstå det må vi starte med at
forstå den repræsentation af tallene,
der ligger til grund for lommeregnertallene.
Et tal i en grafisk lommeregner
kan opfattes som ’sløret’, dvs.
som en klump af reelle tal, nemlig
alle de reelle tal, der starter med de
samme 14 cifre, som lommeregneren
opererer med. Det kan sammenlignes
med pixlerne på en computerskærm,
der jo heller ikke repræsenterer et
enkelt punkt i en plan, men en
sværm af punkter, nemlig alle dem,
der ligger indenfor den anførte pixel.
Ethvert lommeregnertal repræsenterer
på samme måde en ’pixel’ på
tallinjen, og dækker derfor i virkeligheden
over en sværm af alle mulige
slags tal: rationale, algebraisk irrationale
og transcendente. Men det er
ikke alle tallene i pixlen, der fremstår
lige tydeligt!
Hvis vi ’zoomer’ ind på en pixel, som
indeholder et tal, der er meget simplere
end de øvrige, så er det dette tal,
man først får øje på med den givne
opløsning. Hvis der findes et sådant
simpelt tal, der skiller sig tydeligt ud
fra baggrunden, er det derfor dette
tal, man bør identificere lommeregnertallet
med. Hvis fx pixlen indeholder
et helt tal, bør lommeregnertallet
identificeres med dette hele tal. Og
hvis pixlen er tæt knyttet til et helt
tal er det også rimeligt oplagt at
identificere tallet. Fx er lommeregnertallet
x = 0,3333333333 tæt knyttet
til 1, idet man netop får 1, hvis
man udregner det reciprokke tal x -1 .
På samme måde er lommeregnertallet
x = 1,4142135623 tæt knyttet til
2 , for man får netop 2, hvis man
kvadrerer tallet, dvs. udregner x 2 .
Nu kan vi selvfølgelig ikke prøve alle
mulige simple beregninger på et givet
lommeregnertal for på den måde at
se, om det er nært beslægtet med et
helt tal. Men vi kan bruge kædebrøksalgoritmen!
Vi må altså også
kende en lille smule til kædebrøker.
Ethvert positivt tal x 0 kan spaltes i en
heltalsdel og en brøkdel. Ved ydermere
at tage den reciprokke værdi af
brøkdelen kan vi skrive tallet på
formen
1
x0
= iPart(
x0)
+ fPart(
x0)
= a0
+ ,
x
hvor
a = iPart(
x )
0
0
og
x
1
=
1
fPart(
x
−1
0)
Fortsætter vi på samme måde med at
spalte tallet x 1 fås starten på en
kædebrøk:
1
x1
= iPart(
x1)
+ fPart(
x1)
= a1
+ ,
x
hvor
dvs.
2
−1
1
x = fPart(
x )
1
x = a0
+
1
a1
+
1
a2
+
...
Følgen af heltalsdele a 0 , a 1 , a 2 , …
kaldes tallets spektrum. Det er rimeligt
nemt at beregne spektret på en
,
2
grafisk lommeregner. Følgende
iterative beregning vil fx beregne
spektret for tallet X og lægge det i
listen L1:
Fig. 6
I første linje indlægger vi startværdien
for iterationen og nulstiller såvel
listen som listepositionen.
I næste linje udregnes dels heltalsdelen,
som lægges ind i listen, dels den
reciprokke af brøkdelen. Endelig
fremskrives listepositionen og listen
udskrives.
Der gælder da den følgende fundamentale
karakterisering af tallet x:
1) Tallet x er rationalt, netop når
spektret er endeligt.
2) Tallet x er kvadratisk irrationalt
(dvs. en irrationel løsning til en
andengradsligning med heltal–
lige koefficienter), netop når
spektret er periodisk.
Da det er rimeligt simpelt at beregne
spektret på en grafisk lommeregner,
kan vi derfor i princippet afgøre om
et forelagt lommeregnertal er rationalt
eller irrationalt; og hvis det er
irrationalt, kan vi ydermere afgøre
om det er kvadratisk irrationalt.
Udfra et endeligt eller periodisk
spektrum er det også overkommeligt
at rekonstruere den eksakte repræsentation
for lommeregnertallet via
standard algoritmer. I praksis er det
11

12
Nr. 17 – Marts 1998 GALAXEN
selvfølgelig mere speget, fordi den
grafiske lommeregner kun arbejder
med en endelig præcision!
For at afgøre om et lommeregnertal
opfører sig rationalt, skal vi altså
udvikle det i en kædebrøk. Hvis der
fremkommer en endelig kædebrøk er
sagen selvfølgelig i orden. Men på
grund af afrundingsfejl, behøver
resten ikke blive eksakt nul:
Fig. 7
Da 22/7 = 3 + 1/7 består spektret
netop af tallene 3 og 7.
Den tredje heltalsdel 4.76·10 11 skyldes
afrundingsfejl i lommeregneren.
Spørgsmålet er så hvor lille en rest, vi
vil acceptere som værende tæt nok
på nul: Valget af denne grænse giver
et ’filter’, som accepterer nogle
lommeregnertal som opførende sig
rationalt, mens andre forkastes, fordi
de ikke udviser den rette rationale
opførsel.
I praksis ønsker vi selvfølgelig at
genkende så mange rationale tal som
muligt. På den anden side ønsker vi
ikke at genkende et tal som rationalt,
hvis det klart er fremkommet ved en
irrational udregning. Vi skulle helst
holde fingrene fra 100 2 og 1000π.
Nu er de kvadratiske irrationaliteter
ikke noget større problem, fordi de
netop udgør den type tal, som adskiller
sig mest fra de rationale tal. Det
er langt mere problematisk med
transcendente tal som 1000π. For at
få en fornemmelse for problemet,
kan vi starte med at prøve at udregne
spektret for π:
3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 21, 3,
1, 1, 2, 64, 4, 1, 48
(NB! Det er de første tyve tal i lommeregnerens
spektrum – og de stemmer
jo ikke nødvendigvis overens med
tallene i det eksakte spektrum! Faktisk
er det kun de første 12 tal i det
ovenfor anførte spektrum, der er
korrekte). Læg mærke til tallet 292 i
starten, som er overraskende højt!
Det viser, at et filter under fx 1/250
ville lade slippe π igennem som et
rationalt tal!
Prøver vi i stedet med 1000π fås
spektret
3141; 1, 1, 2, 5, 22, 3, 3, 2, 1, 1, 1, 1,
1, 15, 6, 2, 1, 1, 3, 2
Her er det største tal i brøkdelsspektret
givet ved 22, så der er faktisk
ingen fare for at genkende det som
rationalt. (Og derved har vi fundet
endnu en måde at undgå Fracrutinens
fejlagtige genkendelse af
1000π som værende et rationalt tal!)
Et af de virkeligt grimme tal, som
man skal gardere sig mod er π 4 , som
har en usædvanlig lille rest i starten
af kædebrøksudviklingen, idet spektret
indeholder det usædvanligt høje
tal 16539:
Fig. 8
I praksis benytter man derfor et filter
som 10 -5 til at afgøre om resten er
lille nok.
Hvis man nu ikke indenfor de første
20 iterationer kan finde en rest som
er lille nok opfører lommeregner
tallet sig altså ikke rationalt. Man
kan da undersøge om tallet i stedet
skulle være en kvadratisk irrationalitet,
dvs. om spektret ser ud til at
være periodisk. Det sker i praksis ved
at undersøge om en passende forskydning
af spektret stemmer overens
med det oprindelige spektrum.
Hvis vi fx ser på spektret for tallet
(9– 3 )/6, som er givet ved
L1 = {1 4 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 …},
så vil den to gange forskudte liste L1″
L1″ = {1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 … }
netop ende på samme måde som L1,
idet differensen ender på lutter
nuller:
L1–L1″ = {0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0…}.
Altså er spektret periodisk med
perioden 2. Dermed har vi samlet
ingredienserne til et program, som
kan genkende simple typer af tal, og
dermed udføre simple inverse symbolske
udregninger.
De ovenstående rutiner er samlet i
programmet NICE, der findes til
såvel TI-82, TI-83 som TI-86. Det
adskiller sig fra Frac-rutinen på to
forskellige måder: Dels kan det også
genkende simple kvadratrodskombinationer,
dels er det meget mere
forsigtigt med at genkende rationale
tal, idet det både checker om tallet
opfører sig rationalt, og om det
rationale tal genskaber alle cifrene
indefor regnemaskinens nøjagtighed.
Til gengæld er det selvfølgelig ikke så
hurtigt som Frac-rutinen, da det jo
skal fortolkes under udføreslen, i
modsætning til Frac-rutinen, som jo
er skrevet i maskinkode. Det skal
derfor ikke opfattes som en erstatning
for Frac-rutinen, men som et
nyttigt supplement!

GALAXEN Nr. 17 – Marts 1998
Noget om NICE
Inden vi diskutere typiske anvendelser
af programmet NICE vil vi kort
skitsere opbygning af programmet.
Der checkes for en række simple
typer af tal, med de hurtige check til
at begynde med og de langsomme
check til sidst. I rækkefølge checkes
der således for om resultatet af en
beregning er
1) et helt tal (INT)
2) kvadratroden af et helt tal (QUAD
INT)
3) et rationalt tal (RAT)
4) kvadratroden af et rationalt tal
(QUAD RAT)
5) en kvadratisk irrationalitet
(QUAD IRRAT) (dvs. rod i en
simpel andengradsligning:
ax 2 + bx + c = 0)
6) en bikvadratisk irrationalitet
(BIQUAD IRRAT) (dvs. rod i en
simpel fjerdegradsligning:
ax 4 + bx 2 + c = 0)
Det er især de to sidste check, der
tager tid (ca. 10 sekunder hver!).
Programmet NICE kan fx bruges til
at undersøge om resultatet af beregningerne
er et simpelt tal, der kan
udtrykkes med nogle få kvadratrødder.
Det kan godt give overraskende
resultater. Fx er værdierne for de
trigonometriske funktioner sin, cos
og tan udregnet for de magiske
vinkler
15°, 30°, 45°, 60°, 75°
18°, 36°, 54°, 72°
alle rationale, kvadratisk irrationale
eller bikvadratisk irrationale. I nogle
af tilfældene er dette selvfølgelig
yderst velkendt, men hvor mange
kender fx de følgende simple resultater?
Fig. 9
Fig. 10
Fig. 11
NICE som færdighedstræner
Programmet kan også bruges til at
træne simple færdigheder med. Fx er
det både hurtigt og sikkert i reduktion
af simple beregninger med
kvadratrødder – et emne, der bestemt
ikke er trivielt for vore elever!
Fig. 12
Fig. 13
•
Fig. 14
Endelig kan man bruge programmet
til at illustrere forskellige typiske
grænseovergange, idet resultatet af
beregningen lagres i Ans, og derfor
kan indgå i iterative beregninger
præcis som det er tilfældet med
Frac-rutinen. Først et eksempel på
Newtons metode, i dette tilfælde til
approksimation af 3 :
Fig. 15
Dernæst et eksempel på en kædebrøksiteration,
i dette tilfælde iteration
af den brudne lineære funktion
1/(3+x) svarende til kædebrøken:
1 1
x
= =
3 + x 1
3 +
1
3 +
3 + ...
13

14
Nr. 17 – Marts 1998 GALAXEN
Fig. 16
Denne gang går det knap så hurtigt,
og det kommer da også to iterationer,
hvor de rationale approksimanter er
blevet for slørede til at blive genkendt,
inden iterationen får skudt sig
ind på grænseværdien.
Træerne vokser naturligvis ikke ind i
himlen. Da det er væsentligt sværere
at genkende en kvadratisk irrationalitet
end et rationalt tal, kan man
ikke altid forvente genkendelse, selv
om resultatet vides i princippet at
være en simpel kvadratisk irrationalitet.
Fx vil alle potenser af 2 –1 igen
kunne udtrykkes simpelt ved 2 (og
de vil faktisk frembringe rationale
approksimanter for 2 idet potenserne
jo bliver mindre og mindre.
Hvis vi derfor udregner tallet
n
pn
( 2 − 1)
= ( pn
− qn
⋅ 2)
= qn
⋅(
−
q
vil brøken p n /q n derfor være en god
rational tilnærmelse til 2 . Men det
er en anden historie!):
n
2)
Fig. 17
VELKOMMEN TIL HTTP://WWW.TI.COM/CALC/DOCS/DANMARK.HTM
Af Jørgen Simonsen
Efterhånden har de fleste skoler fået
direkte adgang til Internet, og det er
derfor naturligt, at det danske flag
nu også er blevet hejst på Texas
Instruments‘ hjemmeside.
På de danske sider prøver vi at
fortælle lidt om, hvad der findes af
relevant litteratur på dansk, norsk,
svensk og engelsk, og vi giver en del
praktiske oplysninger om, hvad der
findes af hjælp og support til den
daglige undervisning.
De danske sider vil løbende blive
justeret, og det er også meningen, at
vi her vil lægge undervisningsmateriale
til fri kopiering. Der findes allerede
en masse på siderne fra USA.
Vi håber, at der vil blive taget godt i
mod det nye initiativ.
Allerede ved den femte potens
41 29 2 går det altså galt. Bemærk
også, at vi godt kan bruge
variable som X, Y og θ i beregningsudtrykkene,
men ellers skal man
passe meget på ved iteration, da de
fleste andre variable redefineres af
programmet NICE undervejs!
Programmet NICE ligger i gymna–
siets matematikbibliotek på
FCSKODA og kan ellers fås ved
henvendelse til Texas Instruments på
44 68 74 00.

GALAXEN Nr. 17 – Marts 1998
I SHALL NEVER BELIEVE
THAT GOD PLAYS DICE WITH THE WORLD
Af Jørgen Simonsen (og Albert Einstein)
Med dette citat starter vi forberedelsen
til sandsynlighedsregningen i
2.w, og vi kommer meget snart til
spørgsmålet om symmetriske - og
ikke-symmetriske sandsynlighedsfelter.
En fast opgave i den forbindelse
er kast med to forskellige farvede
terninger, hvor vi gerne ender med at
interesserer os for summen af øjnene.
Ofte har jeg ladet eleverne prøve at
sidde og rafle et stykke tid, tælle op,
lave histogrammer og frekvensundersøgelser,
men i år vil jeg lade TI-
83 gøre det i stedet for. Det følgende
er mit bud på, hvordan dette kunne
gøres.
Efter at have slettet listen L1 kan jeg,
som det ses af skærmudskriften, ved
hjælp af ordren randInt udføre
f.eks. 100 kast med to terninger og
lægge summen af øjnene ind i en liste
L1.
Fig. 1-2
Og som det ses under Stat Plot,
vælger vi nu On, Ò og Xlist lig
med L1.
Den næste opgave består i at få
tegnet histogrammet, og det er her
vigtigt at vælge et passende vindue,
som det fremgår af de næste figurer.
Fig. 3-4
Jeg har valgt Ymax lidt større en
antallet af kast divideret med seks.
Det er nu ganske let at gentage
forsøget ved blot at trykke y Quit
og derpå y Entry. I det hele taget
kan med ved gentagen tryk på y
Entry hurtigt komme frem til tidligere
indtastninger, også indtastninger
som man ikke kan se i displayet.
Det er let at forøge antallet af kast til
200, 300, 500 og 900 f.eks., idet vi
dog hver gang skal huske at ændre
på Ymax. Hvis man formindsker
antallet af kast, skal man huske at
slette L1.
For at få et bedre indtryk af sandsynlighedsfordelingen
har jeg under
parametrisk plotning indtastet
følgende funktion med det angivne
window. Jeg har valgt at kaste 900
gange, og jeg har ændret Ymax til et
tal, der er større end 900/6. Her sat
til 160.
Fig. 6-7
Hvis jeg ønsker at kaste et lavere
antal f.eks. 500 kast, skal jeg ændre
både i Y1 og i Y2, og Ymax skal også
tilpasses tilsvarende. Med 900 kast
fik jeg følgende figurer.
Fig. 7-8
I den sidste figur har jeg brugt
r. Dette giver mig mulighed for
at udregne de forskellige frekvenser,
og samtidig mulighed for at sammenligne
med de teoretiske sandsynligheder.
Her er det
124/900 = 0,137777,
der skal sammenlignes med
5/36 = 0,13888.
Det er da ganske pænt.
Mulighederne for at afprøve forsøget
flere gange og med andre tal er
ganske store, og flittig brug af y
Entry gør denne opgave overkommelig.
15

16
GALAXEN Nr. 17 11 – Marts 1998 1996
Jørgen Bondrop
Matematiklærer ved
Herning Handelsgymnasium.
Har været
fagkonsulent i
matematik inden for
erhvervsskolerne.
Forfatter til lærebøger i
matematik og
handelsregning for
handelsskoleområdet.
Finn Suhr
Salgs- og marketingchef
for elektronregnere.
Ansvarshavende
redaktør af GALAXEN.
Har været ansat hos
Texas Instruments siden
1976
SKRIV TIL GALAXEN
GALAXEN udgives af Texas Instruments
som informationsskrift om
brugen af lommeregnere i undervisningen
– primært i folkeskolen,
gymnasiet/HF og handelsskolen.
Redaktionen består af lederen af TI’s
lommeregnerafdeling samt af tre
lærere fra hovedmålgrupperne.
Denne redaktion har været samlet
siden det første nummer udkom.
Fagredaktionen er læsernes garanti
for, at magasinet ikke udvikler sig til
et reklameskrift for Texas Instru-
FÅ GALAXEN TILSENDT
Hvis du ikke allerede får tilsendt dit
eget eksemplar af GALAXEN, kan
du sende en fotokopi af kuponen til
højre, så vil du i fremtiden få det
gratis tilsendt på din privatadresse.
Dette er nr. 17 – og hvis du gerne vil
have nogle af de tidligere numre, har
vi et begrænset oplag af disse.
Kryds af, hvis du ønsker nogle af
numrene tilsendt. Du kan også
bestille dit eget eksemplar af TI’s nye
skolebrochure med oversigter over de
enkelte modellers funktioner.
Jens Carstensen
Matematiklærer ved
Tårnby Gymnasium. Har
undervist siden 1967.
Forfatter til adskillige
lærebøger om
matematik på
gymnasieniveau.
Jørgen Toft
Simonsen
Matematiklærer på
Borupgaards
Amtsgymnasium i
Ballerup. Desuden
skolekonsulent hos
Texas Instruments fra
1. januar 1997.
ments’ produkter, til trods for TI’s
indlysende kommercielle interesse i
magasinet.
Stofmæssigt ligger hovedvægten på
den praktiske brug af regnere – og
på helt generelle diskussioner om
matematiske emner med relevans
for lommeregneren.
Der er i princippet ikke noget i vejen
for at skrive om lommeregnere af
andre fabrikater, men redaktionen
har truffet en principbeslutning om
ikke at ville bringe egentlige sam-
Navn _______________________________
Skole _______________________________
Privatadresse _______________________
____________________________________
Postnr. _______ By __________________
____________________________________
❑ JA, jeg vil gerne have
GALAXEN tilsendt på min
privatadresse i fremtiden.
GALAXEN udgives af
Texas Instruments A/S,
Borupvang 2B, 2750 Ballerup, Tel. 44 68 74 00
Redaktionen består af Jørgen Bondrop,
Jens Carstensen, Viggo Hartz, Jørgen
Simonsen og Finn Suhr (ansv) samt Lars Høj.
Artikler, kommentarer og læserbreve bedes
sendt til ovenstående adresse.
© Texas Instruments A/S, 1998
Eftertryk tilladt med kildeangivelse
menligninger mellem udstyr fra
forskellige leverandører. Alene af
den grund, at erfaringen viser, at det
er umuligt at blive enige om et fair
sammenligningsgrundlag.
Vi inviterer alle til at skrive til
GALAXEN med korte eller lange
artikler, med oplevelser, forslag til
anvendelser, kritik og også gerne
anmeldelser af lommeregnere,
bøger osv. Alt har interesse, så længe
det på en eller anden måde handler
om undervisning og lommeregnere.
Send mig desuden
Viggo Hartz
Skolekonsulent i Århus.
Underviser i folkeskolen.
I redaktionen af tids–
skriftet “Matematik“.
Medforfatter til en del
lærebøger. Leder en
række forskellige
forsøgsprojekter.
❑ GALAXEN nr. __ __ __ __ __
__ __ __ __ __ __ __ __ __
(med forbehold for lagerstatus)
❑ TI’s skolebrochure med beskrivelse
af TI’s lommeregnere til
skole- og undervisningsbrug.
❑ Andet materiale:
____________________________
____________________________
____________________________