PDF: Galaxen Nr. 17 - Marts 1998 - SmartData

More documents

Recommendations

Info

10 Nr. 17 – Marts 1998 GALAXEN INVERSE SYMBOLSKE BEREGNINGER Af Bjørn Felsager En grafisk lommeregner er primært konstrueret til at omdanne et givet symbolsk udtryk til et decimaltal. Man starter altså med et eksakt udtryk for et tal, fx et af udtrykkene 3 e 1 × x 1 dx og 12 147 − og omformer det til en ny repræsentation i form af en endelig decimalbrøk: Fig. 1 I en invers symbolsk beregning går man omvendt ud fra decimaltallet, og forsøger at finde et simpelt eksakt udtryk, der netop frembringer dette decimaltal. På trods af at tallet til at begynde med kun er fremstillet ved en endelig decimalbrøk, og dermed behæftet med en vis usikkerhed, giver dette god mening. Hvis vi nemlig kan genskabe alle de givne decimaler ud fra et tilpas simpelt udtryk er der endog meget stor sandsynlighed for at dette udtryk netop repræsenterer det fundne tal. Hvis vi således finder den endelige decimalbrøk 0.3333333333 som resultat af en simpel beregning, vil vi få meget svært ved at frembringe netop dette decimaltal, med mindre der rent faktisk er tale om en beregning af det rationale tal 1/3. Helt sikre kan vi naturligvis kun være gennem en direkte symbolsk omskrivning af det oprindelige udtryk, og det kan vi jo så passende forsøge os med bagefter, når først vi har genkendt resultatet som 1/3. 3 , Frac-rutinen På alle de grafiske Texas lommeregnere er der indbygget en lille sød rutine til genkendelse af et rationalt tal ud fra decimalbrøken, den såkaldte åFrac-rutine. Den er hurtig og effektiv og klarer alle rationale tal med en nævner under 10000. Den er derfor som skabt til problemer, hvor man på forhånd ved at svarene er rationale, fx løsning af lineære ligningssystemer. Fig. 2 Her er det illustreret ved løsning af ligningssystemet 13x – 17y = –4 35x – 13y = –10, der altså har den eksakte løsning x = –59/213 og y = 5/213. Frac-rutinen lagrer ydermere værdien af decimaltallet i variablen Ans, hvorfor man kan indbygge den i fx iterative processer, her illustreret med Newtons metode til beregningen af 2 : Fig. 3 Her kan lommeregneren selvfølgelig ikke uden videre genkende 2 , men som vi kan se, kan det klares ved en kvadrering til slut. Men Frac-rutinen er desværre ikke helt uden problemer. Sålænge tallet er under 10, så vi har det fulde antal betydende cifre til vores rådighed for at fastlægge brøkdelen (14 cifre internt, dvs. 13 decimaler efter kommaet) er der ikke noget problem. Men hvis fx tallet er over 1000 har vi kun 10 cifre efter kommaet til rådighed til at fastlægge brøkdelen (idet heltalsdelen jo ikke volder nogle problemer). Da Frac-rutinen ydermere kun forsøger at opnå overensstemmelse med 10 cifre i alt, dvs. nøjes med de cifre, der umiddelbart kan ses på skærmen, betyder det at vi reelt kun sikrer overensstemmelse med de 6 cifre efter kommaet. Og det er ikke så uoverkommeligt, når vi har alle brøker til rådighed med en nævner op til 9999! I praksis vil vi derfor med rimelig stor sandsynlighed genkende et tal over 1000 som værende rationalt alene på grundlag af en tilfældig overensstemmelse med de første 6 decimaler, og sommetider vil vi endda være heldige hvis blot tallet er over 100. To eksempler vil klarlægge, hvorfor det er uheldigt. Prøver vi at udregne diagonalen i et kvadrat med siden 100, dvs. forsøger vi at beregne tallet 100 2 vil Frac-rutinen genkende det som værende rationalt. Prøver vi tilsvarende at beregne omkredsen for en cirkel med diameteren 1000, dvs. beregne tallet 1000π, vil Fracrutinen også genkende tallet som værende rationalt: Fig. 4 Det kan selvfølgelig godt give anledning til lidt begrebsforvirring hos elever, der ikke er helt sikre i forskellen mellem de rationale tal og de irrationale tal, og det er ærgerligt, at
GALAXEN Nr. 17 – Marts 1998 Frac-rutinen lader disse eksempler passere, da maskinen faktisk regner præcist nok til at kunne se forskellen: Fig. 5 Hvis man fx sammenligner brøkdelen fPart af 100 2 med den tilsvarende brøkdel for 1103228/7801 ses det jo tydeligt, at de afviger for de decimaler, der følger efter de første otte. Et simpelt check indbygget i Frac-rutinen ville altså kunne fjerne fejlen. Men som det er nu, må man leve med den og blot være opmærksom på, at Frac-rutinen ikke er troværdig, når tallene bliver for store, og man derfor reelt kun har 6- 7 decimaler at arbejde med. Teorien Hvordan foregår nu en sådan invers symbolsk beregning i almindelighed? For at forstå det må vi starte med at forstå den repræsentation af tallene, der ligger til grund for lommeregnertallene. Et tal i en grafisk lommeregner kan opfattes som ’sløret’, dvs. som en klump af reelle tal, nemlig alle de reelle tal, der starter med de samme 14 cifre, som lommeregneren opererer med. Det kan sammenlignes med pixlerne på en computerskærm, der jo heller ikke repræsenterer et enkelt punkt i en plan, men en sværm af punkter, nemlig alle dem, der ligger indenfor den anførte pixel. Ethvert lommeregnertal repræsenterer på samme måde en ’pixel’ på tallinjen, og dækker derfor i virkeligheden over en sværm af alle mulige slags tal: rationale, algebraisk irrationale og transcendente. Men det er ikke alle tallene i pixlen, der fremstår lige tydeligt! Hvis vi ’zoomer’ ind på en pixel, som indeholder et tal, der er meget simplere end de øvrige, så er det dette tal, man først får øje på med den givne opløsning. Hvis der findes et sådant simpelt tal, der skiller sig tydeligt ud fra baggrunden, er det derfor dette tal, man bør identificere lommeregnertallet med. Hvis fx pixlen indeholder et helt tal, bør lommeregnertallet identificeres med dette hele tal. Og hvis pixlen er tæt knyttet til et helt tal er det også rimeligt oplagt at identificere tallet. Fx er lommeregnertallet x = 0,3333333333 tæt knyttet til 1, idet man netop får 1, hvis man udregner det reciprokke tal x -1 . På samme måde er lommeregnertallet x = 1,4142135623 tæt knyttet til 2 , for man får netop 2, hvis man kvadrerer tallet, dvs. udregner x 2 . Nu kan vi selvfølgelig ikke prøve alle mulige simple beregninger på et givet lommeregnertal for på den måde at se, om det er nært beslægtet med et helt tal. Men vi kan bruge kædebrøksalgoritmen! Vi må altså også kende en lille smule til kædebrøker. Ethvert positivt tal x 0 kan spaltes i en heltalsdel og en brøkdel. Ved ydermere at tage den reciprokke værdi af brøkdelen kan vi skrive tallet på formen 1 x0 = iPart( x0) + fPart( x0) = a0 + , x hvor a = iPart( x ) 0 0 og x 1 = 1 fPart( x −1 0) Fortsætter vi på samme måde med at spalte tallet x 1 fås starten på en kædebrøk: 1 x1 = iPart( x1) + fPart( x1) = a1 + , x hvor dvs. 2 −1 1 x = fPart( x ) 1 x = a0 + 1 a1 + 1 a2 + ... Følgen af heltalsdele a 0 , a 1 , a 2 , … kaldes tallets spektrum. Det er rimeligt nemt at beregne spektret på en , 2 grafisk lommeregner. Følgende iterative beregning vil fx beregne spektret for tallet X og lægge det i listen L1: Fig. 6 I første linje indlægger vi startværdien for iterationen og nulstiller såvel listen som listepositionen. I næste linje udregnes dels heltalsdelen, som lægges ind i listen, dels den reciprokke af brøkdelen. Endelig fremskrives listepositionen og listen udskrives. Der gælder da den følgende fundamentale karakterisering af tallet x: 1) Tallet x er rationalt, netop når spektret er endeligt. 2) Tallet x er kvadratisk irrationalt (dvs. en irrationel løsning til en andengradsligning med heltal– lige koefficienter), netop når spektret er periodisk. Da det er rimeligt simpelt at beregne spektret på en grafisk lommeregner, kan vi derfor i princippet afgøre om et forelagt lommeregnertal er rationalt eller irrationalt; og hvis det er irrationalt, kan vi ydermere afgøre om det er kvadratisk irrationalt. Udfra et endeligt eller periodisk spektrum er det også overkommeligt at rekonstruere den eksakte repræsentation for lommeregnertallet via standard algoritmer. I praksis er det 11
Page 1 and 2: GALAXEN Marts 1998 - Nr. 17 Magasin
Page 3 and 4: GALAXEN Nr. 17 - Marts 1998 VÆRD A
Page 5 and 6: GALAXEN Nr. 17 - Marts 1998 0.14 0.
Page 7 and 8: GALAXEN Nr. 17 - Marts 1998 Da p-va
Page 9: GALAXEN Nr. 17 - Marts 1998 Dette g
Page 13 and 14: GALAXEN Nr. 17 - Marts 1998 Noget o
Page 15 and 16: GALAXEN Nr. 17 - Marts 1998 I SHALL

PDF: Galaxen Nr. 17 - Marts 1998 - SmartData

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?