Lineær programmering - Matematik og naturfag i verdensklasse

2. Simplexmetoden
Vi har i de tidligere eksempler set, at mulighedsområdet i to dimensioner er en konveks polygon og
kriteriefunktionen for en givet værdi er en ret linie, og i tre dimensioner er mulighedsområdet et
konvekst polyeder, medens kriteriefunktionen for en givet værdi er en plan; dette betød i begge
tilfælde, at den maksimale eller minimale værdi blev antaget i et hjørnepunkt. Disse egenskaber kan
generaliseres til vilkårlige dimensioner, således at den optimale værdi (såfremt den findes) vil antages
i et hjørnepunkt. Dette er baggrunden for simplexmetoden, som består i at starte i et hjørnepunkt i
mulighedsområdet og derefter bevæge sig til hjørnepunkter, hvori kriteriefunktionens værdi er bedre
(max: større, min: mindre), indtil dette ikke længere kan lade sig gøre. Vi illustrerer metoden ved
hjælp af et par eksempler.
Eksempel 2.1
Maksimer kriteriefunktionen
#24: f(x, y) := 3·x + 2·y
#25: x + 3·y “ 9
#26: 2·x + y “ 8
#27: x ’ 0 y ’ 0
Mulighedsområdet får følgende udseende (med f(x,y) = 0 indtegnet):
#28: x + 3·y “ 9 2·x + y “ 8 x ’ 0 y ’ 0
Først omformes bibetingelserne til ligninger ved at indføre nogle hjælpevariable, restvariable, s≥0 og
t≥0. (s og t udtrykker, hvor meget der mangler i ulighedernes venstresider for at lighedstegnet
gælder).
#29: x + 3·y + s = 9
#30: 2·x + y + t = 8
Vi vælger nu hjørnepunktet O = (x,y) = (0,0) som startpunkt. Dette giver
#31: s = 9 t = 8
og
#32: f(0, 0) = 0
10