Kædelinjen - Home page of Henrik Kragh Sørensen

26 HENRIK KRAGH SØRENSEN
7.6 Sammenfald med LEIBNIZ’ konstruktion
For at overbevise om korrektheden af sine resultater giver JOHANN BERNOULLI
et argument, der viser, at den konstruktion, som LEIBNIZ foresl˚ar i Acta Eruditorum
giver anledning til den samme differentialligning, som han netop selv har
løst. Ud over den tilsigtede effekt kan det ogs˚a bidrage til vores forst˚aelse for
LEIBNIZ’ metoder, da han ˚abenlyst har brugt differentialregningen til sin løsning,
og JOHANN BERNOULLI er s˚a dygtig ud i differentialregningens anvendelser. Det
følgende argument knytter sig til figur 10.
Figur 10: JOHANN BERNOULLI’s argument for, at hans konstruktion stemmer overens
med LEIBNIZ’. (Kowalewski 1914, p. 156)
For at gøre rigtigheden af vores løsning mere klar, vil vi bevise, at
den stemmer overens med Hr. LEIBNIZ’ løsning. Hans konstruktion
af kædelinjen er som følger.
Lad NCP være en ubegrænset horisontal ret linie og tegn over denne
den logaritmiske kurve OMBQ, hvor subtangenten alts˚a overalt er
det samme eller konstant. Man søger ordinaten CB herfra, som er lig
med subtangenten, og tager til begge sider to vilk˚arlige lige store liniestykker
CD og CP. S˚a laver man DA lig med den halve sum af ordinaterne
DM og PQ. S˚a p˚ast˚ar han, at punktet A ligger p˚a en kædelinje.
For at undersøge om denne kurve er den samme som den af os angivne,
m˚a man fastsl˚a om naturen af kurven BA kan udtrykkes i den
samme differentialligning. Lad derfor CB eller subtangenten = a, BG =
x, GA = CD = y, DM = z, Gg = dx, Dd = Ha = dy. S˚a bliver p˚a
grund af naturen af den logaritmiske kurve z dy = a dz, dvs.
dz =
z dy
a