Komplekse tal - Matematik og naturfag i verdensklasse

More documents

Recommendations

Info

$D:\cg\fysik C, bog\webbog\Big Bang hele bogen.wpd$

Eksempel Et tal a er givet ved a = 1, 1 og Opgave 7 Quiz 3 koordinatsystemet nedenfor. Ligningen z n = a Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004 arg( a) π = . Tallene a 6 n , n = 1,2, …, 20 er afbildet i Inden vi går i gang med andengradsligningen, vil vi først se på n’te-gradsligningen z a , og derefter på den simple andengradslingning, . n = z a 2 = Sætning 5: Ligningen z a har løsningerne: n = hvor v = arg(a). Bevis v 2π v 2π z = n a (cos( + p ) + isin( + p ), p = 0, 1, 2, ..., n − 1 n n n n Vi finder først modulus af z. Ifølge sætning 4 gælder og da n z = z n 14
får vi z a n = n n n z = z = a ⇔ z = Ifølge sætning 4 gælder arg( z ) n = narg( z) Idet v er et argument af a i intervallet ] π π] Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004 a − , gælder, at samtlige argumenter af a er givet ved v + p2π, p ∈ Z . Derfor er argumentet af z også lig med arg( n z ) = v + p2π, p ∈ Z Argumentet a z kan nu findes arg( n z ) = narg( z) = v + p2π, p ∈ Z v 2π arg( z) = + p , p ∈ Z n n Der er således uendelig mange argumenter, men det er nok at se på p = 0, 1, 2, ..., n-1, idet alle øvrige værdier af p giver argumenter af z, som er identiske med de allerede v fundne, på nær multipla af 2 π . Fx vil p = n give + 2π . Derfor er løsningerne givet ved n v 2π v 2π z = n a (cos( + p ) + isin( + p ), p = 0, 1, 2, ..., n − 1 n n n n Af løsningsformlen til ligningen z a ser vi, at alle løsninger har samme modulus. Har man fundet løsningen for p = 0 og afsat den i den komplekse plan, ses det, at den næste løsning findes ved at dreje den første løsning vinklen n = 2π omkring (0,0), og så fremdeles. n De n løsninger vil altså ligge som hjørner i en regulær n-kant med centrum i (0,0). Eksempel Vi vil løse ligningen 64. Modulus af z er givet ved ⇔ z n 5 = z 64 = 2 = . Argumentet af z 5 er 0, da 64 ligger på den positive del af den reelle akse. Argumenterne af de 5 løsninger er så 2π arg( z) = 0 + p , p = 5 altså, argumenterne er 0, 2π 4π 6π 8π , , og 5 5 5 5 0, 1, 2, 3, I intervallet ] − π; π] får vi argumenterne 4 15
Page 1 and 2: Komplekse tal Matematik og naturfag
Page 3 and 4: og x1 + x2 = ( −1+ x1 2 x 1 2 Kom
Page 5 and 6: a b a b a b − 2 + 15 − 13i = 1+
Page 7 and 8: Opgave 4 Quiz 2 Modulus og argument
Page 9 and 10: Eksempel Komplekse tal Matematik og
Page 11 and 12: Bevis Komplekse tal Matematik og na
Page 13: Bevis Komplekse tal Matematik og na
Page 17 and 18: v v z = ± a (cos( ) + isin( )) 2 2
Page 19 and 20: Komplekse tal Matematik og naturfag
Page 21 and 22: Opgave 11 Komplekse tal Matematik o

Komplekse tal - Matematik og naturfag i verdensklasse

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?