Komplekse tal - Matematik og naturfag i verdensklasse

Komplekse tal
Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004
Ved brug af definitionen ovenfor får vi: 4 = 2(cos(
0)
+ isin(
0))
= 2 . Vi ser altså, at
symbolet 4 heldigvis har samme betydning som det tilsvarende reelle symbol.
Ved i eksemplet ovenfor at erstatte tallet 4 med et vilkårligt reelt tal a, hvor a ≥ 0 , kan vi
se, at symbolet a har samme betydning inde for de reelle tal og de komplekse tal, når
altså blot a ≥ 0 .
Eksempel
Vi vil løse ligningen z 1.
2
= −
Her er a = −1
og dermed a = 1,
og vinklen mellem a og den positive del af den
v π
reelle talakse er v = π . Så er = , og løsningerne bliver
2 2
π π
z = ± 1(cos(
) + i sin( )) = ± i
2 2
π π
Ved brug af definitionen ovenfor får vi: − 1 = 1(cos(
) + isin(
)) = i.
Vi ser altså,
2 2
at definition 1 og definition 3 stemmer overens.
Eksemplet ovenfor kan let generaliseres til at vise, at hvis a er et vilkårligt reelt tal hvor
a ≥ 0 , så er − a = i a .
Øvelse
Opgave 9
Eksempel
Vis, at hvis a ≥ 0 , så er − a = i a
Vi vil løse ligningen z 2 3i.
n
= −
Her er a = 2 − 3i
, og a = 4 + 9 = 13 , og vi finder v = arg( a)
ved at løse
ligningerne cos( v ) =
2
og sin( v)
=
13
− 3
. Den løsning, der tilfredsstiller begge
13
v
ligninger er v = −0,
98279 , og dermed er = −0,
49140 .
2
n
Løsningen til ligningen z = 2 − 3i
er så
z = ± 13 (cos( −0,
49140)
+ isin(
−0,
49140))
z = ± ( 1,
6741−
0,
8960i)
og vi ser heraf endvidere at
2 − 3i
= 1,
6741−
0,
8960i
.
18
⇔