Komplekse tal - Matematik og naturfag i verdensklasse

More documents

Recommendations

Info

$D:\cg\fysik C, bog\webbog\Big Bang hele bogen.wpd$

0, 2π 4π ± , ± 5 5 Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004 Løsningerne bliver nu, idet vi husker at cos( −v ) = cos( v) og sin( −v) = − sin( v) z1 = 2 2π 2π z2 = 2(cos( 5 ) + isin( 5 )) 4π 4π z3 = 2(cos( 5 ) + isin( 5 )) 4π 4π z4 = 2(cos( 5 ) − isin( 5 )) 2π 2π z5 = 2(cos( 5 ) − isin( 5 )) Løsningerne bliver hjørnerne i en regulær femkant: Løsninger til ligningen z 5 = 64 Man kan altså ved at løse ligningen z n = 64 og afsætte løsningerne i den komplekse talplan konstruere en regulær 5-kant. Opgave 8 Ligningen z 2 = a Inden vi går i gang med den generelle andengradsligning, vil vi først se på den simple andengradsligning, z a . 2 = Sætning 6: Andengradsligingen z a har rødderne 2 = 16
v v z = ± a (cos( ) + isin( )) 2 2 hvor a er modulus af a, og arg( a ) = v . Bevis Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004 2 Af sætning 5 ses, at ligningen z = a har rødderne altså og v 2π v 2π z = 2 a (cos( + p ) + isin( + p ), p = 2 2 2 2 z 1 z 2 = = v v a cos( ) + isin( )) 2 2 v a cos( 2 + π) + v isin( 2 + π)) v v v v Da cos( + π) = − cos( ) og sin( π) = − sin( ) 2 2 2 2 rødderne skrives v v z = ± a cos( ) + isin( )) 2 2 0, 1 + ses det, at z2 −z1 = , altså kan Vi vil nu definere, hvad der skal forstås ved kvadratroden af et komplekst tal: Definition 3 Kvadratroden af et komplekst tal a er givet ved hvor v = arg( a) v v a = a cos( ) + isin( )) 2 2 Med denne definition kunne vi formulere sætning 6 således: Andengradsligningen z a har rødderne 2 = ± a . Vi vil se på beregning af kvadratrødder i nogle eksempler. Eksempel Vi vil løse ligningen z 4 . 2 = Her ligger a = 4 på den positive del af den reelle talakse. Så er v = 0 og dermed er også 0 v = . Desuden er 2 2 a = , og vi får z = ± 2(cos( 0) + isin( 0)) = ± 2 . 17
Page 1 and 2: Komplekse tal Matematik og naturfag
Page 3 and 4: og x1 + x2 = ( −1+ x1 2 x 1 2 Kom
Page 5 and 6: a b a b a b − 2 + 15 − 13i = 1+
Page 7 and 8: Opgave 4 Quiz 2 Modulus og argument
Page 9 and 10: Eksempel Komplekse tal Matematik og
Page 11 and 12: Bevis Komplekse tal Matematik og na
Page 13 and 14: Bevis Komplekse tal Matematik og na
Page 15: får vi z a n = n n n z = z = a ⇔
Page 19 and 20: Komplekse tal Matematik og naturfag
Page 21 and 22: Opgave 11 Komplekse tal Matematik o

Komplekse tal - Matematik og naturfag i verdensklasse

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?