Komplekse tal - Matematik og naturfag i verdensklasse

More documents

Recommendations

Info

$D:\cg\fysik C, bog\webbog\Big Bang hele bogen.wpd$

Opgave 2 Regning med komplekse tal Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004 Addition, subtraktion, multiplikation og division foregår på samme måde som for reelle 2 tal. Man skal blot huske på, at i = −1. Man kan altid reducere sit regneudtryk, så resultatet ender med at stå på formen = c + c , c , c ∈R . Eksempel Lad a = 2 + 3i og b = −1+ 5i . Så er og og a + b = ( 2 + 3i) + ( −1+ 5i) a + b = 2 + 3i − 1+ 5i a + b = 1+ 8i ⇔ a − b = ( 2 + 3i) − ( −1+ 5i) a − b = 2 + 3i + 1− 5i a − b = 3 − 2i a ⋅ b = ( 2 + 3i) ⋅ ( −1+ 5i) ⇔ 2 a ⋅ b = −2 + 15i + 10i − 3i a ⋅ b = −2 −15 + 7i a ⋅ b = −17 + 7i ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ c 1 2 1 2 a Ved division vil være en brøk med et komplekst tal i nævneren. Her skal man få den b gode idé at forlænge brøken med b . På den måde bliver nævneren et reelt tal, så resultatet igen kan skrives på formen = c + c , c , c ∈R . Eksempel c 1 2 1 2 Lad a = 2 + 3i og b = −1+ 5i . Så er b = −1− 5i og vi får a 2 + 3i = b − 1+ 5i a b a b ⇔ ( 2 + 3i)( −1− 5i) = ( −1+ 5i)( −1− 5i) 2 − 2 − 15i − 10i − 3i 1− 25i = 2 ⇔ ⇔ 4
a b a b a b − 2 + 15 − 13i = 1+ 25 13 − 13i = 26 = 1 2 − 1 i 2 ⇔ Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004 ⇔ Man kan selvfølgelig også udlede formlerne for addition osv. generelt. For addition ser formlen sådan ud, når a og b a a + b = b + : 1 2 = 1 2 a 1 2 1 2 + b = ( a + ia ) + ( b + ib ) a + b = a1 + ia2 + b1 + ib2 a + b = ( a1 + b1) + i( a2 + b2 ) For multiplikation kommer formlen til at se sådan ud: Øvelse Opgave 3 Quiz 1 ⇔ ⇔ a ⋅ b = ( a1 b1 − a2b 2 ) + i( a1b 2 + a2b1) Udled formlen for multiplikation af to komplekse tal. Eksistens af komplekse tal Man kan indføre de reelle tal ved først at indføre de hele tal ud fra de naturlige tal, dernæst de rationale tal ud fra de hele tal og endelig de reelle tal ud fra de rationale tal. Ligeledes kan man indføre de komplekse tal ud fra de reelle tal. W. R. Hamilton indførte i 1837 de komplekse tal på aritmetisk grundlag ved at indføre addition og multiplikation i mængden af reelle talpar a , a ) på følgende måde: ( a1 , a2 ) + ( b1, b2 ) = ( a1 + b1, a2 + b2 ) ( a1 , a2 ) ⋅ ( b1, b2 ) = ( a1b1 − a2b 2, a1b 2 + a2b1) ( 1 2 Man kan nu vise, at mængden af reelle talpar med de to kompositioner defineret ovenfor udgør et tallegeme. Ved dernæst at indføre betegnelsen ”i” for talparret (0,1) og betegnelsen 1 for talparret (1,0), kan man ved at benytte ovenstående indse, at i 2 = -1, og herefter kan man gå over til den skrivemåde, der er indført i de forrige afsnit. I matematikundervisningen i gymnasiet er der ikke tradition for at indføre de reelle tal på en stringent måde. Vi tager det i stedet for givet, at de reelle tal med kompositionerne addition og multiplikation udgør et tallegeme, ( R, + , ⋅) . På samme måde vil vi i disse noter 5
Page 1 and 2: Komplekse tal Matematik og naturfag
Page 3: og x1 + x2 = ( −1+ x1 2 x 1 2 Kom
Page 7 and 8: Opgave 4 Quiz 2 Modulus og argument
Page 9 and 10: Eksempel Komplekse tal Matematik og
Page 11 and 12: Bevis Komplekse tal Matematik og na
Page 13 and 14: Bevis Komplekse tal Matematik og na
Page 15 and 16: får vi z a n = n n n z = z = a ⇔
Page 17 and 18: v v z = ± a (cos( ) + isin( )) 2 2
Page 19 and 20: Komplekse tal Matematik og naturfag
Page 21 and 22: Opgave 11 Komplekse tal Matematik o

Komplekse tal - Matematik og naturfag i verdensklasse

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?