Trigonometri - Svendborg Erhvervsskole

home.svend.es.dk

Trigonometri - Svendborg Erhvervsskole

Trigonometri anvendes til beregning

af sand længde og sand vinkel i

profiler.

Kompendium i faget

Matematik

Tømrerafdelingen

1. Hovedforløb.

Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen

Niels Mark Aagaard

Sinus

Cosinus

a 2 = b 2 + c 2 – 2 • b • c • cos A

cos A = b 2 + c 2 - a 2

2 • b • c

Tangens


Indholdsfortegnelse for H1:

Undervisningens indhold ..................................................................................................................... 3

Trekanter .............................................................................................................................................. 4

Ligedannede trekanter .......................................................................................................................... 4

Enhedscirkel ......................................................................................................................................... 5

Trigonomiske funktioner...................................................................................................................... 6

Sinusrelation......................................................................................................................................... 7

Cosinusrelation..................................................................................................................................... 9

Trigonometri – former for vilkårlige trekanter. ................................................................................. 11

Egne notater ....................................................................................................................................... 12

Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Matematik Niels Mark Aagaard Side 2 af 12


Undervisningens indhold

Formålet med matematik på 1. hovedforløb er at du opnår kendskab til følgende matematiske

emner:

F, E og D-niveau

Kendskab til begreberne ensvinklede trekanter og ligedannede trekanter.

Kendskab til enhedscirklen som matematisk forklaringsmodel.

Kendskab til definitionerne sinus, cosinus og tangens.

Blive i stand til at anvende trigonometri for at finde længder og vinkler i retvinklede

trekanter.

Blive i stand til at løse tømrerfaglige problemstillinger ved hjælp af trigonometri.

E og D-niveau.

* Få kendskab til sinusrelation og cosinusrelation.

* Være i stand til at beregne sider og vinkler i vilkårlige trekanter.

Kompendiet hentes på

http://home.svend-es.dk/naa/Matematik/Matematik%20hovedforløb.htm

Gem det som minimum på dit H-drev eller på din egen computer.

Du kan med fordel skrive et eksemplar ud til brug i undervisningen.

Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Matematik Niels Mark Aagaard Side 3 af 12


Trekanter

En trekant er en polygon, bestående af tre rette linier. Trekanter deles op i to hovedgrupper:

- Retvinklede trekanter

- Vilkårlige trekanter.

• Vinklerne i en trekant benævnes med store bogstaver.

• Siderne benævnes med små bogstaver.

• En vinkels modstående side benævnes med samme

bogstav som vinklen.

• I en retvinklet trekant benævnes den rette vinkel ”C”.

• Ved navngivning af vinkler følge alfabetet uret rundt.

Ligedannede trekanter

To trekanter der har samme vinkler (ensvinklede), er også ligedannede trekanter. Det vil sige at

forholdet mellem de to trekanters sider er ens.

AB = 67

AC = 60

AD = 112

AE = 100

A

60 = 100 AC = AE

67 120 AB AD

Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Matematik Niels Mark Aagaard Side 4 af 12

B

C

A

c

b

D

E

B

a

C


Enhedscirkel

I et retvinklet koordinatsystem tegnes en cirkel med centrum i skæringspunktet mellem x-aksen og

y-aksen (0 , 0). Cirklen har en radius på 1.

Cirklen skærer akserne i punkterne (1 , 0), (0 , 1), (-1 , 0) og (0 , -1)

Denne cirkel kaldes enhedscirklen.

Ud over cirklen tegnes en linie der netop rører cirkelperiferien (tangenten). Tangenten er vinkelret

på x-aksen og rammer aksen i (1 , 0).

En vinkel dannes i enhedscirklen ved at trække en linie fra (0 , 0). Denne linie danner venstre

vinkelben i vinkel (v), hvor x-aksen danner højre vinkelben.

Hvor venstre vinkelben rammer cirkelperiferien, nedfældes en linie vinkelret på x-aksen. Længden

af denne linie kaldes sinus (sin).

Cosinus (cos) er afstanden fra (0 , 0) til det punkt, hvor sinus rammer x-aksen.

Hvor venstre vinkelben rammer tangenten, nedfældes en linie vinkelret på x-aksen. Længden af

denne linie kaldes tangens (tan).

Det vil sige at sinus, cosinus og tangens til enhver tid er afhængig af vinkelen (v).

Da sinus og cosinus er bundet til cirkelperiferien kan de aldrig blive størrer end 1 og mindre -1

Da tangens er bundet til tangenten, der er en uendelig lang linie, vil tangen gå fra minus uendelig til

plus uendelig.

Sin = [-1 , 1] cos = [-1 , 1] tan = ]-∞ , ∞[ bortset fra 90˚ og 270˚

Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Matematik Niels Mark Aagaard Side 5 af 12

y

1

-1 1

-1

v

cosinus

sinus

tangens

x


Trigonomiske funktioner.

I afsnittet om ligedannede trekanter så vi at der i en retvinklet trekant gælder følgende forhold

a

c

b a

, og

c

og afhænger af vinkel A.

b

Da størrelsen på vinkel A (det samme gælder for vinkel B) er bestemmende for længden af siderne

a, b og c, vil forholdet mellem a/c, b/c og a/b selvsagt ændre sig i takt med vinklen.

Der gælder altså at:

”til enhver størrelse af vinkel A svarer én og kun én værdi af de tre forhold.

Dette forhold er funktionen til vinkel A.”

Eksempel

Vinkel 60˚: a/c = 0,866 , b/c = 0,5 , b/c = 1,732

Vinkel 20˚: a/c = 0342 , b/c = 0,94 , b/c = 0,364

A

Ved at koble vores viden om de ligedannede trekanter og begreberne fra enhedscirklen finder vi

frem til følgende forhold

Ved sin(A) forstås forholdet

Ved cos(A) forstås forholdet

Ved tan(A) forstås forholdet

I en retvinklet trekant for vi følgende udtryk, der gælder bredt uanset hvordan trekanten navngives.

Sin (v) = længden af den modstående katete

længden af hypotenusen

cos (v) = længden af den hosliggende katete

længden af hypotenusen

tan (v) = længden af den modstående katete

længden af den hosliggende katete

Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Matematik Niels Mark Aagaard Side 6 af 12

c

b

B

a

c

b

c

a

C

a

b


Sinusrelation

Ud over de uendelig mange retvinklede trekanter der findes, er der også uendelig

mange vilkårlige trekanter.

En vilkårlig trekant kan både være stumpvinklet og spidsvinklet. Det der er afgørende er at ingen af

vinklerne er 90˚.

I de vilkårlige trekanter gælder funktionerne fra de retvinklede trekanter (sin(v) = a/c) ikke. Vi må

derfor udlede nogle regneregler der gælder i vilkårlige trekanter.

Til beregning af vinkler og sider i vilkårlige trekanter skal vi bruge

Sinusrelationen og cosinusrelationen.

For at udlede formler for de vilkårlige trekanter, vil vi benytte vores viden om de retvinklede

trekanter. Vi vil derfor i den vilkårlige trekant fremskaffe to retvinklede trekanter, ved at indtegne

én af højderne i nedenstående trekant. Højden står jo som bekendt vinkelret på grundlinien og udgår

fra modstående vinkel.

Da vi nu har to retvinklede trekanter kan vi betragte dem hver især ud for vores viden om

retvinklede trekanter. Højden hb er fælles for de to retvinklede trekanter og vi vil bruge den som en

slags fællesnævner for de to retvinklede trekanter.

I trekant ABD, der er retvinklet, har vi fra den oprindelige vilkårlige trekant vinkel A samt siden c.

Vi benytter os derfor af Sin (v) = længden af den modstående katete => Sin (A) = hb

længden af hypotenusen c

Dette kan vi omskrive til

hb = c • sin (A)

A

c a

Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Matematik Niels Mark Aagaard Side 7 af 12

b

hb

B

D

C


I det trekant BCD, der ligeledes er retvinklet, har vi fra den oprindelige vilkårlige trekant vinkel C

samt siden a.

Vi benytter os derfor af Sin (v) = længden af den modstående katete => Sin (C) = hb

længden af hypotenusen a

Dette kan vi omskrive til

hb = a • sin (C).

Af de to opstillinger kan vi se at hb er lig med c • sin (A), men at hb også er lig med a • sin (C),

hvoraf vi slutter at:

a • sin (C) = c • sin (A)

Denne ligning kan omskrives til

a

sin (A)

=

Dett4e er altså den ligning, der fremkommer ved at anvende højden til B. Ved at betragte ligningen kan

vi se, at der fremkommer en ligning der gælder for den oprindelige vilkårlige trekant, og at vinklen som

højden udgik fra ikke er indeholdt i ligningen. Vi kunne dog lige så godt have anvendt højderne til A

eller C. Ved bogstav-ombytning kan vi se, at der fremkommer to nye ligninger:

a

sin (A)

b

sin (B)

Disse tre ligninger kan sættes sammen til sinusrelationen:

a

sin (A)

=

=

c

sin (C)

b

sin (B)

c

sin (C)

b

= =

sin (B)

Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Matematik Niels Mark Aagaard Side 8 af 12

c

sin (C)


Cosinusrelation.

Sinusrelationen kan ikke anvendes til at løse alle beregninger i vilkårlige trekanter. Vi må derfor

have et redskab mere – cosinusrelationen. For at opbygge cosinusrelationen anvender vi igen vores

viden om retvinklede trekanter samt phytaguras.

Lige som ved sinusrelationen bruger vi en spidsvinklet trekant til at udlede formlen, men en

stumpvinklet trekant ville føre frem til samme resultat.

I følge Phytaguras får vi.

hb 2 + AD 2 = c 2 hb 2 = c 2 - AD 2

og

hb 2 + CD 2 = a 2 hb 2 = a 2 - CD 2

Vi ser igen at hb 2 er lig med både c 2 - AD 2 og a 2 - CD 2 , og kan derfor skrive:

c 2 - AD 2 = a 2 - CD 2

Dette omskrives til a 2 = c 2 + DC 2 - AD 2

Ved at betragte den oprindelige trekant kan vi se at DC = b – AD. Når vi indsætter denne størrelse i

stedet for, fås:

a 2 = c 2 + (b – AD) 2 - AD 2

a 2 = c 2 + b 2 + AD 2 – 2 • b AD - AD 2

A

c a

a 2 = b 2 + c 2 – 2 • b • AD (idet +AD 2 og –AD 2 ophæver hinanden)

Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Matematik Niels Mark Aagaard Side 9 af 12

b

hb

B

D

C

(a + b) 2 = a 2 + b 2 ± 2 • a • b


Af trekant ABD ses, at

AD

Cos A = , hvilket kan omskrives til

c

Cos A • c = AD

Ved indsættelse i a 2 = b 2 + c 2 – 2 • b • AD, fås

a 2 = b 2 + c 2 – 2 • b • c • cos A benævnt cosinusrelation.

På tilsvarende vis kan der udledes udtryk, der tager udgangspunkt i højderne til A og C, hvilket ville

give tilsvarende formler:

a 2 = b 2 + c 2 – 2 • b • c • cos A

b 2 = a 2 + c 2 – 2 • a • c • cos B

c 2 = a 2 + b 2 – 2 • a • b • cos C

Vi har således fået skabt et redskab til beregning af en ukendt side I trekant ABC, når vi kender de

to øvrige siders længde samt cosines til den modstående vinkel.

Ved en omskrivning af de tre ovenstående formler fås tre nye formler, der anvendes til beregning af

vinkler i trekant ABC.

Her vises blot ligningen til beregning af vinkel A

a 2 = b 2 + c 2 – 2 • b • c • cos A a 2 + 2 • b • c • cos A = b 2 + c 2 2 • b • c • cos A = b 2 + c 2 - a 2

cos A = b 2 + c 2 - a 2

2 • b • c

Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Matematik Niels Mark Aagaard Side 10 af 12


Trigonometri – former for vilkårlige trekanter.

Sinusrelation:

a

sin (A)

a

sin (A)

b

sin (B)

a

sin (A)

b

c

= = = 2R

sin (B) sin (C)

=

=

=

Cosinusrelation:

b

sin (B)

c

sin (C)

c

sin (C)

*********************************

cos A = b 2 + c 2 - a 2 a 2 = b 2 + c 2 – 2 • b • c • cos A

2 • b • c

cos B = a 2 + c 2 - b 2 b 2 = a 2 + c 2 – 2 • a • c • cos B

2 • a • c

cos C = a 2 + b 2 - c 2 c 2 = a 2 + b 2 – 2 • a • b • cos C

2 • a • b

***********************************

Arealformler:

A = ½ • a • b • sin C Herons formel:

A = ½ • a • c • sin B A = s • (s – a) • (s – b) • (s – c)

A = ½ • b • c • sin A

s = a + b + c

2

Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Matematik Niels Mark Aagaard Side 11 af 12

A

R

B

C


Egne notater

Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Matematik Niels Mark Aagaard Side 12 af 12

More magazines by this user
Similar magazines