Trigonometri - Svendborg Erhvervsskole

Trigonometri anvendes til beregning
af sand længde og sand vinkel i
profiler.
Kompendium i faget
Matematik
Tømrerafdelingen
1. Hovedforløb.
Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen
Niels Mark Aagaard
Sinus
Cosinus
a 2 = b 2 + c 2 – 2 • b • c • cos A
cos A = b 2 + c 2 - a 2
2 • b • c
Tangens

Indholdsfortegnelse for H1:
Undervisningens indhold ..................................................................................................................... 3
Trekanter .............................................................................................................................................. 4
Ligedannede trekanter .......................................................................................................................... 4
Enhedscirkel ......................................................................................................................................... 5
Trigonomiske funktioner...................................................................................................................... 6
Sinusrelation......................................................................................................................................... 7
Cosinusrelation..................................................................................................................................... 9
Trigonometri – former for vilkårlige trekanter. ................................................................................. 11
Egne notater ....................................................................................................................................... 12
Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Matematik Niels Mark Aagaard Side 2 af 12

Undervisningens indhold
Formålet med matematik på 1. hovedforløb er at du opnår kendskab til følgende matematiske
emner:
F, E og D-niveau
Kendskab til begreberne ensvinklede trekanter og ligedannede trekanter.
Kendskab til enhedscirklen som matematisk forklaringsmodel.
Kendskab til definitionerne sinus, cosinus og tangens.
Blive i stand til at anvende trigonometri for at finde længder og vinkler i retvinklede
trekanter.
Blive i stand til at løse tømrerfaglige problemstillinger ved hjælp af trigonometri.
E og D-niveau.
* Få kendskab til sinusrelation og cosinusrelation.
* Være i stand til at beregne sider og vinkler i vilkårlige trekanter.
Kompendiet hentes på
http://home.svend-es.dk/naa/Matematik/Matematik%20hovedforløb.htm
Gem det som minimum på dit H-drev eller på din egen computer.
Du kan med fordel skrive et eksemplar ud til brug i undervisningen.
Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Matematik Niels Mark Aagaard Side 3 af 12

Trekanter
En trekant er en polygon, bestående af tre rette linier. Trekanter deles op i to hovedgrupper:
- Retvinklede trekanter
- Vilkårlige trekanter.
• Vinklerne i en trekant benævnes med store bogstaver.
• Siderne benævnes med små bogstaver.
• En vinkels modstående side benævnes med samme
bogstav som vinklen.
• I en retvinklet trekant benævnes den rette vinkel ”C”.
• Ved navngivning af vinkler følge alfabetet uret rundt.
Ligedannede trekanter
To trekanter der har samme vinkler (ensvinklede), er også ligedannede trekanter. Det vil sige at
forholdet mellem de to trekanters sider er ens.
AB = 67
AC = 60
AD = 112
AE = 100
A
60 = 100 AC = AE
67 120 AB AD
Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Matematik Niels Mark Aagaard Side 4 af 12
B
C
A
c
b
D
E
B
a
C

Enhedscirkel
I et retvinklet koordinatsystem tegnes en cirkel med centrum i skæringspunktet mellem x-aksen og
y-aksen (0 , 0). Cirklen har en radius på 1.
Cirklen skærer akserne i punkterne (1 , 0), (0 , 1), (-1 , 0) og (0 , -1)
Denne cirkel kaldes enhedscirklen.
Ud over cirklen tegnes en linie der netop rører cirkelperiferien (tangenten). Tangenten er vinkelret
på x-aksen og rammer aksen i (1 , 0).
En vinkel dannes i enhedscirklen ved at trække en linie fra (0 , 0). Denne linie danner venstre
vinkelben i vinkel (v), hvor x-aksen danner højre vinkelben.
Hvor venstre vinkelben rammer cirkelperiferien, nedfældes en linie vinkelret på x-aksen. Længden
af denne linie kaldes sinus (sin).
Cosinus (cos) er afstanden fra (0 , 0) til det punkt, hvor sinus rammer x-aksen.
Hvor venstre vinkelben rammer tangenten, nedfældes en linie vinkelret på x-aksen. Længden af
denne linie kaldes tangens (tan).
Det vil sige at sinus, cosinus og tangens til enhver tid er afhængig af vinkelen (v).
Da sinus og cosinus er bundet til cirkelperiferien kan de aldrig blive størrer end 1 og mindre -1
Da tangens er bundet til tangenten, der er en uendelig lang linie, vil tangen gå fra minus uendelig til
plus uendelig.
Sin = [-1 , 1] cos = [-1 , 1] tan = ]-∞ , ∞[ bortset fra 90˚ og 270˚
Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Matematik Niels Mark Aagaard Side 5 af 12
y
1
-1 1
-1
v
cosinus
sinus
tangens
x

Trigonomiske funktioner.
I afsnittet om ligedannede trekanter så vi at der i en retvinklet trekant gælder følgende forhold
a
c
b a
, og
c
og afhænger af vinkel A.
b
Da størrelsen på vinkel A (det samme gælder for vinkel B) er bestemmende for længden af siderne
a, b og c, vil forholdet mellem a/c, b/c og a/b selvsagt ændre sig i takt med vinklen.
Der gælder altså at:
”til enhver størrelse af vinkel A svarer én og kun én værdi af de tre forhold.
Dette forhold er funktionen til vinkel A.”
Eksempel
Vinkel 60˚: a/c = 0,866 , b/c = 0,5 , b/c = 1,732
Vinkel 20˚: a/c = 0342 , b/c = 0,94 , b/c = 0,364
A
Ved at koble vores viden om de ligedannede trekanter og begreberne fra enhedscirklen finder vi
frem til følgende forhold
Ved sin(A) forstås forholdet
Ved cos(A) forstås forholdet
Ved tan(A) forstås forholdet
I en retvinklet trekant for vi følgende udtryk, der gælder bredt uanset hvordan trekanten navngives.
Sin (v) = længden af den modstående katete
længden af hypotenusen
cos (v) = længden af den hosliggende katete
længden af hypotenusen
tan (v) = længden af den modstående katete
længden af den hosliggende katete
Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Matematik Niels Mark Aagaard Side 6 af 12
c
b
B
a
c
b
c
a
C
a
b

Sinusrelation
Ud over de uendelig mange retvinklede trekanter der findes, er der også uendelig
mange vilkårlige trekanter.
En vilkårlig trekant kan både være stumpvinklet og spidsvinklet. Det der er afgørende er at ingen af
vinklerne er 90˚.
I de vilkårlige trekanter gælder funktionerne fra de retvinklede trekanter (sin(v) = a/c) ikke. Vi må
derfor udlede nogle regneregler der gælder i vilkårlige trekanter.
Til beregning af vinkler og sider i vilkårlige trekanter skal vi bruge
Sinusrelationen og cosinusrelationen.
For at udlede formler for de vilkårlige trekanter, vil vi benytte vores viden om de retvinklede
trekanter. Vi vil derfor i den vilkårlige trekant fremskaffe to retvinklede trekanter, ved at indtegne
én af højderne i nedenstående trekant. Højden står jo som bekendt vinkelret på grundlinien og udgår
fra modstående vinkel.
Da vi nu har to retvinklede trekanter kan vi betragte dem hver især ud for vores viden om
retvinklede trekanter. Højden hb er fælles for de to retvinklede trekanter og vi vil bruge den som en
slags fællesnævner for de to retvinklede trekanter.
I trekant ABD, der er retvinklet, har vi fra den oprindelige vilkårlige trekant vinkel A samt siden c.
Vi benytter os derfor af Sin (v) = længden af den modstående katete => Sin (A) = hb
længden af hypotenusen c
Dette kan vi omskrive til
hb = c • sin (A)
A
c a
Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Matematik Niels Mark Aagaard Side 7 af 12
b
hb
B
D
C

I det trekant BCD, der ligeledes er retvinklet, har vi fra den oprindelige vilkårlige trekant vinkel C
samt siden a.
Vi benytter os derfor af Sin (v) = længden af den modstående katete => Sin (C) = hb
længden af hypotenusen a
Dette kan vi omskrive til
hb = a • sin (C).
Af de to opstillinger kan vi se at hb er lig med c • sin (A), men at hb også er lig med a • sin (C),
hvoraf vi slutter at:
a • sin (C) = c • sin (A)
Denne ligning kan omskrives til
a
sin (A)
=
Dett4e er altså den ligning, der fremkommer ved at anvende højden til B. Ved at betragte ligningen kan
vi se, at der fremkommer en ligning der gælder for den oprindelige vilkårlige trekant, og at vinklen som
højden udgik fra ikke er indeholdt i ligningen. Vi kunne dog lige så godt have anvendt højderne til A
eller C. Ved bogstav-ombytning kan vi se, at der fremkommer to nye ligninger:
a
sin (A)
b
sin (B)
Disse tre ligninger kan sættes sammen til sinusrelationen:
a
sin (A)
=
=
c
sin (C)
b
sin (B)
c
sin (C)
b
= =
sin (B)
Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Matematik Niels Mark Aagaard Side 8 af 12
c
sin (C)

Cosinusrelation.
Sinusrelationen kan ikke anvendes til at løse alle beregninger i vilkårlige trekanter. Vi må derfor
have et redskab mere – cosinusrelationen. For at opbygge cosinusrelationen anvender vi igen vores
viden om retvinklede trekanter samt phytaguras.
Lige som ved sinusrelationen bruger vi en spidsvinklet trekant til at udlede formlen, men en
stumpvinklet trekant ville føre frem til samme resultat.
I følge Phytaguras får vi.
hb 2 + AD 2 = c 2 hb 2 = c 2 - AD 2
og
hb 2 + CD 2 = a 2 hb 2 = a 2 - CD 2
Vi ser igen at hb 2 er lig med både c 2 - AD 2 og a 2 - CD 2 , og kan derfor skrive:
c 2 - AD 2 = a 2 - CD 2
Dette omskrives til a 2 = c 2 + DC 2 - AD 2
Ved at betragte den oprindelige trekant kan vi se at DC = b – AD. Når vi indsætter denne størrelse i
stedet for, fås:
a 2 = c 2 + (b – AD) 2 - AD 2
a 2 = c 2 + b 2 + AD 2 – 2 • b AD - AD 2
A
c a
a 2 = b 2 + c 2 – 2 • b • AD (idet +AD 2 og –AD 2 ophæver hinanden)
Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Matematik Niels Mark Aagaard Side 9 af 12
b
hb
B
D
C
(a + b) 2 = a 2 + b 2 ± 2 • a • b

Af trekant ABD ses, at
AD
Cos A = , hvilket kan omskrives til
c
Cos A • c = AD
Ved indsættelse i a 2 = b 2 + c 2 – 2 • b • AD, fås
a 2 = b 2 + c 2 – 2 • b • c • cos A benævnt cosinusrelation.
På tilsvarende vis kan der udledes udtryk, der tager udgangspunkt i højderne til A og C, hvilket ville
give tilsvarende formler:
a 2 = b 2 + c 2 – 2 • b • c • cos A
b 2 = a 2 + c 2 – 2 • a • c • cos B
c 2 = a 2 + b 2 – 2 • a • b • cos C
Vi har således fået skabt et redskab til beregning af en ukendt side I trekant ABC, når vi kender de
to øvrige siders længde samt cosines til den modstående vinkel.
Ved en omskrivning af de tre ovenstående formler fås tre nye formler, der anvendes til beregning af
vinkler i trekant ABC.
Her vises blot ligningen til beregning af vinkel A
a 2 = b 2 + c 2 – 2 • b • c • cos A a 2 + 2 • b • c • cos A = b 2 + c 2 2 • b • c • cos A = b 2 + c 2 - a 2
cos A = b 2 + c 2 - a 2
2 • b • c
Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Matematik Niels Mark Aagaard Side 10 af 12

Trigonometri – former for vilkårlige trekanter.
Sinusrelation:
a
sin (A)
a
sin (A)
b
sin (B)
a
sin (A)
b
c
= = = 2R
sin (B) sin (C)
=
=
=
Cosinusrelation:
b
sin (B)
c
sin (C)
c
sin (C)
*********************************
cos A = b 2 + c 2 - a 2 a 2 = b 2 + c 2 – 2 • b • c • cos A
2 • b • c
cos B = a 2 + c 2 - b 2 b 2 = a 2 + c 2 – 2 • a • c • cos B
2 • a • c
cos C = a 2 + b 2 - c 2 c 2 = a 2 + b 2 – 2 • a • b • cos C
2 • a • b
***********************************
Arealformler:
A = ½ • a • b • sin C Herons formel:
A = ½ • a • c • sin B A = s • (s – a) • (s – b) • (s – c)
A = ½ • b • c • sin A
s = a + b + c
2
Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Matematik Niels Mark Aagaard Side 11 af 12
A
R
B
C

Egne notater
Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Matematik Niels Mark Aagaard Side 12 af 12