Matematik F2 - sæt 4 af 7 ∮ f(z)dz = 0 1 1. Beviset for Cauchy's ...

Matematik F2 - sæt 4 af 7 f(z)dz = 0 1
1. Beviset for Cauchy’s sætning f(z)dz kan i virkeligheden gøres endnu
simplere. I (RH) er betingelsen for at en differentiel form df = A(x, y)dx+
B(x, y)dy er eksakt (Har en stamfunktion) at ∂yA = ∂xB. S˚a for at formen
f(z)dz = f(z)dx + if(z)dy er et eksakt differential skal der gælde ∂yf =
i∂xf og det er præcis (CR) betingelserne. N˚ar f har en stamfunktion F
betyder det at b
a f(z)dz = b
dF = F (b) − F (a) Og s˚a følger naturligvis
a
Cauchy’s sætning.
2. Find residuer i de singulære punkter af
(a) 3/(1 − z)
(b) sin z/z 4
(c) (4/z 3 ) − 1/z 2
(d) cot z
(e) 2/(z 2 − 1) 2
(f) 1/(z 4 − 1)
3. Integraler af typen 2π
F (cos θ, sin θ)dθ er gennemg˚aet med et eksempel i
0
bogen prøv selv med
4. Vis at 2π
2π
1
I =
dθ med a > 1
a − cos θ
0
2π
cos θ
I =
dθ med a > 1
a + sin θ
0
0
cos 2n x dx = 2π (2n)!
2 2n (n!) 2
5. I bogens eksempel, der hører til figur RH 15.6 (RHB, 24.15) ligger der
en pol p˚a den reelle akse. Denne undg˚as ved en lille halvcirkel i den øvre
halvplan. Hvad sker der hvis en halvcirkel i den nedre halvplan vælges?
6. Integraler af typen ∞
f(x)dx
−∞
hvor limz→∞ |zf(z)| = 0 kan som vist i RH 15.3.2 (RHB, 24.13) udregnes.
Prøv selv følgende:
∞
∞
−∞
−∞
a og b er reelle og større end nul.
1 + x2 dx
1 + x4 1
(a 2 + x 2 )(b 2 + x 2 ) dx

Matematik F2 - sæt 4 af 7 f(z)dz = 0 2
7. Integraler af flertydige (multivalued) funktioner RH 15.13.3 (RHB, 24.13.3)
er ogs˚a værd at prøve:
∞ √
x
dx
1 + x2 8. (Eksamenssæt 2011) Vis at funktionen
0
f(z) = z
1 − z
afbilder enhedscirklen |z| = 1 over p˚a en linie i den komplekse plan.
Im(w)
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
●
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
Re(w)
9. Real og imaginærdelene af en holomorf funktion i den komplekse plan,
f = ψ + iφ, er altid harmoniske, dvs. de opfylder laplaceligningen
∇ 2 ψ = 0 and ∇ 2 φ = 0.
En funktion z = Φ(w) siges at være konform p˚a en ˚aben mængde, U
(w ∈ U), af den komplekse plan, hvis og kun hvis den er holomorf og dens
afledte er forskellig fra 0. Hvis ψ er harmonisk s˚a følger det at ψ (Φ(w))
ogs˚a er harmonisk.
Potentialet ψ(x, y) som opfylder laplaceligningen i den øvre halvplan og
har værdien 0 for y = 0 har formen
ψ(x, y) = ky. (1)
Denne form følger fra at ψ(x, y) har samme form for alle værdier af x (den
øvre halvplan ser ens ud hvadenten man st˚ar i x = −10 eller x = 0. Dvs.
ψ ikke kan være en funktion af x). Laplaceligningen ser derf˚ar s˚aledes ud
∂2ψ = 0.
∂y2

Matematik F2 - sæt 4 af 7 f(z)dz = 0 3
Denne ligning har ovenst˚aende løsning (1) som er lineær i y. Potentialet
kan skrives vha. en kompleks variabel p˚a formen
ψ = −kRe[iz] (2)
Vi skal nu benytte dette potentiale samt et passende valg af en konform afbildning
til at finde de elektriske feltlinier omking et hjørne - som skitseret
i figuren.
• Først findes en konform afbildning fra et domæne best˚aende af punkter
r exp(iθ), hvor r > 0 og 0 ≤ θ ≤ 3π/2 til den øvre halvplan. Prøv
med afbildninger p˚a formen Φ(w) = w α .
• Benyt denne konforme afbildning sammen med ligning (2) til at finde
potentialet. Benyt at ψ (Φ(w)) er harmonisk og kan skrives som realdelen
af funktionen f(z) = kΦ(w).
• Det elektriske vektorfelt E kan skrive med komplekse tal vha. den
analytiske funktion f
E = df ∂f ∂ψ ∂ψ
= = − i∂φ = + i∂ψ
dz ∂x ∂x ∂x ∂x ∂y
Beregn dette felt og beskriv hvordan det opfører sig tæt p˚a hjørnet.
10. Find den fouriertransformerede af x/(x 2 + a 2 ):
˜f(y) = 1
∞
xe
√
2π −∞
−ixy
x2 dx
+ a2 ved konturintegration i den komplekse plan. (Pas p˚a at skelne mellem
y > 0 og y < 0.
Tjek at den inverse fouriertransformation giver det rigtige.
11. I et eksempel i bogen udregnes fouriertransformationen af
f(x) =
0
Ae
for x < 0
−λx for x > 0
til A/( √ 2π(λ + iy)). Vis ved konturintegration i den komplekse plan at
den inverse fouriertransformation giver f(x).