PDF file (2MB) - Niels Bohr Institutet

Forord
Dette bachelorprojekt er udarbejdet på baggrund af målinger foretaget ved Nano-Science Center på
H. C. Ørsteds Instituttet i perioden fra d. 7. februar til d. 31. marts 2003.
Rapporten er opbygget således at kapitel 2 omhandler projektets overordnede teori. Herefter følger i
kapitel 3 en gennemgang af forberedelserne til og udførelsen af de enkelte målinger. Kapitel 4 er en
analyse af de opnåede resultater, og slutteligt er kapitel 5 en konklusion over projektets forløb.
Henvisninger til grafer, figurer, fotografier og udledninger i appendiks er benævnt med et stort
bogstav der refererer til det respektive appendiks efterfulgt af et figur/formel nummer.
Litteraturhenvisninger angives med [].
Det har været spændende at arbejde i laboratoriet, hvor alle har været villige til at hjælpe os, når vi
har haft problemer med udstyret, eller når vi har haft brug for gode råd til at fortolke vores data. Vi
vil derfor især rette tak til:
Vores vejleder Jesper Nygård for inspiration og hjælp til vores projekt.
Martin Kristoffer Haldrup for altid at være i nærheden til at svare på spørgsmål.
Nader Payami for introduktion til bonding og hjælp til diverse problemer med apparatur.
Kasper Grove-Rasmussen for introduktion til CVD opstilling.
1

Indholdsfortegnelse
Forord 1
Indholdsfortegnelse 2
1 Indledning 3
1.1 Problemformulering 3
2 Teori 4
2.1 Halvledere 4
2.1.1 Elektroner i et periodisk potentiale 4
2.1.2 Halvledere, intrinsiske egenskaber 4
2.1.3 Halvledere, ekstrinsiske egenskaber 5
2.2 Grafit 6
2.3 Kulstofnanorør 7
2.3.1 Chiralitet 7
2.4 Elektriske egenskaber 8
2.4.1 1D-dispersionsrelation for armchair type kulstofnanorør 9
2.4.2 1D-dispersionsrelation for zigzag type kulstofnanorør 9
2.5 Coulomb blokade 10
3 Beskrivelse af eksperimentelle opstillinger 14
3.1 Chemical Vapor Deposition (CVD) 14
3.2 Pådampning af elektriske kontakter 14
3.3 Probestation 15
3.4 Ætsning 15
3.5 Bonding 15
3.6 Atomic Force Microscope (AFM) 16
3.7 Elektrisk måleopstilling 17
3.8 Beskrivelse af prøver 18
3.8.1 Neil29_8 18
3.8.2 Chip9 19
3.9 NanoFET 19
4 Observationer og analyse 20
4.1 Nedkølingskarakteristikker 20
4.2 Hysterese 22
4.3 Reproducerbarhed 23
4.4 Periodicitet 23
4.5 Arealbevarelse 24
4.6 I-V kurver 25
4.7 Differentiel konduktans 26
4.8 Adsorption af O2 27
5 Konklusion 29
6 Litteratur henvisninger 30
Appendiks A – Dispersionsrelation for grafitlag 31
Appendiks B – Figurer og billeder 33
2

1 Indledning
Indtil starten af 1990’erne havde man kendskab til to grundlæggende gitterformer for kulstof –
grafit og diamant. Japaneren Sumio Iijima opdagede i 1991 en tredje form for kulstof, nemlig
kulstofnanorør (Carbon-nanotubes) [16].
Kulstofnanorør består, som grafit, af kulstof atomer kemisk bundet i et bikubegitter (honeycomb
lattice). De kan tænkes på som et sammenrullet 2-dimensionelt grafitlag (graphene sheet), selvom
det ikke sådan, de fremstilles. Deres egenskaber kan derfor udledes ved at betragte egenskaberne for
grafit, sammen med de egenskaber der opstår ved oprulningen.
Siden opdagelse af kulstofnanorør har forskere over hele verden undersøgt og ladet sig imponere af
disse små rørs mekaniske og elektriske egenskaber. De har vist sig at være stærkere end stål, bedre
halvledere end silicium og gode 1-dimensionelle elektriske ledere.
I dette projekt har vi undersøgt nanorørs elektriske egenskaber fra stuetemperatur til 4,2 K, herunder
effekter som Coloumb blokader og halvleder egenskaber. Før de elektriske målinger, bestod en del
af arbejdet i en faktisk lokalisering af nanorør på prøverne. Rapporten indeholder derfor også afsnit
om virkemåde og anvendelse af et Atomic Force Microscope som var det instrument der blev brugt
til disse undersøgelser.
Projektets oprindelige formål var at måle hvorledes mekanisk påvirkning af hængende kulstofnanorør
ændrer deres elektriske egenskaber. Men pga. manglende hængende kulstofnanorør på
prøverne, ændrede vi undervejs formålet til det nuværende.
1.1 Problemformulering
Undersøgelse af Single Walled carbon NanoTubes (SWNT) elektriske egenskaber mellem
stuetemperatur og 4,2 K. Herunder ledningsevne som funktion af påtrykt elektrisk felt.
3

2 Teori
2.1 Halvledere
Det efterfølgende er en overordnet beskrivelse af principperne bag halvledende materialer herunder
intrinsiske og ekstrinsiske egenskaber.
2.1.1 Elektroner i et periodisk potentiale
En elektron i et krystal befinder sig i et periodisk potentiale skabt af gitteratomerne. Løses
Schrödinger ligningen for elektronen 1 , vil man få et udtryk for elektronens energi E som en funktion
af bølgevektoren k. Det viser sig, at der pga. det periodiske potentiale vil opstå forbudte områder i
afbildningen af E(k) – såkaldte båndgab, Figur 2-1. I et krystalgitter vil de elektriske egenskaber for
krystallet være forbundet til de elektroner, der er løsest bundet til atomerne i krystalgitteret - altså
valenselektronerne. Plottes disse elektroners tilstande i et E(k)-diagram, vil de starte med at fylde
valensbåndet. Det næste tilladte bånd kaldes ledningsbåndet.
Et tomt ledningsbånd og et fyldt valensbånd giver
ikke anledning til elektrisk transport, dvs. materialet
er en isolator. Eksiteres en elektron med en energi,
der er større end båndgabets energi Eg (eksempelvis
termisk) vil den kunne eksistere i ledningsbåndet. En
manglende elektron i valensbåndet, et såkaldt hul,
kan opfattes som en positiv punktladning. I et ydre
påtrykt elektrisk felt vil både elektronen i
Figur 2-1 Energispektrum for en elektron i et
periodisk potential.
ledningsbåndet og hullet i valensbåndet fungere som
ladningsbærere, og en elektrisk strøm vil løbe.
2.1.2 Halvledere, intrinsiske egenskaber
Et rent halvledende materiale fungerer som en isolator ved T=0 K. Ved bestemte temperaturer over
0 K, karakteristiske for det enkelte materiale, vil en halvleder blive ledende som følge af termiske
eksitationer. Dette kaldes en intrinsisk halvleder. Antallet af elektroner i ledningsbåndet stiger som
funktion af temperaturen, og da et hul er defineret som en manglende elektron, vil antallet af huller
stige i valensbåndet.
Fordelingsfunktionen for elektroner og huller som funktion af temperaturen kan skrives som:
3 / 2
⎛ Eg
⎞
−
⎞
⎜ ⎟
BT 3 / 4 ⎝
2k
BT
⎠
( me
⋅ mh
) e
2
⎛ k
n = p = 2⎜ ⎟
⎝ π ⋅ h ⎠
(2.1)
hvor n og p er antallet af henholdsvis elektroner og huller, me og mh er elektronernes og hullernes
effektive masser, og Eg er båndgabet [1]. Disse fordelinger danner grundlag for beregning af
1 Dette kan gøres ved anvendelse af ”nearly free electron model” eller ”thight binding approximation” [1].
4

konduktiviteten i en intrinsisk halvleder. Det ses at antallet, og dermed konduktiviteten, er
eksponentielt afhængig af temperaturen såvel som båndgabet. Halvledere har generelt små båndgab,
typiske værdier er 0,7 eV for Ge og 1,1 eV for Si sammenlignet med 5,5 eV for C i diamantgitter,
der betragtes som en isolator [2].
Figur 2-2 Eksitation af elektron fra valensbånd til
ledningsbånd.
generelt udtrykkes som:
Mobiliteten i det intrinsiske halvlederkrystal,
det vil sige få urenheder og relativt høje
temperaturer (generelt > 300 K), er defineret
som den numeriske størrelse af en ladnings
hastighed i forhold til et påtrykt elektrisk felt:
µ = v / E
2.2)
Den numeriske værdi af v benyttes, fordi hullers
og elektroners ladninger og hastighedsvektorer
er modsat rettede. Ladningens hastighed kan
v = qτE
/ m
(2.3)
hvor τ er en gennemsnits kollisionstid mellem ladning og phononer [2]. For huller og elektroner
giver (2.3) indsat i (2.2):
µ = e τ / m
h
e
h
µ = e τ / m
e
h
e
Den elektriske konduktivitet er summen af antallet af ladningsbærere, huller (p) og elektroner (n)
ganget med deres respektive ladninger og mobiliteter [2]:
σ = ep µ + enµ
.
h
e
Konduktiviteten vil ifølge (2.1) være domineret af en eksponentiel temperaturafhængighed
exp(-Eg/(2kBT)). I halvledere leder dette til små effektive masser, der så medfører høj mobilitet.
2.1.3 Halvledere, ekstrinsiske egenskaber
En anden metode til at lette frigørelsen af elektroner og huller til elektrisk transport er at tilføre et
halvlederkrystal en lille koncentration af atomer med en anden valens. Et eksempel kan være
silicium (valens 4) som i ren tilstand sidder i et diamantgitter, der tilføres fosfor (valens 5). Fosfor,
der har næsten samme størrelse som silicium, vil kunne indgå i diamantstrukturen, med den femte
valenselektron meget løst bundet (bindingsenergien er for fosfor 0,05 eV). Fosforatomet vil derfor
meget let kunne afgive en elektron, dvs. den fungerer som en donor af elektroner. Dette vil ændre
på løsningen af Schrödingerligningen, så der nu er lokale domæner af tilladte tilstande i det ellers
forbudte båndgab. Fra disse domæner kræves der mindre energi for at eksitere en elektron til
ledningsbåndet, end hvis den kom fra valensbåndet, Figur 2-3.
Det vil også være muligt at tilføre
atomer med lavere valens eksempelvis aluminium. Det vil svare til, at elektroner fra valensbåndet
5

kan få energier, der svarer til de lokale domæner i båndgabet skabt af aluminiumatomerne. Dette vil
efterlade huller i valensbåndet, som også giver anledning til elektrisk transport.
Figur 2-3 Principskitse af dotering i
halvledermateriale [13].
2.2 Grafit
Den lavere eksitationsenergi vil gøre halvledernes
ekstrinsiske egenskaber dominerende for
konduktiviteten ved lave temperaturer, men grundet
den lave koncentration vil de intrinsiske egenskaber
være dominerende ved højere temperaturer. For Ge
sker denne overgang ved ca. 300K [1].
Teorien for mobiliteten for den ekstrinsiske region er
mere kompliceret end for den intrinsiske region og
vil ikke blive behandlet her.
Grafit er opbygget af lag af 2-dimensionelle grafitlag (graphene sheet). Et enkelt grafitlag består af
kulstofatomer kemisk bundet i et bikubegitter.
Enhedscellen og første Brillouin zone i det reciprokke rum for et grafitlag fremgår af Figur 2-4 og
. Et kulstofatom i et grafitlag danner 3 kemiske bindinger vha. af sp 2 Figur 2-5
hybridisering [3], den
sidste valenselektron danner en kovalent π-binding. Enhedsvektorerne er givet ved:
⎛
a1 = ⎜
⎝
ρ
3 a ⎞
a,
⎟
2 2 ⎟
,
⎠
⎛
a 2 = ⎜
⎝
ρ
Figur 2-4 Enhedscellen (i stiplede linier)
for et grafitlag indeholder 2 atomer.
3 a ⎞
a,
− ⎟
2 2 ⎟
⎠
Figur 2-5 Første Brillouin zone for et
grafitlag. Periodisk grænsebetingelse giver
følgende kvantisering af k-vektorer for A)
(7,7) armchair nanorør og B) (4,2) chiral
nanorør.
hvor a = 3a0 = 2.46Å, hvor a0 er bindningslængden mellem to kulstofatomer.
6

Bestemmelse af energiniveauerne for π-elektronen giver en god beskrivelse af de elektriske
egenskaber for et grafitlag. Ved hjælp af dette og ’The Tight Binding Approximation’ kan der ved
simpel approksimation udledes følgende dispersionsrelation for et grafitlag 2 .
E
⎛ ⎞ k a k a
x y γ 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
(2.4)
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
( ) ⎟ 3k
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ xa
y
2 y
k , k = ± 1+
4cos
⎟cos⎜
⎟ + 4cos
⎜
Figur 2-6 Dispersionsrelation for πelektronerne.
Den indtegnede hexagon
svarer til første Brillouin zone.
2.3 Kulstofnanorør
K'
K
Figur 2-6 illustrerer dispersionsrelationen for π-elektronerne
i første Brillouin zone for et grafitlag 3 . Da der er to πelektroner
pr. enhedscelle vil de i grundtilstanden fylde hele
valensbåndet op, og ledningsbåndet er tomt. Kontakt mellem
valensbåndet og ledningsbåndet i punkterne mærket med K
og K’ medfører, at et grafitlag er et semi-metal.
Kulstofnanorør findes i mange forskellige typer og størrelser. Denne rapport omhandler nanorør af
typen SWNT (Single Walled NanoTubes), altså nanorør oprullet af et enkelt grafitlag, Figur 2-7.
Grafit lag SWNT
Figur 2-7 Oprulning af kulstofnanorør fra et grafitlag.
2.3.1 Chiralitet
Et SWNT kan i princippet oprulles på uendelig mange måder. På Figur 2-8 er illustreret de vektorer
der benyttes til beskrivelse af oprulningen.
Som basis for vektorerne bruges gitterets enhedsvektorer a1 og a2. Chiralitetsvektoren skrives altså:
ρ ρ ρ
C = na
+ ma
(2.5)
1
2 Dispersionsrelationen for et grafitlag er udledt i Appendiks A.
3 Figur 2-6 er fremstillet vha. Mathematica.
2
7

Hvor n og m er hele tal.
Chiralitetsvektoren karakteriseres normalt ved det talpar, som er givet ved koefficienterne i formel
(2.5), altså (n,m). Pga. 60 graders rotationssymmetri gælder: 0 ≤ |m| ≤ n. Chiraliteten for røret i
Figur 2-8 er derfor (4,2).
SWNT kategoriseres i tre hovedtyper efter chiralitet, armchair (n,n), zigzag (n,0) og chiral (n,m)
hvor n≠m. På Figur 2-9 er de tre typer af nanorør illustreret. Karakteristisk for de to typer af ikkechirale
nanorør armchair og zigzag er, at de er spejlsymmetriske.
Figur 2-8 Bikubegitteret for et grafitark. Et nanorør
formes ved at forbinde punkterne O til A og B til B’.
Vektoren OA er chiralitetsvektoren C, vektoren OB
er translationsvektoren T. Vektorerne a1 og a2 er
enhedsvektorerne for bikubegitteret. T og C
udspænder enhedscellen for nanorøret(det grå
område).
2.4 Elektriske egenskaber
Figur 2-9 Kategorisereing af kulstofnanorør. Karakteristisk for
chirale nanorør er, at de ikke er spejlsymmetriske.
Ved oprulning af et grafitlag til et nanorør opstår der en periodisk grænsebetingelse for πelektronernes
bølgefunktion langs rørets omkreds og dermed en kvantisering af energiniveauerne i
denne retning. Antages røret at være uendelig langt udgør energiniveauerne langs ρ rørets ρ akse et
ikx
ρ
kontinuum. Den periodiske grænsebetingelse for π-elektrons bølgefunktion ψ ( x)
= e ϕ(
x)
ρ
(Bloch
bølgefunktion) giver:
ρ ρ ρ
ψ ( x)
= ψ ( x + C)
⇔
ρ ρ ρ
ρ
ikx
ρ ρ ρ
ik
( x+
C ) ρ ρ
ψ ( x)
= e ϕ(
x)
= e ϕ(
x + C)
⇔
ρρ
ρ
ikx
ρ ρ ρ
ρρ
ik
( x+
C)
ρ
ρ ρ
ikC
e ϕ(
x)
= e ϕ(
x)
⇔ e = 1 ⇔ k ⋅C
= 2πq
hvor q∈Z. Ovenstående kvantisering af elektronens bølgetal k er illustreret ved de parallelle liner i
Figur 2-5.
Der gælder:
2πq
2π
( q + 1)
2πq
2π
cosθ kn C = 2πq
⇔ kn
= ⇔ kn+
1 − kn
= − =
cosθ
C
cosθ
C cosθ
C cosθ
C
8

hvor θ er vinklen mellem C og k. Afstanden mellem linierne i Figur 2-5 er altså givet ved ∆k =
2π/|C| = 2/d, hvor d er rørets diameter. Pga. kvantisering af energiniveauerne er kun bølgevektorer,
der ender på en af linierne på Figur 2-5 tilladte. Et SWNT er altså metallisk, hvis linierne i Figur
2-5 krydser et af K punkterne, hvor båndgabene er i kontakt. Generelt gælder, at et SWNT er
metallisk hvis[4]:
( n m)
= 3p
− , hvor p∈Z (2.6)
2.4.1 1D-dispersionsrelation for armchair type kulstofnanorør
For et nanorør af armchair type gælder C=(n,n). Chiralitetsvektoren C er parallel med kx, altså er
det i denne retning kvantiseringen af energiniveauerne opstår. Rørets akse peger i y-aksens retning.
Indsættes dette i (2.4):
⎛ 3 3 ⎞
k x ⋅C = 2π
q ⇔ nk ⎜ x a a⎟
⎜
+ = 2πq
⇔ k x =
2 2 ⎟
⎝
⎠
ρ ρ
E
armchair
⎜
⎝
k a
2 ⎟
⎠
( ) ⎟ ⎛ πq
⎞ ⎛ y ⎞
2⎛
y ⎞
k = ± γ 1+
4cos⎜
⎟cos⎜
⎟ + 4cos
⎜
y
1
Når Earmchair = 0 så er båndgabet lig med 0, og røret er metallisk.
E
armchair
⎝
n
⎠
2πq
, (q = 1, . . . , 2n)
3na
⎜
⎝
k a
2 ⎠
⎛ πq
⎞ ⎛ k ya
⎞
2 ⎛ k ya
⎞
= 0 ⇔ 1+
4cos⎜
⎟cos
⎜ + 4cos
= 0 ⇔ 1+
4 + 4
2 ⎟
⎜
2 ⎟ Cx x
⎝ n ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
hvor C=cos(πq/n) og x=cos(kya/2). Så –1 ≤ C ≤ 1 og diskriminanten er givet ved
D = 16C 2 –16 = 16(C 2 –1), altså er der netop en løsning til (2.7) når:
⎛ πq
⎞
C = ± 1 ⇔ cos⎜
⎟ = ± 1 ⇔ q = n ∨ q = 2n
⎝ n ⎠
Et armchair-SWNT er altså, i overensstemmelse med (2.6) altid metallisk, da det fremgår af (2.7) at
der er kontakt mellem valensbåndet og ledningsbåndet to steder nemlig ved 4 ky = ±2π/(3a).
2.4.2 1D-dispersionsrelation for zigzag type kulstofnanorør
For et nanorør af zigzag type gælder C=(n,0). Pga. af 60 graders rotationssymmetri i bikubegitteret
kan ky betragtes som parallel med C, altså er det i retning af ky, at kvantiseringen af
energiniveauerne opstår. Rørets akse peger altså i x-aksens retning.
4 Grænserne af den 1-dimensionelle første Brillouinzone for hhv. et armchair og zigzag type nanorør er
k = ± π / a og k = ± π /( 3a)
[3].
2
= 0
(2.7)
9

For et nanorør af zigzag type gælder C=(n,0)
Indsættes dette i (2.4):
⎛ a ⎞
4πq
⋅C = 2 πq
⇔ nk y ⎜ ⎟ = 2πq
⇔ k =
⎝ 2 ⎠
na
ρ ρ
k y
y
E
zigzag
⎛
⎛ 2πq
⎞
⎛ 2πq
⎞
( ) ⎜ x
2
k
⎟
x = ± γ 1 1+
4cos
⎜ ⎟
cos⎜
⎟ + 4cos
⎜ ⎟
2 n ⎝ n ⎠
⎝
3k
a ⎞
⎠
⎛
E 0 1 4cos⎜
zigzag = ⇔ +
⎜
⎝
3k
⎞ xa
⎟ ⎛ 2πq
⎞
2 ⎛ 2πq
⎞
cos⎜
⎟ + 4cos
⎜ ⎟ = 0
2 ⎟
⎠ ⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠
⎛
⇔ cos⎜
⎜
⎝
2 ⎛ 2πq
⎞
− ( 4cos
⎜ ⎟ + 1)
3k
⎞ xa
⎟ =
⎝ n ⎠
2 ⎟
⎠ ⎛ 2πq
⎞
4cos⎜
⎟
⎝ n ⎠
(2.8)
Højresiden af (2.8) er numerisk større end eller lig med 1. Venstresiden opfylder kun dette for netop
en kx værdi inden for første brillouinzone 3 , nemlig kx = 0.
2⎛
2πq
⎞
− ( 4cos
⎜ ⎟ + 1)
⎝ n ⎠ 2πq
⎧ 2π
4π
8π
10π
⎫
k x = 0 ⇔ 1 =
⇔= = ⎨±
, ± , ± , ± ⎬ (2.9)
⎛ 2πq
⎞ n ⎩ 3 3 3 3
4cos
⎭
⎜ ⎟
⎝ n ⎠
idet q={1,..,2n}. Da q∈Z og n∈Z er den eneste løsning til (2.9) n = 3q. Et zigzag-SWNT er altså, i
overensstemmelse med (2.6) kun metallisk, hvis n er delelig med 3, hvor der i givet fald er kontakt
mellem båndene ved kx = 0.
2.5 Coulomb blokade
Følgende afsnit er skrevet på baggrund af [5] og desuden med inspiration hentet fra [6,7,8,9]. Vi har
valgt at give en overordnet behandling af emnet, som kvalitativt sætter os i stand til at forstå, hvad
der sker og kvantitativt giver os muligheder for at bestemme visse vigtige størrelser.
Coulomb blokade er en effekt, der opstår i små elektrisk ledende objekter, når den energi, det
kræver at tilføre en elektron til objektet, er større end elektronens energi. Ved lave temperaturer
resulterer det i et diskret spektrum af Coulomb blokade peaks i konduktans som funktion af
gatespænding.
⎝
⎠
10

Det elektriske ækvivalensdiagram på Figur 2-10 viser den opstilling, teorien er baseret på. Et
nanorør forbundet til source og drain elektroder. Kontakten til nanorøret ved source og drain er
karakteriseret ved en kontaktmodstand Rs/Rd og kapacitanserne Cs/Cd. Biasspændingen Vbias
påtrykkes over source og drain og strømmen I måles. Desuden varieres gatespændingen og denne
kobler gennem kapacitancen Cg til nanorøret.
Figur 2-10 Ækvivalens diagram for en
kvanteprik med source og drain kontakter
karakteriseret ved en modstand R og en
kapacitans C. Gatespændingen kobler
gennem kapacitansen til nanorøret [5].
Figur 2-11 Skematisk diagram af en kvanteprik (midten)
med diskrete energiniveauer, der er isoleret fra source og
drain ved to tunnelbarrierer, svarende til
kontaktmodstandene. A) Coulomb blokade: additions
energien Ec+∆E optræder som et gab over højeste fyldte
energiniveau. B) Enkelt elektron transport:
Gatespændingen er indstillet sådan at µs > µprik > µd,
hvilket tillader transport af en elektron fra source til
kvanteprik. C) Elektronen på kvanteprikken kan
transporteres til drain.
Kvantemekanisk kan systemet beskrives som en potentialebrønd der kobler svagt til source-drain
elektron reservoirerne gennem tunnelbarrierer, dette system kaldes en kvanteprik 5 , Figur 2-11. Den
endelige størrelse af kvanteprikken giver grænsebetingelser, der resulterer i et diskret enkelt partikel
energi spektrum.
Ved temperaturen T = 0K har en kvanteprik med N elektroner grundtilstandsenergien F. F består af
den elektrostatiske energi U, samt energibidragene fra de enkelte elektroner Ei:
F(
N)
= U ( N)
+
N
∑ Ei
i=
1
hvor Ei måles fra bunden af potentialebrønden, Figur 2-11. U(N) er den elektrostatiske energi, det
kræver, at tilføre ladningen Q til kvanteprikken. Q består af et diskret bidrag, der stammer fra
elektroner, der kan tunnelere til og fra kvanteprikken –e(N-N0), hvor N0 er antallet af elektroner ved
Vg=0 og et bidrag Q0 der induceres kontinuert gennem kapacitancen. Hvis der at opereres med lille
source-drain bias, kan der ses bort fra ladning induceret af source og drain. Altså Q0=-VgCg, hvilket
giver:
( 0
Q = −e
N − N ) −V
gCg
Hvis det antages, at den elektrostatiske energi kan beskrives klassisk, fås følgende udtryk:
5 Ordet kvanteprik bruges som oversættelse af det engelske quantum dot, se eksempelvis [5,7].
11

2
Q ( −e(
N − N 0 ) −V
U ( N)
= =
2C
2C
g
C
hvor C er den totale kapacitans af kvanteprikken C = Cs + Cd + Cg.
Energien der kræves for at tilføre en elektron, er givet ved det elektrokemiske potentiale µprik:
µ
prik
( N)
= F(
N)
− F(
N −1)
1
=
2C
g
)
2
2
2
[ ( −e(
N − N ) −V
C ) − ( −e(
N −1
− N ) −V
C ) ]
2
e
= ( N − N
C
0
0
−1
2)
g
g
C g
+ e V
C
hvor de første to led udgør det elektrostatiske potential ΦN af kvanteprikken og det sidste er
energibidraget fra den N’te elektron. Det ses at det elektrostatiske potential ΦN er afhængigt af
gatespændingen Vg.
Hvis der tilføres en elektron til kvanteprikken ses at det elektrokemiske potential µprik ændres.
Størrelsen hvormed det ændres kaldes additionsenergien Eadd:
E = µ ( N + 1)
− µ
add
prik
2
e
= ( N + 1−
N
C
2
e
= + ( E
C
N + 1
0
− E
−1
N
prik
( N)
2)
) = E
Cg
− e V
C
c
+ ∆E
g
N + 1
g
+ E
+ E
N
N + 1
0
2 ⎛ e
− ⎜ ( N − N
⎝ C
0
g
−1
g
2)
+
N
∑
i=
1
E
Cg
− e V
C
hvor opladningsenergien Ec er den energi, som det elektrostatiske potentiale ændres med, når der
tilføres en elektron til kvanteprikken. Heraf ses det, at for en kvanteprik med lille kapacitans C fås
stor opladningsenergi Ec, således at der skabes en energibarriere.
På Figur 2-11A forhindrer additionsenergi gabet elektroner i at tunnelere over på kvanteprikken.
Ved at ændre gatespændingen ændres den inducerede ladning af kvanteprikken og dermed det
elektrostatiske potentiale ΦN. På Figur 2-11B er det elektrostatiske potentiale ændret således, at
µprik(N+1) er placeret mellem µs og µd. Dette tillader nu, at en elektron tunnelerer fra source til
kvanteprikken. Hermed ændres µprik(N) med Eadd til µprik(N+1). Fra kvanteprikken kan der nu
tunnelere en elektron til drain Figur 2-11C.
Resultatet af denne proces er transport af en elektron fra
source til drain, og gentages dette, giver det udslag i en endelig konduktans ved diskrete værdier for
Vg. Der opstår en peak hver gang µs > µprik > µd, og det sker når gatespændingen ændres med:
∆V
g
= E
add
C
eC
e
C
C
C
∆E
=
e
e
C
∆E
+
α ⋅e
hvor α = Cg/C < 1 beskriver graden af kobling til gaten.
g
=
g
+
g
g
i
g
−
N −1
∑
i=
1
+ E
N
E
⎞
⎟
⎠
i
12

I tilfælde af spin udartning af enkelt elektron energiniveauerne:
∆E
er ∆ Vg
givet ved:
∆V
N + 1
g
⎧0
= ⎨
⎩∆E
⎧ e
⎪
Cg
= ⎨
⎪ e
⎪
⎩C
g
N+
1
∆E
+
α ⋅e
for N ulige
for N lige
for N ulige
for N lige
Hver gang en elektron skal tilføres kvanteprikken, skal energien Ec tilføres, hvorimod det kun er
hver anden gang, at energien ∆EN+1 også skal tilføres. Dette er muligt at observere eksperimentelt.
(2.10)
For at det skal være muligt at for at observere Coulomb blokader, skal elektronerne være
lokaliserede i en sådan grad, at elektronantallet N er et veldefineret heltal. Umiddelbart skulle man
tro, at eftersom elektronerne er ladningskvantiserede, vil de også være lokaliserede. Men
elektronernes bølgefunktioner i et nanorør strækker sig over mesoskopiske 6 afstande, så dette er
ikke nødvendigvis tilfældet for et lille volumen[6]. Det må kræves, at elektronerne ikke uden videre
kan tunnelere igennem kontaktbarriererne således at elektronantallet ikke fluktuerer. For at kunne
opnå dette på en simpel måde kræves det at tiden, det tager en elektron at tunnelere fra kontakterne
til kvanteprikken er så stor at usikkerheden i energi 7 bliver mindre end opladningsenergien Ec, altså
den energi det kræver at tilføre en elektron til kvanteprikken. Den typiske tid det tager at oplade
kvanteprikken er RC tiden, ∆t ≈ RC, hvor R er kontaktmodstanden, og C er kapacitansen af
nanorøret. Dvs. Ec > ∆E = h/∆t = h/(RC). Da Ec = e 2 /C bliver betingelsen for kontaktmodstanden R
> h/(EcC) = h/e 2 ≈ 25kΩ, hvilket er ækvivalent med en konduktans G < e 2 /h.
I ovenstående behandling af teorien ses der bort fra termiske effekter (dvs. T = 0 K), men Coulomb
blokade kan også observeres ved små temperaturer KBT < ∆EN+1, kaldet kvanteregimet. Her vil
elektron transporten foregå som beskrevet ovenfor gennem et enkelt-elektron niveau, men i stedet
for at konduktansen opfører sig som en deltafunktion, vil den bredes ud som følge af termiske
effekter. Der vil gælde ved full-width-at-half-maximum (FWHM) at bredden er givet ved [5,7]:
∆Vg FWHM ≈ 3,5kBT/(αe) (2.11)
I det klassiske regime af Coulomb blokade (∆EN+1 < KBT < Ec) vil bredden ved FWHM være givet
ved ∆Vg FWHM ≈ 4,4kBT/(αe)[5,7]. I det klassiske regime er den termiske energi af en
størrelsesorden, der gør, at elektrontransporten vil foregå gennem flere enkelt elektron
energiniveauer. Højden af en Coulomb peak er proportional med 1/T [5,7].
6 Meso betyder mellem[10]. Det mesoskopiske område er området mellem mikroskopisk og makroskopisk.
∆t
⋅ ∆E
< h
7 .
13

3 Beskrivelse af eksperimentelle opstillinger
I dette kapitel gennemgås i hovedtræk de forskellige målinger, der er blevet foretaget. Først
indledes med en detaljeret beskrivelse af de enkelte forsøgsopstillinger, med tilhørende definitioner
af forskellige termer.
3.1 Chemical Vapor Deposition (CVD)
CVD er en metode til fremstilling af nanorør, der bygger på kulstofdeponering på et
katalysatormateriale [11]. Som katalysator kan anvendes et jernsalt (eksempelvis jernnitrat
Fe(NO3)3⋅9H20), da jern har høj opløselighed af kulstof, og som kulstofkilde methan (CH4).
8
Jernnitratet påføres en siliciumwafer , hvorefter det opvarmes
i en ovn ved en temperatur omkring
900° C, samtidig med at der ledes en atmosfære af brint (H2) og methan
ind gennem ovnen. Når
methanen kommer i kontakt med jernpartiklerne, som er i en størrelsesorden, der er bestemmende
for nanorørets diameter, dissocieres det i kulstof (C) og brint. Kulstoffet optages i jernet, der på et
tidspunkt går i mætning, hvorefter kulstofatomer udskilles på overfladen som et nanorør.
3.2 Pådampning af elektriske kontakter
I dette projekt har vi ikke selv fremstillet de prøver, der ligger til grund for de videre undersøgelser.
Det efterfølgende vil derfor være en overordnet gennemgang af hvorledes dette gøres. Efter CVDprocessen
vil siliciumwaferen have en given koncentration af nanorør pr. areal. Der påføres
elektriske kontakter til nanorørene ved hjælp af en litografisk proces, hvor der først påføres et tyndt
lag akryl (såkaldt resist), der hærdes ved en bagning. Herefter brændes det ønskede
elektrodemønstre ned i resisten med en fokuseret elektronstråle fra et Scanning Electron
Microscope (SEM). Det brændte akryl fjernes med en opløsningsvæske. Dernæst pådampes et
guldlag over hele prøvens overflade, det vil sige både over
resisten, såvel som det blotlagte SiO2 mønster. Guldet binder til
begge overflader, men resisten kan opløses af acetone, hvorfor
kun det guld, der bandt til SiO2, bliver tilbage i det ønskede
elektrodemønster. Ovenstående proces danner nu den direkte
kontakt til nanorørene. Afstanden mellem to guldelektroder kaldes
et gab. Disse guldelektroder er så små, at elektrisk kontakt kun er
mulig, hvis der pådampes større guldkontakter, disse fremstilles
vha. optisk litografi. Princippet bag den optiske proces er, som
beskrevet ved elektronlitografien blot, at der her anvendes en
Figur 3-1 5x forstørrelse af
kontaktmønster.
skyggemaske til at lave mønsteret, og resisten hærdes med UV
lys. På Figur 3-1 ses et optisk billede af en prøve.
8
Standard plade bestående af et lag ledende Si, og et lag isolerende SiO2 på 355 nm. Se evt. Figur 3-6.
14

3.3 Probestation
For at danne et førstehåndsoverblik over hvilke gab, der på en given prøve er interessante for videre
undersøgelse, anvendes en opstilling som vist på Figur 3-2.
Probestationen giver mulighed for at
måle modstanden i et gab. Hvis gabet er kortsluttet (Rp= 0 Ω) måles en modstand på 100 kΩ. Hvis
der ingen rør er i gabet (Rp = ∞ Ω), måles en modstand på 200 kΩ. Eller hvis der er en ukendt
forbindelse af metalliske og halvledende rør, hvilket vil give en visning mellem 100 kΩ og 200 kΩ.
Figur 3-2 Principdiagram for probestation. a,b)
prober, c) mikroskop, d) prøve.
Når en prøve er placeret og fikseret under
mikroskopet, er det ved hjælp af proberne muligt at
måle modstanden imellem et af de syv gab. Det
foregår ved, at man i mikroskopet finder det
ønskede gab, hvorefter proberne forsigtigt
nedsænkes på guldkontakterne, modstanden
aflæses herefter på ohmmeteret. Det er vigtigt at
både opstilling og personen, der udfører målingen,
er forbundet til et fælles jordpunkt, da prøven er
følsom over for eventuel opbygget statisk
elektricitet.
Den målte modstand Rm vil ikke være prøvens modstand Rp, men en forbindelse af R1 i serie med
R2 parallel med Rp. Den faktiske værdi for Rp udregnes som:
−1
⎛ 1 1 ⎞
R =
⎜ −
⎟
(4.1)
p
⎝ Rm
− R1
R2
⎠
3.4 Ætsning
Ønsker man frit hængende nanorør, er det nødvendigt at fjerne noget af det SiO2 de ligger oven på.
Dette kan gøres ved at ætse med flussyre (HF), der kan nedbryde SiO2 uden at beskadige nanorør
eller guldkontakter. Proceduren er, at man kender ætsehastigheden af den anvendte HFkoncentration,
hvorefter man neddypper prøven i et tidsrum der svarer til det lag der ønskes fjernet.
Derefter skylles prøven i millipore vand og isopropylalkohol (IPA), for til sidst at lufttørre. Nogle af
de problemer, der kan opstå, er blandt andet: det pådampede guld ikke sidder godt nok fast på
siliciumdioxidoverfladen, således der kan trænge syre ind, hvilket kan få guldet til at falde af under
afsyringen. Man kan også komme til at fjerne for meget af det isolerende SiO2 hvilket vil medføre
lækstrømme fra gaten ved senere elektriske målinger. Der er også mulighed for at man ikke kan
ætse dybt nok til, at nanorørerne kommer til at hænge frit.
3.5 Bonding
For at gøre det muligt at lave elektriske målinger på kulstofnanorør, skal prøven monteres på en
prøveholder, og de enkelte gab skal forbindes via guldtråde til benene på prøveholderen. Dette
15

forgår vha. en bonding maskine 9 . Først limes prøven på en prøveholder med elektrisk ledende
sølvlim, som danner basis for nanorørets gate, herefter kan selve bondingen ske. Udover forbindelse
af de ønskede prøvegab til ben på prøveholderen, skal sølvlimen forbindes til et af prøveholderens
ben, så der kan dannes elektrisk forbindelse til gaten, Figur B-3.
3.6 Atomic Force Microscope (AFM)
Et AFM tilhører en gruppe af instrumenter der under et kaldes Scanning Probe Microscopes (SPM).
Det generelle princip for disse instrumenter er, at de alle består af en meget skarp spids (få
mikrometer lang, og ofte mindre end 100 Å i diameter), der er monteret på en fjedrende arm. Når
mikroskopet ”tager billeder”, skanner denne spids få nanometer fra den overflade, man ønsker at se
på. Påvirkning fra overfladen vil få spidsen og dermed armen til at afbøjes som en funktion af
positionen. Via et optisk detektorsystem er det muligt at generere et topografisk billede af den
skannede overflade. Specielt for et AFM gælder, at overfladens/materialets elektriske egenskaber
ikke influerer på det optagede billede.
Den dominerende kraft i et AFM er van der Waal kraften mellem spids og prøve. Prøven vil, når
spidsen nærmer sig overfladen, først virke tiltrækkende indtil en given afstand, dernæst frastødende.
Denne ændring vil optræde når atomerne i spids hhv. overflade er så tæt på hinanden, at deres
respektive elektronskyer begynder at overlappe. Herudover vil den fjederarm, hvorpå spidsen er
monteret, besidde en fjederkraft, der udbalancerer van der Waal kraften.
Aflæsningen af fjederarmens lodrette bevægelse som en funktion af positionen foregår optisk. En
laser sendes via et spejl ned på fjederarmen, hvorfra den reflekteres til en fotodetektor.
Fotodetektoren er opdelt i fire lige store felter, som gør det muligt at se en ændring i den
reflekterede stråles position, Figur 3-3.
Fjederarmens og spidsens position kontrolleres af et arrangement af piezoelektriske elementer, et til
hhv. x, y, og z retningen. Disse elementer muliggør de meget små længdeændringer der er
nødvendig for at opnå et skanningsbillede. Elementerne ændre længde som en funktion af en
påtrykt spænding, et typisk arbejdsområde er 1 Å/V – 3000 Å/V.
De to hovedmåder hvorpå man kan optage data med AFM’et er contactmode (CM) og noncontactmode
(NCM). Ved CM skanning, er spidsen så tæt på at elektronerne fra spidse frastødes af
elektronerne i overfladens atomer. For NCM gælder, at fjederarmen ved hjælp af et piezoelektrisk
element sættes til at svinge med sin egenfrekvens. Når spidsen nærmer sig overfladen, vil
dæmpningen fra van der Waal kraften lede til et fald i egenfrekvens, som feedback-løkken kan
bruge som en parameter til at hæve spidsen til den oprindelige værdi af egenfrekvensen igen er
opnået. Tilsvarende kan man vælge at bruge amplitudedæmpning som feedback-signal. I dette
projekt er kun anvendt frekvensdæmpning.
På Figur 3-4 ses et principdiagram over AFM opstillingen. Opstillingen består af en Electronic
Control Unit (ECU), der udover at fungerer som elektrisk forsyning til AFM’et også virker som
analog/digital konverter (A/D), således at de analoge signaler fra AFM’et (bl.a. fra de
9 Se appendiks B Figur B-2.
16

piezoelektriske x,y,z kontrol elementer) omsættes til digitale signaler til brug for PC’ens program
og vice versa. Pilene på figuren viser signalvejene.
Figur 3-3 Principskitse af AFM.
3.7 Elektrisk måleopstilling
Figur 3-4 Principdiagram over AFM
opstilling.
Samme grundlæggende måleopstilling anvendtes til forsøg, der vedrørte forskellige elektriske
målinger på nanorør herunder eksempelvis nanorørets evne til at optræde som field effect transistor
(FET) samt målinger af Coulomb blokader. I det efterfølgende henvises til Figur 3-5. Der tages
udgangspunkt i I/O enheden, der muliggør udsendelse og modtagelse af spændingssignaler. I/O
enheden styres af en PC, hvor et program angiver/genererer de ønskede signalværdier. I serie med
gatesignalet er en 20 MΩ modstand for at begrænse gatestrømmen. Efter I/O enheden deles
spændingssignalet af en trinvis variabel modstand. Vedrørende måden hvorpå nanorøret faktisk
er
koblet til denne spændingsdeler henvises til Figur B-3. En prøveholder kan monteres i en soklen,
der via en termisk isoleret stang står i forbindelse med et arrangement af BNC (Bayonet Neill-
Concelman) stik, denne komponent benævnes en dipstick. Det er således via dette system muligt
at
koble nanorørets ene ende, der fungerer som source, samt en gate til den føromtalte spændingsdeler.
Nanorørets anden ende fungerer nu som
drain, dvs. her hvor det af gaten påvirkede
source signal forlader nanorøret
r
lvej,
ler
under
10 . Dette
signal forstærkes og sendes via en optokoble
tilbage til I/O enheden. Optokoblerens
funktion er at bryde den elektriske signa
så udefrakommende elektriske støjsigna
ikke optages i kredsen som i en antenne. For
yderligere at isolere systemet elektrisk får
optokobleren spænding fra en akkumulator.
Signalerne logges og bearbejdes i den før
Figur 3-5 Principdiagram over elektrisk
omtalte PC.
måleopstilling.
Ønsker man at måle på nanorøret
10 Vi har som konvention vedtaget at benævne et gab med tallet på den guldkontakt, der var koblet som source efterfulgt
af tallet på kontakten der var koblet som drain (eks. Gab 6-2, source=kontakt 6, drain=kontakt 2).
17

nedkøling, nedsænkes dipsticken gradvist i en tilpasset beholder med flydende helium. I dipsticken
er der monteret en termoføler som afgiver et temperaturafhængigt spændingssignal, der via
en
kalibreringstabel kan omsættes til en temperatur.
3.8 Beskrivelse af prøver
Som udgangspunkt fik vi udleveret fire prøver, med hver især 7 gab (Neil29_6, Neil29_7, Neil29_8
og Chip9). Alle fire prøver bestod af 355 nm SiO2 lag oven på et silicium lag. På SiO2 laget var der
dyrket kulstofnanorør vha. CVD-metode. Oven på nanorørene var der pådampet
guldkontaktmønstre efter såkaldt metal på rør metode [5], Figur 3-6.
Figur 3-6 Tværsnit af et gab. Nanorøret
ligger på SiO2 laget og guldkontakterne er
pådampet over røret.
På chip9 var der i forvejen ætset ca. 130 nm af SiO2
laget væk, på Neil29_8 ætsede vi ca. 180 nm af SiO2
laget væk med flussyre.
To af prøverne, nemlig Neil29_7 og Neil29_6 kunne
ikke bondes, da de tidligere havde været udsat for
høj varme. På baggrund af probing (Tabel 3-2),
bondede vi på Chip9 og Neil29_8 til gabene
beskrevet i Tabel 3-1.
De aktuelle gab på hhv. Chip9 og Neil29_8 blev undersøgt vha. af non-contact mode AFM, for at få
et overblik over hvilke gab der indeholdt et eller flere nanorør og i givet fald bestemme deres
diameter og længde. Ingen af prøverne indeholdt hængende kulstofnanorør.
Vi besluttede ud fra AFM billeder og probing hvilke gab, der skulle laves elektriske undersøgelser
på. Der blev kun optaget 1 elektrisk måleserie på Neil29_8 ved stuetemperatur, da der undervejs
tilsyneladende opstod en strømlæk til gaten. Derfor er majoriteten af vores elektriske målinger
optaget på chip9.
Neil29_8 Chip9
Gab 3-4 Gab 6-2
Gab 2-5 Gab 1-6
Gab 5-3 Gab 7-1
Gab 6-2 Gab 8-7
Tabel 3-1 Bonding af gab.
Neil29_8 Chip9
Gab Rm[kΩ] Rp[kΩ] Rm[kΩ] Rp[kΩ]
8-7 150 98 200 afbrudt
7-1 200 afbrudt 144 78
1-6 100 0 164 181
6-2 124 32 149 95
2-5 150 100 200 afbrudt
5-3 150 100 200 afbrudt
3-4 100 0 200 afbrudt
Tabel 3-2 Proberesultat af gab. Rp er beregnet ud
fra formel (3.1).
3.8.1 Neil29_8
Figur 3-7 viser gab 5-2, på billedet kan ses de to guldkontakter, hvor i mellem der ligger adskillige
nanorør. Bredden af gabet er ca. 300 nm. Figur 3-7 er et differentielbillede, der viser ændringer i
18

højden. Det tilsvarende topografibillede viser, at alle rørene ligger på overfladen af SiO2 laget. Gab
5-3 var for smalt til at AFM-spidsen kunne komme ned i det, hvilket gjorde det umuligt at
konstatere hvad der befandt sig i gabet.
Figur 3-7 Neil29_8 Gab5-2. Billedet er taget
efter ætsning.
3.8.2 Chip9
I gab 7-1 ligger et enkelt rør (se Figur 3-9),
som vi har målt til at være ca. 2 nm i diameter, bestemt
ud fra højdeprofil af et AFM-topografibillede (ikke vist). I gab 6-2 ligger mindst 2 rør, som vi har
målt til at være ca. 2,5 nm I diameter. Gab 7-1 er ca. 300 nm bredt, og gab 6-2 er ca. 330 nm bredt. I
hverken gab7-1 eller gab 6-2 var der hængende nanorør, alle nanorør lå altså direkte oven på SiO2
laget. Det var ikke muligt at konstatere nanorør i gab 1-6.
Figur 3-9 Chip9 Gab7-1. AFM
differentialbillede, som viser det enkelte
nanorør der ligger i gab 7-1. Indsat er en
højdeprofil af samme rør, lavet fra et AFM
topografibillede (ikke afbildet).
3.9 NanoFET
Figur 3-10 En NanoFET virker som en Field Effekt
Transistor. 1) I p-type regionen induceres huller på
røret vha. negativ gatespænding. 2) I n-type regionen
induceres der elektroner vha. positiv gatespændning.
Figur 3-8 Chip9 Gab6-2. AFM differetialbillede, i
dette gab ligger mindst to rør. De to rør på billedet
har en diameter på ca. 2,5 mm.
En NanoFET er et halvledende nanorør
tilsluttet mellem source og drain elektroder og
virker ved, at der induceres ladningsbærere på
røret vha. af et elektrisk felt, som påtrykkes
gaten. En NanoFET er ambipolar som følge af
intrinsiske halvleder egenskaber[15]. I p-type
regionen er huller ladningsbærere, påtrykkes
der en negativ spænding på gaten, induceres
der huller på røret og det bliver ledende, Figur
3-10. For n-type regionen er elektroner
ladningsbærere og derfor er røret ledende ved
positiv gatespænding.
19

4 Observationer og analyse
Det følgende afsnit indeholder vores måleresultater. Under nedkøling af prøverne målte vi
ledningsevnen som funktion af gatespændingen ved fastholdt biasspænding på 0,5mV. For at kunne
observere Coulomb blokader er biasspændingen valgt således at elektronens energi er mindre end
Ec og ∆E. Vi foretog målinger ved 5 forskellige temperaturer. I det følgende redegøres for vores
observationer.
Om et rør er halvledende eller metallisk, kan afgøres ved at plotte rørets ledningsevne som funktion
af gatespænding ved stuetemperatur. Hvis ledningsevnen er afhængig af gatespændingen, er røret
halvledende, er røret derimod metallisk, er ledningsevnen ikke afhængig af gatespændingen, Figur
4-1.
G [e²/h]
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
Vg [V]
0,14
0,12
0,10
0,08
0,06
0,04
0,02
0,00
-7 -5 -3 -1 1 3 5 7
4.1 Nedkølingskarakteristikker
G [e²/h]
0,16
0,14
0,12
0,10
0,08
0,06
0,04
0,02
0,00
G [e²/h]
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
Vg [V]
Figur 4-2 Nedkølingskarakteristikker for gab 1-7. Optaget med Vbias = 0,5mV.
Vg [V]
290K
110K
38K
18K
4K
Figur 4-1 Ledningsevne som funktion af
gatespændning ved stuetemperatur. Til venstre:
Neil29-8 gab 5-3 er metallisk, da ledningsevnen
ikke er afhængig af gatespændingen. Til højre:
Chip9 gab 7-1 er halvledende.
Figur 4-2 viser ledningsevnen af gab 1-7 som funktion af gatespændingen. Ved stuetemperatur
udviser gabet transistor karakteristik, der langsomt nedtones til at gå over i enkelt elektron transport.
Der er ikke en tydelig periode i de Coulomb peaks, der observeres.
20

G [e²/h]
0,60
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
Vg [V]
Figur 4-3 Nedkølings karakteristik for gab 2-6. Optaget med Vbias = 0,5mV.
På Figur 4-3 ses det, at gab 2-6 udviser en ambipolar transistor karakteristik. For Vg < -3,5 V ses
(akkumulering) hul transport, hvilket svarer til en p-type halvleder. Dette efterfølges af et isolerende
område, der skifter til inversion (elektron transport) for Vg > 2,5 V, dette svarer til en n-type
halvleder. Den ambipolare egenskab fremkommer ifølge [15] for nanorør med diametre i størrelsen
3-5 nm, og stammer fra intrinsiske halvleder egenskaber. Afstanden mellem p- og n-type del er et
mål for båndgabet og er omvendt proportional med nanorørets diameter. Det betyder at man vil
forvente at se en ambipolar karakteristik for gab 1-7, hvis man går til høj nok gatespænding.
Ledningsevnen er væsentligt højere end gab 1-7, hvilket kan skyldes lavere kontaktmodstand,
Tabel 3-2.
Vi observerede særdeles kraftige Coulomb peaks med kortere periode ved negativ
gatespænding og mere moderate Coulomb peaks ved positiv gatespænding med længere periode.
G [e²/h]
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
0,00
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
Vg [V]
Figur 4-4 Nedkølings karakteristik for gab 1-6. Optaget med Vbias = 0,5mV.
Figur 4-4 viser at ledningsevnen for røret i gab 1-6 fryser ud, hvilket kan skyldes kontakten mellem
rør og guldelektroder brydes under nedkøling.
290K
110K
38K
18K
9K
290K
110K
38K
18K
4K
21

4.2 Hysterese
Det fremgår af Figur 4-5 at åbnespændningen 11 (VÅ) for det halvledende rør afhænger af, om
G [e²/h]
0,14
0,12
0,10
0,08
0,06
0,04
0,02
Op
Ned
0,00
-7 -5 -3 -1 1 3 5 7
Vg [V]
Figur 4-5 Chip9 Gab 7-1. Ledningsevne som funktion af
gatespændning ved stuetemperatur. Røret i dette gab er tydeligvis
halvledende, da ledningsevnen er afhængig af gatespændingen. I dette
spændningsvindue fungerer røret som en p-type FET, da det er
ledende ved negativ gatespændning. Indsat: hysterese som funktion af
temperatur.
Hysterese [V]
8
6
4
2
0
0 100 200 300
Temperatur [K]
gatespændningen varieres fra
negativ til positiv eller omvendt.
Der er altså en tydelig hysterese på
ca. 7 volt ved stuetemperatur.
Hysterese er en anerkendt effekt,
som menes at være en følge af
ophobning af ladninger i SiO2 laget
[12]. Vi observerede
temperaturafhængighed af
hysteresen, der aftog ved faldende
temperaturer. I helium atmosfære
viste der sig at være lineær
sammenhæng mellem temperatur og
hysterese, hvorimod den ene måling
taget ved stuetemperatur før
nedkøling i atmosfærisk luft falder
uden for denne sammenhæng, Figur
4-5.
At ladninger kan ophobes i SiO2 laget, forklares ifølge [12] ved, at det elektriske felt omkring røret
er stort som følge af rørets lille diameter, og dermed overstiger SiO2 lagets breakdown felt på ca.
0,25 V/nm. Elektroner kan så vandre ud SiO2 laget og blive derude, indtil gatespændningen vendes
[12]. Den lineære sammenhæng mellem hysterese og temperatur kan altså skyldes at ledningsevnen
for SiO2 er proportional med temperaturen.
Ud fra hældningen i det lineære område af kurverne i Figur 4-5 kan mobiliteten af røret beregnes 12 :
µop ≈ 2200 cm 2 /(Vs) og µned ≈ 1300 cm 2 /(Vs), til sammenligning har Silicium en mobillitet på ca.
450 cm 2 /(Vs). Mobillitet for de to skanretninger går mod den samme værdi ved faldende
temperaturer.
At mobilliteten ved stuetemperatur er afhængig af skanretning, kan hænge sammen med at
elektroner fanget i metastabile tilstande i SiO2 laget bidrager til mobilliteten, når der skannes i den
ene retning. Vi har undladt at bestemme mobiliteten for gab 6-2, da der er mere end et nanorør, og
da karakteristikken ikke giver mulighed for at måle transkonduktansen 12 på en veldefineret måde.
11 Åbnespændingen (VÅ) har vi defineret som den gatespændning, hvor ledningsevnen er ca. 10% af sit maksimum.
12 Mobilliteten er et mål for hvor hurtig en ladning i et materiale bevæger sig pr. enheds elektrisk felt. Mobilliteten kan
beregnes på følgende måde[12]: µ = (L 2 /Cg)dG/dVg, hvor L er rørets længde, Cg er kapaciteten til gaten og dG/dVg er
transkonduktansen.
22

4.3 Reproducerbarhed
G [e2/h]
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
0,00
-0,01
-7,7 -7,6 -7,5 -7,4 -7,3 -7,2 -7,1 -7
Figur 4-6 Reproducerbarhed: 2 målinger foretaget på samme område på gab 1-7.
Vg [V]
På Figur 4-6 ses samme område på gab 1-7 målt to gange for at vise at Coulomb blokaderne er
reproducerbare og at det ikke bare er tilfældig støj. Det ses desuden der er nulpunktsdrift, da vi har
målt negativ ledningsevne hvilket understreges af Figur 4-7, hvor man ser en måling, der er
foretaget over ca. 18 timer.
G [e2/h]
0,030
0,025
0,020
0,015
0,010
0,005
0,000
-0,005
-0,010
-8 -7,5 -7 -6,5 -6 -5,5 -5
Vg [V]
Figur 4-7 Gab 1-7. Måling foretaget over 18 timer, hvor man tydeligt ser driften af den elektriske måleopstilling.
4.4 Periodicitet
I dele af gab 6-2 ses områder med tydelig periodicitet, Figur 4-8. Afstanden mellem hver peak er
∆Vg ≈ 20 mV. På Figur 4-9 ses at ∆Vg alternerer mellem ca. 18 og 24 meV, dette er et udtryk for
spin udartning. Ud fra formel (2.10) kan man bestemme Cg, C, ∆E og Ec, hvis α kendes. Ved at
bestemme ∆Vg FWHM kan man udfra formel (2.11) udregne α ≈ 0,16. Dette giver Cg ≈ 8,7 aF,
C ≈ 54 aF, ∆E ≈ 1 meV og Ec ≈ 3 meV.
23

G [e²/h]
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
-3,84 -3,82 -3,8 -3,78 -3,76 -3,74 -3,72 -3,7 -3,68 -3,66
Vg [V]
Figur 4-8 Periodicitet af Coulomb peaks på Gab 6-2.
Vi kan nu prøve at sammenligne Ec og ∆E med simple vurderinger af deres størrelse baseret på
baggrund af geometrien af et nanorør [5,9]. Som mål for opladningsenergien Ec betragter vi
kapacitansen af et objekt med længde L omgivet af et dielektrika:
E
c
2 2
e e 5 meV
= ≈ ≈ ⇒ L ≈1,
7µ
m
C ε ε L L [ µ m]
Figur 4-9 ∆Vg mellem Coulomb peaks på Figur 4-8.
0
r
hvor εr ≈ 4, svarende til SiO2. Fra Ec har vi vurderet længden af nanorøret til 1,7 µm, dette er en del
større en de 330nm som fremgår af AFM billedet. Eftersom vi tidligere bestemte α ≈ 0,16, så er
længden af røret ikke nødvendigvis et godt mål for størrelsen af C.
30
25
20
15
10
5
0
0 2 4 6 8
4.5 Arealbevarelse
Figur 4-11 viser en enkelt Coulomb peak, ved 2 forskellige temperaturer. Arealet under de to kurver
afviger i forsøget med ca. 4%, altså i god overensstemmelse med tidligere resultater [9]. Alle 4
kurver i Figur 4-11 og Figur 4-10 befinder sig i kvanteregimet, da ∆E er bestemt til ca. 3 meV
svarende til ca. 35 K i termisk energi. Figur 4-10 viser en anden couloumbpeak på samme prøve.
24

18 K
4,2 K
-4,75 -4,73 -4,71 -4,69 -4,67
Vg [V]
Figur 4-11 Chip9 Gab7-1. En isoleret Coulomb
peak ved 2 temperaturer. Arealet under de to
kurver er tilnærmelsesvist ens (se tekst). Kurven
for målingen ved 4 K er niveauforskudt for at
kompensere for drift, således at den ligger oven i
18 K kurven.
12 K
6 K
-3,89 -3,88 -3,88 -3,87 -3,87 -3,86 -3,86 -3,85 -3,85 -3,84
Vg [V]
Peak højde [e²/h]
0,08
0,06
0,04
0,02
0,00
0 5 10 15 20
Temperatur [K]
Figur 4-10 Chip9 Gab7-1. En enkelt Coulomb
peak ved 2 temperaturer. Arealet under de to
kurver er tilnærmelsesvist ens (se tekst). Kurven
for målingen ved 6 K er niveauforskudt for at
kompensere for drift, således at den ligger oven i
12 K kurven.. Indsat er en kurve over peak-højde
som funktion af temperatur.
På Figur 4-10 kan ∆Vg FWHM (6 K) ≈ 9,3 mV aflæses, som ved indsættelse i formel (2.11) giver:
3,
5K
BT
α =
≈
FWHM
∆V
⋅e
g
0,
19
Det samme kan gøres for de andre kurver. Gennemsnittet udregnet på baggrund af de 4 kurver i
Figur 4-11 og Figur 4-10 giver α ≈ 0,17. I god overensstemmelse med α udregnet på baggrund af
diamantplot, se afsnit 4.7 Differentiel konduktans.
Den indsatte kurve i Figur 4-10 viser højden af den Coulomb peak som funktion af temperaturen.
De fire indsatte målepunkter er taget ved ca. 6,8,12 og 16 K. Den integnede tendenslinie er
proportional med T -0,81 , hvilket er tæt på den teoretiske 1/T afhænginghed [5,7,9].
4.6 I-V kurver
En I-V karakteristik viser strømmen som funktion af biasspændingen Vbias.
I [nA]
4,0
3,0
2,0
1,0
0,0
-1,0
-2,0
-3,0
-4,0
Vb
-20 -10 0 10 20
V-bias [mV]
Figur 4-12 Chip9 Gab7-1. I-V karakteristik
taget ved to forskellig gatespændninger (Va
og Vb, se Figur 4-13). Bemærk at for Va er
der en endelig hældning på grafen omkring
Vbias = 0V.
Va
I [nA]
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
Va
0,0
-5,80 -5,70 -5,60 -5,50
Vg [V]
-5,40 -5,30
Figur 4-13 Chip9 Gab7-1. Source-Drain strøm
som funktion af Vg, Vbias er 0,5 mV.
Forskydningen af nulniveauet er sandsynligvis
foresaget af nulpunktsdrift i den elektriske
opstilling, da ovenstående skan er taget i en
periode over ca. 3,5 timer.
Vb
25

Det fremgår af Figur 4-12 at der en endelig hældning på I-V karakteristikken omkring 0 V bias, for
punktet Va svarende til toppen af en Coulomb peak. Dette betyder at for små bias spændinger vil
der løbe en endelig strøm. Hvorimod Vb-kurven, der svarer til Coulomb blokade, er flad ved en lille
biasspænding, altså vil der ikke løbe nogen strøm. Det ses også at når man tilfører tilstrækkelig høj
bias spænding vil Coulomb blokaden blive overvundet.
4.7 Differentiel konduktans
Vbias [mV]
Figur 4-14 Differentielplot af gab 1-7 (Mørkere farve svarer til mere positiv differentiel konduktans). Peak afstanden
vurderes til ∆Vg ≈ 110 mV. Den maksimale biasspænding,
der skal til at overvinde Coulomb blokade, vurderes til
≈22 mV.
Vmaks
-20
-10
0
10
20
-5.80 -5.60 -5.40 -5.20 -5.00
Vg [V]
På Figur 4-14 ses et gråskala plot af den differentielle konduktans dI/dVbias som funktion af både
Vg
og Vbias. Figur
4-14 består af mange differentierede I-V karakteristikker som dem vist på Figur 4-12
optaget
ved efterfølgende gatespændinger. Den differentielle konduktans opnås ved at numerisk
differentiere de målte I-V kurver. Resultatet bliver en
såkaldt diamantstruktur
4.
13 , hvor centrum af hvert
kryds
svarer til en Coulomb peak, markeret A på Figur 4-1
Udenom disse Coulomb peaks er der lyse områder
inde i diamanterne, hvor der ingen strøm løber,
svarende til en Coulomb blokade markeret B på Figur
4-14.
Samtidig kan man observere enkelt-elektron
energiniveauer, Figur 4-15.
Figur 4-15 Udsnit af Figur 4-14. De sorte linier
svarer til positiv differential konduktans. Den
første A svarer til en Coulomb peak. De to
efterfølgende linier C,D svarer til en stigning i
ledningsevne der skyldes at endnu
en lednings
kanal bliver tilgængelig, Figur 4-16.
13 Ved lavere temperaturer end 4,2K ses dette langt tydeligere se eksempelvis [1,5]
På Figur 4-14 kan ∆Vg ≈ 110 mV og Vmaks ≈ 22
mV
bestemmes. Den maksimale
biasspænding
Vmaks kan
se
Ec. Dette giver α ≈ 0,20, C ≈ 7 aF og Cg ≈ 1,5 aF.
Kapacitansen for nanorøret over gab1-7 er væsentligt
mindre end for gab 6-2, hvilket kan indikere at vi har
at gøre med et kortere rør. Hvis vi som tidligere
betragter kapacitansen af et objekt med længde L
s som udtryk for opladningsenergien eVmaks = Eadd ≈
26

omgivet af et dielektrika som mål for opladningsenergien Ec:
E
c
e 2 2
e 5 meV
= ≈ ≈ ⇒ L ≈ 230 nm
C ε ε L L [ µ m]
0
r
får vi længden af nanorøret til omkring 230 nm, hvilket er tæt på 300 nm som vi har målt i AFM. På
Figur
4-15 kan man bestemme ∆E ≈ 3 meV for første overgang og ∆E ≈ 4 meV for anden overgang.
Figur 4-16 Skematisk energi niveau diagram svarende tilFigur 4-15. A) Ved en Coulomb
peak hvor der foregår enkelt elektron transport (Vbias≈ 0). B) Mellem Coulomb peaks
hvor enkelt elektron transport er blokeret (Vbias≈ 0). C) Ved en stor biasspænding
der
tillader transport gennem første enkelt-elektron energiniveau. D) Ved en større
biasspænding der tillader transport gennem både første og andet enkelt elektron
energiniveau [8].
4.8 Adsorption af O 2
G [e²/h]
0,50
0,45
0,40
0,35
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
Vg [V]
Figur 4-17 Gab 2-6. Måling ved 38 K. Det observeres at Coulomb blokader allerede optræder ved positiv gatespænding
i modsætning til negativ gatespænding.
Det fremgår af Figur 4-17, at der er en cirka tre gange større konduktans i p-type delen end i n-type
delen. Det er forslået at denne forskel
skyldes dotering ved O2 adsorption [15], da ilt er meget
elektronegativt vil det tiltrække
elektroner og på den måde fungere som et hul.
27

G [e²/h]
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
-3,84 -3,79 -3,74 -3,69
Vg [V]
G [e²/h]
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
0,00
4,4 4,5 4,6 4,7 4,8
Vg [V]
4,9 5,0 5,1 5,2
Figur 4-18 Gab 6-2. Ledningsevne som funktion af gatespænding ved 4,2 K. Til venstre p-type delen. Til højre n-type
delen.
Af Figur 4-18 fremgår det at ∆Vg ≈ 20 mV i p-type delen, hvorimod ∆Vg ≈ 100 mV i n-type delen.
Af Figur 4-17 observeres Coulomb blokader ved 38 K i n-type delen, men ikke i p-type delen. Dette
indikerer en større Ec, for n-type delen end for p-type delen, da Coulomb blokader kan observeres
når kBT < Ec. Dette er i overensstemmelse med at ∆Vg er større i n-type delen end i p-type delen. I
[17] beskrives et nanorør, der opfører sig på tilsvarende vis og dette bliver forklaret ved at der i ntype
delen bliver dannet en lille p-type kvanteprik, som følge af dotering fra guldkontakterne, i
forlængelse med n-type kvanteprikken. Dette bliver i [17] understøttet af et differentiel konduktans
plot hvor man er i stand til at identificere to overlejrede perioder af ∆Vg svarende til n-type
kvanteprikken i serie med p-type kvanteprikken. Det kunne være interessant at se om der kunne
observeres en tilsvarende opførsel, men vi har desværre ikke et differentiel plot for n-type delen.
Der ville nok ikke fremstå lige så klart som i [17], da der i gab 6-2 er mindst 2 nanorør over gabet.
Dette vil nok udtvære målingen, da man for nanorør i parallelforbindelse skal forestille sig at man
tager to diamantstrukturer og placeret oven i hinanden og lægger ledningsevnerne sammen.
28

5 Konklusion
Ud fra ovenstående analyse kan vi konkludere følgende:
• Det er endnu ikke muligt at dyrke kulstof nanorør så kontrolleret at parametre som blandt
andet chiralitet og diameter er ens fra rør til rør. Desuden vil også defekter være med til at
de enkelte rør får forskellige egenskaber. Hver prøve er unik. Dette gør at det kan være
vanskeligt at få nok rør med samme egenskaber til at danne et solidt statistisk grundlag.
• Et kulstofnanorør kan være halvledende eller metallisk. Ved nedfrysning af halvledende
nanorør opstår der Coulomb peaks, altså tydelige peaks i ledningsevnen som funktion af
gatespændingen, i overensstemmelse med teorien for Coulomb blokader. Dette muliggør
observationer af energiniveau struktur for kulstof nanorør kvanteprik.
• Det muligt at observere spin udartning fra Coulomb blokaders periodicitet og deraf
bestemme størrelsesordenen af nanorørets kapacitans og længde.
• Hystereseeffekter for halvledende nanorør tyder på at elektroner kan løbe fra røret ud i SiO2
laget. Denne effekt er blevet foreslået at benytte som elektronisk hukommelse[12].
• En NanoFET er ambipolar, og ledningsevnen i p-type delen er som regel større end i n-type
delen som følge af O2 adsorption der fungerer som hul donor.
• Nanorør har mobilitet, som er markant højere end andre halvledende materialer, i dette
projekt målt op til ca. 2200 cm 2 /(Vs).
Ting der på baggrund af de gjorte erfaringer kunne være interessante at arbejde videre med:
• Måling af hysterese på hængende nanorør, kan afgøre om hysteresen er en virkning af
ladninger som vandrer ud i SiO2 laget.
• Coulomb blokade målinger ved lavere temperaturer end 4K, for at have en række målinger,
som med sikkerhed befinder sig i kvanteregimet.
• Undersøgelse af n-type delen af gab 6-2 for at se om det er muligt at observere overlejring af
en n-type kvanteprik med en p-type.
29

6 Litteratur henvisninger
[1] C. Kittel, Introduction to Solid State Physics. New York, cop. 1971
[2] C. Kittel, Introduction to Solid State Physics. New York : Wiley, cop. 1976. s. 230 og s. 237.
[3] J. McMurry, Fundamentals of organic chemistry 4 th edition. Brooks/Cole Publishing Company
1998
[4] R. Saito, G. Dresselhaus og M.S. Dresselhaus, Physical Properties of Carbon Nanotubes
Imperial College Press (1998), ISBN: 1-86094-093-5
[5] J. Nygård, Experiments on Mesoscopic Electron Transport in Carbon Nanotubes. Ph.D.
afhandling, Naturvidenskablige Fakultet Københavns Universitet (Niels Bohr Institutet 2000).
[6] M.A. Kastner, The single electron transistor and artificial atoms. Ann. Phys. 9, 885 (2000).
[7] C.W.J. Beenakker, Theory of Coulomb-blockade oscillations in the conductance of a quantum
dot. Phys. Rev. B 44, 1646 (1991).
[8] M. Bockrath, et al. Single-Electron Transport in Ropes of Carbon Nanotubes. Science 278, 1922
(1997).
[9] J.Nygård, D.H.Cobden, M.Bockrath, P.L.McEuen, P.E.Lindelof. Electrical transport
measurements on single-walled carbon nanotubes. Appl. Phys. A 69, 297 (1999)
[10] Politikens store fremmedordbog, Politikens Forlag A/S, 1. udgave, 2. oplag. ISBN: 87-567-
5630-5
[11] M.S. Dresselhaus, G. Dresselhaus, Ph. Avouris, Carbon Nanotubes, Springer (1996), ISBN:
3-540-41086-4
[12] M.S.Fuhrer, B.M. Kim, T. Dürkop og T.Brintlinger, High-Mobility Nanotube Transistor
Memory Nano Letters, Vol.2, No.7, 755-759 (2002).
[13] J. J. Brehm, W. J. Mullin, Introduction to the Structure of Matter. John Wiley & Sons (1989),
ISBN: 0-471-60531-X
[14] C. Schönenberger, Bandstrucure of Graphene and Carbon Nanotubes: An Exercise in
Condensed Matter Physics. (2000)
http://www.unibas.ch/phys-meso/Education/Teaching/Nanotubes/LCAO-NT.pdf.
[15] A. Javey, M. Shim og H. Dai, Electrical properties and devices of large-diameter singlewalled
carbon nanotubes, Appl. Phys. Lett. 80, 1064 (2002)
[16] S. Iijima og T. Ichihashi, Single-Shell Carbon Nanotubes Of 1-Nm Diameter
Nature, 363, 603-605 (1993).
[17] J. Park, P.L. McEuen, Formation of a p-type quantum dot at the end of an n-type carbon
nanotube, Appl. Phys. Lett. 79, 1363 (2001).
30

Appendiks A – Dispersionsrelation for grafitlag
En god og enkel model til beskrivelse af båndstruktur i grafit er The Tight Binding Approximation
også kaldet Linear Combination of Atomic Orbitals (LCAO)[4,14]. Denne approksimation starter
ved at betragte elektroners bølgefunktion for et frit atom, og så bringe atomerne sammen i et gitter,
således at elektronernes bølgefunktion i gitteret er en linearkombination af bølgefunktionerne for de
enkelte atomer. Man siger at bølgefunktionerne overlapper.
Yderligere gøres normalt to antagelser, nemlig:
1. Bølgefunktionen svarende til det enkelte atom er tæt lokaliseret omkring det enkelte atom.
2. For en givet position i gitteret betragtes kun bølgefunktionerne svarende til de næmerste
nabo atomer. I grafitlag har hvert atom tre nærmeste naboer.
Vi skal bruge en bølgefunkition der opfylder Bloch’s sætning:
ρρ
ρ
ρ ρ
ikR
ρ ρ
ψ x)
e ( b ϕ ( x − R)
+ b ϕ ( x − R))
( =∑ρ 1 1
2 2
R∈G
Hvor G er sættet af gittervektorer, ϕ1 og ϕ2 er bølgefunktionerne svarende til de to atomer i
enhedscellen. En elektron i gitteret vekselvirker med Coulomb potentialet fra alle atomer i gitteret,
og dens Hamiltonian kan derfor skrives:
ρ2
p ρ ρ ρ ρ ρ ρ
H = + ∑( V ( x − x − R + V x − x − R )
ρ
1 ) ( 2 )
2m
R∈G
Hvor x1 og x2 er stedvektorerne for de to atomer i enhedscellen. Lad denne hamiltonian virke på ϕ1:
ρ2
⎛ p ρ ρ ρ ρ ρ ρ ⎞
Hϕ1
= ⎜ + ∑(
V ( x − x1
− R)
+ V ( x − x2
− R)
) ϕ1
2m
⎟ ⇔
ρ
⎝ R∈G
⎠
ρ2
⎛ p ρ ρ ⎞ ⎛ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ⎞
Hϕ1
= ⎜ + V ( x − x1)
ϕ1
+ ⎜ ( V ( x − x1
− R)
+ V ( x − x2
− R)
) + V ( x − x2
) ⎟ϕ1
2m
⎟ ∑ρ
ρ
⎝
⎠ ⎝ R≠0
⎠
Hϕ
= ε ϕ + ∆U
ϕ
1
1
1
1
1
ε1 er egenenergien for atom nr. 1 i enhedscellen. Nu skal første antagelse i LCAO bruges, nemlig at
er ϕ1 lille væk fra atom 1 og ∆U1 lille i nærheden af atom 1, altså er produktet ∆U1ϕ1 en lille
størrelse overalt. Sættes nulpunktet for energien så ε1 = 0, gælder følgende: Hϕ1 = ∆U1ϕ1 og Hϕ2 =
∆U2ϕ2. Schrödingers ligning:
ρ ρ ρ
Hψ
( x)
= E(
k ) ψ ( x)
(A.1)
I dirac-notation gælder, idet der på (A.1) ganges på fra venstre med =< ϕ j | ∆U
j | ψ >
ρ
(A.2)
Ved at benytte 2. antagelse i LCAO, nemlig kun at medregne overlap integraler fra de tre nærmeste
atomer og atomet selv, gælder for venstresiden af (A.2):
31

ρ ρ
ϕ ( x)
ψ ( x)
1
=
ρ ρ
ϕ ( x)
b ϕ ( x)
= b + b
1
= b + b
1
1
2
2
∫
∫
1
+
ρ ρ
ϕ ( x)
b ϕ ( x)
* ρ ρ
ϕ ( x)
ϕ ( x)
+ b e
ϕ
1
1
2
1
ρρ
−ika1
ρ ρ
* ρ ρ
ρ ρ
−ika1
−ika2
1 ( x)
ϕ2
( x)
( 1+
e + e )
ρρ
ρρ
−ika1
−ika2
( 1+
e + e )
ρρ
ρρ
ika1
ika2
( 1+
e + e )
2
2
2
∫
+
ρ
ϕ ( x)
e
ρρ
−ika1
* ρ ρ ρ
ϕ ( x)
ϕ ( x + a ) + b e
1
1
2
1
ρ ρ
b ϕ ( x + a )
2
2
2
ρρ
−ika2
∫
1
+
ρ
ϕ ( x)
e
ρρ
−ika2
* ρ ρ ρ
ϕ ( x)
ϕ ( x + a )
1
1
2
2
ρ ρ
b ϕ ( x + a )
ρ ρ
ϕ 2 ( x)
ψ ( x)
= b1
+ b2γ
0
= b2
+ b1γ
0
(A.3)
(A.4)
Hvor vi har brugt at ϕj(x)= ϕj(x±a j). Overlap integralet γ0 antages at være reelt. Højresiden af (A.2)
udregnes på samme måde og giver:
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
−ika1
−ika2
ϕ 1(
x)
∆U1ψ ( x)
= b2γ
1(
1+
e + e )
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
ika1
ika2
ϕ x)
∆U ψ ( x)
= b γ 1+
e + e
(A.5)
(A.6)
2 ( 2
1 1
( )
*
*
Idet produktet ∆Ujϕj er en lille størrelse og γ 1 = ∫ϕ1
∆U
1ϕ
2 = ∫ϕ
2 ∆U
2ϕ1
Overlap integralet γ0 er lille ifølge første antagelse og som en simpel approksimation, kan γ0 sættes
lig med nul, så (A.2) kan vha. (A.3), (A.4), (A.5) og (A.6) omskrives til:
ϖ
ρρ
ρρ
−ika1
−ika2
E(
k ) b1
= b2γ
1(
1+
e + e )
ϖ
ρρ
ρρ
ika1
ika2
E ( k ) b2
= b1γ
1(
1+
e + e )
Altså må der gælde: ρ
E(
k ) = ± γ
ρρ
−ika1
1+
e
ρρ
−ika2
+ e
ρρ
ika1
1+
e
ρρ
ika2
+ e
= ± γ
= ± γ
⎛
E(
k , ) = ± 1+
4cos⎜
x k y γ 1 ⎜
⎝
1
1
1
( )( )
ρρ
ρρ
ika1
1+
e
ika2
+ e
−ika1
+ e
ik
( a2
−a2
)
+ 1+
e
−ika2
+ e
ik
( a1
+ e
ρρ
ρρ
ρ ρ
3 + 2cos(
ka
) + 2cos(
ka
) + 2cos(
k ( a
ρ
− a )) ⇔
1
3ak
2
x
ρρ
2
⎞ ⎛ ak
⎟
⎜
⎟
cos
⎠ ⎝ 2
y
ρ ρ
ρ
2
⎞ ⎛ ak
⎟ + 4cos
⎜
⎠ ⎝ 2
ρρ
y
⎞
⎟
⎠
1
ρ ρ ρ
−a2
)
Figur A-1 Overlap integraler. A) Overlapintegralet for atom 1 i enhedscellen. Kun de 3 naboatomer mærket med cirkel
medregnes, altså kun atom 2 fra tre enhedsceller. B) Overlapintegralet for atom 2 i enhedscellen. Her er det kun atom 1
fra tre enhedceller, der medregnes.
+ 1
2
2
2
32

Appendiks B – Figurer og billeder
Figur B-1 Principskitse af CVD opstilling.
Figur B-2 Bondingmaskine.
33

Figur B-3 Principskitse af dipstick og opkobling af prøve.
34