C:\mol\noter\Statistik\Statistiske grundbegreber-v11\s1v11-forside.wpd

101
9.4 Poissonfordelingen
SÆTNING 9.2 (Poissonfordeling). Lad X være en stokastisk variabel, som angiver antallet
af impulser i et givet tidsrum (eller areal, volumen, produktionsenhed osv.), idet ethvert
tidspunkt i tidsrummet har samme mulighed for at være impulstidspunkt som ethvert andet
tidspunkt. Endvidere skal impulserne indtræffe tilfældigt og uafhængigt af hinanden * ) .
Hvis det gennemsnitlige antal impulser i tidsrummet er µ > 0 , så siges X at være
Poissonfordelt p ( µ ) med sandsynlighedsfordelingen (tæthedsfunktionen) f(x) = P(X = x)
bestemt ved
⎧ x
⎪
µ − µ
f ( x) = P( X = x) =
⋅e for x ∈{,,,...}
012
⎨ x!
⎩
⎪ 0 ellers
Middelværdien for p( µ ) er E ( X ) = µ og spredningen er σ ( X ) = µ .
I formuleringen af de ovennævnte betingelser kan efter behov "et lille tidsrum ∆ t" erstattes
med "en lille længde ∆ l ", "et lille areal ∆ A" eller "et lille volumen ∆ V".
*) Præcis formulering: Følgende 3 betingelser skal være opfyldt:
1) Sandsynligheden for netop én impuls i et meget lille tidsrum ∆ t er med tilnærmelse proportional med ∆ t
.
P( X = 1)
(Matematisk formulering lim = λ ( λ er en positiv konstant)
∆t→0 ∆t
2) Sandsynligheden for 2 eller flere impulser i det meget lille tidsrum ∆ t er lille sammenlignet med ∆ t .
P( X > 1)
(Matematisk formulering lim = 0 )
∆t→0 ∆t
3) Antal impulser i forskellige, ikke overlappende tidsrum er statistisk uafhængige.
En bevisskitse for sætningen kan ses i “Supplement til statistiske grundbegreber” afsnit
9.C.
Eksempel 9.10: Antal revner p. meter i et tyndt kobberkabel.
På en fabrik fremstilles kobberkabler af en bestemt tykkelse. Mikroskopiske revner
forekommer tilfældigt langs disse kabler. Man har erfaring for, at der i gennemsnit er 12.3 af
den type revner p. 10 meter kabel.
Beregn sandsynligheden for, at der
1) ingen ridser er i 1 meter tilfældigt udvalgt kabel.
2) er mindst 2 ridser i 1 meter tilfældigt udvalgt kabel.
3) er højst 4 ridser i 2 meter tilfældigt udvalgt kabel
Fabrikken går nu over til en anden og billigere produktionsmetode. For at få et estimat for
middelværdien ved den nye metode måltes antallet af revner på 12 kabelstykker på hver 10
meter.
Resultaterne var
Kabel nr. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Antal revner 8 4 14 6 8 10 10 16 2 2 6 8
4) Angiv på basis heraf et estimat for middelværdien af antal revner pr. 10 m kabel.