Hele bladet i pdfbook-format - Gamma - Niels Bohr Institutet

Afsender: Returneres ved varig adresseændring
Gamma
Niels Bohr Institutet
Blegdamsvej 17
2100 Kœbenhavn Ø
Fortale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . s 3
Nyheder og meddelelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . s 4
Rune Høirup Madsen
Hvordan ioniserende str˚aling p˚avirker menneskers sundhed . . . . . s 10
Boganmeldelser
H-G Rubahn: Nanoteknologi . . . . . . . . . . . . . . . . . . s 27
Paradokser og opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . s 29
Indhold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . s 40
MAGASINPOST
B
Gamma Γ
Tidsskrift for fysik • Efter˚ar 2007 • Nr. 147

Gamma
Gamma er grundlagt i 1971 og finansieres
af Niels Bohr Institutet. Bladet
udkommer 4 gange om ˚aret og f˚as gratis
ved henvendelse til redaktionen. Vi
beder dog vore læsere om at afhente
Gamma p˚a en skole, et institut eller vores
hjemmeside, hvis man har mulighed
for det.
Redaktion:
Thomas R.N. Jansson (TJ)
Andreas Lemark (AL)
Katrine Rude Laub (KRL)
Silja Heilmann (HE)
Michael Artych (MA)(ansv.)
Skribenter:
Adresse:
Gamma
Niels Bohr Institutet
Blegdamsvej 17
2100 København Ø
Tlf: 35 32 53 19
Email: gamma@nbi.dk
www.gamma.nbi.dk
Redaktionstid:
Se den aktuelle redaktionstid p˚a vores
hjemmeside.
Adresseændring:
Meddeles til postvæsenet, hvis man
modtager Gamma uden kuvert, og til redaktionen,
hvis man modtager bladet i
kuvert. Afbestillinger skal ske p˚a hjemmesiden.
Abonnementsnummer (tallet
bagefter f.eks. 91646 KHC ) bedes oplyst.
Artikler:
Vi modtager gerne artikler, debatindlæg
og kommentarer. Vi foretrækker
kommunikation over email og manuskripter
i L ATEX eller txt format, men
Microsoft Word og Corel Wordperfect
filer modtages ogs˚a.
Eftertryk tilladt med kildeangivelse.
ISSN 0108-0954
NBI-tryk oplag 3000
Om Forsiden
Den abstrakte verden kan altid
finde en plads p˚a væggen hos
en fysiker, da den verden er
noget vi arbejder med dagligt
og minder os om at alting
omkring os ikke altid er hvad
det ser ud til at være. Picasso
forstod den abstrakte verden
som ingen anden og skabte malerier
med egenskaben Kubism
som mange i verden har taget
til sig og skabte deres ligeledes
dejlige sjove billeder som vores
forsiden af den smukke pige fra
Tjernobyl .
Illustration: Kari Bjerke
Sørensen
.

Paradokser og opgaver Gamma 147
38
Fortale
Kære læser
Efter en lang og dejlig sommer har Gamma nu f˚aet deres redaktører
tilbage. I vores kælderlokale har vi arbejdet meget for at f˚a vores nye
system op at køre ordentligt, da maskinerne har pjattet lidt rundt med
os. S˚a derfor undskylder vi p˚a forh˚and, hvis der er stavefejl eller mangler
bogstaver undervejs i teksten :) Med det sagt kan vi med god samvittighed
præsentere dette nummer. Rune Høirup Madsen har indsendt en forkortet
udgave af sit bachelor projekt om ioniseret str˚aling og om hvordan det
p˚avirker menneskets krop. De mange applikationer som vi bruger i dag
i medicinalindustrien og nede i det lokale røntgenlab p˚avirker kroppen
med forskellig slags str˚aling.
Gamma har desuden modtaget en løsning til et paradoks fra Gamma143,
’Et trekantet problem’, fra vores læser Hedda Gottschalck. Desuden bringer
vi en boganmeldelse af Horst Rubahns bog ”Nanoteknologi”. Som
altid har Gamma friske nye opgaver til de læsere, der kan lide en lille udfordring.
Hvis du har noget du kan tilbyde til Gamma, ris, ros, indlæg eller kommentarer
s˚a tøv ikke med at skrive til os p˚a gamma@nbi.dk Til sidst vil
Gamma gerne meddele af vi søger nogle nye redaktører, s˚a hvis du har
interesse for Gamma, fysik og andet godt fra naturvidenskaben vil vi meget
gerne høre nærmere. I kan kontake os p˚a gamma@nbi.dk for at høre
nærmere om hvad vi laver.
God læselyst
Gamma

Nyheder og meddelelser
Katrine Rude Laub (KRL), Thomas R. N. Jansson (TJ),
Silja Heilmann (HE), Andreas Lemark (AL) og Michael
Artych (MA)
˚Arets Nobelpris i fysik
Magnetoresistans (MR) er et fænomen de
fleste har hørt tale om, eksempelvis i forbindelse
med s˚akaldt MR-skanning (se bl.a.
MR-skanning: Billeder fra den forbudte side
af bølgegrænsen af Lars G. Hanson i Gamma
143). Allerede i 1857 viste Lord Kelvin, at
den elektriske modstand i jern ændres ved
indførslen af et magnetfelt. I mange ˚ar var der derefter faktisk ikke de
store udviklinger indenfor ydelsen af MR, og helt op til 1980’erne var konsensus,
at man ikke nævneværdigt kunne forbedre magnetiske sensorer
baseret p˚a MR. Det var derfor noget af en overraskelse, da to forskerhold
uafhængigt af hinanden i 1988 producerede materialer, der udviste
høj magnetoresistans. Fænomenet blev passende døbt Giant Magneto
Resistance (GMR). Det er lederne af de to hold, Albert Fert og Peter
Grünberg, fra hhv. Université Paris-Sud i Frankrig og Forschungszentrum
Jülich i Tyskland, der deler prisen imellem sig.
GMR er fundamentalt set en kvantemekanisk effekt, der beror p˚a elektronspinnet.
P˚a billedet ses en skitse af hvordan GMR fungerer: Lag af
magnetiske og ikke-magnetiske materialer ligger skiftevis - hvert lag et par
atomer bredt. N˚ar elektronerne i de forskellige magnetiske lag har spin
i forskellige retninger er modstanden høj (a). N˚ar spinnene er i samme
retning er modstanden lav (b). Indførelsen af en magnet kan alts˚a sænke
modstanden i (a) betydeligt. Ved ’traditionel’ MR, havde ingen registreret
mere end i omegnen af 1% ændring i modstand, hvor GMR kunne
give en magnetiseringsafhængig ændring p˚a op mod 50%.
S˚a snart GMR blev opdaget, var man klar over det kunne f˚a stor teknologisk
betydning - især for lagring af informationer, eller rettere at
aflæse den lagrede information. Read-out hoveder baseret p˚a GMR er
meget følsomme overfor magnetiske ændringer, og kan konvertere disse
til ændringer i elektriske modstande.
4
Gamma 147 Paradokser og opgaver
Lad A = a 2 b + a + b være delelig med B = ab 2 + b + 7. S˚a er ogs˚a
Ab − Ba = b 2 − 7a delelig med B. Hvis b 2 − 7a = 0, s˚a er a = 7c 2 og b = 7c
og A = Bc.
Antag derfor b 2 − 7a = 0. Da ab 2 + b + 7 ≤ |b 2 − 7a| gælder enten
b 2 − 7a ≥ ab 2 + b + 7 eller 7a − b 2 ≥ ab 2 + b + 7. Den første ulighed kan
ikke opfyldes. Den anden kan skrives (7 − b 2 )a ≥ b 2 + b + 7, s˚a b m˚a være
enten 1 eller 2. For b = 1 Det giver mulighederne a = 11 og a = 49. b = 2
giver ingen løsninger.
Svar – Ligesidet Trekant
Vi har p˚a redaktionen f˚aet indsendt en besvarelse til opgaven ”Ligesidet
Trekant” i Gamma 143 fra Hedda Gottschalck, vi er selvfølgelig altid glade
for besvarelser og bringer den her:
Her er s˚a hendes løsning: (tegningen er
vedhæftet)
Der er givet 3 indbyrdes parallelle linier
L1, L2 og L3, nu skal man konstruere en
ligesidet trekant, der har et hjørne p˚a hver
linie.
P˚a L3 vælges punktet P, som deler L3 i to
halvlinier med en indbyrdes vinkel p˚a 180
grader, denne vinkel tredeles, og vi ser p˚a
den midterste 60 graders vinkel, dens ben
ses at skære L2 i punkterne A og O, hvorved der dannes en ligesidet
trekant PAO. Linien PO forlænges og skærer L1 i punktet B.
A og B forbindes. Med udgangspunkt i A, og med linien AB som venstreben
konstrueres en vinkel p˚a 60 grader, dennes højreben vil skære L3
i punktet C.
Vi betragter nu trekanterne APC og AOB og ser at de er ligedannede,
idet de begge har en side, som er side i den ligesidede trekant PAO og
vinklerne AOB og APC begge er 120 grader, mens vinklerne PAC og
BAO begge er (60 - v) grader.
Da AC derfor er lig AB og disse to linier danner en vinkel p˚a 60 grader
med hinanden, vil trekanten ABC være den ønskede ligesidede trekant.
37

Paradokser og opgaver Gamma 147
vi har alts˚a uligheden qa < b. Da 1 ≤ −c, f˚as qa < −cb = q − a 2 , s˚a
q(a − 1) < −a 2 og derfor a − 1 < 0. Alts˚a er a = 0. Men s˚a er jo q = b 2 .
Svar – Heltalligt
Bestem alle hele tal, n > 1, for hvilke 2n +1
n er et helt tal.
Løsningen er ikke pæn. Opgaven er da ogs˚a opst˚aet ved en trykfejl.
Løsninger er n = 3 k , men ogs˚a fx. 171.
Svar – En divisor
Find alle hele tal a, b og c med 1 < a < b < c som opfylder, at (a − 1)(b −
1)(c − 1) er en divisor i abc − 1.
De eneste løsninger er (2,4,8) og (3,5,15).
Sæt x = a − 1, y = b − 1 og z = c − 1. S˚a er tallet
(x + 1)(y + 1)(z + 1)
xyz
= xyz + yz + zx + xy + x + y + z
xyz
Et helt tal, som vi kan kalde k + 1. S˚a er
1 1 1 1 1 1
+ + + + + = k
x y z yz zx xy
Da 1 ≤ x < y < z f˚as 2 ≤ y og 3 ≤ z, hvoraf k < 3. Hvis x ≥ 3, f˚as k < 1.
S˚a x er enten 1 eller 2. Hvis x = 1, s˚a er k = 2. s˚a ligningen reduceres til
(y − 2)(z − 2) = 5, der m˚a give y = 3 og z = 7. Hvis x = 2, f˚as
1 3 1
+
2 2 y
1
+ +
z
1
= k
yz
Da y ≥ 3 og z ≥ 4, f˚as k = 1. S˚a ligningen bliver (y − 3)(z − 3) = 11.
Alts˚a bliver y = 4 og z = 14.
Svar – Og en anden divisor
Find alle positive hele tal a og b som opfylder, at ab 2 + b + 7 er en divisor
i a 2 b + a + b.
36
Gamma 147 Nyheder og meddelelser
GMR er desuden et fantastisk eksempel p˚a, hvordan grundforskning
og teknologiske udviklinger sammenkobles og forstærker hinanden: Opdagelsen
af GMR var en af de første praktiske udnyttelser af den tidlige
nanoteknologi. Dette var i høj grad med til at udvikle spintronics - hvor
b˚ade elektronens ladning og spin udnyttes - der sidenhen er blevet en af
drivkræfterne bag den eksplosive udvikling af nanoteknologien.
Kilder:
[1] http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2007/
[2] http://www.mrsec.wisc.edu/Edetc/IPSE/educators/activities/gmr.html
Flydende stof til eftertanke
I kvantemekanikken og faststof verdenen snakker man om et fænomen
som hedder ”Super-soliditet”. Dette sker, n˚ar atomer bevæger sig friktionsløst
igennem en solid blok af helium. Denne blok skabes s˚a perfekt
som muligt, men mange steder opst˚ar alligevel sm˚a omr˚ader, som er defekte,
dvs. hvor det p˚agældende omr˚ade enten mangler nogle atomer eller
at der ikke er den symmetriske kontinuitet, som man ellers kunne regne
med. Ved hjælp af Monto Carlo-simulationer har nogle forskere fundet,
at dette flow stadig er mulig i de defekte omr˚ader. I 1969 blev det teoretiseret
af russiske forskere, at det manglende atom i et krystalgitter gav
anledning til en forbindelse der kunne opst˚a mellem de ”tomme”omr˚ader
ved lave temperaturer.(Monto Carlo simulationer bruges til at simulere
stokastiske systemer, der har mange komplekse variable s˚asom halvledere
for at modellere transporten af strømmen, eller f.eks. en simulation af
de mange partikler, der rammer en detektor i en højenergi accelerator).
35 ˚ar senere mente nogle amerikanske forskere, at de havde fundet frem
til denne superfaste tilstand. Heliumkrystallet blev lavet i en diskosform
forbundet til en fjeder, som tillod krystallet at vrides frem og tilbage.
Ved nedkøling til 0.2K blev oscillationerne lige pludselig hurtigere.
Denne temperatur svarer til, at 2 procent af den frosne helium var blevet
superflydende, hvilket medførte at de 2 procent af heliummet ikke blev
p˚avirket af og ikke p˚avirkede det pres, som fjederen gav. Det viste sig ved
senere eksperimenter, at denne effekt typisk opstod i superfast helium,
som havde flere defekte omr˚ader. Ved en simulation af 2000 atomer, blev
AL
5

Nyheder og meddelelser Gamma 147
der skabt en spiralskrueformet trappe rundt om en akse, som kunne skabe
en ”strøm”af superflydende atomer. For at skaffe den lave temperatur i
heliummet m˚a man typisk bruge et meget højt tryk og dette kan være
meget svært at opn˚a. Selve forsøget, der er beskrevet, fokuserer p˚a et
enkelt isoleret tilfælde af en spiralskrueformet trappe, men det kan dog
beskrives ved mange andre lignende tilfælde, hvor denne spiralskrueformede
trappe ogs˚a er brugt. Dog er det første eksempel p˚a den situation,
hvor en fase b˚ade har translationelle og superflydende egenskaber.
Kilder:
[1] Phys. Rev. Lett. 99, 035301 (2007) by M. Boninsegni, A.B. Kuklov, L. Pollot, N.V. Prokof, B.V.
Svistunov & M. Troyer
Krøllet h˚ar filtrer mindre end glat h˚ar
MA
Jean-Baptiste Masson fra Laboratory for Optics and Biosciences p˚a Ecole
Polytechnique i Frankrig har undersøgt sammenhængen mellem h˚artype
og knuder i h˚aret. Dels fik han frisører til at tælle knuder i kundernes
h˚ar og dels opstillede han en geometrisk model i h˚ab om en matematisk
forklaring p˚a resultaterne.
Knuder blev defineret som en gruppe af h˚ar, der modst˚ar redning.
Der viste sig at være en dobbelt s˚a stor forekomst af disse i glat som i
krøllet h˚ar. Forklaringen er, at selvom glatte h˚ar sjældnere interagerer
med hinanden, s˚a sker interaktionen med større vinkler. Det er den relative
vinkel mellem h˚arene der for˚arsager knuder, hvilket er en konsekvens
af h˚ars overfladeegenskaber.
H˚arundersøgelsen kan f˚a betydning for udvikling af velcro-lignende produkter.
Desuden kan den geometriske modellering ogs˚a vise sig nyttig i
forbindelse med studier af polymere og andre filamentmaterialer i biologiens
verden.
Kilder:
[1] http://www.aip.org/pnu/2007/split/838-2.html
6
KRL
Gamma 147 Paradokser og opgaver
og
Lad
α =
⎛
⎝
Cauchy–Schwarz’ uliglhed giver da
x y z
√ , √ , √
y + z x + z y + x
β = √ y + z, √ x + z, √ y + x
α · αβ · β ≥ α · β 2
alts˚a ⎛
⎝ x2
⎞
y2 z2
+ + ⎠ ·
y + z x + z y + x
(y + z + x + z + y + x)
≥ x + y + z
eller ⎛
⎝ x2
⎞
y2 z2 x + y + z
+ + ⎠ ≥
y + z x + z y + x 2
Men da det aritmetiske gennemsnit er større end eller lig med det geometriske,
er x + y + z ≥ 3. Heraf følger uligheden.
Svar – Endnu et kvadrat
Lad a og b være naturlige tal, der opfylder, at ab + 1 g˚ar op i a 2 + b 2 . Vis,
at
a 2 + b 2
er et kvadrattal.
Betragt ligningen
ab + 1
a 2 + b 2 = q(ab + 1)
og søg dens heltallige løsninger med q > 0. Betragt løsningen med a + b
mindst. Vi kan antage, at a ≤ b. Da er b > 0, n˚ar q > 0. Vi kan jo skrive
ligningen
b(qa − b) = a 2 − q
Betragt c = qa − b, da gælder bc < a 2 ≤ b 2 , s˚a c < b. Da b = qa − c, giver
det c(qa − c) = a 2 − q i modstrid med minimaliteten af a + b, med mindre
c < 0.
⎞
⎠
35

Paradokser og opgaver Gamma 147
A
h
d
B αQ P C
β
BP ’s andet skæringspunkt med den lille cirkel betegnes Q, og BC’s
midtpunkt betegnes M. Længden af OM betegnes d, længden af AP
betegnes h, længden af BM betegnes α, og længden af QM betegnes β.
S˚a er h = 2d, α 2 = R 2 − d 2 , og β 2 = r 2 − d 2 .
Endvidere er enten BP = α + β og CP = α − β eller omvendt.
Alts˚a er
BC 2 + CA 2 + AB 2
=6R 2 + 2r 2
for enhver beliggenhed af B.
Svar – En ulighed
=4α 2 + h 2 + CP 2 + h 2 + BP 2
=4R 2 + 4d 2 + (α − β) 2 + (α + β) 2
=4R 2 + 4d 2 + 2α 2 + 2β 2
Lad a, b og c være positive reelle tal, der opfylder abc = 1.
Vi, at
1
a3 (b + c) +
1
b3 (c + a) +
1
c3 3
≥
(a + b) 2
Lad x = 1 1
a , y = b
Bliver uligheden til
34
1 og z = c , der ogs˚a opfylder xyz = 1. Da
1
a3 (b + c) = x3yz x2
=
y + z y + z
x2 y2 z2 3
+ + ≥
y + z x + z y + x 2
Gamma 147 Nyheder og meddelelser
Vand danner bro ved højspændning
Vand er uden tvivl et af de vigtigste og mest udbredte kemiske komponenter,
p˚a Jorden. P˚a trods af dette bliver denne væske stadig ved
med at overraske os. I en ny artikel publiceret den 21. august 2007 har
en gruppe forskere fra Østrig undersøgt, hvordan vand opfører sig under
p˚avirkning af et stort elektrisk felt. Overraskende nok viste det sig, at
vandet i to bægre med destilleret vand, som maksimalt var 25mm fra
hinanden, kunne danne en bro med en diameter p˚a 1-3mm af flydende
vand mellem bægrene.
Ved nærmere undersøgelse viste
det sig, at vandet blev transporteret
fra det ene bæger til det andet -
gerne fra anoden til katoden. Forskerne
startede med bægrene st˚aende
ved siden af hinanden og bevægede
dem langsomt fra hinanden.
Dette kunne de gøre indtil en
afstand p˚a 25 mm, hvor broen, der
hang i fri luft, kollapsede. Grunden
til fænomenet er ikke fastlagt, men
i artiklen forklarer gruppen, at det
er rimeligt at antage, at broen dannes p.g.a. elektrostatiske ladninger p˚a
overfladen af vandet i de to bægre. Det elektriske felt koncentreres inde i
vandet og arrangerer vandmolekylerne i en ordnet mikrostruktur. Det er
denne mikrostruktur, der holder broen oppe. Forklaringen underbygges af
en undersøgelse af vandets densitet ved bægrets kant og midten af broen,
som viste forskellige densiteter ved de to steder. Dette kan forklares med
speciel arrangering af vandmolekylerne. Gruppen arbejder nu med en artikel,
der detaljeret forklarer sammenhængen mellem mikrostruktur og
densitetsvariationer.
Kilder:
[1] Fuchs, E. C. et al., The floating water bridge.J. Phys. D: Appl. Phys. 40 (2007) 6112-6114.
[2] http://www.physorg.com/news110191847.html
TJ
7

Nyheder og meddelelser Gamma 147
Bakterier har elektrisk livsstil
N˚ar en jordbakterie nedbryder næringstoffer i jorden, dannes der overskudselektroner,
som bakterien har behov for at komme af med. Uden
en passende elektronacceptor kan bakterien ikke fungere ordenligt og dør
- staklen. Jordbakterier, der ligger nær overfladen, bruger ofte luftens
oxygen som elektronacceptor, men bakterier længere nede, der lever i et
oxygenfrit miljø, tyr til andre midler, mener forskere fra J. Craig Venter
Institute La Jolla i Californien. Flere typer jordbakterier er nemlig i
stand til at skyde lange nanofilamenter ud i jorden omkring dem og hen
til nabobakterier. Forskerne mener, at disse filamenter tjener til at lede
de uønskede elektroner væk fra bakterierne og op til overfladen gennem
et fint filamentnetværk bakterierne imellem. Forskerne konstaterede ved
hjælp af elektroder, at der i sandhed løb elektriske strømme op igennem
en jordsøjle, efter de havde ladet en jordbakteriekoloni hygge sig i den i ti
dage. Det samme var ikke tilfældet for en mutant jordbakteriekoloni, der
kun var i stand til at producere meget tynde og d˚arligt ledende filamenter.
”Jeg tror, at den dominerende livsstil for jordbakterier er at leve i
elektriske netværk” udtaler Yuri Gorby, en af forskerne fra holdet. Deres
teori møder dog megen skepsis blandt kollegaer. Det er tidligere vist, at
bakterietypen Shewanella er i stand til at udskille opløsbare elektronbærende
molekyler og dermed slippe af med overskudselektroner uden brug
af nanofilamenter. ”Jeg tror p˚a, at de ser nanofilamenter, men der er intet
bevis for en langdistanceforbindelse, det kan være muligt, men deres data
beviser det ikke”, udtaler en skeptisk mikrobiolog fra Pennsylvania State
University.
Kilder:
[1] D. Ntarlagiannis et al. Geophys. Res. Lett. 34, L17305; 2007.
[2] Bacteria may be wiring up the soil, Nature sep 2007, p. 388.
8
SH
Gamma 147 Paradokser og opgaver
indtil det ikke er muligt at tilføje flere kanter.
Herefter farves punkterne s˚aledes, at to punkter, der er forbundne med
en kant, altid gives hver sin farve. At dette er muligt ses ved at vælge et
vilk˚arligt punkt og give det en vilk˚arlig farve, og derefter gennemløbe den
vej, som punktet tilhører, idet punkterne skiftevis farves røde og hvide.
Da de kanter, som indg˚ar i en vej skiftevis er X−kanter og Y −kanter, er
antallet af punkter p˚a en eventuel lukket vej lige, og alts˚a den angivne
farvning af en vilk˚arlig vej mulig uanset om vejen er lukket eller ej. N˚ar
en vej er farvet, fjernes den fra grafen, og man fortsætter med at farve
en vej ad gangen, indtil hele grafen er farvet.
Betragt nu en vilk˚arlig akseparallel linje, fx en linie parallel med X−aksen.
De punkter p˚a linjen, der ligger p˚a X−kanter, optræder parvis s˚aledes, at
der er lige mange røde og hvide. Ud over disse punktpar kan linjen højst
indeholde et af de givne punkter, for hvis der var flere, kunne to af dem
forbindes med en X−kant i modstrid med antagelsen om, at det ikke er
muligt at tilføje flere kanter. Antallet af røde og hvide punkter p˚a linjen
afviger højst med 1.
Svar – Kombinatorik
Lad pn(k) være antallet af permutationer af n elementer med netop k
fixpunkter. Vis formlen
n
kpn(k) = n!
k=0
Venstre side kan fortolkes som antallet af fixpunkter i samtlige permutationer
af de n elementer. Nu er ethvert punkt fixpunkt for netop
(n − 1)! permutationer, og da punktet kan vælges p˚a n m˚ader, følger
p˚astanden.
Svar – Cirkler
Givet to koncentriske cirkler med radier R > r. Lad P være et fast punkt
p˚a den lille cirkel, og lad B være et variabelt punkt p˚a den store. BP
skærer den store yderligere i C. Den vinkelrette linie til BP i P skærer
den lille cirkel ydeligere i A.
Find værdierne af BC 2 + CA 2 + AB 2 .
33

Paradokser og opgaver Gamma 147
Lad nu y være vilk˚arligt med 0 ≤ y < 2, og vælg x = 2 − y. S˚a er
f(x + y) = 0, og da f(y) = 0 ifølge (iii), følger det, at f(xf(y)) = 0, og
alts˚a xf(y) ≥ 2, dvs
f(y) ≥ 2
2 − y .
Der kan imidlertid ikke gælde f(y) > 2
2−y . Antag nemlig dette og vælg
x = 2
f(y) .
S˚a er p˚a den ene side xf(y) = 2, der giver f(xf(y)) = 0 og alts˚a
f(x + y) = 0, og p˚a den anden side
der medfører f(x + y) = 0.
Der er alts˚a kun muligheden
x + y = 2
+ y < 2 − y + y = 2,
f(y)
f(x) =
⎧
⎪⎨
⎪⎩
2
, hvis 0 ≤ x < 2,
2 − x
0, hvis x ≥ 2.
Det er bemærkelsesværdigt, at vi af (i) kun har udnyttet, at f(x+y) =
0, hvi og kun hvis f(xf(y)) = 0 og f(y) = 0.
Det er derfor i højeste grad nødvendigt at eftervise, at den fundne
funktion faktisk opfylder (i), men det er let at verificere.
Svar – Rød eller hvid?
Givet en endelig mængde af punkter i planen, alle med heltallige koordinater.
Vis, at man altid kan farve dem røde og hvide, s˚a alle har en af
farverne, og s˚aledes at for enhver akseparallel linie vil antallet af røde og
antallet af hvide p˚a linien højst afvige med 1.
Vi starter med at konstruere en graf, hvis hjørner er de givne punkter.
Kanterne tilføjes en ad gangen, idet følgende betingelser overholdes:
32
1. en kant er enten en X−kant parallel med X−aksen eller en Y −kant
parallel med Y −aksen,
2. fra et vilk˚arligt hjørne udg˚ar der højst en X−kant og højst en
Y −kant.
Gamma 147 Nyheder og meddelelser
9

Hvordan ioniserende str˚aling p˚avirker
menneskers sundhed
Af
Rune Høirup Madsen
Rune Høirup Madsen studerer fysik p˚a Københavns Universitet. Han skrev bachelorpro-
jekt i efter˚aret 2006 med titlen ”Gennemgang af kendte effekter af ioniserende str˚aling”.
Denne artikel er en forkortet udgave af projektet. Hvis man ønsker at læse projektet i sin
helhed (eller har spørgsm˚al/kommentarer) er man altid meget velkommen til at kontakte
Rune via e-mail.
E-mail: rhm@fys.ku.dk
Indledning
Str˚aling som har energi nok til at løsrive elektroner fra atomer eller molekyler
kaldes ioniserende str˚aling. Mit m˚al med denne artikel er at give
en beskrivelse af, hvordan ioniserende str˚aling p˚avirker udviklingen af
sygdomme (især cancer) hos mennesker. Dette er et særdeles spændende
og relevant emne, da alle mennesker bliver p˚avirket af sm˚a str˚alingsdoser
i hverdagen - fra den naturlige baggrundsstr˚aling, betonkældre, tandlægebesøg
m.m. Normalt er der ingen grund til bekymring over disse sm˚a
p˚avirkninger.
Det er dog meget omdiskuteret, om sm˚a str˚alingsdoser (< 100 mSv) har
en sygdomsfremkaldende virkning eller ej. I tidens løb er der blevet opstillet
en række - mere eller mindre vellykkede - modeller for virkningen af
sm˚a str˚alingsdoser. I afsnittet Modeller for sammenhængen mellem dosis
og cancerrisiko vil jeg gennemg˚a de eksisterende modeller samt væsentlige
argumenter for og imod hver model.
For at forst˚a str˚alingens effekt p˚a mennesker er det nødvendigt at have
10
Gamma 147 Paradokser og opgaver
Svar – Kvadratur
Lad d være et naturligt tal, s˚a d /∈ {2, 5, 13}. Vis, at der findes a = b,
a, b ∈ {2, 5, 13, d}, som opfylder, at ab − 1 ikke er et kvadrattal.
Da 2 · 5 − 1, 2 · 13 − 1 og 5 · 13 − 1 alle er kvadrattal, er det klart, at vi
“m˚a sætte vor lid til” d sammen med et af tallene 2, 5 og 13.
Idet vi fører beviset indirekte, antager vi alts˚a, ad d kan vælges som et
naturligt tal, s˚adan at
2d − 1, 5d − 1 og 13d − 1 alle er kvadrattal.
Det ses let, at modulo 16 er ethvert kvadrattal kongruent med enten 0,
1, 4 eller 9. Ifølge vor antagelse gælder alts˚a, at
2s er kongruent med 1, 2, 5 eller 10; dvs.
d er kongruent med 1, 9, 5 eller 13 modulo 16;
5d er kongruent med 1, 2, 5 eller 10; dvs.
d er kongruent med 13, 10, 1 eller 2 modulo 16;
13d er kongruent med 1, 2, 5 eller 10; dvs.
d er kongruent med 5, 10, 9 eller 2 modulo 16.
Da intet naturlig tal, d, tilfredsstiller kravene i alle de sidste tre linjer,
har vor antagelse ført frem til en modstrid; dvs. p˚astandens rigtlighed
følger.
Svar – Funktionalt
Find alle funktioner p˚a den ikke–negative reelle akse ind i sig selv, som
opfylder
(i) f(xf(y))f(y) = f(x + y) for alle x, y,
(ii) f(2) = 0,
(iii) f(x) = 0 for 0 ≤ x < 2.
Sæt først y = 2. S˚a følger af (i) og (ii), at f(x + 2) = 0 for alle x ≥ 0,
dvs
f(x) = 0 for alle x ≥ 2.
31

Paradokser og opgaver Gamma 147
(a) Beregn værdien af forholdet
AB · CD
AC · BD
(b) Vis, at tangenterne fra C til de omskrevne cirkler for trekanterne
△ACD og △BCD st˚ar vinkelret p˚a hinanden.
Opgave – Elementært
Lad n være et positivt helt tal og lad A1, A2, . . . , A2n+1 være delmængder
af en mængde, B. Antag, at
(a) hver mængde Ai har netop 2n elementer,
(b) hver fællesmængde Ai ∩ Aj, i = j, har præcis ét element,
(c) hvert element i B ligger i mindst to af mængderne Ai.
For hvilke værdier af n kan man give hvert element i B en værdi, 0
eller 1, s˚adan at hver mængde Ai har nøjagtig n elementer af værdi 0?
30
Gamma 147 Rune Høirup Madsen
en vis baggrundsviden indenfor fysik og biologi. Jeg vil i løbet af artiklen
gennemg˚a den nødvendige teori, som omfatter følgende 3 emner: Str˚alings
vekselvirkning med stof, str˚alingsbiologi og dosisbegrebet.
Ioniserende str˚aling - kort fortalt
Der findes to hovedtyper af ioniserende str˚aling: partikelstr˚aling og elektromagnetisk
str˚aling. Det er velkendt for de fleste, at der udsendes str˚aling
ved henfald af atomkerner via følgende processer: α-henfald, β-henfald,
γ-henfald og elektronindfangning 1 . Ved de to førstnævnte udsendes partikelstr˚aling,
ved de to sidstnævnte elektromagnetisk str˚aling [6].
Røntgenstr˚aling er ogs˚a elektromagnetisk str˚aling. Den dannes dog ikke
ved radioaktive henfald, men n˚ar hurtige elektroner nedbremses i anoden
i et røntgenrør 2 . Røntgenstr˚aling vekselvirker med stof via de samme
processer som γ-str˚aling, hvilket vi ser p˚a senere.
Vekselvirkninger mellem str˚aling og stof
Ioniserende str˚aling kan inddeles i to kategorier, alt efter hvordan vekselvirkningen
med stof finder sted. Str˚aling af ladede partikler, som stammer
fra fx. de tidligere nævnte α- og β-henfald, kaldes direkte ioniserende
str˚aling. N˚ar en ladet partikel passerer gennem stof, ioniseres atomerne
langs partiklens bane. Partiklen mister herved kinetisk energi og stopper
til sidst. Typisk vil str˚aling fra naturligt forekommende kilder til α- og
β-str˚aling blive stoppet allerede i menneskers hud [4].
Elektromagnetisk str˚aling (γ- og røntgen-str˚aling) samt str˚aling af neutroner,
kaldes indirekte ioniserende str˚aling. Str˚alingen kan trænge et stykke
ind i stof helt uden at vekselvirke med stoffet. N˚ar str˚alingen tilfældigvis
vekselvirker med en elektron, et atom eller en atomkerne, frigives en
elektrisk ladet partikel, som vil kunne virke direkte ioniserende [4].
I det følgende ser vi nærmere p˚a de mekanismer, hvormed henholdsvis
elektromagnetisk str˚aling og str˚aling af ladede partikler vekselvirker med
stof.
1 Der findes flere processer, som udsender ioniserende str˚aling, end de her nævnte. Se [9] kapitel 5.
2 Vi kommer ikke nærmere ind p˚a dannelsen af røntgenstr˚aling her, men en detaljeret beskrivelse findes
i [9] side 521-540.
11

Hvordan ioniserende str˚aling p˚avirker menneskers sundhed Gamma 147
Elektromagnetisk str˚aling
γ- og røntgen-str˚aling kan vekselvirke med stof via 5 forskellige mekanismer
3 . Overordnet kan processerne inddeles i to typer. Den første type er
absorption, hvor fotonen forsvinder i vekselvirkningen. Den anden type
er spredning, hvorved fotonen sendes i en anden retning end oprindeligt.
Begge typer fører til en svækkelse af str˚alingen i den oprindelige retning.
Der gælder generelt, at n˚ar elektromagnetisk str˚aling med begyndelsesintensiteten
I0 sendes gennem et lag stof med tykkelsen x, kan intensiteten
I efter passagen findes ved følgende udtryk 4 .
I = I0 exp(−µx) (1)
Konstanten µ kaldes den totale lineære svækkelseskoefficient og m˚ales i
enheden m −1 .
Str˚aling af ladede partikler
Vi betragter en partikel med energi E, som bevæger sig ind i et materiale.
Partiklen vekselvirker et stort antal gange med elektronerne i materialets
atomer og ved hver vekselvirkning mister den en lille mængde energi. Lad
os sige, at partiklen mister dE, n˚ar den har bevæget sig afstanden dx.
Nu kan man indføre Stopping Power S, som er et m˚al for, hvor hurtigt
partiklen mister energi [9].
S = − dE
(2)
dx
S kan beregnes p˚a flere forskellige m˚ader, men ofte bruges Bethe’s formel,
der kan opskrives som følger [4].
S =
⎛
⎝ 4πe4z2 m0v2 ⎞
⎡
⎠ NZ ⎣ln
⎛ ⎞
2 2m0v
⎝
I
⎛
⎠ − ln ⎝1 − v2
c2 ⎞
⎠ − v2
c2 ⎤
⎦ (3)
hvor z er den indkommende partikels atomnummer, Z er atomnummeret
i det absorberende materiale, v er den indkommende partikels fart, c
3 De 5 mulige vekselvirkninger mellem elektromagnetisk str˚aling og stof er: Thompson spredning,
Fotoelektrisk effekt, Compton spredning, Par produktion og Foto-disintegration. Se for eksempel [4], [5],
[9] og [11].
4 Dette udtryk er udledt i [4] side 45-47.
12
—Paradokser og Opgaver
Mogens Esrom Larsen (MEL)
Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til
nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se
adresse p˚a bagsiden). Første indsendte, korrekte løsning til en af de stillede
opgaver bringes i næste nummer af Gamma.
Opgave – Heltalligt
Bestem alle hele tal, n > 1, for hvilke 2n +1
n 2
Opgave – Trekantet
er et helt tal.
I en spidsvinklet trekant △ABC skærer vinkelhalveringslinien fra A siden
BC i punktet L og den omskrevne cirkel i punktet N. Fra punktet L
nedfældes de vinkelrette p˚a AB og AC, fodpunkterne kaldes hhv. K og
M.
Vis, at firkanten AKNM har samme areal som trekanten △ABC.
Opgave – Retvinklet
△ABC er retvinklet med den rette vinkel i A. Lad D være fodpunktet
for højden fra A. Linien gennem centrene for de indskrevne cirkler i
trekanterne △ABD og △ACD skærer siderne AB og AC i hhv. K og L.
Vis at arealet af △AKL er højst halvt s˚a meget som arealet af △ABC.
Opgave – begge dele
Lad D være et punkt inden i en spidsvinklet trekant, △ABC, s˚adan at
∠ADB = ∠ACB + 90 o og AC · BD = AD · BC
29

Boganmeldelser Gamma 147
Det første kapitel af bogen lægger meget vægt p˚a de forskellige anvendelser
af nanoteknologi, s˚a man føler nogle gange, at bogen bare skal reklamere
for nanoteknologien og ikke giv indsigt i formlerne bag teknologien.
Med lidt t˚almodighed kan man dog se, at der gemmer sig en del information
bag de første 2 kapitler. Rubahn beskriver flere teoretiske metoder
for at fremstille og bruge nanostrukturer, nanofibre og molekylærnanobindinger
samt hvor de kan bruges. Dog er den matematiske og fysiske del
ikke blevet uddybet nok. Mange billeder og figurer i bogen giver læseren
et godt billede af og god forst˚aelse for, hvad nanoteknologien tilbyder.
Bogen er mest egnet til universitetsstuderende, som gerne vil have et generelt
billede af, hvad nanoteknologi er. Dog sætter den lidt krav til ens
viden om de forskellige temaer, der skrives om f.eks. diffraktion, spektral
analyse og mange andre begreber, som kan skræmme læseren lidt væk,
da stoffet dækker utroligt meget. Som fysikstuderende mener jeg bogen
giver et fint - om dog forvirret - indblik i nanoteknologi. Dog er bogen
m˚aske lidt mere en prædiken fremfor en guide. Illustrationerne i bogen
er fine, men man har nogle gange svært ved at følge helt med i, hvad de
forskellige begreb betyder og hvilken del af sammenhængen de er en del
af.
MA
28
Gamma 147 Rune Høirup Madsen
er lysets fart, N er antals-densiteten i det absorberede materiale, e er
elementarladningen, m0 er hvilemassen af en elektron og I er materialets
ionisationspotential, som bestemmes empirisk.
Udfra Bethe’s formel kan man se, at α-partikler (z = 2) taber deres
energi over en kortere distance end β − -partikler (z = −1), eftersom S er
proportional med z 2 . Man bør ogs˚a bemærke, at S er proportional med Z.
Med andre ord taber partiklen sin energi p˚a en væsentligt kortere afstand
i bly (Z = 82) end i fx. silicium (Z = 14). Dette er temmelig relevant
viden indenfor str˚alingsbeskyttelse og medicinske anvendelser af str˚aling.
Lad os nu se lidt nærmere p˚a henholdsvis α-str˚aling og β-str˚aling 5 .
α-str˚aling
N˚ar en α-partikel trænger ind i stof, bliver den p˚avirket af Coulombkræfter
fra stoffets elektroner (og vice versa). Ved tæt passage kan αpartiklen
løsrive en elektron og dermed ionisere atomet. Hvis afstanden
er lidt større, vil elektronen blot blive exciteret (flyttet til en højere skal)
ved vekselvirkningen. α-partiklen vekselvirker et stort antal gange og skaber
dermed et tæt spor af ionpar [4]. Ved hver vekselvirkning taber αpartiklen
noget af sin kinetiske energi. Rækkevidden af α-str˚aling er meget
kort - selv i luft er den kun f˚a centimeter. I materialer med højere
densitet (papir, hud, glas osv.) er rækkevidden typisk i størrelsesordnen
mikrometer [9]. Kilder til α-str˚aling udenfor kroppen er derfor normalt
ikke farlige for mennesker - men ved ind˚anding af α-radioaktive isotoper
kan der ske alvorlige skader. Udover at α-partiklen virker direkte ioniserende,
vil der ogs˚a ske indirekte ionisationer p˚a grund af de løsrevne
elektroner. S˚adanne elektroner betegnes delta-str˚aling og kan virke ioniserende
via de samme mekanismer som β-str˚aling [4].
β-str˚aling
Der findes to slags β-str˚aling, nemlig β − som best˚ar af elektroner og β +
som best˚ar af positroner. N˚ar en β-partikel kommer ind i stof, vil der ske
Coulomb-vekselvirkninger med stoffets elektroner. β + og β − kan ionisere
5 En mere præcis og matematisk beskrivelse af vekselvirkningerne mellem partikelstr˚aling og stof findes
i [11] kapitel 3 og 4.
13

Hvordan ioniserende str˚aling p˚avirker menneskers sundhed Gamma 147
atomer i stoffet ved henholdsvis at tiltrække eller frastøde atomets elektroner.
Eftersom en β-partikel har samme masse som en elektron, vil den
afbøjes markant ved hver vekselvirkning. Sporet af β-partiklen er dermed
et zig-zag mønster [9]. Rækkevidden af β-str˚aling er betydeligt længere
end den tilsvarende for α-str˚aling. Udover at β-str˚aling er direkte ioniserende,
vil der ogs˚a forekomme indirekte ionisationer fra delta-str˚aling,
s˚afremt de løsrevne elektroner har tilstrækkelig energi [9].
Grundlæggende str˚alingsbiologi
Str˚alingsbiologi er et videnskabeligt omr˚ade, der undersøger hvordan ioniserende
str˚aling p˚avirker levende celler6 . Ioniserende str˚aling kan for˚arsage
ændringer i celler enten direkte eller indirekte. Den direkte m˚ade er, n˚ar
str˚alingen bryder en elektronbinding i et makromolekyle (RNA, DNA
eller et protein), hvilket kan ændre molekylets struktur og funktion.
Ændringer i DNA er selvfølgelig de mest kritiske, eftersom fejlen kan
spredes ved celledeling. Den indirekte m˚ade er, at et vandmolekyle ioniseres
(mellem 70% og 85% af en celle best˚ar af vand), hvorved der dannes
en fri elektron. Hvis denne elektron efterfølgende bindes til et andet vandmolekyle,
dannes en fri radikal, som er kemisk ustabil p˚a grund af den
ekstra elektron i en ydre skal. Efter yderligere en række reaktioner7 , kan
der dannes hydrogen peroxid, som skønnes at være ˚arsagen til 2
3
af alle
celleskader [5].
Efter ioniserende str˚aling har skabt en mutation (ændring) i en celles
DNA, kan der ske tre forskellige udviklinger. Den første mulighed er, at
der sker en reparation af skaden. Det er sandsynligt i de tilfælde, hvor
kun den ene DNA-streng er beskadiget. Den anden mulighed er, at skaden
ikke repareres og cellen lever videre. Dermed vil mutationen spredes
ved celledeling. Hvis mutationen er sket i en kønscelle, taler man om en
genetisk skade, som senere vil kunne nedarves til næste generation 8 . Hvis
den er sket i en af de øvrige celletyper, kaldes det en somatisk skade. Et
eksempel p˚a langtidsvirkningen af en somatisk skade er kræft. Den tredje
6 For en detaljeret beskrivelse af cellens struktur kan jeg anbefale at læse [5] side 86-95.
7 Disse reaktioner er beskrevet i [5] side 106 eller [11] side 124-125.
8 Her er det værd at bemærke, at ikke alle mutationer er skadelige. En stor brøkdel af mutationer
er (tilsyneladende) uden betydning. Desuden kan mutationer p˚a længere sigt forsvinde ud af arvepuljen
igen, se herom [3] side 74.
14
Boganmeldelser
En hyldest til nanoteknologi
Nanoteknologi
H-G Rubahn
128 sider, ill.
Gylendal, 2007
399kr.
Nanoteknologi har været en af
de helt store modeemner de sidste
10 ˚ars tid. Der er blevet lavet
nye uddannelser og en masse mennesker
har kastet store mængder
penge efter feltet i h˚ab om at finde
kuren til kræft, skabe superstærkt
st˚al og meget andet. Men nanoteknologi
er meget mere end det.
Horst-Gunter Rubahn har skrevet
bogen ”Nanoteknologi”for at skabe
et bredt overblik over, hvad nanoteknologi
er, og hvordan det kan
bruges.
Rubahn lægger stærkt ud med
at nævne 4-5 forskellige felter, som nanoteknologi kan styrke bla. computere,
medicin og fysik. Han beskriver, hvordan nanoteknologi kan forbedre
vores tilværelse med mange ting. CPU’en (Central Processor Unit) er et
oplagt valg. CPU’ens ”styrke”ligger i, hvor mange transistorer den har.
Med tiden er størrelsen af CPU’en blevet mindsket og antallet af transistorer
øget stærkt, men pga. varmeudvikling og pladsmangel har det
været svært at komme flere transistorer ned p˚a en chip. Nanoteknologien
gør det muligt at skabe mindre transistorer, som bruger mindre energi
og afgiver mindre varme og dermed mere effektive CPU’er, som fylder en
hel del mindre. En anden applikation af nanoteknologi er f.eks. medicinvidenskaben.
At skabe sm˚a nanorobotter, som kan programmeres til at
dræbe f.eks. kræftceller eller andre kroniske sygdommme i kroppen.
27

Hvordan ioniserende str˚aling p˚avirker menneskers sundhed Gamma 147
Litteratur
[1] Brooks, Antone L. Paradigm Shifts in Radiation Biology: Their Impact on Intervention
for Radiation-Induced Disease, Radiation Research 164, 454-461 (2005).
[2] Brune, Dag; Hellborg, Ragnar; Persson, Bertil R.R.; Pääkkönen, Rauno (Editors).
Radiation at Home, Outdoors and in the Workplace, Scandinavian Science Publisher,
2001.
[3] Brøns, Per; Hansen, Heinz; Andersen, Erland. Vor radioaktive klode, Rhodos, 1993.
[4] Cooper, John R.; Randle, Keith; Sokhi, Ranjeet S. Radioactive Releases in the
Environment: Impact and assessment, John Wiley & Sons, 2003.
[5] Dowd, Steven B.; Tilson, Elwin R. Practical Radiation Protection and Applied Radiobiology,
Second Edition, W.B. Saunders Company, 1999.
[6] Elvekjær, Finn; Nielsen, Børge Degn. Str˚aling og Atomer, 3. oplag, G.E.C.Gads
Forlag, 1984.
[7] Goldstein, Inge F.; Goldstein, Martin. How much risk? A guide to understanding
environmental health hazards, Oxford University Press, 2002.
[8] Gregoire, O.; Cleland, M.R. Novel approach to analyzing the carcinogenic effect of
ionizing radiations, Int. J. Radiat. Biol., Vol. 82, No. 1, January 2006, pp. 13-19.
[9] Martin, James E. Physics for Radiation Protection, John Wiley & Sons, 2000.
[10] Preston, Dale L.; Shimizu, Yukiko; Pierce, Donald A.; Suyama, Akihiko; Mabuchi,
Kiyohiko. Studies of Mortality of Atomic Bomb Survivors. Report 13: Solid Cancer
and Noncancer Disease Mortality: 1950-1997, Radiation Research 160, 381-407
(2003).
[11] Steenstrup, Stig. Topics in Medical Physics, Niels Bohr Institute, August 2006.
[12] Tubiana, M.; Aurengo, A.; Averbeck, D.; Bonnin, A.; Le Guen, B.; Masse, R.;
Monier, R.; Valleron, A.J.; de Vathaire, F. Dose-effect relationships and estimation
of the carcinogenic effects of low doses of ionizing radiation, Académie nationale de
Médecine, March 30, 2005.
[13] Tubiana, M.; Aurengo, A.; Averbeck, D.; Masse, R. Recent reports on the effect
of low doses of ionizing radiation and its dose-effect relationship, Radiat Environ
Biophys (2006) 44: 245-251.
26
Gamma 147 Rune Høirup Madsen
mulighed er, at cellen dør. Det kan være en fordel, for derved kan skaden
ikke spredes og en enkelt celle betyder ikke noget for kroppen som helhed
[3].
Dosisbegrebet
I dette afsnit vil jeg beskrive, hvordan str˚alingsdosis er defineret generelt.
Desuden vil jeg beskrive ækvivalent str˚alingsdosis og effektiv str˚alingsdosis,
samt begrunde indførelsen af disse begreber.
Str˚alingsdosis
Den energi som via str˚aling tilføres en (lille) mængde stof betegnes ∆E.
Massen af stoffet betegnes ∆m. For alle typer str˚aling og alle typer stof
er dosis defineret s˚aledes:
D = ∆E
(4)
∆m
For elektromagnetisk str˚aling kan man anvende følgende udtryk for dosis
[11].
D = I µa
(5)
ρ
hvor I er bindingsenergien for en elektron, µa er absorptionskoefficienten
og ρ er densiteten.
For str˚aling best˚aende af ladede partikler (fx. fra α- eller β-henfald) findes
der følgende, enkle udtryk for dosis [11].
D = φ −dE
ρ dx
hvor φ er flux af partikler og dx er vejlængden.
Det er værd at bemærke, at dosis ofte m˚ales i enheden Gy (gray) og at
1 Gy = 1 J
kg .
Ækvivalent str˚alingsdosis
Ved en række str˚alingsbiologiske forsøg er det blevet m˚alt, hvor mange
procent af cellerne i en petrisk˚al der overlever en given dosis str˚aling af
(6)
15

Hvordan ioniserende str˚aling p˚avirker menneskers sundhed Gamma 147
en bestemt type. For en given type str˚aling kendes derfor den dosis, som
medfører at 50% af cellerne dør. Ved at dividere denne dosis med den
tilsvarende dosis for røntgenstr˚aling fra et 250 kV rør, f˚as et relativt m˚al
for str˚alingens farlighed [11]. Udfra erfaringerne fra forsøgene har man
indført en ækvivalent dosis H, som b˚ade afhænger af str˚alingens type og
dosis. Ækvivalent dosis m˚ales ofte i Sv (sievert), hvor 1 Sv = 1 J
kg [6].
H = D · Q (7)
Q kaldes str˚alingens kvalitetsfaktor. For α-str˚aling er Q = 20. Det betyder,
at for en given dosis α-str˚aling vil der opst˚a 20 gange s˚a mange celleskader,
som for den samme dosis røntgenstr˚aling. I tabellen ses kvalitetsfaktoren
for forskellige typer str˚aling (tal fra [6] og [11]).
Str˚alingstype Kvalitetsfaktor Q
Røntgenstr˚aling, β-str˚aling og γ-str˚aling 1
Termiske neutroner 2
Protoner og hurtige neutroner 10
α-str˚aling og tunge ioner 20
N˚ar man beskriver str˚alings virkning p˚a menneskers sundhed er det H
snarere end D som er den interessante størrelse.
Effektiv str˚alingsdosis
Kroppens organer best˚ar af forskellige celletyper, der p˚avirkes i forskellig
grad af str˚aling. For en fastholdt ækvivalent dosis vil der fx. opst˚a
flere celleskader, hvis str˚alingen rammer lungerne i stedet for leveren.
Derudover vil en given, radioaktiv isotop blive opkoncentreret i bestemte
omr˚ader af kroppen. For eksempel vil isotoper af plutonium typisk oplagres
i knoglerne og leveren [4].
Man har indført effektiv str˚alingsdosis som et m˚al for, hvor meget en
menneskekrop p˚avirkes af en given ækvivalent dosis, n˚ar der tages hensyn
til de forskellige organers varierende p˚avirkelighed overfor str˚aling.
Den effektive str˚alingsdosis er defineret som en sum over den ækvivalente
dosis et organ modtager gange p˚avirkeligheden af det p˚agældende organ
16
Gamma 147 Rune Høirup Madsen
blevet sammenlignet. Der er d˚arlig korrelation mellem resultaterne fra
LSS og de øvrige undersøgelser. Resultaterne fra LSS passer fint med
den lineære model uden tærskelværdi (LNT). De øvrige data viser generelt
mindre risiko og desuden er den lineære sammenhæng tvivlsom
[8]. Det er værd at bemærke, at overlevende fra et A-v˚aben angreb har
modtaget hele dosis inden for f˚a sekunder, mens personerne i de andre
undersøgelser har modtaget dosis i sm˚a portioner over længere tid. Med
andre ord har dosis-raten været meget forskellig, hvilket kan være˚arsagen
til den d˚arlige korrelation mellem de forskellige undersøgelser. Ved at reanalysere
data fra en række epidemiologiske undersøgelser, har Gregoire
og Cleland bestemt den øgede cancerrisiko som funktion af dosis-raten 17 .
Deres resultater understøtter en tærskel-værdi model, hvor dosis-ratens
tærskel-værdi skønnes at være 100 mSv/døgn [8]. Derved fandt de en væsentlig
bedre korrelation mellem data fra de forskellige undersøgelser.
I mine øjne er det interessant, at dosis-raten kan være af stor betydning,
hvilket der ikke direkte er taget højde for i de tidligere nævnte modeller.
Gregoire og Cleland understreger dog, at artiklen er ment som et debatindlæg,
der kan inspirere til yderligere epidemiologiske undersøgelser.
Konklusion
Min konklusion er, at det i forbindelse med risikovurderinger er fornuftigt
at anvende den lineære model uden tærskelværdi, selvom denne model
formodentlig overestimerer risikoen for sm˚a str˚alingsdoser. Det er nemlig
bedre at overestimere en risiko lidt end at underestimere den. I forbindelse
med medicinske anvendelser (diagnostik og str˚alebehandling) bør
fordelen ved behandlingen altid afvejes omhyggeligt i forhold til risikoen.
I denne forbindelse er det ikke en fordel at overestimere risikoen, idet
visse patienter i s˚a fald kan g˚a glip af en gavnlig behandling. Ved medicinske
anvendelser bliver man nødt til at studere relevante risikomodeller
nøje (herunder den kvadratiske model og tærskel-værdi modellen).
Forh˚abentlig vil nye og kommende resultater fra str˚alingsbiologi og epidemiologiske
undersøgelser i fremtiden gøre det muligt at etablere én model
af generel gyldighed for sammenhængen mellem str˚alingsdosis og risiko.
17 Den valgte enhed for dosis-raten er mSv/døgn, fordi menneskeceller gennemsnitligt deler sig en gang
pr. 24 timer [8].
25

Hvordan ioniserende str˚aling p˚avirker menneskers sundhed Gamma 147
for hvert dosis-interval 15 (tallene er hentet i [7]).
Dosis-interval Totalt antal forvent- Øget antal Procentdel af
[Sv] ede cancerdøds- dødsfald grundet dødsfald som
fald (uden str˚aling) str˚aling skyldes str˚aling
0.005 − 0.1 2710 85 3.0
0.1 − 0.2 486 18 3.6
0.2 − 0.5 555 77 12.2
0.5 − 1.0 263 73 21.7
1.0 − 2.0 131 84 39.1
> 2.0 44 39 47.1
Ved at plotte procentdelen som funktion af dosis, f˚as en retlinet dosiseffekt
sammenhæng, hvilket er i overensstemmelse med LNT modellen 16 .
Jeg vil overlade det til læserne - som en lille øvelse - at plotte dosis-effekt
sammenhængen p˚a en lommeregner eller et stykke millimeter-papir.
Dosis-ratens betydning
Vi har tidligere set p˚a en række mulige modeller af sammenhængen mellem
str˚alingsdosis og risiko. Fælles for disse modeller er, at det er den
samlede dosis, som er den vigtigste parameter. S˚adanne modeller tager
alts˚a ikke direkte hensyn til dosis-raten - med andre ord er de uden hensyntagen
til, om dosis er blevet optaget p˚a kort eller lang tid.
I en aktuel artikel af Gregoire og Cleland [8] bliver der argumenteret for,
at det nok er dosis-raten snarere end samlet dosis, som har betydning
for risikoen, hvilket forfatterne i høj grad bygger p˚a en re-analyse af en
række epidemiologiske undersøgelser. Jeg vil i det følgende gengive de
væsentligste argumenter og konklusioner fra artiklen.
For en række epidemiologiske undersøgelser (henholdsvis medicinsk bestr˚aling,
variationer i den naturlige baggrundsstr˚aling og Life Span Study)
er den øgede risiko for alle typer cancer som funktion af samlet dosis
15 Bemærk: at der er størst antal dødsfald i gruppen som har modtaget den laveste dosis, skyldes
udelukkende at denne gruppe var langt den største fra begyndelsen [7].
16 For leukæmi giver en kvadratisk sammenhæng dog en bedre beskrivelse af data [7].
24
Gamma 147 Rune Høirup Madsen
(udtrykt med en vægtfaktor 0 < wT < 1). Effektiv str˚alingsdosis m˚ales i
Sv ligesom ækvivalent dosis [4].
E =
T
wTHT
Vægtfaktorerne for de enkelte organer findes i tabeller, som kan ses i [11]
side 101 eller [4] side 68.
Modeller for sammenhængen mellem dosis
og cancerrisiko
Det er meget omdiskuteret, hvilken sammenhæng der er mellem str˚alingsdosis
9 og risiko for udviklingen af cancer - især for sm˚a doser (< 100 mSv).
I offentligheden findes desuden en generel skepsis eller frygt for str˚aling,
hvilket medvirker til at forsigtighedsprincippet ofte anvendes. Dette princip
g˚ar i korte træk ud p˚a, at man i tvivlstilfælde bør overestimere en
risiko, af hensyn til de mulige, langsigtede konsekvenser. Det bør hertil
bemærkes, at n˚ar jeg i denne artikel omtaler risikoen for udviklingen af
cancer, mener jeg mere præcist den øgede risiko for udvikling af cancer p˚a
grund af ioniserende str˚aling. Der er nemlig stadig en risiko for at f˚a cancer,
selvom man (rent hypotetisk) kunne undg˚a ioniserende str˚aling 10 .
I dette afsnit vil jeg gennemg˚a de forskellige eksisterende modeller for
sammenhængen mellem sm˚a str˚alingsdoser og cancerrisiko - samt argumenter
for og imod hver model. Disse argumenter bygger p˚a resultater fra
to vidt forskellige kilder. For det første er der Str˚alingsbiologiske forsøg.
Form˚alet med disse er, at undersøge hvordan celler og væv p˚avirkes
af ioniserende str˚aling. Vejen fra en celleskade til udviklingen af kræft
hos mennesker er dog langt fra forst˚aet i detaljer [5]. En række nye
str˚alingsbiologiske undersøgelser har givet interessante resultater, som
vi snart vender tilbage til. For det andet er der Epidemiologiske undersøgelser,
hvor man for en stor befolkningsgruppe finder en empirisk
9 I de kommende afsnit vil jeg ikke skelne s˚a nøje mellem de forskellige dosisbegreber. Udfra sammenhængen
(især den anvendte enhed) vil læseren kunne regne ud om jeg mener str˚alingsdosis (m˚ales i Gy)
eller effektiv str˚alingsdosis (m˚ales i Sv).
10 En række andre faktorer kan ogs˚a fremprovokere udviklingen af cancer: P˚avirkning fra kemikalier
(herunder tobaksrygning), UV-lys (solbadning), fejl i DNA-replikationen, usund kost og arvelige sygdomme
[3].
(8)
17

Hvordan ioniserende str˚aling p˚avirker menneskers sundhed Gamma 147
sammenhæng mellem str˚alingsdosis og cancerrisiko. Undersøgelser af denne
type kan bestemme sammenhængen for mellemstore og store doser, men
for sm˚a doser er der en række usikkerheder, som vi kort vil beskrive i
det nedenst˚aende. I afsnittet Epidemiologiske undersøgelser vil vi vende
tilbage med en mere grundig gennemgang af metoder og resultater.
Den manglende enighed om, hvilken model der bedst beskriver sammenhængen
mellem sm˚a str˚alingsdoser og cancerrisiko, skyldes til dels en
række vanskeligheder med at fortolke epidemiologiske data [2]. For det
første kan man ikke kende forskel p˚a om et givent cancertilfælde skyldes
ioniserende str˚aling eller en af de andre ˚arsager. For det andet g˚ar
der som regel mange ˚ar mellem en celleskade til en eventuel udvikling
af en kræftsvulst. For det tredje skal man huske p˚a, at effekter af (sm˚a
doser) ioniserende str˚aling afhænger af sandsynligheder 11 . For hver indkommende
foton eller partikel er der en (lille) sandsynlighed for, at der
sker en vekselvirkning med DNA. Herefter er der en sandsynlighed for at
skaden ikke bliver repareret osv. Set i det lys bør vi faktisk være glade
for, at det er svært at finde den rette sammenhæng mellem str˚alingsdosis
og cancerrisiko - hvis sammenhængen var nem at finde, ville de nævnte
sandsynligheder være større, end de rent faktisk er [2].
Den lineære model uden tærskelværdi
I forbindelse med str˚alingsbeskyttelse og risikovurderinger antages det
som standard, at risikoen som funktion af str˚alingsdosis er en ret linje,
der g˚ar gennem (0, 0).
ρ(d) = βd (9)
Denne model anbefales af ICRP (International Commission on Radiological
Protection) til brug i risikovurderinger [2]. I engelsk litteratur betegnes
modellen the Linear No-Threshold relationship og forkortes LNT.
LNT er generelt anerkendt som en god model for doser mellem 0.2 og
3 Sv (mellemstore til store doser), hvor der findes et godt datagrundlag
fra epidemiologiske undersøgelser [12].
Ifølge LNT er der selv ved de mindste str˚alingsdoser tilknyttet en (lille)
11 For store doser ioniserende str˚aling, hvor der sker et stort antal celleskader, har str˚alingen deterministiske
effekter. For eksempel vil knoglemarven (hvor der dannes røde blodlegemer) blive ødelagt i et
menneske, som akut modtager en dosis p˚a 2-10 Gy, hvilket oftest medfører døden [4].
18
Gamma 147 Rune Høirup Madsen
Epidemiologiske undersøgelser
Epidemiologi er studiet af sygdommes udbredelse og ˚arsager i en befolkning.
Den grundlæggende arbejdsmetode er at indsamle oplysninger om
sygdomstilfælde i en befolkning og at finde lighedstræk i disse oplysninger,
som kan føre til en bedre forst˚aelse af en sygdoms ˚arsag [5].
Der findes en lang række epidemiologiske undersøgelser, hvor sammenhængen
mellem sygdomsrisiko og dosis af ioniserende str˚aling er blevet
undersøgt. Den mest berømte af disse undersøgelser er Life Span Study,
som blev p˚abegyndt i 1945 og beskriver sygdomsforholdene hos de overlevende
efter atombomberne i Hiroshima og Nagasaki. Andre undersøgelser
omhandler arbejdere i uranminer; patienter som har modtaget medicinsk
røntgenstr˚aling; beboere i Chernobyl osv. Der er ikke plads nok til at
beskrive alle disse undersøgelser her i artiklen, men jeg kan anbefale at
læse de glimrende beskrivelser i [7] kapitel 2-4.
Life Span Study (LSS)
Allerede f˚a dage efter at atombomben var blevet anvendt mod byerne
Hiroshima og Nagasaki i august 1945, p˚abegyndte japanske forskere at
registrere alle overlevende. For at estimere individuel dosis, blev en stor
del af de overlevende spurgt om hvor de befandt sig p˚a eksplosionstidspunktet;
om de var st˚aende eller siddende; hvilken slags tøj de havde p˚a;
om de var udendørs eller indendørs og (i sidstnævnte tilfælde) om hvilken
slags bygning de befandt sig i [7]. Sidenhen har japanske og amerikanske
forskere registreret døds˚arsagen for hver eneste person og arbejdet vil
fortsætte nogle ˚ar endnu.
Den nyeste rapport om LSS er skrevet af Preston et al. [10] og udkom
i 2003. Det er en meget omfattende og grundig rapport, som jeg i det
følgende vil gengive nogle f˚a udvalgte resultater fra.
Ud af de oprindeligt 86572 overlevende er 48 % stadig i live. Der er i alt
observeret 9335 dødsfald p˚a grund af cancer (leukæmi (blodcancer) er
omtalt i en kategori for sig). Derudover er der et større antal dødsfald
p˚a grund af andre ˚arsager. Ud af det oprindelige antal overlevende har
37458 modtaget en s˚a lille dosis (fx. fordi de var bortrejste under selve
eksplosionen), at de kan udgøre en kontrolgruppe [10].
I følgende tabel ses procentdelen af cancerdødsfald p˚a grund af str˚aling
23

Hvordan ioniserende str˚aling p˚avirker menneskers sundhed Gamma 147
Nye resultater fra str˚alingsbiologi
Argumenterne for og imod de ovennævnte mulige sammenhænge mellem
dosis og risiko bygger i høj grad p˚a resultater fra str˚alingsbiologi, eftersom
det for sm˚a doser er svært at drage konklusioner fra epidemiologiske undersøgelser.
Netop indenfor str˚alingsbiologi er der i de seneste ˚ar opn˚aet
en række væsentlige resultater, som viser at str˚alings p˚avirkning af celler
er mere kompliceret end tidligere antaget. Jeg vil nu give et resumé af
resultaterne fra en række nyere forsøg, som er beskrevet i en artikel af
Brooks [1].
For det første kan celler reagere p˚a selv meget sm˚a str˚alingsdoser ved
at ændre gen-udtryk (engelsk: gene expression). Hvis str˚aling p˚avirker fx.
hjerneceller, vil gener som styrer beskyttende funktioner blive opprioriteret
og gener som styrer de neurale funktioner blive nedprioriteret. Det har
generelt vist sig, at b˚ade str˚alingens type og dosis er afgørende for, hvilke
gener som bliver aktiveret (og dermed kan effekterne af bestr˚alingen være
meget forskellige). Regulering af gen-udtryk kan ske i et stort antal celler
(næsten) samtidig og forekommer langt hyppigere end mutationer. Dette
kan tyde p˚a, at regulering af gen-udtryk har større betydning for udviklingen
af kræftceller end mutationer har [1].
For det andet sker der færre kromosomforandringer, hvis celler først udsættes
for en lille dosis str˚aling efterfulgt af en større, end hvis cellerne
kun bliver udsat for den større dosis. Dette overraskende fænomen kaldes
adaptive response og kan tolkes som om, at sm˚a doser str˚aling kan have
en gavnlig effekt ved at aktivere beskyttende mekanismer [1].
For det tredje er det nu observeret, at mutationer kan opst˚a et stykke
tid efter bestr˚alingen - faktisk efter flere (tilsyneladende normale) celledelinger.
Dette fænomen kaldes genomic instability. Det er observeret, at
antallet af genetisk ustabile celler i væv tiltager lineært med dosis [1].
Disse nye opdagelser tyder p˚a, at str˚aling p˚avirker biologisk materiale via
flere og mere komplicerede mekanismer end hidtil antaget. P˚a længere
sigt kan resultaterne fra str˚alingsbiologi f˚a stor betydning for modeller af
sammenhængen mellem dosis og cancerrisiko. Formodentlig bygger alle
de nuværende modeller p˚a forsimplede antagelser i større eller mindre
grad, eftersom der ikke kan være taget højde for alle biologiske effekter.
Dette er i mine øjne en god grund til at være forsigtig og at anvende LNT
i forbindelse med risikovurderinger, indtil bedre modeller fremkommer.
22
Gamma 147 Rune Høirup Madsen
risiko. Det er i overensstemmelse med forsigtighedsprincippet at antage
en risiko selv ved doser s˚a sm˚a, at der ikke kan p˚avises effekter. Mange
eksperter mener, at LNT overestimerer risikoen ved sm˚a str˚alingsdoser
[2]. Desuden afhænger risikoen ifølge LNT kun af dosis og ikke af dosisraten
- med andre ord er det lige meget, om en given dosis bliver leveret
p˚a en gang eller i mange sm˚a portioner over tid [8].
Hvis man antager at LNT er korrekt, bliver man nødt til at acceptere
følgende 3 bagvedliggende postulater, ifølge [13] (som er kritisk overfor
LNT).
• Der sker ingen biologiske eller kemiske vekselvirkninger mellem effekterne
af forskellige ioniserende partiklers spor i en celle.
• Enhver absorberet dosis i en cellekerne fører til en proportional
sandsynlighed for mutationer og sandsynligheden for fejlfri reparation
(pr. dosis-enhed) varierer ikke med dosis.
• Enhver skade i DNA har ens sandsynlighed for at kunne føre til
udviklingen af cancer - uanset antallet af andre skader i cellen eller
naboceller.
I modsætning hertil viser resultater fra str˚alingsbiologi at mekanismer
som modvirker oxidation i celler fungerer bedst ved sm˚a doser og dosisrater;
at DNA-reparation fungerer mere effektivt ved sm˚a dosis-rater; og
at den mutagene effekt af str˚aling (pr. dosis-enhed) er lille eller forsvindende
ved sm˚a dosis-rater [13]. Dette s˚ar naturligvis tvivl om LNT er en
korrekt model.
Jeg mener dog, at der kan være god grund til fortsat at bruge LNT i forbindelse
med risikovurderinger, selvom LNT m˚aske bygger p˚a forenklede
antagelser. I risikovurderinger af fx. radioaktiv forurening (hvor der altid
vil være en vis usikkerhed) er det i mine øjne bedre at overestimere risikoen
lidt end det modsatte. Indenfor diagnostiske anvendelser af str˚aling
i medicin er det dog ikke altid en fordel at overestimere risikoen. Som det
ganske rigtigt p˚apeges i [12] kan man forestille sig, at en medicinsk undersøgelse
kan afsløre alvorlige sygdomme i en befolkning, men samtidig
indebære en lille risiko for langsigtede virkninger. Hvis den sidstnævnte
risiko overestimeres, kan det være at nogle patienter ikke bliver undersøgt
og dermed ikke f˚ar stillet en diagnose i tide.
19

Hvordan ioniserende str˚aling p˚avirker menneskers sundhed Gamma 147
Den lineært-kvadratiske model
Den lineære model nævnt ovenfor fungerer som sagt godt ved mellemstore
til store doser, men skønnes at overestimere risikoen ved sm˚a doser. Derfor
g˚ar mange forskere ind for den lineært-kvadratiske model (engelsk: the
Linear-Quadratic model), som vi her vil forkorte LQ.
ρ(d) = βd + γd 2
(10)
For sm˚a doser angiver LQ en mindre risiko end LNT. For mellemstore og
store doser giver LQ og LNT resultater som minder meget om hinanden.
Vi bemærker, at der ifølge LQ stadig er en risiko forbundet med selv
meget sm˚a str˚alingsdoser - denne risiko er blot mindre end ifølge LNT
[2]. Ved et stort antal forsøg med bestr˚aling af mus har man fundet, at LQ
giver en fin beskrivelse 12 af den opn˚aede sammenhæng mellem dosis og
cancerrisiko [12]. Den slags forsøg kan give ret præcise resultater, fordi
dosis kan kontrolleres præcist og forsøgene kan gentages et stort antal
gange. Her bør det dog nævnes, at det for doser under 100 mSv ikke
har været muligt at konstatere en statistisk signifikant cancerrisiko ved
museforsøgene - til trods for de ideelle forsøgsbetingelser. Eksistensen af
en risiko kan dog ikke afvises [12].
Tærskel-værdi modellen
De modeller, vi hidtil har betragtet, siger at cancerrisikoen er tæt p˚a nul
for sm˚a str˚alingsdoser. En del forskere mener, at risikoen er nul for tilpas
sm˚a str˚alingsdoser. Med andre ord: Str˚alingsdoser under en vis tærskelværdi
udgør ikke nogen risiko. Denne model kaldes derfor Tærskel-værdi
modellen (engelsk: the Threshold Value Model).
ρ(d) = β(d − dt) d > dt
(11)
ρ(d) = 0 d ≤ dt (12)
Tærskel-værdi modellen er i overensstemmelse med epidemiologiske undersøgelser
af henholdsvis arbejdere udsat for radium og patienter udsat
for thorium. Ved høje doser er der observeret en cancerrisiko (henholdsvis
12 For nogle forsøg med mus passer resultaterne bedre med en rent kvadratisk sammenhæng end med
den lineært-kvadratiske [12].
20
Gamma 147 Rune Høirup Madsen
knoglecancer og levercancer), mens der ved sm˚a doser ikke er observeret
en risiko. Tærskelværdien for dosis af radium (ved knogleoverfladen) er
ca. 10 Gy, mens den for thorium (i leveren) er ca. 2 Gy [13]. Det er udfra
nuværende data ikke muligt at bestemme en tærskel-værdi for cancerrisiko
generelt - dog estimeres den (løst) til at være mellem 5 mSv og
50 mSv [12].
Der findes ogs˚a str˚alingsbiologiske argumenter for tærskel-værdi modellen.
Ved sm˚a doser fungerer cellens forsvarsmekanismer (DNA-reparation
og beskyttelse mod oxidation) optimalt [13]. Ved meget sm˚a doser (mindre
end f˚a mGy) aktiveres forsvarsmekanismerne i en celle slet ikke, og
cellen dør, hvilket er til fordel for organismen som helhed [13]. Disse argumenter
kan i øvrigt ogs˚a anvendes til at kritisere LNT, som vi har
beskrevet tidligere.
Gavnligheds modellen
Ifølge Gavnligheds modellen 13 (engelsk: the Hormesis Model) kan sm˚a
str˚alingsdoser være gavnlige for sundheden og nedsætte risikoen for cancer
- ogs˚a selvom store doser er skadelige. Denne tankegang er velkendt
indenfor konventionel medicin - hvis en patient tager det korrekte antal
piller er de gavnlige; hvis patienten spiser hele pakken kan det være livsfarligt.
At dette gælder for piller er dog ikke nødvendigvis et tegn p˚a, at
det ogs˚a gælder for ioniserende str˚aling.
Der er primært to observationer, som støtter Gavnligheds modellen. For
det første er hyppigheden af cancer mindre for beboere i høje bjergegne,
hvor baggrundsstr˚alingen er større end normalt 14 . For det andet viser
visse forsøg med planter og dyr, at disse udvikler sig hurtigere og lever
længere, hvis de har modtaget en lille dosis str˚aling fremfor slet ingen [2].
Jeg mener ikke, at Gavnligheds modellen p˚a nuværende tidspunkt kan
bruges i risikovurderinger, eftersom jeg ikke har fundet nærmere dokumentation
for den gavnlige virkning p˚a mennesker. Dog vil det i en vis
forstand være glædeligt, hvis modellen viser sig at være korrekt, da hverdagens
sm˚a str˚alings-p˚avirkninger i s˚a fald ville være nyttige.
13Det er ikke lykkedes mig at finde den danske betegnelse for denne model, s˚a i mangel af bedre betegner
jeg den Gavnligheds modellen.
14Man kan dog ikke konkludere s˚a meget herfra, for det kan jo ogs˚a skyldes beboernes levevis i øvrigt.
21