Hele bladet i pdf-format - Gamma - Niels Bohr Institutet

Gamma Γ
Tidsskrift for fysik • Sommer 2008 • Nr. 150
.

Gamma
Gamma er grundlagt i 1971 og finansieres
af Niels Bohr Institutet. Bladet
udkommer 4 gange om ˚aret og f˚as gratis
ved henvendelse til redaktionen. Vi
beder dog vore læsere om at afhente
Gamma p˚a en skole, et institut eller vores
hjemmeside, hvis man har mulighed
for det.
Redaktion:
Silja Heilmann (SH)
Katrine Rude Laub (KRL)
Michael F. Artych (MA)(ansv.)
Skribenter:
Adresse:
Gamma
Niels Bohr Institutet
Blegdamsvej 17
2100 København Ø
Tlf: 35 32 53 19
Email: gamma@nbi.dk
www.gamma.nbi.dk
Redaktionstid:
Se den aktuelle redaktionstid p˚a vores
hjemmeside.
Adresseændring:
Meddeles til postvæsenet, hvis man
modtager Gamma uden kuvert, og til redaktionen,
hvis man modtager bladet i
kuvert. Afbestillinger skal ske p˚a hjemmesiden.
Abonnementsnummer (tallet
bagefter f.eks. 91646 KHC ) bedes oplyst.
Artikler:
Vi modtager gerne artikler, debatindlæg
og kommentarer. Vi foretrækker
kommunikation over email og manuskripter
i L ATEX eller txt format, men
Microsoft Word og Corel Wordperfect
filer modtages ogs˚a.
Eftertryk tilladt med kildeangivelse.
ISSN 0108-0954
NBI-tryk oplag 2700
Om Forsiden
En sovende DNA-streng
drømmer om at blive en kylling.
Illustration:
Silja Heilmann

Fortale
Kære læser
Sommeren har sneget sig ind p˚a os i Gamma der igen er klar med et
nyt blad spækket med artikler, nyheder og sjove paradokser! Vi har en
artikel der kommer helt fra DTU af ph.d-studerende Peter M. Moselund
og kandidatstuderende Rebecca B. Ettlinger om superkontinuum og lasere.
Cand.scient i biofysik Peter Bjødstrup skriver om modellering af
rygradens dannelse i et kyllingefoster. Docent Stephan Schwarz bidrager
med et pudsig historisk anekdote fra anden verdenskrig om hvordan fysikere
p˚a NBI opløste nobelprismedaljer for at guldet ikke skulle falde i
nazisternes hænder.
Som altid har Gamma’s redaktører været p˚a udkig efter interessante
nyheder. Vi har fundet en 3 stk. som I forh˚abenligt vil finde underholdende.
Gammas redaktion kan nu prale med at have 150 nummers jubilæum!
De gamle numre er lige s˚a stille ved at blive scannet ind, og vil kunne
findes p˚a vores hjemmeside. Det tager dog lidt tid, men vi skal nok n˚a
det en dag.
Phd-comics er efterh˚anden blevet en fast del af Gamma og vi har fundet
nogle sjove og interessante strips til folket. Mange vil sikkert kunne
genkende situationen...
Gamma er som altid glad for at vores læsere kommer med kommentarer
og vi h˚aber at i bliver ved med at sende ind til os. Vi leder ogs˚a efter nye
redaktører, s˚a hvis du har lyst til at være med s˚a tøv ikke med at skrive
til os, s˚a du kan komme forbi og se hvordan det fungerer.
Tag nu dit Gamma og nyd det udenfor med en dejligt glas lemonade.
God læselyst
Gamma

Nyheder og meddelelser
Katrine Rude Laub (KRL), Michael Artych (MA) og Silja
Heilmann (SH)
Eventyrlig fysik
Normalt forbindes eventyr ikke med overholdelse af de fysiske love. Men
m˚aske har de mere hold i virkeligheden, end man umiddelbart g˚ar og tror.
I Den lille havfrue beder Ariel havheksen om at give hende ben, s˚a
hun kan score menneskeprinsen. Den onde heks kræver Ariels stemme
til gengæld for transformationen. I eventyret mister Ariel stemmen pga.
en forbandelse, men en fysiker kan ogs˚a gøre det. Forskere har fundet
en metode til at bøje lydbølger rundt om et objekt og forhindre, at lyd
undslipper et givent omr˚ade. (For eksempel at Ariels stemme n˚ar hendes
omgivelser.) Den virker i hvert fald teoretisk ifølge Steve Cummer fra
Duke University. Tidligere forskning har p˚avist muligheden for at bøje
lys rundt om genstande, s˚a de bliverusynlige. Dette byggede Cummer
videre p˚a og har nu p˚avist, at det er muligt at gøre det samme med lyd.
(Se desuden Gamma 149)
I brødrene Grimms historie om Rapunzel holdes den unge, smukke
kvinde fanget i et højt t˚arn. En dag tiltrækker hun en prins med sin
skønne sang og kaster sit blonde h˚ar ud ad t˚arnvinduet, s˚a han kan kravle
op til hende. Men er menneskeligt h˚ar stærkt nok til at bære vægten af
en person?
Et h˚ar kan i gennemsnit bære omkring 100 gram. Mørkt h˚ar er generelt
tykkere end blondt h˚ar og derfor ogs˚a stærkere. Rapunzel er som
bekendt blondine. S˚adanne har gennemsnitligt 140.000 h˚ar p˚a hovedet,
s˚a hendes h˚ar skulle uden problemer kunne bære en hel del prinser. Hun
skal dog tænke p˚a, at det ikke er sikkert hendes h˚arsække ogs˚a kan klare
belastningen. Ligeledes er det ikke sikkert at hendes egen vægt og styrke
er stor nok til at forhindre hende i at falde ud ac vinduet. Det anbefales,
at hun binder h˚aret fast til noget, inden hun sænker det ned til prinsen,
s˚a hun ikke bliver skalperet.
Den sidste eventyrlige fysik i denne omgang kommer fra Tusind og en
nat. Fra historien om Aladdin kender vi de flyvende tæpper, som transportere
folk omkring. For nylig har en artikel i Physical Review Letters
afsløret, at flyvende tæpper er en mulighed - under de rette betingelser.
4

Gamma 150 Nyheder og meddelelser
Ud fra grundlæggende fysiske love blev det vist, at et lille, tyndt tæppe
kan flyve, hvis luften vibrerer med den rette frekvens. Ifølge forskerne
skulle alle de krævede forhold være mulige indenfor naturens og teknologiens
begrænsninger, men foreløbig kun for sm˚a, lette tæpper.
Kilder:
[1] www.aip.org/isns/reports/2008/001.html
Kompresseret støj
KRL
N˚ar vi kigger p˚a ting fra afstand
ser vi ikke de store forhindringer
undervejs, men kigger vi p˚a et kvantemekanisk
niveau ser man ligepludselig
en hob af partikler der bevæger
sig frem og tilbage over det
hele. N˚ar man s˚a prøver at sende
information igennem denne hob af
partikler er der chance for at informationen
g˚ar tabt da partiklerne
vil interagere med hinanden undervejs.
I kvantemekaniske systemer
er det svært at m˚ale ting, da selv
meget lav støj i form af partikler
eller str˚aling kan have indflydelse
p˚a de resultater, man søger. I 1985 blev der lavet et eksperiment, i hvilket
man forsøgte at nedsætte støjniveuet, n˚ar der skulle m˚ales med laserlys.
Det lykkedes og man nedsatte støjniveauet med en faktor 2 til 4
(svarende til 3-6 dB). Metoden er ret enkel. Man bruger 2 laserlyskilder,
hvor den ene bliver brugt til at nedsætte støjen mens den anden sender
informationer. Der bruges en ikke-lineær proces som konverterer en indkommende
laserbølge, w0 til to bølger med en svagere frekvens w1 og w2.
Summen af de to udg˚aende bølger svarer til den indkommende bølge. Der
findes idag idag en teknik som muligør sammenpresningen af lyset inde i
en gruppe af optiske spejle, kaldet ”degenerate optical parametric oscillator”,
eller DOPO i forkortelse. Typisk bliver DOPO idag brugt til at
5

Nyheder og meddelelser Gamma 150
bringe støjniveuet ned med ca. 10dB. Man kan ikke set bort fra de mange
muligheder denne process tilbyder, især indenfor natur videnskaben der
gør brug af mange apparaturer der er meget følsomme overfor ændringer.
Kilder:
[1] http://focus.aps.org/story/v21/st16
[2] http://link.aps.org/abstract/PRL/v100/e203601
Neutrinofonen
MA
Forestil dig, at vi sidder vi midt p˚a en kosmisk informationsmotorvej og
kigger efter røgsignaler, mens civilisationerne omkring os kommunikerer
vha. radio...
John Learned og kollegaer fra Hawaii Universitet argumenterer for at
intelligente rumvæsener ikke ville vælge at signalere vha. elektromagnetisk
str˚aling men derimod vha. neutrinoer. Vi spejder s˚aledes i øjeblikket
efter de helt gale signaler, mener forskerne, og de foresl˚ar, at jordens eksisterende
neutrinodetektorer skal tilpasses til jobbet og begynde at spejde
m˚alrettet efter evt. intelligent neutrinokommunikation.
Det virker m˚aske umiddelbart som en sær ide at kommunikere vha.
neutrinoer, da de som bekendt er ekstremt svære at detektere, idet de
meget nødigt vekselvirker med andre partikeltyper, men netop denne
egenskab sikrer dem næsten fri passage gennem mælkevejens stof i modsætning
til elektromagnetisk str˚aling. Hvis man tilmed kommunikerer
vha. højenergi neutrinoer er man stort set fri for baggrundsstøj, idet
højenergetiske neutrinoer kun dannes meget sjældent naturligt i Universet.
Forskerne foresl˚ar, at vi kigger efter neutrinoer med en energi p˚a 6,3
PeV, idet det er ved dette energiniveau en elektron kan interagere med
en antineutrino og skabe en W-boson. Et fænomen der ogs˚a kaldes Glashow
resonans. Learned og hans kollegaer foresl˚ar en m˚ade, hvorved mere
avancerede væsener end os selv forholdsvis let ville kunne producere 6,3
PeV neutrinoer. Bombarderes atomkerner med protoner med høj energi,
kan pioner med omkring 30 PeV skabes og disse vil igen henfalde til myoner
og myonneutrinoer med den ønskede energi. Tilmed dannes der ved
6

Gamma 150 Nyheder og meddelelser
denne proces b˚ade neutrinoer og antineutrinoer og man foræres s˚aledes
en metode til at signalere med binærkode.
Jordens eksisterende neutrinodetektorer er endnu ikke gearet til at registere
denne type signaler, men forskerne mener, at vi ikke er langt fra at
konstruere en detektor, der kan. IceCube neutrinodetektoren, der netop
nu er under konstruktion p˚a sydpolen, ville med sit 1 kubikkilometer store
detektorvolumen f.eks. kunne klare jobbet. Detekterer vi blot én eller to
6,3 PeV neutrinoer er det ifølge forskerne nok til at konkludere, at der
er ugler i mosen, og at neutrinoen m˚a være kunstigt fremstillet, idet der
ikke eksisterer nogen naturlige mekanismer, der producerer neutrinoer
med denne energi.
Kilder:
[1] http://news.softpedia.com/news/Intelligent-Alien-Races-Could-Communicate-Through-Neutrino-Beams-
86221.shtml
[2] http://physicsworld.com/cws/article/news/3428
SH
7

The case of the bottled Nobel medals
Af
Stephan Schwarz
Stephan Schwarz (f. 1932) er docent ved fysisk institut p˚a Stockholms Universitet. Han
har tidligere været ansat som overingeniør ved Forsvarets Forskningsanstalt, Stockholm
og som overbibliotekar ved Tekniska Högskolan i Stockholm og CERN, Genève. Schwarz
har desuden lavet projekter hos OECD i Paris og hos UNESCO i Sri Lanka, Kina, Kenya,
Tanzania, Etiopien, Guyana.
In an autobiographical essay, George de Hevesy (1943 Nobel Laureate)
writes:
8
”My work was interrupted only one day during the enemy
occupation of Denmark. When, in the morning of Denmark’s
occupation [9 April 1940], I arrived in the laboratory, I found
Bohr worrying about Max von Laue’s Nobel medal, which
Laue had sent to Copenhagen for safe-keeping. In Hitler’s
empire it was almost a capital offense to send gold out of
the country and, Laue’s name being engraved into the medal,
the discovery of this by the invading forces would have had
very serious consequences for him. (Three years later the invading
army occupied Bohr’s Institute.) I suggested that we
should bury the medal, but Bohr did not like this idea as
the metal might be unearthed. I decided to dissolve it. While
the invading forces marched in the streets of Copenhagen, I
was busy dissolving Laue’s and also James Franck’s medals.
After the war, the gold was recovered and the Nobel Foundation
generously presented Laue and Franck with new Nobel
Medals.” 1

Gamma 150 Stephan Schwarz
Figur 1: Max von Laue. Picture taken from www.nobelprize.org
Rather than medals, among Bohr’s first concerns on that day (after
arrival from Oslo in the morning) was the archive of the Danish Committee
for Support to Refugee Intellectuals, which he had helped to create
in 1933. To avoid that the Committee’s archive might fall into the hands
of the Germans, it was burnt immediately. He also contacted the University
Rector 2 C. Bloch concerning strategies in case of possible German
repressive actions against university staff and visitors, including Hevesy
- and Lise Meitner, who had arrived from Stockholm the day before 3 .
Although at first reading, this medals story, which is retold in many
places, 4 gives impression of fictional improvement, 5 there is at least indirect
evidence of authenticity. James Franck must have brought his medal
when he came to work at NBI 6 in 1934 - perhaps he just forgot the matter
when he left. Laue may have had his transferred by a visitor from
Copenhagen, possibly anticipating confiscation after the débâcle around
Ossietzky’s peace prize. 7 Hevesy, sensing an imminent danger, might have
had the medals machine-milled to shavings in the NBI workshop to speed
up the disintegration by aqua regia. There is no record of how the metal
was recovered, but the work was done ”by Bohr’s third son”. 8 The Royal
Swedish Academy of Sciences received a package from the Danish Em-
9

The case of the bottled Nobel medals Gamma 150
bassy by 20 Jan. 1950. 9 Replacement medals were given to James Franck
at the Swedish consulate in Chicago, and to v. Laue in the context of
the 50-year Nobel anniversary in 1950. It must be assumed that these
replicas were produced to current standards, and that the metal received
from Copenhagen was sold or reprocessed.
In a letter 10 from Zürich to Bohr, dated 21 Jan. 1947, Laue writes about
his medal:
”[Otto] Stern told me inter alia about your efforts concerning
my Nobel medal. I am much obliged to you, but I implore you
neither to send the medal to Germany, nor to write to my German
address about this or related matters, which are to be
mentioned in the sequel. [...] Indeed, in addition to the Nobel
medal I did commit to your charge the golden Planck medal,
the Ladenburg medal and the small Matteucci medal. 11
Could you please inquire with our colleague R. Ladenburg
about the replacement of the medal struck with his brother’s
image. There are surely one or several recipients of this medal,
whose specimens could be used as models. I am trying
to find out in Berlin whether the embossment punch for the
Planck medal still exists. Naturally, I have not yet heard from
our colleague C. Rasmussen, whom I asked about this matter.
And it is nowadays hardly meaningful to speak about
the Matteucci medal. // Further: Also my Nobel diploma was
left in your institute. Would there be any prospect for receiving
a replica? You might inform me at your convenience, to
Göttingen (Bunsenstrasse 16) - this matter is not sensitive.” 12
The precautions were occasioned by a regulation that German property
abroad (including gold) had to be transferred to the Allies. The only other
reference to Laue’s Matteucci medal in the NB Archive is a handwritten
note referring to ”2 plates totaling 200 g, and several pieces totaling 249
g”, and the comment: ”Laue’s Italian medal - 54 g”. Perhaps it went
along with the others to the dissolving bath. The Planck medal turned
out to be gold-plated silver with some palladium. 13 This may have been
discovered at the invasive preparation for dissolving, although the mere
weight ought to have raised suspicion The Nobel diploma was transferred
10

Gamma 150 Stephan Schwarz
from the Niels Bohr Archive to the Archiv zur Geschichte der Max-Planck-
Gesellschaft in June 2000.
The matter was evidently of considerable concern. Yet, Bohr must have
been surprised for several reasons, obvious to a present-day reader.
The medals incident is enigmatic. Even if the export of gold from the
Reich was prohibited, Laue’s medal was from 1914 and Franck’s from
1926. In 1940 it could not be proved that they were still owners - Niels
Bohr and August Krogh had sold theirs at an auction as late as March
1940 (at five times the gold value, for the benefit of the Finland aid program
14 ) - and anyway Franck was in USA and no longer a German citizen.
In addition, agreements were reached on the day of occupation granting
the Danish government continued civil administration. There were no
decrees about gold confiscation (and never came). An immediate search
of NBI premises by German security police was highly unlikely - actually
it came only in December 1943, thirteen weeks after the Danish Government’s
resignation followed by German introduction of war conditions -
and in that event much more would be at stake. To get the medals out
of NBI, deposition in the Swedish embassy or in the Frederiksborg museum
(which had Bohr’s and Krogh’s) would have been simple. If hiding
was an issue, quick non-destructive ways were at hand (cementing into a
wall, casting into a block of lead or paraffin). As to destructive methods
(melting or dissolving) only the metal value were saved - one could just
as well have sold the metal in the unidentifiable form of shavings, if one
had presentiments of any threat.
Hevesy was normally quite indifferent to external conditions. He was
extremely rational and result-oriented, accommodating to different environments
and research groups without lead time, and during his career
producing over 400 scientific papers in many fields. After the Machtübernahme,
when Martin Heidegger, newly appointed Rector, nazified
the University of Freiburg - including implementation of the Reichsgesetz
zur Wiederherstellung des Berufsamtentums [the anti-Semitic civil service
law]- Hevesy stayed on until October 1934, before moving to Copenhagen.
He even included that time among the best of his life. 15 Apparently,
in Copenhagen under occupation, he gave little thought to the latent risk
of anti-Semitic actions, which were legion in all other countries in the
German sphere of influence. This indeed came about on 1 October 1943,
11

The case of the bottled Nobel medals Gamma 150
Figur 2: George de Hevesy. Picture taken from www.nobelprize.org
convincing Hevesy to escape to Stockholm. 16 If one considers that risk, it
is surprising that he took, on 9th April 1940, so much trouble to eliminate
the two Nobel medals - it gives the appearance of an act of panic.
But on the following day, things were back to normal. His later statement
that he only lost a single working day due to the German occupation of
Denmark, is characteristic.
Possibly, when writing his biographic essay 17 , Hevesy again felt the
need to justify the liquefaction of the medals. In a letter to v. Laue,
dated 6 Jan. 1957, he tells the story almost verbatim as in the essay, but
adds:
”... Later the Nazis occupied Bohr’s Institute and searched
everything very carefully, especially the vault where your medals
had been stored. If they had found your medals in their
original state, you would probably have landed in prison and
would surely have wished you had never received them.” 18
This was ten years after v. Laue’s letter to Bohr (quoted earlier), and
six years after the replacement medal had been provided. As if to convince
himself, Hevesy emphatically maintained the wisdom of his judg-
12

Gamma 150 Stephan Schwarz
ment, although the dramatic statement is entirely hypothetical, and the
obvious non-invasive alternatives are not even mentioned. The German
security police certainly requested that the NBI safe should be opened
for inspection, but they were primarily interested in evidence for research
on fast neutron physics. This is why they confiscated the cyclotron logbook
which was returned, some time after the unconditional release of
the Institute, by Heisenberg who had acted as scientific advisor to the
Reichsbevollmächtigte Werner Best. 19
Perhaps one should look for an explanation in Hevesy’s past. In the autobiographical
note he prepared as background material for the ”Biographical
Memoirs of Fellows of the Royal Society” 20 he recalls his functions
during the Great War. He was appointed by the Austrian War Office to
supervise the refinement of copper in the electro-chemical works at Nagy-
Teteny near Budapest, and at Beszterczebanya in the Carpathians. The
”raw material”used was church bells requisitioned by the imperial army
in the Balkans. Then, in the beginning of October 1918, he was transferred
to the nearby Kormoczbanya Hungarian State Foundry, to manage
the enhanced production of war medals. So he had expertise.
Ironically, having escaped the postulated peril carried by ownership of
the Nobel medal in NS-Germany, and the regulations by the Allied occupation
administration, v. Laue inadvertently, and helped by the Danish
ambassador in Stockholm, evaded a third confiscatory law. Immediately
after the German capitulation in Denmark, 5 April 1945, the legal foundations
for confiscation of German property in Denmark were established. 21
In principle, a bottle with half of the aqua regia solution at NBI should
have been delivered to the Danish authorities. Perhaps, with the interference
of the Royal Swedish Academy of Sciences, a case might have been
made for an exception, on the hardly credible assertion that the bottle
contained a Nobel medal.
Acknowledgements
The author wishes to thank Ms. Felicity Pors, the Niels Bohr Archive,
for access to files, prof. Henk Kubbinga, Groningen University, for explanation
of the gold recovery processes, and prof. Ruth Lewin Sime, Sacramento
CA, and prof. Anders Bárány, the Nobel Museum, Stockholm, for
13

The case of the bottled Nobel medals Gamma 150
14

Gamma 150 NOTES
helpful comments on the manuscript.
Note on copyright clearance
The author wishes to thank Angela von Laue (Worcester MA), and Stefan
de Hevesy (Stockholm), for messages that the families do not claim
copyright for unpublished correspondence of Max von Laue and George
de Hevesy.
Notes
1 [5], p 27
2 S. Rozental in [1], p150,156
3 In a letter to Margrethe Bohr, dated 25 April 1940, Otto Hahn in a circumscribed way expresses
concern about Lise Meitner, whose name is slightly encrypted: ”Anfangs war ich recht erschrocken über
die Nachricht von Tante Lises Reise, aber je mehr ich mir es überlege, desto mehr komme ich zu dem
Schluss, dass sie es in jetziger Zeit nirgends besser haben kann und sie ungestörter sein kann als bei
Ihnen.”[In the beginning I was rather frightened by the news about Aunt Lise’s travel. But the more I
think about it, the more I arrive at the conclusion that in present circumstances she could not be better
off and more undisturbed than staying with you.] (NB Archive, Bohr private correspondence).
4 For example [9], p 480; [6]; [10], p 64. Although Rozental was at NBI, his account does not give the
impression of an eye-witness description.
5 Cf. Bohr’s dictum, allegedly a quotation from a German colleague ”Bei der Wiedergabe einer wahren
Geschichte soll man sich nicht allzu sehr von den Zufälligkeiten der Wirklichkeit beeinflussen lassen”(S.
Rozental in [1], p 157) [When telling a true story, one should not allow oneself to be overly influenced by
the caprices of reality]
6 NBI is an acronym for Niels Bohr’s Institute, at the time officially called The University’s Institute
for Theoretical Physic (UITF)
7 In 1936, while in concentration camp as a pacifist, Carl v. Ossietzky was awarded the 1935 Nobel
Peace prize (nominated inter alia by Einstein. By decree, Hitler forbade German citizens to accept the
Nobel Prize. Having been awarded the 1938 Chemistry Prize, Richard Kuhn, in a remarkable repudiation
to the Royal Swedish Academy of Sciences, accused the academy of having tried to incite him to act in
violation of the Führer decree, signing with ”Heil Hitler”and the proclamation ”Des Führers Wille ist
unser Glaube”([3], p.477) [The Führer’s will is our creed]. Kuhn received the prize after the war.
8 This is mentioned in [4]. The standard procedure would be evaporating, followed by heating in a
carbon-arc oven. Subsequent elimination of impurities would be made by cupellation, i.e. wrapping the
sample in lead and renewed heating. This method is known since classical antiquity.
9 According to the receipt signed by the Academy’s caretaker J. Eklund, a package addressed to prof.
A. Westgren, the Academy’s secretary, and ”allegedly containing the gold contained in prof. M. von
Laue’s and prof. Niels Bohr’s Nobel medals”was picked up at the Danish Embassy in Stockholm. This
receipt was sent, via the Danish Ministry of Foreign Affairs, to Bohr who corrected the error in a letter
to Westgren, dated 24 January 1950 (Copies in the Niels Bohr Archive)
10 Niels Bohr Archive, dossier on the medals incident
11 The Matteucci medal (for fundamental contributions to the progress of Science) was established by
the Accademia Nazionale delle Scienze in 1870. The correlation with Nobel laureates is striking. The medal
was not awarded in the period 1932-56. V.Laue may have assumed that it was definitely discontinued.
15

NOTES Gamma 150
12 ”[Otto] Stern erzählte mir u.A. von Ihren Bemühungen um meine Nobel-Madaille. Ich bin Ihnen
dafür sehr dankbar, bitte sie jedoch dringend, weder die Medaille nach Deutschland zu senden, noch mir
dorthin irgend etwas über diese und die sogleich zu besprechenden Angelegenheiten nach Deutschland
zu schreiben. [......] Nun hatte ich Ihnen ausser der Nobelmedaille auch die goldene Planck-Medaille, die
Ladenburg- und die kleine italienische Matteucci-Medaille übergeben. Bitte erörtern Sie doch einmal mit
Koll. R. Ladenburg die Wiederherstellung der auf seinen Bruder geprägte Medaille. Es gibt sicher noch
einen oder mehrere Inhaber dieser Medaille deren Exemplare als Modell dafür dienen könnten. Ob die
Präge-Mater der Planck-Medaille noch existiert, suche ich in Berlin festzustellen. Ich habe freilich von
Kollegen C. Rasmussen, den ich befragte, noch keine Antwort. Und über die Matteucci-Medaille lässt sich
heute wohl nicht reden. // Weiter: In Ihrem Institut lag auch meine Nobel-Urkunde. Ob wohl Aussicht
auf deren Erneuerung besteht? Darüber könnten Sie mir gelegentlich nach Göttingen (Bunsenstrasse 16)
berichten, dagegen bestehen keine Bedenken.”
13 [4]. Hevesy’s comment suggests that the medal was discarded.
14 Sigrid Undset and Selma Lagerlöf had donated their Nobel medals for the same purpose.
15 [2], p 140. In 1933, though, he perceived the predicament differently. In a letter to Fr. Paneth on
his decision to move to NBI, dated 25 Aug. 1933, he writes: ”Mein Freiburger Institut zu verlassen habe
ich bereits ganz verschmerzt, was ich noch nicht verschmerzt habe ist das Scheiden von meinen Kollegen
und Studenten?”. [I have already reconciled myself with leaving my Freiburg institute, but I still cannot
come over the grief of the separation from my colleagues and students.] In a letter to Bohr (15 October
1933) he casually mentioned the ”loss”of several colleagues, obviously due to to the application of racial
laws. When coming to work with Hans v. Euler (1929 Nobel Laureate) in Stockholm in October 1943, he
did observe that his ”lieber und verehrter Freund”[dear and venerated friend] had shown great sympathy
for the German Reich, but he was not interested in a colleague’s political views as long as scientific
co-operation was desirable and productive ([7], p 73 and 100).
16 [2], p 147. According to a myth in the literature, he simply took the train from Copenhagen, passing
the border control on his Hungarian passport. His own account tells that he was shipped across on a
fishing boat, like most refugees of the period.
17 [5]
18 [4]. These lines are quoted in [12], p 283. The letter is reproduced below as facsimile.
19 The incident of the occupation of NBI is studied in [11]
20 [2], p. 132
21 [8]
Litteratur
[1] Niels Bohr Hans liv og virke fortalt af en kreds af venner og medarbejdere (Copenhagen:
J. H. Schultz Forlag, 1964)
[2] J.D. Cockcroft: Georg de Hevesy (Biogr. Memoirs of the Royal Society 13(1967)125-
165). This essay is signed by Sir J.D.Cockcroft, but essentially written by Hevesy
- several manuscript fragments are available at the NB Archive.
[3] U. Deichmann: ”Dem Duce, dem Tenno und unserem Fürer ein dreifaches Heil”(in
D. Hoffmann and Mark Walker (eds.): Physiker zwischen Autonomie und Anpassung
(Weinheim: Wiley-VCH Verlag, 2006)
[4] Letter from G. de Hevesy to Max v. Laue, dated 6 January 1957 (Copy in the
Meitner Collection, Churchill College, Cambridge (UK).) Reproduced here as facsimile.
16

Gamma 150 NOTES
[5] George de Hevesy: A Scientific Career (in Perspectives in Biology and Medicine
1:4 (1958) 345) [reproduced in Adventures in Radioisotope Research, vol I (New
York: Pergamon Press, 1962)]
[6] Birgitta Lemmel: The Nobel Medals and the Medal for the Memorial Prize in Economic
Sciences (http://www.nobel.se/medal.html)
[7] Hilde Levi: George de Hevesy - Life and Work (Copenhagen: Rhodos, 1985)
[8] Joachim Lund: Spøgelser - Krigsgæld er for længst betalt tilbage (Politiken 11 April
2007)
[9] Abraham Pais: Niels Bohr’s Times in Physics, Philosophy, and Polity (Oxford:
Oxford University Press, 1991)
[10] Stefan Rozental: Niels Bohr - Erindringer om et samarbejde (Copenhagen: Chr.
Ejlers Forlag, 1985) [English translation: Niels Bohr: Memoirs of a working Relationship
(Copenhagen: Chr. Ejlers Forlag, 1998); German translation: Schicksalsjahre
mit Niels Bohr: Erinnerungen an den Begründer der modernen Atomtheorie
(Berlin: Deutsche Verlagsanstalt, 1991)]
[11] S. Schwarz: On the Occupation of Niels Bohr’s Institute (6 December 1943 -
3 February 1944) [MS dated 10 November 2007, available as PDF file from
www.stephanschwarz.se]
[12] Ruth Lewin Sime: Lise Meitner - A Life in Physics (Berkeley: Univ. of California
Press, 1996)
17

Superkontinuum - et glimt fra en
eksperimentel ph.d.
Af
Rebecca B. Ettlinger og Peter M. Moselund
Peter M. Moselund er Ph.d.-studerende p˚a DTU og Rebecca er Kandidat-studerende p˚a
KU.
Hvad sker der, n˚ar man tager alle de effekter, som fornuftige mennesker
i telekom og anden normal optik prøver at undg˚a, og lader dem spille
sammen?
-S˚a ser man lyset!
Vel at mærke et str˚alende hvidt lys.
Dette lys kaldes superkontinuum og lyder som et paradoks: En hvid
laser. Lasere er jo netop kendt for at best˚a af blot en enkelt farve lys,
som s˚a til gengæld er meget intens. Ikke desto mindre kan man ved at
generere et superkontinuum gøre laserlys hvidt. Det gøres ved at sende
meget intenst lys gennem f.eks. glas, hvorved der opst˚ar s˚akaldte “ulineære
effekter“. Effekterne gør, at lyset breder sig ud fra sin oprindelige
farve til mange forskellige og efterh˚anden bliver hvidt, samtidig med at
det beholder sin høje intensitet: Vi har et superkontinuum.
Superkontinuum kan bruges p˚a mange omr˚ader. F.eks. til m˚aling af
forurening i atmosfæren, til mikroskopi og til optisk kohærenstomografi,
et redskab til at diagnosticere hudkræft.
Pt. bruger man meget krudt p˚a at optimere superkontinuumer til disse
forskellige anvendelser, og det er ogs˚a emnet for den ph.d., som denne artikels
hovedperson, Peter Moselund, udfører. Vi vil her fortælle om resultaterne
af noget af hans forskning, et stykke eksperimentelt arbejde for at
forbedre superkontinuum til brug ved fluorescensmikroskopi. Vi kommer
ogs˚a rundt om teorien bag superkontinuum og teorien for kæmpebølger
18

Gamma 150 Rebecca B. Ettlinger og Peter M. Moselund
p˚a havet, superkontinuum til optisk kohærenstomografi og hvordan det
er at arbejde eksperimentelt i et felt, hvor fysikken er s˚a kompliceret, at
simuleringer og forsøg stadig tit giver ret forskellige resultater.
Lidt historie
Superkontinuum er endnu et relativt uudforsket felt. Effekten blev opdaget
allerede i 1970, men det er først inden for de sidste 10 ˚ar, at man er
begyndt at forske intensivt i den. Det var udviklingen af fotoniske krystalfibre
(PCF - photonic crystal fibre) i 90’erne, der satte skub i feltet ved
at forbedre mulighederne for at kontrollere superkontinuumet og dermed
for at skabe det ved lavere laserintensitet.
I dag er feltet s˚a langt, at du kan g˚a ud og købe en kommerciel superkontinuumkilde.
Men der er stadig mange løse ender i teorien og mange
muligheder for at tilpasse kilderne bedre p˚a forskellige anvendelser. Det
er ogs˚a noget af det, som gør forskningen spændende: Der er stadig meget
plads til at undersøge nye aspekter.
Hvordan skabes superkontinuum?
Superkontinuum kan laves b˚ade med pulsede og “continuous wave“ lasere.
Effekterne, der skaber kontinuumet, er lidt forskellige for de forskellige
typer lasere, men kan godt forklares samlet i store træk.
Blandt de vigtigste ulineære effekter er selvfasemodulation. Den kan
under de rigtige omstændigheder lede til skabelsen af solitoner, som ofte
er dem, der skaber superkontinuumet.
Selvfasemodulation sker, n˚ar pulset lys passerer gennem et materiale.
Pulsene best˚ar af “pakker“ af lys, som ændrer intensitet, mens de udbredes.
Ændringen i intensitet ændrer den hastighed, som fasen i lysets
svingninger bevæger sig med. Det sker, fordi fasehastigheden er omvendt
proportional med lysets brydningsindeks, og brydningsindekset vokser
med intensiteten. Resultatet er, at fasehastigheden falder, og lyset bliver
rødforskudt forrest i pulsen, hvor intensiteten vokser, mens det bliver
bl˚aforskudt i den bagerste del af pulsen, hvor intensiteten falder.
Ud over selvfasemodulation sker der ogs˚a almindelig dispersion i bølge-
19

Superkontinuum - et glimt fra en eksperimentel ph.d. Gamma 150
lederen. Dispersion er navnet for, at brydningsindekset og dermed lysets
fasehastighed ændrer sig med lysets bølgelængde. Ved normal dispersion
udbredes bl˚at lys langsommere end rødt. Ved nogle bølgelængder har
f.eks. glas dog anormal dispersion, hvor bl˚at lys udbredes hurtigere end
rødt.
I de fleste tilfælde forstærker selvfasemodulationen alts˚a effekten af dispersionen
ved at bl˚aforskyde det bl˚a lys og rødforskyde det røde, hvorved
lyset bagerst i pulsen gøres langsommere og lyset forrest hurtigere (pulsen
tværes ud i tid). Finder selvfasemodulationen dog sted i f.eks. en fiber
med anormal dispersion, vil de to effekter i stedet virke modsat hinanden.
Hvis de lige netop ophæver hinanden, opst˚ar solitoner. For en god
illustration af dette, se bogen Optiske Horisonter[1].
Solitoner og superkontinuum
I fotoniske krystalfibre, som er glasfibre med lufthuller i (se figur 1), kan
dispersionen styres ved at ændre p˚a lufthullernes størrelse, antal og placering.
S˚adan kan man designe en fiber med anomal dispersion, der, n˚ar
man sender lys af den rigtige bølgelængde igennem, f˚ar dispersion til at
g˚a ud med selvfasemodulation og skaber solitoner: Den langsomste del af
pulsen bl˚aforskydes af selvfasemodulation, men da bl˚at lys bevæger sig
hurtigere end pulsen ved anomal dispersion, bevæger det bl˚aforskudte lys
sig frem til starten af pulsen, hvor det rødforskydes af selvfasemodulationen,
osv. Dermed forhindres lyset i pulsen i at sprede sig tidsmæssigt og
kaldes en soliton.
N˚ar man regner p˚a solitonerne matematisk, finder man, at den p˚akrævede
balance mellem dispersion og selvfasemodulation gør, at jo mere energi
solitonen indeholder, jo kortere vil den være i tid. Derfor stiger en solitons
intensitet voldsomt med dens energi. Det følger forresten af en afledning
af Heisenbergs usikkerhedsprincip, at jo kortere solitonen er i tid, jo bredere
bliver den spektralt.
Grunden, til at solitoner kan danne superkontinuum, hænger sammen
med, at solitoner bliver rødforskudt lidt i forhold til den oprindelige puls,
n˚ar de afgiver energi til materialet i den fiber, de passerer. Afgivelsen
af energi til materialet er en ulineær proces, som er mere effektiv ved
høj intensitet end ved lav, og derfor rødforskydes de korte, mest intense
20

Gamma 150 Rebecca B. Ettlinger og Peter M. Moselund
Figur 1: Tværsnit af en fotonisk krystalfiber. I midten glas med lufthuller, udenom en
belægning.
solitoner hurtigere. Dermed kan man med forskellige pulslængder skabe
mange forskellige solitoner med forskellige farver i.
For en relativt enkel men mere dybdeg˚aende forklaring om selvfasemodulation
og solitondannelse, se bla. bogen Optiske Horisonter[1].
Pulsenes sammenbrud
N˚ar man bruger continuous wave og nano- eller picosekundpulsede lasere
til at skabe sit superkontinuum, dvs. man benytter lasere med relativt
lange pulser, skabes kontinuumet af s˚akaldt modulationsinstabilitet. Modulationsinstabilitet
virker lidt ligesom selvfasemodulation: Den kontinuerte
bølge af lys (eller den lange puls) opdeler sig ved høj intensitet i
mange tilfældige solitoner, n˚ar den bevæger sig gennem en glasfiber med
den rette dispersion. Da der genereres et stort antal forskellige solitoner,
bliver deres spidser tværet ud som beskrevet ovenfor, og der genereres et
bredt jævnt spektrum, som dog varierer fra puls til puls. Bemærk, at solitonerne
her kun danner den røde del af kontinuumet direkte; den bl˚a del er
noget mere kompliceret. For nærmere forklaring, se f.eks. review-artiklen
Supercontinuum generation in photonic crystal fiber[3]. Det er muligt at
producere en høj effekt med picosekundlasere, hvilket gør dem egnede til
mange anvendelser.
21

Superkontinuum - et glimt fra en eksperimentel ph.d. Gamma 150
Modulationsinstabilitet forklares som regel af teoretikere ved at vise
ligningen for udbredelsen af laserlys ved konstant intensitet og vise, at den
tilhørende løsning ikke er stabil ved pertubationer, hvis dispersionen er
anormal. Jævnt sagt er det de samme effekter, som vi tidligere forklarede
kunne give stabile solitoner, der gør, at de sm˚a lokale fluktuationer, som
altid er i intensiteten (nærmest sm˚a pulser), vil forstærkes og derfor lede
til at lyset bryder op i solitoner. Modulationsinstabilitet findes i mange
fysiske systemer og forekommer fx ogs˚a i fluidmekanik og plasmafysik.
Der kan være mange andre ulineære effekter involveret i at brede lyset
ud end dem nævnt ovenfor. Blandt andet dispersive bølger (Cerenkov
str˚aling), som har en del af ansvaret for den bl˚a del af superkontinuumet,
og firebølgeblanding, som opst˚ar, n˚ar to fotoner udveksler energi og skaber
to nye, én ved højere energi og én ved lavere energi. Firebølgeblanding
forklares mere indg˚aende til slut i denne artikel. Man kan ogs˚a læse mere
om disse og andre effekter i [3] og i bogen Nonlinear Fiber Optics[2].
Findes solitoner ogs˚a p˚a verdenshavene?
Nature bragte i december 2007 en artikel om s˚akaldte “rogue waves,“
kæmpebølger, der ind i mellem opst˚ar p˚a havet som ud af ingenting.
Artiklen udforsker, om disse kæmpebølger m˚aske opst˚ar p˚a samme m˚ade
som solitoner i optiske bølgeledere [4].
Forfatterne har m˚alt sjældne solitoner, som de kalder “optical rogue
waves,“ der somme tider kan findes i optiske fibre, selvom intensiteten i
det laserlys, man bruger, egentlig ikke burde være stærkt nok til at skabe
dem. De foresl˚ar, at mekanismen er den samme som den, der pludselig
skaber en kæmpebølge p˚a et ellers roligt hav. Den bølge, man observerer
i fiberen, har nemlig mange ligheder med kæmpe-havbølgerne: De opst˚ar
ud fra sm˚a tilfældige fluktuationer og er meget brede spektralt, men til
gengæld ogs˚a meget korte. Kæmpebølgerne til havs sammenlignes med
vægge af vand, mens de optiske “kæmpebølger“ minder meget om solitoner.
Forfatterne har bekræftet den direkte observation af de optiske kæmpebølger
ved simuleringer og har fundet flere paralleller til vandbølger.
Man ved endnu ikke ret meget om, hvordan kæmpebølgerne opst˚ar i
vand, og hvordan de evt. kan forudsiges, men meget tyder p˚a, at viden
22

Gamma 150 Rebecca B. Ettlinger og Peter M. Moselund
om solitoner kan være med til at give et fingerpeg.
Superkontinuum til OCT
P˚a DTU-Risø forsker man pt. i, hvordan man kan benytte superkontinuum
til optisk kohærenstomografi (OCT). OCT bruger lys til at undersøge
f.eks. øjets nethinde eller hudens yderste lag efter samme princip
som ultralyd: Man sender lys ind mod overfladen, m˚aler refleksionen og
danner et billede af, hvad der er under overfladen. Dette kan ogs˚a bruges
til f.eks. at undersøge blod˚arer for forkalkning.
Til OCT vil man gerne have et spektrum, der er s˚a bredt som muligt
omkring bestemte bølgelængder, men samtidig har meget lidt støj.
Jo bredere spektret er, jo bedre bliver opløsningen af tomografiet nemlig
i dybden, men samtidig er man begrænset af, at vævet kun transmitterer
lys af bestemte farver. Derfor er det spektrum, man skal bruge i
OCT, bredt sammenlignet med de fleste normale lyskilder, men ret smalt
sammenlignet med de fleste superkontinua. Da ændringerne af vævets
optiske egenskaber ned igennem huden til gengæld er meget sm˚a, er det
nødvendigt at udvikle superkontinuum kilder, hvor der er meget lidt støj
i lyset.
Genereringen af lyset i de fleste kommercielle superkontinuum kilder
bliver startet af den tilfældige og derfor støjende modulationsinstabilitet.
Derfor er m˚alet med udviklingen af lyskilder til OCT at f˚a karakteriseret
støjen i lyset og at finde en kombination af lasere og fotoniske krystalfibre,
som giver mindst mulig støj.
Hvis du har interesse i dette, udbydes der i øjeblikket et afgangsprojekt
inden for dette omr˚ade p˚a Risø.
Skræddersyet superkontinuum
En anden del af den nyeste forskning p˚a DTU har drejet sig om, hvordan
man kan forbedre superkontinuum til mikroskopering, og her kommer
Peters ph.d. ind. I mikroskopi bruges superkontinuum til at eksitere de
selvlysende markører til flourescensmikroskopi. Her er det ikke praktisk
at bruge en almindelig laser, da forskellige markører skal eksiteres med
23

Superkontinuum - et glimt fra en eksperimentel ph.d. Gamma 150
forskellige farver lys, og man derfor gerne vil benytte mange forskellige
farver. Samtidig kan man ikke nøjes med en almindelig hvid lyskilde -
den giver simpelthen ikke effekt nok i de enkelte farver.
Derfor er man nu begyndt at benytte en superkontinuum-kilde plus et
indstilleligt filter, som udvælger de farver, man har brug for. Men filtret
betyder, at det meste af lyset g˚ar tabt, og man spilder en masse energi.
Man er nemlig nødt til at have meget energi i hele superkontinuumet,
for at kunne levere nok energi i hver enkelt farve til at de fluorescerende
markører bliver synlige.
Det ville derfor være en stor fordel, hvis man løbende kunne styre,
hvilke farver der primært bliver dannet i spektret. Da de fluorescerende
markører typisk ligger i det synlige spektrum og altid skal eksiteres med
lys med kortere bølgelænge end det de udsender (dvs. mere bl˚at lys), er
der ogs˚a stort fokus p˚a at udvikle lyskilder med mere bl˚at lys til disse
anvendelser.
Det, Peter har undersøgt, er om det er muligt at forstærke enkelte dele
af superkontinuumet ved hjælp af filtre og spejle. H˚abet var, at det ville
være muligt udvælge præcis hvilke dele blot ved skrue p˚a enkelte gitre
[5].
Kan man indstille spektret?
Udgangspunktet for forsøget var en picosekundpulset laser. Den laver
et bredt superkontinuum efter nogenlunde den proces, som er beskrevet
ovenfor for lasere med lange pulser. Man mener dog, at der er flere
ulineære effekter involveret end dem beskrevet her.
Nu er kernen i forsøget at prøve at selvforstærke bestemte dele af spektret
ved at reflektere dem tilbage i fiberen. Nogle ulineære effekter i fiberen
virker nemlig forstærkende i bestemte bølgelængdeomr˚ader. Se diagram
for den del af opstillingen hvor forstærkningen finder sted i figur 2.
Virker det?
Forstærkningen lykkes! Se figur 3 - her kan man se, at der er kommet en
skarp top ved høje bølgelængder i spektret og en del mindre toppe p˚a ved
24

Gamma 150 Rebecca B. Ettlinger og Peter M. Moselund
Figur 2: Pumpelyset kommer ind i systemet som en kollimeret str˚ale øverst til højre,
hvorfra det reflekteres hen til fiberen af et spejl (2), som kun reflekterer pumpens
bølgelængder og lader andre bølgelængder passere frit. Derefter fokuseres lyset ind i
fiberen (4) med en linse (5). En anden linse (5) sørger for at opsamle lyset, som kommer
ud af fiberen, og kollimerer det til en str˚ale. En reflektor (6) med en reflektion
p˚a 10 % over hele spektret sorterer lidt af fiberens output-lys fra, s˚aledes at det kan
blive m˚alt med et spektrometer. Derefter sørger endnu et 45 graders spejl for at sortere
overskydende pumpelys fra. Det overskydende pumpelys sorteres fra fordi det ellers
kan ødelægge pumpesystemet, hvis det reflekteres direkte tilbage. Endelig benyttes et
sølvspejl (3) og et bølgelængde-selektivt spejl (7) til at reflektere det lys, som skal sendes
tilbage i fiberen for at give forstærkning. Det bølgelængde-selektive spejl kan flyttes
frem og tilbage for at justere, hvor lang tid lyset er om at løbe gennem systemet. S˚aledes
kan man sørge for, at det lys, der bliver reflekteret, kommer til at være tilstede i fiberen
samtidig med en pumpepuls.
kort bølgelængde.
Den skarpe top blev genereret præcis ved den kraftigste bølgelængde i
refleksionen. Det var derfor et h˚ab, at hvis man varierede den bølgelængde,
der blev reflekteret, s˚a ville man ogs˚a kunne variere, hvor man genererede
en top i spektret. Dermed kunne man m˚aske indstille forstærkningsomr˚adet
blot med indstillelige reflektorer. Om det var muligt, afhang af
præcis hvilke effekter, der skabte forstærkningen.
Teori vs. praksis
Teorien for de effekter, som skaber superkontinuum er ikke særligt veludforsket
endnu, og der er derfor usikkerhed om, hvilke effekter der præcis
25

Superkontinuum - et glimt fra en eksperimentel ph.d. Gamma 150
Power [dB]
0
−20
−40
−60
−80
700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400
Wavelength [nm]
Figur 3: Pumpe og superkontinuum. I midten (stiplet linie) ses spektret for den oprindelige
laser-pumpe. Spektret for superkontinuumet ses b˚ade med (sort) og uden (gr˚a)
forstærkning. Det er tydeligt, hvor meget pumpens spektrum bredes ud n˚ar superkontinuumet
genereres. De ekstra peaks fra forstærkningen ses ogs˚a tydeligt b˚ade til venstre
og til højre p˚a figuren
finder sted i forskellige variationer af superkontinuum generering. Det
skyldes til dels, at lysintensiteten, længden af ens lyspulser og fiberens
dispersion p˚avirker samspillet mellem de forskellige processer i meget høj
grad. Der er alts˚a mange frie variable. Den anden del af forklaringen er,
at de numeriske beregninger, der skal til for at simulere processerne, kan
være meget komplekse.
N˚ar man skal eftervise en teori for hvilke fysiske effekter, der er involveret
i forstærkningen, skal man nemlig gerne kunne finde den samme
effekt ved simuleringer. Den store udfordring er at “oversætte“ det praktiske
forsøg til det teoretiske sprog ved at finde de rette fysiske egenskaber
for forskellige dele af systemet og at foretage de rigtige approksimationer.
Efter at have arbejdet med dette en tid, n˚aede Peters gruppe frem
til at kunne simulere en forstærkning, som lignede den eksperimentelle.
26

Gamma 150 Rebecca B. Ettlinger og Peter M. Moselund
Derefter l˚a arbejdet i at finde, hvilke dele af ligningerne og dermed hvilke
fysiske effekter, der dannede forstærkningseffekten.
Nu, 3 m˚aneder efter at forsøgene blev afsluttet, er simuleringerne kommet
s˚a langt, at man kan se, at forstærkningen næsten udelukkende skyldes
firebølgeblanding (se nedenfor). Det havde man ellers ikke troet ud
fra superkontinuum-spektret. Desværre er det d˚arligt nyt: Det betyder,
at forstærkningsspektret ikke vil ændre sig meget, hvis man reflekterer
en anden del af det oprindelige spektrum. Alt i alt ser det ud til, at man
ikke kan bruge metoden til at lave en indstillelig laser alligevel.
Trods alt er det dog værd at vide, at denne type forstærkning kan finde
sted, da den kan opst˚a ved et sammentræf i en almindelig opstilling. Samtidig
har man f˚aet undersøgt superkontinuum-generering med en hidtil
uudforsket kombination af laser- og fibertype.
Forstærkning ved firebølgeblanding
Da forstærkningen i forsøget skyldes firebølgeblanding, vil vi her forklare
effekten nærmere:
Firebølgeblanding kan beskrives som genereringen af to nye farver lys
fra lys af en eller to tilstedeværende farver. Den skyldes, at elektronerne
i materialet ikke reagerer lineært, n˚ar de p˚atrykkes lysets elektromagnetiske
felt. Mere specifikt skyldes det, at den polarisering, der induceres i
materialet, ikke er lineær med feltet men har en uliniær del, hvis størrelse
styres af materialets ulineære susceptibilitet. Ud fra et kvantemekanisk
syspunkt sker der det, at fotoner fra en eller flere bølger tilintetgøres,
samtidig med at der skabes nye med en anden frekvens. Dette skal ske p˚a
en m˚ade, s˚a b˚ade energi og impuls bevares.
Da energi og frekvens (ω) for fotoner er to sider af samme sag, betyder
energibevarelsen, at summen af fotonernes frekvenser skal være konstant
før og efter processen. I det mest typiske tilfælde betyder det, at ω1+ω2 =
ω3+ω4. I det hyppige tilfælde kaldet “degenereret firebølgeblanding,“ som
giver forstærkningen i dette eksperiment, gælder, at ω1 = ω2.
Impulsbevarelsen betyder, at summen af fotonernes fase skal være konstant
gennem processen. Ved degenereret firebølgeblanding tilfredsstilles
dette ved, at de to nye bølger skabes symmetrisk omkring den originale.
Dvs. 0 = ω1 − ω3 = ω4 − ω1. Det lavfrekvente og højfrekvente b˚and kaldes
27

Superkontinuum - et glimt fra en eksperimentel ph.d. Gamma 150
henholdsvis Stokes og anti-Stokes b˚andene. Firebølge blanding foreg˚ar
desuden som en forstærkningsproces, s˚aledes at der genereres mere lys
ved de nye bølgelængder, hvis der allerede er lys dér.
Overholdelsen af kravet om energi- og impulsbevarelse gør, at en fiber
med en bestemt dispersionsprofil, der pumpes med en bestemt farve og
intensitet, altid vil generere lys de samme steder via firebølgeblanding.
Mængden af lys der genereres kan øges ved at sørge for, at der allerede er
lys, som kan blive forstærket. Men frekvenserne, hvor lyset bliver genereret,
kan kun ændres ved at ændre fiberen eller pumpe-lysets bølgelængde
eller intensitet.
Hvordan er det at arbejde med superkontinuum?
Det er spændende at arbejde med en teknologi, som netop nu er i gang
med at f˚a sit kommercielle gennembrud og blive accepteret i en lang række
bio-optiske systemer. S˚a kan man se, det kan bruges til noget.
Det er ogs˚a spændende, at ens ideer potentielt kan blive betydningsfulde
for en teknologi, der direkte kan overtage et stort marked for specielle
lyskilder. I dag har dette marked en omsætning p˚a en milliard kroner,
og er endda i kraftig vækst. Denne type lyskilder kan blive meget vigtige
i fremtidens laboratorie- og hospitalsudstyr.
Derfor er det sjovt at g˚a ind p˚a en bio-optisk konference og se ledende
folk p˚a omr˚adet demonstrere de nyeste systemer, hvori de lige har indbygget
superkontinuumkilder. Her beskriver en ledende forsker feks. sin vision
om, at et vigtigt stykke udstyr i fremtidens operationsstue skulle være
en avanceret optisk analysator. Baseret p˚a lyset fra en superkontinuumkilde,
skulle den løbende foretage en serie spektrale m˚alinger gennem en
lille probe. Derudfra skulle den via computeranalyse bestemme, om væv
var sygt eller ej, før kirurgen skar det væk under operationen. Det lyder
som science fiction, men prototypen skal benyttes i kliniske forsøg i ˚ar.
Bio-optikerne taler alle rosende om, hvor meget superkontinuum kan
øge præcisionen og sikkerheden ved diagnosticering. Men samtidig er der
ogs˚a mange, der nævner, at de godt kunne bruge lidt mere bl˚at lys. S˚a
føles det fint, at man selv netop arbejder med at udbrede spektret af
superkontinuumet, s˚a der kommer mere bl˚at lys.
28

Gamma 150 Rebecca B. Ettlinger og Peter M. Moselund
Litteratur
[1] Frosz, M.; Bang, O. (2007), Kraftig som en laser - hvidere end solen, Kap. 6 i Optiske
Horisonter - En rejse p˚a kommunikationsteknologiens vinger, DTU.
[2] Agrawal, G. P. (2001), Nonlinear Fiber Optics, 3rd ed., Academic Press.
[3] Dudley, J. M; Genty, G.; Coen, S. (2006), Supercontinuum generation in photonic
crystal fiber, Reviews of Modern Physics, 78, 1135.
[4] Solli, D. R.; Ropers, C.; Koonath, P.; Jaleli, B. (2007), Optical Rogue Waves, Nature,
450, 1054-1058.
[5] Moselund, P. M.; Frosz, M.; Thomsen, C. L.; Bang, O. (2008), Back seeding of
picosecond supercontinuum generation in photonic crystal fibres, SPIE Europe 2007
Proceedings.
29

En model for rygradens dannelse
Af
Peter Bjødstrup Jensen
Peter Bjødstrup Jensen har for nylig forsvaret sit speciale i biofysik. Artiklen bygger p˚a
dette speciale.
E-mail: pbj.mastermail@gmail.com
Morphogenese
Grundlæggende er der tre processer der styrer fosterudviklingen i alle
dyr. Celledelingen leverer r˚amaterialet til udviklingen, men ville p˚a
egen h˚and ikke frembringe andet end en voksende bold af identiske celler.
Det er differentiationen der bryder delingssymmetrien og sørger for at
n˚ar en celle bliver til to som bliver til fire osv, s˚a er der forskel p˚a hvilke
gener der er tændte og slukkede i de resulterende celler. Morphogenesen
(Formens skabelse) dækker over alle de processer der er ansvarlige for
dannelse og vedligeholdelse af form og struktur. Lige fra de første spor af
akser og polaritet i fostret, til korrekt aggregering af differentierede celler
ved dannelse af væv og organer.
Disse processer involverer en række komplicerede intra- og intercellulære
signalveje og signalstoffer, migration af celler og væv og regulering
af celledeling samt en masse andre ting. En overordnet udfordring i udforskningen
af alle disse processer er at forst˚a, hvordan fostret og de
individuelle celler holder styr p˚a tid og sted i løbet af udviklingen, s˚a
tingene sker p˚a rette tid og rette sted.
30

Gamma 150 Peter Bjødstrup Jensen
Figur 1: Et ca. to dage gammelt kyllingefoster. Den senere hovedregion ses til højre,
den somitiske region er i midten og PSM-regionen udgør den posterior ende af fostret.
Længst til venstre findes en population af stamceller, den s˚akaldte tailbud, der ved
celledeling forlænger fostret og PSM i posterior retning
Somitogenese
Et godt eksempel p˚a de omtalte problemstillinger er somitogenesen (dannelsen
af somiter), som har været emnet for mit speciale. Somitter er
sm˚a celleklumper, der dannes parvis, langs med den primære Anterior-
Posterior (hoved-hale) akse i fostret, og derved udstikker placeringen af
den senere rygrad. Somitterne er forstadier til ryghvirvler og ribben, samt
den muskulatur der udspænder det aksiale skelet, og det er altafgørende,
at de dannes korrekt. Somitogenese foreg˚ar i alle hvirveldyr, hvilket bl.a.
involverer pattedyrene.
Figur 1 viser et kyllingefoster undervejs i somitogenesen. Den fremtidige
hovedregion ses længst til højre, efterfulgt af en region med dannede
somitter og længst til venstre det s˚akaldt præ-somitiske-mesoderm væv
(PSM), der ligger bi-lateralt langs den senere rygrad. Somiterne udstykkes
gradvist i par fra den forreste ende af PSM. Samtidig, og i ca. samme
tempo, vokser bagenden af fostret, ved celledeling i den posteriore retning,
hvilket medfører en forlængelse af PSM bagtil. Resultatet er at PSM
bevarer en nogenlunde konstant længde til trods for, at den udstykkes til
somiter fortil.
Par af Somitter dannes med en fast frekvens, som for musens vedkommende
er ca. to timer. PSM i mus har ca. samme længde som seks
somitter, hvilket betyder, at fra en nydannet celle bliver en del af PSM
i posterior enden, til den bliver del af en somit i anterior enden, g˚ar der
31

En model for rygradens dannelse Gamma 150
Epithelial
somite
PSM
Tailbud
0 hours 2 hours 4 hours 6 hours 8 hours 10 hours 12 hours
Notochord
S1
S0
S-1
S2
S1
S0
S-1
Anterior
Posterior
Somitogenesis
Determination
front
Axis extension
Figur 2: Skematisk fremstilling af somitogenesen. Nye celler (prikker) tilføres PSM fra
den posterior ende som følge af fostrets vækst. Med ca. to timers mellemrum segmenteres
et par somiter fra den anterior ende af PSM. Dette medfører en relativ anterior
bevægelse af PSM cellerne. De første tegn p˚a segmenteringsprocessen kan opserveres
ved den s˚akaldte determination front.
omkring 12 timer. I den tid bevæger cellen sig relativt set frem igennem
PSM, men ligger i absolut forstand næsten stille (Se figur 2). Der er nu
to oplagte spørgsm˚al at stille: Hvordan holder cellen styr p˚a tiden, s˚a den
ved, hvorn˚ar den er n˚aet frem til forenden af PSM og skal aktivere sit segmenteringsprogram
for at blive del af en somit, og hvordan koordinerer
den sin skæbne med de omkringliggende celler, s˚a hver somit afgrænser
en gruppe af celler.
Den fremherskende forklaringsmodel involverer et intracellulært ur,
med en vis synkronisering med naboceller og en gradient af et signalstof
(en morphogen) igennem PSM. Cellen menes s˚aledes at aflæse sin
fremadskridende position ud fra en faldende koncentrationen af signalstof
i dens omgivelser. Ved et vist threshold (determination front i figur
2), aktiveres segmenteringsprogrammet, og lidt senere dannes selve somiterne.
Mekanismen bag uret menes at være en oscillerende ekspression
af et eller flere gener i cellerne med en to timers periode. Uret og gradienten
kobles sammen, med antagelsen af at ekspressionsniveauet (fasen)
gør cellen skiftevis modtagelig (1 time) og umodtagelig (1 time) for gra-
32

Gamma 150 Peter Bjødstrup Jensen
dienten. Dette giver mulighed for gruppering af mange celler i hver somit.
Der findes forskellige variationer af denne model, men gennemg˚aende er
sammenspillet imellem en gradient og et intracellulært ur [1].
Oscillerende gen-udtryk
Det er idag vist eksperimentelt, at der findes morphogen gradienter i
PSM, samt at cellerne i de bageste 2/3 af PSM har oscillerende genudtryk.
De første af disse oscillerende gener var medlemmer af hes familien
samt lunatic fringe (lfng) og blev opdaget i slutningen af 1990’erne. Disse
gener reguleres alle af det samme signaleringssystem i cellen, nemlig Notch
signalvejen. De har nogle interessante egenskaber som inhibitorer af
deres egen og hinandens ekspression. Man mente derfor længe, at segmenteringsurets
mekanisme skulle findes i feedback netværk i Notch signalvejen.
Det har imidlertid vist sig mere kompliceret end som s˚a, efterh˚anden
som man har vist at andre signalveje og komponenter er involveret. Det
drejer sig f.eks. om Wnt signalering, en vigtig signalvej der er aktiv i et
hav af processer i b˚ade fosterudviklingen og den voksne krop. Flere gener,
hvis ekspression reguleres af Wnt signalering, har vist sig at oscillere
i PSM-væv med samme periode som de Notch regulerede gener. En af
disse gener er axin2 [2]. Den er særlig interessant, fordi man ved at Axin2
proteinet kan inhibere ekspressionen af Wnt regulerede gener, herunder
alts˚a ogs˚a sin egen ekspression.
Med udgangspunkt i det, var det primære form˚al med projektet, at
konstruere en intracellulær oscillator baseret p˚a Wnt signalvejen og Axin2
autoinhibering.
Modellering af biologiske systemer
I modelleringen af et molekylærbiologisk system, som f.eks. et signalsystem,
ønsker man at opskrive dynamikken, der udspiller sig imellem de
involverede komponenter (gener, proteiner, receptorer), p˚a matematisk
form.
Det forudsætter naturligvis, at der eksisterer en detaljeret molekylærbiologisk
beskrivelse af systemet. Man skal vide hvilke proteiner der kan
33

En model for rygradens dannelse Gamma 150
binde DNA og føre til aktivering eller inhibering af ekspression af forskellige
gener, hvilke komplekser der kan dannes imellem proteiner og konsekvenserne
af deres dannelse, hvordan degraderes og modificeres proteiner
i cellen, hvilke receptorer binder hvilke signalstoffer (ligander) og hvordan
virker de.
Enkeltvis kan disse interaktioner normalt beskrives med ret simple led,
baseret p˚a mere eller mindre simple statistiske og kinetiske overvejelser.
Man kan s˚aledes opskrive en differentialligning for hver af de relevante
aktører, indeholdende alle interaktionsleddene.
Modellering vil i sagens natur, næsten altid involvere en reduktion af
systemets kompleksitet. Man søger den kerne af interaktioner, der er primært
ansvarlig for systemets dynamik. Jo færre variable, og dermed ligninger,
der kan kopiere systemets opførsel, desto bedre. Det betyder, at
man f.eks. ignorerer svage og langsomme links imellem aktører, samt ensrettede
reaktioner imellem variable der ikke udøver et feedback p˚a resten
af systemet. Hertil kommer forskellige antagelser om hurtige reaktioner
og indstilling af ligevægt, som ofte tillader reduktioner af de opskrevne
ligninger.
Wnt signalering
Figur 3.A illustrerer det jeg efter granskning af molekylærbiologisk forskning
har vurderet til at være nøgleaktørerne i den kanoniske Wnt signalering
i PSM-væv i mus.
Essensen af kanonisk Wnt signalering er reguleringen af β-catenin koncentrationen
i cellen. β-catenin er en aktiverende transkriptionsfaktor
og regulerer dermed ekspressionen af gener i kernen. I fravær af aktiv
Wnt signalering degraderes β-catenin af det s˚akaldte destruction complex
best˚aende af GSK3β og Axin2, og der sker derfor ingen genekspression.
Wnt signaleringen aktiveres, n˚ar receptoren (Frizzled og LRP5/6) i cellemembranen
binder en wnt ligand. Det har flere konsekvenser, men bla.
menes det at rekruttere Axin2 protein til cellemembranen, hvor den binder
LRP co-receptoren. Dermed konkurreres Axin2 væk fra destruction
complex dannelse, hvilket mindsker β-catenin degradering og dermed
fører til en akkumulering af β-catenin i cellen og i kernen, hvilket endeligt
fører til genekspression.
Med forøgelsen af genekspression dannes mere Axin2, hvilket igen øger
34

Gamma 150 Peter Bjødstrup Jensen
Wnt
Wnt
(a) Frizzled
Frizzled
Axin2
LRP5/6
GSK3
Axin2
mAxin2
Axin2 Dsh
GSK3
GSK3
Axin2 catenin
catenin
p
Axin2
catenin
p
(b)
Axin2
LRP5/6
mAxin2
GSK3
Axin2
GSK3
GSK3
Axin2 catenin
catenin
Figur 3: Essensen af Wnt signalering i PSM væv i mus. A: systemet med 10 variable.
B: Det reducerede system med 6 variable.
destruction complex koncentrationen og degraderingen af β-catenin, hvormed
det negative feedback loop er etableret.
Der er 10 variable og dermed 10 koblede differentialligninger. Fjernelse
af de to variable, der alligevel bare degraderedes, samt antagelse om hurtig
dynamik i bindingen og degraderingen af Axin2 ved LRP5/6, reducerer
systemet til 6 variable, som det ses p˚a figur 3 og repræsenteres af følgende
6 differentialligninger.
dC
dt = cfCB[GA]
d[GA]
− cbCC − αC (1)
dt
= c f[GA]GA − c b[GA][GA] − cfCB[GA] + cbCC + αC (2)
dB
dt = S − cfCB[GA] + cbCC (3)
dG
dt = −c f[GA]GA + c b[GA][GA] (4)
dA
dt = −c f[GA]GA + c b[GA][GA] + ctlAAm − cA
dAm
dt = ctsAB h − Am
τAm
A
kA + A
(5)
(6)
35

En model for rygradens dannelse Gamma 150
Her er C destruction complex og [GA] er et underkompleks best˚aende
af GSK3β og Axin2. De øvrige variable repræsenterer β-catenin, GSK3β,
Axin2 og Axin2-mRNA. Et godt eksempel p˚a den simple anden ordens
kinetik der antages at ligge bag dannelse og opsplitning af komplekser, er
ligning (2) for [GA] komplekset. Af første led fremg˚ar det at dannelsen af
[GA] er proportional med koncentrationen af hver af de to komponenter G
og A, med en formationskonstant c f[GA]. Ligeledes er der en sandsynlighed
for at [GA] opsplittes, som er proportional med [GA]-koncentrationen
med en opsplitningskonstant c b[GA]. Tredje og fjerde led repræsenterer p˚a
samme m˚ade reaktionen, hvor [GA] binder B under dannelse af C, samt
opsplitning af C igen. Alle disse led indg˚ar naturligvis i ligningerne for
alle de involverede variable med omvendte fortegn.
Et andet interessant led, der fremkommer ved reduktionen fra 10 til 6
variable, er degraderingsleddet i ligning 5 for Axin2 (sidste led). Det er et
s˚akaldt mættet degraderingsled i modsætning til f.eks degraderingsleddet
for mAxin2 i ligningen nedenunder. Fordi degraderingen af Axin2 afhænger
af dens rekruttering og binding til LRP5/6 har dens degraderingsrate
en øvre grænse, her givet ved konstanten CA. Det er en vigtig forskel,
fordi det effektivt letter ophobningen af Axin2 og dermed introducerer
forsinkelser i systemet. Forsinkelser der er vigtige for systemets evne til
at oscillere.
Resultater
Som det fremg˚ar af ligningerne, er der mange konstanter involveret. Nogle
af disse er nogenlunde velkarakteriserede fra eksperimenter i lignende
systemer, og andre kan ansl˚as med nogenlunde præcision. Endeligt er
kvalificerede gæt og parameterrumsudforskning ogs˚a nødvendig. Figur 4
demonstrerer systemets opførsel, i det jeg har defineret Wnt som referencetilstanden.
Der er tydeligvis oscillationer i de to viste tidsserier. Store sinusidale
svingninger for Axin2 og spiky oscillationer for β-catenin. Selv sm˚a koncentrationer
af Axin2 er nok til at fremme dannelsen af destruction complex
tilstrækkeligt til at holde β-catenin i skak. Kun i den korte periode,
hvor Axin2 er i bund opn˚as en lille akkumulering. Det ses, at oscillationerne
har perioder i omegnen af to timer. Ved hjælp af stabilitetsanalyse
kan det bekræftes, at oscillationerne i referencetilstanden er vedvarende.
36

Gamma 150 Peter Bjødstrup Jensen
Axin2 koncentration [nM]
250
200
150
100
50
0
0 100 200 300 400 500 600
time [min]
Axin2
β−catenin
Figur 4: Tidsserier for Axin2 og β-catenin i reference tilstanden for parameterværdierne.
Bemærk den dobbelte y-akse.
Udforskning af parameterrummet
De 12 parametre giver et 12-dimensionalt parameterrum, som det er umuligt
at udforske systematisk. Jeg har derfor set p˚a relevante underrum i
faserummet og søgt efter oscillerende omr˚ader. Det har især drejet sig om
det underrum, der udspændes af formations og opsplitningskonstanterne
for destruction complexet og underkomplekset [GA]. Der er s˚aledes ialt
tale om 4 konstanter, som dog kan behandles under et, ved at betragte
forholdene imellem dem, de s˚akaldte dissociationskonstanter: DC = cbC
cfC
og D [GA] = c b[GA]
c f[GA] .
Figur 5 viser resultaterne fra 36000 kørsler for forskelllige værdier af
DC og D [GA]. Alle andre parametre fastholdes i referencetilstanden. Hvert
kvadrat svarer til én kørsel, og farven angiver amplituden af en Axin2
oscillation for et sent tidspunkt af kørslen (t>750 min). De helt mørke
omr˚ader angiver s˚aledes parameterværdier, hvor oscillationer enten ikke
forefindes, eller hvor oscillationerne har stærk dæmpning, imens de lysere
omr˚ader angiver vedvarende oscillationer eller svagt dæmpede oscillationer.
Det er de vedvarende og svagt dæmpede oscillationer, der er mest
interessante, idet de har størst biologisk relevans i somitogenesen.
4
3
2
1
β −catenin koncentration
37

En model for rygradens dannelse Gamma 150
D C [nM]
300
100
30
10
3
3
1
Reference state
A1
1
1 3 10 30 100 300 1000
D [nM]
[ga]
4
Figur 5: Farveplot af parameterplanen udspændt af dissociationskonstanterne DC og
D[GA]. Farveskalaen angiver amplituden af Axin2 oscillationer for t > 750. (Se onlineversion
af Gamma for at se farverne bedre.)
De fire tidsserier i figur 6 demonstrerer den store forskel der er p˚a
oscillationernes karakter afhængigt af hvor i planen man kigger. Hver
tidsserie svarer til den tilsvarende nummererede prik i figur 5. Første serie
udviser dæmpede oscillationer imens den anden tidsserie har vedvarende
kraftige oscillationer. Der er ingen oscillationer i tidserie 3 og endeligt f˚as
sm˚a vedvarende oscillationer i den sidste tidsserie.
Disse parameterrumsundersøgelser kan udvides til at inkludere flere
parametre, og giver tilsammen et indtryk af, hvordan parametrene spiller
sammen, og af rubusthed og udbredelse af oscillerende domæner i
parameterrummet.
2
250
200
150
100
Sammenkobling med Notch signalsystemet
Som allerede nævnt oscillerer de Notch- og Wnt-regulerede gener med
omtrent samme periode. Yderligere interessant er det, at de oscillerer ude
af fase. Der er s˚aledes god grund til at tro, at der er interaktion imellem
de to systemer, hvilket man da ogs˚a har dokumenteret eksperimentelt.
Somiterne dannes som udgangspunkt ikke korrekt, hvis bare et af de to
38
50
0

Gamma 150 Peter Bjødstrup Jensen
Axin2 koncentration [nM]
Axin2 koncentration [nM]
500
400
300
200
100
Tidsserie 1
Axin2
β−catenin
0
0 100 200 300
time [min]
400 500 600
50
40
30
20
10
Tidsserie 3
Tidsserie 3
Axin2
β−catenin
0
0 100 200 300
time [min]
400 500 600
4
3
2
1
4
3
2
1
β −catenin koncentration
β −catenin koncentration
Axin2 koncentration [nM]
300
200
100
Tidsserie 2
Axin2
β−catenin
0
0 100 200 300
time [min]
400 500 600
0
0 100 200 300
time [min]
400 500 600
Figur 6: De fire tidsserier der svarer til de nummerede prikker i figur 5. Bemærk dobbelt
y-akse.
systemer er sat ud af funktion.
En kandidat til rollen som formidler imellem de to signalveje er GSK3β.
GSK3β spiller en rolle som phosphorylende aktør i begge systemer, hvilket
i Wnt fører til degradering af β-catenin og i Notch til degradering
(m˚aske) af transkriptionsfaktoren Nicd. En situation hvor de to systemer
konkurrerer om GSK3β kan m˚aske forklare kobling og faseforskel. Denne
mulighed gav anledning til en udvidelse af modellen til ogs˚a at inkludere
Notch signalvejen. Det samlede system fremg˚ar af figur 7.
Notch signalering fungerer ved at en ligand fra en nabocelle binder Notch
receptoren, hvilket løsriver en intracellulær del af Notch, Nicd. Denne
fungerer som transkriptionsfaktor i ekspressionen af generne hes og lfng.
Hes proteinet inhiberer desuden b˚ade sin egen og lfng transkription, og
Lfng protein inhiberer frigivelsen af Nicd. Alt i alt en række interessante
Axin2 koncentration [nM]
50
40
30
20
10
Tidsserie 4
Axin2
β−catenin
4
3
2
1
4
3
2
1
β −catenin koncentration
β −catenin koncentration
39

En model for rygradens dannelse Gamma 150
feedback mekanismer.
De 12 variable som systemet best˚ar af, beskrives ved følgende sæt af
differentialligninger, som dog ikke vil blive diskuteret yderligere her:
dC
dt = cfCB[GA] − cbCC − αC
dG
dt = −c f[GA]GA + c b[GA][GA] − c f[NG]NG + c b[NG][NG] + γ[NG]
dB
dt = S − cfCB[GA] + cbCC
dA
dt = −c f[GA]GA + c b[GA][GA] + ctlAAm − cA
dAm
dt = ctsAB h − Am
d[GA]
τAm
dt
dN
dt
ks N
= SN −
ks + L τN
dHm
dt
hN N
= ctsH
kN + N hN
·
kH
kH + HhH dH
dt = ctlHHm − H
τH
dLm
dt
hN N
= ctsL
kN + N hN
·
kH
kH + HhH dL
dt = ctlLLm − L
d[NG]
dt
τL
A
kA + A
= c f[GA]GA − c b[GA][GA] − cfCB[GA] + cbCC + αC
− c f[NG]NG + c b[NG][NG]
− H
τHm
− Lm
= c f[NG]NG − c b[NG][NG] − γ[NG]
Simulation af systemet viser, at Wnt oscillatoren er i stand til at inducere
oscillationer i Notch systemet, og at disse oscillationer har en lille
faseforskel. Dette fremg˚ar af figur 8. I det viste eksempel er de to negative
feedback loops i Notch meget svage. Ved kraftig inhibering dæmpes
Notch svingningerne betydeligt, hvilket - ihvertfald til dels - skyldes, at
dynamikken, som den beskrives af de brugte ligninger, er for hurtig. Der
mangler en forsinkelse af det negative feedback. En udvidelse eller ændring
af Notch ligningssystemet kan muligvis udbedre dette.
40
τLm

Gamma 150 Peter Bjødstrup Jensen
(c)
Axin2
mAxin2
GSK3
LRP5/6
Axin2
Wnt
Frizzled
GSK3
GSK3
Axin2 catenin
Yderligere kompleksitet
GSK3
N icd
N icd
catenin mLfng
Hes7
mHes7
Figur 7: Det samlede Wnt-Notch system.
Notch
Kompleksiteten bag segmenteringsuret og somitogenesen generelt vokser
hele tiden, efterh˚anden som nye aktører og signalveje impliceres i processen
[3]. Hertil kommer forskelle imellem forskellige dyr samt en vis grad
af redundans. At b˚ade Notch og Wnt signalvejen er involveret synes sikkert,
men præcist hvordan det foreg˚ar, og hvem der styrer hvem er stadig
uklart. Den foresl˚aede Wnt oscillator kan forklare oscillerende Wnt target
gener, men er af forskellige grunde en usandsynlig kandidat som kernen i
segmenteringsuret.
Interessen for kvantitative modeller for somitogenese og andre morphogenetiske
processor er stærk stigende, og det er ikke mindst iblandt fysikere
med kendskab til komplekse systemer og ikke-lineær dynamik. Der
er stadig visse faglige barrierer imellem biologien og fysikken og matematikken,
men biokompleksitet er et ekstremt spændende felt med stort
behov for teoretiske tilgangsvinkler. Noget man som fysiker har rigtig
gode forudsætninger for.
Lfng
Dll
41

En model for rygradens dannelse Gamma 150
concentration [nM]
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
150
100
50
Nicd
β−cat
0
0 100 200 300 400 500 600
time [min]
Axin2
Lfng/Hes
Figur 8: Tidsserie for det samlede Wnt-Notch system. Det øverste panel angiver oscillationerne
af transkriptionsfaktorerne i de systemer, og nederste panel angiver de protein
oscillationer det udmønter sig i, i de to systemer.
Litteratur
[1] K.J.Dale and O.Porquie: A clock-work somite. Bioessays, 22(1):72-83,2000
[2] A. Aulehla and B.G. Herrmann. Segmentation in vertebrates: Clock and gradient
finally joined. Genes Dev, 18(17):2060-7, 2004
[3] M.L.Dequeant, E.Glynn, K.Gaudenz, M.Wahl, J.Chen, A.Mushegian and
O.Pourquie. A complex oscillating network of signaling genes underlies the mouse
segmentation clock. Science, 314(5805):1595-8, 2006
42

—Paradokser og Opgaver
Katrine Rude Laub
Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til
nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se
adresse p˚a bagsiden). Første indsendte, korrekte løsning til en af de stillede
opgaver bringes i næste nummer af Gamma.
Opgave – Indhegnede f˚ar
Bondemand Mark Pløje har 21 f˚ar i en rektangulær indhegning. Han vil
gerne have lidt mere styr p˚a de enkelte f˚ar og vælger at opdele den oprindelige
indhegning i 4 mindre rektangulære indhegninger. Hver indhegning
skal indholde et lige antal par af f˚ar samt et enkelt uparret f˚ar. Hvordan
skal hr. Ark sætte de nye hegn?
Opgave – Keglespil
I et oldnordiske keglespil, hvis navn er g˚aet tabt i t˚agerne opstilles 13
kegler p˚a en linie. Afstanden mellem keglerne er s˚adan at man med en
enkelt kugle kan vælte en eller to kegler. Harald og Krake spiller mod hinanden
og skiftes til at skyde. Vinderen er den, der vælter den sidste kegle.
Harald starter og har lige væltet kegle nummer to talt fra højre. Hvilken
kegle skal Krake nu vælte for at vinde? Hvilken kegle skulle Harald have
væltet for at vinde spillet?
43

Paradokser og opgaver Gamma 150
Opgave – Politi p˚a patrulje
Politimand Frede Lig patruljerer hver nat et omr˚ade med 49 huse (se
tegning). Frede har ordrer p˚a at g˚a forbi et ulige antal huse før han drejer
og han m˚a ikke g˚a langs den samme strækning to gange. Frede starter og
slutter sin rute ved pilen. Den stiblede linie viser Fredes gamle rute der
ikke er optimal. Hvordan skal han lægge sin nye rute for at komme forbi
flest muligt huse?
Svar – Kvadratisk
Vi har modtaget et svar p˚a en opgave fra Ulf Rønnow i Gamma 149 som
vi bringer i dette nummer her. Givet at 2 n + 1 = m 2 , hvoraf følger, at m
er ulige og at n = m2 −1
2 .
Vi har at
44

Gamma 150 Paradokser og opgaver
n + 1
= 2 n + 1 − n
= m 2 − n
= m
k=1
(2 k − 1) − n
= 1 + 3 + · · · + (m − 2)
m−1
2
addender
= 1 + 3 + · · · + (m − 2) +m
m−1
2
addender
+m + (m + 2) + (m + 4) + · · · + (2 m − 1)
m−1
2
addender
+ (1 + m + 1) + (3 + m + 1) + · · · + (m − 2 + m + 1) −n
= 1 + 3 + · · · + (m − 2)
m−1
2
addender
m−1
2
addender
+m + 1 + 3 + · · · + (m − 2)
m−1
2
+ (m + 1) + (m + 1) + · · · + (m + 1) −n
m−1
2
addender
= 1 + 3 + · · · + (m − 2)
m−1
2
addender
= 1 + 3 + · · · + (m − 2)
m−1
2
addender
= 1 + 3 + · · · + (m − 2)
=
=
=
= (
m−1
2
addender
+m + 1 + 3 + · · · + (m − 2) +(m + 1) (
m−1
2
+m + 1 + 3 + · · · + (m − 2)
m−1
2
+m + 1 + 3 + · · · + (m − 2)
m−1
2
+( m2 − 1
) − n
2
+n − n
1 + 3 + · · · + (m − 2) + m + 1 + 3 + · · · + (m − 2)
1 + 3 + · · · + (m − 2) + 1 + 3 + · · · + (m − 2) + m
m−1
2
k=1
(2 k − 1) +
m+1
2
k=1
(2 k − 1)
m − 1
)
2
2 m − 1
+ (
2 + 1)2 ,
−n
m − 1
) − n
2
45

Paradokser og opgaver Gamma 150
hvormed det ønskede er bevist. Vi har under beviset benyttet, at m 2 kan
fremstilles som 1+3+· · ·+(2 m−1), alts˚a at m 2 = 1+3+· · ·+(2 m−1).
Summen best˚ar af m led. Er m ulige vil det “midterste” led derfor være
lig med m, hvilket ogs˚a er udnyttet i beviset.
46

Afsender: Returneres ved varig adresseændring
Gamma
Niels Bohr Institutet
Blegdamsvej 17
2100 København Ø
Fortale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . s 3
Nyheder og meddelelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . s 4
Stephan Schwarz
The case of the bottled Nobel medals . . . . . . . . . . . . . . . . . s 8
Rebecca B. Ettlinger og Peter M. Moselund
Superkontinuum - et glimt fra en eksperimentel ph.d. . . . . . . . . s 18
Peter Bjødstrup Jensen
En model for rygradens dannelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . s 30
Paradokser og opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . s 43
Indhold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . s 48
MAGASINPOST
B