Geometri - VUC Aarhus

Matematik på AVU Eksempler til niveau G 

Geometri 

Længdemål og omregning mellem længdemål ........................... 56 

Omkreds og areal af rektangler og kvadrater .............................. 57 

Omkreds og areal af andre figurer .............................................. 58 

Omregning mellem arealenheder ................................................ 62 

Nogle geometriske begreber og redskaber. ................................. 63 

Målestoksforhold og ligedannethed ............................................ 66 

Rumfang ...................................................................................... 68 

Omregning mellem rumfangsenheder ......................................... 69 

Massefylde .................................................................................. 70 

Sidelængder i retvinklede trekanter (Pythagoras’ sætning) ........ 71 

Rumfang (2) ................................................................................ 72 

Regne baglæns ............................................................................ 74 

I geometri bruges en lang række formler til beregning af bl.a. areal og rumfang. 

På disse sider, er der eksempler på, hvorledes man bruger nogle af formlerne. 

Du skal ikke huske formlerne udenad. Du kan bruge en formel-samling. 

Geometri Side 55


Længdemål og omregning mellem længdemål 

Vi bruger flere forskellige måleenheder, når vi måler længde (eller afstand), men 

standardenheden er en meter (m). En meter kan - som vist herunder - opdeles i: 

- decimeter (dm). Der går 10 dm til en meter. Ordet "deci" betyder tiende-del. 

- centimeter (cm). Der går 100 cm til en meter. Ordet "centi" betyder hundrede-del. 

- millimeter (mm). Der går 1000 mm til en meter. Ordet "milli" betyder tusinde-del. 

Bemærk: Det er kun cm og mm, der er tegnet i den rigtige størrelse herunder. 

1 m = 10 dm 

Her er sammenhængen mellem 

måleenhederne stillet op i en tabel: 

Hvis man måler større afstande bruger man ofte kilometer. 

1 m = 10 dm = 100 cm = 1.000 mm 

- en kilometer (km) er 1.000 meter. Ordet "kilo" betyder tusinde. 

1 dm = 10 cm = 100 mm 

1 cm = 10 mm 

Der er altså samme størrelsesforhold mellem en km og en m, som der er mellem en m og en mm. 

Til opgaverne hører et specielt skema, som kan bruges ved omregning mellem måleenheder. 

Eksempler på opgaver 

Omregn 97,5 cm til mm. Omregn 1.250 m til km. 

I skemaet står der ” ⋅ 10 ” fordi, 

hver cm svarer til 10 mm. 

Man får: 

97 , 5 cm = 97, 

5 mm ⋅10 

= 975 mm 

1 dm = 10 cm 

I skemaet står der ” : 1. 

000 ” fordi, 

hver km svarer til 1.000 m. 

1 cm = 10 mm 

Man får: 

1.25 0 m = 1.250 

km : 1. 000 

= 1,250 

km 

1 mm 

Geometri Side 56


Omkreds og areal af rektangler og kvadrater 

Et rektangel er en firkant, hvor: 

- siderne er parvis lige lange 

- hjørnerne er rette vinkler 

Eksempler på rektangler: 


Find omkreds og areal af et rektangel med 

længden 4 m og bredden 3 m. 

Omkredsen findes ved: 

- enten at sige: 4 m + 3 m + 4 m + 3 m = 14 m 

- eller at sige: 2 ⋅ 4 m + 2 ⋅3 

m = 14 m 

Arealet findes ved at bruge formlen: 

Areal = længde ⋅ bredde eller blot A = l ⋅ b 

Man får: 

A = 4 m ⋅ 3 m = 12 

2 

m 

Tegningen viser, at rektanglet svarer til 

12 kvadrater, som måler 1 m på hver led. 

Et sådant kvadrat kaldes en kvadratmeter (1 m 2 ) 

4 m 

3 m 

Et kvadrat er en firkant, hvor: 

- alle sider er lige lange 

- hjørnerne er rette vinkler 

Eksempler på kvadrater: 

Et kvadrat er et særligt ”pænt” rektangel 

Find arealet af et rektangel med 

længden 350 cm og bredden 2,50 m. 

Man kan ikke regne med både m og cm, så 

350 cm laves om til 3,50 m. 

Man får: 

A = 3, 

50 m ⋅ 2, 

50 m = 

2 

8, 

75 m 

Tegningen viser, at resultatet er rimeligt. 

Hvis du tæller de hele, de halve og den kvarte 

kvadratmeter sammen, så får du 8,75 m 2 . 

350 cm = 3,50 m 

Hvis du er usikker på, hvorledes man 

omregner længdemål, så blad en side 

tilbage. Der er et par eksempler. 

Geometri Side 57 

2,50 m


Omkreds og areal af andre figurer 

Eksempel på opgave 

Tegningen til højre er en skitse af et hus. 

Find husets areal. 

For at finde arealet må huset opdeles i rektangler. 

Det kan f.eks. gøres således: 

Der mangler tilsyneladende 

nogle mål for det nederste rektangel, 

men ved at kikke på tallene på skitsen 

kan man regne ud at: 

- arealet af det øverste rektangel må være: 

- arealet af det nederste rektangel må være: 

I alt er huset derfor: 

A = 12 

m ⋅ 6 m = 

A = 5 m ⋅ 4 m = 

2 

72 m 

2 

20 m 

2 

9 2 m 

Arealer som det ovenfor kan ofte findes på flere måder. 

Tænk selv over om du kunne have fået resultatet på andre måder 

Ud over rektangler og kvadrater skal du kende trekanter, parallelogrammer, trapezer og cirkler. 

I de næste eksempler kan du se, hvorledes de ser ud. 


Find arealet af en trekant med grundlinie 5 cm og højde 3 cm. 

Man får: 

A = 

1 1 

2 

⋅ h ⋅ g = ⋅ 5 cm ⋅ 3 cm = 7,5 cm 

2 2 

Tegningen viser, at arealet af trekanten svarer til halvdelen 

af arealet af et rektangel, med længden 5 cm og højden 3 cm. 

Den lille tegning viser, at højden i en trekant nogle gange kan falde ”uden for”. 

12 m 

1 

A = ⋅ h ⋅ g 

2 

højde 

grundlinie 


6 m 

7 m 

10 m



Find arealet af et parallelogram med grundlinie 4 cm og højde 3 cm. 

Man får: 

2 

A = h ⋅ g = 4 cm ⋅ 3 cm = 12 

cm 

Tegningen viser, at arealet af parallelogrammet svarer til 

arealet af et rektangel, med længden 4 cm og højden 3 cm. 

Du klipper venstre ende af 

og flytter stykket mod højre. 


Find arealet af et trapez hvor de parallelle sider (a og b) er 6 cm og 3 cm 

og højden er 4 cm. 

Man får: 

A = 

1 

1 

⋅ h ⋅ (a + b) = ⋅ 4 cm ⋅ (6 cm + 3 cm) = 18 

2 

2 

A = h ⋅ g 


2 

cm 

Tegningen viser, at trapezet kan klippes i stykker og laves om 

til et rektangel, med længden 4,5 cm og højden 4 cm. 

Den lille tegning viser, at trapezer godt kan være ”skæve”. 

1 

A = ⋅ h ⋅ (a + b) 

2 

a 

højde 

højde 

grundlinie 

b



Find omkredsen af en cirkel med en radius på 1,5 cm. 

(Det svarer til en diameter på 3 cm) 

Man får: 

- enten O = π ⋅ d = π ⋅3 

cm = 9, 

4 cm 

- eller O = 2 ⋅ π ⋅ r = 2 ⋅ π ⋅1, 

5 cm = 9, 

4 cm 


Tegningerne viser en cirkel, der ”rulles ud”. 

Omkredsen et altid et bestemt tal gange diameteren. 

Dette tal kaldes π (læses pi). 

π er et uendeligt decimaltal, som starter med 3,14… 

Mange regnemaskiner har en π -knap. 

Find arealet af en cirkel med en radius på 2,5 cm. 

Man får: 

radius 

diameter 

2 

2 

A = π ⋅ r = π ⋅ 2,5 = 

19,6 cm 

radius 

diameter 

På regnemaskinen tastes: π X 2,5 x 2 = 

På tegningen bliver cirklen skåret i lagkagestykker og lagt ”omvendt”. 

2 

O = π ⋅ d 


eller 

O = 2 ⋅ π ⋅ r 

A = π ⋅ r 

Forestil dig at stykkerne gøres meget tyndere. 

Resultatet vil ligne et rektangel. 

Længden bliver en halv omkreds - altså π ⋅ 2,5 cm ≈ 7,85.. cm 

Højden bliver lig med radius - altså 2,5 cm 

Arealet bliver derfor 

omkreds 

2 

π ⋅ 2,5⋅ 

2,5 = π ⋅ 2,5 = 

19,6 cm 

2 

radius 

diameter 

2 

radius



Skitsen viser en lille løbebane. 

Banen (det grå område) er 10 m bred. 

Find banens længde langs indersiden 

og banens areal. 

Indersiden består af to halvcirkler og to linjestykker. 

Banens omkreds bliver: 

Omkreds af cirkel: O = π ⋅ d = π ⋅ 35 ≈ 110 m 

Linjestykker: 2 ⋅ 45 = 90 m 

Omkreds i alt 200 m 

Når man skal finde banens areal, må man først finde arealet af hele området (hvid + grå) 

og derefter trække midten (hvid) fra. Begge dele består af to halvcirkler med et rektangel i midten. 

Prøv selv at beregne målene på hele området, og se om dine tal passer med tallene herunder. 

Man får: 

Areal af hele området: 

Cirkel: 

2 

2 

= π ⋅ r = π 27,5 = 2.376 m 2 

A ⋅ 

Rektangel: A l ⋅ b = 45 ⋅ 55 

= = 2.475 m 2 

Areal i alt: 4.851 m 2 

Areal af det midterste område: 

Cirkel: 

Arealet af banen bliver derfor: 4.851 - 2.537 m 2 = 2.314 m 2 


2 

2 

= π ⋅ r = π 17,5 = 962 m 2 

A ⋅ 

Rektangel: A l ⋅ b = 45 ⋅ 35 

= = 1.575 m 2 

Areal i alt: 2.537 m2 

Find arealet af en trekant, hvor sidelængderne er 5 cm, 6 cm og 7 cm. 

Man kan ikke bruge den almindelige formel for arealet 

1 

af en trekant ( A = ⋅ h ⋅ g ), fordi man ikke kender en højde. 

2 

Men man kan i stedet for bruge Herons formel. 

Først findes den halve omkreds. 

Man får: 

a + b + c 5 + 6 + 7 18 

s = = = = 9 cm 

2 2 2 

Derefter findes arealet. 

Man får: A = s ⋅ (s − a) ⋅ (s − b) ⋅ (s − c) 

= 9 ⋅ ( 9 − 5) 

⋅ ( 9 − 6) 

⋅ 9 − 7) 

= 9 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 216 = 14,7 cm 2 

45 m 


35 m 

a b 

c 

35 m 

A = s ⋅ (s − a) ⋅ (s − b) ⋅ (s − c) 

Hvor s er den halve omkreds: 

a + b + c 

s = 

2


Omregning mellem arealenheder 

Man skal tænke sig meget godt om, når man laver omregning mellem arealenheder. 

Når der skal 10 dm til en meter, kan man let tro, at der også skal 10 dm 2 til en m 2 , 

men tegningen herunder viser bl.a., at der går 10 ⋅ 10 = 100 dm 2 til en m 2 . 

Bemærk: Det er kun cm 2 og mm 2 , der er tegnet i den rigtige størrelse. 


arealenhederne stillet op i en tabel: 

1 m 2 = 100 dm 2 = 10.000 cm 2 = 1.000.000 mm 2 

1 dm 2 = 100 cm 2 = 10.000 mm 2 

1 cm 2 = 100 mm 2 

Til opgaverne hører et specielt skema, som kan bruges ved omregning mellem måleenheder. 


Omregn 2500 cm 2 til m 2 . Omregn 3,5 cm 2 til mm 2 . 

I skemaet står der ” : 10. 

000 ” fordi, 

hver m 2 svarer til 10.000 cm 2 . 

Man får: 

1 m 2 = 100 dm 2 

2 

2 

2500 cm = 2500 m : 10.000 = 

0, 

25 

m 

2 

1 dm 2 = 100 cm 2 

I skemaet står der ” ⋅ 100 ” fordi, 

hver cm 2 svarer til 100 mm 2 . 

Man får: 

2 

2 

3 , 5 cm = 3, 

5 mm ⋅100 

= 

1 cm 2 = 100 mm 2 

350 mm 

1 mm 2 


2


Nogle geometriske begreber og redskaber. 

Når man arbejder med geometriske figurer, har man ud over lineal 

ofte brug for en passer og en vinkelmåler. 

Passeren skal bruges til at tegne cirkler, og den kan 

også anvendes til andre tegneopgaver. 

Vinkelmåleren bruges til at måle og afsætte vinkler. 

Når man arbejder med geometriske figurer, kan man i dag også bruge 

et computerprogram som fx Geogebra i stedet for at tegne og måle i hånden. 

Et bestemt sted kaldes på matematik-sprog et punkt. 

Et punkt fylder ingenting - det har ingen størrelse. 

Men i praksis er man nødt til at tegne et kryds eller en prik som vist her. 

Et punkt kan også være et hjørne i fx en trekant eller en firkant. 

Man giver punkter bogstav-navne med store bogstaver. 

En linje er en lige streg, der i princippet er uendelig lang, 

men det kan man naturligvis ikke tegne. 

Et linjestykke er en lige streg, der går fra et punkt til et andet. 

Altså en streg med en bestemt længde. 

Linjestykket på tegningen hedder PQ, fordi det går fra P til Q. 

Hvis man skriver |PQ|, betyder det længden af PQ. 

To linjer - eller linjestykker - kan være parallelle, 

hvis der er et fast afstand mellem dem. 

Ligesom et par togskinner. 

To linjer - eller linjestykker - kan stå vinkelret på hinanden, 

hvis de danner en ret vinkel (se næste side). 

Randen af en cirkel kaldes cirklens periferi. 

Afstanden fra periferi til periferi gennem centrum 

kaldes cirklens diameter. 

Afstanden fra centrum til periferi kaldes radius. 

Man skal kende radius for at tegne cirklen 

med en passer. 

Et linjestykke fra periferi til periferi, der er mindre 

end diameteren, kaldes en korde. 

En linje, der lige akkurat rører en cirkel i et punkt, 

kaldes en tangent. 

A B 


P 

Periferi Korde 

Diameter 

Radius 

Q 

Tangent


En vinkel er et mål for størrelsen af et cirkeludsnit eller størrelsen 

af et ”hjørne” (en vinkelspids) i f.eks. en trekant eller en firkant. 

En cirkel måler 360° 

(læses 360 grader) 

hele vejen rundt. 

Et ”lige” hjørne 

måler 90° og kaldes 

en ret vinkel. 

Det er en kvart cirkel. 

Nogle særligt ”pæne” trekanter har specielle navne: 

I en ligesidet trekant er 

alle siderne lige lange, og 

alle vinklerne er 60°. 

I en ligebenet trekant er 

to af siderne lige lange og 

to af vinklerne lige store. 

En vinkel på mindre 

end 90° kaldes 

en spids vinkel. 

Den viste vinkel er 60° 

Tegningen til højre viser, at de tre vinkler i en trekant 

altid er 180° tilsammen. ∠A = ∠D, ∠B = ∠E og ∠C =∠F. 

Og ∠D, ∠E og ∠F svarer tilsammen til halvvejs rundt i en cirkel. 

Man kan altid dele en firkant op i to trekanter som 

vist nedenfor. På den måde kan man vise, at vinklerne 

i en firkant altid er 2·180° = 360° tilsammen. 

Man kan fortsætte og opdele en femkant i tre trekanter osv. 

På den måde kan man vise, at der gælder denne formel 

for vinklerne i en mange-kant: 

v = 

(n − 2) ⋅180 

hvor v er vinkelsummen (alle vinklerne lagt sammen), 

og n er antal kanter. 

En mange-kant kaldes også en polygon. 

En vinkel på mere 

end 90° kaldes 

en stump vinkel. 

Den viste vinkel er 120° 

I en retvinklet trekant er en 

af vinklerne ret - altså 90°. 

F 

E D 

A B 


C


Særligt ”pæne” figurer kan være regulære eller symmetriske. Her er et par eksempler: 

Man tegner nogle gange disse linjer i trekanter: 

Midtnormaler 

Midtnormaler går gennem 

midtpunktet på siderne, og 

de står vinkelret på siderne. 

Vinkelhalveringslinjer 

Vinkelhalveringslinjerne 

deler vinklerne op i 

to lige store vinkler. 

Medianer 

Medianerne går fra 

vinkelspidserne til midten 

af de modstående sider. 

Alle tre typer af linjer mødes i et punkt. Det gælder også for højderne i en trekant. 

Midtnormalernes skæringspunkt er centrum for trekantens omskrevne cirkel, og vinkel- 

halveringslinjernes skæringspunkt er centrum for den indskrevne cirkel. Prøv selv at tegne. 


Konstruer en trekant ABC som vist på skitsen, 

hvor a = 4,5 cm, c = 6 cm og ∠A = 40°. 

2) Derefter afsættes 

∠A = 40°, og 

siden b skitseres 

som vist. 

A 

Regulær 

sekskant 

40° 

I en regulær figur 

er alle sider og alle 

vinkler lige store. 

1) Først tegnes c = 6 cm. 

3) Derefter tegnes 

en cirkelbue med 

centrum i B og 

radius på 4,5 cm. 

Symmetrisk figur med 

vandret symmetriakse 

(eller spejlingsakse). 


b 

a 

C 

c 

A B 

40° c = 6 cm 

B A B 

C 

a = 4,5 cm 

4) Til sidst tegnes siden a, og de 

overflødige steger viskes ud.


Målestoksforhold og ligedannethed 

Man bruger målestoksforhold, når man arbejder med fx arkitekttegninger og kort. 

Tegningerne og kortene er præcise formindskede kopier af virkeligheden, selv om man 

naturligvis ikke altid kan få alle detaljer med, når man laver tegninger og kort. 

Et målestoksforhold skrives fx således: 1 : 100 . Det betyder at en længdeenhed (mm, cm…) 

på tegningen eller på kortet svarer til 100 længdeenheder i virkeligheden. 


Tegningen viser et hus i målestoksforhold 1:200. 

Find husets længde og bredde. 

Find også husets areal. 

Først måles længde og bredde på tegningen. 

Man får 7,5 cm og 4,0 cm. 

Så beregnes de rigtige mål ved at gange med 200. 

Man får: 

- længde: 7,5 cm ⋅ 200 = 1.500 cm = 15,00 m 

- bredde: 4 , 0 cm ⋅ 200 = 800 cm = 8, 

00 m 

Arealet beregnes til: 

15 m ⋅ 8 m = 120 

2 

m 

På tegningen i eksemplet ovenfor er længdemålene 200 gange mindre end i virkeligheden. 

Eller man kan sige, at målene på det rigtige hus er 200 gange større end på tegningen. 

Men arealet af det rigtige hus er 200 ⋅ 200 = 40.000 gange større end arealet af tegningen. 

Kik tilbage på siden med "Omregning mellem arealenheder". Så forstår du sikkert hvorfor! 


En byggegrund har form som et rektangel. 

Længden er 30 m og bredden er 20 m. 

Lav en tegning i målestoksforhold 1:500 

Tegningens mål findes ved at dividere med 500. 

Man får: 

- længde: 30 m : 500 = 0,06 m = 6 cm 

- bredde: 20 m : 500 = 0,04 m = 4 cm 

Tegningen ser ud som til højre. 

Hvis man vil skrive mål på tegningen, skal 

det være de rigtige mål - ikke de tegnede mål. 

Grundrids af hus 

30 m 

1:200 

1:500 


20 m


Nogle gange kan tegningen godt være større end virkeligheden. 


Tegningen viser et tværsnit af en knappenål. 

I hvilket målestoksforhold er tegningen lavet? 

Først måler man på tegningen. Man får: 

- ”hovedets” diameter: 5 cm = 50 mm 

- ”nålens” længde: 4 cm = 40 mm 

Nu kan man finde målestoksforholdet på to måder: 

Enten som 50 : 10 = 5 : 1 eller som 40 : 8 = 5 : 1 

Bemærk: Når tegningen er større end virkeligheden, skriver man det største tal først. 

I eksempler passer det jo med at 5 mm på tegningen svarer til 1 mm i virkeligheden. 

Når to figurer er præcise forstørrede/formindskede kopier af hinanden, siger man, 

at de er ligedannede. Vinklerne er ens i de to figurer. 


De to trekanter I og II er ligedannede. 

Find længden af c og d. 

Først finder man størrelsesforholdet ved at 

sammenligne siderne b og e. 

Størrelsesforholdet er 4:5 (eller 5:4). 

Det betyder, at hver gang man har 4 længdeenheder 

på trekant I, så har man 5 længdeenheder på trekant II. 

Det er lettest at omregne forholdet til et tal. 

Man får: 

e : b = 5 : 4 = 1,25 

Siderne i trekant II er altså 1,25 gange større 

end siderne i trekant I. 

Derefter får man: d = 1,25 ⋅ a = 1,25 ⋅9,6 

= 12 cm og c = f : 1,25 = 13 : 1,25 = 10,4 cm 

Bemærk: Når man arbejder med målestoksforhold, arbejder man også med ligedannethed. 

Tegningen og den virkelige ting er jo præcise formindskede/forstørrede kopier af hinanden. 


a = 9,6 cm 

10 mm 

I 

c 

b = 4 cm 

d 

8 mm 

II 

e =5 cm 

f = 13 cm


Rumfang 


Ladet på en lastbil har de mål, som er vist på skitsen. 

Hvor mange m 3 (kubikmeter) kan det rumme? 

Rumfanget findes ved at bruge formlen: 

Rumfang = længde ⋅ bredde ⋅ højde eller blot V = l ⋅ b ⋅ h 

(Bogstavet V bruges for rumfang) 

Man får: 

V = 7 m ⋅ 2 m ⋅ 2 m = 

3 

28 

m 

Det betyder, at ladet kan rumme 28 terninge-formede kasser, 

som måler 1 m på hver led. 

En sådan terning kaldes en kubikmeter (m 3 ). 


En kasse har de mål, som er vist på skitsen. 

Hvor mange liter kan den rumme? 

Liter er det samme som kubikdecimeter (dm 3 ). 

(se evt. næste side om rumfangsenheder) 

Derfor laves målene om fra cm til dm inden beregningen. 

Man får: 

V = 

3 

= 7,5 dm ⋅3 

dm ⋅ 4 dm 90 dm eller 90 liter 


En dåse har de mål, som er vist på skitsen. 

Hvor mange milliliter (ml) kan den rumme? 

Milliliter er det samme som kubikcentimeter (cm 3 ) 

og dåsen har form som en cylinder. 

2 

2 

3 

Man får: V = π ⋅ r ⋅ h = π ⋅ 5 ⋅9 

= 707 cm eller 707 ml 

På regnemaskinen tastes: π X 5 x 2 X 9 = 

Til højre er vist formlen for rumfanget af en cylinder. 

Der findes en række andre formler, som du også 

kan få brug for, når du regner opgaver med rumfang. 

28 X 1 m 3 

V = π ⋅ r 

h 

radius 


40 cm 

2 m 

2 m 

75 cm 

5 cm 

2 ⋅ 

7 m 

30 cm 

9 cm 

højde


Omregning mellem rumfangsenheder 

Der bruges to systemer af rumfangsenheder. Meter-enheder og liter-enheder. 

Tegningen herunder viser bl.a., at der går 10 ⋅ 10 ⋅10 

= 1.000 dm 3 til en m 3 . 


rumfangsenhederne vist i en tabel: 

Man måler også rumfang med liter-enheder: 

liter (l), deciliter (dl), centiliter (cl) og milliliter (ml). 

Her er hoppet mellem enhederne kun en ti-gang. 

Det er vigtigt at vide, at: 

- 1 dm 3 er det samme som en liter (l) 

- 1 cm 3 er det samme som en milliliter (ml) 

Her er vist sammenhængen mellem liter-enhederne: 


Omregn 3,5 m 3 til liter. 

1 m 3 = 1.000 dm 3 = 1.000.000 cm 3 = 1.000.000.000 mm 3 

En liter er det samme som en dm 3 . Derfor skal man gange med 1.000. 

Man får: 

3,5 m 

= 

1 m 3 = 1.000 dm 3 

3 

3 

3 

= 3,5 dm ⋅1.000 

3.500 dm = 3.500 liter 

1 dm 3 = 1.000 cm 3 = 1.000.000 mm 3 

1 liter 

1 dm 3 = 1.000 cm 3 

1 cm 3 

1 cm 3 = 1.000 mm 3 

1 dl 

1 liter = 10 dl = 100 cl = 1.000 ml 

1 dl = 10 cl = 100 ml 

1 cl = 10 ml 


1 cl 

1 ml


Massefylde 

Masse er et andet ord for vægt, og fylde betyder rumfang. 

Derfor er massefylde det samme som vægt pr. rumfangsenhed. 

Som formel skrives det normalt som vist til højre, men formlen 

kan også omskrives som vist herunder: 

Vægt = Rumfang · Massefylde eller 

Hvis et materiale har massefylden 2,5 g pr. cm 3 , betyder det, 

at en cm 3 (en kubikcentimeter-terning) vejer 2,5 g. 

Vand har en massefylde på 1 g pr. cm 3 . 

Rumfang = 

Lette ting, der kan flyde (fx træ), har en massefylde under 1 g pr. cm 3 . 

Tunge ting, der ikke kan flyde (fx de forskellige metaller), 

har en massefylde på over 1 g pr. cm 3 . 

Når man regner med massefylde, er det vigtigt at have 

styr på både rumfangsenhederne (se forrige side) og 

vægtenhederne. 


En metalklods vejer 323 g 

og har et rumfang på 85 cm 3 . 

Hvad er massefylden? 

Man får: 

323 g 

Massefylde = 

85 cm 

= 

1 ton = 1.000 kg = 1.000.000 g 

3 

3,8 g pr. cm 

3 

1 kg = 1.000 g 

Hvor meget vejer 5 m 3 grus, 

når massefylden for gruset 

er 2,3 tons pr. m 3 ? 

Man får: 

Vægt = 5 m 

3 

⋅ 2,3 

= 11,5 tons 

tons pr. m 

Massefylde = 

Vægt 

Massefylde 

Vægt 

Rumfang 

Hvor meget fylder 0,5 kg 

alkohol, når massefylden 

er 0,8 kg pr. liter? 


3 

Man får: 

Rumfang = 

= 

0,5 kg 

0,8 kg pr. liter 

0, 

625 

I eksemplerne ovenfor er der sat enheder på tallene i beregningerne og ikke kun på facit. 

Det behøver man ikke, men mange synes, at det er en god hjælp. 

Massefylde er vægt 

pr. rumfangsenhed. 

Fx vægt pr. cm 3 . 

1 ton 1 kg 1 g 

Pas på med opgaver hvor der er små decimaltal som i eksemplet til højre. Man bliver let forvirret! 

liter


Sidelængder i retvinklede trekanter (Pythagoras’ sætning) 

Læresætningen om sidelængderne i en retvinklet trekant, er måske den mest berømte 

regneregel inden for matematik. Pythagoras har fået æren for sætningen. 

Han levede i Grækenland for mere end 2.000 år siden. 

B 

Det mest enkle eksempel er en såkaldt 3-4-5-trekant. 

Hvis man laver en trekant, hvor siderne måler 3 cm, 

4 cm og 5 cm, vil trekanten altid være retvinklet. 

Det gælder naturligvis også, hvis man bruger 

andre måleenheder. Fx 3 m, 4 m og 5 m. 

Man bruger normalt bogstavnavne som vist på tegningen, og sætningen lyder: 

2 2 

a + b = 

c 

2 

2 2 2 

Hvis du regner efter, får du at: 3 + 4 = 5 eller 9 + 16 = 25, 

og det er jo ganske rigtigt. 

Denne sammenhæng mellem sidelængderne gælder altid for retvinklede trekanter. 

Det er vigtigt, at c er den længste side - siden modsat den rette vinkel. 

Det er lige meget, hvilken af de korte sider man kalder a og b. 


Tegningen viser en retvinklet trekant. 

Find den manglende sidelængde c. 

Man sætter ind i formlen 

og løser en ligning: 

12 

2 

144 

+ 5 

+ 

2 

25 

169 

= c 

= c 

= c 

c = 

2 

2 

2 

c = 

169 = 13 

cm 

b = 5 cm 

A 

a = 12 cm 

B C 

2 2 

a + b = 

c 

2 

Skitsen viser en stige, 

der er stillet op ad 

en høj mur. 

Stigens længde 

er 4,50 m. 

Hvor højt når 

stigen op? 

Stigen, muren og jorden danner en retvinklet 

trekant, hvor c = 4,50 m og en af de korte sider 

er 110 cm = 1,10 m. Denne side kaldes a. 

Siden langs muren kaldes b og findes således: 

1,21+ 

b 

= 20,25 −1,21 

= 19,04 

19,04 = 4,36 m 


A 

1,10 

2 

+ b 

b 

2 

2 

2 

c = 5 cm 

b = 4 cm 

= 4,50 

= 20,25 

b = 

2 

a = 3 cm 

110 cm 

C 

Man navngiver hjørner 

med store bogstaver og 

sider med små bogstaver.


Rumfang (2) 

Her er et eksempel på en mere kompliceret opgave med rumfang og overfladeareal: 


Skitserne viser to kaffekrus. 

Det ene er sammensat af en cylinder 

og en halvkugle. Det andet har form 

som en keglestub. 

Sammenlign rumfang og indvendig 

overfladeareal på de to krus. 

Først finder man de nødvendige 

formler. De er vist til højre undervejs. 

Vi starter med at finde rumfanget af kruset til venstre. 

Man får: 

2 

2 

Rumfang af cylinder: V = π ⋅ r ⋅ h = π ⋅ 4 ⋅ 5 = 251,3 cm 3 

1 4 3 2 

Rumfang af halvkugle: V = ⋅ π ⋅ r = ⋅ π ⋅ 4 

2 3 3 

3 

⋅ = 134,0 cm 3 

Rumfang i alt: 385,3 cm 3 

Man kan naturligvis også skrive rumfanget som 385,3 ml, 

da cm 3 og ml jo er det samme. 

Nu finder vi overfladearealet af kruset til venstre. 

Man får: 

Krum overflade af cylinder: 

Overflade af halvkugle: 

O = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ 4 ⋅5 

= 125,7 cm 2 

1 

O 

2 

π 

2 

2 

= ⋅ 4 ⋅ ⋅ r = 2 ⋅ ⋅ 4 = 100,5 cm 2 

Overflade i alt: 226,2 cm 2 

Når man regner på overfladen af en cylinder, skal man være 

opmærksom på, at formlen giver ”den krumme overflade”. 

Top og bund er ikke med. 

I denne opgave skal man heller ikke bruge top og bund, 

men det skal man måske i andre opgaver. 

Pas på med ikke at lade dig snyde af formlen. 

π 


8 cm 

5 cm 

8 cm 

6 cm 

Rumfang cylinder: 

V = π ⋅ r 

2 ⋅ 

h 

Rumfang kugle: 

4 

V = ⋅ π ⋅ r 

3 

Overflade af kugle: 

O = 4 ⋅ π ⋅ r 

r er radius 

3 

2 

radius 

9 cm 

Krum overflade af cylinder: 

O = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h 

h er højden 

r er radius 

radius 

højde


Nu finder vi rumfanget af kruset til højre. 

Man får: 

Rumfang: 

1 

V = ⋅ π ⋅ h ⋅ (R 

3 

1 

2 

= ⋅ π ⋅9 

⋅ (4 

3 

= 348,7 

cm 

3 

2 

+ r 

+ 3 

2 

2 

+ R ⋅ r) 

+ 4 ⋅3) 

Her kan man naturligvis også skrive 348,7 ml. 

Beregningen ovenfor er lidt kompliceret. 

1 

2 2 

Man kan godt indtaste ⋅ π ⋅ 9 ⋅ (4 + 3 + 4 ⋅ 3) 

3 

i en beregning på regnemaskine på denne måde: 

1 ÷ 3 X π X 9 X ( 4 x 2 + 3 x 2 + 4 X 3 ) = 

Men hvis du er usikker på, hvorledes du skal gøre, 

kan du roligt dele beregningen op i flere dele. 

Nu finder vi overfladearealet af kruset, men først må vi finde den skrå side. 

Det gør vi på denne måde vha. Pythagoras’ sætning: 

Man kan lave en retvinklet trekant i siden af kruset som vist. 

Den skrå side er hypotenusen. Den ene katete er højden, 

og den anden katete er forskellen på R og r. 

Man får: 

h 

2 

9 

Det er fristende blot at runde af til 9 cm eller 9,1 cm, men man bør medtage 

nogle flere decimaler i sine mellemregninger. 

Nu er vi parate til at finde overfladearealet af kruset til højre. 

Her skal vi være opmærksomme på, at der både er en krum overflade og en bund. 

Man får: 

Krum overflade af keglestub: O π ⋅ ( + r) ⋅s 

= π ⋅ ( 4 + 3) 

⋅9, 

055... 

Areal af bund: 

+ (R − r) 

2 

+ 

(4 - 3) 

2 

2 

= s 

= s 

81 + 1 = s 

82 = s 

s = 

A π π ⋅ 

2 

2 

2 

2 

82 = 9,055.... cm 

Rumfang af keglestub: 

⋅ π ⋅ h ⋅ (R 

= R = 199,1 cm 2 

2 2 

= ⋅ r = 3 

= 28,3 cm 2 

Overflade i alt: 227,4 cm 2 

Til sidst skal vi sammenligne tallene, og man får, at rumfanget af kruset til venstre er 

385,3 - 347,8 = 37,5 cm 3 større end kruset til højre. Overfladearealerne er næsten lige store, 

men arealet af kruset til højre er dog 227,4 - 226,2 = 1,2 cm 2 større end kruset til venstre. 

+ R ⋅ r) 


h 

R-r 

V = 

1 

3 

2 

+ r 

Krum overflade af keglestub: 

O = π ⋅ (R + r) ⋅s 

h er højden 

R er den store radius 

r er den lille radius 

s er den skrå side 

skrå 

side 

s 

r 

R 

2 

8 cm 

6 cm 

højde 

9 cm


Regne baglæns 

Formlerne for areal og rumfang bruges (naturligvis) mest, når man skal beregne arealer og rumfang. 

Men hvis man mangler et af længdemålene på en figur, og man kender figurens areal eller rumfang 

og det andet (de andre) længdemål, så kan man regne baglæns (lignings-løsning) som vist herunder. 

Der findes dog også andre metoder end den viste. Man kan fx prøve sig frem i et regneark. 


Find bredden af et rektangel med 

arealet 12 m 2 og længden 4,8 m. 

Formlen for arealet af et rektangel er: A = l ⋅ b 

Man sætter de kendte tal ind i formlen og 

regner baglæns (løser en ligning): 

A = l ⋅ b 

12 = 4,8⋅ 

b 

12 

4,8 

= b 

2,5 = b 

b = 2,5 m 


Find arealet af en cirkel der har 

en omkreds på 44 cm. 

Der er ingen formel, der direkte forbinder 

omkreds og areal, men man kan finde radius 

med denne formel: O = 2 ⋅ π ⋅ r 

44 

44 

44 

6,283 

= 2 ⋅ π ⋅ r 

= 6,283⋅ 

r 

= r 

r = 7,0 cm 

Nu findes arealet med formlen: 

2 

2 

A = π ⋅ r = π ⋅ 7, 

0 = 

A = π ⋅ r 

153,9 cm 

2 

2 

Find højden af en kasse, der rummer 0,87 m 3 

og har længden 145 cm og bredden 80 cm. 

Rumfangs-formlen lyder: V = l ⋅ b ⋅ h 

For at enhederne kan passe sammen laves 145 cm 

om til 1,45 m og 80 cm laves om til 0,80 m 

0,87 = 1,45⋅ 

0, 

80 ⋅ h 

0,87 = 1,16 ⋅ h 

0,87 

1,16 

m = 75 cm 


0, 

75 

V = l ⋅ b ⋅ h 

= h 

= h 

h = 

0, 

75 

Find radius i en cylinder der er 

60 cm høj og kan rumme 118 liter. 

2 

Rumfangs-formlen lyder: V = π⋅ 

r ⋅ h 

For at enhederne kan passe sammen laves 60 cm 

om til 6 dm (husk at 1 liter = 1 dm 3 ). 

2 

118 = π⋅ 

r ⋅ 6 

2 

118 = 18, 

85 ⋅ r 

118 

18,85 

2 

V = 

π⋅ 

r ⋅ h 

= r 

6,26 = r 

r = 

2 

2 

6,26 = 2,5dm 

= 25cm

Geometri - VUC Aarhus

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?