Differentialregning for gymnasiet og hf. Udgave 2. - Matematik i ...

Differential-
regning
for gymnasiet og hf
Udgave 2
f (x)
t
f
s
f (1)
2011 Karsten Juul

HÄftet
Åvelser til hÄftet ”Differentialregning for gymnasiet og hf, udgave 2.”
gÉr det nemt at supplere klasseundervisningen med elevers selvstÄndige arbejde med stoffet.
Rammerne 37-39 er kun for A-niveau.
1. GrundlÄggende typer af opgaver med grafer ..............................................................................1
2. Regel om tilvÄkster for lineÄre sammenhÄnge ..........................................................................2
3. SÑdan kan vi finde hÄldningskoefficienten ud fra lineÄr graf ....................................................3
4. Hvad er en tangent ......................................................................................................................3
5. Differentialkvotient .....................................................................................................................4
6. HvornÑr er en x-tilvÄkst lille ......................................................................................................5
7. Marginalomkostninger ................................................................................................................5
8. VÄksthastighed ............................................................................................................................6
9. Formel for y ................................................................................................................................7
10. Formel for y' (tangenthÄldning, vÄksthastighed) .....................................................................7
11. Udregne y-koordinat og tangenthÄldning. Finde ligning for tangent ...................................8
12. Forskelle der ikke kan ses pÑ grafen ............................................................................................9
13. Udregne mÄngde og vÄksthastighed ........................................................................................10
14. Differentialkvotient af x n ..........................................................................................................10
15. Differentialkvotient af k og x m.m. ......................................................................................11
16. Differentialkvotient af konstant gange udtryk ..........................................................................11
17. Differentialkvotient af udtryk med flere led ..............................................................................12
18. SkrivemÑden h(t) , y(x) osv. ..................................................................................................12
19. Nogle typer af opgaver med tangenthÄldning ...........................................................................13
20. Nogle typer af opgaver med vÄksthastighed .............................................................................14
21. Kontinuert...................................................................................................................................15
22. Voksende og aftagende ...............................................................................................................16
23. Hvad er monotoniforhold .........................................................................................................17
24. Regel for at finde monotoniforhold............................................................................................17
25. Typisk opgave med monotoniforhold ........................................................................................18
26. Maksimum og minimum ............................................................................................................19
27. Lokalt maksimum og minimum .................................................................................................20
28. Typisk opgave med lokale ekstrema ..........................................................................................21
29. GÉr rede for at funktionen har et minimum (eller maksimum)..................................................22
30. Flere typer opgaver med maksimum eller minimum .................................................................22
31. Differentiabel..............................................................................................................................23
32. GrÄnsevÄrdi...............................................................................................................................24
33. Vi kan finde en differentialkvotient ved at udregne en grÄnsevÄrdi.........................................25
34. Udledning af formlen for at differentiere x 2 ...............................................................................26
35. Udledning af formlen for at differentiere udtryk plus udtryk ....................................................26
36. Differentialkvotient af e k x og ln(x) ..........................................................................................27
37. Differentialkvotient af udtryk gange udtryk ..............................................................................27
38. Opdeling af en sammensat funktion i en indre og en ydre funktion ..........................................28
39. Metode til at differentiere en sammensat funktion.....................................................................28
Differentialregning for gymnasiet og hf. Udgave 2.
Ä 2011 Karsten Juul
Dette hÅfte kan downloades fra www.mat1.dk
HÅftet mÇ benyttes i undervisningen hvis lÅreren med det samme sender en e-mail til kj@mat1.dk som
dels oplyser at dette hÅfte benyttes, dels oplyser om hold, lÅrer og skole.

1. GrundlÄggende typer af opgaver med grafer
P
I koordinatsystemet er tegnet en del af grafen for sammenhÄngen mellem to variable x og y.
Type 1.1: Hvad er y nÑr x er 9
Metode: Vi gÑr til 9 pÑ vandret akse, gÑr lodret op til graf og vandret ind pÑ lodret akse, og
ser at vi er endt ved 10.
Konklusion: y er 10 nÑr x er 9 .
Type 1.2: Hvad fortÄller grafpunktet P om sammenhÄngen mellem x og y
Metode: Fra P gÑr vi lodret ned pÑ vandret akse og ser at vi ender ved 44. Fra P gÑr vi
vandret indpÑ lodret akse og ser at vi ender ved 33.
Konklusion: Grafpunktet P fortÄller at nÑr x er 44 sÑ er y lig 33.
Type 1.3: Tegn det grafpunkt der giver fÉlgende oplysning: NÑr x er 53, er y lig 37.
Metode: Vi gÑr til 53 pÑ vandret akse, og gÑr lodret op til vi er vandret ud for 37 pÑ den
lodrette akse, og tegner et punkt Q her.
Konklusion: Det tegnede punkt Q er det grafpunkt der fortÄller at nÑr x er 53, er y lig 37.
Type 1.4: Vi starter med x 24 og giver x en tilvÄkst pÑ 12. Hvilken tilvÄkst fÑr y
Metode: 24 12 36 . Vi aflÄser at nÑr x er 24 er y lig 22, og at nÑr x er 36 er y lig 29. Vi
udregner "sidste y-vÄrdi minus fÉrste": 29 22 7 .
Konklusion: y fÑr tilvÄksten 7 nÑr vi starter med x 24 og giver x en tilvÄkst pÑ 12.
Type 1.5: NÑr vi starter med x 53 og giver x en tilvÄkst pÑ 7 sÑ fÑr y tilvÄksten 3. Brug
dette til at tegne endnu et grafpunkt.
Metode: NÑr x er 53 er y lig 37 (se 1.3). 53 7 60 og 37 3 40 . Fra 60 pÑ vandret akse
gÑr vi lodret op til vi er ud for 40 pÑ lodret akse, og her tegner vi punktet R.
Konklusion: Det tegnede punkt R er det sÉgte grafpunkt.
Differentialregning for gymnasiet og hf. Udgave 2. Side 1 2011 Karsten Juul

2. Regel om tilvÄkster for lineÄre sammenhÄnge
Definition 2.1
Vi ser pÑ en lineÄr sammenhÄng mellem to variable x og y hvor y er pÑ den lodrette akse.
HÄldningskoefficienten a er den tilvÄkst som y fÑr nÑr x fÑr tilvÄksten 1 .
SÄtning 2.2
Vi ser pÑ en lineÄr sammenhÄng mellem to variable x og y hvor y er pÑ den lodrette akse.
HÄldningskoefficienten betegner vi med a . For enhver x-tilvÄkst er
y-tilvÄkst = a x-tilvÄkst
I koordinatsystemet er tegnet grafen
for en lineÄr sammenhÄng mellem
to variable x og y.
Ved at aflÄse pÑ grafen ser vi:
NÑr vi giver x tilvÄksten 1
sÑ fÑr y tilvÄksten 0,6 .
(Se type 1.4 side 1).
HÄldningskoefficienten er 0,6
ifÉlge Definition 2.1 ovenfor.
0,6
2,1
1,5
2 3
1
NÑr vi giver x tilvÄksten 3
sÑ fÑr y tilvÄksten
0,6
3
1,8
(Dette ser vi ud fra figuren
eller ved at bruge SÄtning 2.2
ovenfor)
0,6
3
3,3
1,5
2 5
3
NÑr vi giver x tilvÄksten 0,5
sÑ fÑr y tilvÄksten
0,6
0,5 0,3
(Dette ser vi ud fra figuren
eller ved at bruge SÄtning 2.2)
NÑr vi giver x tilvÄksten h
sÑ fÑr y tilvÄksten
0,6 h
(Ovenfor er h hhv. 3 og 0,5 )
0,6
0,5
1 1 ,5
, 8
2 2, 5
0, 5
Differentialregning for gymnasiet og hf. Udgave 2. Side 2 2011 Karsten Juul

3. SÑdan kan vi finde hÄldningskoefficienten ud fra lineÄr graf
Type 3.1:
Metode:
Den lineÄre graf viser sammenhÄngen
mellem to variable x og y .
Hvor mange enheder bliver y stÉrre
nÑr vi gÉr x Ön enhed stÉrre
Vi aflÄser pÑ grafen at
NÑr x 10 er y 6
NÑr x 30 er y 22
Vi udregner
y-tilvÄkst = 22 6 16
x-tilvÄkst = 30 10
20
NÑr x-tilvÄksten er 1, mÑ y-tilvÄksten vÄre en tyvendedel af 16:
22 6
30 10
16
20
Konklusion: y bliver 0,
8 enheder stÉrre hver gang vi gÉr x Ön enhed stÉrre
0,8
dvs. hÄldningskoefficienten er 0 , 8 .
4. Hvad er en tangent
Definition 4.1
NÑr P er et punkt pÑ en graf gÄlder:
Tangenten i P er den rette linje gennem P
som fÉlger grafen nÄr P.
Eksempel 4.2
l er tangent til grafen i P .
m er ikke tangenten til grafen i Q .
Tangenten i Q er den linje gennem Q der fÉlger
grafen nÄr Q . Denne linje er ikke tegnet
pÑ figuren.
I ethvert punkt pÑ den viste graf kan vi tegne en
tangent.
l
P
m
Q
Differentialregning for gymnasiet og hf. Udgave 2. Side 3 2011 Karsten Juul

5. Differentialkvotient
g
P
f
I koordinatsystemet er tegnet graferne for to sammenhÄnge f og g .
Ud fra grafen finder vi ud af at g-grafen har hÄldningskoefficient 0,4 .
Grafen for g er tangent til grafen for f i punktet P .
Vi starter med x 300 . NÑr vi giver x en tilvÄkst pÑ 100 er
for g : y-tilvÄkst = 0,4
100
40
for f : y-tilvÄkst = 230 200 30
Vi starter med x 300 . NÑr vi giver x en tilvÄkst pÑ 1 er
for g : y-tilvÄkst = 0,400
for f : y-tilvÄkst = 0,399 (aflÄst pÑ en skÄrm hvor det kan gÉres nÉjagtigt)
Vi ser at for f er y-tilvÄksten ca. lig y-tilvÄksten for g, dvs. ca. 0,4 gange x-tilvÄksten.
NÑr x 300
gÄlder for smÑ x-tilvÄkster at
for f : y-tilvÄkst ≈ 0,4 x-tilvÄkst
Vi kalder 0,4 for differentialkvotienten for f i 300 .
Definition 5.1
Vi ser pÑ en sammenhÄng mellem to variable x og y , og xo
Ved differentialkvotienten i xo
er en bestemt x-vÄrdi.
forstÑr vi
hÄldningskoefficienten for tangenten i grafpunktet med x-koordinat x o .
Differentialkvotienten betegnes med y som lÄses "y-mÄrke ".
SÄtning 5.2
Vi ser pÑ en sammenhÄng mellem to variable x og y. Hvis
NÑr x x0
og vi giver x en lille tilvÄkst, er
y-tilvÄkst ≈ a x-tilvÄkst
y a nÑr x x0
gÄlder:
I eksemplet ovenfor gÄlder:
NÑr x 300 er y 0, 4
NÑr x 300
og vi giver x en lille tilvÄkst, sÑ kan vi udregne y-tilvÄksten sÑdan:
y-tilvÄkst ≈ 0,4 x-tilvÄkst
Differentialregning for gymnasiet og hf. Udgave 2. Side 4 2011 Karsten Juul

6. HvornÑr er en x-tilvÄkst lille
Den rette linje er tangent til f-grafen i punktet med
x-koordinat 2 .
Linjens hÄldningskoefficient er 0,
3 sÑ hvis vi starter
med x 2 og giver x en lille tilvÄkst, kan vi udregne
y-tilvÄksten sÑdan:
(*)
y-tilvÄkst ≈ 0,3 x-tilvÄkst
Denne ligning passer hvis x-tilvÄksten er sÑ lille at vi
ikke kommer uden for den del af f-grafen som er
nÄsten sammenfaldende med tangenten.
PÑ den Éverste figur er x-tilvÄksten 0,1 lille.
PÑ den nederste figur er x-tilvÄksten 100 lille.
f
f
Hvis graferne stammer fra anvendelser hvor
nÉjagtigheden er lille, vil vi mÑske bruge ligningen
(*)
selv om x-tilvÄksten er vÄsentlig stÉrre. MÑske
ville vi bruge (*)
selv om x-tilvÄksten var 2 pÑ Éverste
figur og 2000 pÑ nederste.
7. Marginalomkostninger
Grafen viser sammenhÄngen mellem
fÉlgende to variable:
x = antal meter der fremstilles
y = omkostninger i kr.
NÑr x 400 er y 2 , dvs. hvis vi
fremstiller 1 meter mere, vil omkostningerne
blive 2 kr. stÉrre.
NÑr x 600 er y 14 , dvs. hvis vi
fremstiller 1 meter mere, vil omkostningerne
blive 14 kr. stÉrre.
Vi sÄlger hver meter for 12 kr., sÑ hvis
vi fremstiller 400 meter kan det betale
sig at fremstille flere, og hvis vi fremstiller
600 meter, kan det ikke betale sig.
kr.
Omkostningerne ved at fremstille
meter
1 enhed mere kaldes marginalomkostningerne.
NÑr vi fremstiller 400 meter, er marginalomkostningerne 2 kr.
NÑr vi fremstiller 600 meter, er marginalomkostningerne 14 kr.
Ovenfor argumenterede vi ved hjÄlp af disse marginalomkostningerne. Dette kaldes marginalbetragtninger.
Marginalbetragtninger bruges ogsÑ i forbindelse med andet end omkostninger.
Differentialregning for gymnasiet og hf. Udgave 2. Side 5 2011 Karsten Juul

8. VÄksthastighed
Den krumme kurve er graf for sammenhÄngen
mellem fÉlgende to variable:
x = antal dage efter at vi begyndte at mÑle
y = plantens hÉjde i mm
Vi ser at
nÑr x 30 er y 0, 5
Omkring tidspunktet 30 dage vil plantens hÉjde
altsÑ blive ca. 0,5 mm hÉjere pÑ en dag.
Vi siger at
30 dage efter at vi begyndte at mÑle er
vÄksthastigheden lig 0,5 mm pr. dag.
mm
dage
I et lille tidsum pÑ x-aksen er grafen nÄsten sammenfaldende med den tegnede tangent.
Det er i dette tidsrum at vÄksthastigheden er ca. 0,5 mm pr. dag.
Den krumme kurve er graf for sammenhÄngen
mellem fÉlgende to variable:
x = antal mÑneder efter at vi begyndte at mÑle
y = plantens hÉjde i mm
Vi ser at
sÑ
nÑr x 1 er y 15
1 mÑned efter at vi begyndte at mÑle er
vÄksthastigheden lig 15 mm pr. mÑned.
Dette betyder IKKE at planten i den nÄste
mÑned vokser 15 mm.
PÑ grafen ser vi at det kun er en lille del af en
mÑned at vÄksthastigheden er ca. 15 mm pr. mÑned.
mm
mÑneder
Differentialregning for gymnasiet og hf. Udgave 2. Side 6 2011 Karsten Juul

9. Formel for y
Om en sammenhÄng mellem x og y gÄlder at hvis vi
kender vÄrdien af x , sÑ kan vi udregne y sÑdan:
( * )
Divider 4 med vÄrdien af x
og trÄk resultatet fra 5.
Denne regel kan vi skrive som fÉlgende formel:
( y 5
4
* )
x
I koordinatsystemet er tegnet grafen for denne
sammenhÄng.
PÑ grafen aflÄser vi at
nÑr x 2, 6 sÑ er y ca. 3,45
Ved at bruge reglen ( * ) fÑr vi at
nÑr x 2, 6 sÑ er y 5
4
2,6
3, 46154
PÑ grafen ser vi:
Hvis vÄrdien af x er mellem 3 og 4, sÑ er vÄrdien af y stÉrre end 3,5
Heraf slutter vi:
Hvis vi bruger reglen ( * ) pÑ en x-vÄrdi mellem 3 og 4, sÑ er resultatet stÉrre end 3,5.
Dette er et (tilfÄldigt) eksempel pÑ fÉlgende:
Vi kan bruge vores viden om grafen til sige noget om ligningen for sammenhÄngen.
10. Formel for y' (tangenthÄldning, vÄksthastighed)
For sammenhÄngen fra ramme 9 gÄlder at hvis vi
kender vÄrdien af x , sÑ kan vi udregne y' sÑdan:
( ** )
Gang vÄrdien af x med sig selv
og divider resultatet op i 4.
Denne regel kan vi skrive som fÉlgende formel:
4
( ** ) y
x 2
PÑ grafen aflÄser vi at
nÑr x 2, 6 sÑ er y ca. 0,60
Ved at bruge reglen ( ** ) fÑr vi at
nÑr x 2, 6 sÑ er y
4
2
2,6
0, 591716
Differentialregning for gymnasiet og hf. Udgave 2. Side 7 2011 Karsten Juul

11. Udregne y-koordinat og tangenthÄldning
Finde ligning for tangent
FÉlgende ligning viser en sammenhÄng
mellem x og y :
y
x 1
x 2
SpÉrgsmÑlene nedenfor drejer sig om grafen for
denne sammenhÄng.
Vi fÑr lommeregneren (eller matematikprogrammet)
til at differentiere denne sammenhÄng mht. x .
Resultatet er
1
y
2
( x 2)
SÑdan tastede vi pÑ TI-Nspire CAS:
d
Symbolet kan IKKE skrives
dx
ved hjÄlp af en brÉkstreg.
Brug i stedet skabelonen .
Vi kan vÄlge denne pÑ skabelonpaletten
eller i Calculus-menuen.
Type 11.1: Hvad er y-koordinaten til grafpunktet med x-koordinat 1, 5
1,5
1
Metode: NÑr x 1, 5 er y 1
1,5
2
Konklusion: Grafpunktet med x-koordinat 1,
5 har y-koordinaten 1
Type 11.2: Hvad er tangenthÄldningen i grafpunktet med x-koordinat 1, 5
1
Metode: NÑr x 1, 5 er y
4
2
( 1,5
2)
Konklusion: I grafpunktet med x-koordinat 1,
5 er tangenthÄldningen 4
Type 11.3: Find ligningen for tangenten til grafen i grafpunktet med x-koordinat 1, 5
Metode:
Fra type 11.1 og 11.2 ved vi at tangenten er en linje som gÑr gennem punktet
( x1 , y1)
( 1,5 , 1)
og har hÄldningskoefficienten a 4 . Disse tal indsÄtter vi i
formlen for linjens ligning
y
og fÑr
y
a ( x x y
1 )
som vi omskriver til
y 4x
5
x
( 1,5)
( 1)
4
1
Konklusion: Tangenten til grafen i grafpunktet med x-koordinat 1,
5 har ligningen y 4x
5
Differentialregning for gymnasiet og hf. Udgave 2. Side 8 2011 Karsten Juul

12. Forskelle der ikke kan ses pÑ grafen
I koordinatsystemet er tegnet grafen for sammenhÄngen
y
x 2 0,2
Vi differentierer og fÑr
y
2x
Ved at bruge denne formel fÑr vi at
nÑr x 1 er y
21
2
nÑr x 1, 05 er y
21, 05 2, 1
Her har vi fundet ud af at
i grafpunktet med x-koordinat 1 er tangenthÄldningen 2
i grafpunktet med x-koordinat 1,05 er tangenthÄldningen 2,1
PÑ grafen ser det ud som om tangenthÄldningen er den samme i de to punkter,
men der er altsÑ en lille forskel.
I koordinatsystemet er tegnet grafen for sammenhÄngen
y
x 3 0,3
Vi differentierer og fÑr
y
3x 2
Ved at bruge denne formel fÑr vi at
2
nÑr x 0 er y
30 0
2
nÑr x 0, 05 er y
30,05 0, 0075
Her har vi fundet ud af at
i grafpunktet med x-koordinat 0 er tangenthÄldningen 0
i grafpunktet med x-koordinat 0,05 er tangenthÄldningen 0,0075
PÑ grafen ser det ud som om tangenthÄldningen er den samme i de to punkter,
men der er altsÑ en lille forskel.
Vi udregner y-koordinaterne til de to punkter:
nÑr x 0 er y 0 3 0, 3 0, 3
nÑr x 0, 05 er y 0,05
3 0, 3 0, 300125
PÑ grafen ser det ud som om de to punkter har samme y-koordinat,
men der er altsÑ en lille forskel.
Differentialregning for gymnasiet og hf. Udgave 2. Side 9 2011 Karsten Juul

13. Udregne mÄngde og vÄksthastighed
I et show er
y
500
1
499e
0,1x
hvor y er antallet af ramte balloner, og x er antal minutter efter showets start.
Type 13.1: Hvor mange balloner er ramt 50 minutter efter showets start
500
Metode: NÑr x 50 er y
114, 62
0,150
1
499e
Konklusion: 50 minutter efter showets start er 115 balloner ramt.
Type 13.2:
Metode:
Hvor hurtigt vokser antallet af ramte balloner 50 minutter efter showets start
Vi fÑr lommeregneren til at udregne vÄrdien
af y for x 50 og fÑr 8,83446 .
Konklusion: 50 minutter efter showets start vokser
antallet af ramte balloner med hastigheden
8,8
balloner pr. minut.
SÑdan tastede vi pÑ TI-Nspire CAS:
14. Differentialkvotient af x n
Der gÄlder fÉlgende:
3
2
differentialkvotienten af x er 3x
differentialkvotienten af
differentialkvotienten af
osv.
4
x
5
x
er
er
3
4x
4
5x
Der gÄlder altsÑ:
differentialkvotienten af
n
x
n n1
Denne regel kan vi skrive x
nx
Hvis vi sÄtter 2
Da
er
n fÑr vi x2 2x2
1
x
2 1
x
1 x er x 2
2
x
nx
n1
Advarsel: Reglen dur ikke nÑr x
er i eksponenten:
x
a
x1
er IKKE lig xa
Reglen for at differentiere x i n 'te
4 1 1
1
1 1
2
x 4
x 4 x 4 x
4 1
x 4
x 4
1
4
2 2
1
x x
1
1 1
1 1 1
x 1
1
2 2 x 2
2 2
1
2
1
1 2 x x
x
2
2
x
x
Differentialregning for gymnasiet og hf. Udgave 2. Side 10 2011 Karsten Juul

15. Differentialkvotient af k og x m.m.
Figuren viser grafen for sammenhÄngen
y
1,3
x
0,5
Tangenten til denne graf i punktet P er en ret linje der er
sammenfaldende med grafen.
Tangentens hÄldningskoefficient er altsÑ 1, 3
sÑ differentialkvotienten i 2 er 1 , 3 .
P
Det er klart at der gÄlder:
Differentialkvotienten for en lineÄr sammenhÄng
er lig den lineÄre sammenhÄngs hÄldningskoefficient.
Grafen for sammenhÄngen y 3 bestÑr af de punkter hvis y-koordinat er 3 .
Grafen er altsÑ en linje med hÄldningskoefficient 0, sÑ differentialkvotienten er 0.
Det er klart at der gÄlder:
Differentialkvotienten af en konstant k er 0 .
Denne regel kan vi skrive k 0
Reglen for at differentiere en konstant
Grafen for sammenhÄngen y x bestÑr af de punkter hvor x-koordinaten er lig y-koordinaten.
Grafen er altsÑ en linje med hÄldningskoefficient 1, sÑ differentialkvotienten er 1.
Denne regel kan vi skrive x 1
Reglen for at differentiere x
16. Differentialkvotient af konstant gange udtryk
Der gÄlder: 3
udtryk
3 udtryk
4
udtryk
4 udtryk
2,6
udtryk
2, 6 udtryk
osv.
En konstant k gange et udtryk differentierer vi ved at differentiere udtrykket og beholde
konstanten:
k udtryk k udtryk Reglen for at differentiere konstant gange udtryk
3
2 2
Eksempel: 4 x 3 4 x 4 3x
12 x
Reglen for at differentiere konstant gange udtryk
Reglen for at differentiere x i n 'te
Differentialregning for gymnasiet og hf. Udgave 2. Side 11 2011 Karsten Juul

17. Differentialkvotient af udtryk med flere led
Et udtryk der bestÑr af flere led differentierer vi ved at differentiere hvert led.
Det er + og – der adskiller led.
2
Udtrykket 6 3
x x bestÑr af de tre led 6 x
2
3 x
Reglen for at differentiere
udtryk
med flere led
6 3 x x x x
2
2
6
3
0 3
x
2x
0 31
2x
3 2x
Reglen for at differentiere
udtryk
med flere led
Reglen for at differentiere
konstant
Reglen for at differentiere
konstant gange udtryk
Reglen for at differentiere x
Reglen for at differentiere x i n 'te
18. SkrivemÑden h(t) , y(x) osv.
Vi vil forklare skrivemÑden ved hjÄlp af fÉlgende eksempel:
h = hÉjden af en plante (i cm)
t = antal uger efter udplantningen
Hvis h er variablen pÑ den lodrette akse, kan vi bruge fÉlgende skrivemÑder:
h(3)
er hÉjden efter 3 uger
h(3)
er y-koordinaten til grafpunktet med x-koordinat 3
h(3)
er hÉjdens vÄksthastighed efter 3 uger
h(3)
er tangenthÄldningen i grafpunktet med x-koordinat 3
h( t)
15 t er et tidspunkt hvor hÉjden er 15 cm
h( t)
15 t er x-koordinaten til et grafpunkt hvor y-koordinaten er 15
h( t)
0,56 t er et tidspunkt hvor hÉjdens vÄksthastighed er 0,56 cm pr. uge
h( t)
0,56 t er x-koordinaten til et grafpunkt hvor tangenthÄldningen er 0,56
Ligning for sammenhÄngen mellem h og t :
h 7,2
1,
047
Forskrift for funktionen h :
h( t)
7,2 1,
047
t
t
Denne forskrift kan vi fx bruge til at udregne hÉjden efter 3 uger:
h(3)
7,2 1,047
3
8,26366
dvs. efter 3 uger er hÉjden
8,3cm
Differentialregning for gymnasiet og hf. Udgave 2. Side 12 2011 Karsten Juul

19. Nogle typer af opgaver med tangenthÄldning
En funktion f har forskriften
f ( x)
2
x
x
Vi differentierer denne forskrift og fÑr
f ( x)
2x
1
Type 19.1: Hvad er hÄldningskoefficienten for tangenten i grafpunktet med x-koordinat 2
Metode: f ( 2)
2
2 2 6
Konklusion: HÄldningskoefficienten for tangenten i grafpunktet med x-koordinat 2 er 6
Type 19.2: Tangenten i et grafpunkt P har hÄldningskoefficient 4.
Hvad er x-koordinaten til P
Metode:
Hvis xo
er x-koordinaten til P
er f ( x o ) 4
dvs. 2x
o 1 4
sÑ x o 1, 5
Konklusion: x-koordinaten til P er 1, 5
En funktion g har forskriften
1
3
3
g( x)
x
3x
Vi differentierer denne forskrift og fÑr
g( x)
x
2 3
Type 19.3: Er der et punkt pÑ grafen sÑ tangenten i dette punkt har hÄldningskoefficienten 2
Metode:
Konklusion:
Hvis xo
er x-koordinaten til et grafpunkt med tangenthÄldningen 2
er g( x o ) 2
2
o
2
o
dvs. x 3 2
sÑ x 1
Dette er ikke opfyldt for noget tal xo
da et tal i anden aldrig er negativt.
Der er ikke et punkt pÑ grafen sÑ tangenten i dette punkt har
hÄldningskoefficienten 2 .
Differentialregning for gymnasiet og hf. Udgave 2. Side 13 2011 Karsten Juul

20. Nogle typer af opgaver med vÄksthastighed
VÄksten af en plante kan beskrives ved
M ( t)
1,28 1,
16
t
hvor t er tiden angivet i uger, og M (t)
er vÄgten
angivet i gram.
SÑdan tastede vi pÑ TI-Nspire CAS:
Lommeregneren differentierer denne forskrift og fÑr
M ( t)
0,1899781,
16
t
Type 20.1:
Hvad er vÄgtens vÄksthastigheden pÑ tidspunktet 15 uger
Metode: Lommeregneren udregner M ( 15) 1, 76024
Konklusion: PÑ tidspunktet 15 uger er vÄgtens vÄksthastighed 1,76 gram pr. uge
Type 20.2:
Metode:
HvornÑr er vÄgtens vÄksthastighed 7 gram pr. uge
NÑr t o er et tidspunkt hvor vÄksthastigheden er 7, sÑ er
M ( t o ) 7
Lommeregneren lÉser denne ligning mht. t o og fÑr t o 24, 301
Konklusion: VÄgtens vÄksthastighed er 7 gram pr. uge pÑ tidspunktet 24,3 uger
Type 20.3: Udregn M (20)
og skriv hvad dette tal fortÄller om vÄgten.
Metode: Lommeregneren udregner M ( 20) 3, 69712
NÑr x er tiden, gÄlder for en funktion f (x)
:
PÑ tidspunktet
x er vÄksthastigheden for f (x)
lig f x )
o
( o
Konklusion: M ( 20) 3, 70
dvs.
PÑ tidspunktet 20 uger er vÄksthastigheden for vÄgten lig 3,70 gram pr. uge
Differentialregning for gymnasiet og hf. Udgave 2. Side 14 2011 Karsten Juul

21. Kontinuert
I koordinatsystemet til hÉjre er tegnet to af punkterne pÑ grafen for
en funktion f (x)
.
Hvis grafen er en sammenhÄngende kurve, mÑ den skÄre x-aksen:
Der mÑ vÄre et tal xo
mellem 7 og 30 sÑ f ( x o ) 0 .
Nedenfor er tegnet to eksempler pÑ sammenhÄngende grafer der gÑr
gennem de to punkter.
For funktionen f (x)
nedenfor til hÉjre er der ikke noget tal xo
mellem 7 og 30 sÑ f ( x o ) 0 .
Dette er muligt fordi funktionen har et spring (det er for x lig 21).
Definition 21.1
En funktion f (x)
er kontinuert i et tal hvis funktionen ikke har et spring for x lig dette tal.
SÄtning 21.2
Hvis y-vÄrdierne f (a)
og f (b)
har modsat fortegn
og f (x)
er kontinuert i ethvert tal i intervallet a x b
sÑ gÄlder:
SÄtning 21.3:
der er et tal xo
mellem a og b sÑ f ( x o ) 0 .
Funktioner med sÄdvanlige forskrifter er kontinuerte i alle tal hvor de er defineret.
Eksempel 21.4:
NÑr x 2
er 1 x
negativ, og nÑr x 2 er 1 x
positiv, men der er ikke en x-vÄrdi mellen 2 og 2
sÑ x 1 er nul. Dette er ikke i modstrid med SÄtning 21.2 da x 1 ikke er kontinuert i alle tal mellem
2 og 2 (eftersom 1 x ikke er defineret for x lig 0).
Eksempel 21.5
2
(a) x 9x 8 0 har lÉsningerne x 1 og x 8 .
2
(b) NÑr x 2 er x 9x
8 lig 6 .
2
PÑstand: Af (a) og (b) kan vi slutte at x 9x
8 er negativ for enhver x-vÄrdi mellem 1 og 8 .
2
Begrundelse: Hvis x 9x
8 f.eks. var positiv for x 4 sÑ mÑtte der (ifÉlge sÄtningerne 21.2
2
2
og 21.3) vÄre en x-vÄrdi mellem 2 og 4 hvor x 9x
8 er 0 . Det er der ikke da x 9x
8
kun er 0 nÑr x er 1 eller 8 .
Differentialregning for gymnasiet og hf. Udgave 2. Side 15 2011 Karsten Juul

22. Voksende og aftagende
Figuren viser en interaktiv figur fra en computerskÄrm. NÑr vi trÄkker x-punktet hen pÑ et tal x
kan vi aflÄse funktionsvÄrdien f (x)
.
PÑ figuren kan vi se:
NÑr vi trÄkker x gennem tallene fra 2 til og med 9, vil f ( x)
NÑr vi trÄkker x gennem tallene fra 9 til og med 14, vil f ( x)
hele tiden blive stÉrre.
hele tiden blive mindre.
(2)
f(x)
1
2
x
14
(1)
Som bekendt siger man:
f (x) er voksende i intervallet 2 x 9
f (x) er aftagende i intervallet 9 x 14
Er f (x) bÑde aftagende og voksende i 9
Nej, vi taler ikke om at en funktion er voksende i Öt tal. Vi taler om at en funktion er voksende i et
interval. Der skal vÄre mindst to y-vÄrdier hvis vi skal kunne tale om at y er blevet stÉrre eller
mindre.
At f (x)
er voksende i intervallet 2 x 9
betyder at hvis x1
og x2
er tal intervallet og x2
er stÉrre end x1
sÑ er f x ) stÉrre end f x )
( 2
( 1
At f (x)
er aftagende i intervallet 9 x 14
betyder at hvis x1
og x2
er tal intervallet og x2
er stÉrre end x1
sÑ er f x ) mindre end f x )
( 2
( 1
Differentialregning for gymnasiet og hf. Udgave 2. Side 16 2011 Karsten Juul

23. Hvad er monotoniforhold
I nogle opgaver stÑr at vi skal
bestemme monotoniforholdene
for en funktion.
Det betyder at vi skal skrive
i hvilke x-intervaller funktionen aftager, og
i hvilke x-intervaller funktionen vokser.
PÑ figuren er vist grafen for et tredjegradspolynomium.
Monotoniforholdene kan vi skrive sÑdan:
f (x) er voksende i intervallet x 3
f (x) aftagende i intervallet 3 x 2
f (x) voksende i intervallet 2 x
P(3, 4)
Q(2, 1)
f
24. Regel for at finde monotoniforhold
Hvis f '(x) er positiv
(* ) tangenthÄldningen f (x)
er positiv for hvert
tal x i intervallet 1 x 4 .
(** ) f (x)
er voksende i intervallet 1 x 4 .
Hvis man prÉver at tegne grafen sÑdan at (*)
, men
ikke (**)
gÄlder, sÑ bliver man overbevist om at det
ikke kan lade sig gÉre. Man kan bevise at hvis ( * )
gÄlder, sÑ gÄlder (**)
ogsÑ.
Hvis der er undtagelser fra at f '(x) er positiv
Funktionen f (x)
pÑ nederste figur er voksende selv om der er
Öt punkt hvori tangenthÄldningen er 0.
Selv om der er enkelte undtagelser fra (*)
, kan man
slutte at (**)
gÄlder.
f
f
SÄtning 24.1
Hvis f (x)
er positiv for alle x i et interval, evt. med endeligt mange undtagelser,
sÅ er f (x)
voksende i intervallet.
Hvis f (x)
er negativ for alle x i et interval, evt. med endeligt mange undtagelser,
sÅ er f (x)
aftagende i intervallet.
Differentialregning for gymnasiet og hf. Udgave 2. Side 17 2011 Karsten Juul

25. Typisk opgave med monotoniforhold
Opgave
Bestem monotoniforholdene for funktionen
1
4
4
2
3
f ( x)
x x
3
7
3
En besvarelse
Lommeregneren
og fÑr
differentierer
3
f ( x)
x 2x
1
4
4
2
3
f ( x)
x x
2
3
7
3
mht. x
Denne linje giver en detaljeret
beskrivelse af den operation som
vi fÑr lommeregneren til at udfÉre.
Lommeregneren
3 2 2
lÉser ligningen x x 0
og fÑr lÉsningerne
x 2 eller x 0
mht. x
Denne linje giver en detaljeret
beskrivelse af den operation som
vi fÑr lommeregneren til at udfÉre.
Heraf fÉlger at f (x)
kun kan skifte fortegn i x-vÄrdierne 2
og 0 :
Da f ( 3)
9
er f (x)
negativ for x 2
Da f ( 1)
1 er f (x)
positiv for 2 x 0
Da f ( 1) 3 er f (x)
positiv for 0 x
Af dette fÉlger:
f (x) er aftagende i intervallet x 2
f (x) er voksende i intervallet 2 x
Se Eksempel 21.5
SÑdan tastede vi pÑ TI-Nspire CAS:
Oversigt:
x : 2
0
f (x) : 0 0
f (x) :
Differentialregning for gymnasiet og hf. Udgave 2. Side 18 2011 Karsten Juul

26. Maksimum og minimum
f
g
Maksimum for f er den stÉrste y-koordinat til et punkt pÑ f-grafen. Vi ser at
maksimum for f er 11.
Minimum for f er den mindste y-koordinat til et punkt pÑ f-grafen. Vi ser at
minimum for f er 2.
Grafen for g er en parabel hvor grenene gÑr uendelig hÉjt op.
Der er ikke noget punkt pÑ grafen der har den stÉrste y-koordinat
da man altid kan afsÄtte et punkt hÉjere oppe pÑ grafen, sÑ
funktionen g har ikke noget maksimum.
NÑr vi skriver hvad maksimum eller minimum er,
sÑ skriver vi normalt ogsÑ hvad punktets x-koordinat er:
Funktionen f har maksimum for x 4 og maksimum er y 11
Funktionen f har minimum for x 1 og minimum er y 2
StÉrstevÄrdi og mindstevÄrdi for en funktion er det samme som hhv. maksimum og minimum.
Differentialregning for gymnasiet og hf. Udgave 2. Side 19 2011 Karsten Juul

27. Lokalt maksimum og minimum
f
P
Figuren viser grafen for en funktion f . I de to ender fortsÄtter grafen uendelig hÉjt op.
P er grafpunktet med x-koordinat 20 og y-koordinat 15 .
Vi kan vÄlge et stykke af grafen omkring P sÑdan at 15 er mindste y-koordinat pÑ dette stykke.
Vi siger derfor at
f har lokalt minimum for x 20 og det lokale minimum er y 15 .
15 er ikke minimum da der andre steder pÑ grafen er y-koordinater som er mindre.
Hvis Q x o , y ) er et punkt pÑ grafen for en funktion, og vi kan vÄlge et stykke af grafen omkring
( o
Q sÑdan at
yo
er mindste y-koordinat pÑ dette stykke, sÑ siger vi at
funktionen har lokalt minimum for
( o
x xo
og det lokale minimum er y yo
Hvis Q x o , y ) er et punkt pÑ grafen for en funktion, og vi kan vÄlge et stykke af grafen omkring
Q sÑdan at yo
er stÉrste y-koordinat pÑ dette stykke, sÑ siger vi at
funktionen har lokalt maksimum for
x xo
og det lokale maksimum er y yo
Om funktionen fra figuren ovenfor gÄlder:
f har lokalt minimum for x 20 og det lokale minimum er y 15 .
f har lokalt maksimum for x 40 og det lokale maksimum er y 35 .
f har lokalt minimum for x 70 og det lokale minimum er y 5 .
f har minimum for x 70 og minimum er y 5 .
I nogle opgaver stÑr at vi skal bestemme lokale ekstrema. Dette betyder at vi skal finde bÑde de
lokale minimummer og de lokale maksimummer.
(Ordet ekstremum hedder i flertal ekstremummer eller ekstrema. Det er den sidste form der bruges i
eksamensopgaver).
Differentialregning for gymnasiet og hf. Udgave 2. Side 20 2011 Karsten Juul

28. Typisk opgave med lokale ekstrema
Opgave
Bestem de lokale ekstrema for funktionen
1 3 3 2
3 2
f ( x)
x x 18x
90 .
En besvarelse
I hvilke x-vÄrdier er der lokale ekstrema
Det kan vi se nÑr vi har fundet monotoniforholdene
for f (x)
.
Lommeregneren
1 3 3 2
3 2
differentierer f ( x)
x x 18x
90
og fÑr f (
x)
x 3x
18
.
2
mht. x
SÑdan tastede vi pÑ TI-Nspire CAS:
Lommeregneren
lÉser ligningen f ( x)
0
og fÑr lÉsningerne 6
og 3 .
mht. x
Heraf fÉlger at f (x)
kun kan skifte fortegn i x-vÄrdierne 6
og 3 :
Da f ( 7)
10 er f (x)
positiv for x 6
Da f ( 0) 18
er f (x)
negativ for 6 x 3
Da f ( 4) 10 er f (x)
positiv for 3 x
Vi kan slutte fÉlgende:
x : 6
3
f (x) : 0 0
f (x) :
Da f ( 6)
0
og
f ( 3)
243
2
fÑr vi
f (x) har lokalt maksimum for x = 6
og det lokale maksimum er y = 0
f (x) har lokalt minimum for x = 3 og det lokale minimum er y =
243
2
Differentialregning for gymnasiet og hf. Udgave 2. Side 21 2011 Karsten Juul

29. GÉr rede for at funktionen har et minimum (eller maksimum)
Opgave
GÉr rede for at funktionen
3
f ( x)
x 9x
12
, x 0
har et minimum
Metode
Vi bestemmer monotoniforhold for f (x)
Da f (x)
er
med metoden fra ramme 25. Herefter skriver vi:
aftagende i intervallet 0 x 3 og voksende i intervallet 3 x
kan vi slutte at
f (x) har minimum for x 3 .
30. Flere typer opgaver med maksimum eller minimum
For en bestemt type figurer gÄlder
hvor f (x)
3
f ( x)
x 9x
12
, x 0
er hÉjden og x er bredden.
Tykkelsen fÑs ved at dividere bredden med 12 .
Type 30.1:
Hvad skal bredden vÄre for at hÉjden bliver mindst mulig
Metode: Vi bestemmer x 3 som i ramme 29.
Konklusion: Bredden skal vÄre 3 for at hÉjden bliver mindst mulig
Type 30.2:
Hvad er den mindst mulige hÉjde
Metode: Vi bestemmer 3
x som i ramme 29. SÑ udregner vi f 3 12 6
3
Konklusion: Den mindst mulige hÉjde er 12 6
3 1, 60770
Type 30.3:
Hvad er tykkelsen nÑr hÉjden er mindst mulig
Metode: Vi bestemmer x 3
Konklusion: Tykkelsen er
som i ramme 29. SÑ udregner vi
1 nÑr hÉjden er mindst mulig.
2
3
12
1
2
Differentialregning for gymnasiet og hf. Udgave 2. Side 22 2011 Karsten Juul

31. Differentiabel
Grafen for f har et knÄk i punktet med x-koordinat 2.
Derfor har grafen ikke nogen tangent i dette punkt.
(Tangenten er en linje der fÉlger grafen godt nÄr punktet).
f
Funktionen f har ikke nogen differentialkvotient i 2, for
differentialkvotienten er tangentens hÄldningskoefficient,
og der er ikke nogen tangent.
Der gÄlder altsÑ at f (2)
ikke eksisterer.
Grafen for g har en lodret tangent i punktet med x-koordinat 2.
En lodret linje har ikke nogen hÄldningskoefficient.
Funktionen g har ikke nogen differentialkvotient i 2, for
differentialkvotienten er tangentens hÄldningskoefficient,
og tangenten har ikke nogen hÄldningskoefficient.
g
Der gÄlder altsÑ at g(2)
ikke eksisterer.
Definition 31.1
Man siger at en funktion er differentiabel i et tal xo
hvis funktionen har en differentialkvotient i xo
dvs. hvis f x ) eksisterer.
( o
Differentialregning for gymnasiet og hf. Udgave 2. Side 23 2011 Karsten Juul

32. GrÄnsevÄrdi
3x
2 6x
Udtrykket u kan vi ikke regne ud for x 2 da nÄvneren bliver 0.
x 2
Vi kan udregne u for vÄrdier af x som er tÄt pÑ 2 :
Ved at vÄlge vÄrdien af x tilstrÄkkelig tÄt pÑ 2 kan vi fÑ vÄrdien af u sÑ tÄt det skal vÄre pÑ 6 .
Vi siger: grÄnsevÄrdien for x gÅende mod 2 af u er lig 6
3x
6x
Med symboler skriver vi dette sÑdan: lim 6
x2
x 2
Metode 32.1
x 1,98 1,999 2 2,001 2,02
u 5,94 5,997 6,003 6,06
2
Vi kan regne os frem til denne grÄnsevÄrdi ved at bruge fÉlgende teknik: Vi faktoriserer brÉkens
tÄller og forkorter brÉken. SÑ fÑr vi et udtryk som vi kan udregne nÑr x er 2:
3x
2 6x
3x(
x 2)
For x 2 er
3x
x 2 x 2
2
3x
6x
sÑ
lim lim 3x
og lim 3
x2 x 2
x 3
2 6
x2
x 2
SÄtning 32.2 lim k
udtryk k lim udtryk
xx
o
xx
o
nÑr k er en konstant
SÄtning 32.3 lim udtryk1
udtryk2 lim udtryk1
lim udtryk2
xx
o
xx
o
xx
o
Metode 32.4
x 1
HÉjden af stolpen er
e
h hvor x er det tal stolpen stÑr i. PÑ figuren ser det ud til at
x
stolpens hÉjde nÄrmer sig 1 nÑr vi trÄkker stolpen hen mod x 0 , hvor stolpen ikke eksisterer.
Vi fÑr lommeregner (eller computer) til at udregne grÄnsevÄrdien af hÉjden for x gÑende mod 0 :
x
e 1
lim
x
0 x
1
PÄ TI-Nspire kan vi vÅlge grÅnsevÅrdi-skabelonen pÄ skabelonpaletten
eller i menuen (under Calculus). Skabelonen ser sÄdan ud:
Vi behÇver ikke skrive noget i det tredje felt.
Differentialregning for gymnasiet og hf. Udgave 2. Side 24 2011 Karsten Juul

33. Vi kan finde en differentialkvotient ved at
udregne en grÄnsevÄrdi
Figuren viser grafen for funktionen
f x)
1 x 3x
2
(
2
Linjen t er tangenten i grafpunktet med x-koordinat 1.
f (x)
t
f
Linjen s skÄrer grafen i punkterne med x-koordinaterne
1 og x .
s
HÄldningskoefficienten for s er
f (1)
f ( x)
f (1)
x 1
PÑ figuren er x 2, 8
f ( x)
f (1) 4,48 2,5
NÑr x 2, 8 er
1, 1
x 1
1,8
dvs. linjen s har hÄldningskoefficienten 1, 1
Forestil dig at du tager fat i skÄringspunktet med x-koordinat x og fÉrer det langs grafen ned mod
det andet skÄringspunkt. SÑ vil s dreje og nÄrme sig mere og mere til t .
Vi ser at hvis x 1, 01 vil s og t have nÄsten samme hÄldning.
f ( x)
f (1) 2,51995 2,5
NÑr x 1, 01 er
1, 995
x 1
0,01
AltsÑ er 1,995 en god tilnÄrmelse til f (1)
.
Vi ser at vi for at fÑ f (1)
helt nÉjagtigt skal udregne
lim
x
1
f ( x)
f (1)
x 1
For x 1
er
f
2
( (
1
x 3x)
5
2
2
x)
f (1)
x 1
x 1
5 x
2
f ( x)
f (1) 5 x 5 1
sÑ lim
lim 2
x1
x 1
x1
2 2
dvs. f ( 1) 2
Den sidste omskrivning kan vi
f.eks. fÑ lommeregneren til at
lave. Vi kan ogsÑ bruge reglen
om at faktorisere et andengradspolynomium
og derefter forkorte.
Vi kan kontrollere lighedstegnet
ved at gange begge
sider med 2 og x 1
.
SÄtning 33.1
For en funktion f er
f (
x )
o
lim
xx
o
f ( x)
f ( xo
)
x x
o
Differentialregning for gymnasiet og hf. Udgave 2. Side 25 2011 Karsten Juul

34. Udledning af formlen for at differentiere x 2
2
NÑr f ( x)
x er
f ( x o )
f ( x)
f ( x
lim
o)
ifÉlge SÄtning 33.1
x x
x
x
o
2 2
x xo
lim
x x x x
o o
( x xo ) ( x xo
)
lim
x x x xo
o
o
ifÉlge en af kvadratsÄtningerne
lim ( x xo
)
vi har forkortet med x xo
x
x
o
xo x o
ifÉlge metode 32.1
2x o
Vi har nu fundet frem til fÉlgende:
SÄtning 34.1: x 2x
2
35. Udledning af formlen for at differentiere udtryk plus udtryk
NÑr f ( x)
g(
x)
h(
x)
er
f ( x o )
f ( x)
f ( x
lim
o)
ifÉlge SÄtning 33.1
x x
x
x
o
o
g(
x)
h(
x)
g(
xo ) h(
xo)
lim
x x
x x
o
o
g(
x)
g(
x )
h(
x)
h(
x
o o)
lim
x x
x x
o
o
g(
x)
g(
xo ) h(
x)
h(
xo)
lim
x x
x xo
x x
o
o
lim
xx
o
g(
x)
g(
x
x x
o
o ) h(
x)
h(
xo)
lim
xx
o
x x
o
ifÉlge sÄtning 32.3
g
x ) h(
x )
ifÉlge SÄtning 33.1
( o o
Vi har nu fundet frem til fÉlgende:
SÄtning 35.1: g( x)
h(
x)
g ( x)
h ( x)
Differentialregning for gymnasiet og hf. Udgave 2. Side 26 2011 Karsten Juul

36. Differentialkvotient af e kx og ln(x)
Der gÄlder fÉlgende formler:
k x k x
e k e
ln' ( x)
1
x
Hvis vi i den fÉrste af disse regler sÄtter k 1
Reglen for at differentiere e kx
Reglen for at differentiere ln(x)
fÑr vi fÉlgende regel:
ex
ex
4 ln( x)
4
ln (
x)
0 1 1
x
x
4ln(
x)
4ln (
x)
4
1 4
x
x
e
4
2x
1 e
4
2x
1
4
e
2x
1
4
2e
2x
1
2
e
2x
37. Differentialkvotient af udtryk gange udtryk
NÑr m og n er to udtryk, gÄlder
( m n )' = m' n + m n'
Reglen for at differentiere
udtryk gange udtryk
NÑr f (x)
= ( x
2
1)
e3x
er (x)
f ' = ( x 2 1)
' e3x
( x2
1)
(e3x)'
= 2x e
3x
( x2
1)
3 e 3x
= ( 3x 2 2x
3) e 3x
ADVARSEL:
Man kan ikke differentiere et udtryk ved at differentiere hver del af udtrykket (bortset fra visse
specielle tilfÄlde som f.eks. reglen i ramme 17).
x
x 2 e 2 er ikke 2x 2e2x
og
x
e
2
2x
er ikke
2x
2e 2
x
Differentialregning for gymnasiet og hf. Udgave 2. Side 27 2011 Karsten Juul

38. Opdeling af en sammensat funktion
i en indre og en ydre funktion
NÑr vi kender en vÄrdi af x og skal udregne
f ( x)
(8 x)
udregner vi fÉrst tallet w 8
2
og sÑ udregner vi w
2
x
Vi siger at funktionen
den indre funktion
f ( x)
(8 x)
2
er sammensat af
2
w 8 x og den ydre funktion y w
Funktionen f ( x)
ln(2x
3)
er sammensat af
den indre funktion w 2x
3 og den ydre funktion y ln(w)
Funktionen
f ( x)
e
2
x 1
er sammensat af
den indre funktion w x 2 1
og den ydre funktion
y e
w
39. Metode til at differentiere en sammensat funktion
For at differentiere en sammensat funktion bruger vi fÉlgende metode:
f
(x)
(ydre differentieret) (indre differentieret)
FÉlgende eksempel prÄciserer hvordan metoden skal forstÑs:
Funktionen f ( x)
(8 x)
2
er sammensat af
2
den indre funktion w 8 x og den ydre funktion y w
2
Ydre differentieret: w 2w
Indre differentieret: ( 8 x)
1
f
(x)
(ydre differentieret) (indre differentieret)
2w ( 1)
2(8
x)
( 1)
2x
16
Differentialregning for gymnasiet og hf. Udgave 2. Side 28 2011 Karsten Juul

Stikordsregister
aftagende...........................................16, 17, 18, 22
differentiabel.......................................................23
differentialkvotient........4, 8, 10, 11, 12, 25, 27, 28
eksponentialfunktion...........................................27
graf ..................................................................1, 23
grÄnsevÄrdi ..................................................24, 25
hÄldningskoefficient...............2, 3, 4, 5, 11, 13, 23
indre funktion......................................................28
kontinuert ............................................................15
kvadratrod ...........................................................10
logaritmefunktion................................................27
lokale ekstrema .............................................20, 21
lokalt maksimum...........................................20, 21
lokalt minimum.............................................20, 21
lommeregner .....................8, 10, 14, 18, 21, 24, 25
maksimum.....................................................19, 22
marginalbetragtninger...........................................5
marginalomkostninger ..........................................5
mindstevÄrdi.......................................................19
minimum.................................................19, 20, 22
monotoniforhold .....................................17, 18, 22
mÄngde...............................................................10
potensfunktion.....................................................10
sammensat funktion ............................................28
skrivemÑden h(t) .................................................12
stÉrstevÄrdi.........................................................19
tangent.......................................3, 4, 5, 6, 8, 13, 23
tangenthÄldning..........................................7, 8, 13
tilvÄkst..................................................1, 2, 3, 4, 5
TI-Nspire CAS........................8, 10, 14, 18, 21, 24
voksende ...........................................16, 17, 18, 22
vÄksthastighed................................6, 7, 10, 12, 14
ydre funktion.......................................................28