Problemorienteret projektarbejde i, om og med matematik - dirac

Problemorienteret projektarbejde i, om og med matematikVodkaklovnen, et modelleringsprojektUdarbejdet af:Helle LaursenEUC-vestSpangsbjergmøllevej 726700 Esbjerg0

IndholdsfortegnelseIndledning……………………………………………………………………………….side 2Projektets overordnede udviklingssigte……………………………………………….side 2Design af forløbet……………………………………………………………………….side 2Beskrivelse af forløbet………………………………………………………………….side 3Elevernes udbytte……………………………………………………………………….side 5Evaluering…………………………...…………………………………………………..side 61

Indledning:Denne rapport er udarbejdet i forbindelse med kurset ”Problemorienteret projektarbejde i, omog med matematik” afholdt af RUC i efteråret 2004. Kursusdeltagerne var gymnasielærere.Rapporten redegør for kursets hovedopgave, som var at designe et projektforløb inden formatematisk modellering. Projektet skulle kunne anvendes i en 2.g-klasse. Emnetdifferentialregning var aktuelt og ville naturligt passe ind i årsfagplanen. Specifikt valgte vi atarbejde indenfor delemnet optimering. Projektet er vedlagt som bilag 1.Projektets overordnede udviklingssigteSucceskriteriet for dette projekt er, at eleverne udvikler en matematiskmodelleringskompetence, som eleverne også kan anvende i andre sammenhænge. Det erintentionen, at eleven kan:• Anvende faglig matematisk viden til at strukturere og simplificere et givet ”praktisk”problem• Reflekterer over og se begrænsningerne i modeller• Kommunikere om opstilling, analyse og anvendelse af en matematisk model• Vurdere og kritisere brug af modeller senere i undervisningsforløbet og gerne i andrefaglige sammenhænge.Projektopgaven er en optimeringsopgave, som er et emne HTX-elever altid stifterbekendtskab med. I forhold til den normale praksis er der dog nogle væsentlige forskelle:1. projektopgaven bliver udleveret på et tidspunkt, hvor eleverne slet ikke kender tilemnet. Tanken er altså, at de selv ”skal opdage” princippet i optimering, og evt. kanformulere hvordan differentialregning kan bruges i denne sammenhæng. Opgaven kandog løses ved hjælp af grafer optegnet ved hjælp af grafregner.2. Opgave b i projektet kræver, at eleverne indlægger forudsætninger, for overhovedet atløse opgaven. Altså har denne opgave ikke nogen klar løsning, men kræver at elevernediskuterer hvilke forudsætninger der er ønskelige for det design, de har valgt atarbejde med.3. Eleverne bliver inddelt efter niveau og der skal afleveres grupperapportSom supplerende fagligt stof vil eleverne komme til at arbejde med emnerne algebra,funktionsundersøgelse og rumlig geometri.Design af forløbeta) Valg af problemstillingProblemet eleverne skulle arbejde med, skulle have en indbygget motivation, forstået på denmåde at hensigten var, at eleverne kunne tage problemet til sig som deres eget. Det betød, atvi ”søgte” i deres virkelighed, altså noget de i hvert fald havde set før og kunne genkende.Valget faldt på ”Vodkaklovnen” af flere grunde. Eleverne har i hvert fald set reklamerne forEkstrabladet i TV, og derudover er salget af ”sodavandsdrinks” i stærk stigning i disse år. Foryderlig at skabe motivation har jeg forsøgt at skabe en pseudovirkelighed iprojektformuleringen. Disse ting tilsammen har forhåbentlig den virkning, at eleverne tagerproblemet til sig som deres eget.2

Eleverne skulle i projektet arbejde med at designe en ”vodkaklovn”, under hensynstagen til atvolumen var fastlagt og overfladearealet skulle minimeres. I første delspørgsmål var figurenen simpel cylinder, hvor der var et bestemt svar på opgaven. I andet delspørgsmål skulleeleverne arbejde med en flaske, som var sammensat af minimum to figurer. Det gør opgavenbetydelig sværere, og kræver at eleverne må fastlægge forudsætninger, for overhovedet atkunne besvare spørgsmålet. I det sidste spørgsmål skal eleverne så forsøge at beskrive denmetode, de har anvendt til opgave 1 og 2. Det er et forsøg på, at få dem til at reflektere overopgaven. Håbet er, at nogen kan beskrive optimeringsprincippet uden at det er blevetgennemgået for klassen.b) Matematiske forudsætningerEleverne skal have gennemgået den indledende del af differentialregning, men de er ikkeblevet introduceret i begrebet optimering. Der finder ikke nogen speciel introduktion tilprojektet sted, og eleverne får heller ikke udleveret andet materiale De må klare sig med denviden de har. Det skal nævnes, at eleverne er vant til at bruge cas-lommeregner i den dagligeundervisning.c) OrganiseringProjektet forløber over cirka 3 uger, og eleverne får tildelt 8 lektioner a’ 45 minutter påklassen (4 gange 2 lektioner) De skal arbejde i grupper a´ 4 elever, som læreren denne ganghar sammensat, så eleverne er nogenlunde jævnbyrdige og kan udfordrer hinanden iprocessen. Der skal afleveres en fælles rapport for hver gruppe. Eleverne havde i allelektioner adgang til pc-lokaler, hvor programmet mathcad er installeret, og derudover har alleelever cas-lommeregner.d) VejledningFor at få fat i alle grupper var vejledningen sat i system. Jeg havde simpelthen planlagt at hvergruppe fik 10. minutters vejledning hver gang med undtagelse af 1. dag.e) EvalueringenRapporterne vil blive bedømt efter 13-skalaen. Derudover udfylder eleverne et spørgeskema,hvor de bliver bedt om at evaluere processen (se bilag 2), og endelig bliver elevernes udbyttetestet. Testen foregår ved, at eleverne i de samme grupper bliver bedt om at løse og aflevereen skriftlig besvarelse på en opgave, som har fælles træk med problemstillingen i projektet.Beskrivelser af forløbet.Elverne opfattede generelt problemstillingen som interessant og relevant, og udefra så det udtil, at de ”kastede” sig over opgaven.Alle grupper klarede opgave 1 fint, og var til min overraskelse meget hurtige færdige med denopgave. Grupperne havde dog alle løst opgaven udelukkende ved hjælp af grafregner, oghavde altså slet ikke berørt differentialregning. Nogle af grupperne skubbende jeg så lidt på,ved at spørge om minimumspunktet på grafen kunne findes på anden vis. Slutresultatet er, atalle grupper i rapporten har vist, at opgave 1 kan løses ved hjælp af differentialregning.3

Eksempel på dialog omkring opgave 1:L: Er I allerede færdige med opgave 1E: ja. Diameteren på cylinderen skal være 6,… er det ikke rigtigt ?L: jo, men forklar mig lige hvordan I har beregnet det ?E: Vi har tegnet grafen og fundet minimumspunktet, (viser lommeregneren)L: Kunne man mon finde minimumspunktet på en anden måde ? kunne I beregne det ?I opgave 2 løb alle grupper ind i vanskeligheder. De gik meget op i at udtænke et godt design,og syntes helt klart at den del af opgave var sjov. Alle grupper ender ud med forskelligefigurer, og de møder derved forskellige problemer undervejs i processen. Da de gik i gangmed udregningerne, kom problemerne med de mange ubekendte, og ret hurtigt begyndtefrustrationerne at brede sig. For alle grupper var det nødvendigt med vejledning i denne fase,for at de kunne komme videre. De var generelt meget overrasket over, at man må laveforudsætninger – og grupperne havde også mange diskussioner om hvilke og hvor mangeforudsætninger de skulle stille op. Afhængig af gruppernes design og de enkelte gruppersformåen måtte jeg hjælpe dem lidt med at få fastlagt rimelige forudsætninger. Alle løber dogind i lange ligninger, som de har svært ved at overskue, simplificere og isolere i. Her er Caslommeregnerendog en god hjælp, og den blev anvendt i stor omfang.Eksempel på dialog omkring opgave 2:E1: vi har gjort ligesom i første opgave, og man får alt for mange ubekendte til at det kanløses?L: Ja… hvordan kan man mon slippe af med nogen af de ubekendte ?E2: kan man ikke sige at keglestubben og kuglekalotten har samme højde ?E3: nej det må man ikkeL: hvorfor må man egentlig ikke det ?Opgave 3 i projektet har alle grupper haft vanskeligheder ved at forstå. Håbet var, at noglekvikke elever måske ville formulere optimerings-princippet, som det står skrevet i lærebogen- det må siges at være mislykket. Jeg tror, eleverne har været så optaget af første del afprojektet og simpelthen har brugt ressourcerne her. Under alle omstændigheder er denne delaf besvarelsen generelt overfladisk og mangelfuld for alle rapporter. Den selvstændigerefleksion som opgave 3 kræver, har eleverne ikke formået på dette tidspunkt.Vejledningen af grupperne foregik i klasselokalet. Der var på forhånd afsat 10 minutter pr.gruppe, her kunne grupperne stille spørgsmål og måske få et skub fremad. Som lærer er detrart, at det er struktureret. Man kan koncentrere sig om en gruppe af gangen, og man følerikke, at de alle ”hiver” i en på samme tid. Man får snakket med alle grupper og får enfornemmelse af, hvor langt de er i processen. Ulempen er dog, at man ikke har samme tid tilat cirkulere i klassen og være tilstede. Det svære ved at yde god vejledning er, at finde denrigtige grænse for hvor meget man skal hjælpe. De skal jo gerne have et skub, så de kankomme videre i processen, men samtidige skal man jo ikke give dem svaret. At eleverne varniveauinddelt betød selvfølelig, at grupperne krævede differentieret vejledning. De ”dårlige”grupper skulle have en del hjælp til at fastlægge forudsætninger, så problemstillingen blevoverskuelig for dem. De ”gode” grupper fik lov til at ”lege” med matematikken og fik godediskussioner ud af det.4

Grupperne var gode til at udnytte de 10 minutter, de vidste de havde til rådighed, og var klarmed spørgsmål. En klar fordel ved denne model er, at grupperne har haft tid til at bearbejdespørgsmålene, og ikke bare kalder på læreren ved det mindste problem, Ulempen er, atenkelte grupper måske oplever, at de sidder og venter i lange perioder uden at kunne kommevidere (men det vil nok forekomme uanset hvad). At spørgsmålene bliver skrevet nedløbende, betyder også at eleverne skal redegøre for problemstillingen skriftligt, og minfornemmelse er, at det var medvirkende til, at de selv blev klogere og i sidste ende havdenemmere ved at skrive rapporten.Elevernes udbytteRapporter i matematik er jo en del af hverdagen på HTX, og normalt er det meste afkarakterskalaen i brug, når eleverne afleverer rapporter. Det er ikke tilfældet i dette projekt.Alle rapporter vurderes her til at ligge indenfor middelområdet, hvorfor mon ? Jeg tror, det erforskellige ting, der gør sig gældende for de enkelte grupper. De dårligste elever har væretplaceret sammen og med deres egen problemstilling (figur). Resultatet er, at de har væretnødsaget til at arbejde selv. De har undervejs fået hjælp til at indsnævre problemstillingen, såde kunne overskue den, hvilket har betydet at de har kunne skrive en læsevenlig rapport meden god dokumentation. De bedste elever har arbejdet med en svær problemstilling, som harudfordret dem fagligt. Det har været lige på grænsen af deres formåen, de har brugt mathcad istor grad og har tydeligvis haft svært ved at få det dokumenteret ordentligt. Det har resulteret ien rapport af høj faglighed, men den er ikke læsevenlig og dokumentation er svag.Efterfølgende blev eleverne udsat for en test. Testen foregik ved, at eleverne i de sammegrupper blev bedt om at besvare en skriftlig opgave, som har fælles træk medproblemstillingen i projektet. Eleverne fik 30 minutter til opgaven. De blev informeret om, atdet ikke var en prøve, de fik karakter for, men var en test af deres udbytte i forbindelse meddet netop overståede projekt. Opgaven kan ses på bilag 3. Alle grupperne løser opgaven oghar haft den rigtige ide, altså at få opstillet en funktion for arealet af vinduet. Dog er der flere,der undervejs i beregningerne laver simple fejl, trods det at ligningerne burde væreoverskuelige. Konklusionen må dog være, at eleverne kunne overføre princippet fra projektettil optimerings-opgaven. Jeg er overbevist om, at gennemgangen af emnet optimering (somklassen skal i gang med om en måneds tid) vil forløbe lettere end tidligere.I forbindelse med evalueringsskemaet (bilag 2) er det mest bemærkelsesværdige elevernesreaktion på niveau-deling. Det er tydeligt fra besvarelserne, at flere af eleverne (ca. en ¼) harfølt sig stemplet, at de har oplevet at de var placeret i en dårlig gruppe. Generelt er eleverneellers enige om, at projektopgaven har været sjov og faglig udfordrende. Enkelte synes denhavde været for svær.Fagligt set har projektet betydet, at eleverne har oplevet, at matematikken kunne bruges til atopstille en model, som beskriver overfladearealet af en figur. Denne model kan såefterfølgende bruges til at træffe nogle valg, som har praktisk betydning. Det er også blevettydeligt for dem, at denne model har sine begrænsninger såfremt figuren bliver forkompliceret.5

Derudover har projektet naturligvis styrket elevernes færdigheder indenfor differentialregning(anvendelse af regneregler), og elevernes forståelse af sammenhængen mellemdifferentialkvotient og tangentens hældning er blevet bedre. Emnet funktionsundersøgelse vilvære meget let at gå til herefter.Endvidere er elevernes evne til at arbejde med cas-lommeregner og matematikprogrammetmathcad blevet styrket, idet projektet forudsætte at disse værktøjer er til rådighed.EvalueringProjektet var meget åbent, og det betød jo at alle grupper arbejdede med forskelligeproblemstillinger og krævede differentieret vejledning. For at komme dette problem i møde,havde jeg besluttet, at der skulle afleveres grupperapporter frem for selvstændige rapporter.Endvidere var vejledningen sat i system, så jeg kunne undgå at alle hev og sled i mig påsamme tid. Det betød, at jeg havde god tid til hver gruppe, både i vejledningsarbejdet og nårrapporterne skulle rettes.Som tidligere nævnt reagerede nogle elever negativt på, at de var inddelt efter niveau. Det varspecielt de faglige dårlige elever, som påpegede at de følte sig stemplet. Min oplevelse afforløbet var dog, at det fungerede rigtigt godt. Det betød, at de faglige dygtige eleverudfordrede hinanden, og blev involveret i diskussioner ofte på et højt fagligt niveau. Demindre gode elever måtte selv arbejde for sagen, og kunne ikke som normalt søge hjælp hosandre grupper, da de jo havde hver deres problemstilling. Det førte indimellem tilfrustrationer, men samtidig betød det jo også, at de tog mere ansvar end normalt, ogoverraskende nok fik disse grupper alle afleveret rapporter med en høj formidlingsgrad.Endvidere tog jeg i vejledning meget hensyn til, at klassen var niveauinddelt. Jeg var bevistom, at nogle grupper havde brug for, at jeg indsnævrede problemstillingen, så de kunneoverskue opgaven. Efter at dette er blevet debatteret åbent i klassen, og alle har set, at de harfået fornuftige karakterer ud af dette projekt, tror jeg at holdningen til niveaudeling har ændretsig. Jeg kunne sagtens finde på at bruge det igen.Det er vanskeligt på nuværende tidspunkt at udtale sig om, hvor meget eleverne har fået medsig i processen. Sikkert er det dog, at eleverne har prøvet at anvende matematik og IT til atopstille og analyserer på en model. Jeg tror, at denne proces har medvirket til, at eleverne harfået et mere nuanceret syn på modelbegrebet, og efterfølgende vil være mere kritiske overforegen og andres brug af modeller. Givetvis har projektet også styrket elevernes færdighederindenfor differentialregning, og elevernes forståelse af sammenhængen mellemdifferentialkvotient og tangentens hældning er blevet bedre.Som lærer har det været en positiv oplevelse at arbejde med dette projekt. Fagligt set har alleelever arbejdet fornuftigt, og timerne har været præget af godt humør og stort engagement fraelevernes side.6

Bilag 1VodkaklovnenEt firma vil opstarte en produktion af den omdiskuterede ”VODKA-KLOVN”, kendt fraEkstrabladets reklamer i TV.Designerne i virksomheden beslutter at vodka-klovnen skal udformes som en dåse medklovnehovedet som et separat låg. Hovedet skal fungere som blikfang, og er i øvrigt udenbetydning for resten af opgaven. Dåsen skal kunne indeholde ¼ liter vodka drink. Indenproduktionens opstart skal dåsens udformning bestemmes når firmaet har et ønske om atminimere materiale-forbruget.a) hjælp designerne og bestem dåsens dimensionerDesignerne er dog ikke helt tilfredse med designet og ønsker at afprøve en anden form indenman går videre. Man bestemmer sig til at fastholde klovnehovedet som et separat låg, menselve ”flasken” skal nu bestå af to rumlige figurer. Firmaet har selvfølelig stadig et ønske omat minimere materialeforbruget.b) hjælp designerne i firmaet og kom med et forslag til vodkaklovnens udformning, herunderønskes de to rumlige figurers dimensioner bestemt.c) Beskriv så generelt som muligt den metode du har anvendt i overstående opgaver.Organisering:I arbejder i grupper a´ 4 personer og der afleveres en fælles grupperapport. I har i alt 8lektioner på klassen og rapporten afleveres den torsdag den 11. novemberLektioner på klassen:Onsdag den 20. oktober november, 2 lektioner, projektet udleveresTorsdag den 21. oktober, 2 lektionerTorsdag den 28. oktober, 2 lektionerTorsdag den 4. november, 2 lektioner7

Bilag 2Evaluering af vodka-klovnenGiv til hvert af udsagnene et tal mellem 1 og 5(1 svarer til JA, 3 svarer til BÅDE OG og 5 svarer til NEJ)Projektopgaven var for sværProjektopgaven var faglig udfordrendeProjektopgaven var sjov at arbejde medProjektopgaven skulle bare overstås og afleveresSuper at der skulle afleveres grupperapport og ikke selvstændig rapportSuper at grupperne var fastlagt på forhåndJeg var godt tilfreds med min gruppeJeg vil gerne arbejde med et lignede projektJeg fik tilstrækkelig med hjælp undervejs i projektetNævn det bedste ved projektopgave:Nævn det dårligste ved projektopgaven:Projektet mål er at udvikle matematisk modellerings-kompetence – altså at du kan gåfra et konkret praktisk problem til en matematisk model som kan undersøges.Hvad er den primære forskel på den model du stiller op i opgave 1 og den model du stiller opi opgave 2:Beskriver en matematisk model altid virkeligheden ?Nævn eksempler på situationer hvor matematiske modeller er anvendt:8

Bilag 3Opgave i modelleringI forbindelse med en bygningsrenovering skal der udformes et vindue som vist skitseret påfigur 1.Vinduets omkreds skal være 5 meter, og målene a og b skal fastlægges ud fra ønsket om, atder skal komme størst mulig lysmængde gennem vinduet.1. Bestem målene a og b2. Bestem vinduets areal.Figur 19

VodkaklovnenEt firma vil opstarte en produktion af den omdiskuterede ”VODKA-KLOVN”, kendt fraEkstrabladets reklamer i TV.Designerne i virksomheden beslutter at vodka-klovnen skal udformes som en dåse medklovnehovedet som et separat låg. Hovedet skal fungere som blikfang, og er i øvrigt udenbetydning for resten af opgaven. Dåsen skal kunne indeholde ¼ liter vodka drink. Indenproduktionens opstart skal dåsens udformning bestemmes når firmaet har et ønske om atminimere materiale-forbruget.a) hjælp designerne og bestem dåsens dimensionerDesignerne er dog ikke helt tilfredse med designet og ønsker at afprøve en anden form indenman går videre. Man bestemmer sig til at fastholde klovnehovedet som et separat låg, menselve ”flasken” skal nu bestå af to rumlige figurer. Firmaet har selvfølelig stadig et ønske omat minimere materialeforbruget.b) hjælp designerne i firmaet og kom med et forslag til vodkaklovnens udformning, herunderønskes de to rumlige figurers dimensioner bestemt.c) Beskriv så generelt som muligt den metode du har anvendt i overstående opgaver.Organisering:I arbejder i grupper a´ 4 personer og der afleveres en fælles grupperapport. I har i alt 8lektioner på klassen og rapporten afleveres den torsdag den 11. novemberLektioner på klassen:Onsdag den 20. oktober november, 2 lektioner, projektet udleveresTorsdag den 21. oktober, 2 lektionerTorsdag den 28. oktober, 2 lektionerTorsdag den 4. november, 2 lektioner