MM08 Geometri I Ugeseddel 10 - Institut for Matematik og Datalogi ...

Institut for Matematik og Datalogi 2. maj 2007
Syddansk Universitet, Odense MSV
MM08 Geometri I Ugeseddel 10
Forelæsningerne i uge 18 og 19
Vi har set flere eksempler af flade flader, såsom tangentflader, cylinderflader og kegleflader. Vi har
også kigget på pseudosfæren som et eksempel af en omdrejningsflade med konstant negativ Gausskrumning.
Fælles for disse flader er at de ikke er kompakte, og dette er ikke et tilfælde. Vi skal vise
at det på en kompakt flade findes mindst et punkt hvor Gausskrumningen er > 0.
Derefter skal vi betragte den så kaldte Gaussafbildning for et kortomegn σ(U) ⊆ S på en flade. Dette
er afbildningen fra σ(U) (eller, ved sammensætning med σ, fra U) til enhedssfæren S 2 , der til hvert
punkt p ∈ σ(U) giver punktet N σ(p) ∈ S 2 . Vi skal vise, at hvis R δ ⊂ U er en disk med center i
(u0, v0) ∈ U og radie δ, så gælder at
areal af N
lim
σ(σ(R δ))
δ→0 areal af σ(Rδ) = |K(σ(u0, v0))|.
Vi kan altså få information om Gausskrumningen fra Gaussafbildningen.
Nøgleord er således
• Kompakte flader;
• Gaussafbildningen;
• areal og Gausskrumning.
Øvelser i uge 19
1. 7.1, 7.11, 7.18, 7.19.
2. Antag at S er en flade og p ∈ S. En tangentretning i TpS siges at være en asymptotretning (“asymptotic
direction“) hvis normalkrumningen er nul i den retning. En kurve γ på S siges at være
en asymptotekurve (“asymptotic“) på S hvis ˙γ(t) er en asymptoteretning for alle t, dvs. normalkrumningen
for γ er nul overalt. Antag at γ er en enhedsparametriseret asymptotekurve på S,
hvis krumning ikke er nul.
a) Vis at K ≤ 0 langs γ.
b) Antag at γ(t) = σ(u(t), v(t)) for en lokal parametrisering σ af S. Lad N σ være standardnormalen
af σ, og betegn ved b bi-normalen af γ. Vis at b = ±N σ ◦ γ.
c) Lad t1, t2 være en ortonormal basis for TpS af hovedvektorer, p = γ(t). Betegn ved θ
vinklen mellem ˙γ(t) og t1. Vis at
τn = ±(κ1 cos θt1 + κ2 sin θt2)
i punktet p, der n er hovednormalen til γ i p.

3. 7.14.
d) Brug Eulers formel for at vise at det langs γ gælder
|τ| = √ −K (Beltrami-Ennepers Sætning).
4. En kurve på en flade siges at være en krumningskurve (“line of curvature“), hvis dens tangent
i enhvert punkt er en hovedretning i dette punkt. Antag at S1 og S2 skær hinanden langs en
regulær kurve γ, og lad θ(p) være vinklen mellem S1 og S2 i punktet p ∈ S1 ∩ S2. Antag at γ er
en krumningskurve på S1. Vis at θ er konstant hvis og kun hvis γ også er en krumningskurve
på S2 (Joachimsthals Sætning).
5. Brug maplekoden neden til at vise at alle punkter på fladen z = 3 2 xy − 1 2 x3 er hyperbolske.
Maple
Vi kan bruge Maple til at plotte omdrejningsflader med konstant Gausskrumning, også i tilfælderne
hvor vi ikke kan integrere per hånd. Bemærk brug af Int i stedet for int. Vi begynder med
with(plots):setoptions3d(scaling=constrained):
Lad os så prøve med Gausskrumning 0:
sigmaZero:=(u,v) -> [(a*u+b)*cos(v),(a*u+b)*sin(v),sqrt(1-a^2)*u];
a:=0.5; b:=0.5; plot3d(sigmaZero(u,v), u=-1..1, v=0..2*Pi);
positiv Gausskrumning:
sigmaPlus:=(u,v)->[a*cos(u)*cos(v),a*cos(u)*sin(v),
Int(sqrt(1-a^2*sin(s)^2),s=0..u)];
a:=0.5; b:=0.5; plot3d(sigmaPlus(u,v),u=-1..1, v=0..2*Pi);
og så negativ Gausskrumning:
sigmaMinus:=(u,v)->[(a*exp(u)+b*exp(-u))*cos(v),
(a*exp(u)+b*exp(-u))*sin(v),Int(sqrt(1-(a*exp(s)-b*exp(-s))^2),s=0..u)];
a:=0.5; b:=0.5; plot3d(sigmaMinus(u,v), u=-1..0, v=0..2*Pi);
Prøv også andre parametre, og forsikre jer om at fladerne har den specificerede Gausskrumning.
Det er også nemt at skrive rutiner for at beregne Gauss- og middelkrumning for en flade. Vi begynder
med at hente de pakke vi har brug for:
with(plots): setoptions3d(scaling=constrained): with(LinearAlgebra):
Derefter definerer vi nogle operationer:
DotProd:=proc(u::list,v::list)
convert(zip(‘*‘,u,v),‘+‘);
end proc;
CrossProd:=proc(u::list,v::list)
[u[2]*v[3]-u[3]*v[2],
u[3]*v[1]-u[1]*v[3],
2

u[1]*v[2]-u[2]*v[1]];
end proc;
NormSq:=proc(u::list)
sqrt(DotProd(u,u));
end proc;
Vi begynder med en rutine for den første fundamentale form:
F1:=proc(flade)
local E, F, G;
E:=simplify(DotProd(diff(flade(u,v),u),diff(flade(u,v),u)),assume=real);
F:=simplify(DotProd(diff(flade(u,v),u),diff(flade(u,v),v)),assume=real);
G:=simplify(DotProd(diff(flade(u,v),v),diff(flade(u,v),v)),assume=real);
;
end proc;
og derefter den anden fundamentale form:
F2:=proc(flade)
local oN, L, M, N;
oN:=simplify(expand(CrossProd(diff(flade(u,v),u),diff(flade(u,v),v))
/radsimp(sqrt(Determinant(F1(flade))))));
L:=simplify(DotProd(diff(flade(u,v),u,u),oN));
M:=simplify(DotProd(diff(flade(u,v),u,v),oN));
N:=simplify(DotProd(diff(flade(u,v),v,v),oN));
end proc;
Gausskrumningen får vi som determinanten af Weingartenmatrixen, og middelkrumningen som
sporet af densamme delt med 2:
Gauss:=proc(flade)
simplify(Determinant(F1(flade)^(-1).F2(flade)));
end proc;
Mean:=proc(flade)
simplify(Trace(F1(flade)^(-1).F2(flade))/2);
end proc;
Så kan vi for eksempel prøve med sigmaZero:
sigmaZero:=(u,v) -> [(a*u+b)*cos(v),(a*u+b)*sin(v),sqrt(1-a^2)*u];
F1(sigmaZero);
F2(sigmaZero);
Gauss(sigmaZero);
Mean(sigmaZero);
Prøv også nogle andre flader.
http://www.imada.sdu.dk/Courses/MM08/
3
Martin Svensson