MM08 Geometri I Ugeseddel 10 - Institut for Matematik og Datalogi ...

3. 7.14.
d) Brug Eulers formel for at vise at det langs γ gælder
|τ| = √ −K (Beltrami-Ennepers Sætning).
4. En kurve på en flade siges at være en krumningskurve (“line of curvature“), hvis dens tangent
i enhvert punkt er en hovedretning i dette punkt. Antag at S1 og S2 skær hinanden langs en
regulær kurve γ, og lad θ(p) være vinklen mellem S1 og S2 i punktet p ∈ S1 ∩ S2. Antag at γ er
en krumningskurve på S1. Vis at θ er konstant hvis og kun hvis γ også er en krumningskurve
på S2 (Joachimsthals Sætning).
5. Brug maplekoden neden til at vise at alle punkter på fladen z = 3 2 xy − 1 2 x3 er hyperbolske.
Maple
Vi kan bruge Maple til at plotte omdrejningsflader med konstant Gausskrumning, også i tilfælderne
hvor vi ikke kan integrere per hånd. Bemærk brug af Int i stedet for int. Vi begynder med
with(plots):setoptions3d(scaling=constrained):
Lad os så prøve med Gausskrumning 0:
sigmaZero:=(u,v) -> [(a*u+b)*cos(v),(a*u+b)*sin(v),sqrt(1-a^2)*u];
a:=0.5; b:=0.5; plot3d(sigmaZero(u,v), u=-1..1, v=0..2*Pi);
positiv Gausskrumning:
sigmaPlus:=(u,v)->[a*cos(u)*cos(v),a*cos(u)*sin(v),
Int(sqrt(1-a^2*sin(s)^2),s=0..u)];
a:=0.5; b:=0.5; plot3d(sigmaPlus(u,v),u=-1..1, v=0..2*Pi);
og så negativ Gausskrumning:
sigmaMinus:=(u,v)->[(a*exp(u)+b*exp(-u))*cos(v),
(a*exp(u)+b*exp(-u))*sin(v),Int(sqrt(1-(a*exp(s)-b*exp(-s))^2),s=0..u)];
a:=0.5; b:=0.5; plot3d(sigmaMinus(u,v), u=-1..0, v=0..2*Pi);
Prøv også andre parametre, og forsikre jer om at fladerne har den specificerede Gausskrumning.
Det er også nemt at skrive rutiner for at beregne Gauss- og middelkrumning for en flade. Vi begynder
med at hente de pakke vi har brug for:
with(plots): setoptions3d(scaling=constrained): with(LinearAlgebra):
Derefter definerer vi nogle operationer:
DotProd:=proc(u::list,v::list)
convert(zip(‘*‘,u,v),‘+‘);
end proc;
CrossProd:=proc(u::list,v::list)
[u[2]*v[3]-u[3]*v[2],
u[3]*v[1]-u[1]*v[3],
2