Regelungstechnische Methoden in der Robotik Dr. - DLR

Regelungstechnische Methoden in 

der Robotik 

Dr.- Ing. Alin Albu-Schäffer 

Wahlfach im Sommersemester 2011 

Vorlesung: Do, 15:00 – 16:30 

Übung: Do: 16:45 – 18:15 (jede 2. Woche) 

Raum N0507 

Deutsches Zentrum für Luft- und Raumfahrt 

Institut für Robotik und Mechatronik 

TU München 

Lehrstuhl für Steuerungs- und Regelungstechnik 

Die Vorlesung baut auf „Grundlagen Intelligenter Roboter“ (GIR) auf. 

Es werden regelungstechnische Konzepte angewendet, die in 

„Regelungstechnik II“ (RS2) (Prof. Buss) vorgetragen wurden.

Zielsetzung 

Es werden Werkzeuge zur Modellierung und Regelung komplexer (z.B. humanoider) 

Robotersysteme in Interaktion mit unbekannten Umgebungen vorgestellt. 

Es soll eine Übersicht der wichtigsten regelungstechnischen Methoden vermittelt 

werden, die derzeit zur Regelung solcher Systeme eingesetzt werden. 

Diese Vorlesung baut auf die Vorlesung „Grundlagen Intelligenter Roboter“ (GIR) von 

Dr. Kolja Kühnlenz auf. Des Weiteren werden regelungstechnische Konzepte 

angewendet, die in „Regelungstechnik II“ (RS2) (Prof. Buss) vorgetragen werden.

Inhalt der Vorlesung 

•Einführung: Motivation, Trends in der Robotik 

•Differentialgeometrie in der Robotik 

Mannigfaltigkeiten 

Orientierungsdarstellungen, SO3, SE3 

Koordinatentransformationen für Vektoren, Kovektoren, Tensoren 

•Aufgabenorientierte Regelung – Entkopplung im Taks-Raum 

Robotergleichungen und Regelung in aufgabenbezogenen Koordinaten 

Redundante Systeme, Mikro-/Makromanipulation 

inverse Kinematik 

Entkoppelte Regelung in kartesischen und in Nullraum-Koordinaten 

•Roboterregelung durch Energieformung (Energy-Shaping) 

•Kollisionsvermeidung mit Potentialfeldern 

•Nichtlineare Beobachter: Kollisions- und Fehlerdetektion 

•Identifikation von Roboterparameter (Regressorbildung) 

•Adaptive Roboterregelung ? 

•Regelung/Steuerung komplexer kinematischer Ketten 

Handregelung – Greifvorgänge 

Zweiarmsysteme, humanoide Manipulatoren 

•Erweiterte Robotermodelle: elastische Gelenke, elastische Strukturen ?

Organisatorisches 

• Umfang: - 2 SWS Vorlesung 

- 1 SWS Übung bung 

• Prüfung: Pr fung: Abschlussklausur 

– Dauer: 60Min. Termin wird 3 Wochen vor 

Vorlesungsabschluss festgelegt. 

– Es sind sämtliche Unterlagen zugelassen. 

• Material: • ppt-Folien ppt Folien + Tafelanschrieb 

• Web: www.robotic.dlr.de/Alin.Albu_Schaeffer/vorlesung 

• Benutzername: rmr11, rmr11, 

Passwort: 11rmr 11rmr 

– Meldungen 

– Vorlesungsfolien 

– Übungsmaterial 

– ausgewählte Veröffentlichungen (als Ergänzung) 

• Feiertage, Vorlesungsausfall: Keine Vorlesung u. Übung bung am 

12.05!!! 

RMR’09 – Regelungstechnische Methoden in der Robotik

Zielsetzung 

Es werden Werkzeuge zur Modellierung und Regelung komplexer (z.B. humanoider) 

Robotersysteme in Interaktion mit unbekannten Umgebungen vorgestellt. 

Es soll eine Übersicht der wichtigsten regelungstechnischen Methoden vermittelt 

werden, die derzeit zur Regelung solcher Systeme eingesetzt werden. 

Diese Vorlesung baut auf die Vorlesung „Grundlagen Intelligenter Roboter“ (GIR) von 

Dr. Kolja Kühnlenz auf. Des Weiteren werden regelungstechnische Konzepte 

angewendet, die in „Regelungstechnik II“ (RS2) (Prof. Bus) vorgetragen werden.

Differentialgeometrie in der 

Robotik

Differentialgeometrische Begriffe 

• Motivation 

• Mannigfaltigkeiten 

• Tangentenvektoren und Tangentialraum 

• Kotangentenvektoren und Kotangentialraum 

•Transformation von Vektoren und Kovektoren 

•Tensoren 

•Koordinatentransformation für Tensoren 

Regelungstechnische Methoden in der Robotik

Erstmals alle Klarheiten beseitigen … 

Was ist ein Vektor in der Robotik ? 

Motivation 

gängige Auffassung: ein Element eines metrischen Vektorraumes 

z.B.: Gelenk-Position, -Geschwindigkeit, -Beschleunigung 

Gelenk-Drehmomente 

kartesische Position, kartesische Geschwindigkeit 

kartesische Beschleunigung 

kartesischen Kräfte/Momente 


Was ist daran auszusetzen? 

1. All diese “vektoriellen” Größen transformieren bekanntlich auf 

unterschiedliche Weise zwischen Koordinatensystemen. 

x� � ( x� 

1, x� 

2 

x � T (q) 

T – homogene 

x� � J ( q) 

q� 

� � 

J T 

( q) 

F 

Gelenkdynamik 

Transformation 

J – Jacobimatrix 

q� 

J (q) 

(q) 

� F 

J T 

q , q� 

, � 

1 

q , q� 

, � 

x� 

Kartesische Dynamik 

Offensichtlich steck dahinter eine reichere Struktur, als bloß vektorielle Räume 

2 

1 

Eine differentialgeometrische Betrachtung ermöglicht ein tieferes Verständnis 

dieser Zusammenhänge 

2 

1 

A 

2 

x 

Regelungstechnische Methoden in der Robotik 

) 

F � 

( Fx, 

Fy 

)


2. Die 6-dimensionalen vektoriellen Räume der kartesischen 

Geschwindigkeiten und Winkelgeschwindigkeiten (twists) und der 

kartesischen Kräfte und Momente (wrench) sind keine metrischen Räume! 

Weder Skalarprodukt noch die daraus resultierende 

1 

yT � 

y 

� 

y 

2 

y 

Vektornorm 

können physikalisch sinnvoll definiert werden, d.h.: 

- unabhängig von der Wahl des Koordinatensystems 

- unabhängig von den Maßeinheiten 

T � 

y 


Beispiel: 

x � [ 1, 

1, 

1, 

2, 

2, 

2] 

1 � 

aber 

T 


x � � [ 2, 

2, 

2, 

�1, 

�1, 

�1] 

2 

mit Geschwindigkeit [m/s], Winkelgeschwindigkeit [rad/s] 

T 

� x� � x� 

mit Geschwindigkeit [mm/s], Winkelgeschwindigkeit [rad/s] 

3 

x � � [ 1�10 

, 1�10 

, 1�10 

, 2, 

2, 

2] 

1 

3 

3 

3 

x � � [ 2�10 

, 2�10 

, 2�10 

�1, 

�1, 

�1] 

2 

3 

3 

T 

T 

1 

� x� � x� 

� Vorsicht ist geboten, bei der Verallgemeinerung des 

(für Translationen) vertrauen Begriffes der Orthogonalität auf 

Twist und Wrenches 

1 

0 


2 

2 

� 

� 

0


3. Rotationen in 3D werden nicht durch ein Vektorraum beschrieben 

(im Gegensatz zu Translationen). 

- z.B. Rotationen sind bekanntlich nicht kommutativ 

Weitere Vorsicht ist somit geboten bei Verallgemeinerung von Vorstellungen 

von Steifigkeiten, Potentiale, Reglerauslegung vom translatorischen Fall auf 

den rotatorischen Fall. 


2 

R 

Mannigfaltigkeiten 

Eine differentielle Mannigfaltigkeit ist ein topologischer Raum der lokal 

m 

diffeomorphisch zum Euklidischen Raum R ist. 

Beispiel: 

Was ist der Raum aller Konfigurationen einer Roboterspitze? 

Ein Diffeomorphismus ist eine differenzierbare Funktion, die unkehrbar ist und 

deren Umkehrfunktion ebenfalls differenzierbar ist. 

TCP 

Warum nur lokal?: 

2 

S 

x 

x 

x 

M 

R 

2 

x x x 

x 

x x 

2 

T 

Welche Mannigfaltigkeit 

beschreibt das TCP dieses 

Roboters? Und seine Gelenke? 

x 

x 

x 


Eingebettete Mannigfaltigkeiten 

n 

Eine eingebettete Mannigfaltigkeit ist ein Unterraum von R , definiert 

n p 

durch die Lösungsmenge einer Vektorfunktion h : R � R 

h ( x , �, 

x ) � 0 

h 

1 

p 

1 

( x , �, 

x ) � 0 

1 

� 

n 

�( 

h1, 

�, 

hp 

) 

( x0) 

Gibt es p Koordinaten, so dass die Jakobimatrix �( 

x1, 

�, 

x p ) in einem 

n 

Punkt 0 invertierbar ist, so hat die Mannigfaltigkeit in der Umgebung 

R � x 

n 

des Punktes die Dimension m=n-p und (1) kann (Satz über implizite Funktionen) 

lokal aufgelöst werden 

( 1 m 

x 

x 

1 

p 

� 

� 

f 

f 

1 

( x , �, 

x 

p 

1 

� 

( x , �, 

x 

x , �, x ) sind dann lokale Koordinaten in der Umgebung von x0 1 

m 

m 

) 

) 

(1) 

n � 

p 


x2 

3 

R 

x1 

x1 

2 

R 

x3 

´3 

R 

Eingebettete Mannigfaltigkeiten: Beispiele 

3 

x2 

x1 

2 

E 

x2 

h 1 

h 1 

( x1, 

x2) 

� ax1 

� bx2 

�� 

� 

x1 - lokale Koordinate 

( x1, 

x2, 

x3) 

� ax1 

� bx2 

� cx3 

�� 

� 

1 

2 

0 

x 

2 

1 

� � ( ax 

b 

0 

�� 

) 

, x x - lokale Koordinaten x � � ( ax � bx �� 

) 

x 2 2 2 

( x , x , x ) � ax � bx � cx � r � 0 

h 1 

1 

1 

2 

2 

3 

, x x - lokale Koordinaten 

1 

(z.B. für die 

Nordhalbkugel) 

2 

3 

3 

1 

c 

2 

x3 � 

( r � ax1 

� bx 

c 


1 

1 

1 2 

2 

2 

)

1. Die Erde 

lokale Koordinaten: 

Geogr. Länge und Breite 

Mannigfaltigkeiten: Beispiele I 

Singularität an 

den Polen 

x in Umgebung 

des Südpols 

Mannigfaltigkeit M 

lokales 

Kartenbild 

um x 

lokale (polare) 

Koordinaten (r,�) 

lokale (konische) 

Koordinaten 

Lokale Koordinaten: zu jedem Punkt x in M existiert eine Teilmenge U in M 

die x enthält, und eine bijektive Abbildung 

n 

� : U �U� U� 

� R 

� 

n 

x� �R 

U 

� - Kartenabbildung 

- Kartenbild 

- lokale Koordinaten 

Um eine Mannigfaltigkeit zu beschreiben, braucht man im Allgemeinen 

mehrere, überlappende Karten => Atlas 

Wechsel der Koordinaten: die Karten ( U , �) 

und ( V , �) 

enthalten x 

�1 

x� 

� �( � ( x� 

)) 


2. Orientierung eines Starrkörpers 

Mannigfaltigkeiten: Beispiele II 

R3x3 

bekanntlich beschrieben durch eine Rotationsmatrix 

Eigenschaften: R R I 

T � - orthogonal 

det( R) 

�1 

- rechtshändiges Koordinatensystem 

Der Konfigurationsraum besteht aus der Menge aller Rotationsmatrizen 

und wird as SO(3) –Special Orthogonal Group bezeichnet 

Übung: Man überprüfe, dass SO(3) eine Gruppe ist 

9 

SO(3) ist eine 3 – dimensionale Mannigfaltigkeit, eingebettet z.B. in R zu 

dem die Menge aller 3x3 Matrizen isomorph ist 

Lokale Koordinaten, z.B.: - Eulerwinkel (��) (mit Varianten) 

- Angle-Axis Darstellung (r, �� 

- Roll-Pitch-Yaw Winkel (��) 

4 

Kleinste singularitätsfreie, globale Darstellung R 

: z.B. Quaternionen 


Roll-Pitch-Yaw 

Angle axis Darstellung 

Zusatzfolie: Rotationsdarstellung 

�1� 

r � � � � 

� 11 r22 

r33 

1 

� cos � 

� 

� 2 � 

�r32 

� r23� 

1 

k � 

� � 

� 

r13 

� r31 

2sin� 

� 

�� 

r21 

� r12 

�� 

(Wiederholung aus Grundlagen Intelligenter Roboter) 

Quaternionen (Euler Parameter) nicht minimal, singularitätsfrei, global 

� � � � 

��0, �1, 

�2, 

�3�� 

� 

cos , sin 

� 2 2 � 

� 

� � 

k � 

Singulär für 

! 

� � 

n� 

� 

� 

k 

� 

k 

�1 


Mannigfaltigkeiten: Beispiele III 

3. Konfiguration eines Starrkörpers in dreidimensionalen Raum 

bekanntlich beschrieben durch eine homogene Transformation T4x 

4 

� R p� 

T � p - Position 

� � 

�01x3 

1� 

Der Konfigurationsraum besteht aus der Menge aller homogenen 

Transformationen und wird as SE(3) –Special Euklidian Group 

3 

bezeichnet (= SO(3)x R ) 6 – dimensionale Mannigfaltigkeit 

Lokale Koordinaten, z.B.: - x=(p x,p y,p z,��) (mit Varianten) 

4. Konfiguration eines (6-Achsigen) Roboters Q 

R 

6 

Gelenkwinkel q: - globale Karte 

Lokal um einen Punkt q 0 kann die 

Vorwärtskinematik x=f(q) als eine Abbildung zwischen 

Koordinaten zweier Mannigfaltigkeiten angesehen werden. 

5. Konfigurations- und Arbeitsraum eines 

nicht planaren, 2-Achsigen Roboters mit endlos 

drehenden Achsen ist jeweils ein Torus 


Tangentenvektoren und Tangentialraum 

(kontravariante Vektoren oder einfach Vektoren) 

Gegeben eine m - dimensionale Mannigfaltigkeit M, 

definiert man an jedem Punkt x den Tangentialraum 

T x M als den m – dimensionalen Vektorraum aller 

möglichen Geschwindigkeiten in x (entlang 

der Mannigfaltigkeit). 

Ausschließlich diese Größen werden in der Differentialgeometrie als 

„Vektoren“ bezeichnet. Dargestellt werden sie als Spaltenvektoren. 

Beispiele: 

� p� 

x � 

�q� 

1 � 

� � 

� � 

� 

p� 

y � 

� 

� 

� 

� p� 

z � 

q� 

� �q� 

i � Vektor auf Q x� 

� � � Vektor auf SE3 

� � 

��x 

� 

� � � 

�� 

� 

� � 

y 

�q� 

Vektor auf SO3 

n � 

� � 

�� 

�z 

�� 

n 

Gelenkgeschwindigkeit in Kartesische Geschwindigkeit in SE3 

R 

v1 


x 

v2

Kotangentenvektoren und Kotangentialraum 

(Kovektoren, Kovektorraum) 

* 

Der Kotangentialraum Tx Min 

einem Punkt x der Mannigfaltigkeit M ist 

der lineare Vektorraum aller linearen Funktionale 

� : TxM � R 

Die Elemente � des Kotangentialraumes werden Kotangentenvektoren 

(Kovektoren) genannt. 

Für eine m-dimensionale Mannigfaltigkeit hat der Kovektorraum auch 

Dimension m. 

� fx 

� 

�� 

Beispiele: 1 � 

� � 

� � 

� 

f y � 

� 

� 

� 

� fz 

� 

� � �� 

f � 

i � 

� � 

� � 

�mx 

� 

� � � 

�m 

� 

y 

� 

�� 

� 

n � 

� � 

�� 

mz 

�� 

Drehmoment im Gelenkraum Kartesische verallgemeinerte Kraft 

T 

T 

� ( q� 

) �� q� 

� P 

f ( x�) 

� f � x� 

� P 

Leistung

Regelungstechnische Methoden in der Robotik Dr. - DLR

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