13 Beispiel 1.1: Abschnittsweise Berechnung des Faltungsintegrals

1.3 Faltung und Korrelation von Signalen 13
Beispiel 1.1: Abschnittsweise Berechnung des Faltungsintegrals
In diesem Beispiel sollen zwei Signale gefaltet und das Faltungsergebnis als mathematischer
Ausdruck angegeben werden.
Gegeben sind die folgenden beiden Signale:
1
1
0
0
x1(t)
x2(t)
2T 6T
T 3T
Gesucht ist:
t
t
y(t) =
Z∞
−∞
x1(t) =
x2(t) =
(
1 für 2T ≤ t ≤ 6T
0 sonst
x1(τ)x2(t − τ)dτ .
( t−T
2T für T ≤ t ≤ 3T
0 sonst
Direkt nach dem Umschreiben in τ und der ” Spiegelung“ von x2(t) (siehe Bild 1.3c) liegen
die beiden Funktionen unter dem Integral wie folgt zueinander:
x2(t − τ) t = 0
−T 0
1
x1(τ)
2T 6T τ
Zur abschnittsweisen Berechnung werden verschiedene Bereiche für den bei der Integration
vorkommenden Parameter t, der ja die Lage von x2(−τ) bestimmt, eingeteilt. Dies sind
die Bereiche, innerhalb derer sich t ändern kann, ohne dass sich bei der Integration etwas
wesentliches ändert. Für jeden der Bereiche kann das Faltungsintegral geschlossen gelöst
werden. Wichtig dabei ist, dass die untere und obere Integrationsgrenze auf der τ-Achse
korrekt ermittelt werden. Diese Integrationsgrenzen hängen teilweise von t ab (siehe Bild
1.3f).
• −∞ < t < 3T (Keine Überlappung)
y(t) = 0
x2(t − τ) t = 2T
1
0 2T 6T τ

14 1 Kontinuierliche Signale
• 3T ≤ t < 5T (Eindringphase)
y(t) =
=
Z
t−T
2T
Z
t−T
2T
1 · x2(t − τ)dτ
1 ·
= . . . = T ·
(t − τ) − T
2T
“ t − 3T
2T
” 2
dτ
• 5T ≤ t < 7T (Keine Flächenänderung)
y(t) = Fläche{x2(t)} = T
• 7T ≤ t < 9T (Austrittsphase)
y(t) =
Z6T
t−3T
1 ·
= . . . = T − T ·
(t − τ) − T
2T
dτ
“ t − 7T
2T
• 9T ≤ t < ∞ (Keine Überlappung)
y(t) = 0
Zusammengefasst lautet das Ergebnis:
x2(t − τ) t = 4T
1
0 2T 6T τ
t-T
1
x2(t − τ)
t = 6T
0 2T 6T τ
1
x2(t − τ)
t = 8T
” 2 0 2T 6T τ
t − 3T
1
x2(t − τ) t = 10T
0 2T 6T τ
8
0 ; − ∞ < t < 3T
“ ” 2
t−3T
><
T ·
; 3T ≤ t < 5T y(t)
2T
y(t) = T ; 5T ≤ t < 7T T
“ ” 2
t−7T
T − T · ; 7T ≤ t < 9T
>:
2T
0 ; 9T ≤ t < ∞ 0 3T 9T t

1.3 Faltung und Korrelation von Signalen 15
MATLAB-Projekt 1.C Faltung kontinuierlicher Signale
1. Aufgabenstellung
Die beiden Signale aus dem Beispiel 1.1 sollen mit Hilfe des MATLAB-
Faltungsbefehls conv verknüpft werden.
2. Lösungshinweise
Man beachte, dass der MATLAB-Befehl conv eigentlich eine diskrete lineare
Faltung, siehe Abschnitt 4.4.1, berechnet. Diese basiert auf einer Summation,
während zur Faltung von kontinuierlichen Signalen eine Integration erforderlich
ist. Die Umrechnung geschieht durch Multiplikation des mit conv
gewonnenen Ergebnisses mit dem Rasterungsfaktor dt.
3. MATLAB-Programm
% Faltung kontinuierlicher Signale
clear; close all;
% Festlegung von Parametern
T = 1; % (in Sek.)
t_min = -T; % Zeitlicher Darstellungsbeginn
t_max=10*T; % Zeitliches Darstellungsende
dt = T/1000; % Delta-t
t = t_min:dt:t_max; % Vektor mit den Zeitstützpunkten
T1 = 2*T; % Impulsbeginn in x1
Tb1 = 4*T; % Impulsbreite von x1
T2 = T; % Impulsbeginn in x2
Tb2 = 2*T; % Impulsbreite von x2
% Erzeugung der Signale
x1 = (t>=T1 & t=T2 & t

16 1 Kontinuierliche Signale
y(t)/T
1.5
1
0.5
0
−0.5
0 5 10 15 20
t/T
5. Weitere Fragen und Untersuchungen
• Man variiere die Impulslängen sowie den Impulsbeginn der beiden Signale
und beobachte das Faltungsergebnis.
MATLAB-Projekt 1.D Gleitender Mittelwert durch Faltung
1. Aufgabenstellung
Es wird noch einmal das Projekt 1.B aufgegriffen. Die Glättung soll dieses
Mal durch Faltung des verrauschten Sinussignals mit einem Rechtecksignal
erreicht werden. Die Länge des Rechtecksignals soll gleich der Breite des
Glättungsfensters aus dem Projekt 1.B sein.
2. MATLAB-Programm
Das MATLAB-Programm aus dem Projekt 1.B kann weitgehend übernommen
werden. Lediglich die for-Schleife ist durch folgende Zeilen zu ersetzen:
rect = rectwin(B); % Rechtecksignal der Länge B (in dt-Schritten)
z_tmp = conv(y,rect)/B; % Faltung mit Rechtecksignal u. Normierung
z = z_tmp(B:length(t)-1); % B-1 Werte am Vektoranfang verwerfen
3. Darstellung der Lösung
Die Lösung ist identisch mit der Lösung aus dem Projekt 1.B.
4. Weitere Fragen und Untersuchungen
• Warum führt die Faltung mit dem Rechtecksignal zu exakt der gleichen
Lösung wie bei der Bildung des gleitenden Mittelwertes im Projekt 1.B?
• Warum sind die ersten B −1 Werte des Faltungsproduktes zu verwerfen?