Prismen- und Gitterspektrometer - Physikalisches Institut Heidelberg

Physikalisches Anfängerpraktikum der Universität Heidelberg - APL II Versuch 33 Prismenspektrometer
Versuch 33
Prismen- und Gitterspektrometer
Okular
Justierschraube für Spaltbreite
Gitter
Fernrohr
Prisma Nonius
Kollimator
Prismentisch
Abbildung 1: Aufbau des Prismenspektrometer Versuchs.
I Messaufbau
• Spektrometer mit Prisma und Gitter
• Hg-, He-, Na- Lampe
• Netzteil
• Wasserstofflampe mit Netzgerät (für je 2 Aufbauten gemeinsam)
Teilkreisskala
c○ Dr. J.Wagner - Physikalisches Anfängerpraktikum - V. 1.1 Stand 01/2010
1
II Literatur
• W. Walcher, Praktikum der Physik, B.G.Teubner Stuttgart,
• Standardwerke der Physik: Gerthsen, Bergmann-Schäfer, Tipler.
• http://physics.nist.gov/PhysRefData/Handbook/element name.htm.
III Vorbereitung
Bereiten Sie sich auf die Beantwortung von Fragen zu folgenden Themen vor:
Brechungsgesetz, Aufbau des Prismenspektrometers, Dispersion, Auflösungsvermögen
eines Prismenspektralapparates und eines Gitterspektrometers,
Energieniveaus des Wasserstoffatoms, Balmerformel.
Verständnisfragen:
1. Ändert sich die Wellenlänge λ oder die Frequenz ν, wenn Licht von einem
Medium in ein anderes tritt?
2. Von welchen Parametern hängt der Gesamtablenkwinkel δ (siehe Abbildung
2) im Allgemeinen ab? Wie kann man zeigen, dass δ ein Minimum
annimmt und in diesem Fall der Strahlengang im Prisma symmetrisch
verläuft?
3. Wie setzt sich die Kurve n(λ) zu größeren und kleineren Wellenlängen
fort? Was versteht man unter normaler und anomaler Dispersion?
4. Wird bei einem Prisma (normale Dispersion angenommen) bei gleichem
Einfallswinkel, rotes Licht oder blaues Licht stärker abgelenkt?
5. Wo liegen die Interferenzmaxima bei einem Gitter, was bedeutet die Beugungsordnung?
6. Wie entstehen Spektrallinien? Welche Bedeutung hat die Spektralanalyse?
7. Was ist die physikalische Ursache für die Energieaufspaltung der Natriumniveaus
für die Elektronzustände mit der Drehimpulsquantenzahl l>0?
Warum erfolgt die Aufspaltung in 2 Niveaus?
8. Was begrenzt die Möglichkeit zwei Spektrallinien benachbarter Wellenlängen
im Spektrometer zu trennen bei beiden Spektrometern?

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IV Aufgabe
• Die Winkeldispersionskurve δ(λ) des Prismas ist durch Messung der Ablenkwinkel
δ bei gegebenem Spektrum des Hg aufzunehmen und als Eichkurve
zur Bestimmung der Wellenlänge des He-Spektrums zu benutzen.
Aus dem minimalen Ablenkwinkel bei gegebener Wellenlänge ist der Brechungsindex
zu berechnen.
• Die Wellenlänge der gelben Natrium-Linie ist zu messen. Wie sieht die
Struktur dieser Linie aus?
• Mit dem Gitterspektrometer sind die Wellenlängen einer Wasserstoffentladungslampe
in 1. und 2. Ordnung zu bestimmen und daraus mit Hilfe
der Balmerformel die Rydberg-Konstante für Wasserstoff zu berechnen.
• Mit dem Gitterspektrometer ist das gelbe Natriumdublett in 2. Ordnung
zu vermessen. Die Feinstrukturaufspaltung ist zu berechnen und mit dem
Literaturwert zu vergleichen. Welche Auflösung wird benötigt um das Dublett
zu trennen.
• Das Auflösungsvermögen des Gitters in 2. Ordnung und des Prismenspektometers
sind für die gelbe Natrumlinie abzuschätzen und mit der benöigten
Auflösung zu vergleichen.
V Grundlagen
Ein Spektrometer ist ein Instrument, mit dem Licht in seine Spektralfarben
(Wellenlängen) zerlegt werden kann.
V.1 Prismenspektrometer
Beim Prismenspektrometer erfolgt diese Zerlegung durch ein optisches Prisma.
Dabei handelt es sich um einen Körper aus einem lichtdurchlässigen Material
(i.a. Glas), der von zwei ebenen, nicht parallelen Flächen begrenzt wird. Die
Gerade, in der sich die beiden Flächen schneiden, wird brechende Kante genannt.
In einem Schnitt senkrecht dazu (Hauptschnitt) liegt an der brechenden
Kante der brechende Winkel ǫ.
Mit Hilfe des Brechungsgesetzes und unter der Annahme, dass für den Brechungsindex
von Luft nLuft = 1 gilt, folgt für den totalen Ablenkungswinkel δ,
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2
brechender Winkel
einfallendes
Parallellichtbündel
brechende Kante
1 1
2
Brechzahl n
Basis B
Abbildung 2: Hauptschnitt eines Prismas.
um den ein einfallendes Lichbündel abgelenkt wird:
2
ausfallendes
Parallellichtbündel
δ = α1 −ǫ+arcsin n 2 −sin(α1) 2 sin(ǫ)−sin(α1)cos(ǫ) . (1)
Von besonderem Interesse ist der Fall, bei dem das Prisma symmetrisch vom
Licht durchsetzt wird. Dabei trifft das einfallende Lichtbündel senkrecht auf
die Ebene, die den brechenden Winkel ǫ halbiert. Bei diesem Einfall nimmt der
Ablenkwinkel δ ein Minimum ein und es gelten die Beziehungen:
αmin = α1 = α2 =
n = sin (δmin +ǫ)/2
sin(ǫ/2)
δmin +ǫ
2
(2)
(Fraunhofersche Formel). (3)
Gleichung (3) (FraunhoferscheFormel) beschreibt eine Methode um den Brechungsindex
des Prismamaterials zu bestimmen. Messungen an Prismen sollten
stets beim minimalen Ablenkwinkel erfolgen, da in diesem Fall der Ablenkwinkel
δ kaum vom Einfallswinkel α1 abhängt (δ nimmt ein Minimum ein!).

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60°
B eff
S
60° 60°
Abbildung 3: Effektive Basisbreite.
Bisher haben wir uns nur auf ein einfallendes monochromatisches Lichtbündel
beschränkt. Allerdings hängt aufgrund der Dispersion, der Brechungsindex n
von der Wellenlänge ab, so dass bei einem einfallenden ” weißen“ Lichtbündel
bei den bisherigen Betrachtungen n durch n(λ) ersetzt werden muss. Da der
Ablenkwinkel δ von dem Brechungsindex abhängt, wird ein ” weißes“ Parallellichtbündel
spektral zerlegt.
Das Auflösungsvermögen A=λ/∆λ ist beugungsbegrenzt. Für die Aufösung
gilt:
A = λ dn
= Beff . (4)
∆λ dλ
Die Dispersion dn/dλ des Prismenglases können Sie mit Hilfe von Abbildung 9
bestimmen.DieGrößeBeff beschreibtdieeffektiveBasisbreitedesPrismasund
entspricht bei dem im Versuch verwendeten Prisma der Länge S der Prismenseite,
die von dem einfallenden Lichtbündel ausgeleuchtet wird (Abbildung 3 ).
V.2 Gitterspektrometer
Beim Gitterspektrometer wird die Beugung am Gitter genutzt. Für eine feste
Wellenlänge λ und Gitterabstand d ergeben sich Beugungsmaxima, wenn
folgende Bedingung erfüllt ist:
d sinα = mλ (5)
Dabei ist m=1,2,3,.. die Beugungsordnung. Bei bekannter Gitterkonstante d
und Messung des Ablenkwinkels α liefert das Gitterspektrometer demnach ei-
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3
ne absolute Messung der Wellenlänge im Gegensatz zum Prismenspektrometer.
Die Auflösung des Spektrometers hängt von der Zahl der beleuchteten Gitterspalte
N und der Beugungsordnung m ab:
VI Durchführung des Versuchs
1. Skizzieren Sie den Versuchsaufbau
2. Justierung des Spektrometers
A = λ/∆λ = mN (6)
Machen Sie sich zunächst mit den verschiedenen Funktionen der Arretierungsschrauben
und Feintriebe vertraut. Bei Unklarheiten fragen Sie
den Assistenten. Die Einstellung des Fernrohrs auf unendlich vollzieht man
durch Scharfstellen eines fernen (> 20 m) Gegenstandes, indem das Okular
verschoben wird. Dazu schwenken Sie das Fernrohr in Richtung Fenster und
visieren einen weit entfernten Gegenstand an. Bild und Fadenkreuz sollen
keine Parallaxe mehr zeigen, d.h. bei Bewegung des Auges vor dem Okular soll
keine gegenseitige Verschiebung eintreten. (Beide liegen dann in einer Ebene.)
Falls sie eine Parallaxe zwischen Fadenkreuz und Spaltbild beobachten, dann
können Sie noch die Lupe im Okular so verschieben, dass das Fadenkreuz
scharf ist.
Zur Einstellung des Kollimatorrohres auf Parallellicht verschiebt man den
Spalteinsatz, bis man im justierten Fernrohr ein scharfes Spaltbild parallaxenfrei
zum Fadenkreuz beobachtet. Das Kollimatorrohr ist in der Regel bereits
justiert, so dass Sie hier nichts justieren müssen.
Fällt beim Beobachten eines Spektrums die Fadenkreuzmitte nicht mit den
Mitten der Spaltbilder zusammen, so liegt das Prisma bzw. das Gitter nicht
horizontal auf.
Je nach Verfügbarkeit der Spektrallampen messen Sie zuerst mit
dem Prisma (Versuchsteile 3. - 5.) oder mit dem Gitter (6. und
7.). Vor und nach jeder Messreihe müssen Sie den Winkel bei
Nullstellung des Fernrohrs (gerader Lichtduchgang) messen und
notieren, damit Sie später den Ablenkwinkel berechnen können.

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Kollimator
B’
C
A
C’
A’ B
Position 2
2 Abbildung 4: Messung des Minimalablenkwinkel.
3. Aufnahme der Eichkurve
min
min
1 Position 1
Nullmessung: Messen Sie den Ablesewinkel für den nicht abgelenkten
Strahl (ohne Prisma). Zur Feineinstellung arretieren Sie die Drehachse des
Fernrohrs und drehen an der Rändelschraube links unten. Es genügt die
genaue Messung der Ablenkwinkel nach einer Seite. Nutzen Sie unbedingt die
Genauigkeit des Nonius aus gemäß Abbildung 5 aus. Achten Sie darauf, dass
während der Durchführung der Aufgabe 3 und Aufgabe 4 die Teilkreisskala in
der gleichen Lage arretiert bleibt!
Messung des Spektrums: Setzen Sie das Prisma ein und drehen Sie es so,
dass Sie eine Ablenkung nach der gewünschten Seite bekommen. Schwenken
Sie das Fernrohr auf diese Seite bis Sie die Spektrallinien sehen. Optimieren
Sie die Beleuchtung (Intensität der Linien) indem Sie die Spektrallampe vor
dem Spalt in beiden Dimensionen verschieben. Für die Messung sollte der
Prismenschwerpunkt ungefähr in der Spektrometerachse liegen. Stellen Sie
den Minimalablenkwinkel für die grüne Hg-Linie ein. Dieser ist dann erreicht,
wenn das im Fernrohr beobachtete grüne Spaltbild (Fadenkreuz benutzen)
bei Drehung des Prismentisches stehen bleibt. Kleine Drehungen des Tisches
nach rechts oder links lassen das Bild in die gleiche Richtung zurückwandern.
Messen Sie bei festgehaltener Prismenlage die Ablenkwinkel δ(λ) für folgende
zehn Linien des Hg-Spektrums:
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4
Nr. λ(nm) Farbe Intensität
1 690,7 rot schwach
2 623,4 rot mittel
3 579,1 gelb stark
4 577,0 gelb stark
5 546,1 grün stark
6 499,2 blaugrün schwach
7 491,6 blaugrün mittel
8 435,8 blau stark
9 407,8 violett mittel
10 404,7 violett stark
Für die starken Linien kann der Spalt sehr eng gestellt werden; für die
schwächeren Linien öffnen Sie den Spalt soweit wie nötig.
4. Wellenlängenbestimmung des He-Spektrums
Messen Sie bei unveränderter Einstellung des Prismas (Minimum der
Ablenkung für die grüne Hg-Linie) die Ablenkwinkel für folgende sechs Linien
des He-Spektrums: rot (stark); gelb (stark); grün (stark); grün (mittel); blau
(mittel); blau (stark).
5. Messung der Wellenlänge der gelben Natriumlinie
Setzen Sie die Natriumdampflampe vor das Spektrometer. Es liegen mehrere
Linien im sichtbaren Bereich. Mit Abstand die größte Intensität hat jedoch
die gelbe Linie, die eigentlich aus zwei benachbarten Linien (Dublett) besteht.
Messen Sie die Wellenlänge dieser Linie. Erscheint die Linie als Doppellinie?
6. Messung mit dem Gitterspektrometer: Wasserstoffspektrum
Tauschen Sie das Prisma gegen den Halter mit dem Gitter aus und
justieren Sie das Gitter senkrecht zur Kollimatorachse. Setzen Sie die Wasserstofflampe
vor den Spalt und justieren Sie Beleuchtung und Spaltgröße.
Messen sie die Nullstellung d.h den Ablesewinkel für die 0. Ordnung (gerader
Lichtdurchgang). Drehen Sie das Fernrohr jetzt nach einer Seite bis Sie die
erste Spektrallinie (1. Beugungsordnung) sehen. Welche Farbe erwarten sie

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Teilkreisplatte
Nonius
12’
Abbildung 5: Ablesen des Winkels: Lesen Sie zunächst den Winkel der Teilkreisskale
mit dem Nullteilstrich des Nonius auf 0,5 ◦ genau ab. Im unteren
Bild beträgt der Winkel 53 ◦ , da der Nullteilstrich zwischen 53 ◦ und 53,5 ◦
liegt. Die Nachkommastellen werden mit dem Nonius abgelesen. Beachten Sie,
dass der Nonius in Bogenminuten geeicht ist. Dabei entsprechen die 30 Skalenteile
(30’ entspricht 30 Bogenminuten) einem halben Grad. Sie müssen nun den
Teilstrich des Nonius suchen der genau unter einem Teilstrich der Kreisskala
steht. Im Bild ist dies der Teilstrich 12. Das Ergebnis der Winkelmessung ist
demnach 53 ◦ 12’ bzw. im Gradmaß: 53 ◦ +(12’/60’) = 53,2 ◦ .
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53°
zuerst? Verschieben Sie die Lampe jetzt vorsichtig so vor dem Spalt so dass
die Linien mit maximaler Helligkeit sichtbar sind. Die Wellenlängen der drei
starken Linien (rot, türkis, violett) werden in 1. und 2. Ordnung gemessen.
Versuchen Sie durch Öffnen des Spalts eine vierte, kurzwelligere Linie zu
sehen. Messen Sie zum Schluss nochmals die Nullstellung.
7. Messung der Feinstrukturaufspaltung von Natrium
Drehen Sie das Fernrohr bis Sie die gelbe Doppellinie in erster Ordnung
sehen. Verschieben Sie die Natriumlampe jetzt vorsichtig so vor dem Spalt,
dass die schwächeren Linien (rot, grün, zweimal Blau und violett) mit
maximaler Helligkeit sichtbar sind. Hierzu gegebenfalls den Kollimatorspalt
weiter öffnen. Gehen Sie jetzt zu grösseren Fernrohrwinkeln und suchen Sie die
Linien zweiter Ordnung. Bestimmen Sie die Wellenlänge der kurzwelligeren
Linie des gelben Dubletts. Messen Sie danach nur mit Hilfe der Feineinstellung
für dieses gelbe Dublett den Winkelabstand ∆δ der beiden gelben Linien
möglichst genau (Spaltbreite möglichst klein einstellen). Diese Messung sollte
jeder Student einmal durchführen.
VII Auswertung
Zu 3 und 4: Tragen Sie die Winkeldispersionskurve δ(λ) des Hg-Spektrums
auf Millimeterpapier auf. Achten Sie darauf, dass Sie Wellenlänge gegen den
tatsächlichen Ablenkwinkel und nicht gegen den Ablesewinkel auftragen. Alternativ
können Sie die Eichkurveauch mit Originzeichnen. Zur Verbesserungder
Ablesegenauigkeit sollten Sie dann zusätzlich ein dichtes Gitternetz über das
Diagramm legen. Bestimmen Sie anhand dieser Eichkurve die Wellenlängen
der He-Linien. Berücksichtigen Sie den Fehler aus der Ablesegenauigkeit des
Nonius. Wie groß sind die Abweichungen von den Tabellenwerten (706,5 nm -
667,8 nm - 587,6 nm - 501,6 nm - 492,2 nm - 471,3 nm - 447,1 nm)? Hinweis:
Es ist nicht zwingend, dass Sie alle angegebenen Linien gemessen haben.
Bestimmen Sie ebenso die Wellenlänge der gelben Natriumlinie(n).
Brechungsindex: Bestimmen Sie nach der Gleichung (gültig für symmetrischen
Strahlengang)
n(λ) = sin
1
2 (δMin(λ)+ǫ)
(7)
sin(ǫ/2)
5

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den Brechungsindex für die grüne Hg-Linie. Der Öffnungswinkel des Prismas
beträgt ǫ = 60 ◦ . Vergleichen Sie diesen Wert mit der Dispersionskurve im
Anhang. Für welche Wellenlängen ist der Brechungsindex kleiner, für welche
größer als dieser Wert?
zu 5: Berechnen Sie die Wellenlängen des sichtbaren Wasserstoffspektrums
in erster und zweiter Ordnung. Berechnen Sie die Rydberg-Konstante
mit Hilfe der Balmer-Formel für jede Linie. Vergleichen Sie die gemessene
Spektrallinien mit den Literaturwerten (siehe Anhang).Berechnen Sie aus dem
Mittelwert der Rydbergkonstanten die Rydbergenergie in eV.
zu 6. Berechnen Sie die Wellenlänge der gelben Natriumlinie. Ordnen
Sie die gemessene Linie zu und tragen Sie diese in das Grotiandiagramm
(Anhang) ein. Berechnen Sie schließlich die Feinstrukturaufspaltung des gelben
Dubletts nach der Formel
∆λ = d/2(sin(δ +∆δ)−sin(δ)) (8)
und schätzen Sie den Fehler ab. Vergleichen Sie mit dem Literaturwert.Berechnen
Sie das notwendigeAuflösungsvermögenum beide Linien getrenntsehen zu
können. Schätzen Sie das Auflösungsvermögen von Gitter und Prisma ab und
vergleichen Sie es mit der gemessenen Dublettaufspaltung. Nehmen Sie hierzu
an, dass die Breite des parallelen Lichtbündels 4 mm beträgt.
VIII Anhang: Balmer-Serie des Wasserstoffs
und Natriumspektrum
Natrium hat ein 3S Valenzelektron außerhalb einer abgeschlossenen Schale.
Das Spektrum ist daher dem des Wasserstoffs ähnlich. Allerdings sieht das Valenzelektron
in den verschiedenen Drehimpulszuständen eine unterschiedliche
effektive Kernladung Zeff.
D-Elektronen (l=2) sind radial weit außen, sie sehen praktisch Z=1, da die
anderenElektronendenKernabschirmen.FürdieD-Elektronengilttatsächlich
in guter Näherung:
En,l=2 = −13,6 eV/n 2 . (9)
Die Korrekturen sind kleiner als 1%. S- und P-Elektronen haben dagegen eine
weit höhere Aufenthaltswahrscheinlichkeit innerhalb der Elektronendichte der
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6
0eV
-13,6 eV
E
Balmer Serie
Kontinuum
H
H H H
H H H H
nm 656,3 486,1 434,0 410,1
P
O
N
M
L
K
Kontinuum
Abbildung 6: Balmer-Serie des Wasserstoffs.
abgeschlossenen Schalen. Daher sehen sie höhere effektive Kernladungszahlen.
Ihre Energiezustände können beschrieben werden durch:
En,l = −13.6 eV /(n 2 −(∆(n,l)) 2 . (10)
Dabei ist ∆(n,0) ≈ 1,373 und ∆(N,1) ≈ 0,833. Das Energiediagramm mit
den erlaubten Übergängen zeigt Abbildung (7), in das auch die Wellenlängen
eingezeichnet sind. Zusätzlich zeigt Abbildung (8) die drei wichtigsten Serien
des Natriums:
• Hauptserie: m P → 3 S

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Energie [eV]
1
2
3
4
5
5,12
n
7
6
5
4
3
2
S1/2 616,07 nm
1140,42 nm
285,28 nm
330,23 nm
6
5
4
3
2
P3/2 6
5
4
3
2
P1/2 2
D3/2,1/2 5
4
3
5
4
D : 589,593 nm
1
D : 588,996nm
2
568,27 nm
878,33 nm
2
F5/2,7/2 1267,76 nm
1845,95 nm
Abbildung 7: Termschema des Natriums (Grotrian-Diagramm).
• 1. Nebenserie: m D → 3 P
• 2. Nebenserie: m S → 3 P
Alle Übergängesind Dubletts (zwei engbenachbarteLinien), da diep-Zustände
P 1/2 und P 3/2 aufgrund der Wechselwirkungsenergieder magnetischenMomente
von Bahndrehimpuls und Spin etwas verschiedene Energien haben (Feinstruktur).
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7
Wellenlänge [nm]
250 300 400 600 800 1000 2000
5
1. Nebenserie
2. Nebenserie
4
3
Energie [eV]
D
2
Hauptserie
Abbildung 8: Die drei wichtigsten Serien des Natriums.
1
0

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Brechungsindex
1,660
1,655
1,650
1,645
1,640
1,635
1,630
1,625
1,620
1,615
1,610
400 450 500 550 600 650 700
Abbildung 9: Dispersionskurve von Flintglas.
Dispersion von Flintglas F2
Wellenlänge [nm]
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8