Beispielhandout Finanzen - BWL Kurse Frankfurt

FINANZEN 1 

Handout 1 – Grundlagen und FISHER-Modell 

bwlkurse

Handout 1 – Grundlagen und FISHER-Modell Finanzen 1 

INHALTSVERZEICHNIS 

1 GRUNDLAGEN DER INVESTITIONS- UND FINANZIERUNGSTHEORIE BEI 

SICHERHEIT 5 

1.1 Annahme eines vollkommenen und vollständigen Kapitalmarktes 5 

1.2 Modellannahmen 7 

1.3 Die Transformationskurve T M 8 

1.4 Konsumpräferenzen 9 

1.5 Optimaler Konsumplan ohne (Real-) Investitionsprojekte 11 

1.6 Optimaler Konsumplan bei Investitionsmöglichkeiten ohne Kapitalmarkt 12 

1.7 Fisher Modell 13 

Aufgaben zum FISHER-Modell 19 

LÖSUNGEN ZU HANDOUT 1 23 

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1 Grundlagen der Investitions- und Finanzierungstheorie bei Sicherheit 

Dieses Kapitel dient der Einführung in die Investitionstheorie. Bei Investitionsprojekten 

(IP) unterscheiden wir zwischen Realinvestitionen (Kauf einer Maschine, Eröffnung eines 

Restaurants, Bau eines Staudamms) und Finanzinvestitionen (Kauf von Aktien, Anleihen, 

Fondsanteilen, etc.). 

Warum werden überhaupt Investitionsprojekte realisiert? Ein Investor verfügt entweder 

über (Anfangs-)vermögen oder kann vergleichsweise günstig Kapital aufnehmen, um die 

(Anfangs-)auszahlung des IP zu finanzieren. 

Um einen möglichst grundlegenden Einstieg in finanzwirtschaftliche Themen zu bekom- 

men, gehen wir zuerst davon aus, dass der Investor über ausreichende Mittel (Vermögen) 

verfügt. Je nach Konsumpräferenz (individuelle Präferenz für Gegenwartskonsum = Unge- 

duld oder Zukunftskonsum = Geduld) wird heute ein Teil des Vermögens für Konsumzwe- 

cke ausgegeben. Das übrige Vermögens kann die Person am Kapitalmarkt anlegen oder in 

reale Investitionsprojekte investieren, damit auch in der Zukunft Kapital für Konsummög- 

lichkeiten verfügbar ist. 

Dabei ist die größte Wertsteigerung bzw. höchste Rendite entscheidend. IP mit der höchs- 

ten Rendite (Verzinsung) werden durchgeführt, um 

Investitionsprojekte werden letztendlich durchgeführt, um heutigen möglichen Konsum in 

die Zukunft zu verschieben. Dabei kann der Gewinn aus dem Investitionsprojekt in der Zu- 

kunft zusätzlich konsumiert werden. 

In einer Modellwelt untersuchen wir, wie ein Anleger die Entscheidung trifft zu investieren 

oder nicht, und von welchen Faktoren und Einflüssen diese Entscheidung abhängt. Die In- 

vestitionsentscheidung bestimmt die Anzahl der durchzuführenden Projekte, also das ge- 

samte Investitionsprogramm, das Investitionsvolumen und damit den Gewinn des Investi- 

tionsprogramms. Zunächst wollen wir den vollkommenen und vollständigen Kapitalmarkt 

definieren. 

1.1 Annahme eines vollkommenen und vollständigen Kapitalmarktes 

Der vollkommene Kapitalmarkt ist das grundlegende Element der neoklassischen Finanz- 

theorie. Auf einem vollkommenen und vollständigen Kapitalmarkt sind potentiellen Inves- 

toren, Kapitalnehmer und Kapitalgeber über die Vorteilhaftigkeit von (Real- 

)Investitionsprojekten einig. Deshalb können Ihre Konsumpräferenzen voneinander ab- 


5


weichen, ungeduldige und geduldige Investoren wählen dann identische 

Investionsprogramme. 

Definition eines vollkommenen Kapitalmarktes bei Sicherheit: 

Ein Kapitalmarkt ist vollkommen, wenn der Marktpreis, zu dem ein Zahlungsstrom zu ei- 

nem bestimmten Zeitpunkt gehandelt wird, für jeden Teilnehmer identisch ist, unabhängig 

davon, ob ein Marktteilnehmer als Käufer oder Verkäufer auftritt. 

kurz: wenn für Geldanlagen und Kreditaufnahmen, ein identischer Zinssatz gezahlt bzw. 

verlangt würde (EINHEITSZINS). 

Zum Beispiel wird der Kauf einer Aktie durch einen Zahlungsstrom repräsentiert. Der Käu- 

fer einer Aktie bezahlt einen Preis in Höhe des Aktienkurses und erhält dafür zukünftige 

Zahlungen in Form der Dividenden. Auch ein Kredit ist ein Zahlungsstrom, der auf dem 

vollkommenen Kapitalmarkt gehandelt wird. Der Kreditnehmer erhält heute eine Einzah- 

lung. In der Zukunft muß er die Kreditsumme inklusive Zinszahlungen an den Kreditgeber 

zurückzahlen. Wie groß ist aber der Preis eines Kredites? 

Der Preis eines Kredites, den der Kreditnehmer an den Kreditgeber zahlt, ist der Zinssatz. Ein 

Zinssatz gibt an, um wieviel Prozent pro Periode ein späteres Zahlungsverprechen (Rück- 

zahlungsbetrag) die früher entrichtete bzw. erhaltene Zahlung (Kreditbetrag) übersteigt. 

Die Definition des vollkommenen Kapitalmarktes besagt, daß jeder Zahlungsstrom nur ei- 

nen Preis hat, der sowohl für den Käufer als auch den Verkäufer gilt. Auf dem vollkomme- 

nen Kapitalmarkt gibt es daher nur einen Zinssatz, den Einheitszins. 

Der Habenzinssatz, den eine Person für Geldanlage bzw. Kreditvergabe erhält, ist gleich 

dem Sollzinssatz. Der Sollzinssatz ist derjenige Zinssatz, den ein Marktteilnehmer zahlt, 

wenn er sich Geld leiht bzw. einen Kredit aufnimmt. 

Ein vollkommener Kapitalmarkt wird durch folgende weitere Merkmale charakterisiert: 

Niemand kann den Preis eines Zahlungsstroms zu seinen Gunsten manipulieren. 

Die Märkte sind friktionslos, d.h. es gibt keine Transaktionskosten, keine Steuern und 

keine Zugangsbarrieren. 

Der Kapitalmarkt ist perfekt informationseffizient (vgl. Kap. 4) 

Auf dem Kapitalmarkt sind Informationen symmetrisch verteilt (vgl. Kap. 9) 

Auf dem Kapitalmarkt herrscht Einstimmigkeit zwischen Gesellschaftern 


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Definition eines vollständigen Kapitalmarktes 

Ein Kapitalmarkt ist vollständig, wenn jeder beliebige Zahlungsstrom - und damit auch je- 

der beliebige Anteil eines Zahlungsstroms - gehandelt werden kann. 

Kurz: bei beliebiger TEILBARKEIT aller Anlage- bzw. Kreditzahlungsströme, wenn also 

bspw. Aktien der Allianz AG teilbar und in Stückelungen von 0,01 € einzeln im Depot ge- 

halten und gehandelt werden könnten. 

Investitionsprojekte und Finanzierungsmaßnahmen, die einen Zahlungsstrom generieren, 

sind aufgrund der Vollständigkeit teilbar. 

Aufgrund der Handelbarkeit von Zahlungsströmen wird ein Marktteilnehmer immer eine 

Gegenpartei finden, die den Zahlungsstrom für den Marktpreis kauft und/oder verkauft. 

Die Vollständigkeit impliziert also unter anderem, dass ein Investor in beliebiger Höhe ei- 

nen Kredit aufnehmen kann. 

Auf einem vollkommenen und vollständigem Kapitalmarkt kann ein Investor zum einheitli- 

chen Zinssatz i Kapital in beliebiger Höhe aufnehmen und anlegen. 

Auf einem vollkommenen und vollständigen Kapitalmarkt hat jede zukünftige Zahlung ei- 

nen eindeutigen Barwert. Der Barwert ist der heutige Wert einer zukünftigen Zahlung. Um 

den Barwert zu errechnen, wird die zukünftige Zahlung auf den heutigen Zeitpunkt diskon- 

tiert: 

1.2 Modellannahmen 

Es werden nur zwei Zeitpunkte t0 und t1 betrachtet 

Sicherheit wird unterstellt 

Es existiert ein vollkommener und vollständiger Kapitalmarkt 

Investitionsentscheidungen werden ausschließlich im Interesse von Kapitalgebern 

(„Investoren“) getroffen symmetrische Informationsverteilung (vgl. Kap. 9) 

Die Investoren sind nur an ihren Konsummöglichkeiten in den zwei Zeitpunkten inte- 

ressiert. 

Der Investor verfügt in t = 0 nur über das Anfangsvermögen K 


7


1.3 Die Transformationskurve T M 

Auf einem vollkommen und vollständigen Kapitalmarkt kann ein Anleger zum Zeitpunkt 

t=0 finanzielle Mittel in beliebiger Höhe zum Einheitszins i anlegen und aufnehmen. Ein 

Investor entscheidet nun, wie er sein heutiges Anfangsvermögen K auf den Konsum in den 

beiden Perioden verteilt. Ein Teil des Anfangsvermögen K konsumiert er in t=0. Den Rest 

seines Vermögens legt er am Kapitalmarkt an und kann diesen Betrag zuzüglich Zinsen in 

t=1 konsumieren. 

Je weniger Geld der Anleger heute für Konsumeinheiten ausgibt, desto mehr zukünftigen 

Konsum kann sich der Anleger leisten. Je stärker ein Anleger Zukunftskonsum präferiert, 

desto mehr wird er anlegen. Ein Anleger, der hingegen Gegenwartskonsum präferiert, wird 

lieber heute viele Konsumeinheiten konsumieren. 

Auf der Transformationskurve T M liegen alle möglichen (c0,c1)-Kombination, die ein Anle- 

ger mit einem festgelegten Anfangsvermögen K erreichen kann. Dabei steht der Index M für 

den (vollkommenen und vollständigen) Kapitalmarkt. 


8


Gleichung 1.1: Geradengleichung der Transformationskurve T M 

TM : c ( K c ) ( 1 i) K ( 1 i) c ( 1 

i) 

1 0 0 

c0: Konsumeinheiten in t = 0, wobei 1 Geldeinheit = 1 Konsumeinheit 

c1: Konsumeinheiten in t = 1, wobei 1 Geldeinheit = 1 Konsumeinheit 

K: Anfangsvermögen 

i: Einheitszins auf dem vollkommenen und vollständigen Kapitalmarkt 

c1 

K*(1+i) 

Abbildung 1.1 

Mit steigendem Anfangsvermögen K verschiebt sich die Transformationskurve T M nach 

außen, weil dann höhere (c0,c1)-Kombinationen erreicht werden. Die Steigung der Trans- 

formationskurve T M beträgt -(1+i). Je größer der Einheitszins i ist, desto steiler verläuft die 

T M , und desto größer ist der Achsenabschnitt K*(1+i). Die Transformationskurve ist das 

Äquivalent zu der Budgetgerade in der mikroökonomischen Haushaltstheorie. 

1.4 Konsumpräferenzen 

Transformationskurve T M 

-(1+i) 

0 K 

Der Anleger hat eine Nutzenfunktion U=U(c0,c1), die sich aus dem heutigen und zukünfti- 

gem Konsum zusammensetzt. Dabei handelt der Investor rational und möchte den Nutzen 

des Konsumeinkommensstroms maximieren. In der Nutzenfunktion findet sich die Kon- 

sumpräferenz, also die Präferenz von Gegenwarts- oder Zukunftskonsum wieder. 

c0 


9


Für die Nutzenfunktion gilt die Nicht-Sättigungs-Hypothese 

U 

( c0, c1) 

U c 0 

c 

0 

0 

U 

( c0 , c1 

) 

U c 1 

c 

1 

d.h. der partielle Grenznutzen von c0 und c1 ist positiv, jede zusätzlich konsumierte Einheit 

in t=0 und t=1 erhöht den Nutzen des Investors. Aus einer Nutzenfunktion lassen sich 

Indifferenzkurven abbilden. 

Abbildung 1.2 

Jeder Punkt auf einer Indifferenzkurve (IK) stellt eine (c0,c1)-Kombination, also einen Kon- 

sumplan von heutigem und zukünftigem Konsum mit dem gleichen Nutzenniveau dar. Je 

weiter eine Indifferenzkurve nach rechts oben verschoben wird, desto höher ist der Nut- 

zen. Da die Funktion streng monoton fallend verläuft, ist die Steigung einer 

Indifferenzkurve immer negativ. Die Steigung einer Indifferenzkurve ist in jedem Punkt 

betraglich unterschiedlich. 

dc 

dc 

1 

0 

c1 

U 

 

U 

 

c0 

 

c1 

Der Betrag der Steigung einer Indifferenzkurve wird als Grenzrate der Substitution GRS 

bezeichnet. 

dc1 

dc0 

Indifferenzkurve IK 

0 c0 

Die Grenzrate der Substitution in einem Punkt sagt aus, auf wie viele Konsumeinheiten in 

t=1 ein Investor verzichtet (Zähler: dc1), wenn sein Konsum in t=0 um eine Einheit steigt 

(Nenner: dc0). Oder umgekehrt, wieviel Einheiten der Investor zusätzlich in t=1 konsumie- 

ren kann, wenn er auf eine Konsumeinheit in t=0 verzichtet. Die Grenzrate der Substitution 

0 


10


gibt das Austauschverhältnis (Trade-Off) zwischen heutigem und zukünftigen Konsum in ei- 

nem Punkt an, ohne dabei das Nutzenniveau zu verändern. 

Hat ein Investor eine sehr steile Indifferenzkurve, wird er als ein „ungeduldiger“ Investor 

bezeichnet (hohe GRS). Der Investor ist bereit, auf sehr viel zukünftigen Konsum zu ver- 

zichten, um in t=0 eine zusätzliche Einheit zu konsumieren. Dieser Investor präferiert 

Gegenwartskonsum. Dagegen wird ein Investor mit flacher Indifferenzkurve und geringer 

GRS als „geduldiger“ Investor bezeichnet, der Zukunftskonsum präferiert. 

1.5 Optimaler Konsumplan ohne (Real-) Investitionsprojekte 

Die (c0,c1)-Kombination, die den höchsten Nutzen stiftet, wird als der optimale Konsum- 

plan bezeichnet. Der optimale Konsumplan lässt sich im Tangentialpunkt von 

Indifferenzkurve und der Transformationskurve ablesen. Im Optimum ist die Steigung der 

Transformationskurve T M gleich der Steigung der Indifferenzkurve. 

Abbildung 1.3 

c1 

K * (1+i) 

c1 * 

IK 

-(1+i) 

T M 

0 c 0* K 

c0 


11


Gleichung 1.2: Optimumsbedingung 

dc 

dc 

1 

0 

U ´ c 

 

U 

´ c1 

GRS 1 

i 

0 

 

1 i 

Berechnung des optimalen Konsumplans 

Um den optimalen Konsumplan eines Investors zu berechnen, werden die Transformati- 

onskurve T M und die Optimumsbedingung, also Gleichung 1.1 und 1.2, benötigt. Das An- 

fangsvermögen K und der Einheitszins i sind gegeben. In den beiden Gleichungen tauchen 

also nur zwei unbekannte Größen auf, c0 und c1. 

In der optimalen (c0,c1)-Kombination ist also der „subjektive“ Zinssatz gleich dem Einheits- 

zins. 

1.6 Optimaler Konsumplan bei Investitionsmöglichkeiten ohne Kapitalmarkt 

Hier hat der Investor nur die Möglichkeit, Sachinvestitionen durchzuführen. Ein Kapital- 

markt, auf dem zum Einheitszins Geld investiert oder geliehen werden kann, existiert vor- 

erst nicht. Die möglichen Investitionsprojekte werden durch eine Zahlungsreihe beschrie- 

ben. In t=0 ist eine Auszahlung zu leisten und in t=1 erfolgt eine Einzahlung. Die Investiti- 

onsprojekte (IP) können unabhängig voneinander durchgeführt werden und sind beliebig 

teilbar. Die Projektrenditen werden folgendermaßen berechnet: 

e1 

r 1 

e 

0 

r: Projektrendite des IP ( Vgl. Kap 2.1.3.1 ) 

e1: Sichere Einzahlung in t = 1 

e0: Anschaffungsauszahlung in t = 0 

Die Projektrendite ist die effektive Rendite auf das eingesetzte Kapital. In der finanztheore- 

tischen Literatur wird diese Rendite als der interne Zinsfuß bezeichnet, mit dem wir uns 

in Kapitel 2 noch genauer auseinandersetzen werden. Die Projektrenditen der Investiti- 

onsprojekte werden wie im Beispiel aus dem Repetitorium berechnet, um eine Rangfolge 

der Investitionsprojekte zu bestimmen. 


12


Wie zu erwarten ist, wählt jeder der Investoren einen anderen optimalen Konsumplan und 

damit auch ein unterschiedliches Investitionsvolumen. Der „ungeduldige“ Investor inves- 

tiert weit weniger als der „geduldige“. Das Investitionsprogramm der Investoren unter- 

scheidet sich also. Was beeinflußt nun die Investitionsentscheidung ? 

Interpretation Ergebnis 

1. Die Investitionsentscheidung ist abhängig von der Konsumpräferenz des Investors (ge- 

duldig oder ungeduldig). Die Investitions- und Konsumentscheidung lassen sich somit 

nicht voneinander separieren. 

2. Aufgrund des Präferenzproblems ist es nicht möglich, eine eindeutige Aussage über die 

Vorteilhaftigkeit von Investitionsprojekten zu treffen. Die Auswahl der Projekte wird von 

den individuellen Präferenzen bestimmt. 

3. Stellen wir uns vor, die oben genannten Investitionsmöglichkeiten kann ein Unterneh- 

men realisieren, das zwei Gesellschaftern gehört. Der eine Gesellschafter ist ein „gedul- 

diger Investor“ und der andere ein „ungeduldiger“ Investor. Bei der Projektwahl wird 

es wegen des Präferenzproblemes zum Streit kommen. Es herrscht Uneinigkeit zwischen 

potentiellen Gesellschaftern. Jeder Gesellschafter wählt sein nutzenmaximierendes Pro- 

gramm. 

1.7 Fisher Modell 

In das Modell des vorherigen Abschnitts (dem Investor standen nur reale Investitionspro- 

jekte zur Verfügung und nicht der Kapitalmarkt) integrieren wir nun den vollkommen und 

vollständigen Kapitalmarkt. Damit führen wir die Überlegungen aus 1.5 und 1.6 zusammen. 

Wir werden sehen, dass der vollkommene und vollständige Kapitalmarkt das Präferenz- 

problem entschärft. 

Zunächst wird der optimale Konsumplan bei Existenz eines vollkommenen Kapitalmarkts 

und Investitionsmöglichkeiten graphisch darstellt. Aufgrund der Investitionsmöglichkeiten 

kann ein Investor jeden Punkt auf der T I erreichen. Der Investor Tim wählt z.B. den Punkt A 

(Abbildung 1.4). Der Punkt A bestimmt das Investitionsvolumen, sowie den Konsum in t=0 

und t=1. Tim hat sich auf eine Investitionsentscheidung bzw. auf ein Investitionsprogramm 

festgelegt. 


13


Die Konsumentscheidung ist jedoch noch nicht gefallen. Ausgehend von dem Punkt A näm- 

lich kann der Investor Tim auf dem vollkommenen und vollständigen Kapitalmarkt zum 

Einheitszins i beliebig Geld aufnehmen oder anlegen. Um diese erweiterten Konsummög- 

lichkeiten graphisch darzustellen, wird eine Gerade mit der Steigung -(1+i), eine 

Isobarwertlinie, durch den Punkt A gezeichnet. Diese Gerade bildet weitere (c0,c1)- 

Kombinationen ab, die der Investor Tim durch Kapitalmarkttransaktionen - Kapitalauf- 

nahme und Kreditvergabe - erreichen kann. Bei diesen Kapitalmarkttransaktionen wird 

das Investitionsvolumen aber nicht verändert. 

Wenn Tim Gegenwartskonsum präferiert und somit lieber heute mehr und sukzessive 

morgen weniger konsumieren möchte, dann nimmt er Geld am Kapitalmarkt auf und be- 

wegt sich von Punkt A auf der T IM nach rechts: 

c1 

132 IP2 

60 

Abbildung 1.4 

-1,2 

IP1 

0 60 c0 K=100 

A 

-1,5 T I T IM 

I0 

-1,25 c0 


14


Es stellt sich die Frage, welchen Punkt auf der T I ein rational handelnder Investor wählt, 

um seinen Nutzen zu maximieren. Um diesen Punkt zu finden, wird die T IM (der Index IM 

steht für Investitionsmöglichkeiten und Kapitalmarkt) nach rechts oben verschoben bis sie 

die T I tangiert. Denn ausgehend von dem Punkt P in Abbildung 1.5 können mit Hilfe von 

Kapitalmarkttransaktionen die am weitesten oben rechts liegenden (c0,c1)-Kombinationen 

erreicht werden. 

Abbildung 1.5 

Von dem Punkt P aus kann der Investor Tim sich durch Kapitalaufnahme und -vergabe auf 

der Isobarwertlinie T IM bewegen. Im Tangentialpunkt P mit der (c0,c1)-Kombination lässt 

sich das optimale Investitionsvolumen ablesen: I0 * = K - c0. 

Ausgangspunkt ist die (c0,c1)-Kombination in dem Tangentialpunkt P. Möchte ein Investor 

mit Präferenz für Gegenwartskonsum den heutigen Konsum in t=0 zu Lasten des zukünfti- 

gen Konsums erhöhen, so bewegt er sich von dem Tangentialpunkt P auf T IM nach rechts 

unten. Der Investor nimmt für Konsumzwecke in t=0 einen Kredit auf, der durch die Ein- 

zahlungen des Investitionsprogrammes in t=1 gedeckt ist. Wenn der Investor zukünftigen 

Konsum präferiert, legt er das Kapital an und bewegt sich von dem Tangentialpunkt P aus 

auf der Transformationskurve T IM nach links oben. 

Auf einem vollkommen und vollständigen Kapitalmarkt lässt sich die Investitions- und die 

Konsumentscheidung zerlegen: 

1. Der Investor bestimmt zuerst sein optimales Investitionsprogramm. 

2. Danach bedient er sich des Kapitalmarktes, um seinen Konsumpräferenzen gerecht zu 

werden. 

c1 

135 Kapitalanlage Kreditaufnahme 

132 

60 

IP2 -1,2 P 

IP1 

T I 

T IM 

-1,5 -1,25 

0 60 K=100 M=K+K0=108 

I0 * = 40 

c0 


15


Alle Investoren wählen folglich das gleiche (markt)wertmaximierende Investitionspro- 

gramm. Dieses ist allein durch den Barwert der erreichbaren Kombinationen bestimmt. 

Wie wird nun das optimale Investitionsvolumen I0 * analytisch bestimmt bzw. die optimale 

Investitionsentscheidung getroffen? 

Es werden nur die Projekte realisiert, deren Rendite größer ist als der Einheitszins auf dem 

vollkommenen Kapitalmarkt (Renditevergleich). Damit sind die Projekte besser als einer 

Kapitalanlage. Die Projekte sind somit selbst dann noch vorteilhaft, wenn ein Kredit zur 

Finanzierung der Anschaffungsauszahlung aufgenommen wird. Die Summe der Anschaf- 

fungsauszahlungen der realisierten Investitionsprojekte ist das optimale Investitionsvolu- 

men. 

Wie lautet die Geradengleichung der T IM ? 

Nehmen wir an, der Investor Tim möchte nur in t=1 konsumieren (c0 = 0). Sein maximaler 

Konsum in t=1 ergibt sich dann aus den Einzahlungen der realisierten Investitionsprojekte 

in t=1 und dem restlichen am Kapitalmarkt angelegten Geldbetrag K - I0 * inklusive Zinsen. 

Der maximale Konsum in t=1 darf nicht mit dem optimalen Konsumplan verwechselt wer- 

den. Der maximale Konsum in t=1 stellt den maximalen Konsum morgen dar, wenn heute 

in t=0 gar nichts konsumiert wird. Der maximale Konsum in t=1 ist im (c0,c1)-Diagramm 

der Achsenabschnitt (oder Ordinatenabschnitt) der T IM . Die ersten beiden Terme auf der 

rechten Seite der Gleichung 1.3 stellen den maximalen Konsum in t=1 dar. Die Steigung der 

T IM beträgt -(1+i). 

Gleichung 1.3: Geradengleichung der T IM : 

* * 

c1 E1( I0 ) ( K I 0 ) ( 1 i) c0 ( 1 i) 

 

c max 

1 

c0: Konsumeinheiten in t = 0 c1: Konsumeinheiten in t = 1 

K: Anfangsvermögen I * 0: Optimales Investitionsvolumen in t = 0 

E1: Einzahlungen in t=1 aus dem optimalen Investitionsprogramm; E1 abhängig 

von I * 0 

i: Einheitszins auf dem vollkommen und vollständigen Kapitalmarkt 


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Bevor wir uns mit dem optimalen Konsumplan beschäftigen, wollen wir untersuchen, wie 

sich der maximale Konsum in t=0 zusammensetzt. Graphisch stellt sich dieser Betrag in der 

Abbildung 1.5 als der Schnittpunkt der Transformationskurve T IM mit der Abszisse dar und 

ist mit dem Buchstaben M gekennzeichnet. 

Wenn der Investor nur heute in t=0 konsumieren möchte, dann konsumiert er in der Zu- 

kunft nichts und es gilt c1=0. Die T IM wird folglich gleich null gesetzt und nach c0 aufgelöst: 

Gleichung 1.4 

c 

max 

0 

* 

E1 I 0 * 

I 0 K 

1 i 

 

Kapitalwert des 

Inv. programms 

mit c 1 = 0 

Der Kapitalwert des Investitionsprogrammes berechnet sich, indem das Investitionsvolu- 

men in t=0 von dem Barwert der zukünftigen Einzahlungen des Investitionsprogramms in 

t=1 abgezogen wird. Der Kapitalwert wird ausführlich im Kapitel 2 besprochen. 

Gleichung 1.5: Der Kapitalwert 

K 

0 

 

* 

E I 

1 0 

1 

i 

I 

* 

0 

K0: Der Kapitalwert des Investitionsprogramms 

I * 0: Optimales Investitionsvolumen in t = 0 

E1: Einzahlungen in t = 1 aus dem optimalen Investitionsprogramm; E1 ist abhän- 

gig von I * 0 

i: Einheitszins auf dem vollkommen und vollständigen Kapitalmarkt 

Der Kapitalwert des Investitionsprogramms K0 ist die Vermögensvermehrung des 

Investors durch das Investitionsprogramm bezogen auf den heutigen Zeitpunkt t=0. 

Berechnung des optimalen Konsumplans 

Um den optimalen Konsumplan eines Investors zu berechnen, wird die T IM und die 

Optimumsbedingung, also Gleichung 1.3 und 1.2, benötigt. Im Optimum werden sich 

Isobarwertlinie und die Kurve der Sachinvestitonsmöglichkeiten gerade tangieren, da hier 

die nutzenmaximierenden Kombinationen realisiert werden können; die Steigung der Nut- 

zenfunktionen muss der der Isobarwertlinie entsprechen. 


17


Das Optimum hat folgende Charakteristika: 

1. Im Optimum ist die Zeitpräferenzrate für jeden Investor gleich dem Einheitszins. Dieser 

Einheitszins ist gleich dem Opportunitätskostensatz (=Kapitalkosten). 

2. Das optimale Investitionsvolumen steht bereits vor der Ermittlung des optimalen Kon- 

sumplans fest und ist im Fisher Fall unabhängig von der Gestalt der Indifferenzkurve 

bzw. den Konsumpräferenzen. 

Separationstheorem von Fisher: 

Existiert ein vollkommener Kapitalmarkt, so lassen sich Investitions- und Konsument- 

scheidungen separieren. 

3. Stellen wir uns vor, die oben genannten Investitionsmöglichkeiten kann ein Unterneh- 

men realisieren, das zwei Gesellschaftern gehört. Der eine Gesellschafter ist ein „gedul- 

diger Investor“ und der andere ein „ungeduldiger“ Investor. Bei der Auswahl der Inves- 

titionsprojekte wird kein Streit ausbrechen, weil die marktwertmaximierenden Projek- 

te realisiert werden. Die beiden Gesellschafter können danach ihren individuellen Kon- 

sumwünschen über Kapitalmarkttransaktionen gerecht werden. Aufgrund der präfe- 

renzfreien Bewertung von Projekten herrscht auf einem vollkommenen Kapitalmarkt 

Einmütigkeit zwischen potentiellen Gesellschaftern. 


18


Aufgaben zum FISHER-Modell 

Aufgabe 1 

Ein Investor besitzt 150 GE und kann folgende einperiodige Investitionsprojekte realisieren: 

t = 0 t = 1 

IP1 -50 100 

IP2 -50 70 

IP3 -50 55 

Es existiert ein vollkommener und vollständiger Kapitalmarkt, auf dem bei Sicherheit zum 

Einheitszinssatz von 20% beliebige Beträge aufgenommen und angelegt werden können. 

a) Ermitteln Sie die Transformationskurve T IM , die die Konsummöglichkeiten des Investors 

im (c 0, c 1 )-Diagramm abbildet. [c 0 ist der Konsum in t= 0, c1 der Konsum in t= 1]. Geben 

Sie an, welche Investitionsprojekte der Investor durchführen wird. Verdeutlichen Sie die 

Lösung anhand einer Skizze. (6 Punkte) 

b) Welchen Konsum c 0 kann ein Investor in t = 0 erreichen, der in t = 1 nichts konsumieren 

möchte (c1 = 0)? Wie setzt sich dieser maximale Konsum in t = 0 zusammen? (2 Punkte) 

c) Warum konnten Sie in Aufgabenteil a) das optimale Investitionsprogramm für den Investor 

ermitteln, ohne seine Nutzenfunktion zu kennen ? (3 Punkte) 

Aufgabe 2: Fisher-Modell (Klausuraufgabe) 

Ein Investor verfügt zum Zeitpunkt t=0 über ein Anfangsvermögen von 200 GE. Ihm stehen 

folgende teilbare, sich nicht ausschließende Investitionsprojekte zur Verfügung: 

Auszahlung Einzahlung 

in t = 0 in t = 1 

IP1 100 140 

IP2 100 110 

a) Berechnen Sie die Renditen der Investitionsprojekte und ordnen Sie die Investitionsprojekte 

nach ihren Renditen. (1 Punkt) 

b) Gehen Sie zunächst von einer Welt ohne Kapitalmarkt aus. 

- Zeichnen Sie die Transformationskurve T I für Investitionen in ein (c0;c1)- Diagramm 

für den Investor ein. (3 Punkte) 

- Verdeutlichen Sie anhand Ihrer Graphik, daß die Bestimmung des optimalen Investitionsprogramms 

nicht unabhängig von den Konsumpräferenzen des Investors erfolgen 

kann. (2 Punkte) 


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c) Gehen Sie nun davon aus, dass ein vollkommener (und vollständiger) Kapitalmarkt besteht, 

an dem zu einem Zinssatz von 20% Geld aufgenommen oder angelegt werden 

kann. 

- Berechnen Sie die Kapitalwerte der Investitionsprojekte und geben Sie die Bestimmungsgleichung 

für die Transformationskurve T IM unter Berücksichtigung des Kapitalmarktes 

an. (3 Punkte) 

- Interpretieren Sie den Schnittpunkt der Transformationskurve T IM mit der Abszisse. 

(1 Punkt) 


Ein Investor verfügt über Eigenmittel in Höhe von K = 200. Er kann zwei Investitionsprojekte 

realisieren, die beliebig teilbar sind und einander nicht ausschließen: 

e0 e1 

IP1 -100 200 

IP2 -100 125 

a) Bestimmen Sie die Gleichung der Transformationskurve T IM bei Existenz von Investitionsmöglichkeiten 

und eines vollkommenen Kapitalmarktes bei Sicherheit. Gehen Sie 

dabei von einem Kapitalmarktzins in Höhe von i = 20% aus. Geben Sie an, welche Investitionsprojekte 

realisiert werden. Verdeutlichen Sie die Lösung an einer Skizze. (5 

Punkte) 

b) Erläutern Sie das Separationstheorem von Fisher. Welche Bedeutung hat es für die Beurteilung 

der Kapitalwertmethode als Investitionsrechenverfahren? (3 Punkte) 

c) Gehen Sie nun davon aus, Kapitalanlagen seien in beliebiger Höhe zu iH = 20 % möglich, 

Kapitalaufnahmen (in beliebiger Höhe) jedoch zu iS = 40 %. Gilt nun noch das Separationstheorem 

von Fisher? (Begründung!). (2 Punkte) 


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Ein Unternehmen in der Rechtsform der AG verfügt in t=0 über 5 Mio. Euro in bar und erzielt 

in t=l einen Einzahlungsüberschuss von 6,6 Mio. Euro. Das Unternehmen kann heute 

(also in t=0) 2,5 Mio. Euro in ein Investitionsprojekt investieren, das im Zeitpunkt t=l zu 

einer sicheren Einzahlung in Höhe von 3,3 Mio. Euro führt und angesichts eines Einheitszinssatzes 

i=10% auf dem annahmegemäß vollkommenen Kapitalmarkt einen positiven 

Kapitalwert von 0,5 Mio. aufweist. Sämtliche Einzahlungsüberschüsse werden im Zeitpunkt 

ihres Anfallens ausgeschüttet. 

a) Erläutern Sie kurz die Grundidee des Fischer-Separationstheorems (l Punkt) 

b) Zeigen Sie grafisch, welche Möglichkeiten für den Alleingesellschafter des Unternehmens 

bestehen, seinen Konsum-Einkommensstrom zu gestalten, wenn das Investitionsprojekt 

i) nicht durchgeführt wird 

ii) durchgeführt wird. 

Wie hoch ist jeweils sein maximaler Konsum im Zeitpunkt t=0 bzw. im Zeitpunkt t=l? 

Tragen Sie die Punkte in Ihre Zeichnung ein. (4 Punkte) 

c) Zeichnen Sie eine von dem Gesellschafter möglicherweise präferierte Konsum- 

Einkommenskombination in Ihre Zeichnung ein, wenn dieser eher ungeduldig ist? (l 

Punkt) 

d) Angenommen, es existierten mehrere Gesellschafter mit gleichen Anteilen am Unternehmen. 

Einige besonders ungeduldige beschweren sich darüber, dass das Investitionsprojekt 

die Ausschüttung im Zeitpunkt t=0 um 2,5 Mio. Euro reduziert, wodurch ihr 

heutiger Konsum geschmälert wird. Mit welchen Argumenten würden Sie den Konflikt 

lösen, wenn Sie der/die Manager(in) des Unternehmens wären? (2 Punkte) 

e) Erläutern Sie, wieso auf einem unvollkommenem Kapitalmarkt, auf dem ein Investor zu 

10% Geld anlegen und sich zu 20% verschulden kann, die Investitionsentscheidung 

nicht losgelöst von der Konsumentscheidung getroffen werden kann. (2 Punkte) 


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Ein selbständiger Unternehmensberater beziehe aus laufenden Beratungstätigkeiten ein 

aktuelles Einkommen in Höhe von 300.000 Euro. Für die nächste Periode hat er noch keine 

Beratungsprojekte, sodass sein Einkommen in t=1 bislang 0 Euro ist. Ihm ist es aber gelungen, 

zwei weitere Aufträge für seine Firma zu gewinnen. Da er allerdings keine Expertise in 

den Bereichen der neuen Projekte besitzt, müsste er in neue Mitarbeiter investieren und je 

einen neuen Mitarbeiter pro neues Projekt engagieren. Für beide Mitarbeiter wäre in der 

aktuellen Periode eine feste Gehaltszahlung fällig, wohingegen in t=1 keine Zahlungen 

mehr geleistet werden. Der Unternehmensberater würde für die Beratungsleistung von 

seinen Kunden in t=1 von seinen Kunden eine feste Gebühr erhalten: 

Bewerber Gehaltszahlung in t=0 Beratungsgebühr in t=1 

Miller (Uni-Absolvent) 60.000 121.000 

Modigliani (Top-Berater) 225.000 275.000 

Sämtliche Zahlungen seien sicher, der Kapitalmarkt vollkommen und der Einheitszins betrage 

10%. 

a) Bestimmen Sie die für den Unternehmensberater optimale Einstellungspolitik und 

ermitteln Sie den maximal möglichen Konsum des Unternehmensberaters in t=0 

und t=1. (4 Punkte) 

b) Wie lauten Ihre Antworten zu a), wenn der Unternehmensberater nur über ein Einkommen 

von 60.000 in t=0 verfügt? (2 Punkte) 

c) Skizzieren Sie für die Ergebnisse aus a) die konsummaximierende Isobarwertlinie 

und die Indifferenzkurve des (ungeduldigen) Unternehmensberaters mit einem 

Konsumwunsch von 300.000 in t=0 in einem Diagramm. (2 Punkte) 

d) Der Unternehmensberater erfährt bei den Gehaltsverhandlungen mit Modigliani, 

dass dieser ausschließlich mit der 1. Klasse anstelle der sonst üblichen Business- 

Class zum Kunden fliegen möchte. Dies führt dazu, dass Modiglianis Einstellung zu 

Mehrkosten in Höhe von 26.000 in t=0 führen würde. Wie lautet nun das optimale 

Investitionsprogramm und wie hoch ist der maximale Konsum in t=0? (2 Punkte) 


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Lösungen zu Handout 1 

Aufgabe 1 


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Aufgabe 2 


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25


Aufgabe 3 

Merke: Hirshleifer ist im aktuellen Semester nicht klausurrelevant ! 


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Aufgabe 4 

es handelt sich bei der unteren Linie (i) um die T IM (ohne das IP durchzuführen), d.h. es wurde in 

der Aufgabenstellung bereits die aktuelle Konsumentscheidung gegeben (c0=5 und c1=6,6), bei 

einem Zins von 10% kann man c1 max berechnen: 

c1 max = 6,6 + 5*(1+0,1) = 12,1 daraus ergibt sich dann auch c0 max : 

c0 max = 12,1/(1+0,1) = 11 und mit diesen beiden Punkten lässt sich die Gerade zeichnen. 

Auch die zweite Linie (ii) ist eine T IM (allerdings eine höhere (d.h. bessere), da ein „gutes IP“ 

(Rendite > Einheitszins bzw. Kapitalwert positiv) gefunden und durchgeführt wurde. Ausgehend 

vom neuen Punkt (c0=2,5 und c1=9,9) bei Durchführung des IP lässt sich wieder c1 max berechnen: 

c1 max = 9,9 + 2,5*(1+0,1) = 12,65 daraus ergibt sich dann auch c0 max : 

c0 max = 12,65/(1+0,1) = 11,5 und mit diesen beiden Punkten lässt sich die Gerade zeichnen. 


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Aufgabe 5 


28

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