Casimir - Effekt - Institut für Physik - Humboldt-Universität zu Berlin

Casimir - Effekt 


Alexander Stark 

Institut für Physik 

Humboldt-Universität zu Berlin 

14.01.2008 

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Inhaltsverzeichnis 

1 Gedankenexperiment von Casimir 

2 / 21




2 Vakuumfluktuationen 

2 / 21





3 Moderne Experimente 

2 / 21






4 Ausblick 

2 / 21






4 Ausblick 

5 Zusammenfassung 

2 / 21






4 Ausblick 

5 Zusammenfassung 

6 Literatur 

2 / 21


Gedankenexperiment von Casimir 

Geschichtliches 

Hendrik Brugt Gerhard 

Casimir (1909-2000) 

niederländischer Physiker, arbeitete bei den 

Philips Research Laboratories 

3 / 21








untersuchte in den vierziger Jahren 

Eigenschaften von viskosen Materialien wie 

Mayonnaise 

diese Eigenschaften werden durch die ” van 

der Waals“-Kraft festgelegt 

3 / 21








untersuchte in den vierziger Jahren 

Eigenschaften von viskosen Materialien wie 

Mayonnaise 

diese Eigenschaften werden durch die ” van 

der Waals“-Kraft festgelegt 

diese Theorie konnte nur unzureichend 

experimentelle Ergebnisse erklären 

Berücksichtigung von Vakuumfluktuationen 

Zwei Platten - Gedankenexperiment von Casimir 

3 / 21



Zwei Platten - Gedankenexperiment (1948) 

zwei planparallele Platten, ideal leitend und 

ungeladen in Vakuum 

4 / 21




Casimir-Kraft: 

F = cπ2 

240d 4 A 



anziehende Kraft zwischen den Platten ⇒ 

Casimir-Kraft 

4 / 21





F = cπ2 

240d 4 A 





Eigenschaften: 

◮ nur abhängig vom Abstand und Fläche der Platten 

4 / 21





F = cπ2 

240d 4 A 







◮ sehr geringe Kraft auf makroskopischer Ebene 

(A = 1cm 2 im Abstand d = 0.5µm ⇒ F = 2 · 10 −6 N) 

4 / 21





F = cπ2 

240d 4 A 









◮ keine Abhängigkeit von Temperatur & 

Material, aber von der Geometrie 

⇒ kein Effekt der Hohlraumstrahlung 

4 / 21





F = cπ2 

240d 4 A 









◮ keine Abhängigkeit von Temperatur & 

Material, aber von der Geometrie 

⇒ kein Effekt der Hohlraumstrahlung 

Ursache der Kraft ist eine Eigenschaft des Vakuums 

Vakuumfluktuationen erzeugen den Casimir-Effekt 

4 / 21


Vakuumfluktuationen 


Energie-Zeit- 

Unschärfe: 

∆E∆t ≥ /2 

Heisenbergsche Unschärferelation 

⇒ Felder weisen Fluktuationen auf 

5 / 21




Energie-Zeit- 

Unschärfe: 

∆E∆t ≥ /2 



elektrisches Feld verschwindet im Mittel: 

〈0| E|0〉 = 0, aber 〈0| E 2 |0〉 > 0 

5 / 21




Energie-Zeit- 

Unschärfe: 

∆E∆t ≥ /2 




〈0| E|0〉 = 0, aber 〈0| E 2 |0〉 > 0 

Hamilton-Operator: 

H = 1 

 

2 dV (ɛ0 E2 + µ0 H2 ) 

5 / 21




Energie-Zeit- 

Unschärfe: 

∆E∆t ≥ /2 




〈0| E|0〉 = 0, aber 〈0| E 2 |0〉 > 0 


H = 1 

 

2 dV (ɛ0 E2 + µ0 H2 ) 

Erwartungswert der Energie: 

〈0| H|0〉 = E0 = 1 

2 ω 

5 / 21




Energie-Zeit- 

Unschärfe: 

∆E∆t ≥ /2 




〈0| E|0〉 = 0, aber 〈0| E 2 |0〉 > 0 


H = 1 

 

2 dV (ɛ0 E2 + µ0 H2 ) 

Erwartungswert der Energie: 

〈0| H|0〉 = E0 = 1 

2 ω 

Vakuumfluktuationen tragen Energie und Impuls 

⇒ erzeugen Strahlungsdruck 

5 / 21




6 / 21




außerhalb der Platten, im freien Raum 

⇒ beliebige Frequenzen ω des Vakuumfeldes 

6 / 21






innerhalb der Platten (Randbedingungen) 

⇒ nur bestimmte (resonante) Frequenzen des 

Vakuumfeldes (k = nπ/d) 

ωn = ckn = c nπ 

d 

6 / 21






innerhalb der Platten (Randbedingungen) 

⇒ nur bestimmte (resonante) Frequenzen des 

Vakuumfeldes (k = nπ/d) 

ωn = ckn = c nπ 

d 

Bilanzrechnung des Strahlungsdrucks liefert einen 

negativen Druck (anziehende Kraft) zwischen den 

Platten 

6 / 21



Herleitung der Casimir-Kraft 


1D: Zwei Punkte im Abstand d 

7 / 21






Resonator (cavity): 

Ecav = 1 

2 cπ 

d 

∞ 

n 

n=1 

7 / 21







Ecav = 1 

2 cπ 

d 

∞ 

n 

n=1 

Freier Raum: 

Efree = 1 

2 cπ 

∞ 

n dn 

d 

0 

7 / 21







Ecav = 1 

2 cπ 

d 

∞ 

n 

n=1 

Freier Raum: 

Efree = 1 

2 cπ 

∞ 

n dn 

d 

⇒ beide Energien divergent (auch ∆E = Ecav − Efree → ∞) 

0 

7 / 21







Ecav = 1 

2 cπ 

d 

∞ 

n e −αn 

n=1 

Freier Raum: 

Efree = 1 

2 cπ 

∞ 

n e 

d 

−αn dn 


⇒ Renormierung 

0 

7 / 21







Ecav = 1 

2 cπ 

d 

∞ 

n e −αn 

n=1 

Freier Raum: 

Efree = 1 

2 cπ 

∞ 

n e 

d 

−αn dn 


⇒ Renormierung 

∆E = Ecav − Efree = cπ 

2d 

⎛ 

∞ 

⎝ ne −αn 

− 

n=1 

0 

0 

∞ 

⎞ 

ne −αn dn⎠ 

7 / 21





2d 

⎛ 

∞ 


− 

n=1 

0 

∞ 

⎞ 


8 / 21




n=1 


2d 

0 

⎛ 

∞ 


− 

n=1 

0 

∞ 

⎞ 


Euler-MacLaurin Formel: 

∞ 

∞ 

f(n)− f(n)dn = − 1 1 

f(0)− 

2 2! B2 

d f(0) 1 

− 

dl 4! B4 

d3 f(0) 

+· · · 

dl 

mit den Bernoulli-Zahlen B2 = 1/6 und B4 = −1/30 

8 / 21




n=1 


2d 

0 

⎛ 

∞ 


− 

n=1 

0 

∞ 

⎞ 



∞ 

∞ 

f(n)− f(n)dn = − 1 1 

f(0)− 

2 2! B2 

d f(0) 1 

− 

dl 4! B4 

d3 f(0) 

+· · · 

dl 

mit den Bernoulli-Zahlen B2 = 1/6 und B4 = −1/30 liefert 

∆E = − cπ 

24d 

 

1 + α2 

20 + O(α4 ) 

 

8 / 21




n=1 


2d 

0 

⎛ 

∞ 


− 

n=1 

0 

∞ 

⎞ 



∞ 

∞ 

f(n)− f(n)dn = − 1 1 

f(0)− 

2 2! B2 

d f(0) 1 

− 

dl 4! B4 

d3 f(0) 

+· · · 

dl 


∆E = − cπ 

24d 

 

1 + α2 

20 + O(α4 ) 

 

= 

α→0 −πc 

24d 

8 / 21




n=1 


2d 

0 

⎛ 

∞ 


− 

n=1 

0 

∞ 

⎞ 



∞ 

∞ 

f(n)− f(n)dn = − 1 1 

f(0)− 

2 2! B2 

d f(0) 1 

− 

dl 4! B4 

d3 f(0) 

+· · · 

dl 


∆E = − cπ 

24d 

 

1 + α2 

20 + O(α4 ) 

⇒ Casimir-Kraft in 1 Dimension: 

F = − ∂∆E 

∂d 

 

= − cπ 

24d 2 

= 

α→0 −πc 

24d 

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3D: Spiegel der Fläche A im Abstand d 

∆E = Ecav − Efree = Ac 

π 2 

− d 

∞ 

π 

0 

dkx 

∞ 

0 

dky 

∞ 

0 

 

∞ 

dkz 

n=1 

0 

∞ 

dkx 

∞ 

0 

dky 

 

 

k2 x + k2 y + k2 

z 

k 2 x + k 2 y + 

= − cπ2 

A 

720d3 

nπ 

2 d 

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3D: Spiegel der Fläche A im Abstand d 

∆E = Ecav − Efree = Ac 

π 2 

− d 

∞ 

π 

0 

dkx 

∞ 

0 

dky 

∞ 

0 

 

∞ 

dkz 

n=1 

0 

⇒ Casimir-Kraft in 3 Dimensionen: 

F = − ∂∆E 

∂d 

∞ 

dkx 

∞ 

0 

dky 

 

 

k2 x + k2 y + k2 

z 

cπ2 

= − A 

240d4 k 2 x + k 2 y + 

= − cπ2 

A 

720d3 

nπ 

2 d 

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Moderne Experimente 

Umar Mohideen und Anushree Roy (1998) 1 

FSp = − cπ3 R 

360d 3 

Messung der Casimir-Kraft FSp zwischen 

einer Kugel und einer Platte 

1 U. Mohideen, A. Roy, Precision Measurement of the Casimir Force, Phys. Rev. Lett. 1998, 81, 4549. 

10 / 21





360d 3 



Polysterolkugel R = (100 ± 4)µm mit Gold 

beschichtet in Abständen d von 0.1µm bis 

0.9µm 


10 / 21





360d 3 





0.9µm 


10 / 21




11 / 21




11 / 21








0.9µm 

Laserstrahl mißt die Auslenkung des Trägers 

(cantilever) 

⇒ atomare Kraftmikroskopie 

1 U. Mohideen, A. Roy, Precision Measurement of the Casimir Force, Phys. Rev. Lett. 1998, 81, 4549. 11 / 21








0.9µm 

Laserstrahl mißt die Auslenkung des Trägers 

(cantilever) 

⇒ atomare Kraftmikroskopie 

Ergebnis: 

Eine Abweichungen von nur 1% zwischen 

Experiment und Theorie 

1 U. Mohideen, A. Roy, Precision Measurement of the Casimir Force, Phys. Rev. Lett. 1998, 81, 4549. 11 / 21



Frederico Capasso (2001) 1 

Untersuchung des Einflusses der Casimir-Kraft 

auf einen mikromechanischen Oszillator 

(MEMS = Micro-Electro-Mechanical System) 

1 H. B. Chan, V. A. Aksyuk, R. N. Kleiman, D. J. Bishop and F. Capasso, Nonlinear Micromechanical Casimir 

Oscillator, Phys. Rev. Lett. 2001, 87, 211801-1. 

12 / 21









12 / 21



Frederico Capasso (2001) 

Abbildung: mikromech. Oszillator (Frederico Capasso, BellLabs) 

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Oszillator: 3.5µ dick, 500µm 2 Fläche 

Polysterolkugel: R = 100µm 

⇒ goldbeschichtet 



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Oszillator: 3.5µ dick, 500µm 2 Fläche 

Polysterolkugel: R = 100µm 

⇒ goldbeschichtet 

Casimir-Kraft verändert 

Schwingungseigenschaften des Oszillators 

(nichtlineare Effekte) 

Casimir-Kraft ermöglicht die Steuerung von Mikromaschinen und MEMS 



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Abbildung: MEMS und Käfer (Sandia National Laboratories) 

15 / 21


Ausblick 

Ausblick 

Existenz neuer fundamentaler Kräfte 

◮ Abweichungen des Gravitationsgesetzes auf kleinen Abständen 

16 / 21


Ausblick 

Ausblick 



Levitation bei MEMS und NEMS 

◮ Einsatz von Meta-Materialien (ɛr = µr = −1, left-handed) 

zwischen den Platten erzeugt repulsive Casimir-Kraft 

16 / 21


Ausblick 

Ausblick 






Lösung des Energieproblems? 

◮ unwahrscheinlich, Gegenstand der Forschung, Breakthrough 

Propulsion Physics Project NASA 

16 / 21


Ausblick 

Ausblick 






Lösung des Energieproblems? 

◮ unwahrscheinlich, Gegenstand der Forschung, Breakthrough 

Propulsion Physics Project NASA 

Alternative Interpretation des Casimir-Effektes 

◮ Casimir-Effekt auch ohne Vakuumfluktuationen beschreibar 

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Zusammenfassung 


17 / 21




Casimir-Effekt: 

Kraft zwischen ungeladenen Objekten 

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erzeugt durch Vakuumfluktuationen 

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je nach Geometrie attraktiv oder repulsiv 

17 / 21








Experimente: 

Bestättigung der theoretischen Vorhersagen 

17 / 21








Experimente: 


Anwendung in MEMS 

17 / 21








Experimente: 


Anwendung in MEMS 

Grundlagenforschung (neue fundamentalle Kräfte) 

17 / 21


Literatur 

Literaturangaben 

A. Lambrecht, Phys. Unserer Zeit, 2005, 36(2), 85 

H. G. B. Casimir, Kon. Ned. Akad. Wet., 1948, 51, 793. 

M. Spaarnay, Physica 1958, 24, 751. 

U. Mohideen, A. Roy, Phys. Rev. Lett. 1998, 81, 4549. 

H. B. Chan et al., Science 2001, 291, 1941. 

R. L. Jaffe, Phys. Rev. D 72, 021301(R) (2005) 

Milonni P.W. The quantum vacuum: An introduction to QED (Academic 

Press, 1994) 

V. M. Mostepanenko, N. N. Trunov, The Casimir Effect and its 

Applications (Oxford Academic Press, 1997) 

K. A. Milton, Casimir Effect: Physical Manifestation of Zero-Point Energy 

(World Scientific, 2001) 

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Ich bedanke mich für Eure Aufmerksamkeit. 

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Sparnaay (1958) 1 

20 / 21



1 M. J. SPARNAAY, MEASUREMENTS OF ATTRACTIVE FORCES BETWEEN FLAT PLATES (1958), 

Physica XXIV (751-764) 20 / 21



Messgenauigkeit der anziehenden Kraft bei 10 −9 N 


Physica XXIV (751-764) 20 / 21



Messgenauigkeit der anziehenden Kraft bei 10 −9 N, aber 

Hysterese des mechanischen Hebewerks 

⇒ große Ungenauigkeit der Messung des Abstandes d 


Physica XXIV (751-764) 20 / 21



20 / 21



Messgenauigkeit der anziehenden Kraft bei 10 −9 N, aber 

Hysterese des mechanischen Hebewerks 

⇒ große Ungenauigkeit der Messung des Abstandes d 

Schlussfolgerung von Sparnaay: 

Experimentelle Resultate sind nicht im Widerspruch mit den 

theoretischen Vorhersagen von Casimir. 


Physica XXIV (751-764) 20 / 21



Abbildung: mikromechanischer Oszillator 

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Casimir - Effekt - Institut für Physik - Humboldt-Universität zu Berlin

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