Darf's etwas mehr sein? - wbk-ag

Darf ’s etwas mehr sein?
Als Jean wieder auf ihrem Zimmer war, fühlte sie das Bedürfnis, das Wichtigste, das sie über Abbildungen gelernt
hatte, noch einmal geordnet aufzuschreiben.
1. Abbildungen oder Funktionen sind spezielle Paarmengen. Um sie zu beschreiben, benötigt man dreierlei:
die Definitionsmenge D, deren Elemente die erste Komponente der Zahlenpaare bilden, die Zielmenge
Z, aus der die zweiten Komponenten gewählt werden, und eine eindeutige Zuordnungsvorschrift,
die angibt, welches Element von D auf welches Element von Z abgebildet wird. Als Variable
für die Elemente von D benutzt man in der Regel x, für Z nimmt man y. Die Schreibweisen (x, y)∈f
und f: x a y sind gleichwertig.
2. Für die Angabe der Abbildungsvorschrift gibt es mehrere Möglichkeiten, eine rein verbale Beschreibung
der Zuordnung oder die Angabe eines Terms mit der Variablen x, des Funktionsterms f(x), und
zwar in der Form f: x a f(x) oder auch f: y = f(x). Im endlichen Fall kann man die Funktion f auch
durch Hinschreiben der Paarmenge angeben, etwa in Form einer Tabelle.
3. Es besteht die Möglichkeit, die Paarmenge f in einem ebenen Koordinatensystem darzustellen, vielfach
in einem kartesischen System, bei dem die Achsen aufeinander senkrecht stehen und auf beiden Achsen
der gleiche Maßstab verwendet wird.
Bei der Unterscheidung von injektiven und surjektiven Abbildung hatte sie Schwierigkeiten. Darüber wollte sie
noch mal mit ihrem Vater sprechen. Und da war noch diese Frage, die sie eigentlich nicht verstanden hatte, nämlich ob
sie auch sicher sei, daß kein Punkt aus der Reihe tanze. Als sie am nächsten Tag ihren Vater auf dem Campus aufsuchte
und ihm die Notizen zeigte, las Karl Icks die drei Punkte sorgfältig durch und meinte, sie solle noch den Begriff der
Wertemenge in die Liste aufnehmen, also die Menge der Bilder der Elemente von D, die ja nicht mit der Zielmenge
übereinstimmen müsse. Eine übliche Bezeichnungsweise sei f[D], wobei natürlich f[D] ⊂ Z gälte. Statt f[D] schreibe
man auch schon mal Wf.
„Gilt f[D] = Z, so spricht man von einer Abbildung von D auf Z, wobei es keine Rolle spielt, ob f eventuell. auch
mehrere Elemente von D auf ein und dasselbe Element von Z abbildet. Das sind dann die surjektiven Abbildungen,
von denen wir schon gesprochen haben.“
Auf einem Blatt skizzierte er die Zusammenhänge. (Abb. 109)
Abb. 109
„Läßt man zu, daß f[D] auch eine echte Teilmenge von Z sein kann, so spricht man von einer Abbildung von D
in Z. Hierbei betrachtet man allerdings nur Abbildungen, bei denen jedes Element von D auf genau ein Element von Z
abgebildet wird. Diese Abbildungen nennt man injektiv.“
Auch dies veranschaulichte Karl Icks auf dem Blatt. (Abb. 110)
„Von besonderer Bedeutung“, fuhr er fort, „sind die Abbildungen, die beide Eigenschaften haben, die also sowohl
injektiv als auch surjektiv sind. Die nennt man dann bijektiv.“
Jean überlegte einen Augenblick „Dann hat also jedes Element von D genau ein Bild in Z und jedes Element von
Z genau ein Urbild in D?“
„Ja, und daher nennt man diese bijektiven Abbildungen auch umkehrbare Abbildungen. Wie ist es denn mit der
Abbildung, die wir gestern betrachtet und graphisch dargestellt haben?“
332

Abb. 110
Etwas Lauerndes lag in Karls Blick, und das war für Jean ein untrügliches Zeichen, daß sie aufpassen mußte.
„Nun“, begann sie zögernd, „das hängt davon ab, wie wir D und Z wählen. Betrachten wir die Funktion von gestern,
also f: x a 0,3x 2 – 0,2x – 0,5 als Abbildung von R nach R, dann besitzt sie keine der drei Eigenschaften. Am
besten ich bestimme mal die Koordinaten des Punktes mit der kleinsten Ordinate, den es ja nach dem Schaubild geben
muß.“
„Du meinst den Tiefpunkt der Kurve, den Scheitelpunkt der Parabel. Und wie machst du das?“
Das hatte sich Jean schon am Vorabend überlegt. Der Term 0,3x 2 – 0,2x – 0,5 ließ sich auf eine andere Form
3 2 5
( −
10 3 3
bringen, nämlich x − 2 x ) , woraus durch quadratische Ergänzung. x − 2 x + 1 ) wurde. Der Term
3 2
)
8
333
3 2
16
( −
10 3 9 9
0,3x 2 – 0,2x – 0,5 war also äquivalent zu ( x − 1 − . Und den kleinsten Wert, den das Quadrat annehmen konnte
10 3 15
war 0, und zwar wenn man für x 1 einsetzte.
3
3 2
)
„Ich schreibe den Funktionsterm“, erklärte sie ihrem Vater, „in der äquivalenten Form als ( x − 1 − . Das
10 3 15
Quadrat wird 0, wenn ich für x 1 einsetze, so daß der Tiefpunkt T das Koordinatenpaar ( 1 8 ; − ) besitzt. Für x ≥ 1
3
3 15
3
8
umfaßt die Wertemenge dann alle reellen Zahlen von − an aufwärts.“
15
Ihr Vater lächelte zufrieden. „Du meinst – um es mal mit Hilfe der Zahlengeraden auszudrücken – die Werte-
8
8
menge ist das linksseitig abgeschlossene Intervall von − bis Unendlich, dafür schreibt man auch [ − ; +∞ ) .“
15
15
8
„Die Abbildung f*: R → [ − ; +∞) ist dann surjektiv, und wenn ich die Definitionsmenge auf [ 1 ; +∞) ein-
15
3
schränke, sogar bijektiv.“
„Richtig, für diese Argumente – so nennt man in der Funktionensprache die Elemente der Definitionsmenge – ist
die Funktion umkehrbar eindeutig. Halten wir das fest: Schränken wir die Funktion f* ein, so erhalten wir die bijektive
Funktion fˆ : [ 1 ; ) 3
8
+∞ → [ 15
− ; +∞ ) ; x a 0,3x 2 – 0,2x – 0,5. Bleiben wir mal bei fˆ 1
. Nach dem Schaubild handelt es
sich um eine streng wachsende Funktion, oder wie man in der Mathematik sagt, eine streng monoton wachsende Funktion.“
„Wieso ‘monoton’?“ fragte Jean, die an Musik dachte.
“Das Wort ‘monoton’ soll andeuten, daß die Funktion dieses Verhalten, also hier das Anwachsen, durchweg in
der ganzen Definitionsmenge zeigt. Über ‘streng’ haben wir ja schon gesprochen. Aber können wir uns auf das Kurvenbild
verlassen?“
„Wir brauchen doch nur zu zeigen, daß für alle x aus D gilt: f ˆ (x2)> f ˆ (x1), wenn x2 > x1.“
„Nur? Formuliere doch mal die Behauptung vollständig, die du beweisen willst.“
In diesem Augenblick, klopfte es an der Tür und Dr. Wye betrat den Raum und begrüßte die beiden..
„Laßt euch nicht stören, ich will nur mal eben etwas nachschlagen.“
Er nahm ein Buch aus dem Regal, setzte sich auf einen Stuhl am Fenster und begann zu lesen.
Jean hatte inzwischen die Behauptung notierte:
Wenn x2 > x1 > 1 2
, dann 0,3 x 3
2 – 0,2x2 – 0,5 > 0,3x 2 1 – 0,2x1 – 0,5.
„Und jetzt?“
Irgendwie mußte doch der Tiefpunkt eine Rolle spielen, überlegte Jean.
3 2 8
„Ich glaube, wir sollten den Term ( x − 1)
− , der doch zum Funktionsterm äquivalent ist, verwenden. We-
10 3 15
gen des strengen Wachsens der Potenzen bei positiver Basis 2 gilt dann für x2 > x1 > 1 auch die Ungleichung (x2 - 1 2
) >
3
3
(x1 - 1 2
) , woraus die Behauptung folgt.“
3
„Gut, also für jedes x aus der Definitionsmenge gibt es einen Funktionswert, und diese Werte steigen für wachsendes
x streng monoton an, aber rechtfertigt das schon, die Kurve sozusagen ohne Absetzen in einem durchzuzeichnen.?“
„Jetzt verstehe ich, was du mit ‘aus der Reihe tanzen’ gemeint hast. Du glaubst, die Funktionswerte könnten irgendwo
mal einen Sprung machen?“
8

„Wie bei der Postfunktion.“
Karl Icks und Jean schauten erstaunt zu John Wye hinüber.
„Nun, ja“, lächelte John Wye, „von einer solchen Sprungfunktion lebt doch die Post.“
„Wie meinst du das, Onkel John?“
„Du weißt doch“, erklärte John Wye, „daß für Briefe bis 20 g das gleiche Porto zu bezahlen ist, auch wenn ihr
Gewicht geringer als 20 g ist. Weitere Stufen sind 20 g bis 50 g, 50 g bis 500 g usw.“
„Ja, und? Die Zuordnung von Gewicht zu Porto kann man als eine surjektive Funktion auffassen,“ stellte Jean
fest.
„Richtig“, und der Schelm blitzte aus Johns Augen, „aber nicht jeder Brief wiegt 20 g. Und von dem Geschäft
lebt die Post.“
Jean fühlte sich ein wenig auf den Arm genommen, aber Onkel John konnte man nicht böse sein.
Karl Icks griff den Faden wieder auf.
„Also, ob ich glaube, daß die Funktionswerte bei deiner Funktion keine Sprünge machen – wie bei der Postfunktion“,
fügte er schmunzelnd hinzu, „ist hier nicht von Belang. Weißt du sicher, daß keine Sprünge auftreten?“
„Ja, wenn das Argument x ein klein wenig größer wird, dann wird auch der Funktionswert y nur um einen geringen
Betrag ansteigen, und je kleiner der Anstieg beim Argument ausfällt, um so kleiner ist er beim Funktionswert.“
„Das ist ja wie beim Metzger“, lachte Karl Icks, „da widerspricht auch keine Hausfrau, wenn der fragt ‘Darf’s
etwas mehr sein?’, denn jede weiß, wenn das Gewicht ein wenig zunimmt, steigt auch der Preis nur geringfügig an.“
„Therefore prepare thee to cut off the flesh.
Shed thou no blood, nor cut thou less nor more
But just a pound of flesh: if thou cut'st more
Or less than a just pound, be it but so much
As makes it light or heavy in the substance,
Or the division of the twentieth part
Of one poor scruple, nay, if the scale do turn
But in the estimation of a hair,
Thou diest and all thy goods are confiscate.
Shakespeare, Porzia zu Shylock”, lächelte John Wye, „nicht alle Frauen sind so großzügig, manche nehmen’s
sehr genau.“ 3
„Das ist doch ihr gutes Recht“, erwiderte Jean in einem etwas schnippischen Ton und schaute ihren Vater vielsagend
an. Und nach einigem Überlegen meinte sie:
„Die Beziehung zwischen Gewicht und Preis ist doch eine einfache Proportionalität, da muß man doch beweisen
können, daß keine Sprünge auftreten?“
„Und wie? Wir haben ja schon mal darüber gesprochen, daß das Gefühl für die Notwendigkeit eines Beweises
nicht bei allen Menschen gleich ist. Aber eins ist klar, die Parabel ist nur eine Veranschaulichung des Zusammenhangs
der zwischen den Koordinaten besteht. Welche Eigenschaft der Funktion entspricht der Tatsache, daß wir die Parabel
ohne abzusetzen zeichnen können? Die Mathematiker nennen solche Kurven stetig, oder besser die zugehörigen Funktionen.
Um nun zu zeigen, daß eine bestimmte Funktion stetig ist, muß man erst einmal eine Definition des Begriffs
‘stetig’ geben. Offensichtlich ist Stetigkeit eine lokale Eigenschaft, z. B. sagt man, eine Funktion f sei für x = 2 oder
auch an der Stelle 2 stetig. Ist eine Funktion f für alle Stellen (Argumente) in einem Intervall I stetig, so nennt man f
stetig im Intervall I.“
Jean machte ein ernstes Gesicht.
„Ich sehe ja ein, daß wir für einen mathematischen Beweis eine Definition der Stetigkeit brauchen, aber wie soll
die aussehen?“
„In der Geschichte der Mathematik hat es auch sehr lange gedauert, bis sich die heute übliche Definition, die auf
Arbeiten von Karl Weierstrass 4 fußt, durchgesetzt hat.“
Karl Icks blätterte in seinen Vorlesungsunterlagen.
„Hier, in ‘A.L. Cauchys 5 Vorlesungen über die Differenzialrechnung’ 6 aus den zwanziger Jahren des 19. Jahrhunderts
findet sich folgendes.
Wenn die Function f(x) nur einen einzigen und endlichen Werth für alle zwischen zwei gegebenen
Grenzen liegende Werthe von x haben kann, und die Differenz:
f(x + i) – f(x)
zwischen diesen Grenzen stets eine unendlich kleine Größe ist; so sagt man, daß f(x) eine continuirliche
(stetige) Function von x ist, zwischen den gedachten Grenzen.
Im Abschnitt zuvor vermerkt der Autor, daß i eine unendlich kleine Größe sei.“
„Aber ist das nicht genau das, was ich eben gesagt habe, nur etwas mathematischer ausgedrückt?“
Jeans Betonung des Wortes ‘mathematischer’ ließ erkennen, was sie davon hielt. Dann fragte sie:
„Wie groß oder besser wie klein ist denn unendlich klein?“
334

„Vielleicht ein Gran? Doch Scherz beiseite, Jean, deine Kritik setzt genau an der richtigen Stelle an. 7 Was würdest
du tun, um zu zeigen, daß f(x) dem Funktionswert f(x0) nicht beliebig nahe kommt, obwohl sich das Argument x
der Zahl x0 immer mehr nähert, daß also f(x) an der Stelle x0 unstetig ist?“
Nach einiger Zeit des Überlegens meinte Jean, sie würde zeigen, daß f(x) einen gewissen Abstand von f(x0) nicht
unterschreiten könne, so nahe x auch an x0 heranrücke.
„Gut, du nennst also eine kleine positive Zahl, nennen wir sie ε, die deiner Meinung nach von f(x) – f(x0) nicht
unterschritten werden kann. Anders ausgedrückt, du wählst ein Intervall um f(x0) herum, in das kein Funktionswert f(x)
mehr hineinfällt, auch wenn du noch so nahe mit x an x0 heranrückst.“
„Ja, aber kann man das Heranrücken von x nach x0 nicht auch mit Hilfe eines Intervalls um x0 beschreiben?“
„Natürlich, das geht.“
Bei diesen Worten begann Karl Icks eine Skizze anzufertigen, zwei parallele Zahlengeraden übereinander.
Abb. 111
Die Skizze (Abb. 111) soll die Zuordnung f: x a 3x veranschaulichen. Das schraffierte offene Intervall um 2
wird auf das ebenfalls schraffierte offene Intervall um 6 abgebildet. So müßte es jedenfalls aussehen, wenn die Funktion
f(x) in der Umgebung der Stelle 2 stetig ist. Aber du wolltest ja die Intervalle beschreiben.“
„Ja, das offene Intervall um f(x0) als Mittelpunkt mit der Länge 2ε läßt sich durch f ( x)
− f ( x 0 ) < ε angeben.“
„Richtig, und dann wäre das Intervall um x0, dessen Länge ich mit 2δ bezeichnen will, durch die folgende Ungleichung
gegeben: x x < δ “, ergänzte Karl Icks und schrieb beide Ungleichungen unter die Skizze.
− 0
„Weißt du, solche Ungleichungen lassen sich auch verwenden, um Fertigungstoleranzen vorzugeben und zu
bestimmen“, meinte John Wye.
„Fertigungstoleranzen?“ Jean schaute Onkel John fragend an.
„Ja, wenn z. B. einer Fabrik die Auflage gemacht wird, daß der Durchmesser der von ihr hergestellten Stahlkugeln
bei einem Solldurchmesser von 10 mm um höchstens 0,1 mm abweichen darf, dann...“
„Dann muß der Durchmesser d der Ungleichung |d – 10| ≤ 0,1 genügen“, beendete Jean den Satz.
„Richtig, aber wie sieht es aus, wenn das Gewicht G der Kugeln nur um 0,1 % vom Sollwert G0 abweichen darf?
Ist der Zusammenhang zwischen dem Gewicht G und dem Durchmesser d bekannt – also G = γπ
6
335
1 d 3 – so wäre die
Frage: Um wieviel darf d von 10 mm abweichen, damit |G – G0| ≤ 0,001G0 gilt?“
„Dann müßte ich“, stellte Jean fest, „eine positive Zahl δ bestimmen, so daß folgendes gilt: Wenn |d – 10| ≤ δ ,
dann γπ
6
1 |d 3 - 10 3 | ≤ 0,001 G0.“
„Ja, aber nehmen wir ein einfacheres Beispiel aus der Geometrie. Welche Genauigkeit muß bei der Seitenlänge
von 3 cm bei einem Quadrat eingehalten werden, um bei der Quadratfläche eine Genauigkeit von ± 0,014 cm 2 sicherzustellen?“
„In diesem Fall müßte ich eine positive Zahl δ so bestimmen, daß folgendes gilt:
Wenn |x – 3| ≤ δ , dann |x 2 - 9| ≤ 0,014.
Wenn x die Seitenlänge ist,“ fügte Jean noch hinzu.
„Der Trick besteht nun darin“, erklärte ihr Vater, „den Term |x 2 – 9| mit Hilfe von |x – 3| auszudrücken, z. B.
kann man schreiben x 2 – 9 = (x – 3)(x + 3) = (x – 3) [(x – 3) + 6].“
„Also |x 2 - 9| = |(x – 3) +6| |x - 3| ? Aber was mache ich mit |(x – 3) +6| ?“
„Nun zunächst machen wir eine Abschätzung für diese Zerlegung. Für die Beträge gilt nämlich folgendes:
|a + b| ≤ |a| + |b|. Also
|(x – 3) + 6| ≤ |x - 3| + 6 und damit |x 2 - 9| ≤ (|x – 3| + 6) |x – 3|.
Nehmen wir nun einmal an, es gälte |x – 3| < 1,also |x – 3| + 6 < 7, dann erhielten wir |x 2 – 9| ≤ 7|x – 3|“.
„Unser Ziel war aber doch“, warf Jean ein, „eine Zahl δ zu finden, so daß gilt:
Wenn |x – 3| < δ , dann |x 2 – 9| < 0,014?
„Stimmt, Jean, aber unter Voraussetzung |x – 3| < 1 genügt es, eine Zahl δ zu finden, so daß gilt:
Wenn |x – 3| < δ , dann 7|x – 3|.< 0,014.“
Jean betrachtete den letzten Satz, den ihr Vater notiert hatte.
„Für δ = 0,002 ist die Bedingung erfüllt“, stellte sie fest, „und da 0,002 < 1 gilt, haben wir:
Wenn |x – 3| < 0,002, dann |x 2 – 9| ≤ 7|x – 3| < 0,014.“
Jean schien sichtlich zufrieden, aber ein Blick zu Onkel John zeigte ihr, daß da wohl noch etwas nicht stimmte.

„Ja, Jean“, lächelte der, „ein ordentlicher Beweis ist das noch nicht. Dazu muß man bekanntlich von einer wahren
Aussage ausgehen und mit der Behauptung enden. Eure Überlegung diente dazu, ausgehend von der Behauptung
diese wahre Ausgangsbehauptung zu finden.“
„Du meinst
Wenn |x – 3| < 0,002, dann 7|x – 3| < 0,014 ?“
„Ja, und jetzt zurück!“
Jean begann zu schreiben. Wenn |x – 3| < 0,002, dann 7|x – 3| < 0,014
Wenn |x – 3| < 0,002, dann |6 + 1|·|x – 3| < 0,014
„Wenn |x – 3| < 1, kann ich 1 durch |x – 3| ersetzen, ohne die Ungleichung zu verletzen.“
Wenn |x – 3| < 0,002, dann |6 + |x – 3||·|x – 3| < 0,014
Wenn |x – 3| < 0,002, dann |6 + (x – 3)|·|x – 3| < 0,014
John Wye schaute Jean fragend an.
„Ja, |6 + |x – 3|| = ||6| + |x – 3|| ≥ |6 + (x – 3)|, das hat mein Vater doch eben auch verwendet:“
Ein Lächeln auf Johns Gesicht veranlaßte Jean weiterzuschreiben.
Wenn |x – 3| < 0,002, dann |x + 3|·|x – 3| < 0,014
Wenn |x – 3| < 0,002, dann |x 2 -9| < 0,014
„Na, ja“, meinte Karl Icks, „so ist es klarer, aber...“
„Wie sieht es aus, wenn man die Fehlerschranke weiter heruntersetzt?“ unterbrach ihn John Wye.
„Wir könnten doch für die Fehlerschranke eine Variable ε einführen, oder?“ Jean schaute die beiden fragend an.
„Gut“, meinte Karl Icks, „dann gehen wir aus von der wahren Behauptung
ε Wenn |x – 3| < 1 und |x – 3| < , dann 7|x – 3| < ε
7
oder
ε Wenn |x – 3| < min (1, ), dann 7|x – 3| < ε
7
und...“
„Jetzt kann ich den Beweis abschreiben, ich muß nur 0,014 durch ε ersetzen“, freute sich Jean, „es gilt also
ε 2
Wenn |x – 3| < min (1, ), dann |x – 9| < ε .“
7
Damit waren auch Karl Icks und John Wye einverstanden. Karl ging zur Tafel und zeigte auf die Tafelskizze
(Abb. 111).
„Eigentlich hat uns John vom Thema abgebracht, Jean. Du hattest doch behauptet, kleiner als ε könne die Differenz
der Funktionswerte f(x) und f(x0) nicht werden, auch wenn ich noch so nah an x0 heranrücke.“
„Ja.“
Angenommen, ich könnte nun beweisen, daß ich diese Schranke doch unterschreiten kann, was dann?“
„Ich würde eine noch kleinere Zahl für ε wählen, natürlich eine positive.“
„Und wenn ich auch diese unterschreiten kann?“
„Dann müßte ich sehen, ob ich eine noch kleinere wählen kann. Aber was soll das, so kommen wir doch nie zu
einem Ende.“
John Wye hatte sein Buch zurückgestellt und hörte aufmerksam zu.
„Vielleicht doch“, mischte er sich in die Unterhaltung ein, „erinnerst du dich an den Beweis des Euklid über die
Primzahlen?“
„Du meinst den Beweis, daß es unendlich viele Primzahlen gibt?“
„Genau, was war der entscheidende Beweisgedanke?“
„Nun, wir haben gezeigt, daß es zu jeder angenommenen größten Primzahl eine größere gibt. Entscheidend war
dabei, daß diese Konstruktion einer größeren Primzahl auf Grund allgemeingültiger mathematischer Lehrsätze stets
möglich ist.“
John Wye nickte und schaute Karl Icks schweigend an.
„Du meinst“, begann Jean nach einer Weile, „ich gebe ein ε vor, du widerlegst meine Behauptung, daß diese
Schranke ε nicht unterschritten werden kann durch die Angabe eines geeigneten δ, d. h. durch die Angabe eines Intervalls
um x0 herum. Wähle ich x aus diesem Intervall, so liegt der zugehörige Funktionswert f(x) näher an f(x0) als ε .
336

Und diese Bestimmung von δ ist so beschaffen, daß sie für jedes noch so kleine ε möglich ist. Du kannst also meine
Behauptung, daß f(x) dem Funktionswert f(x0) nicht beliebig nahe kommt, stets widerlegen. Ja“, sie zögerte einen Augenblick,
„dann muß meine Behauptung falsch sein.“
„Gut, wenn du zustimmst, daß damit das, was man unter ‘beliebig nahe kommen’ versteht, präzise erfaßt ist,
dann können wir das zur Definition der Stetigkeit verwenden. Die Mathematiker nennen eine Funktion f an der Stelle x0
stetig, wenn sich zu jeder – noch so kleinen – positiven reellen Zahl ε eine positive reelle Zahl δ bestimmen läßt, derart
daß für alle x, die der Ungleichung 0 x x − < δ genügen, die Ungleichung ) x ( f ) x ( f − 0 < ε erfüllt ist.“
John Wye war inzwischen zur Tafel hinübergegangen und meinte, Jean könne ja jetzt mal beweisen, daß die
Funktion f: y = 0,3x 2 – 0,2x – 0,5 z. B. an der Stelle 5 stetig sei.
„Du kannst ja erst mal ein bestimmtes ε wählen“, meinte er.
„10 -4 2
“, schlug Jean vor, „f(5) = 6, also gilt f ( x)
6 0,
3x
0,
2x
6,
5
− = − − .“
Aber dann wußte sie nicht mehr weiter.
„Irgendwie muß ich diesen quadratischen Term mit x − 5 in Zusammenhang bringen“, meinte sie.
„Vielleicht hilft die Substitution z für x – 5?“ schlug John Wye vor.
2
− der Term 0,3(z 2 + 10z + 25) – 0,2(z + 5) – 6,5 oder auch
„Also z + 5 für x? Dann würde aus 0,
3x
0,
2x
− 6,
5
0,3z 2 + 2,8z. Jetzt muß ich δ so bestimmen, daß gilt: Wenn 0 < z < δ, dann 0 < 0,3z 2 + 2,8z < 10 -4 .“
Nachdenklich blickte Jean auf die Tafel.
„Ich löse jetzt mal die Gleichung 0,3z 2 + 2,8z – 10 -4 = 0; z 2 28 + z - 1
196
3
3 = 0, also z = − 14 + + 1
3 . Da aber
gilt: z > 0, nehme ich nur die positive Wurzel und erhalte als ein geeignetes δ die Zahl 14
1
3
337
3⋅10
3
3
− + + .
Gilt jetzt 0 < z < δ , dann auch 0,3z 2 + 2,8z < 10 -4 .“
Sie blickte sich zu Onkel John um, der aber machte ein skeptisches Gesicht.
Fehlte da noch was? Setzte man δ ein, ergab sich 10 -4 , und für kleinere Zahlen?
„Natürlich gilt das, weil 0,3z 2 + 2,8z für z > 0 monoton wachsend ist“, fügte sie mit selbstsicherer Stimme hinzu.
Ein Lächeln huschte über Johns Gesicht. Dann nahm Jean ihren Rechner und berechnete δ. δ = 3,5714·10 -5 .
„Die Zahl 5 + 10 -5 erfüllt dann die Bedingung x − 5 < δ . Mal sehen, ob auch die ε−Bedingung erfüllt ist.“
Sie setzte 5 + 10 -5 2
für x in 0,
3x
− 0,
2x
− 6,
5 ein und erhielt 2,8·10 -5 , die Bedingung war also erfüllt.
„Und wieso kann man für jedes noch so kleine ε ein geeignetes δ bestimmen?
„Statt 10 -4 hätte ich auch ε in die Ungleichung schreiben können, die Schritte zur Gleichungslösung wären die-
selben gewesen. 14 196 10 + + ⋅ ε wäre dann ein geeignetes δ . Und für positives ε ist diese Zahl immer berechenbar.“
− 3 9 3⋅
„Deine Überlegungen und Rechnungen sind richtig“, bestätigte John Why, „und sie gelten für jede Stelle x0. Du
kannst ja die Rechnungen mal für x - x0 durchführen.“
Jean lächelte. „Nein, danke, wie war das zu Kaisers Zeiten? Mir genügt dein Ehrenwort.“
„Nun ja, zugegeben“, erwiderte John Wye, „die Beweise sind ein wenig umständlich, aber mit geschickten Abschätzungen
kann man manches umgehen. Aber wichtig ist etwas anderes. Die Stetigkeit solcher Funktionen kann man
aus anderen Sätzen ableiten, mit denen du dich noch eingehend beschäftigen wirst. Deswegen müssen wir hier nicht
weiter ins Detail gehen.“
„Übrigens die Definiton der Stetigkeit einer Funktion f an der Stelle x0 kann man auch mit Hilfe der dir bekannten
Quantoren formulieren.“ Karl Icks ging zur Tafel.
Def. Eine in D definierte Funktion f: x a f(x) heißt an einer Stelle x0, x0∈D, stetig, wenn folgendes
gilt:
∀ ε > 0 ∃δ
> 0 ∀x
: − x < δ ⇒ f ( x)
− f ( x ) < ε.
x 0
0
Aus Jeans Gesicht war wohl ihr Erstaunen abzulesen, denn ihr Vater beeilte sich hinzuzufügen:
„Das ist natürlich gewöhnungsbedürftig, aber halb so schlimm. Die zweite Zeile liest man:
Zu jedem positiven ε gibt es ein positives δ derart, daß für alle x gilt: Wenn − x < δ,
dann f ( x)
− f ( x ) < ε.
“
196
9
9
3⋅10
3⋅10
x 0
0
John Wye beobachtete Jean.
„Wie ich dich kenne, hast du doch zu Hause sicher schon in die Bücher deines Vaters über Analysis hineingeschaut,
oder nicht?“
Jean mußte zugeben, daß ihr die Verwendung der Betragsstriche Schwierigkeiten machte, zumal sie in zwei Büchern
zwei unterschiedliche Definition entdeckt hatte.
„Ach, ja, die Betragsfunktion f: x a x . Die ist vor allem nützlich bei Abschätzungen, z. B. läßt sich folgendes
zeigen.
Lehrsatz: Für alle x, y ∈R gilt: x −
y ≤ x ± y ≤ x + y

Da stecken natürlich eine ganze Reihe von Behauptungen drin, aber in dieser Form kann man sie alle zusammen
gut behalten. Die folgenden Gleichungen folgen unmittelbar aus der Definition x = x für x 0
≥ und x = - x für x 0, d. h. -x ist größer als x. x ist also in jedem Fall die größere Zahl.“
„Und die andere Richtung?“
„Da müssen wir auch zwei Fälle unterscheiden. Gilt max(x, -x) = x, dann auch x ≥ 0, und damit x = x. Aus
max(x, -x) = -x folgt x < 0. Also erhalten wir hier x = -x, wie es sein muß.“
Zufrieden schaute Jean in die Runde, aber ihr Vater machte ein unzufriedenes Gesicht.
„Mit dem Fall x = 0 bist du etwas großzügig umgegangen“, meinte er.
„Und wenn wir den Grenzfall x = -x, also x = 0 hinzunehmen, dadurch daß wir festlegen max(a, a) = a?“ machte
John Wye einen Vorschlag zur Güte.
Jean ging den Beweis, der an der Tafel stand, noch einmal durch. Und gleich zu Beginn bei der Definition hatte
sie Schwierigkeiten.
„Wenn ich 0 für x in die Definition einsetze, erhalte ich doch einmal ‘Wenn 0 ≥ 0, dann 0 = 0’, das verstehe ich,
aber im anderen Fall bekomme ich ’Wenn 0 < 0, dann 0 = -0’, da ist doch die Aussage im Wenn-Satz falsch.“
„Das siehst du völlig richtig, aber der Wenn-dann-Satz als Ganzes ist wahr. So ist es in der Aussagenlogik festgelegt.“
„Aussagenlogik?“
„Das ist der Zweig der Logik, der sich mit einfachen Aussagen und deren Verknüpfungen befaßt, Verknüpfungen
der Aussagen durch ‘und’ und ‘oder’ und eben ‘wenn-dann’. Dazu tritt dann noch die Verneinung. Aber darüber
sollten wir später noch mal genauer sprechen. John und ich müssen noch zu einer Sitzung.“

1 f ˆ : gelesen f Dach
2 vgl. Lehrsatz 31
3 Nur zu, versuch’ ein Stück herauszuschneiden.
Doch sieh dich vor, wenn du dein Tun beginnst.
Vergieß kein Blut, vom Fleische schneid nicht mehr
als haargenau ein Pfund, und auch nicht wen’ger.
Und schneid’st du mehr als dieses Pfund, vielleicht
zu wenig, und ist’s auch nur, daß dann die Waage
um Haaresbreit’ sich neigt, ein Gran zu viel,
ein Gran zu wenig und du bist des Todes
und all’ dein Hab und Gut verfällt dem Staat.
William Shakespeare, Der Kaufmann von Venedig, IV. Akt, Szene 1
4 Karl Weierstrass, 1815 – 1897, deutscher Mathematiker
5 A. L. Cauchy, 1789-1857, französischer Mathematiker
6 Übersetzung aus dem Französischen von Dr. C. H. Schnuse, Braunschweig, 1836
7 vgl. auch Abraham Robinson, Non-standard Analysis, Princeton, 1996
8 Mathematisches Vorsemester, Universität Bielefeld, Ausgabe 1971
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