Physik Skript 1 - Herzo Media

1. Einführung 

Was ist Physik 

Teil der Naturwissenschaft „unbelebte Natur“ Übergang zur Chemie (fließend) 

Ing. Wiss: Übertragung bekannter phys. Gesetze auf techn. Probleme -> industrielle 

Praxis 

z.B. Maschinenbau, Starkstromtechnik, Elektronik aber auch Beschleuniger, 

Raumfahrttechnik,… 

Erkenntnisse in der Physik, opt. Täuschungen 

Experiment math. Modell 

2. Verallgemeinerung der Ereignisse 

1. Experiment 3. phys. Gesetze 

Verifikation & Messvorschriften 

Teilgebiete der Physik 

4. Vorhersagen aus phys. Gesetzen 

Physik 

Wirkung >>h Energie x Zeit Wirkung h 

(Wirkung) 

incl. Relath. klass. Physik Quantenphysik 

anschaulich 

streng determin 

genaue Messung 

möglich 

¡ 

¡ 

¡ 

Klassische Physik 

-Mechanik (incl. Relat.) 

-Thermodynamik 

-Elektrizität und Magnetismus 

-Wellenlehre (Akustik, Optik, Elektrodynamik) 

Quantenphysik 

-Quantenmechanik 

-Quanten Elektrodynamik 

-Atom & Kernphysik 

-Teilchenphysik 

-Festkörperphysik 

abstrakt 

nur statisch determin. 

Unschärferelation 

Modell 

Theorie 

Skript 1 Physik 1 - 2 - Thon 

¡ 

¡ 

¡

Phys. Größen 

Das SI System (seit 1978 gesetzl. Maßstab) 

phys. Größe beschreibt Zustand: Größe muss messbar sein! 

Si System: 7 Größen 

G = {G} x [G] 

Symbol Zahlenwert Einheit 

Einheit Zeit Länge Masse Elektr. 

Stromstärke 

Temperatur Lichtstärke Stoffmenge 

Größe sek. Meter kg Ampère Kelvin Candela mol 

Naturgesetze: 

Aus dem gemess. Zusammenhang phys. Größen werden Naturgesetze formuliert: 

z.B.: - Gravitationsgesetz 

- Coulombgesetz 

- Induktionsgesetz 

Darin treten Proportionskonstanten auf: Naturkonstanten 

• entweder per Definition einen gewissen wert zuordnen z.B.: 

e= 2,997924 x 10 8 m/s 

0 = 4 ¡ x 10 -7- Vs/Am 

• oder genau messen z.B.: 

• Grav.-Konstante ¢ = 6,67x 10 -11 Nm 2 /kg 2 

• Avogadrokonstante NA = 6,0221367 x 10 23 Teilchen/mol 

• Elementarladung e= 1,60217733 x 10 -19 As 

• Plancksche Wirkungsquandrum n= 6,6260 x10 -34 Js 

4,13567 x 10 -15 eVs 

Messgenauigkeit (Messen einer phys. Größe): 

• durch Vergleich mit SI-Größen (nach SI-Vereinbarung) 

oder 

• durch ein darauf geeichtes Messverfahren 

γ 1 2 

γ 

2 

M M 

F = 

g 

Skript 1 Physik 1 - 3 - Thon

Fehler: 

Systematische Fehler zufällige statistische Fehler 

Aus Fehleranalyse/-rechner Historgramm der Häufigkeit 

N i ( xi 

) 

Häufigkeit hi für Messwerteintervall xi: hi 

= 

N 

Bei großer Zahl N der Versuche in „Glockenkurve“ über: 

mit: 

exp 

£ 

¡ ¢ ¤ ¥ ¦ h ( x) 

= 

1 

2 

2πδ 

2 

( x − μ) 

§∞ 

− nomiert auf h ( x) 

dx = 1 

2 

2δ 

0 

x = Messwert 

= Erwartungswert „wahrer Wert“ 

= Varianz 

¨ 2 

¨ = Streuung 

ω ( x, x + dx) 

= h( 

x) 

⋅ dx 

Häuffigkeit 

− 3δ 

-δ + δ + 3δ 

68,3% 

95,4% 

99,7% 


xi 

x

Schätzwerte aus den gemessenen Verteilungen: 

1. arithmetischer Mittelwert 

1 

x = 

N 

i 

x 

bester Schätzwert für 

¡ ¡ 

¢ 

2. Summe der Fehlerquadrate 

2 

Ei 

x = ( xi 

2 

− x) 

i 

i 

3. Standartabweichung S = 

E 2 

i 

bester Schätzwert für Streuung 

N −1 

4. Standartabweichung für x : Δx 

= 

S 

„Messwertfehler“ für x 

N 

2. Mechanik 

2.1. Einführung 

W 

[Anmerkung: siehe Hering ab S.9 oder Stroppe ab S.513] 

− Allg. Grundlage der Physik 

− Anwendung in allen Teilgebieten der Physik 

− Bewegung von Objekten im Raum und Zeit 

Für quant. Aussagen: Maßeinheit für Raum (→Länge und Zeit ) 

2.2. Bewegung des Massenpunkts (MP) 

− Zeitmessung 

Objekt: Zeit wird gemessen durch Bezug auf periodische Vorgänge 

Erddrehung, Planetenbewegung, Urpendel, Schwingquarz 

1d zu 24h zu 60min zu 60s 

mitt. Sonnentag: 1d =ˆ 86400s mittl. Sonnensekunde: 

1a =ˆ 365 ¼d π 

→1s über Cs-Atom 

≈ 10 7 s Erddrehung nicht konst. 

Heute: 

Quarzuhren → elektr. angeregte Schwingung eines Quarzes ~ 1MHz 

Δt 

t 

8 

10 − 

≥ 

1 

Frequenz υ ( f ) ←⎯→ TPeriodeυ 

= [Hz] 

T 

Messung der Lichtgeschwindigkeit, zuerst durch o-Römer (1676 „Jupitermonde“) 


Fundamentale, exp. bestimmte Annahme: Lichtgeschwindigkeit in allen Bezugssystemen 

konst. (Einstein spez. Relationstheorie 1905) 

1 

Längenmessung: 1m ≅ 

Abstand Pol Äquator (→ Pariser Normalmeter) 

10. 

000. 

000 

Def. des Meters heute: 

1m = 165076373 ∴λKr 

86 Kr: Orange λKr = 605.8 nm 

λ 

Kr 

Michelson Interferometer 


1 

Schirm 

2

Messung großer Längen: 

Triangulation 

Euklid: α + β + γ = 180° 

a b 

Sinussatz: = 

sin α sin β 

Messung astronomischer Entfernung 

L 

L, α , β, 

⎯⎯→ 

L auf 10% Erdradius 

EM 

LES (in RE) auf Faktor 10 

¡ 

¡ 

¢ 

¡ =90° 

¡ 

LES 

s 

Winkel ϕ = [ rad ] Bogenmaß 

r 

1 rad = ˆ 57, 

3° 

1° ˆ= 17, 

5mrad 

Kleinwinkel Nähe 

sin ϕ ≈ tanϕ 

≈ ϕ[ 

rad ] 

2 

ϕ 

cosϕ 

≈ 1− 

2 

rad 1

AE 

E 

2AE 

. S 

Parallaxe →scheinbare Beweg erdnaher Sterne vor 

Fixsternhimmel 

Winkeleinheiten: 

1′′ 

1° 

= ˆ 60′ 

(min) ≅ 60× 

60 

′′ ( sek) 

1 

3600 

1cm 

= ˆ 

2cm 


¤ ¥ = £ 

Erreichbar (terrestisch) : 0 , 1′′ 

(Astronomisch): 0 , 01′′ 

Astronomische Längeneinheit (AE): Große Halbachsen der Erdbahn 

− Par sec [pc]: 

1, 

5× 

10 

1pc 

= ˆ 

tan1 

Lichtjahr : 

11 

11 

m 

1LJ 

= 9, 

45× 

10 

d 

15 

¦ 

m 

3× 

10 

1 AE= 1,495x10 11 m 

Parallaxenmethode brauchbar bis ~ 100LJ = 30pc 

16 

m 

§ 

1pc = 3,26 LJ 

¢ 

¡ 

° 

1AE 

1AE 

d = 

≈ 

tanδ 

δ

2.2.1. Kinematik des Massenpunktes 

− Geradlinge Bewegung (1Ortkorrd. : x = f(t) = x(t) 

Δx 

dx 

Momentangeschwindigkeit v(t) = = = x 

Δt 

dt 

lim Δt→0 

¡ Δv 

dv 

Momentanbeschleunigung a(t) = = = v 

Δt 

dt 

4 facher Weg =ˆ doppelter Zeit 

Wie x=f(t), damit x (2t0)=4x(t0) 

4 

4 

1 

4 

x 

Gleichung des freien Falls: 

g 

x( 

t) 

= t 

2 

v( 

t) 

= gt 

a( 

t) 

= g 

2 

g= Erdbeschleunigung 

X2 

X1 

x 

lim Δt→0 

g 2 

x( 

t0 

) = t 

2 

g 

x( 

2t0 

) = ( 2t 

2 

t1 t2 

0 

) 

2 

t 

g 

= 4 t 

2 

2 

0 

= 4x( 

t 


0 

) 

t

Umkehrung der Differentiation: Integration 

t 

aus a(t)→v(t) [ ] T T = 

aπ 

dT + v a( 

t) 

dt 

aus v(t)→x(t) x0+¡t 

v( 

T ) dT 

a(t) = const. 

v(t) = v0+at 

0 

x(t) = x0+v0t+ 

Kinematik des Massenpunktes : 

x 

0 

0 

T = 0 

Kartesicher 3D Fall: r ( t) 

= r( 

t), 

y( 

t), 

z( 

t) 

Analog zu 1D Fall 

¢ 

Geschwindigkeit 

2 

2 t 

a 

v ( t ) 

= 

oder 

dx 

dt 

Gleichförmige beschleunigte Bewegung 

Ortsvektor r(t) 

© ¨ 

lim 

= 

Δ → 

¤ 

0 

r 

, 

¥ ¦ § 

¤ 

dy 

dt 

= ( x, 

y , z ) 

© ¨ 

Bahnkurve 

r ( t + Δ t ) − r ( t ) 

Δ t 

dz 

, 

dt 

£ 

§ ¦ 

¨© 

¥ 

£ 

£ 

§ ¦ 

¥ 

¤ 


y

a(t)=…= 

dv 

dt 

¦ 

= ¤ ¥ £ £ 

2 

d x 

dt 

Ableitung nach t: Punkt 

¡ 

¢ 

, 

£ ¤ ¥ £ 

2 

d y 

dt 

¡ 

¢ 

, 

£ ¤ ¥ £ 

2 

d z 

dt 

Bsp: Wurf mit horizontaler Anfangsgeschwindigkeit 

a( 

t) 

= 

( 0 

− g) 

§ v0 

( t) 

= ( v0 

, 0) 

Anfangsbedingung 

r( 

t = 0) 

= r = ( 0, 

0) 

§ 

0 § 

Bewegung in x,y unabhängig 

= ¨ 

v ( t) 

v ( 0) 

+ a ( τ ) dτ 

x 

= v 

0 

+ 0 

x 

= © 

v ( t) 

v ( 0) 

+ a ( τ ) dτ 

y 

= 0 + 

x( 

t) 

= x 

y 

t 

0 

t [ − gτ 

] = −gt 

0 

0 

y( 

t) 

= y 

0 

+ 

+ 

 

 

x = v t → t 

0 

t 

0 

t 

0 

2 

0 

t 

0 

2 

x 

y 

v ( τ ) dτ 

= 0 + 

2 

0 

t [ v τ ] 

g 

( −gτ 

) dτ 

= 0 − t 

2 

x 

= 

v 

g 

→ y( 

x) 

= − 

2v 

Ebene iA gekrümmte Bewegung 

0 

0 

2 

¡ 

¢ 

= v 

Annahme: 

Geschwindigkeit v = v const. entlang der Bahnkurve 

v 

(t) 

2 

0 

0 

t 

x 

2 

v( t + Δt) 

 

v = 

v( t + Δt) 


0 

( v0 

v 

 

, 0) 

(t) 

x 

Δ v

Δv 

v 

= Δϕ 

Obwohl v ¡ 

dv 

Δ const. ist a¢ 

= ≠ 0 Richtungsänderung 

dt 

Vektorielle Zerlegung der Beschleunigung 

dv 

dt 

dv 

= 

dt 

d s 

dt 

dϕ 

= v 

dt 

2 

Tangential: at = = 2 

normal: 

Speziell: 

a n 

£ 

Kreisbewegung: Massenpunkt auf Kreisbahn (r = const.) 

¢ 

Beste Wahl des Koordinaten Systems (KS): Polar Koordinaten 

x( t) 

= r( 

t) 

cosϕ 

( t) 

y( t) 

= r( 

t) 

sin ϕ( 

t) 

dϕ 

x t r ϕ t x ¤ 

( ) = cos ( ) = −r 

¥ sin ϕ( 

t) 

× 

dt 

dϕ 

y( 

t) 

= r sin ϕ ( t) 

y = r § cosϕ 

( t) 

× 

dt 

v = 

dr 

dt 

 

= 

 

dx 

dt 

¦ 

 

© ¨ 

2 

 

+ 

zusätzlich: v= const. 

dy 

dt 

Winkelgeschwindigkeit: 

 

© ¨ 

2 

dϕ 

= r 

dt 

dϕ 

→ = const. 

dt 

d ϕ v 

ω = = 

dt r 

v = 

Über ϕ ( t) = ωt 

können wir schreiben ω = const. 

2 

2 

( sin + cos ϕ) 

norm 

dϕ 

dϕ 

ϕ = r 

dt dt 


r 

2 

x( 

t) 

= r cosωt 

y( 

t) 

= r sin ωt 

Beschleunigung bei Kreisbewegung mit v= const. Gleichförmig 

 

r 

Δ ϕ 

 

 

Δ s 

tang

dv 

a( 

t) 

= = 0 

dt 

2 

dϕ 

2 v 

an 

= v = vω 

= rω 

= 

dt 

r 

↓ 

y 

s s’ 

n * t 

rω 

2 

2 v 

Radiale Beschleunigung ar = −rω 

= − nach innen Zentripetalbeschleunigung 

r 

2 

v 

Vektorschreibweise: a = − rˆ 

r 

¡ 

r 

Einheitsvektor rˆ 

= r = 1 

r 

Ungleichförmige Kreisbewegung: ω = ω(t) 

2 

dv d d ϕ 

ω 

= r = r 

dt dt dt 

¢ 

Winkelbeschleunigung 

Wechsel von Koordinatensystem: 

2 

Koordinatentransformation bei Parallelverschiebung 

y’ 

A const 

x 

x 

x’ 

x’ 

£ £ £ 

r ′ = r − A 

Koordinatentransformation bei bewegten Koordinatensystemen: 

Einfacher Fall: 

¤ 

£ £ ¤ £ £ 

v′ 

= r − A = v 

d.h. v ¥ ¥ , a invariant gegen Paralellverschiebung 

x′ 

= x − ut 

y′ 

= y 

z′ 

= z 

( t′ 

= t) 

Nur gültig für u

2.3. Grundgesetz der klassischen Physik: 

1686 Newton/ Phil. Nat. Princ. Math. 

Absolute Euklische Geometrie 

Grundgedanke: Kraft als Ursache der Beschleunigung 

• Kinematische Größe v ¥ ¥ , a 

• Masse m, Kraft F 

Schlitten auf Luftkissenbahn 

Bewegung im Raum, Koordinatensystemen, Vektoren 

Einteilung phys. Größen 

Kartesisches Koordinatensystem: 

x 

¡ 

a = 

x 

az 

ax 

z 

( ax 

, a y , a z ) 

2 

x 

2 

y 

ay 

¢ 

a = a = a + a + a 

2 

z 

£ 

Multiplikation mit Skalar k a = ( kax 

+ ka y + kaz 

) 

y 

m 

Aufnehmer 

F= m*g 

• Skalar 1 Zahl (Zeit, Masse, Temp.) 

• Vektor Betrag („Länge“) und Richtung 

Addition. Komponentenweise 


Polar Koordinaten: 

y 

r 

x 

Eben x,y: 

x = r cosϕ 

y = r sin ϕ 

Räumlich (x, y ,z): 

2.3.1. Kräfte und fundamentale Wechselwirkung 

¢ ¢ 1 

NG II Bewegungsgleichung a = F 

m 

Masse: Maß für Trägheit (träge Masse) 

Kraft F ¡ 

: Ursache für Geschwindigkeitsänderungen oder Deformation 

Gewichtskraft: 

£ Verfahren eines Balkens 

Federkraft, kompensiert im Ggw die Gewichtskraft 

Reibungskraft Einheit der Kraft 1 Newton= 1N 


F ¡ 

x = r sin ϑ cosϕ 

y = r sin ϑ sin ϕ 

z = r cosϑ 

Laser 

1 Newton ist die Kraft die die Masse m= 1kg mit a=1m/s 2 beschleunigt £ 1N=kgm/s 2 

Kraft ist Vektorkraft £ 

F2 

F1 

F1 + F2 

vekt. Addition von Kräften 

Kräfteparallelogramm

Schiefe Ebene 

F 

F 

F 

T 

+ F 

N 

Fg = mg 

T 

N 

= F 

G 

= mg sin α 

= mg cosα 

FN 

Reibungskraft = Entgegen der Bewegungsrichtung 

Ansatz: FR = μFN 

( μ H > μG 

) 

μ = Re ibungskoeffizient, μ H = Haftreibung, 

μG 

= 

Bedingung für Gleiten F > FR, 

GL 

mg sin α > μ mg cosα 

α > tg 

μ = tgα 

G 

−1 

μ 

G 

G 

Grenzwinkel 

¡ 

z.B.: μ G = 0, 1 α = 5, 

7° 

Jetzt zu NG III (actio= reactio) 

Fundamentale Kräfte 

1. Gravitation: 

FT 

Gleitreibung 

Zwei Körper der Massen m1 und m2 ziehen sich gegenseitig mit der Kraft F an, für dir 

gilt: 

m1m 

2 

F = γ 2 

r 

2 

−11 

Nm 

γ = 6, 

6726× 

10 2 

kg 

Feldteilchen: Gravitonen noch nicht entdeckt 


Von oben: 

Spiegel 

„Hantel mit 2x mam Quarzfaden“ 

2. Elektrische Kraft 

F el 

mit 

m 

1 

= 

4πε 

0 

0 

× 

1 

9 

≅ 9× 

10 

4πε 

Q 

1 2 

2 

0 

r 

Q 

( ) N 

2 

m 

2 

As 

Elektrische Kraft extrem stark im Vergleich mit der Gravitation: 

10 

6 

2x 1As im Abstand 1m: F ≈ 10 N = ˆ Gewichtskraft 

10 t 

3. Starke Wechselwirkung zwischen Quarks 

4. Schwache Wechselwirkung zwischen Quarks und Leptonen (e - , e + , + , 

(Feldteilchen: Z 0 , W +- ) 

5. Elektromagnetische Wechselwirkung Feldteilchen: Photonen 

Daraus abgeleitete Kräfte: 

− Reibungskräfte 

− Seilkräfte 

− Elastische Kräfte (Federkraft, Deformationskraft) 

− Chemische Bindungskräfte 

− Kernkraft (zwischen Nukleonen im Kern) 

Bemerkung zur Masse: 

Laser 

In NG I-III: Träge Masse 

Im Gravitationsgesetz: Schwere Masse 

- , …) 


2.4. Anwendung der Newtonschen Gesetze 

2.4.1. Federpendel: 

Δ l = l − = prop. Zum Gewicht m × g 

0 0 l0 

Federkraft: 

FF = kΔl 

N 

[k]= 

m 

k= Federkonstante 

In Ruhelage: 

Fresult = FF 

+ FG 

= −kl 

0 + mg 

Auslenkung aus der Ruhelage £ 

x § § 

F 

res 

= mg − kl 

= mg − k( 

l − l 

= mg − kl 

¦ 

l0 

¥ ¤ ¡ 

= 0 

£ ¢ ¡ 

= −kx( 

t) 

k 

( t) 

+ x( 

t)) 

= 0 

m 

l 

0 

0 

x( 

t) 

0 

+ l 

− kx( 

t) 

0 

) 

Ruhend 

FFeder 

FGewicht 

Schwingung um Ruhelage ! 

DGL der freien, ungedämpften Schwingung 


x( 

t) 

= Acosωt 

x( 

t) 

= −Aω 

sin ωt 

2 

x( 

t) 

= −Aω 

cosωt 

2 

= −ω 

x( 

t) 

DGL erfüllt mit 

Versuch: 

m=50 

l(50)=10cm 

k = 

= 

0, 

5N 

0, 

1m 

N 

5 

m 

2 

ω 

= 

k 

m 

x = Acosωt 

ist spezielle Lösung mit den Anfangsbedingungen: 

x(t=0)= A v(t=0)= 0 

Andere spezielle Lösung ist: 

x( t) 

= Asin 

ωt 

x(t=0)= 0 v(t=0)= ω A 

Allgemeine Lösung: 

x( 

t) 

= a sin ωt 

+ b cosωt 

v( 

t) 

= aω 

cosωt 

− bω 

sin ωt 

2 

2 

2 

a( 

t) 

= −ω 

a sin ωt 

−ω 

bcosωt 

= −ω 

x( 

t) 

Anfangsbedingung: 

x(0)= b 

v(0)= ω a 

Amplitude A= 

2π 

ω = 

t 

= 0, 

63s 

2 2 

a + b 

Kreisfrequenz 

= 2π 

× 0, 

1s 


T 

= 2π 

m 

k 

ω = 

k 

m 

0, 

5kgms 

= 2π 

5kgm 

k 

m 

2 

2 

ω 

= ( 2πf 

) 

1 

f = 

T 

2

− N. Kopernikus (1473- 1543) Heliozentrisches Weltbild 

− T. Brake (11546- 1601) Exakte Beobachtung 

− J. Kepler (1571- 1630) Kepler’sche Gesetze 

− I Newton (1643- 1727) Herleitung. der KG aus den NG und Gravitationsgesetz 

Kepler’sche Gesetze: 

I. Planetenbewegung auf Ellipsen in deren einem Brennpunkt die Sonne steht 

II. Der von der Sonne zum Planeten reichende Radiusvektor v überstreicht in gleichen 

Zeiten Δt gleiche Flächen Δ A 

ΔA 

= const. 

Δt 

III. Die Quadrate der Umlaufzeiten T1 und T2 zweier Planeten Verhalten sich wie die 

Kuben der großen Halbachse a1 und a2 

2 3 

T 1 a1 

= 2 3 

T a 

Speziell: Kreisbahn (a= b= r Sonne im Zentrum) 

az= agrav 

2 

v 2 M s 

= rω 

= γ 

2 

2 

r 

2 2 

r ω = γM 

= const ∀ 

3 

γ γ 

KG III = M 

3 2 s =const 

T 4π 

aus r, T, γ ¡ 

r 

Planetenbahnen 

2 

2 

30 

¢ 

Masse des Zentralgestirns berechen (hier Sonne) = 2 , 0× 

10 kg 

Aus Monddaten Masse der Erde: 

rm = 3,84x10 8 m Tm =27,3d ¡ 

ρ 

E 

= 

M 

= 5, 

5 

Erde 

3 

4 3 

πR 

cm 

E 

3 

g 

An der Oberfläche ρ ≈ 2, 7 3 

cm 

Erde hat schweren Kern: Flüssig Fe, Ni 

g 

MErde = 5,97x10 24 kg 

M Sonne 


1. m außerhalb der Kugel mit Masse M 

R d 

2. m innerhalb der Kugel M: 

F 

Gewischtskraft 

F 

G 

M 

= γ 

R 

¢ 

g 

E 

2 

E 

Mit ME, RE, γ ¡ 

¡ 

d 

− 

= γ 

m = mg 

Mrsd 

2 

d 

m 

g= 9,818 2 

s 

Kraft so, als ob Kugelmasse M im Zentrum 

nur Masse immer r=d trägt bei 


F 

t 

2.4.2. Schwerependel oder Math. Pendel 

(harmonische Schwingung bei kleiner Auslenkung) 

= mg sin ϕ 

s = l* ~ x 

l 

x 

s 

für rad¢ 

¤ ¥ ¦ sin ϕ ≈ ϕ ϕ

2.4.4. Gültigkeitsbereich der Newton’schen Mechanik 

Prinzipielle Schranken für Kenntnis der Entwicklung eines Systems in der Zukunft 

1. Chaotisches Verhalten nicht lin. Systeme 

− Wetter 

− Turbulente Strömungen 

2. Quantenphysik 

Unschärferelation: Ort und Impuls nicht gleichzeitig genau messbar 

¡ 

h 

Δx 

× Δp 

x ≥ = 

2π 

2 

34 m 

= 10 kg 

s 

Genauigkeit der Anfangsbedingung beschränkt 

2.5. Der Impuls 

Def. Impuls: Masse x Geschwindigkeit 

Erhaltungsgröße für abgeschlossene Systeme P ¢ ¢ = mv 

2.5.1. Der Kraftstoß 

NG II m 

£ 

a = F 

F(t) 

t1 

£ 

d 

¤ 

v 

a 

dt 

d p¥ 

¦ 

= F 

d p F( 

t 

¦ 

= ) 

¥ 

dt 

dt 

t2 

¤ 

t 

Δp 

= 


 

p 

 

2 

− p 

 

1 

= 

t 

t 

 

2 

1 

 

§ 

F( 

t) 

dt 

 

Kraftstoß 

© ¨§

¤ 

2 £ 

1 

F( t) 

dt = ˆFläche 

≈ FΔt 

Δp 

Δp gegeben F = F 

Δt 

Um Kraft zu minimieren, muß Δt möglich groß sein! (Knautschzone) 

Stahlkugel auf Unterlage (Stall) 

g 

h = t 

2 

t = 

r ¡ 

3 

2 

2h 

g 

¥ ¦ ¨ 

v(t)=g(t) v = 2 

Δ = 40, 

001kg 

0, 

04Ns 

10 

F = = −5 

4x10 

s 10 

m3 

r ¢ 

2 

m2 

r 1 

m 

s 

= 

m1 

m 

g h = 2 

s § 

m 0, 

2m 

10 

s 

0, 

04 

−2 

−5 

Ns 

N = 10 

3 

m=10g h=0,2m p = 2 mv = FΔt 

N 

2.5.2. Systeme von Massenpunkten (MP) 

Def. Schwerpunkt: 

 

p 

1 

rs = 

M 

n 

mi 

i= 

1 

dri 

1 

= 

dt M 

p 

Impuls des SP: 

= Mv 

= m v = p 

s 

© 

s 

i 

(Summe der Einzelimpulse) 

 

 

i 

© 

Bisher: 1MP + äußere Kraft 

Δ 1 

Neu: Mehrer MP + innere Kräfte (zwischen MP’s) + äußere Kräfte 

i 

i 


Einfluss von Kräften: 

Fi= äußere Kraft Fik= innere Kraft 

1. 2. 

F1 

d p 

1 1) = F1 

+ F12 

dt 

d p 

1 2) = F2 

+ F21 

dp 

dt 

s 

dt 

¡ 

dp 

= 

dt 

1 

dp 

+ 

dt 

¡ 

¡ 

2 

= F + F = 

§ 

1 

§ 

2 

= 

F 

¥ ¦ 

§ 

0( 

¤ ¢ 

12 

+ F 

wegenNGIII ) 

§ 

¢£ 

21 

¨ © © © 

Ergebnis: 

d ps 

dt 

dvs 

= M = 

dt i 

Fi 

(Summe der äußeren Kräfte) 

Def.: 

Abgeschlossen (mech.) System: F = 0 (Summe der äußeren Kräfte = 0) 

Im abgeschlossenen System ist der Gesamtimpuls s p konstant 

ps pi 

= const 

 

= 

F12 

2.6. Stoßprozesse 

F2 

 

Wichtig wegen: 

- Struktur kleinster Systeme aus Streuexperimnet 

- kinetische Gastheorie 

2.6.1. Eindimensionaler Fall 

 

 

 

Impulssatz: v + m v = m v '+ m v 

 

' 

m1 1 2 2 1 1 2 2 

gegeben 

gesucht 

Zu wenig ! 1 Gleichung für 2 Unbekannte 

1 

 

i 

i 

F 

2 

m1v1 m2v2 

m1v1 m2v2 

vorher nachher 


1) Elastische dh. auch Ekin enthalten 

1 2 

Ekin= mv 

2 

Energiesatz: 

1 2 1 2 1 2 1 

m 1v1 

+ m2v 

2 = m1v1 

' + m 

2 2 2 2 

2 

v 

' 

2 

2 

2 Größen aus 2 Gleichungen => Übungen 

2) Grenzfall: Total inelastisch 

v1’= v2’ (= vs’) 

nur noch eine Unbekannte d.h. Impulssatz ausreichend 

1 

M 

v2 = ps 

m1v 

= 

m 

2.7. Arbeit und Energie 

1 

1 

+ m2v 

+ m 

2.7.1. Beispiel Federschwingung 

2 

2 

1 2 

Masse m mit v0=v(x=0) und Ekin = mv 0 

2 

Staucht Feder aus Ruhelage bei x=0 und wird dadurch abgebremst 

d d 1 2 1 dv 

Ekin 

= mv ( t) 

= m2v( 

t) 

= Fv 

dt dt 2 2 dt 

Im Intervall dt gilt: dEkin= Fdx = -kxdx 

E 

Abnahme 

¥ 

kin 

§ ¤ ¢ 

( x) 

− E 

von 

¦ £ ¢ 

E 

0 

kin 

= 

E ( x) 

¥ 

2 

E 

¨ 

0 

dE 

kin 

− 

m,v(t) 

= −k 

¢ ¢ ¢ ¢ ¤ ¢ 

1x 

x 

0 

Änderung 

¨ 

der 

E 

¢ ¢ ¢ ¢ £ ¢ 

pot 

F 

a= 

m 

2 

x 

x! 

dx! 

= −k 

2 

¡ 


k

Def.: 

2 

x 

k 

2 

E ( x) 

Feder 

pot = Ekin(x) + Epot(x) = const = Eges 

Impuls + Kraftstoß 

p = mv 

p = F 

Δp 

= 

¡ 

¡ 

¡ 

F( 

t) 

dt = FΔt 

¤ 

Kraftstoß 

£ 

¢ 

¡ 

Schwerpunkt eines Systems vom MP 

1 

¥ ¥ ¦ r s = 

M 

N 

miri 

i= 

1 

¨ 

innere und äußere Kräfte: 

dps dt 

= Mvs 

= Fi 

Summe der äußeren Kräfte 

¨ 

¨© 

§ 

i 

2.7.2. Potentielle Energie und konservative Kräfte 

x2 

W12 

= Fdx 

Allg.: (1D) 

x1 

dW 

P = = Fv 

dt 

Potentielle Energie im 1D Fall 

E 

pot 

= − 

x 

x 

0 

Arbeit 

E 

Leistung 

F( 

x) 

dx + c (c ist beliebig wählbar) 


Eges 

Ekin 

-Epot 

X

3D Fall: 

Gravitationskraft: 

r 

E ¢ ( r ) = Fdx 

+ c Wegintegral 

pot 

SkalaresFeld 

¦ 

¥ 

£ 

¤ 

r Skalarprodukt 

0 

− Integration auf Kreis: Wegintegrall 0 

− Integration entlang r: Wegintegral maximal 

Konservatives Feld: 

¡ 

¢ 

£ 

Epot ist nur Funktion des Ortes r § (Endpunkt von c) und nicht vom Integrationsweg abhängig 

(3D) ¨ ) 

2 Folgerungen: 

1. 

F( 

r ) = − grad Ep( 

r ´ 

2. 

( gradE 

( gradE 

( gradE 

© 

p 

p 

p 

∂E 

p 

) x = 

∂x 

∂E 

p 

) y = 

∂y 

© 

∂E 

p 

) z = 

∂z 

Differenti © 

aloperator 

Erhaltung der mech. Energie 

E + r ) = const. 

= E 

( 

kin r ) E pot ( 

 

r 

r 

c2 

0 

c1 

ges 

r 

Nicht konservative Kräfte: 

z.B.: - Reibungskräfte 

- Lorenzkraft 


1 

r 

0 

c2 

c1

Bsp: Freier Fall (im homogenen Feld) 

F 

E 

grav, 

y 

pot 

= −mg( 

= const) 

= − 

y 

0 

F dy) 

= mg 

Fall aus der Höhe h: 

1 

2 

v( 

y) 

= 

g 

2g( 

h − y) 

y 

[ y′ 

] + c = mgy 

Ek + E pot ( y) 

= const = E pot ( h) 

¡ 

2 

mv ( y) 

+ mgy = mgh 

0 

=> weil Ek(h)=0 

Lösung ohne Bewegungsgleichung, weil Epot schon Integration enthält ! 

Exkurs : Luftpistolenschuss auf Luftkissenfahrzeug 

Mit m ~ 200g und v’ ~ 0174m/s 

1 

v m = v′ 

m 

400 

v = 400v′ 

m 

v ≈ 70 

s 

ballistisches Pendel 

h 

y1 

Y 

Ek(y1) 

Ep(y) 

Epot(h) 


E 

h 

1D

2.7.3. Berücksichtigung von Reibungskräften am Beispiel der schiefen 

Ebene 

1. Ohne Reibung 

© 

Bewegung entlang s 

F s 

dE 

dE 

= mg sin α ( Hangabtriebskraft) 

kin 

pot 

= Fds 

→ F ds 

¡ ¡ 

= mgdy 

s 

= + = sin ¤ ¢ ¥ ¢ ¨£ 

¢ ¦ ¥ § 

dE dE dE mg 

α ds − mg sin § ¦ £ ¢ αds 

= 0 

ges 

kin 

pot 

Gesamtenergie konstant! 

2. mit Reibung: 

 

 

F = μF 

entgegen zu v! 

R 

N 

dEkin 

 

¦ ¨ ¦ 

 

Gesamtkraft: Fs = mg sin α − μmg 

cos 

 

 

α 

dE ges 

Y 

mg 

F 

S0 

FR 

= mg sin α ds − μmg 

cosαds 

≠ 0 

Gesamtenergie nicht konstant! 

Keine Epot definierbar 


F 

N 

s 

dE pot 

 

F 

S0 

dy 

ds

d( 

E 

kin 

+ E 

pot 

) 

dt = 

− μF 

¢ 

¡ 

N 

v 

Leistung der Re ibungskraft 

Mechanische Gesamtenergie nimmt ab 

2.7.4. Einheiten von Energie, Arbeit und Leistung 

Energie, Arbeit [E]: 1W=Kraft x Länge; z.B.: 1N=1J=1Ws (im SI-System) 

Leistung [P]: = 

Kraft × Länge 

Zeit 

Elektr. Energie in kWh = 3,6 10 6 Ws 

Atomare Einheit : 1eV = 1,602 10 -19 J 

2.8. Drehbewegung 

SI: 1W=1N s 

2.8.1. Drehbewegung eines MP 

Neue Begriffe analog: 

Zur linearen Bewegung: 

− Drehmoment 

¤ 

¤ 

¤ 

M = rF 

Grafik 

Vektorprodukt 

¥ 

M = M = 

£ 

rF sin α 

Drehmoment max für α = 90° 

− Drehimpuls: 

¦ 

¦ ¦ 

L = r × p 

Grafik 

Kreisbewegung (rω ): 

 

© © 

© 

L = 

r × m( 

rω 

) 

© © © 

© © © 

mω( 

rr 

) − mr 

( rω 

) 

¨ 

§ 

Skalar Skalar 

kgm 

s 

m = 1 3 


2

Arbeit: 

Skalarprodukt r ω = 0 , da r ⊥ ¡ ω¡ 

L 

£ 

Kreisbeweg ung 

= mr 

2 

J ω£ ¢ 

− Trägheitsmoment eines MP bezüglich Ursprung 

J = mr 2 

L = J (analog; p = mv 

) ¥ ¤ 

dL 

dt 

§ 

= 

ω¤ 

d 

dt 

( r × p) 

= 

§ 

§ 

dr 

dL 

× p r p 

¥ 

+ × = = r × F = M 

dt 

dt 

§ ¦ 

§ 

¨ © = 0, 

da v p 

(analog: F p = ) 

p = F 

ω 

 

 

d 

α = 

dt 

M = J 

 

α 

zeitlichab 

 

geleitet 

L = r × F = M 

 

2.8.2. Arbeit, Energie und Leitungen bei Drehbewegung 

ϕ 

1 

1 

0 

M ( ϕ) dϕ 

( Skalarprodukt) 

We 

Torsionsfeder: M Dϕ 

(Torsionskonst. D) 

1 2 

1 

W ϕ Dϕdϕ 

= Dϕ 

analog zu Feder: kx 

2 

2 

 

 

=ϕ 

0 

 

 

dW 

dt 

Momentane Leistung P = = M 

ω 

 

Fv 

 

ω 

§ 


r 

2 

F 

§ 

 

. v 

§ 

§ 

§ 

§

Def.: - rot = rotation 

- trans = translation 

E 

E 

rot 

kin 

trans 

kin 

1 2 

= Jω 

2 

1 

= mv 

2 

2 

2.8.3. Vergleich „linearer Bewegungen & Drehbewegung“ 

M = -Dϕ 

[NG] M = Jα mit J = mr 2 

− Dϕ 

= Jα 

− Dϕ 

= ϕmr 

ϕ( 

t) 

= ϕ cosωt 

0 

ϕ( 

t) 

= −ϕ 

ω sin( ωt) 

0 

¡ 

2 

2 

¡ ¡ 

ϕ( 

t) 

= −ϕ 

ω cos( ωt) 

= −ω 

ϕ( 

t) 

2 D 

ω 2 

mr 

2π 

T = 

ω 

2π 

= 

mr 

D 

0 

2 

2 

⇐ Bewegungsgleichung 

Versuch: 

M 0, 

25N 

⋅ 0, 

3m 

D = = 

≈ 0, 

025 

ϕ π ⋅ rad 

Nm 

rad 

2 2 

0, 

4kg 

⋅ 0, 

1m 

⋅ 40s 

T = 2π ≈ 10s 

T im Experiment = 6s 

2 

kg ⋅ m 

m 

2 

r 


m 

2

: 

Analogie Federpendel 

F=-kx 

2 

x 

E pot = k 

x 

1 2 

Ekin = mv 

2 

x( 

t) 

= Acosωt 

ω = 

k 

m 

2.9. Mechanik des starren Körpers 

2.9.1. Kinematik des starren Körpers 

System von MP mit konst. Abstände! 

momentaner Drehpunkt 

Drehpendel: 

M=-Dϕ 

= D = 


E pot 

2 

ϕ 

2 

1 2 

Ekin = Jω 

2 

ϕ t) 

= ϕ cosωt 

( 0 

ω = 

Sehr nützliche Idealisierung 

Allg. Bewegung des starren Körpers setzt sich zusammen aus Translation + Rotation 

rot 

D 

J 

trans

B 

2.9.2. Kräftewirkung am starren Körper 

Starrer Körper: innere Kräfte unwirksam1 

Zahl der Freiheitsgrade 

N MP: 3N 

Starrer Körper 3 (transl) + 6 (rot) = 6 

Ursachen der Rotation: Kräftepaar F F′ 

¥ 

F ′ 

A 

Zweikräfte: 

¦ 

r 

Resultierende Kraft R F 

¡ 

¤ 

F 

A 

F 

Angriffspunkt P kann entlang Wirkungslinie AB 

verschoben werden 

kann entlang Wirkungslinie (WL) verschoben werden 

¢ 

¢ 

¢ 

Falls F2 

= −F1 

= −F 

aber verschiedene parallele WL, dann erzeugt dieses Kräftepaar 

£ 

£ 

£ 

£ 

Drehmoment M = r − r ) × F 

( 1 2 

B 

A 


¨ 

F2 

§ 

F1 

© 

FR

¥ 

Kräftepaar kann innerhalb des starren Körpers verschoben werden ohne Änderung von M 

¥ 

Betrag von M : 

M = sF 

2.9.3. Statik: Wann starrer Körper in Ruhe? 

1. 

¡ 2. M i = 0 

¢ 

F = 0 (Fi = äußere Kraft) 

Starre Kräfte im schwere Feld 

SP ¨ 

i 

( r 2 r§ 

§ − 1 

2 

(Mi = äußeres Drehmoment) 

¨ = 0 

im SP unterstützt 

In jeder Stellung in Ruhe => indifferentes Gleichgewicht 

r ¥ 

1 

r ¦ 

2 

F ¤ 

3 


F £ 

) 

S

Potentialkurve: 

1 2 

Erot = Jω 

2 

J = mr 

J 

J 

p 

p 

= 

= 

Vol 

¡ 

Vol 

¡ 

2.9.4. Trägheitsmoment starrer Körper 

2 

r 

2 

dm 

. 

ϕ( 

r ) r 

( MP) 

2 

Epot 

Drehachse 

r 

dV 

dm 

P über SP 

P unter SP 

0 

Zylinder um Symmetrieachse gedreht 

stabiles Gleichgewicht 

indifferentes Gleichgewicht 

labiles Gleichgewicht 


¨

Zylinder Höhe h Radius R 

Dünnwand Zylinder mit dr hat: 

2 

dJ − dmr mit dm = ϕ ⋅ dr ⋅ r ⋅ dϕ 

⋅ dz 

J 

h 

= ϕ 

2π 

R 

= z 0 ϕ = 0 r= 

0 

3 

dzr dϕdr 

= ϕ 

Mit M = Formelfehlt 

gilt 

h 

[ z] 

[ ϕ] 

dV £ ¢ 

0 

r 

¨ 

2 

¡ 

π 

0 

¨© 

§ 

R 

4 

r 

4 

¥ 

¦ 

R 

0 

¤ 

1 

JVollzyl 

. = MR 

2 

2 

R 

= ϕh2π 

4 

1 2 2 

a 

J Hohlzylinder 

= M HZ ( Ri 

+ R 

2 


4 

Ri 

RA 

)

Physik Skript 1 - Herzo Media

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