Experimente zur Korrektur der Kelvin Kraft für hohe Suszeptibilitäten

Experimente zur Korrektur der Kelvin Kraft für
hohe Suszeptibilitäten
S. Odenbach 1 , M. Liu 2
1 ZARM, Universität Bremen, Am Fallturm, 28359 Bremen
2 Institut für theoretische Physik, Universität Hannover, Appelstraße 2, 30167 Hannover
Bei der Berechnung der magnetischen
Kräfte, die ein magnetischer Feldgradient
auf ein Ferrofluid ausübt verwendet man
üblicherweise den bekannten Ausdruck für
die Kelvin Kraft [1]
∫ ∇ = dV H M μ (1)
Fm o
wobei M die Magnetisierung des Materials,
∇H den magnetischen Feldgradienten, V
das Probenvolumen und μ o die Vakuumpermeabilität
bezeichnen. Klassischerweise
[2,3] wird dieser Ausdruck für die Berechnung
der magnetischen Kräfte auf ein Ferrofluid
verwendet – unabhängig von der
Geometrie des Aufbaus und der Suszeptibilität
der Flüssigkeit. Es wird grundsätzlich
angenommen, daß alle geometrischen
Randbedingungen über den Demagnetisierungsfaktor
der Probe berücksichtigt werden.
Wie Liu [4] gezeigt hat führt eine genauere
Betrachtung des Ausdrucks für die magnetische
Kraft zu einer Beziehung die – wenn
die Tangentialkomponenten der Magnetisierung
verschwinden – durch
F ~
m
∫ ∇ = dV B M
(2)
gegeben ist, wobei B für den magnetischen
Fluß steht. Führt man die Ausdrücke (1)
und (2) auf meßbare Größen wie das äußere
Feld H o und die Suszeptibilität der
Flüssigkeit χ zurück so erhält man
χ
Fm = μo
V H o ∇H
2
o
1+
Dχ
( )
χ ( 1 + χ)
( 1 + Dχ)
~
F V H ∇H
m = μo
2
o
o
(3)
wobei D den Demagnetisierungsfaktor der
Flüssigkeitsprobe bezeichnet. Hierbei wurde
angenommen, daß die Probe homogen
magnetisiert ist und daß die Suszeptibilität
nicht vom Feld abhängt, man also im Bereich
der Anfangssuszeptibilität Experimente
durchführt. Der Unterschied zwischen
den beiden Beziehungen ist demzufolge
durch den Faktor ( 1 + χ ) gegeben,
der für kleine χ nicht ins Gewicht fällt, für
große Suszeptibilitäten, wie sie in konzentrierten
Ferrofluiden auftreten, aber experimentelle
Relevanz bekommen kann.
Experimenteller Test der magnetischen
Kraft auf ein Ferrofluid
Da die Frage magnetischen Kraft für die
Arbeit mit magnetischen Flüssigkeiten von
erheblicher Bedeutung ist haben wir zur
Klärung der Frage welcher der Ausdrücke
(1) und (2) verwendet werden muß einen
experimentellen Aufbau entwickelt.
Dabei wird eine flache, mit Ferrofluid gefüllte
Scheibe einem magnetischen Feldgradienten
parallel zur Flächennormalen
der Scheibe ausgesetzt. Das Feld ist in der
Ebene der Scheibe hochgradig homogen
und hat einen zum Feld parallelen Gradienten,
womit für die flache Scheibe keine
Tangentialkomponenten der Magnetisierung
auftreten und somit nach [4] Ausdruck
(2) gültig sein sollte. Die Scheibe ist
als Masse eines langen Pendels aufgehängt

so daß die magnetische Kraft zu einer Auslenkung
x des Pendels führt. Im Gleichgewicht
ist diese gerade gleich der horizontalen
Komponente der Gewichtskraft des
ausgelenkten Pendels. Damit kann man die
Auslenkung aufgrund einfacher geometrischer
Überlegung als Funktion des Produkts
aus Feld und Feldgradient in der
Form
x = λ
λ = μ
o
H
l
F
o
g
∇H
o
χ
( 1+ Dχ
)
2
β V
(4)
schreiben, wobei l die Länge des Pendels
und Fg die Gewichtskraft der Flüssigkeitsscheibe
bezeichnet. Der Faktor β unterscheidet
zwischen den beiden Ausdrücken
für die magnetische Kraft, ist also β=1 für
den klassischen Ausdruck der Kelvin-Kraft
und β=1+χ für den Ausdruck in [4]. Trägt
man die gemessenen Auslenkungen für
verschiedene Magnetfeldstärken gegen das
Produkt o o H H ∇ auf, so erhält man einen
linearen Zusammenhang dessen Steigung
λ Aufschluß über die adäquate Beschreibung
der magnetischen Kraft liefert. Durch
die Wahl eines sehr langen Pendels
(l=7650 mm) können bei sehr kleinen Auslenkungswinkeln
α bereits gut meßbare
Auslenkungen x erzielt werden, ohne daß
die Probe merklich gegenüber dem Feld
verkippt wird.
Der experimentelle Aufbau und die damit
erzielten Ergebnisse werden im Rahmen
des Workshops dargestellt werden.
Literatur
[1] L.D. Landau, E.M. Lifschitz; Elektrodynamik
der Kontinua. Verlag Harri
Deutsch, Berlin 1985
[2] R. Rosensweig; Ferrohydrodynamics.
Cambridge University Press, Cambridge
1985
[3] E. Blums, A. Cebers, M. Maiorov;
Magnetic Fluids. W. de Gruyter, Berlin,
New York 1997
[4] M. Liu; vorhergehender Artikel in
diesem Band