2. Die 1,3,2-Regel - MPG Trier
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Vorwort Seite 3<br />
Das Geheimnis Seite 4<br />
der Hüte<br />
<strong>Die</strong> Abschneideregel Seite 6<br />
Das Problem mit Seite 15<br />
der Brücke<br />
<strong>Die</strong> 1,3,2-<strong>Regel</strong> Seite 17<br />
der Zahl 7<br />
Nichttransitive Seite 28<br />
Glücksräder<br />
Witze Seite 34
Und schon wieder ist ein halbes Schuljahr<br />
vergangen; es ist also wieder an der Zeit einen<br />
neuen MADMAX herauszubringen.<br />
<strong>Die</strong>smal testen wir einige viele Zahlen auf ihre<br />
Teilbarkeit, werden von Inkas gefangen, versuchen<br />
unser Glück mit Rädern und bestanden viele<br />
weitere Abenteuer, die wir glücklicherweise<br />
überlebten.<br />
Ein kleines Rätsel soll eure grauen Zellen ebenfalls<br />
anregen. Weitere Rätsel dieser Art findet ihr<br />
übrigens unter www.denknetzwerk.de<br />
Damit der Humor nicht zu kurz kommt, haben wir<br />
diesmal zum ersten Mal (abgesehen von den<br />
Schneiderwitzen der letzten Ausgabe) eine<br />
Witzeseite.<br />
Euer Matheteam<br />
P.S.: Schaut euch doch auch mal im Intranet unser<br />
neues Geometrieprogramm EuklidDynaGeo<br />
an.
Es waren einmal drei Schatzsucher, die auf der<br />
Suche nach der „Goldenen Inkapyramide“ waren.<br />
Leider vielen sie den Inkas in die Hände. Da der<br />
Häuptling<br />
mit einem der Sucher verwandt war, stellte er sie auf<br />
die Probe:<br />
„Ich habe hier drei rote und zwei gelbe Hüte. Jeder<br />
von euch bekommt heimlich einen Hut aufgesetzt,<br />
dann werdet ihr euch gegenüber gestellt und müsst<br />
erraten welchen Hut ihr auf habt. Ihr dürft allerdings<br />
kein Wort miteinander sprechen!“<br />
Gesagt getan. <strong>Die</strong> Schatzsucher bekamen ihre Hüte<br />
auf. Sie überlegten eine Weile. Schließlich riefen alle<br />
wie aus einem Mund: „Ich habe einen roten Hut auf!“<br />
Richtig! Aber wie kamen sie darauf? Nun, um diese<br />
Aufgabe zu lösen muss man sich in die Lage der<br />
Forscher hineinversetzen. Was kann alles<br />
passieren?<br />
Person A sieht, dass Person B einen gelben Hut hat<br />
und C auch, dann muss A einen roten Hut haben.<br />
<strong>Die</strong>s trifft in unserem Fall aber nicht zu.<br />
A sieht, dass B einen gelben und C einen roten Hut<br />
auf dem Kopf hat. Nun überlegt sich A ganz richtig:<br />
Wenn ich einen gelben Hut auf dem Kopf hätte, dann<br />
müsste C ja je die beiden grauen Hüte bei mir und<br />
bei B sehen und sogleich verkünden, dass er selbst<br />
einen roten Hut trüge. Da C dies aber nicht tut, kann
A daraus schließen, dass er einen roten Hut trägt.<br />
Das trifft bei unserem Fall allerdings nicht zu.<br />
A sieht bei B und C rote Hüte. Wenn A einen gelben<br />
Hut trüge, müsste B, und natürlich auch C, die<br />
Überlegung der zweiten Möglichkeit anstellen, d. h.<br />
einer müsste behaupten einen roten Hut aufzuhaben.<br />
Da dies aber nicht geschieht, geht daraus hervor,<br />
das auch A einen roten Hut trägt.<br />
Der Inka-Häuptling hat also nur rote Hüte<br />
verwendet.<br />
„Gut Ding braucht Weile“<br />
Von Tom Jakobs &<br />
Jens Gierke
1.Einführung<br />
In unserer Klasse haben wir Teilbarkeitsregeln<br />
durchgenommen. Dabei ist uns aufgefallen, dass es<br />
keine <strong>Regel</strong> für die 7 gab. Es interessierte uns,<br />
warum es keine <strong>Regel</strong> für die 7 gibt.<br />
Unser Mathelehrer schaute dann im Internet nach.<br />
Dort fand er ein paar <strong>Regel</strong>n für die Zahl 7. Eine<br />
dieser <strong>Regel</strong>n wird in unserer Arbeit erklärt.<br />
<strong>2.</strong><strong>Regel</strong> und Beispiele<br />
<strong>Die</strong> <strong>Regel</strong>, die wir ausgewählt haben, nennen wir<br />
„Abschneideregel“, weil zuerst die beiden letzten<br />
Stellen abgeschnitten werden. Dann wird das, was<br />
übrig bleibt, mit 2 multipliziert. Anschließend<br />
werden die beiden abgeschnittenen Ziffern wieder<br />
dazu addiert.
Das kann man so lange machen, bis die Zahl nur<br />
noch 2 Stellen hat. Ist diese zweistellige Zahl durch<br />
7 teilbar, so ist auch die Anfangszahl durch 7<br />
teilbar.<br />
Alles klar? Nein?<br />
Dann machen wir ein paar Beispiele:<br />
1 581<br />
2⋅581<br />
=1081<br />
=91<br />
7∣91<br />
also: 7∣581<br />
2 427<br />
2⋅427<br />
=827<br />
=35<br />
7∣35<br />
also: 7∣427<br />
3 200006<br />
2⋅20006<br />
=40006<br />
= 4006<br />
2⋅406<br />
=806<br />
=86<br />
7∣86" nicht<br />
also:7∣200006 nicht<br />
3. Begründung der <strong>Regel</strong><br />
<strong>Die</strong> <strong>Regel</strong> scheint zu funktionieren, aber sie war<br />
uns unverständlich. Zuerst haben wir uns deshalb<br />
gefragt, was das Abschneiden der letzten beiden
Ziffern bedeutet. Das sieht man, wenn man die<br />
Zahl zerlegt:<br />
581=50081<br />
=5⋅10081<br />
Das erinnerte uns an den Beweis der Dreierregel.<br />
Dort haben wir die 100 in 99+1 zerlegt, weil die 99<br />
durch 3 teilbar ist.<br />
Hiermüssenwir100=98+2schreiben,weil98<br />
durch 7 teilbar ist.<br />
Also: 581=5⋅98281<br />
Dann wenden wir das Distributivgesetz an, also:<br />
5⋅985⋅281.<br />
Und da wir wissen, dass 7 die 98 teilt, können wir<br />
5⋅98 weglassen, so dass wir nur noch 5⋅281<br />
untersuchen müssen. Und das ist ja genau wieder<br />
unsere <strong>Regel</strong>! Also lässt man einfach einen Teil<br />
weg, der ja durch 7 teilbar ist. Und da 5⋅281 =<br />
91 ist , und 7|91 weiß man , dass 581 auch durch 7<br />
teilbar ist.<br />
Auch bei einer vierstelligen Zahl ist die<br />
Begründung die Gleiche. Als Beispiel haben wir<br />
uns die Zahl 4263 ausgesucht:
4263<br />
=420063<br />
=42⋅10063<br />
=42⋅98263<br />
=42⋅9842⋅263<br />
42⋅98 können wir weglassen, da wir<br />
wissen, dass 98 durch 7 teilbar ist (s.o.). Also muss<br />
man wieder die beiden letzten Ziffern und das<br />
Produkt addieren. Ist diese Summe auch durch 7<br />
teilbar, dann ist die ganze Zahl durch 7 teilbar.<br />
4. Übertragung auf die<br />
Zahl 11<br />
Außerdem haben wir uns gefragt ob diese <strong>Regel</strong><br />
auch für die Zahl 11 gilt. Wegen 5621 = 511 ¿11<br />
ist diese Zahl durch 11 teilbar und wir haben die<br />
<strong>Regel</strong> angewendet.
5621<br />
=2⋅5621<br />
=11221<br />
=131<br />
Pech: 131 ist nicht durch 11 teilbar. So funktioniert<br />
die <strong>Regel</strong> also nicht. Der Fehler liegt vielleicht bei<br />
der Multiplikation mit 2 und wir haben<br />
nachgesehen woher die 2 kommt. Es liegt an der<br />
Aufteilung der Hunderter: x⋅100=x⋅982 ,<br />
wobei wir die 98 hatten, weil sie durch 7 teilbar<br />
war. Hier brauchen wir eine Zahl, die durch 11<br />
teilbar ist und das wäre die 99:<br />
x⋅100= x⋅991<br />
= x⋅99 x⋅1<br />
Wir müssen also mit 1 multiplizieren.<br />
Zweiter Versuch:<br />
5621<br />
56⋅121<br />
=77<br />
<strong>Die</strong> <strong>Regel</strong> ist für die 11 also noch einfacher:<br />
abschneiden und addieren .
5. Übertragung auf die<br />
Zahl 13<br />
Nachdem es bei der Zahl 11 so gut funktioniert hat,<br />
haben wir uns überlegt ob die <strong>Regel</strong> auch bei 13<br />
funktioniert. Wir müssen nur 100 = 91 + 9<br />
zerlegen, weil 91 durch 13 teilbar ist.<br />
273=2⋅100 73<br />
=2⋅91973<br />
=2⋅912⋅9 73<br />
Und da wir wissen das 91 durch 13 teilbar ist,<br />
müssen wir 2⋅91 nicht mehr ausrechnen. Der<br />
Unterschied zur 11-<strong>Regel</strong> ist, dass man mit 9<br />
anstatt mit 1 multiplizieren muss.<br />
Also:<br />
273<br />
2⋅9 73<br />
=18 73<br />
=91<br />
Da 91 durch 13 teilbar ist, ist auch 273 durch 13<br />
teilbar.<br />
Das ganz hat einen Nachteil: Wegen der<br />
Multiplikation mit 9 können die Zahlen sehr groß<br />
werden. Wir wenden z.B. die <strong>Regel</strong> auf 7423 an:
7423<br />
74⋅923<br />
=66623<br />
=689<br />
Das ist viel Rechenarbeit.<br />
Idee:<br />
Statt 100=919 schreiben wir<br />
100=104− 4 und dann ändern wir die <strong>Regel</strong>:<br />
7423<br />
74⋅104− 423<br />
74⋅104<br />
−74⋅423<br />
Leider können wir −29623 nicht rechnen und<br />
die Idee ist nicht brauchbar (Unser Lehrer hat uns<br />
aber erklärt, dass man hier mit Minuszahlen<br />
rechnen kann: - 296 + 23 =<br />
- 273 und da 273 durch 13 teilbar ist, gilt die <strong>Regel</strong><br />
auch so).<br />
6. Überprüfung auf<br />
weitere Primzahlen<br />
Nach unserer Erfahrung mit der 13 könnten bei der<br />
17, der 19 usw. noch größere Zahlen auftreten. Bei
17 muss man statt wie bei der 13 mit 9 mit der 15<br />
multiplizieren, weil die größte durch 17 teilbare<br />
Zahl unter 100 die 85 ist . Und da die Differenz<br />
von 100 und 85 15 ist, muss man mit 15<br />
multiplizieren. Wir machen jetzt mal ein Beispiel<br />
mit der 17 :<br />
2992<br />
29⋅1592<br />
= 43592<br />
=527<br />
5⋅1527<br />
= 7527<br />
=102<br />
1⋅152<br />
=17<br />
Und da 17 durch 17 teilbar ist 2992 ebenfalls durch<br />
17 teilbar.<br />
7. Schlusswort<br />
Es ist uns gelungen die <strong>Regel</strong> für die Zahl 7 zu<br />
beweisen und zu erklären. Darauf fragten wir uns<br />
ob diese <strong>Regel</strong> auch für andere Zahlen gilt. Wir<br />
benutzten die <strong>Regel</strong> für die Zahlen 11, 13 und 17.
Auch bei diesen Zahlen funktionierte die <strong>Regel</strong><br />
bestens. Wir mussten sie nur anpassen. Es<br />
funktioniert bei allen Primzahlen. <strong>Die</strong> anderen<br />
natürlichen Zahlen müssen wir nicht überprüfen da<br />
es für diese Zahlen schon <strong>Regel</strong>n gibt.
1.Einführung<br />
Wir haben in der Schule mit unserem Mathelehrer Teilbarkeitsregeln behandelt und mussten<br />
feststellen, dass es keine <strong>Regel</strong> zur Teilbarkeit der Zahl 7 gibt. Zufällig hat unser Mathelehrer<br />
im Internet <strong>Regel</strong>n zur Teilbarkeit der Zahl 7 gefunden und da wir uns sofort dafür<br />
interessierten nannte er uns eine: <strong>Die</strong> 1,3,2-<strong>Regel</strong>. Wir verstanden sofort, warum wir sie nicht<br />
behandelt hatten: Sie ist sehr kompliziert. Da wir noch in einer Mathematik-AG mitarbeiten<br />
haben wir dann beschlossen, die <strong>Regel</strong> für „Schüler experimentieren“ genauer zu<br />
untersuchen.<br />
<strong>2.</strong> <strong>Die</strong> 1,3,2-<strong>Regel</strong><br />
Man stellt fest ob eine 3-stellige Zahl durch die Zahl 7 teilbar ist, mit der folgenden Methode:<br />
Man multipliziert die letzte Ziffer mit 1, die vorletzte mit 3, die erste mit 2 und addiert alle<br />
Produkte. Ist die Summe durch 7 teilbar, dann auch die Anfangszahl . <strong>Die</strong> so bestimmte<br />
Summe wird ähnlich gebildet wie die Quersumme, aber die einzelnen Ziffern werden<br />
unterschiedlich stark gewichtet. Deshalb spricht man von einer gewichteten Quersumme.<br />
Beispiel 1:<br />
<strong>Die</strong> Zahl 693 soll untersucht werden. Wir berechnen zuerst die gewichtete Quersumme:<br />
3⋅19⋅36⋅2<br />
=32712<br />
= 42<br />
<strong>Die</strong> gewichtete Quersumme 42 ist durch 7 teilbar und nach der <strong>Regel</strong> dann auch 693<br />
Probe: 693=99⋅7<br />
Beispiel 2:<br />
<strong>Die</strong> Zahl 987 soll auch untersucht werden. Wir berechnen wieder zuerst die gewichtete<br />
Quersumme:
7⋅18⋅39⋅2<br />
= 72418<br />
= 49<br />
= 7⋅7<br />
⇒ 7 teilt 987<br />
<strong>Die</strong> gewichtete Quersumme 49 ist durch 7 teilbar und nach der <strong>Regel</strong> dann auch 987.<br />
Ist eine Zahl nicht durch 7 teilbar, dann ist auch die gewichtete Quersumme nicht teilbar. Das<br />
zeigt das folgende Beispiel:<br />
Beispiel 3:<br />
449=9⋅1 4⋅3 4⋅2<br />
=9128<br />
=29<br />
Wie man direkt sieht ist 29 nicht durch 7 teilbar und nach der <strong>Regel</strong> dann auch 449 nicht.<br />
3. Begründung der <strong>Regel</strong><br />
Als wir im Unterricht die Teilbarkeitsregeln für 3 und 9 besprochen haben, haben wir die<br />
Zahlen so zerlegt, dass ein Teil durch 3 oder 9 teilbar war. Der Rest war dann die<br />
Quersumme. Wenn die auch teilbar war, dann war es die ganze Zahl.<br />
Beispiel 4:<br />
957<br />
=9⋅1005⋅10 7⋅1<br />
=9⋅9915⋅917⋅1<br />
=9⋅996⋅15⋅95⋅1 7⋅1<br />
=9⋅995⋅965 7<br />
durch 9 Quersumme<br />
teilbare Zahl<br />
Weil bei der 7er <strong>Regel</strong> auch so etwas wie eine Quersumme auftritt, haben wir dasselbe<br />
probiert. Wir mussten statt 9, 99 oder 999 aber andere Zahlen wählen, die man durch 7 teilen<br />
kann.<br />
Das geht so wie im nächsten Beispiel.<br />
Beispiel 5:
983<br />
=9⋅1008⋅103⋅1<br />
=9⋅9828⋅733⋅1<br />
=9⋅989⋅79⋅28⋅33⋅1<br />
=9⋅988⋅79⋅28⋅33⋅1<br />
durch 7 gewichtete<br />
teilbare Zahl Quersumme<br />
Bei der Zerlegung der Zahl kommt ein Teil heraus der durch 7 teilbar ist und ein anderer der<br />
die gewichtete Quersumme ist. Daher können wir einfach nach der <strong>Regel</strong> die gewichtete<br />
Quersumme bestimmen und prüfen, ob sie durch 7 teilbar ist.<br />
4. Übertragung der <strong>Regel</strong> auf mehrstellige Zahlen<br />
Wir testen nun eine 4-stellige Zahl 8743. Bei diesem Beispiel haben eine Zahl genommen die<br />
durch 7 teilbar ist und versucht, ob man auch die <strong>Regel</strong> anwenden kann. Weil wir nun vier<br />
Stellen haben, müssen wir die <strong>Regel</strong> ändern: wir brauchen noch einen Faktor! Als erstes<br />
dachten wir, wir können wieder mit 1 beginnen (1-3-2-1-3-2-1-3-2- ... –<strong>Regel</strong>).<br />
Beispiel 6:<br />
3⋅1 4⋅3 7⋅28⋅1<br />
=312148<br />
=37<br />
Problem:7 teilt 37 nicht aber 7 teilt 8743!<br />
Leider lässt sich die <strong>Regel</strong> so leicht nicht übertragen. Deshalb haben wir nachgedacht und in<br />
unseren Beweis gesehen: wir müssen die 1000 auch zerlegen.<br />
Beispiel 7:<br />
8⋅1000 7⋅100 4⋅103⋅1<br />
=8⋅99467⋅9824⋅733⋅1<br />
=8⋅9948⋅6 7⋅98 7⋅2 4⋅7 4⋅33⋅1<br />
=8⋅994 7⋅98 4⋅78⋅6 7⋅2 4⋅33⋅1<br />
Hier ist die erste Klammer sicher durch 7 teilbar, weil 994, 98 und 7 durch 7 teilbar sind.<br />
Das heißt, dass die zweite Klammer entscheidet. Das heißt, dass die <strong>Regel</strong> erweitert werden<br />
muss zur 1,3,2,6, -<strong>Regel</strong>, wenn wir vierstellige Zahlen untersuchen wollen.<br />
Auch für fünf- und sechsstellige Zahlen mussten wir neue Faktoren suchen, wie die beiden<br />
nächsten Beispiele zeigen.
Beispiel 8:<br />
47285<br />
= 4⋅10000 7⋅10002⋅1008⋅105⋅1<br />
= 4⋅9996 47⋅99462⋅9828⋅735⋅1<br />
= 4⋅9996 7⋅9942÷988⋅74⋅4 7⋅62⋅28⋅35⋅1<br />
Beispiel 9:<br />
teilbare Zahl gewichtete<br />
Q.S.<br />
435995<br />
= 4⋅1000003⋅100005⋅10009⋅1009⋅105⋅1<br />
= 4⋅9999553⋅9996 45⋅99469⋅9829⋅735⋅1<br />
= 4⋅999953⋅99965⋅9949⋅989⋅74⋅53⋅45⋅69⋅29⋅35⋅1<br />
teilbare Zahl gewichtete Q.S.<br />
Also haben wir jetzt eine 132645-<strong>Regel</strong>.<br />
Beispiel 10:<br />
4853954<br />
= 4⋅10000008⋅1000005⋅100003⋅10009⋅1005⋅10 4⋅1<br />
= 4⋅99999918⋅9999555⋅9996 43⋅9825⋅734⋅1<br />
= 4⋅999998⋅999955⋅99963⋅985⋅74⋅18⋅55⋅43⋅25⋅3 4⋅1<br />
teilbare Zahl gewichtete Q.S.<br />
Das ist umständlich. Aber dann hatten wir eine Idee: Statt 1000 = 994 + 6 kann<br />
man auch 1000 = 1001-1 schreiben<br />
Genauso für 10000 = 999+4 = 1000002 – <strong>2.</strong><br />
Nach diesen Rechnungen haben wir direkt gesehen, dass wir nur eine 1,3,2-<strong>Regel</strong><br />
brauchen. Wir müssen nur nach 1,3,2 mit –1,-3,-2 rechnen. Dann immer abwechselnd<br />
„Plus“ und „Minus“. Für unser 4-stelliges Beispiel sieht das dann so aus:
Beispiel 11:<br />
Beispiel 12:<br />
8743=3⋅1 4⋅3 7⋅2−8⋅1<br />
=31214−8<br />
=29−8<br />
=21<br />
⇒21 teilt 7<br />
735854161<br />
1⋅13⋅62⋅1−1⋅4−3⋅5−2⋅81⋅53⋅32⋅7<br />
=1182− 4−15−165914<br />
=14<br />
7 teilt"14<br />
5. Übertragung auf die Zahl 11<br />
Nachdem das mit der Zahl 7 so gut geklappt hat, dachten wir uns, man müsste die <strong>Regel</strong> doch<br />
eigentlich auch auf andere Zahlen übertragen können. Jetzt stellte sich die Frage, auf welche<br />
Zahl man die <strong>Regel</strong> übertragen könnte. Dann dachten wir an die Zahl 11. So war die Idee der<br />
Übertragung auf die Zahl 11 geboren.<br />
Wir haben als Beispiel die Zahl 847=11⋅77 untersucht.<br />
Wir zerlegen die Zahl wieder: 847=8⋅100 4⋅10 7⋅1 . Hier sieht man gleich das<br />
Problem:<br />
die 11 ist größer als 10! Aber man kann 10 = 11 – 1 schreiben.<br />
Neuer Versuch:<br />
847<br />
=8⋅9914⋅11−17⋅1<br />
=8⋅99 4⋅118⋅1− 4⋅1 7⋅1<br />
Wir müssen nur die letzte Klammer untersuchen und die ist 11 und damit durch 11 teilbar.<br />
Für die anderen Zehnerpotenzen haben wir ebenfalls die Faktoren gesucht und in die folgende<br />
Tabelle geschrieben:<br />
0<br />
1<br />
= 11 -1
10<br />
0<br />
100<br />
0<br />
1000<br />
0<br />
10000<br />
0<br />
= 99 +1<br />
= 1001 -1<br />
= 9999 +1<br />
= 100001 -1<br />
Daraus schließt sich : Es geht immer weiter : +1, -1, +1..................<br />
Beispiel:<br />
2914087 = 2914087=11⋅264917<br />
Test:<br />
2914087=200000090000010000 400080 7<br />
=2⋅99999918⋅100001−11⋅999914⋅1001−18⋅11−17⋅1<br />
=2⋅9999992⋅18⋅100001−8⋅11⋅99991⋅1 4⋅1001− 4⋅18⋅11−8⋅1 7⋅1<br />
=2⋅9999998⋅100001−1⋅9999 4⋅1001−8⋅112⋅18⋅1−1⋅1 4⋅1−8⋅1 7⋅1<br />
durch 11 teilbare Zahl Q.S. durch 11 teilbar<br />
Übertragung auf die Zahl 13<br />
Durch die Jury beim „Jugend forscht“ - Regionalwettbewerb in Bitburg erhielten wir die<br />
Anregung, eine ähnliche Teilbarkeitsregel, wie die „1,3,2-<strong>Regel</strong> für die Zahl 7,nicht nur für<br />
die Zahl 11, sondern auch für die Zahl 13 zu erstellen. <strong>Die</strong>s haben wir versucht, anschaulich<br />
an der Zahl 871 (= 13x67) anschaulich darzustellen.<br />
Eine Übertragung der <strong>Regel</strong> kann dann folgendermaßen aussehen:<br />
871<br />
=8⋅100 7⋅13−31⋅1<br />
=8⋅9197⋅13−31⋅1<br />
=8⋅918⋅9 7⋅13 7⋅3−31⋅1<br />
=8⋅91 7⋅138⋅9 7⋅13−31⋅1<br />
=8⋅7⋅13 7⋅138⋅9 7⋅3−31⋅1<br />
=8⋅7⋅13 7⋅1391<br />
Durch 13 teilb. Zahl gew. Q.S.<br />
Begründung der <strong>Regel</strong>
<strong>Die</strong> Zahlen in der 1. Klammer sind durch „13“ teilbar, da jeweils das Produkt ein vielfaches<br />
der Zahl „13“ ist.<br />
<strong>Die</strong> <strong>2.</strong> Klammer bildet die gewichtete Quersumme. In unserem Fall ist die Summe eine durch<br />
„13“ teilbare Zahl, wie man auch in dieser Zeile sehen kann. 8⋅7⋅13 7⋅1391<br />
Somit können wir feststellen, dass die Übertragung der 1,3,2-<strong>Regel</strong> auch auf die Zahl 13<br />
möglich ist.<br />
6. Schlusswort<br />
Wir haben eine etwas merkwürdige Teilbarkeitsregel für die Zahl 7 untersucht. Wir haben sie<br />
an Beispielen getestet und begründet. Wenn die Zahlen mehr als drei Stellen hatten, konnte<br />
man die <strong>Regel</strong> nicht mehr anwenden und wir haben neue Faktoren gesucht, mit denen wir die<br />
neuen Ziffern multiplizieren mussten. Nachdem wir insgesamt 6 Faktoren gefunden hatten, ist<br />
es wieder bei 1 losgegangen und wir haben auch bemerkt , dass man nicht die Faktoren<br />
1,3,2,6,4,5 benutzen muss, sondern dass man auch 1,3,2,-1,-3,-2 abwechselnd verwenden<br />
kann.<br />
Dann haben wir für die Zahl 11 noch eine ähnliche <strong>Regel</strong> gefunden. Für andere Primzahlen<br />
könnte man es auch versuchen. Aber im Prinzip wird es genauso gehen.
Bei einem unserer letzten Treffen zeichnete Herr<br />
Willkomm drei Kreise mit jeweils drei Zahlen<br />
(Glücksräder) an die Tafel.<br />
1) 8<br />
3 4<br />
2) 1<br />
5 9<br />
3) 6<br />
7 2<br />
Dann fragte er uns, welches Rad wir bei einem Spiel<br />
der drei Räder gegeneinander wählen würden, um zu<br />
gewinnen. Wir ließen jedes der drei Räder gegen die<br />
zwei anderen „antreten“, denn wir wollten wissen<br />
welches das „Beste“ war. Bleibt z.B. Rad 1) bei 3<br />
stehen und Rad 2) bei 5, hat natürlich Rad 2)<br />
gewonnen. Insgesamt gibt es 9 verschiedene<br />
Möglichkeiten, die alle gleich wahrscheinlich sind: (8;9),<br />
(8;5), (8;1), (4;9),....., (3;1)<br />
1)gegen 2)<br />
2 \ 1 8 3 4<br />
1 1) 1) 1)<br />
5 1) 2) 2)<br />
9 2) 2) 2)<br />
Wie die Tabelle zeigt, sind fünf der Möglichkeiten für<br />
Rad 2) günstig, aber nur 4 für Rad 1). Man sagt: Rad 1)<br />
gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von 4<br />
, Rad 2)<br />
9<br />
mit einer Wahrscheinlichkeit von 5<br />
. D.h., dass im<br />
Mittel Rad 2) in 5 von 9 Fällen der Sieger bleibt, kurz:<br />
Rad 2) gewinnt 5:4!<br />
9
2)gegen 3)<br />
3 \ 2 1 5 9<br />
6 3) 3) 2)<br />
7 3) 3) 2)<br />
2 3) 2) 2)<br />
Klarer Fall: 3) gewinnt gegen 2) und 2) gegen 1)! Also<br />
ist Rad 3) wohl das „Stärkste“, und schlägt Rad 1)<br />
wahrscheinlich locker!?<br />
3)gegen 1)<br />
1 \ 3 6 7 2<br />
8 1) 1) 1)<br />
3 3) 3) 1)<br />
4 3) 3) 1)<br />
Überraschung: 1) gewinnt 5:4<br />
Das ist verblüffend, man stelle sich vor: Peter ist kleiner<br />
als Ralf, Ralf kleiner als Roman und Roman kleiner als<br />
Peter!?<br />
<strong>Die</strong> Glücksräder sind nicht transitiv (transitiv wären<br />
sie, wenn 2) gegen 1) gewinnen würde, 3) gegen 2) und<br />
deshalb 3) auch gegen 1) gewinnen würde).<br />
Es ist egal welches Glücksrad man nimmt, die<br />
Gewinn-/ Verlierchancen sind immer gleich (wobei gilt:<br />
2)>1), 3)>2),1)>3);)<br />
Einem von uns fiel auf, dass jedes Glücksrad einer<br />
Spalte eines magischen Quadrates (für alle die nicht<br />
wissen was ein magisches Quadrat ist: bei einem<br />
magischen Quadrat sind die Summen von Zeilen,<br />
Spalten und Hauptdiagonalen identisch) der Größe 3x3<br />
entspricht:
8 1 6<br />
3 5 7<br />
4 9 2<br />
Nun interessierte es uns natürlich ob ein<br />
Zusammenhang zwischen den nicht transitiven<br />
Glücksrädern und den magischen Quadraten besteht.<br />
Also probierten wir das ganze mit einem magischen<br />
Quadrat der Größe 5x5:<br />
1 2 3 4 5<br />
1 2 0 0 15<br />
7 4 1 8<br />
2 0 0 1 16<br />
3 5 7 4<br />
0 0 1 2 22<br />
4 6 3 0<br />
1 1 1 2 03<br />
0<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
8<br />
9<br />
2<br />
5<br />
1<br />
0<br />
2<br />
Hier spielen jetzt nicht Glücksräder<br />
gegeneinander, sondern Spalten<br />
eines magischen Quadrates.<br />
09<br />
Ergebnis:<br />
1-2 11:14<br />
2-3 11:14<br />
3-4 11:14<br />
4-5 11:14<br />
5-1 11:14<br />
Also: Auch ein magisches Quadrat der Größe 5x5 kann<br />
man zur Bildung nichttransitiver Glücksräder nutzen.<br />
War diese Aussage zu verallgemeinern? Da wir für<br />
beliebige magische Quadrate keinen Ansatz fanden,<br />
haben wir uns auf magische Quadrate mit folgendem<br />
Konstruktionsverfahren konzentriert:
1)<br />
2)<br />
3)<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
4)<br />
1<br />
3<br />
4 2<br />
5)<br />
1<br />
3 5<br />
4 2<br />
6)<br />
1 6<br />
3 5<br />
4 2<br />
7)<br />
Man fängt mit der „1“ oben in der Mitte an.<br />
Nun setzt man die nächste Zahl nach oben<br />
rechts. Da das hier nicht möglich ist, geht man<br />
an das andere Ende der Zeile/Spalte.<br />
Hier das Gleiche: Oben rechts, an das andere<br />
Ende der Zeile/Spalte.<br />
Wenn man bei der n x X-ten (bei einem<br />
Quadrat n x n) angekommen ist geht man ein<br />
Feld nach unten.<br />
Nun geht das Ganze wieder von Vorne los.<br />
Hier funktioniert es mit oben rechts.<br />
Wieder nach oben rechts, geht nicht, also ans<br />
andere Ende der Zeile/Spalte.
1 6<br />
3 5 7<br />
4 2<br />
8)<br />
8 1 6<br />
3 5 7<br />
4 2<br />
9)<br />
8 1 6<br />
3 5 7<br />
4 9 2<br />
Hier ebenfalls.<br />
Hier wieder ein Feld nach unten.<br />
Noch einmal. Jetzt ist es fertig!!!<br />
<strong>Die</strong> Frage war nun, ob aus dieser speziellen<br />
Konstruktionsmethode folgt, dass mit größerer<br />
Wahrscheinlichkeit von zwei benachbarten Spalten<br />
immer die linke gegen die rechte verliert (die letzte<br />
Spalte wird dabei zum linken Nachbarn der ersten<br />
ernannt).<br />
Jetzt gab Herr Willkomm uns den Tipp, die Methode<br />
einmal ohne „Quadratbegrenzung“ auszuprobieren. Das<br />
ganze sieht dann folgendermaßen aus:
Mannschaft:<br />
2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3<br />
3 5 7 3 5 7 3 5 7<br />
2 4 9 2 4 9 2 4 9 2<br />
1 6 8 1 6 8 1 6 8 1<br />
3 5 7 3 5 7 3 5 7<br />
2 4 9 2 4 9 2 4<br />
1 6 8 1 6 8 1<br />
5 7 3 5 7<br />
9<br />
1<br />
2 4<br />
Aber auch dieser Ansatz brachte uns nicht weiter, da<br />
das Schema zu komplex wird. Vielleicht könnt ihr uns ja<br />
weiterhelfen (wendet euch dann an H. Willkomm).<br />
Jonas Scherer<br />
& Andreas Dixius