Skript

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Technische Universität München Ferienkurs Analysis 1
Hannah Schamoni Wintersemester 2011/12
Inhaltsverzeichnis
Folgen, Reihen, Potenzreihen,
Exponentialfunktion
20.03.2012
1 Folgen 2
2 Reihen 4
3 Potenzreihen 7
4 Exponentialfunktion 7

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1 Folgen
(1) Definition. Folge. Eine Folge ist eine Abbildung f : N → C. Anstatt f
schreibt man oft (an)n∈N, wenn f(n) = an.
(an) heißt reelle Folge, wenn an ∈ R ∀n ∈ N.
Man nennt (an) beschränkt, wenn ∃c ∈ R : ∀n ∈ N : |an| ≤ c.
(an) heißt konvergent, wenn es ein a ∈ C gibt, so dass
∀ɛ > 0 ∃N ∈ N ∀n > N : |an − a| ≤ ɛ.
a heißt Grenzwert oder Limes von (an). Man schreibt an → a oder lim
n→∞ an = a.
(2) Satz. Jede konvergente Folge ist beschränkt.
(3) Rechenregeln. Es seien (an) und (bn) konvergente Folgen in C mit den Grenzwerten
an → a und bn → b. Dann gilt:
• lim
n→∞ (an + bn) = a + b
• lim
n→∞ (an · bn) = a · b
an
• lim
n→∞ bn
= a
b für b = 0 und bn = 0 für fast alle n ∈ N.
Ist (an) eine Folge in C mit an → a ∈ C, dann gilt:
• |an| → |a|
• an → a
• Re an → Re a und Im an → Im a
• lim
n→∞ an = lim
n→∞ Re an + i · lim Im an
n→∞
(4) Einschließungskriterium Seien (an) und (bn) konvergente Folgen mit lim
und sei (cn) eine beliebige Folge mit an ≤ cn ≤ bn für fast alle n ∈ N.
Dann konvergiert auch (cn) und es gilt lim
n→∞ cn = a.
(5) Definition. Monotonie. Eine reelle Folge (an) heißt monoton wachsend
(fallend), wenn gilt: ∀n ∈ N: an ≤ an+1 (an ≥ an+1)
n→∞ an = lim
n→∞ bn ≡ a

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Gilt sogar an > an+1 bzw. an < an+1 ∀n ∈ N, so spricht man von strenger Monotonie.
(6) Satz. Eine beschränkte Folge konvergiert gegen sup {an}, wenn sie monoton
wachsend ist bzw. gegen inf {an}, wenn sie monoton fallend ist.
(7) Definition. Cauchy-Folge. Eine Folge (an) ∈ C N heißt Cauchy-Folge, falls
∀ɛ > 0 ∃N ∈ N : ∀n, m > N : |an − am| < ɛ.
(8) Cauchy-Konvergenzkriterium. Für (an) ∈ C N gilt:
(an) ist Cauchy-Folge ⇔ (an) ist konvergent
(9) Definition. Häufungspunkt. a ∈ C heißt Häufungspunkt von (an) ∈ C N ,
falls
∀ɛ > 0 ∀N ∈ N ∃n > N : |an − a| < ɛ.
Das bedeutet, dass an ∈ Uɛ(a) für unendlich viele n ∈ N.
Bemerkung: Jeder Grenzwert ist ein Häufungspunkt, aber nicht jeder Häufungspunkt
ist ein Grenzwert (vgl. die Folge (−1) n ).
(10) Definition. Teilfolge. Sei (an)n∈N ∈ C und sei (nk)k∈N eine streng monoton
wachsende Folge von Indizes. Dann nennt man (ank )k∈N eine Teilfolge von (an).
Bemerkungen: (i) an → a ⇒ ank → a für jede Teilfolge.
(ii) a ist Häufungspunkt von (an) ⇔ ∃ Teilfolge (ank ) mit lim ank = a
(11) Satz von Bolzano-Weierstraß. Jede beschränkte Folge besitzt eine monotone
Teilfolge und somit mindestens einen Häufungspunkt.
Bemerkung zu Konvergenzkriterien: Neben dem Cauchy-Kriterium und dem
Satz von Bolzano-Weierstraß gibt es eine weitere wichtige Aussage über Konvergenz:
Monotonie-Kriterium: Eine monotone Folge konvergiert genau dann, wenn sie beschränkt
ist. Sie strebt gegen ihr Supremum, falls sie wächst, bzw. gegen ihr Infimum,
falls sie fällt.

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(12) Definition. Limes superior/inferior. Sei (an) ∈ R N . Dann definiert man
lim sup an := inf sup {ak |k ≥ n} als Limes superior und
n→∞
n
lim inf inf {ak |k ≥ n} als Limes inferior.
n→∞ an := sup
n
Ist (an) beschränkt, so sind lim sup und lim inf der größte bzw. kleinste Häufungspunkt.
Einschub: Metrische Räume
Definition. Metrik. Eine Metrik auf einer Menge M ist eine Abbildung
d : M × M → [0, ∞ ) mit folgenden Eigenschaften:
(a) Nichtdegeneriertheit: ∀x, y ∈ M : d(x, y) = 0 ⇔ x = y
(b) Symmetrie: ∀x, y ∈ M : d(x, y) = d(y, x)
(c) Dreiecksungleichung: ∀x, y, z ∈ M : d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)
Das Paar (M, d) heißt metrischer Raum.
Man definiert außerdem die sogenannte ɛ-Umgebung:
Uɛ(a) := {x ∈ M |d(x, a) < ɛ} für ɛ > 0.
Metriken sind also eine Verallgemeinerung des Abstandsbegriffs. In den folgenden
Vorlesungen wird nur Gebrauch von der sogenannten Euklidischen Metrik ge-
macht. Diese ist definiert auf Rn .
n
d(x, y) := x − y, wobei x :=
i=1
x 2 i
1
2
Man nennt einen metrischen Raum vollständig, wenn jede Cauchy-Folge gegen
einen Grenzwert in M konvergiert. Der Euklidische Raum ist vollständig.
2 Reihen
(1) Definition. Reihe. Sei (an) ∈ C N . Dann heißt sn :=
n
ak, n ∈ N, Folge der
k=0
Partialsummen oder Reihe.
Konvergiert die Folge (sn), so heißt die Reihe konvergent. lim
n→∞ sn heißt dann Wert
der Reihe.
Bemerkung: Reihen und Folgen unterscheiden sich lediglich dadurch, dass man
bei Reihen versucht, Konvergenzaussagen in Abhängigkeit der Summanden ak zu
erhalten. Alle bisherigen Sätze über Folgen gelten auch für Reihen.

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Zwei wichtige Beispiele:
∞
(i) Die geometrische Reihe
(ii) Die harmonische Reihe
n=0
∞
n=1
q n konvergiert für |q| < 1 und zwar gegen 1
1−q .
1
n divergiert.
Im Folgenden sind einige Konvergenzkriterien für Reihen zusammengefasst.
(2) Cauchy-Kriterium. Die Reihe
(3) Ist
∞
ak konvergiert genau dann, wenn
k=0
m
∀ɛ > 0 ∃N ∈ N∀n > N∀m ≥ n :
k=n
ak
< ɛ.
∞
ak konvergent, so folgt aus dem Cauchy-Kriterium: lim
k=0
(4) Linearität. Sind die Reihen
die Reihen
k=0
∞
(ak + bk) und
k=0
k=0
∞
ak und
k=0
k→∞ ak = 0
∞
bk konvergent, so konvergieren auch
k=0
∞
(λak) und es gilt:
k=0
∞
∞ ∞
(ak + bk) = ak + bk und
k=0
∞
∞
(λak) = λ
k=0
(5) Leibniz-Kriterium. Ist (an) ∈ RN eine monotone Nullfolge (also eine monoton
fallende Folge nichtnegativer Zahlen mit ak → 0), so ist die alternierende Reihe
∞
k=0
(−1) k ak konvergent.
k=0
(6) Definition. Absolute Konvergenz. Eine Reihe
vergent, falls die Reihe
∞
|ak| konvergiert.
k=0
ak
∞
ak heißt absolut kon-
(7) Satz. Aus der absoluten Konvergenz folgt die ” normale“ Konvergenz. Die Umkehrung
gilt im Allgemeinen nicht (vgl. alternierende harmonische Reihe).
Konvergenzkriterien für absolute Konvergenz:
k=0

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(8) Majorantenkriterium. Sei
∞
bk eine konvergente Reihe mit ausschließlich
k=0
nichtnegativen Gliedern und sei (ak) eine Folge mit |ak| ≤ bk für fast alle k ∈ N.
∞
Dann konvergiert die Reihe
k=0
(9) Quotientenkriterium. Sei
ak absolut.
∞
ak eine Reihe mit ak = 0 für alle k > N für
k=0
N ∈ N. Existiert eine Zahl q mit 0 < q < 1, so dass gilt:
ak+1
≤ q für alle k > N, d.h. lim sup ak
ak+1
< 1,
ak
so ist die Reihe ak absolut konvergent.
(10) Wurzelkriterium. Sei
∞
ak eine Reihe und sei L := lim sup k |ak|. Dann
k=0
gilt: L < 1 ⇒ ak konvergiert absolut.
Bemerkung: Umgekehrt ist die Reihe für q ≥ 1 bzw. L ≥ 1 divergent. Lässt sich
in (8) eine divergente Minorante finden, so ist die Reihe ebenfalls divergent.
(11) Umordnungssatz. Sei
∞
ak eine absolut konvergente Reihe mit (ak) ∈ CN k=0
und sei g : N → N eine Bijektion (Permutation). Dann ist auch jede umgeordnete
∞
∞ ∞
Reihe ag(k) absolut konvergent und es gilt: ak = ag(k). k=0
(12) Cauchy-Produkt. Seien
ist auch die Reihe
∞
∞
cn =
n=0
k=0
ak
∞
k=0
∞
∞
ak und
k=0
ck mit cn :=
k=0
bk
k=0
k=0
∞
bk absolut konvergente Reihen. Dann
k=0
n
an−kbk absolut konvergent und es gilt:
k=0
Anmerkung: Rechentrick Teleskopsumme“. Hat man eine Reihe wie bei-
∞
”
1 1
spielsweise − , so ist es sinnvoll, sich zunächst die n-te Partialsumme
n n + 1
n=1
genauer anzuschauen:
sn = 1 − 1 1 1 1 1
1
1
2 + 2 − 3 + 3 − 4 + . . . − n+1 = 1 − n+1
Im Limes n → ∞ geht sn (und damit der Wert der Reihe) also in diesem Beispiel
gegen 1.

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3 Potenzreihen
(1) Definition. Potenzreihe. Eine Reihe P (z) :=
∞
an(z − z0) n mit Koeffizien-
ten an ∈ C und festem z0 ∈ C heißt Potenzreihe zum Entwicklungspunkt z0.
R := sup {|z − z0| | z ∈ C ∧ P (z) konvergiert} ∈ [0, ∞] heißt Konvergenzradius
der Potenzreihe P .
n=0
(2) Konvergenz von Potenzreihen.
∞
(a) |z − z0| < R ⇒ an(z − z0) n ist absolut konvergent
(b) |z − z0| > R ⇒
n=0
∞
an(z − z0) n ist divergent
n=0
1
(c) R = (Formel von Cauchy, Hadamard)
k
lim sup |ak|
k→∞
ak
(d) R = lim
k→∞ ak+1
(Formel von Euler)
∞
(e) Die abgeleitete Reihe akk(z − z0) k−1 hat den gleichen Konvergenzradius wie
k=1
die Ausgangsreihe. Gleiches gilt für die integrierte Potenzreihe.
(3) Rechenregeln. Seien P (z) =
∞
akz k und Q(z) =
k=0
den Konvergenzradien R1, R2 > 0. Dann gelten:
∞
(a) λP (z) + Q(z) = (λak + bk)z k , |z| < min(R1, R2)
(b) P (z)Q(z) =
reihen)
∞
k=0
k=0 l=0
4 Exponentialfunktion
∞
bkz k Potenzreihen mit
k=0
k
(albk−l)z k , |z| < min(R1, R2) (Cauchy-Produkt für Potenz-
(1) Definition. Exponentialfunktion. Man definiert die Potenzreihe
∞ z
exp(z) =
n=0
n
= ez
n!
als Exponentialfunktion, wobei z ∈ C. Der Konvergenzradius ist R = ∞.

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(2) Funktionalgleichung. z, w ∈ C ⇒ exp(z) exp(w) = exp(z + w)
(3) Satz. Für jede Folge (zn) ∈ CN gilt:
(zn → z) ⇒ 1 + zn
n
n → exp(z) .
Daraus folgt: e = lim 1 +
n→∞
1
n n
(4) Weitere Eigenschaften.
(a) ∀z ∈ C : exp(z) = 0
(b) ∀z ∈ C : exp(−z) = 1
exp(z)
(c) ∀x ∈ R : exp(z) > 0
(d) ∀x ∈ R : exp(αz) ist streng monoton wachsend (fallend) für α > 0 (α < 0)
(5) Umkehrfunktion. Da exp : R → R+ eine Bijektion ist, kann man eine Umkehrfunktion
definieren: ln : ] 0, ∞ [ → R.
(i) Funktionalgleichung: x, y > 0 ⇒ ln(xy) = ln(x) + ln(y)
(ii) ∀x > 0, q ∈ Q : ln(x q ) = q ln(x)
Man kann den Logarithmus im Komplexen fortsetzen; man nennt dies Hauptzweig
des Logarithmus. Es gilt: log : C\ {0} → {z ∈ C |Im(z) ∈ (−π, π)},
z ↦→ log(z) := ln |z| + i arg(z) (arg(z) = ϕ, vgl. Polardarstellung)
(6) Definition. Allgemeine Potenzfunktion. Für a ∈ C, z ∈ C\ {0} definiert
man:
z a := exp(a ln(z))
(7) Definition. Trigonometrische Funktionen. Sei z ∈ C.
• cos(z) :=
• sin(z) :=
∞
n=0
∞
n=0
(−1) n
(2n)! z2n
(−1) n
(2n + 1)! z2n+1
Diese Potenzreihen haben den Konvergenzradius R = ∞ und sind auf ganz C stetig.

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(8) Eigenschaften.
(a) sin(−z) = − sin(z) (ungerade Funktion)
(b) cos(−z) = cos(z)
(gerade Funktion)
eiz − e−iz , cos(z) = 1
eiz + e−iz
(c) sin(z) = 1
2i
(d) e iz = cos(z) + i sin(z) (Eulersche Formel)
(e) (sin z) 2 + (cos z) 2 = 1
(f) (cos z + i sin z) n = cos(nz) + i sin(nz)
(9) Additionstheoreme. Seien z, w ∈ C. Es gilt:
2
cos(z + w) = cos(z) cos(w) − sin(z)sin(w) und
sin(z + w) = sin(z) cos(w) + cos(z) sin(w)
(10) Definition. Hyperbolische Funktionen. Man definiert
• cosh(x) := cos(ix) = 1
2 (ex + e −x )
• sinh(x) := sin(ix) = 1
2 (ex − e −x )
Es gilt: (cosh x) 2 − (sinh x) 2 = 1
(11) Polardarstellung einer komplexen Zahl. Sei z ∈ C, z = x + iy. Dann gilt
auch: z = re iϕ .
Alle Zahlen mit gleichem r liegen in der komplexen Ebene auf einem Kreis.
Es gilt des Weiteren: ∀n ∈ Z : e i2πn = 1.
(12) Definition. Tangens, Kotangens. Sei z ∈ C.
• tan(z) = sin(z)
cos(z)
• cot(z) = cos(z)
sin(z)
für z = 2Z+1
2 π
für z = Zπ