III.2 Lösung der freien Klein–Gordon-Gleichung

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N.BORGHINI Relativistische Quantenmechanik Elementarteilchenphysik III.3.2 Physikalische Deutung Um die physikalische Deutung der oben eingeführten Operatoren âp, â † p , ˆbp und ˆb † p besser zu erkennen, werden jetzt zwei „üblichen“ Operatoren durch diese Leiteroperatoren ausgedrückt. Man kann zeigen, dass der Hamilton-Operator entsprechend der Klein–Gordon-Gleichung durch ˆH = ∂0 ˆ φ(x) † ∂0 ˆ φ(x) + ∇ ˆ φ(x) † · ∇ ˆ φ(x) + m2c2 2 ˆ φ(x) † φ(x) ˆ d 3 x (III.14) gegeben ist. Skizzenhaft ist die Klein–Gordon-Gleichung (III.4) die Bewegungsgleichung, die sich aus der Lagrange-Dichte LKG[φ(x), ∂ µ φ(x)] = ∂µφ(x) ∗ ∂ µ φ(x) − m2 c 2 2 φ(x)∗ φ(x) unter Nutzung der Euler–Lagrange-Gleichung, entsprechend der Extremierung der Wirkung, herleiten lässt. Führt man eine Legendre-Transformation dieser Dichte bezüglich ∂0φ(x) durch, so erhält man die Hamilton-Dichte, die den Integranden in Gl. (III.14) darstellt. Setzt man den Ausdruck (III.11a) des Klein–Gordon-Feldes in diesen Hamilton-Operator ein, so findet man ˆH 1 † = â 2 p âp + âp â † 1 p + ˆb † 2 p ˆbp + ˆbp ˆb † p Ep d 3 p = â † p âp + ˆb † p ˆbp + δ (3) (0) Ep d 3 p, (III.15) wobei die zweite Gleichung aus den Vertauschungsrelationen (III.10a) folgt. Bei den hermiteschen Operatoren ˆ N (a) p ≡ â† p âp und ˆ N (b) p ≡ ˆb † p ˆbp im rechten Glied erkennt man in Ähnlichkeit mit dem harmonischen Oszillator die Besetzungszahloperatoren für jeden Typ von Teilchen (a und b) mit einem gegebenen Impuls. Dazu stellt der Term δ (3) (0) die unphysikalische Vakuumenergie dar, die schon bei der Quantisierung des einfachen harmonischen Oszillator auftritt. Wichtig ist, dass beide Teilchenarten positiv zur Gesamtenergie beitragen, auch wenn in der Wellenfunktion-Beschreibung die Wellen des Typs b eine negative Energie hatten. Herleitung des Ausdrucks (III.15)... Aufgabe! Bemerkung: Der Ausdruck (III.14) des Hamilton-Operators liefert die hier adoptierte Dimension des Klein–Gordon-Feldes, und zwar ˆ φ = M 1/2 L 1/2 T . In einem System natürlicher Einheiten hat ˆ φ die Dimension einer Energie. Dazu geben die Kommutatoren (III.10a) die Dimension der Leiteroperatoren, â = ˆ b = (MLT −1 ) −3/2 . Um zwischen den beiden Teilchenarten unterscheiden zu können, kann man den Operator ˆN ≡ i ˆφ(x) † ∂0 c ˆ φ(x) − ˆ φ(x)∂0 ˆ φ(x) † d 3 x (III.16) betrachten. Der Vergleich dieser Definition mit der Zeitkomponente des Viererstroms (III.8) weist auf die Erhaltung der entsprechenden physikalischen Größe hin. Mit den Ausdrücken von ˆ φ(x) und ˆ φ(x) † in Abhängigkeit der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren und unter Verwendung der Vertauschungsrelationen der Letzteren ergibt sich ˆN 1 † = â 2 p âp + âp â † 1 p − ˆb † 2 p ˆbp + ˆbp ˆb † p d 3 p = â † p âp − ˆb † p ˆ bp d 3 p. (III.17) Gleichungen (III.11) und (III.12), mit ˆ φ(x) † und ∂0 ˆ φ(x) † bzw. ˆ φ(x) und ∂0 ˆ φ(x) geschrieben als Integrale über p bzw. q, führen zu â ˆN † = p eip·x/ + ˆ bp e −ip·x/ âq e −iq·x/ − ˆ b † q eiq·x/ Eq Ep 1/2 + âq e −iq·x/ + ˆ b † q eiq·x/ â † p eip·x/ − ˆ bp e −ip·x/ Ep Eq 1/2 d 3 p d 3 q 2(2π) 3 d3 x. III. Klein–Gordon-Gleichung 28
N.BORGHINI Relativistische Quantenmechanik Elementarteilchenphysik Multipliziert man die Produkte aus, so ergeben sich Terme der Art â † p âq e i(p−q)·x/ , mit entweder ±i(p − q) · x/ oder ±i(p + q) · x/ im Exponent. Durch die Integration über d 3 x werden diese Exponentialfunktionen durch entsprechende Terme (2π) 3 δ (3) (p−q) oder (2π) 3 δ (3) (p+q) ersetzt. Integriert man als nächstes über d 3 q, so werden die zwei Faktoren Eq/Ep und Ep/Eq gleich 1. Dann tauchen alle Produkte von â und ˆ b Operatoren bzw. von ihren adjungierten Operator als Kommutatoren auf, die dank Gl. (III.10b) verschwinden. Die restlichen Terme entsprechen gerade dem zweiten Glied in Gl. (III.17). Auf Gl. (III.17) erkennt man wieder die Besetzungszahloperatoren für jede Teilchenart, doch jetzt tragen sie mit entgegengesetzten Vorzeichen zu ˆ N bei. Dies lässt sich einfach interpretieren, indem man sich vorstellt, dass die zugehörige Erhaltungsgröße irgendeiner erhaltene „Ladung“ entspricht, wobei die Teilchen des Typs a eine positive Ladung und die Teilchen des Typs b eine negative Ladung tragen. Beide Teilchenarten besitzen also die gleiche Masse m — sie genügen derselben Klein–Gordon- Gleichung —, doch ihre Ladungen sind entgegengesetzt: bei dem Typ b handelt es sich definitionsgemäß um die Antiteilchen zum Typ a. Somit lässt die Feynman–Stückelberg-Interpretation der Quanten des Typs b als Antiteilchen mit positiver Energie einfach als natürliche Folgerung des Formalismus wiederentdecken. Die Wirkungen der unterschiedlichen Leiteroperatoren lassen sich wie folgt zusammenfassen: • âp vernichtet ein Teilchen mit Impuls p, das also im Anfangszustand eines Streuprozesses vorhanden sein muss. Somit steht dieser Vernichter für ein einlaufendes Teilchen. • â † p erzeugt ein Teilchen mit Impuls p, das sich also im Endzustand eines Stoßes befinden wird: dieser Erzeugungsoperator repräsentiert ein auslaufendes Teilchen. • ˆ bp vernichtet ein einlaufendes Antiteilchen mit Impuls p. • ˆb † p erzeugt ein auslaufendes Antiteilchen mit Impuls p. Wenn das Feldoperator ˆ φ(x) hermitesch ist, so dass die entsprechende Wellenfunktion φ(x) = 〈 ˆ φ(x)〉 reelle Werte annimmt, dann gilt âp = ˆ bp für jeden p: das Teilchen ist sein eigenes Antiteilchen. Dieser Fall wird länger in Abschn. V.2 diskutiert. Bemerkung: Die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren â † p , âp, ˆ b † p und ˆ bp — und somit das Feldoperator ˆ φ(x), dessen hermitesch Konjugierte und deren Ableitungen — sind Operatoren auf einem (bosonischen) Fock-Raum, der den geeigneten Hilbert-Raum für Viel-Teilchen-Systeme darstellt. Ein besonderer Zustand dieses Raums ist der Vakuumzustand |0〉, der so definiert ist, dass âp|0〉 = ˆ bp|0〉 = 0 für jeden p gilt. Literatur • Landau & Lifschitz, Band IV [13], Kap. II § 10–12. • Nachtmann [14], Kap. 3.2. • Schwabl [1], Kap. 5.1–5.2. III. Klein–Gordon-Gleichung 29
Seite 1 und 2: N.BORGHINI Relativistische Quantenm
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