III.2 Lösung der freien Klein–Gordon-Gleichung
III.2 Lösung der freien Klein–Gordon-Gleichung
III.2 Lösung der freien Klein–Gordon-Gleichung
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N.BORGHINI Relativistische Quantenmechanik Elementarteilchenphysik<br />
<strong>III.2</strong> <strong>Lösung</strong> <strong>der</strong> <strong>freien</strong> <strong>Klein–Gordon</strong>-<strong>Gleichung</strong><br />
<strong>III.2</strong>.1 Allgemeine <strong>Lösung</strong><br />
Da die <strong>Klein–Gordon</strong>-<strong>Gleichung</strong> eine lineare partielle Differentialgleichung ist, kann man als<br />
<strong>Lösung</strong>sansatz eine ebene Welle<br />
φ(x) = N e −ik·x<br />
annehmen, mit N einer Normierungskonstante. Mit k · x = kµx µ = k µ xµ gibt das Einsetzen dieses<br />
Ansatzes in Gl. (III.4)<br />
Dies führt zur Dispersionsrelation<br />
<br />
−kµk µ + m2 c 2<br />
2<br />
<br />
N e −ik·x = 0.<br />
k 0 <br />
= ± k 2 + m2c2 /2 ,<br />
d.h. für jeden Wert des Wellenvektors k kann die Zeitkomponente k 0 zwei mögliche Werte annehmen.<br />
Eine allgemeine <strong>Lösung</strong> <strong>der</strong> <strong>Klein–Gordon</strong>-<strong>Gleichung</strong> ist eine Linearkombination solcher ebenen<br />
Wellen, mit beliebigen Koeffizienten. Um die beiden möglichen Vorzeichen von k 0 einfacher zu<br />
berücksichtigen, bezeichnet man<br />
Dann lautet die allgemeine <strong>Lösung</strong><br />
<br />
φ(t, x) =<br />
Die Substitution k → −k im zweiten Summanden gibt<br />
<br />
φ(t, x) =<br />
<br />
ω ≡ +c k<br />
k 2 + m2c2 /2 . (III.6)<br />
N+( k) e −iω t+i k k·x + N−( k) e iω t+i k k·x d3k .<br />
(2π) 3<br />
N+( k) e −iω t+i k k·x + N−(−k) e iω t−i k k·x d3k .<br />
(2π) 3<br />
Führt man dann die Substitutionen k → p<br />
und ω → k p0c <br />
ω k t − k · x →<br />
p · x<br />
,<br />
≡ Ep<br />
<br />
durch, so gilt einerseits<br />
während die eingeführten Größen p 0 und p, kombiniert zu einem Vierervektor p, dank Gl. (III.6)<br />
<strong>der</strong> Beziehung p 2 = m 2 c 2 genügen. Man kann noch die Koeffizienten N+( k), N−(− k) durch neue<br />
Koeffizienten ap, bp wie folgt ersetzen 19<br />
N+( k) → (2π)3/2 c<br />
2Ep<br />
ap, N−(− k) → (2π)3/2 c<br />
2Ep<br />
19 Die auf den ersten Blick willkürlich aussehenden Faktoren von , c o<strong>der</strong> Ep werden später in Abschn. III.3 zu<br />
einfacheren <strong>Gleichung</strong>en führen.<br />
III. <strong>Klein–Gordon</strong>-<strong>Gleichung</strong> 25<br />
b ∗ p
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Die allgemeine <strong>Lösung</strong> <strong>der</strong> <strong>Klein–Gordon</strong>-<strong>Gleichung</strong> (III.4) wird dann zu<br />
<br />
φ(x) = ap e −ip·x/ + b ∗ p eip·x/<br />
c d3p . (III.7)<br />
(2π) 3 2Ep<br />
Wenn ap und bp für jeden Wert von p unabhängig voneinan<strong>der</strong> sind, dann ist das Skalarfeld φ(x)<br />
komplexwertig, entsprechend zwei reellen Freiheitsgraden. Ein solches Feld beschreibt z.B. geladene<br />
Pionen π ± . Dagegen ist φ(x) reellwertig wenn ap = bp für jeden p, entsprechend einem einzigen<br />
Freiheitsgrad: die beschreibt z.B. neutrale Pionen π 0 .<br />
<strong>III.2</strong>.2 Teilchen-Interpretation <strong>der</strong> <strong>Klein–Gordon</strong>-Wellenfunktion<br />
Sucht man jetzt nach einer speziellen <strong>Lösung</strong>, die ein einziges Teilchen mit Masse m und Impuls<br />
q beschreibt, so trifft man auf eine Schwierigkeit.<br />
In <strong>der</strong> Tat führen die natürlichen Versuche ap ∝ δ (3) (p − q) o<strong>der</strong> bp ∝ δ (3) (p − q) jeweils zu<br />
<strong>Lösung</strong>en φ(t, x) ∝ e −iE q t/+iq·x/ o<strong>der</strong> φ(t, x) ∝ e iE q t/−iq·x/ . Die Letztere könnte aber auch<br />
ein Teilchen mit negativer Energie −Eq und Impuls −q beschreiben, was unannehmbar ist: wenn<br />
Teilchen mit negativer Energie existieren, dann kann man immer die Energie des Universums durch<br />
die Erzeugung neuer Teilchen reduzieren, und das Universum wird unstabil.<br />
Dieses Problem lässt sich an<strong>der</strong>s betrachten. Sei φ(x) eine <strong>Lösung</strong> <strong>der</strong> <strong>Klein–Gordon</strong>-<strong>Gleichung</strong>.<br />
Definiert man dann einen Viererstrom durch20 j µ i ∗ µ µ ∗<br />
KG (x) ≡ φ(x) ∂ φ(x) − φ(x)∂ φ(x)<br />
2m<br />
<br />
cρKG(t, x)<br />
≡<br />
, (III.8)<br />
jKG(t, x)<br />
so findet man<br />
+ ∇ · jKG(t, x) = 0,<br />
<br />
(III.9)<br />
entsprechend einer Kontinuitätsgleichung: damit prüft man einfach nach, dass ρKG(t, x) d 3 Erhaltungsgröße ist.<br />
x eine<br />
∂µj µ<br />
KG (x) = ∂ρKG(t, x)<br />
∂t<br />
Beweis <strong>der</strong> Gl. (III.9)... Aufgabe 9!<br />
In Anlehnung am nicht-relativistischen Fall möchte man ρKG(t, x) bzw. jKG(t, x) als eine Wahrscheinlichkeitsdichte<br />
bzw. eine Wahrscheinlichkeitsstromdichte interpretieren. 21 Im Fall einer ebenen<br />
Welle φ(x) = N e ∓ip·x/ findet man aber j µ<br />
KG (x) = ±|N |2 p µ /m. Eine <strong>Lösung</strong> in e ip·x/ — d.h. mit<br />
negativer Energie — hat somit ρKG < 0, was für eine Wahrscheinlichkeitsdichte nicht gelten kann.<br />
Diese <strong>Lösung</strong>en mit negativer Energie — die man nicht einfach wegwerfen darf, da e ip·x/ eine<br />
ebenso gültige <strong>Lösung</strong> wie e −ip·x/ ist — haben historisch viel Verwirrung verursacht.<br />
20 Der Faktor /2m wurde eingeführt in Ähnlichkeit mit <strong>der</strong> Definition <strong>der</strong> Wahrscheinlichkeitsstromdichte<br />
jSchr. = i <br />
ψ ∗<br />
∇ψ − ψ<br />
∗<br />
<br />
∇ψ<br />
2m<br />
<strong>der</strong> Schrödinger-<strong>Gleichung</strong>.<br />
21 µ<br />
Tatsächlich sollte j KG durch c geteilt werden, um die passenden Einheiten für eine solche Interpretation zu erhalten.<br />
Die Einheiten <strong>der</strong> Schrödinger- und <strong>der</strong> <strong>Klein–Gordon</strong>-Wellenfunktion sind nicht die gleichen, vgl. Bemerkung<br />
am Ende des Abschn. III.3.2.<br />
III. <strong>Klein–Gordon</strong>-<strong>Gleichung</strong> 26
N.BORGHINI Relativistische Quantenmechanik Elementarteilchenphysik<br />
Die triviale <strong>Gleichung</strong> e +iE p t/ = e −iE p(−t)/ deutet eine mögliche problemlose Deutung <strong>der</strong><br />
<strong>Lösung</strong>en mit negativer Energie an, die auf Stückelberg and Feynman zurückgeht. Somit wird in<br />
dieser Feynman–Stückelberg-Interpretation ein Teilchen mit negativer Energie (e +iE p t/ ) als ein<br />
Teilchen mit positiver Energie, das rückwärts in <strong>der</strong> Zeit propagiert, interpretiert. In einem zweiten<br />
Schritt wird das Letztere als ein Antiteilchen mit positiver Energie, das sich vorwärts in <strong>der</strong> Zeit<br />
bewegt, angesehen.<br />
Bildlich lässt sich die Äquivalenz zwischen Teilchen, die vorwärts in Zeit propagieren, und <strong>der</strong>en<br />
Antiteilchen, die rückwärts propagieren, so darstellen:<br />
✲t Teilchen<br />
<br />
Antiteilchen<br />
∼= ¦<br />
Um die anscheinende Willkür dieser Interpretation etwa zu begründen, wird jetzt die korrekte<br />
Beschreibung von Teilchen und Antiteilchen, basierend auf Quantenfel<strong>der</strong>n, jetzt eingeführt.<br />
III.3 Zweite Quantisierung <strong>der</strong> <strong>freien</strong> <strong>Klein–Gordon</strong>-<strong>Gleichung</strong><br />
In diesem Abschnitt wird <strong>der</strong> Übergang von einer Wellenfunktion- zu einer quantenfeldtheoretischen<br />
Beschreibung skizziert.<br />
III.3.1 Zweite Quantisierung<br />
Ersetzt man in die <strong>Lösung</strong> (III.7) <strong>der</strong> <strong>Klein–Gordon</strong>-<strong>Gleichung</strong> die klassischen Zahlen ap, bp ∈ C<br />
durch Operatoren âp, ˆ bp eines noch unspezifizierten Hilbert-Raums mit den einfachen Vertauschungs-<br />
relationen <br />
âp, â † (3)<br />
q = δ (p − q),<br />
sowie<br />
<br />
âp, âq = ˆbp, ˆ <br />
bq = âp, ˆbq so wird die Wellenfunktion φ(x) zu einem Feldoperator<br />
<br />
ˆφ(x) = âp e −ip·x/ + ˆb †<br />
<br />
ˆbp, ˆb † (3)<br />
q = δ (p − q) (III.10a)<br />
<br />
= âp, ˆb † <br />
q = · · · = 0, (III.10b)<br />
c d 3 p<br />
p eip·x/ <br />
(2π) 32Ep . (III.11a)<br />
Dieses Ersetzen von kommutierenden Zahlen mit nicht-kommutierenden Operatoren wird als zweite<br />
Quantisierung bezeichnet.<br />
Die Kommutatoren (III.10) ähneln stark den Vertauschungsrelationen <strong>der</strong> bei <strong>der</strong> Quantisierung<br />
des harmonischen Oszillators eingeführten Leiteroperatoren â und â † . Somit werden jetzt die âp und<br />
als Vernichtungs- bzw. Erzeugungsoperatoren bezeichnet.<br />
ˆ bp bzw. die â †<br />
p und ˆ b †<br />
p<br />
Der zu ˆ φ(x) hermitesch konjungierte Operator lautet<br />
ˆφ(x) † <br />
= â †<br />
c d 3 p<br />
p eip·x/ + ˆbp e −ip·x/ <br />
(2π) 32Ep Definiert man einen zum Feldoperator ˆ φ(x) kanonisch konjugierten Operator durch<br />
ˆπ(x) ≡ 1<br />
c ∂0 ˆ φ(x) † = i<br />
c<br />
<br />
â †<br />
p eip·x/ − ˆbp e −ip·x/<br />
Ep d3p <br />
(2π) 32Ep . (III.11b)<br />
, (III.12)<br />
so führen die verschiedenen Vertauschungsrelationen (III.10) zum Kommutator<br />
ˆφ(t, x), ˆπ(t, y) = i δ (3) (x − y). (III.13)<br />
Hier sollen die Fel<strong>der</strong> zur gleichen Zeit betrachtet werden. Diese Relation ist ähnlich dem kanonischen<br />
Kommutator [ˆx, ˆpx] = i <strong>der</strong> Quantenmechanik.<br />
Beweis <strong>der</strong> Relation (III.13)... stellt eine gute Aufgabe dar!<br />
III. <strong>Klein–Gordon</strong>-<strong>Gleichung</strong> 27
N.BORGHINI Relativistische Quantenmechanik Elementarteilchenphysik<br />
III.3.2 Physikalische Deutung<br />
Um die physikalische Deutung <strong>der</strong> oben eingeführten Operatoren âp, â †<br />
p , ˆbp und ˆb †<br />
p besser zu<br />
erkennen, werden jetzt zwei „üblichen“ Operatoren durch diese Leiteroperatoren ausgedrückt.<br />
Man kann zeigen, dass <strong>der</strong> Hamilton-Operator entsprechend <strong>der</strong> <strong>Klein–Gordon</strong>-<strong>Gleichung</strong> durch<br />
<br />
ˆH = ∂0 ˆ φ(x) † ∂0 ˆ φ(x) + ∇ ˆ φ(x) † · ∇ ˆ φ(x) + m2c2 2 ˆ φ(x) † <br />
φ(x) ˆ d 3 x (III.14)<br />
gegeben ist.<br />
Skizzenhaft ist die <strong>Klein–Gordon</strong>-<strong>Gleichung</strong> (III.4) die Bewegungsgleichung, die sich aus <strong>der</strong><br />
Lagrange-Dichte<br />
LKG[φ(x), ∂ µ φ(x)] = ∂µφ(x) ∗ ∂ µ φ(x) − m2 c 2<br />
2 φ(x)∗ φ(x)<br />
unter Nutzung <strong>der</strong> Euler–Lagrange-<strong>Gleichung</strong>, entsprechend <strong>der</strong> Extremierung <strong>der</strong> Wirkung,<br />
herleiten lässt. Führt man eine Legendre-Transformation dieser Dichte bezüglich ∂0φ(x) durch,<br />
so erhält man die Hamilton-Dichte, die den Integranden in Gl. (III.14) darstellt.<br />
Setzt man den Ausdruck (III.11a) des <strong>Klein–Gordon</strong>-Feldes in diesen Hamilton-Operator ein, so<br />
findet man<br />
<br />
ˆH<br />
1<br />
†<br />
= â<br />
2 p âp + âp â † 1<br />
p + ˆb †<br />
2 p ˆbp + ˆbp ˆb † <br />
p<br />
<br />
Ep d 3 <br />
p = â †<br />
p âp + ˆb †<br />
p ˆbp + δ (3) <br />
(0) Ep d 3 p, (III.15)<br />
wobei die zweite <strong>Gleichung</strong> aus den Vertauschungsrelationen (III.10a) folgt. Bei den hermiteschen<br />
Operatoren ˆ N (a)<br />
p ≡ â†<br />
p âp und ˆ N (b)<br />
p ≡ ˆb †<br />
p ˆbp im rechten Glied erkennt man in Ähnlichkeit mit dem<br />
harmonischen Oszillator die Besetzungszahloperatoren für jeden Typ von Teilchen (a und b) mit<br />
einem gegebenen Impuls. Dazu stellt <strong>der</strong> Term δ (3) (0) die unphysikalische Vakuumenergie dar, die<br />
schon bei <strong>der</strong> Quantisierung des einfachen harmonischen Oszillator auftritt. Wichtig ist, dass beide<br />
Teilchenarten positiv zur Gesamtenergie beitragen, auch wenn in <strong>der</strong> Wellenfunktion-Beschreibung<br />
die Wellen des Typs b eine negative Energie hatten.<br />
Herleitung des Ausdrucks (III.15)... Aufgabe!<br />
Bemerkung: Der Ausdruck (III.14) des Hamilton-Operators liefert die hier adoptierte Dimension<br />
des <strong>Klein–Gordon</strong>-Feldes, und zwar ˆ φ = M 1/2 L 1/2 T . In einem System natürlicher Einheiten<br />
hat ˆ φ die Dimension einer Energie. Dazu geben die Kommutatoren (III.10a) die Dimension <strong>der</strong><br />
Leiteroperatoren, â = ˆ b = (MLT −1 ) −3/2 .<br />
Um zwischen den beiden Teilchenarten unterscheiden zu können, kann man den Operator<br />
ˆN ≡ i<br />
<br />
ˆφ(x) †<br />
∂0<br />
c<br />
ˆ φ(x) − ˆ φ(x)∂0 ˆ φ(x) †<br />
d 3 x (III.16)<br />
betrachten. Der Vergleich dieser Definition mit <strong>der</strong> Zeitkomponente des Viererstroms (III.8) weist<br />
auf die Erhaltung <strong>der</strong> entsprechenden physikalischen Größe hin.<br />
Mit den Ausdrücken von ˆ φ(x) und ˆ φ(x) † in Abhängigkeit <strong>der</strong> Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren<br />
und unter Verwendung <strong>der</strong> Vertauschungsrelationen <strong>der</strong> Letzteren ergibt sich<br />
<br />
ˆN<br />
1<br />
†<br />
= â<br />
2 p âp + âp â † 1<br />
p − ˆb †<br />
2 p ˆbp + ˆbp ˆb † <br />
p<br />
<br />
d 3 <br />
p = â †<br />
p âp − ˆb †<br />
p ˆ <br />
bp d 3 p. (III.17)<br />
<strong>Gleichung</strong>en (III.11) und (III.12), mit ˆ φ(x) † und ∂0 ˆ φ(x) † bzw. ˆ φ(x) und ∂0 ˆ φ(x) geschrieben als<br />
Integrale über p bzw. q, führen zu<br />
<br />
â<br />
ˆN<br />
†<br />
=<br />
p eip·x/ + ˆ bp e −ip·x/ âq e −iq·x/ − ˆ b †<br />
q eiq·x/ Eq<br />
Ep<br />
1/2<br />
+ âq e −iq·x/ + ˆ b †<br />
q eiq·x/ â †<br />
p eip·x/ − ˆ bp e −ip·x/ Ep<br />
Eq<br />
1/2 d 3 p d 3 q<br />
2(2π) 3 d3 x.<br />
III. <strong>Klein–Gordon</strong>-<strong>Gleichung</strong> 28
N.BORGHINI Relativistische Quantenmechanik Elementarteilchenphysik<br />
Multipliziert man die Produkte aus, so ergeben sich Terme <strong>der</strong> Art â †<br />
p âq e i(p−q)·x/ , mit entwe<strong>der</strong><br />
±i(p − q) · x/ o<strong>der</strong> ±i(p + q) · x/ im Exponent. Durch die Integration über d 3 x werden<br />
diese Exponentialfunktionen durch entsprechende Terme (2π) 3 δ (3) (p−q) o<strong>der</strong> (2π) 3 δ (3) (p+q)<br />
ersetzt. Integriert man als nächstes über d 3 q, so werden die zwei Faktoren Eq/Ep und Ep/Eq<br />
gleich 1. Dann tauchen alle Produkte von â und ˆ b Operatoren bzw. von ihren adjungierten<br />
Operator als Kommutatoren auf, die dank Gl. (III.10b) verschwinden. Die restlichen Terme<br />
entsprechen gerade dem zweiten Glied in Gl. (III.17).<br />
Auf Gl. (III.17) erkennt man wie<strong>der</strong> die Besetzungszahloperatoren für jede Teilchenart, doch jetzt<br />
tragen sie mit entgegengesetzten Vorzeichen zu ˆ N bei. Dies lässt sich einfach interpretieren, indem<br />
man sich vorstellt, dass die zugehörige Erhaltungsgröße irgendeiner erhaltene „Ladung“ entspricht,<br />
wobei die Teilchen des Typs a eine positive Ladung und die Teilchen des Typs b eine negative<br />
Ladung tragen.<br />
Beide Teilchenarten besitzen also die gleiche Masse m — sie genügen <strong>der</strong>selben <strong>Klein–Gordon</strong>-<br />
<strong>Gleichung</strong> —, doch ihre Ladungen sind entgegengesetzt: bei dem Typ b handelt es sich definitionsgemäß<br />
um die Antiteilchen zum Typ a.<br />
Somit lässt die Feynman–Stückelberg-Interpretation <strong>der</strong> Quanten des Typs b als Antiteilchen<br />
mit positiver Energie einfach als natürliche Folgerung des Formalismus wie<strong>der</strong>entdecken.<br />
Die Wirkungen <strong>der</strong> unterschiedlichen Leiteroperatoren lassen sich wie folgt zusammenfassen:<br />
• âp vernichtet ein Teilchen mit Impuls p, das also im Anfangszustand eines Streuprozesses<br />
vorhanden sein muss. Somit steht dieser Vernichter für ein einlaufendes Teilchen.<br />
• â †<br />
p erzeugt ein Teilchen mit Impuls p, das sich also im Endzustand eines Stoßes befinden wird:<br />
dieser Erzeugungsoperator repräsentiert ein auslaufendes Teilchen.<br />
• ˆ bp vernichtet ein einlaufendes Antiteilchen mit Impuls p.<br />
• ˆb †<br />
p erzeugt ein auslaufendes Antiteilchen mit Impuls p.<br />
Wenn das Feldoperator ˆ φ(x) hermitesch ist, so dass die entsprechende Wellenfunktion φ(x) = 〈 ˆ φ(x)〉<br />
reelle Werte annimmt, dann gilt âp = ˆ bp für jeden p: das Teilchen ist sein eigenes Antiteilchen.<br />
Dieser Fall wird länger in Abschn. V.2 diskutiert.<br />
Bemerkung: Die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren â †<br />
p , âp, ˆ b †<br />
p und ˆ bp — und somit das<br />
Feldoperator ˆ φ(x), dessen hermitesch Konjugierte und <strong>der</strong>en Ableitungen — sind Operatoren auf<br />
einem (bosonischen) Fock-Raum, <strong>der</strong> den geeigneten Hilbert-Raum für Viel-Teilchen-Systeme darstellt.<br />
Ein beson<strong>der</strong>er Zustand dieses Raums ist <strong>der</strong> Vakuumzustand |0〉, <strong>der</strong> so definiert ist, dass<br />
âp|0〉 = ˆ bp|0〉 = 0 für jeden p gilt.<br />
Literatur<br />
• Landau & Lifschitz, Band IV [13], Kap. II § 10–12.<br />
• Nachtmann [14], Kap. 3.2.<br />
• Schwabl [1], Kap. 5.1–5.2.<br />
III. <strong>Klein–Gordon</strong>-<strong>Gleichung</strong> 29
N.BORGHINI Literaturverzeichnis Elementarteilchenphysik<br />
Literaturverzeichnis<br />
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2008).<br />
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Strahlung, Wärme, 5. Aufl. (Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München, 2007).<br />
[4] T. Fließbach, Lehrbuch zur theoretischen Physik I. Mechanik, 4. Aufl. (Spektrum Akademischer<br />
Verlag, Heidelberg & Berlin, 2003).<br />
[5] L. Landau, E. Lifschitz, Lehrbuch <strong>der</strong> theoretischen Physik. Band II : Klassische Feldtheorie,<br />
12. Aufl. (Harri Deutsch, Frankfurt am Main, 1997).<br />
[6] W. Nolting, Grundkurs Theoretische Physik. Band 4 : Spezielle Relativitätstheorie. Thermodynamik,<br />
6. Aufl. (Springer, Berlin & Heidelberg, 2005).<br />
[7] H. Georgi, Lie Algebras in Particle Physics, 2. Aufl. (Westview Press, Reading, MA, 1999).<br />
[8] P. Ramond, Group theory: A physicist’s survey (University Press, Cambridge, 2010).<br />
[9] Particle Data Group (J. Beringer et al.), Review of Particle Physics, Phys. Rev. D 86 (2012)<br />
010001.<br />
[10] E. Schrödinger, Ann. Phys. 81 (1926) 109–139.<br />
[11] W. Gordon, Z. Phys. 40 (1926) 117–133.<br />
[12] O. Klein, Z. Phys. 41 (1927) 407–442.<br />
[13] L. Landau, E. Lifschitz, Lehrbuch <strong>der</strong> theoretischen Physik. Band IV : Quantenelektrodynamik,<br />
7. Aufl. (Harri Deutsch, Frankfurt am Main, 1991).<br />
[14] O. Nachtmann, Phänomene und Konzepte <strong>der</strong> Elementarteilchenphysik (Vieweg, Braunschweig,<br />
1986).<br />
[15] P. A. M. Dirac, Proc. Roy. Soc. Lond. A 117 (1928) 610–624.<br />
[16] D. Griffiths, Elementary Particle Physics (Wiley-VCH, Weinheim, 2008).<br />
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