Lehrplan Geometrie 4. Klasse - Didaktik der Mathematik ...

Didaktik der Mathematik
Universität Würzburg
Didaktik der
Grundschulmathematik II
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.1 Jürgen Roth
Inhaltsverzeichnis
Kapitel 4: Didaktik der Geometrie 4.3
4.1 Geometrie in der GS – Was und warum? 4.4
4.2 Raumvorstellung – Räumliches Denken 4.13
4.3 Begriffsbildung in der Geometrie
4.4 Geometrische Kompetenzen bei
4.47
Grundschülern 4.64
4.5 Räumliche Objekte 4.74
4.6 Ebene Figuren 4.107
4.7 Symmetrie 4.124
4.8 Messen 4.143
4.9 Zeichnen 4.163
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.2 Jürgen Roth

Kapitel 4:
Didaktik der
Geometrie
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.3 Jürgen Roth
4.1 Geometrie in der GS
Was und warum?
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.4 Jürgen Roth

Was ist Geometrie?
Geometrie ist die Wissenschaft vom uns umgebenden Raum.
• Geometrie ist das älteste mathematische Teilgebiet. Viele
Jahrhunderte lang war Mathematik im wesentlichen Geometrie.
Zunächst war Geometrie einen (reinen) Naturwissenschaft.
Die alten Griechen entdeckten die Macht des Denkens:
Man kann durch reines Denken Erkenntnisse erzielen!
Das Denken folgt gewissen Regeln, den Gesetzen der Logik:
Wenn die Voraussetzungen eines logischen Schlusses gegeben
sind, dann gilt automatisch auch die Folgerung.
Die Griechen entdeckten die Logik und damit auch die
Möglichkeit der Mathematik.
Im Mittelalter gab es den Ausdruck „more geometrico” („nach
geometrischer Art”). Damit wurden Argumentationsketten
bezeichnet, die streng logisch aufgebaut waren.
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.5 Jürgen Roth
Grundideen der (Elementar-)Geometrie
Geometrische Formen und ihre Konstruktion im uns
umgebenden dreidimensionalen Raum
Operationen mit Formen
Koordinaten
Messen
Muster / Strukturen
Formen in der Umwelt und ihre Beziehungen mit Hilfe
der Geometrie beschreiben
Geometrisieren
Begründen und Beweisen
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.6 Jürgen Roth

Warum Geometrie in der Grundschule?
Fast jedes Denken, jede kognitive
Kompetenz bedient sich visueller
geometrischer Stützen.
Fähigkeit, zur Umwelterschließung
vorwiegend geometrische
Struktur des Raumes
Vorbereitung auf die Geometrie
in den Sekundarstufen
…
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.7 Jürgen Roth
Lehrplan Geometrie 1. Klasse
Raumerfahrung und -vorstellung
Lagebeziehungen am eigenen
Körper erfahren und erfassen.
Die Lage von Gegenständen
im Raum erfassen und
beschreiben.
Beziehungen von Gegenständen
– zum eigenen Körper
– zueinander
Wege im Raum realisieren
und beschreiben
Begriffe der räumlichen Lage
sicher gebrauchen
oben – unten, über – unter – auf,
hinten – vorne, hinter – vor, links (von) –
rechts (von), zwischen – neben
Flächenformen
entdecken
untersuchen, beschreiben,
benennen und herstellen
nach selbst gefundenen und
vorgegebenen Kriterien
vergleichen und klassifizieren
Fachbegriffe:
– Viereck, Rechteck, Quadrat
– Dreieck
– Kreis
– *Drachen, Raute
Figuren, Muster, Parkette und
Ornamente aus geometrischen
Grundformen zusammensetzen
und beschreiben
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Lehrplan Geometrie 2. Klasse
Raumerfahrung und -vorstellung
Die Lage von Gegenständen
im Raum erfassen und
beschreiben
– von verschiedenen
Standorten aus
– aus der Vorstellung
Wege im Raum beschreiben
Begriffe der räumlichen Lage
sicher gebrauchen
Flächen- und Körperformen
Mit Flächenformen handeln
Körperformen in der Umwelt
entdecken
Mit Körpermodellen handeln
Körpermodelle herstellen
Körperformen untersuchen,
beschreiben, benennen, nach
selbst gefundenen und
vorgegebenen Kriterien
vergleichen und klassifizieren
Fachbegriffe:
– Würfel, Quader, Kugel
– Ecke, Kante, Fläche
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.9 Jürgen Roth
Lehrplan Geometrie 3. Klasse
Flächen- und Körperformen
Körperformen untersuchen,
beschreiben, vergleichen,
klassifizieren und benennen und
daran bekannte Flächenformen
entdecken
Körperformen in der Umwelt
entdecken
Der Würfel als geometrische
Körperform
Modelle herstellen
Eigenschaften an Modellen
erschließen (Ecken, Kanten,
quadratische Flächen)
Zusammenhang zwischen Netzen
und Würfel konkret und in der
Vorstellung erkunden
Fachbegriffe:
– Zylinder, Pyramide, Kegel
– rechter Winkel
Raumerfahrung und -vorstellung
Grundrisse und Lagepläne lesen
Wege in Plänen beschreiben
Lageskizzen erstellen
Achsensymmetrie
Eigenschaften symmetrischer
Figuren entdecken
Symmetrische Figuren
entdecken, erstellen, zeichnen
und beschreiben
Symmetrien in der Umwelt
auffinden
Fachbegriffe:
– Symmetrieachse,
– symmetrisch, deckungsgleich
Geometrische Figuren zeichnen
Strecken exakt messen und
zeichnen
Freihändig zeichnen
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.10 Jürgen Roth

Lehrplan Geometrie 4. Klasse
Raumerfahrung und -vorstellung
Karten, Lagepläne und Netzpläne lesen, Wege beschreiben
Einen einfachen Grundriss, Lageplan maßstabsgetreu erstellen
Maßstabsgetreue Grundrisszeichnungen, Pläne und Karten lesen
Flächen- und Körperformen
Körperformen
– konkrete oder räumlich dargestellte Gegenstände und Körper
von verschiedenen Seiten betrachten
– Flächendarstellungen von Gegenständen und Körpern dem
Standort des Betrachters zuordnen
Der Quader als geometrische Körperform
– Modelle herstellen
– Eigenschaften an Modellen erschließen; Würfel als
besonderen Quader erkennen (Ecken; Kanten; rechteckige
bzw. quadratische Flächen)
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.11 Jürgen Roth
Lehrplan Geometrie 4. Klasse
– aus der Abwicklung von Quadermodellen Netze erschließen;
verschiedene Netze finden
– Quadernetze konkret und in der Vorstellung erproben
– Kippbewegungen am Quader
– Mit Einheitswürfeln bauen
frei und nach Plan bauen
Körperinhalte handelnd und in der Vorstellung vergleichen
Symmetrie
Achsensymmetrische Figuren zeichnen
Einfache Figuren nach Vorschrift verschieben bzw. drehen
Eigenschaften der Drehsymmetrie entdecken
Drehsymmetrie in der Umwelt auffinden
Geometrische Figuren zeichnen
Linien und Strecken zeichnen, abmessen
Mit Zeichendreieck und Zirkel zeichnen
Freihändig zeichnen
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4.2 Raumvorstellung –
Räumliches Denken
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.13 Jürgen Roth
Raumvorstellung ist ein Intelligenzfaktor
Thurstone: Es gibt sieben Primärfaktoren der Intelligenz
1. Sprachverständnis
2. Wortflüssigkeit
3. Rechenfertigkeit
4. Wahrnehmungstempo
5. Räumliches Vorstellungsvermögen
6. Merkfähigkeit
7. Logisches Denken
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.14 Jürgen Roth

Komponenten des Räumlichen Denkens
Standpunkt
der
Probanten
Person
befindet
sich
außerhalb
Person
befindet
sich
innerhalb
Dynamische
Denkvorgänge
Räumliche Relationen
am Objekt veränderlich
Veranschaulichung
Vorstellungsfähigkeit
von Rotationen
Räumliche Orientierung
Statische Denkvorgänge
Räumliche Relationen
am Objekt veränderlich;
Relation der Person
zum Objekt veränderlich
Räumliche Beziehungen
Räumliche Wahrnehmung
Rechts-Links-
Unterscheidung
Maier (1999)
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.15 Jürgen Roth
Räumliche Wahrnehmung
Fähigkeit die Senkrechte und Waagrechte identifizieren,
also räumliche Beziehungen in Bezug auf den eigenen
Körper erfassen zu können.
Beispiel: Wasseroberfläche
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.16 Jürgen Roth

Veranschaulichung (räuml. Visualisierung)
Fähigkeit, sich gedanklich Aktivitäten wie Verschieben,
Falten und Schneiden von räumlichen Objekten oder
Objektteilen n vorstellen zu können.
Beispiel:
Welche Buchstaben staben des
Schrägbilds entsprechen
ntsprechen
den Ziffern im Netz?
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.17 Jürgen Roth
Mentale Rotation
Fähigkeit, sich Rotationen von zwei- oder dreidimensionalen
Objekten vorstellen zu können.
Beispiel:
Welche der vier
Figuren (a – d)
stimmen mit der
oben links überein?
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.18 Jürgen Roth

Räumliche Beziehungen
Fähigkeit räumliche Konfigurationen von mehreren
Objekten oder Objektteilen zu erfassen.
Beispiel:
Drei der vier Schrägbilder zeigen den selben Würfel.
Welches Bild zeigt einen anderen?
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.19 Jürgen Roth
Räumliche Orientierung
Fähigkeit, den Standort der eigenen Person, also die
Perspektive unter der etwas betrachtet wird, zu wechseln.
Beispiel:
Ein Urlauber ist mit dem Boot von
Westen kommend die Küste entlanggefahren.
In welcher Reihenfolge hat
er die sechs Fotos aufgenommen?
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.20 Jürgen Roth

Visuelle Wahrnehmung
Visuomotorische Koordination
Figur-Grund-Diskriminierung
Wahrnehmungskonstanz
Wahrnehmung räumlicher Beziehungen
Wahrnehmung der Raumlage
Visuelle Unterscheidung
Visuelles Gedächtnis
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.21 Jürgen Roth
Visuomotorische Koordination
Fähigkeit das Sehen mit dem eigenen Körper oder Teilen
des eigenen Körpers zu koordinieren.
Beispiel:
Zeichne nach!
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.22 Jürgen Roth

Figur-Grund-Diskriminierung
Fähigkeit aus einem komplexen Hintergrund bzw. einer
Gesamtfigur eingebettete Teilfiguren zu erkennen und zu
isolieren.
Diese Fähigkeit benötigt man u. a. um sich auf einer Schulbuchseite
zurechtzufinden oder einen Gegenstand aus einem Regal zu holen.
Beispiel:
Färbe das Rechteck!
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.23 Jürgen Roth
Wahrnehmungskonstanz
Fähigkeit Figuren in verschiedenen Größen, Anordnungen,
räumlichen Lagen oder Färbungen wieder zu
erkennen und von anderen Figuren zu unterscheiden.
Beispiel:
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.24 Jürgen Roth

Wahrnehmung räumlicher Beziehungen
Fähigkeit Beziehungen zwischen räumlichen Objekten zu
erkennen und zu beschreiben.
Beispiel: Wo steht der Quader?
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.25 Jürgen Roth
Wahrnehmung der Raumlage
Fähigkeit zum Erkennen der Raum-Lage-Beziehung eines
Gegenstandes zum Standpunkt der Person, die diesen
Gegenstand wahrnimmt.
Beispiele:
1. Drei-Berge-Versuch von Piaget
2.
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.26 Jürgen Roth

Visuelle Unterscheidung
Fähigkeit nicht nur Gemeinsamkeiten sondern auch
Unterschiede zwischen Objekten zu erkennen.
Beispiele:
1. Sortieren und Klassifizieren geometrischer Körper
2.
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.27 Jürgen Roth
Visuelles Gedächtnis
Fähigkeit charakteristische Merkmale eines nicht mehr
präsenten Objektes vorstellungsmäßig auf andere
präsente Objekte zu beziehen.
Beispiele:
1. Würfelförmigen
felförmigen
Baustein stein suchen.
2.
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.28 Jürgen Roth

Kopfgeometrie
Senftleben_Erkundungen_zur_Kopfgeometrie
Eine Möglichkeit zur Förderung des räumlichen
Vorstellungsvermögens ist die Kopfgeometrie.
– Kopfgeometrie ist hilfsmittelfreie Geometrie,
sie kommt ohne gegenständliche Modelle oder
Bilder aus.
– Nur Vorstellungen über geometrische Objekte
und sprachlich formuliertes Wissen über sie
bilden das „Handwerkszeug” zum Lösen kopfgeometrischer
Aufgaben.
– Die Aufgaben werden mündlich oder schriftlich
(evtl. auch bildhaft oder handelnd) gestellt,
aber nur im Kopf gelöst (ohne Papier & Bleistift,
Computer …)
– Die Ergebnisse werden mündlich oder schriftlich
dargestellt.
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.29 Jürgen Roth
Kopfgeometrie Kopfrechnen
Kopfrechnen und Kopfgeometrie unterscheiden sich
wesentlichen voneinander!
– Kopfrechnen:
An elementaren Aufgaben werden Algorithmen
abgearbeitet und automatisiert.
– Kopfgeometrie:
Das Lösen geometrischer Aufgaben im Kopf
erfordert die Fähigkeit sich geometrische
Gebilde vorstellen zu können, ihre Lage, ihre
Größe und ihre Form zu variieren, sie zu
kombinieren und dabei das Wissen über sie
anzuwenden.
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.30 Jürgen Roth

Kopfgeometrie besteht aus drei Phasen
1. Phase: Vorstellung der Fragestellung
Sprache
Sprache + Gestik
Sprache + Bild bzw. Modell
2. Phase: Räumliches Vorstellen, Operieren im Kopf
3. Phase: Präsentation der Ergebnisse
Sprache
Sprache + Gestik
Sprache + Bild bzw. Modell
In Abhängigkeit von den Mitteln, die in der 1. und 3. Phase erlaubt
sind ergibt sich einen Abfolge des Schwierigkeitsgrades.
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.31 Jürgen Roth
Kopfgeometrie muss vorbereitet werden!
PIAGET (1971):
Das Denken basiert auf verinnerlichte Handlungen.
Empirische Untersuchungen belegen: Der handlungsorientierte
und experimentelle Einsatz von Modellen ist für die Entwicklung
der Raumvorstellung im Geometrieunterricht äußerst wichtig ist.
Durch sinnliche Wahrnehmungen entstehen Vorstellungsbilder,
die auch ohne das Vorhandensein der realen Objekte verfügbar
sind und gedanklich verändert werden können.
Die Schüler sollten durch operative Aktivitäten auf niedrigerer
Stufe (z. B. Arbeiten mit konkreten Materialien, Anfertigen von
Zeichnungen, … ) ausreichend Gelegenheit zur Ausbildung und
Stärkung ihrer räumlichen Vorstellungen bekommen.
Bei Vorstellungsproblemen sollte, auf die handelnde Ebene mit
Materialen zurückgegriffen werden.
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.32 Jürgen Roth

Papierfalten (im Kopf)
Quadrat
falten
falten
einschneiden
Wie sieht das aufgefaltete
Papier
nun aus?
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.33 Jürgen Roth
Papierfalten (im Kopf)
Wie sieht das
aufgefaltete
Papier jeweils
anschließend
aus?
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.34 Jürgen Roth

Papierfalten (im Kopf)
Lösungen
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.35 Jürgen Roth
Methodische Anmerkungen
Abstufung des Schwierigkeitsrades
(bei „Faltaufgaben“ z. B. zunächst nur einmal falten)
Bei Schwierigkeiten evtl. Kontrollinformationen anbieten von
denen nur eine richtig ist.
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.36 Jürgen Roth

Methodische Anmerkungen
Kontrollfragen der Lehrerin
– Wie viel Schichten Papier liegen nach dem Falten
übereinander?
– Wo befinden sich beim zusammengefalteten Papier
die Faltachsen?
die Ränder des aufgefalteten Blattes?
– Wie würde das aufgefaltete Blatt aussehen, wenn man nach
dem Falten nur die Ecken abgeschnitten hätte?
Vorstellungen konkretisieren
– Beim vorgestellten Operieren die Augen schließen.
(Keine Ablenkung durch Umwelt bzw. statische Aufgabenstellungen.)
– Vorstellend kinästhetisch arbeiten.
Z. B. ein imaginäres Blatt mit den Händen falten, Schnitte ausführen
(z. B. durch deuten mit dem Zeigefinger auf die Schnittkanten).
Solche Vorstellungen helfen wirklich! Probieren Sie es aus.
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.37 Jürgen Roth
Würfelschnitte
Lassen sich die Schnittflächen der geschnittenen
Würfel mit einem Schnitt erzeugen?
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.38 Jürgen Roth

Würfelschnitte - Lösungshinweis
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.39 Jürgen Roth
Würfelteile
Welche der acht
Teile lassen sich
zu einem Würfel
zusammensetzen?
A – C; B – H; D – F; E – G
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.40 Jürgen Roth

Drei-Tafel-Bilder
Existiert der
jeweilige Körper?
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.41 Jürgen Roth
Verdecktes Viereck
Um welche Vierecke könnte es sich jeweils handeln?
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.42 Jürgen Roth

Körperansichten
Aus welcher Richtung siehst du die Körper im linken Bild so?
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.43 Jürgen Roth
Puzzle
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.44 Jürgen Roth

Entwicklung des Räumlichen Denkens (Piaget)
Präoperationale Phase
(ca. 2 bis ca. 7 Jahre)
Topologische Beziehungen
Kategoriale Relationen
offen / geschlossen
verbunden / unverbunden
innen / außen
nah / fern …
Konkret-operationale Phase
(ab ca. 7 Jahre)
Projektive Beziehungen
Ordnungsrelationen
A kommt vor B
X liegt rechts von Y …
Relativität der Standpunkte
Euklidische Beziehungen
Distanzrelationen
Konstruktion von Linien
Figur, Körper
konstante Maßeinheit
Konstantes Bezugssystem
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.45 Jürgen Roth
Entwicklung des Räumlichen Denkens (Piaget)
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.46 Jürgen Roth

4.3 Begriffsbildung
in der Geometrie
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.47 Jürgen Roth
Was ist ein Begriff?
Begriffe
– sind die Bausteine menschlichen Wissens,
– bezeichnen keinen Einzelobjekte sondern
charakterisieren eine ganze Klasse von Objekten,
– können durch
Konstruktion (genetische Definition),
Abstraktion (Konventionaldefinition) oder
Spezifikation aus einem Oberbegriff (Realdefinition)
gewonnen werden,
– verdichten Informationen,
– organisieren das Verhalten,
– sind die Grundlage der sprachlichen Kommunikation,
– beeinflussen die Leistungen des Gedächtnisses und
das Problemlösen.
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.48 Jürgen Roth

Rolle von Begriffen
Leitbegriff eines Themenstrangs
Figur, Messen …
Schlüsselbegriff einer Unterrichtssequenz
Symmetrie, Vierecke …
Zentraler Begriff einer Unterrichtseinheit
Arbeitsbegriff
Begriff, der in der Unterrichtseinheit erarbeitet wird.
rechter Winkel, Symmetrieachse …
Benennung, um über Sachverhalte überhaupt
ohne Umschreibung sprechen zu können.
Arbeitsbegriffe werden im Unterricht durch den
Gebrauch vertraut.
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.49 Jürgen Roth
Stufen des Begriffsverständnisses
1. Intuitives Begriffsverständnis
Der Begriff als Phänomen.
Beispiele kennen.
2. Inhaltliches Begriffsverständnis
Der Begriff als Träger von Eigenschaften
Eigenschaften kennen.
3. Integriertes Begriffsverständnis
Der Begriff als Teil eines Begriffsnetzes
Beziehungen von Eigenschaften untereinander
und Beziehungen zu anderen Begriffen kennen.
4. Formales Begriffsverständnis
Einbettung des Begriffs in einen
axiomatischen Aufbau der Geometrie.
Seiten
Rechteck
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.50 Jürgen Roth

Modelle langfristigen Begriffslernens
Lernen durch Ansammeln
Weitgehend isolierte Einzelheiten.
Lernen als Ersteigen von Stufen
Reflexion und Analyse bereits erworbenen Wissens
führt zu Wissen höherer Qualität. Höhere Stufe
(u. U. mehrere Stufen nacheinander)
Lernen durch Erweiterung
Neue Objekte beseitigen Grenzen, auf die man beim
operieren mit den bisherigen Objekten stößt.
Vertrautes wird nun in neuem Licht gesehen.
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.51 Jürgen Roth
Begriffe als …
Quelle von Problemstellungen
Umkreis Welche Polygone besitzen einen Umkreis?
Mittel zur Präzisierung von Problemstellungen
„Wann sind Figuren ähnlich?“ Ähnlichkeitsabbildung
Lösungshilfe für Probleme
Dreieckskonstruktion Ortslinie
Lösungen von Problemen
Schnittfläche beim Schneiden einer Wurst Ellipse
Mittel zur Sicherung von Problemlösungen
Wo liegen die Orte, von denen man eine Strecke
unter einem rechten Winkel sieht? Thaleskreis
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.52 Jürgen Roth

Verstehen eines Begriffs
Lernende haben einen Begriff verstanden, wenn sie
Bezeichnung des Begriffs kennen,
Beispiele angeben und jeweils begründen können,
warum es sich um ein Beispiel handelt,
begründen können, weshalb etwas nicht unter einen
Begriff fällt,
charakteristische Eigenschaften des Begriffs kennen,
Ober-, Unter- und Nachbarbegriffe kennen.
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.53 Jürgen Roth
Erarbeiten eines Begriffs
Erfahrungen zum Begriff sammeln
Handlungen (enaktive Repräsentation)
Objekte darbieten
Beispiele für Begriffe
(ikonische Repräsentation)
Merkmale entdecken
Prinzip der Variation
Prinzip des Kontrasts
Sprache (benennen, beschreiben)
Definition erarbeiten
Charakterisierende Definition
Genetische Definition
Oberbegriff angeben
Definierende Eigenschaft notwendige und
hinreichende Bedingung für den Begriff
Kritisch Reflektieren
Definition durch möglichst „schwache“ Forderung
Bezeichnung: Herkunft / evtl. Abgrenzung gegen Umgangssprache
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.54 Jürgen Roth

Unterrichtsphasen bei zentralen Begriffen
Einstieg
In einem geeigneten Problemkontext können ersten
Vorstellungen vom Begriff entwickelt werden.
Erarbeitung
Umfang und Inhalt des Begriffs werden herausgearbeitet.
Sicherung
Beispiele und Gegenbeispiele helfen den Begriff gegen
andere Begriffe abzugrenzen und die Existenzfrage zu
klären.
Vertiefung
Es werden Querverbindungen zu anderen Begriffen
hergestellt und Spezialfälle (insbesondere Grenzfälle)
betrachtet. (Z. B. auch Variation der definierenden
Eigenschaften.)
Vertiefung & Sicherung Verankerung in der kognitiven Struktur
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.55 Jürgen Roth
Beispiel: Tangente an einen Kreis
Einstieg: Wie viele Punkte können ein Kreis und eine Gerade
gemeinsam haben?
Erarbeitung:
Ergebnisse:
Tangente, Berührpunkt,
Sekante, 2 Schnittpunkte,
Passante, keine gem. Punkte.
Sicherung: Tangente zeichnen!
Vertiefung: Besitzt die Figur aus Kreis und
Tangente eine Symmetrieachse?
Tangente steht senkrecht auf
dem Berührpunktradius.
Wie kann man die Tangente
konstruieren?
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.56 Jürgen Roth

Beispiel: Tangente an einen Kreis
Vertiefung: Wie viele Tangenten an den Kreis verlaufen durch den
Punkt P?
Skizziere Sie!
Wie kann man die Tangenten konstruieren?
M P
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.57 Jürgen Roth
van-Hiele-Modell
Pierre und Dina van Hiele beschreiben fünf Denkebenen,
die bei der Entwicklung des geometrischen Denkens durchlaufen
werden.
0. Niveaustufe:
Anschauungsgebundenes Denken
1. Niveaustufe:
Analysieren geometrischer Figuren und Beziehungen
2. Niveaustufe:
Erstes Ableiten und Schließen
3. Niveaustufe:
Geometrisches Schließen / Deduktion
4. Niveaustufe:
Strenge, abstrakte Geometrie
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.58 Jürgen Roth

0. Anschauungsgebundenes Denken
Räumliche Beziehungen werden nur in der unmittelbaren
Umgebung von den Schülern erfasst.
Geometrische Figuren werden als Ganzheiten gesehen,
Einzelheiten oder Eigenschaften werden noch nicht erfasst.
Geometrische Bezeichnungen bzw. Namen können gelernt
werden und anschauliche Unterscheidungen zwischen
ebenen Figuren oder Körperformen sind möglich, ohne dass
spezifische Eigenschaften miteinander verglichen werden.
Auf dieser Stufe ist das
geometrische Arbeiten
weitgehend materialgebunden.
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.59 Jürgen Roth
1. Analysieren geom. Figuren & Beziehungen
Durch Handlungserfahrungen und genaueres Betrachten
können Schüler Einzelaspekte geometrischer Figuren
unterscheiden und feinere Klasseneinteilungen vornehmen
(z. B. zwischen den Dreiecksformen).
Beziehungen zwischen Figuren (z. B. Rechteck - Quadrat) und
Eigenschaften oder Größen (z.B. Umfang - Flächeninhalt)
sind noch nicht einsehbar.
Beispiele:
– Geometrische Figuren
durch Aufzählen ihrer
Eigenschaften beschreiben.
– Spiegelachsen in Figuren
durch Falten, Legen u. a.
herstellen bzw. bestimmen.
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.60 Jürgen Roth

2. Erstes Ableiten und Schließen
Beziehungen zwischen den Eigenschaften einer Figur und
den Eigenschaften verwandter Figuren können erkannt
werden.
Es sind Klasseninklusionen möglich und geometrische
Definitionen verständlich.
Dieses Verständnis erwächst aus experimentellen
Erfahrungen, nicht über geometrische Axiome.
Beispiele:
– Vergleich der Eigenschaften von Quadrat und Rechteck.
Jedes Quadrat ist auch ein Rechteck.
– Bewusstes Verändern von Viereckformen am Geobrett.
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.61 Jürgen Roth
3. Geometrisches Schließen/ Deduktion
Diese und die nächste Niveaustufe sind für das Geometrielernen
im Grundschulalter nicht mehr relevant!
Schlussfolgerungen als Grundlagen eines geometrischen
Systems werden verstanden und angewandt.
Zwischen geometrischen Axiomen, Definitionen, Sätzen,
Beweisen u. a. kann unterschieden werden.
4. Strenge, abstrakte Geometrie
Arbeiten in einem Axiomensystem und Vergleichen bzgl.
verschiedener geometrischer Theorien.
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.62 Jürgen Roth

van-Hiele-Modell Schlussbemerkungen
Von besonderer Bedeutung auf den ersten Stufen des
geometrischen Denkens ist für die VAN HIELES das
Sammeln von Erkenntnissen über Handlungserfahrungen
mit konkreten Materialien.
Falten, Schneiden, Auslegen, Zerlegen, Kleben, Bemalen,
Pflastern, Einpassen usw.
Dabei kommt es darauf an, dass diese Materialien nicht
einfach nur Spielzeuge sind, sondern dass die Schüler
damit denkend handeln.
Achtung:
– Das Denkniveau ist Kontext- und Aufgabenabhängig!
– Eine Zuordnung zu Klassenstufen ist nicht möglich!
– Anforderungen müssen dem aktuellen Denkniveau
der Schülerinnen und Schüler angepasst werden!
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.63 Jürgen Roth
4.4 Geometrische
Kompetenzen bei
Grundschülern
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.64 Jürgen Roth

Test zu den Geometrischen Fähigkeiten
Richtige Lösungen:
CZ D
97 % 98 %
2 Wochen nach Beginn des 1. Schuljahres
Richtige Lösungen:
CZ D
68 % 18 %
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.65 Jürgen Roth
Test zu den Geometrischen Fähigkeiten
Richtige Lösungen:
CZ D
95 % 82 %
2 Wochen nach Beginn des 1. Schuljahres
Richtige Lösungen:
CZ D
73 % 55 %
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.66 Jürgen Roth

Test zu den Geometrischen Fähigkeiten
Richtige Lösungen:
CZ D
66 % 57 %
2 Wochen nach Beginn des 1. Schuljahres
Richtige Lösungen:
CZ D
44 % 44 %
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.67 Jürgen Roth
TIMSS-Grundschule
3./4. Klasse
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.68 Jürgen Roth

TIMSS-Grundschule
3./4. Klasse
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.69 Jürgen Roth
TIMSS-Grundschule
3./4. Klasse
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.70 Jürgen Roth

TIMSS-Grundschule
3./4. Klasse
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.71 Jürgen Roth
TIMSS-Grundschule
3./4. Klasse
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.72 Jürgen Roth

TIMSS-Grundschule
3./4. Klasse
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.73 Jürgen Roth
4.5 Räumliche
Objekte
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.74 Jürgen Roth

Die Umwelt ist dreidimensionalen!
im Raum
– an Grenzen Stoßen (Ecken, Kanten, …)
außerhalb geschlossener Räume
– vieles wird nur in Teilen erfasst
Objekte als Ganzes
– geometrische Körperformen
– vielfältige Aktivitäten
– Eigenschaften analysieren
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.75 Jürgen Roth
Körperansichten
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.76 Jürgen Roth

Wer sieht was?
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.77 Jürgen Roth
Schloss Neuschwanstein
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.78 Jürgen Roth

Schloss Neuschwanstein
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.79 Jürgen Roth
Karten lesen und herstellen
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.80 Jürgen Roth

Geostadt
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.81 Jürgen Roth
Karte lesen – Orientierung im Raum
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.82 Jürgen Roth

Karte lesen – Orientierung im Raum
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.83 Jürgen Roth
Aktivitäten
Körperformen bauen
– mit heterogenem Material
– mit homogenem Material
Körperformen ordnen und sortieren
(Modelle, Gebrauchsgegenstände, Bilder, …)
– kategoriesuchend
– kategoriegeleitet
Mögliche Vorgaben:
Modell oder Abbildung als Prototyp
Begriffswort und /oder klassenbildende Merkmale
Form / Anzahl der Flächen, Größe (Länge der Kanten),
Anzahl der Ecken, Größe der Winkel
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.84 Jürgen Roth

Mit Würfeln bauen
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.85 Jürgen Roth
Mit Würfeln bauen
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.86 Jürgen Roth

Mit Würfeln bauen
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.87 Jürgen Roth
Körperformen
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.88 Jürgen Roth

Würfel, Quader (Zylinder, Pyramide, Kegel, Kugel)
Herstellen
– Vollkörper
(Kartoffel, Holzstab, Knet, Styropor)
– Kantenmodell
(Knetkugeln & Zahnstocher,
Trinkhalme und Pfeifenputzer,
Papier)
– Flächenmodell
(Aus Würfelnetzen: Vom Netz
zum Würfel & umgekehrt!)
– Erkennen von Würfelnetzen
– Würfelschnitte
– Netz Schrägbild
Schrägbilder
– Schatten eines Kantenmodells
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.89 Jürgen Roth
Vollkörperwürfel
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.90 Jürgen Roth

Soma-Würfel
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.91 Jürgen Roth
Würfel – Flächenmodell - Netz
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.92 Jürgen Roth

Würfelnetze?
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.93 Jürgen Roth
Würfelnetze?
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.94 Jürgen Roth

Quader und Würfel
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.95 Jürgen Roth
Quader und Würfel
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.96 Jürgen Roth

Quader und Würfel
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.97 Jürgen Roth
Quader
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.98 Jürgen Roth

Quader
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.99 Jürgen Roth
Schatten eines Kantenmodells
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.100 Jürgen Roth

Körperformen
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.101 Jürgen Roth
Körperformen
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.102 Jürgen Roth

Körperformen
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.103 Jürgen Roth
Platonische Körper
Tetraeder
Hexaeder
Oktaeder
Dodekaeder
Ikosaeder
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.104 Jürgen Roth

Platonische Körper
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.105 Jürgen Roth
Platonische Körper
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.106 Jürgen Roth

4.6 Ebene Figuren
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.107 Jürgen Roth
Aktivitäten
Legen
freies Legen, Legen nach Vorgabe
Auslegen, Umlegen vorgegebener Teile
– Material
heterogen (Postkartenpuzzle, Tangram)
homogen
(identische Quadrate alle Zwillinge, Drillinge, …)
Falten
– Grundtechniken,
– ebene (und räumliche) Objekte,
– Faltbücher/-poster
Spannen am Geobrett
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.108 Jürgen Roth

Legen und Zeichnen
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.109 Jürgen Roth
Legen mit Quadraten
Bau diese neun Formen aus Quadraten nach.
Welche Formen sind Vierlinge, Drillinge, Zwillinge?
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.110 Jürgen Roth

Legen mit Quadraten
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.111 Jürgen Roth
Tangram
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.112 Jürgen Roth

Tangram
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.113 Jürgen Roth
Tangram
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.114 Jürgen Roth

Geobrett
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.115 Jürgen Roth
Geobrett
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.116 Jürgen Roth

Geobrett
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.117 Jürgen Roth
Regelmäßige Vielecke – Zeichenuhr
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.118 Jürgen Roth

Regelmäßige Vielecke – Zeichenuhr
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.119 Jürgen Roth
Regelmäßige Vielecke – Zeichenuhr
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.120 Jürgen Roth

Regelmäßige Vielecke – Zeichenuhr
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.121 Jürgen Roth
Ähnlichkeit
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.122 Jürgen Roth

Ähnlichkeit
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.123 Jürgen Roth
4.7 Symmetrie
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.124 Jürgen Roth

Symmetrie in der Umwelt
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.125 Jürgen Roth
M. C. Escher
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.126 Jürgen Roth

M. C. Escher
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.127 Jürgen Roth
M. C. Escher
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.128 Jürgen Roth

Achsensymmetrie - Spiegeln
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.129 Jürgen Roth
Achsensymmetrie - Spiegeln
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.130 Jürgen Roth

Achsensymmetrie - Spiegeln
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.131 Jürgen Roth
Spiegelbuch
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.132 Jürgen Roth

Spiegelbuch
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.133 Jürgen Roth
Drehsymmetrie
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.134 Jürgen Roth

Drehsymmetrie
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.135 Jürgen Roth
Drehsymmetrie
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.136 Jürgen Roth

Verschieben, Spiegeln, Drehen
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.137 Jürgen Roth
Spiegelsymmetrie
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.138 Jürgen Roth

Verschiebungssymmetrie
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.139 Jürgen Roth
Verschieben, Spiegeln, Drehen
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.140 Jürgen Roth

Parkettierung
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.141 Jürgen Roth
Parkettierung
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.142 Jürgen Roth

4.8 Messen
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.143 Jürgen Roth
Stufen bei der Behandlung von Größen
1. Stufe: Erfahrungen in Sach- und Spielsituationen sammeln
2. Stufe: Direktes Vergleichen von Repräsentanten
3. Stufe: Indirektes Vergleichen mit Hilfe selbst gewählter
Maßeinheiten
– ein drittes Objekt als Vermittler benutzen
– ein Objekt als selbst gewählte Einheit benutzen
4. Stufe: Indirektes Vergleichen mit Hilfe standardisierter
Maßeinheiten, Messen mit verschiedenen Messgeräten
5. Stufe: Umrechnen: Verfeinern und Vergröbern der
Maßeinheiten
6. Stufe: Aufbau von Größenvorstellungen
7. Stufe: Rechnen mit Größen
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.144 Jürgen Roth

Messen und Zeichnen
Zeichne Strecken von 3 cm, 5 cm, 6 cm und 9 cm Länge.
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.145 Jürgen Roth
Längen messen
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.146 Jürgen Roth

Längen messen
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.147 Jürgen Roth
Flächen messen
Wie viele Meterfliesen (Quadratmeter)
passen ungefähr in das Klassenzimmer?
Wie viele Kinder können sich bequem auf eine Meterfliese stellen?
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.148 Jürgen Roth

Flächen messen
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.149 Jürgen Roth
Themenkreis Flächeninhalt
Flächenmessung
Seitenlängen
aus N
Seitenlängen
aus Q +
Seitenlängen
aus R +
Flächeninhalt?!
Axiome des
Flächeninhalts
Ergänzungsgleichheit
Flächenvergleich
Zerlegungsgleichheit
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.150 Jürgen Roth

Axiome des Flächeninhalts
1. Nichtnegativität:
Die Maßzahl A des Flächeninhalts ist nicht negativ.
A 0
2. Normierung:
Ein Quadrat der Seitenlänge 1 LE hat den Flächeninhalt
A 1 LE2 .
3. Additivität:
Der Flächeninhalt einer Figur ist gleich der Summe der
Flächeninhalte der Teilfiguren, in die die Fläche zerlegt
werden kann.
j k j k F j F k
A(F) A(F 1 … F n) A(F 1) … A(F n)
4. Kongruenzaxiom:
Kongruente Figuren haben denselben Flächeninhalt.
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.151 Jürgen Roth
Rechtecksflächeninhalt (a,b N)
Flächenmessung:
Auslegen mit
Einheitsquadraten.
b Reihen, zu je a
Einheitsquadraten.
A = a ·b
b
1 LE²
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.152 Jürgen Roth
a

Rechtecksflächeninhalt
p·s
r ·q
,
q·s
s·q
+
Q
Zerlegung des Einheitsquadrates
in (qs)² Teilquadrate
des 1
LE²
Flächeninhalts : (q·s)²
Flächenmessung:
p r
( q, s
Q + )
Auslegen mit Teilquadraten des Einheitsquadrates.
p·s Reihen, zu je r·q Teilquadraten.
1 p
s
r q p
r
A psrq
2
q
s q
s
q
s q
s
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.153 Jürgen Roth
Rechtecksflächeninhalt (a,b R)
a
b
mit
a
n
n A ; a
n
n n B ; b
, b , A , B
n
n
n
Q
B3 B4 b4 b3
an
n ; An
b n B
ab
B 1
B 2
b
b2 b1 ist eine Intervallschachtelung
für den Flächeninhalt.
p
q
r
s
qs Teilstrecken
p r
q s
1
qs Teilstrecken
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.154 Jürgen Roth
a 1
a 2
a 3
a 4
a
A 4
A 3
A 2
A 1
1

Flächeninhaltsbestimmung
Rechteck
Dreieck
Polygon
Kreis
Flächenmessung, d. h. Auslegen mit
Einheitsquadraten (bzw. Intervallschachtelung)
Flächenvergleich
mit dem Rechteck
Triangulierung
(Einteilen in Dreiecke)
Intervallschachtelung
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.155 Jürgen Roth
Kreisinhaltsbestimmung
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.156 Jürgen Roth

Fläche eines Kontinents (Antarktika)
Schätze die Fläche der
Antarktis, indem du den
Maßstab der Karte
benutzt.
Schreibe deine
Rechnung auf und
erkläre, wie du zu deiner
Schätzung gekommen
bist.
(Du kannst in der Karte
zeichnen, wenn dir das
bei deiner Schätzung
hilft.)
PISA-Aufgabe
Kilometer
200 400 600 800
0
1000
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.157 Jürgen Roth
Idee: „Auslegen“ mit einer Einheitsfläche
Schätze die Fläche der
Antarktis, indem du den
Maßstab der Karte
benutzt.
Schreibe deine
Rechnung auf und
erkläre, wie du zu deiner
Schätzung gekommen
bist.
(Du kannst in der Karte
zeichnen, wenn dir das
bei deiner Schätzung
hilft.)
PISA-Aufgabe
Fläche mit Schelfeistafeln:
13 975 000 km 2
Kilometer
200 400 600 800
0
1000
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.158 Jürgen Roth

Parallelogramm
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.159 Jürgen Roth
Parallelogramm
Parallelogrammflächen, die in
der Länge einer Seite und der
zugehörigen Höhe übereinstimmen
sind zerlegungsgleich.
F
Beweisidee: ADF ~ BCE
Voraussetzung: [CD] [EF]
E
F
A B
D E
A B
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.160 Jürgen Roth
D
C
C

Flächeninhaltsbestimmung beim Trapez
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.161 Jürgen Roth
Volumen messen (Größenvorstellung)
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.162 Jürgen Roth

4.9 Zeichnen
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.163 Jürgen Roth
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.164 Jürgen Roth