Statik Beispiel 02 ausführlich.pdf - Hochschule RheinMain

MUSTERBEISPIEL PROF. WALTER WILKING
TWL 2 HOCHSCHULE RHEINMAIN
BALKENDECKE FACHRICHTUNG ARCHITEKTUR
1
STATISCHER NACHWEIS
BEISPIEL
In Schrifttyp „Century Gothic“ wird die normale Berechnung angegeben
In Kleindruck und mit Schrifttyp „Meta Korrespondenz“ werden Erläuterungen
angegeben.
Lastaufstellungen
Decke über Obergeschoss (Dach):
5 cm Kies = 1,00 kN/m²
aus Tabellensammlung für 5 cm Kies pauschal
2-lagige Abdichtung (einschl. Klebemasse) = 0,13 kN/m²
28 mm Holzverschalung: 0,028 m x 6 kN/m³ = 0,17 kN/m²
20 cm Dämmung: 20 cm x 0,01 kN/m² (pro 1 cm) = 0,20 kN/m²
in Tabellensammlung wird angegeben: Gewicht pro 1 cm dicker Schicht.
Folglich wird der dort angegebene Wert mit der Schichthöhe in Zentimeter
angeben
Balkeneigengewicht: geschätzt 10/32
0,16 kN/m / 0,70 m = 0,23 kN/m²
der Balken wird geschätzt, das Eigengewicht pro Meter aus Tabellensammlung
abgelesen (0,16 kN/m) oder bestimmt (0,10 m x 0,32 m x 6 kN/m³) und
durch den Achsabstand dividiert, weil das Eigengewicht pro Meter, dividiert
durch Meter, die Dimension KN/m² ergibt.
12,5 mm Gipskarton: 1,25 cm x 0,11 kN/m² (pro 1 cm) = 0,14 kN/m²
Eigengewicht g = 1,87 kN/m²
Als Verkehrslast wird nur Schnee angesetzt:
Schnee s = 0,75 kN/m²
Gesamtlast q = 2,62 kN/m²
Berechnet ist jetzt die Flächenlast. Ein Quadratmeter auf der Decke (kN/m²)
wiegt so viel, einschließlich des Eigengewichtes der Deckenbalken, die zwar
nicht gleichmäßig auf jedem Quadratmeter verteilt sind, aber im Mittel dennoch
zu jedem Quadratmeter gehören.
POS. 1: DECKENBALKEN
Spannweite l = 7,78 + (0,10 + 0,12) / 2= 7,89 m
Zu der lichten Weite wird etwas dazugezählt. Entweder die Hälfte des Auflagers,
in anderen Fällen ein Drittel des Auflagers, wenn es größer ist oder am
Ende des Trägers liegt. Im Grunde genommen ist es gleichgültig – die Hauptsache
die Spannweite ist nicht genau so groß wie die lichte Weite, weil das
wie Untertreibung aussieht.
Belastung:
Einflussbreite ca. 0,70 m
Der Abstand der Deckenbalken ist identisch mit der Einflussbreite. Auf jedem
Deckenbalken liegt nicht ein ein Quadratmeter großer Teil, sondern auf
jedem Meter des Balkens liegt ein Streifen, der so breit ist wie die Einflussbreite.
In diesem Fall ein 0,70 m breiter Streifen.
q = 2,62 kN/m² x 0,70 m = 1,83 kN/m
A = B = ½ x 1,83 kN/m x 7,89 m = 7,24 kN
A = B = ½ x q x l
M = 1/8 x 1,83 kN/m x 7,89² m² = 14,24 kNm
M = q x l² / 8

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2
Biegespannungsnachweis:
erfW = 1.424 kNcm / 1,4 kN/cm² = 1.017 cm³
erfW = M / zul
zul = 1,0 kN/cm² für „normales“ Nadelholz
zul = 1,4 kN/cm² für Brettschichtholz
Dieser Nachweis stellt sicher, dass bei dem auftretenden Biegemoment die
zulässige Biegespannung des Materials nicht überschritten wird.
Es könnte aber sein, dass sich der Biegebalken mehr als erwünscht durchbiegt.
Dann ist er zwar tragfähig, erfüllt aber wegen seiner Durchbiegung
nicht seine erwünschte Funktion (es sei denn man bevorzugt nach unten
durchhängende Formen, bei denen aber so einfache Bedürfnisse wie Aufstellen
von Möbeln unmöglich sind).
Es wird der Durchbiegungsnachweis durchgeführt. Aus der komplizierten
Formel für die Durchbiegung wurde zu dem Querschnittswert I (Trägheitsmoment)
aufgelöst, eine erwünschte zulässige Durchbiegung eingesetzt
(z.B. ein Dreihundertstes der Spannweite, auch l/300 genannt) und die
Schwierige Frage der Dimension in einen Tabellenwert versteckt, so dass
man Moment und Spannweite in einfachen Dimensionen einsetzen kann.
Durchbiegungsnachweis:
erfI = 312/1,1 x 14,24 kNm x 7,89 m = 31.868 cm 4
erfI = Tabellenwert x M [kNm] x l [m]
Tabellenwert 312 für zulf = l/300
Tabellenwert kann für Brettschichtholz durch 1,1 geteilt werden, weil das
Elastizitätsmodul von Brettschichtholz um 10 % höher angegeben ist als bei
einfachem Kantholz
gewählt: 10/34 BSCH vorhW = 1.930 cm³ > erfW = 1.017 cm³
vorhI = 32.800 cm 4 > erfI = 31.868 cm 4
Der ermittelte Balken ist unwesentlich größer als der geschätzte. Hier ist es
nicht erforderlich, die Lastaufstellung zu korrigieren und mit neue Werten
den gleichen Rechengang zu wiederholen. BSCH bedeutet Brettschichtholz.
POS. 2: DECKENBALKEN
Zwei-Feld-Träger, l1 = 3,82 + 2 x 0,12/2 = 3,94m
l2 = 3,94 m
Man könnte bei dem äußeren Auflager nur ein Drittel der Auflagerbreite dazu
zählen und bei dem Mittelauflager die Hälfte: l 1 = 3,82 + 0,12/3 + 0,12/2 =
3,92. Ob eine für den Rechengang ermittelte Spannweite zwei Zentimeter
größer oder kleiner ist kann in der Praxis keine Wirkung haben (auch wenn
es sich um fünf bis zehn Zentimeter handelt – Tragwerke und ihre Baustoffe
sind keine Pedanten). In Wirklichkeit sind die Toleranzen größer.
Belastung wie vorher: q = 2,62 kN/m² x 0,70 m = 1,83 kN/m
Ermittlung der Auflagerkräfte:
A = C = 0,375 x q x l
= 0,375 x 1,83 x 3,94 = 2,70 kN
B = 1,25 x q x l
= 1,25 x 1,83 x 3,94 = 9,01 kN
Die Auflagerkräfte errechnet man, um die Belastung für die nächsten Bauteile
zu kennen, die von den Deckenbalken belastet werden.
Bei einem Zwei-Feld-Träger (s. Tabellensammlung „Durchlaufträger mit gleichen
Stützweiten) berechnet man Auflagerkräfte und Momente einfach mit
Tabellenwerten. Z.B. findet man bei einem Zwei-Feld-Träger unter dem Buchstaben
A (Auflager A) und dem „Belastungsbild“ Gleichlast (erste Spalte in
den meisten Tabellensammlungen) die Zahl 0,375. Diese Zahl muss mit „q“
und „l“ multipliziert werden (beim Biegemoment s. nächste Erläuterung)

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3
M1 = 0,070 x q x l²
= 0,070 x 1,83 x 3,94² = 1,99 kNm
Dies ist das Moment im ersten Feld – Feldmoment genannt. Im zweiten Feld
ist es wegen der Symmetrie genauso groß. Hier findet man den Tabellenwert
0,070. Bei der Ermittlung der Momente findet man in gleicher Tabelle etwas
höher „Momente = Tafelwert x ql²“ – Ganz einfach den Tabellenwert (Tafelwert
in anderen Quellen genannt) mit den bekannten Größen multiplizieren –
nichts ist einfacher.
MB = - 0,125 x q x l²
= - 0,125 x 1,83 x 3,94² = - 3,55 kNm
Das negative Vorzeichen hat nur akademischen Charakter. Wenn sich ein
Balken nach unten durchbiegt, dann sind die Zugkräfte (Biegezugkräfte)
unten und die Druckkräfte (Biegezugkräfte) oben. Wenn er über einem Auflager
gebogen wird, dann sind die Zugkräfte oben und die Druckkräfte unten
– also alles umgekehrt und dann bekommt man ein anderes Vorzeichen.
M B ist das so genannte Stützmoment – es liegt über der Stütze (die auch ein
Träger oder eine Wand sein kann) und ist größer als das „Feldmoment“. Dies
ist typisch für Durchlauf- oder Mehrfeldträger. Beim größeren Moment gibt
es aber keine Durchbiegung. Folglich muss man an dieser Stelle nur den
„Biegespannungsnachweis“ führen – der „Durchbiegungsnachweis“ ist sinnlos,
weil sich nichts durchbiegt.
Biegespannungsnachweis:
erfW = 355 kNcm / 1,0 kN/cm² = 355 cm³
gewählt: 8/18 VH vorhW = 432 cm³ > erfW = 355 cm³
Für die zulässige Biegespannung wurde nur 1,0 kN/cm² eingesetzt, weil man
in diesem Fall kein Brettschichtholz verwenden wird (das drei Mal teurer ist
als normales Kantholz). VH bedeutet Vollholz.
Näheres hierzu s. www.fab.fh-wiesbaden.de/~wilking/allgemein/Mehrfeldtraeger.pdf
POS. 3: TRÄGER
Spannweite l = 5,00 – 2 x 0,12/2 = 4,88 m
Wenn man annimmt, zwei Stützen stünden unter der Konstruktion, die insgesamt
5,00 m breit ist, und die theoretischen Auflager liegen genau in der
Mitte der Stützen (wobei sie auch im ersten Drittel liegen können), dann ist
die „tatsächliche“ Spannweite um zwei Mal der Hälfte der Stützen kleiner.
Man kann sie auch anders annehmen – was soll es?
Belastung:
q = 9,01 kN / 0,70 m = 12,87 kN/m
Jeder Balken der POS. 2 drückt mit seinem Auflager „B“ mit 9,01 kN auf den
darunter liegenden Träger. Dies geschieht alle 0,70 m. Wenn auf alle 0,70 m
eine Kraft von 9,01 kN drückt, dann drückt auf jeden Meter eine Kraft von
q = 9,01 kN / 0,70 m = 12,87 kN/m
A = B = ½ x 12,87 kN/m x 4,88 m = 31,40 kN
Dieses Ergebnis braucht man, um eventuell eine Stütze unter dem Träger zu
berechnen.
M = 1/8 x 12,87 kN/m x 4,88² m² = 38,31 kNm

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4
Biegespannungsnachweis:
erfW = 3.831 kNcm / 1,4 kN/cm² = 2.737 cm³
... sofern man einen Brettschichtholzträger benutzen will,
ansonsten 3.831 / 1,0 = 3.831 cm³
Durchbiegungsnachweis:
erfI = 312/1,1 x 38,31 kNm x 4,88 m = 53.027 cm 4
... und wenn man normales Kantholz einsetzen will: 312 x 38,31 x 4,88 =
59.852 cm 4
gewählt: 12/38 BSCH vorhW = 2.892 cm³ > erfW
vorhI = 54.840 cm 4 > erfI
POS. 4: TRÄGER
Spannweite wie vorher,
Belastung:
q = 2,70 kN / 0,70 m = 3,86 kN/m
In POS. 2 war die Auflagerkraft an den Endauflagern (A und C) 2,70
kN/Balken (A und C).
A = B = ½ x 3,86 X 4,88 = 9,42 kN
M = 1/8 x 3,86 x 4,88² = 11,49 kNm
erfW = 1.149 kNcm / 1,0 kN/cm² = 1.149 cm³
erfI = 312 x 11,49 kNm x 4,88 m = 17.494 cm 4
gewählt: 12/26 VH vorhW = 1.352 cm³ > erfW
vorhI = 17.576 cm 4 > erfI
POS. 5: TRÄGER
Spannweite wie vorher,
Belastung:
q = 7,24 kN / 0,70 m = 10,34 kN/m
Auflagerkraft A aus POS. 1
A = B = ½ x 10,34 X 4,88 = 25,24 kN
M = 1/8 x 10,34 x 4,88² = 30,78 kNm
erfW = 3.078 kNcm / 1,4 kN/cm² = 2.199 cm³
erfI = 312/1,1 x 30,78 kNm x 4,88 m = 42.604 cm 4
gewählt: 12/36 BSCH vorhW = 2.592 cm³ > erfW
vorhI = 46.656 cm 4 > erfI

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5
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Nebenbemerkung:
Die linke Decke besteht aus 8 Deckenbalken Pos. 1 und einem Träger Pos. 5 (die
Träger an der Wand des Kerns wurden nicht berechnet, weil sie mit Schrauben im
Mauerwerk verankert werden, also keine Spannweiten haben).
Materialaufwand:
Pos. 1: 8 x 8,00 m x 0,10 m x 0,34 m = 2,18 m³
Pos. 5: 1 x 5,00 m x 0,12 m x 0,36 m = 0,22 m²
Summe = 2,40 m³ BSCH
Preis ohne Verlegung bei einem Einheitspreis von 680,00 €/m³ für Brettschichtholz:
2,40 m³ x 680,00 €/m³ = 1.632,00 €
Die rechte Decke besteht aus 8 Deckenbalken Pos. 2 und den beiden Trägern
Pos. 3 und Pos. 4.
Materialaufwand:
Pos. 2: 8 x 8,00 m x 0,08 m x 0,18 m = 0,92 m³
Pos. 4: 1 x 5,00 m x 0,12 m x 0,26 m = 0,16 m²
Summe = 1,08 m³ VH
Pos. 3: 1 x 5,00 m x 0,12 m x 0,34 m = 0,20 m² BSCH
Einheitspreis für Vollholz: 240,00 €/m³
1,08 m³ x 240,00 €/m³ = 259,20 €
0,20 m³ x 680,00 €/m³ = 136,00 €
Summe 425,20 €
Durch die Reduzierung der Spannweite um die Hälfte ist der Materialpreis auf fast
ein Viertel gesunken.