Gute Stimmung dank Mathe - Justus-Liebig-Universität Gießen

Gute Stimmung dank Mathe
Tomas Sauer
Justus–Liebig–Universität Gießen
Mathematisches Institut, Wissenschaftliches Rechnen
Heinrich–Buff–Ring 44
D–35392 Gießen
11.1.08
1 Eine Warnung am Anfang
Dies ist ein mathematischer Zugang zu Stimmungen, Harmonien und Tonleitern und
da all das mit ganzzahligen Verhältnissen, also Brüchen, zu tun hat, werde ich auch
nur Brüche verwenden - außer natürlich da, wo es sich nicht vermeiden lässt, nämlich
bei der temperierten Stimmung. Daher werden hier auch keine der so beliebten Objekte
aus der Musikterminologie wie ” Cent“ auftauchen und auch (fast) keine taschenrechnermäßigen
Dezimalbruchentwicklungen. Harmonie ist etwas exaktes und nicht
näherungsweises, und das beschreibt man durch Brüche und nicht durch Nachkommastellen.
Um das Ganze hier zu verstehen braucht man eigentlich nur ein klein wenig guten
Willen, sich darauf einzulassen, die mathematischen Vorkenntnisse sind nicht so
dramatisch. Das meiste ist Bruchrechnen und wenn man Logarithmen und trigonometrische
Funktionen nicht versteht, dann muss man halt einfach glauben, daß Oktav und
Quinte die konsonanten Intervalle sind und daß es kein Zufall ist, daß unsere Tonleiter
12 Halbtonschritte enthält. Aber es macht natürlich viel mehr Spaß, zu verstehen,
warum . . .
2 Partialtöne
Die mathematischen Grundlagen der Stimmung von Musikinstrumenten kann man
nicht verstehen, ohne sich zuerst einnal ein paar Gedanken über die Natur der musikalischen
Töne gemacht zu haben. Einen Ton kann man durch seine Amplitude zum
jeweiligen Zeitpunkt beschreiben – das ist das, was man sieht, wenn man beispielsweise
eine WAV–Datei plotten lässt. Selbst wenn nur ein konstanter Ton gespielt wird, ist
das normalerweise eine ziemlich gezackte Linie.
1

Alternativ kann man einen Ton durch Überlagerung von Sinusschwingungen mit
verschiedenen Frequenzen 1 darstellen, also irgendwie in der Form 2
a(t) = f1 sin 2πω1t + f2 sin 2πω2t + · · · + fn sin 2πωnt,
wobei f1, . . . , fn die Amplituden 3 zu den Partialtönen mit den Frequenzen ω1, . . . , ωn
sind. Wenn wir die Frequenzauflösung unendlich fein treiben würden, dann würde aus
der Summe da oben ein Integral werden, die sogenannte inverse Fouriertransformation,
die den Ton aus seinem Frequenzspektrum rekonstruiert. Aber das brauchen wir
noch nicht einmal!
In akustischen Instrumenten werden die “hörbaren” Töne normalerweise durch Resonanzphänome
erzeugt, der eigentliche Tonerzeuger, im Fall von Sackpfeifen das
Rohrblatt, ist ja viel leiser 4 , siehe beispielsweise [5] oder [1]. Aus physikalischen
Gründen sind solche Resonanzfrequenzen aber an die Länge der stehenden Welle gekoppelt
und daher sind die Frequenzen der Partialtöne ganzzahlige Vielfache der Frequenzen
des Grundtons:
ωj = j ω1 = jω, j = 1, 2, . . .
und wir haben jetzt wirklich eine diskrete Partialtonreihe:
a(t) = f1 sin 2πωt + f2 sin 2π 2ωt + · · · + fn sin 2π nωt;
irgendwann kann man getrost abbrechen, denn dann sind die Anteile der ganz hochfrequenten
Partialtöne weder wahrnehmbar noch messbar. Die Größen f1, . . . , fn bestimmen
übrigens ganz massiv die Klangfarbe, bei zylindrisch gebohrten Holzblasinstrumenten
ist sogar f2 = f4 = f6 = · · · = 0, was für den wahlweise “dumpferen”
oder “lieblicheren” Klang derartiger Instrumente zuständig ist.
Wir halten fest: Ein einzelner Ton hat die Eigenschaft, daß seine Partialtöne einen
gleichmäßigen Abstand voneinander haben und die zugehörigen Frequenzen sogar
Vielfache der Grundfrequenz ω sind. Dies ist die perfekteste Form der Konsonanz!
Und damit wird auch klar, warum die Oktave, also ein Ton mit der Frequenz ω ′ = 2ω.
Schreiben wir diesen mit seinen Partialtönen hin, dann haben wir
a ′ (t) = f ′ 1 sin 2πω ′ t + f ′ 2 sin 2π2ω ′ t + · · · + f ′ n sin 2πnω ′ t
= f ′ 1 sin 2π2ωt + f ′ 2 sin 2π4ωt + · · · + f ′ n sin 2π2nωt,
1Eigentlich ist der Begriff “Frequenz”, also “Schwingungen pro Sekunde” auch nur für Sinusschwingungen
vernünftig, der gezackte Kammerton a, den eine Sackpfeifenschalmei liefert, hat keine wirkliche
Frquenz von 440Hz, was so nun auch wieder nicht stimmt, weil er sich idealerweise genau 440 Mal pro
Sekunde wiederholen würde. Nein, diese Fußnote muss man nicht wirklich verstehen.
2Hier nehmen wir an, daß die einzelnen Schwingungen wenigstens phasengleich sind, man kann die
Allgemeinheit ja auch übertreiben.
3Also eigentlich eher Fourierkoeffizienten, aber wen interessiert das schon?
4Wer das nicht glaubt, soll mal das Blatt aus seiner Spielpfeife nehmen und versuchen, damit einen
Markt zu beschallen. Was in manchen Fällen vielleicht gar keine schlechte Idee wäre . . .
2

und spielen wir die beiden Oktavtöne simultan, dann steht da
a(t) + a ′ (t)
= f1 sin 2πωt + (f2 + f ′ 1) sin 2π2ωt + f3 sin 2π3ωt + (f4 + f ′ 2) sin 2π4ωt + · · ·
= g1 sin 2πωt + g1 sin 2π2ωt + g3 sin 2π3ωt + g4 sin 2π4ωt + · · ·
= b(t).
Diese Formel zeigt, was bei der Oktave wirklich passiert: Die Partialtöne verschmelzen
und werden zu einem Ton mit derselben Frequenz ω, allerdings einer anderen
Partialtonverteilung, also einer anderen Klangfarbe.
Der nächstkonsonantere Ton, die Quinte, hat ω ′ = 3ω
und erzeugt nun wirklich
2
einen “neuen” Ton, da neben den Überlagerungen bei ω, 2ω, . . . nun auch Partialtöne
mit den Frequenzen 3 9 15 ω, ω, ω, . . . auftauchen. Trotzdem liefert auch die Quinte
2 2 2
noch ein relativ gleichmäßiges Bild, und der Abstand zwischen den Partialtonfrequenzen
ist, obgleich nur halb so groß wie bei der Oktave, immer noch recht erträglich.
Auch die Quarte, ω ′ = 4ω,
ist noch konsonant, auch wenn Quartbordune schon ein
3
wenig zu nerven beginnen und nicht mehr uneingeschränkt gut klingen. Naja, hier sind
die Partialtöne ja auch noch ein Stückchen näher beisammen, nämlich 1 des Abstands
3
bei der Oktave. Und das ist das Wesen5 der Dissonanz: Partialtöne mit eng beisammenliegenden
Frequenzen, denn die erzeugen seltsame Effekte wie Schwebungen und
ärgern ganz allgemein unser Wahrnehmungssystem, wie schon Helmholtz feststellte.
In diesem Zusammenhang ist es interessant, sich daran zu erinnern, daß bei den guten
alten Griechen, insbesondere den Pythagoräern, Harmonie als kleine ganzzahlige
Verhältnisse verstanden wurde, siehe [8] – intuitiv sehr gut, oder?
3 Reine Quinten sind quintenrein
Die Idee der pythagoräischen Skala besteht nun darin, sich eine Tonleiter aus möglichst
konsonanten Intervallen aufzubauen, indem man möglichst viele Quinten und Oktaven
verwendet. Fangen wir einfach mal mit dem Grundton und seiner Oktave an:
ω 2ω
Bleiben wir konsonant und bauen auch noch die Quinte zum Grundton ein und den
Ton, zu dem 2ω die Quinte ist, dessen Frequenz also 3
2ω′ = 2ω, also ω ′ = 4
3ω erfüllen muss6 :
ω 4 3
ω ω 2ω
3 2
Dann nehmen wir doch – weil’s so schön konsonant ist – zum größeren der beiden
ω, was aber leider nicht mehr von dieser
neuen Töne 7 , und erhalten nun plötzlich 9
4
5 Oder Unwesen?
6 Mehr als einen Dreisatz brauchen wir hier nicht mal!
7 Übung: Was kommt raus, wenn wir die Quinte zum kleineren der beiden nehmen? Richtig – nix
neues!
3

Welt, Entschuldigung, von dieser Oktave ist. Moment! Was haben wir doch gleich
wieder gelernt? Richtig: Oktave ist eigentlich nichts anderes als Grundton mit etwas
ausgedünnter Partialtonreihe, also derselbe Ton, nur mit anderem Klang, so daß wir uns
um Oktaven nicht zu scheren brauchen und einfach den Ton mit Frequenz 9ω
verwen-
8
den und in unsere Tonfolge einreihen können – das ist die Sekunde, unser universeller
pythagoräischer Ganztonschritt. Dasselbe Spiel mit der Unterquint zur Quarte landet
bei 8
19
, also eine Oktave zu tief und wird daher auf 9 9 getuned8 und die neue Skala hat
somit die Form
ω 9 4 3 16
ω ω ω ω 2ω.
8 3 2 9
Quinte und Unterquinte zu 9
27
3 3
ω sind nun ω sowie ω = ω, nur der erste Ton ist
8 16 4 2
neu. Analog bekommen wir als Quinte und Unterquinte zu 16
8 4
ω die Töne ω = 9 3 3ω ω, womit wir unsere quintenreine (pythagoräische) diatonische Skala9
und 32
27
ω 9
8
ω 32
27
ω 4
3
ω 3
2
ω 27
16
16
ω ω 2ω (1)
9
konstruiert hätten. Dieser Prozess lässt sich nun beliebig fortsetzen und liefert eine
beliebig feine Skala, in der alle Töne entweder von der Form
3 a
b 2 a b
÷2 oder ×2 2
3
sind10 und in der alle Quinten absolut sauber sind - so haben wir die Töne ja schließlich
konstruiert . . .
So, nun holen wir nochmal tief Luft und erinnern uns, was wir hier eigentlich gemacht
haben. Wir haben mit dem Grundton angefangen und zu diesem die Ober- und
Unterquint gebildet und diese Töne - wenn nötig - um eine Oktave erhöht oder erniedrigt,
damit sie wieder in die Ausgangsoktave passen. Das führte zu einem oberen“
”
und einem unteren“ Ton und nun können wir immer weiter so fortfahren, indem wir
”
zum oberen“ Ton die Oberquinte und zum unteren“ Ton die Unterquinte bilden, und
” ”
so immer ein neues Pärchen von Tönen in unsere Skala einfügen. Jede Wiederholung
dieses Prozesses liefert zwei neue Töne11 und wir erhalten so eine beliebig feine Skala
mit einer schönen Eigenschaft:
8 Dieses Wortspiel klappt leider nur im Englischen. Apropos: What is the difference between a bagpipe
and a lawnmower? A lawnmower can be tuned.
9 Allerdings mit einer sehr kleinen Terz von 32
27 , die sogar noch knapp (etwa 1,2%) unter der ” norma-
len“ kleinen Terz, 6
5 liegt; eine ”
große“ Terz wie in einer Dur-Skala bekommen wir erst, wenn wir noch
einen Konstruktionsschritt nachschieben, der uns dann die handelsüblichen Halbtöne 81
64
liefert, das wären bei einem Grundton von G die Töne Fis (= sehr große Terz) und Es (= kleine Sexte)
und einen von den beiden brauchen wir für die Dur-Skala, den anderen für die Moll-Skala.
10Dabei durchläuft a die Werte 1, 2, 3, . . . und b muss so gewählt werden, daß der resultierende Wert
zwischen 1 und 2 liegt.
11 Denn sonst wäre ja entweder
a 3
÷ 2
2
b =
c 3
÷ 2
2
d
oder
a 3
÷ 2
2
b =
c 2
× 2
3
d
und in beiden beiden Fällen führt das zu einer unerfüllbaren Gleichung der Form 2 x = 3 y . . .
4
ω und 128
81 ω,

Mit jedem Ton, der nicht gerade im letzten Schritt konstruiert wurde, liegt auch
seine Quinte in der Skala.
Und nachdem die Sekunde ja bekanntlich sehr früh gebastelt wurde, erlaubt diese
Stimmung eine Mollskala“ mit Umstimmung des Borduns, so wir nur unsere große
”
Terz und kleine Septime eingebaut haben. Die passende diatonische Skala, die das
” Mollen“ durch Hochstimmen des Borduns ermöglicht, ist dann, auf einen None aufgebohrt,
ω 9 81 4 3 27 16 9
ω ω ω ω ω ω 2ω ω. (2)
8 64 3 2 16 9 4
Diese Terz hier, der Ditonus ist nun ein klein wenig zu hoch, aber das macht ja nichts,
dafür hat die Mollstimmung“ mit dem höheren Bordun eine perfekte Sekunde und mit
4 9 32 ”
÷ = eine etwas zu kleine Terz, aber ebenfalls eine perfekte Quart, Quinte und
3 8 27
Oktave. Allerings zahlt man bei (2) auch einen Preis für die eierlegende Wollmilchsaustimmung,
und das ist die Quinte“ zwischen der eingefügten großen Terz und der
”
Septime, die jetzt eben
16 81 1024
ω ÷ = 1.4047
9 64 729
beträgt und weit von den 3 einer richtigen Quinte entfernt ist. Das ist die sogenannte
2
pythagoräische Wolfsquinte - ein Intervall, das man besser vermeidet.
4 Pythagoras und seine Spiralen
Wenn wir unsere quintenreine Stimmung noch dreimal erweitern, dann erhalten wir neben
den bereits bekannten 81 128
243 256
ω und ω auch noch die beiden Töne ω und 64 81 128 243ω, sowie 729 1024 ω und ω, die zum einen relativ nahe beisammenliegen und andererseits
512 729
ziemlich genau in der Mitte zwischen Quart und Quinte, also bei 3
17
12ω liegen12 . Tatsächlich ist
2
ω + 4
3 ω /2 =
729 1024 312
ω ÷ ω = 1.0136
512 729 219 schon wirklich recht nahe bei Eins und hätte um ein Haar den Quintenzirkel geschlossen,
der so aber leider13 zur pythagoräischen Spirale, siehe [4], wird. Häh? Zur was
bitte? Um das nun wieder zu verstehen, verwenden wir eine etwas andere Konstruktion
einer Tonleiter, indem wir einfach nur um Quinten nach oben gehen und gegebenenfalls
das Ergebnis um eine Oktave erniedrigen. Die Tonfolge, die wir so erhalten,
besteht erst einmal aus lauter alten Bekannten:
ω → 3 9 9 27 81 243
ω → ω = ω → ω → ω → ω → · · ·
2 2 4 16 64 128
12 Daß 17
12 auch noch eine (sehr) gute Näherung für die irrationale Zahle √ 2, siehe [10], also die
Intervallmitte ist, wird bei der temperierten Stimmung hilfreich sein.
13 Oder glücklicherweise, denn sonst wäre alles ja viel zu einfach und damit langweilig.
5

nämlich genau aus der ” oberen Hälfte“ unserer quintenreinen Konstruktion. Alle Töne
sind jetzt von der Form
3a ω,
2b , a = 0, 1, 2, . . ., und b ist so gewählt, daß 1 ≤ 3a
2 b < 2 oder 0 ≤ log 2 3 a − b < 1
bzw. log 2 3 a − 1 < b ≤ log 2 3 a ist. Keine Angst - der Logarithmus wird uns gleich
nochmal verfolgen.
Unsere Tonleiter wäre vollkommen, wenn die Konstruktion irgendwann bei einem
bereits konstruierten Ton landen würde, also wenn wir irgendwann bei einem Pärchen
a, b ankämen, zur dem es ein weiteres, ” früheres“ Pärchen c, d gibt, so daß
3a 3c
=
2b 2d also 1 = 3a−c
2
b−d =: 3x
, (3)
2y wobei x = a − c und y = b − d lediglich Abkürzungen sind. Da 3 x = 2 y aber leider
nur im Trivialfall 14 x = y = 0 möglich ist, also können wir nur versuchen, Paare x, y
zu finden, für die wir in (3) möglichst nahe bei Eins landen. Da (3) nichts anderes als
3 x = 2 y
⇔ x log 2 3 = y ⇔
y
x = log2 3 (4)
bedeutet, ist das gleichbedeutend dazu, die irrationale Zahl log 2 3 mögichst gut durch
einen Bruch anzunähern, dessen Nenner x uns dann sagt, wie viele Quinten wir brauchen
um näherunsgweise y Oktaven zu bekommen.
Nun lernt man im ersten Semester des Mathematikstudiums [6], daß die rationalen
Zahlen 15 dicht in den rellen Zahlen 16 liegen, daß wir also (4) beliebig genau ” erfüllen“
können, wenn wir nur den Nenner x groß genug machen - mit ausreichendem Aufwand
lässt sich hier also fast alles machen. Das ist aber natürlich in der Praxis Schwachsinn,
wir wollen ja mit möglichst wenigen Quinten eine möglichst gute Näherungsoktave
erreichen oder, noch besser, unser x so wählen, daß sich der Aufwand wenigstens
lohnt, daß also die erreichte Näherung im Verhältnis zu x besonders gut ist.
Nun ist die Frage ” Wie können wir für vorgegenenes x unser y am besten wählen?“
recht leicht beantworten: Man nimmt einfach log 2 3x und rundet diese Zahl einfach wie
man’s mal in der Schule gelernt hat17 auf die nächstgelegene ganze Zahl und nimmt
das als y. Der Fehler, den man hierbei macht, ist im allerschlimmsten Fall 1 und damit
2
ist die Abweichung zwischen Bruch und Logarithmus höchstens
y
x − log2 3
≤ 1
2x .
14 Per definitionem ist a 0 = 1 wenn a = 0 ist - von 0 0 lässt man besser die Finger, das ist in bester
quantenphysikalischer Tradition gleichzeitig Null oder Eins.
15 Also die Brüche
16 Und zu denen gehört auch unser Freund log2 3 - eine taschenrechnerkompatible Dezimalnäherung
spare ich mir hier, denn die hilft ja sowieso nichts; falls es jemandem noch nicht aufgefallen ist: Wir
rechnen hier nur mit richtigen Brüchen, die schon für den guten alten Pythagoras die einzig wahren
Träger der Harmonie waren.
17 Es wird auch gerne als ” kaufmännische Rundung“ bezeichnet.
6

OK, das ist einfach, das kann jeder, und das klappt mit jedem x, aber damit geben wir
uns nicht zufrieden! Es gibt nämlich Werte für x, die das viel besser können und die
uns
y
x − log2 3
≤ 1
x2
und sogar y
x − log2 3
≤ 1
2x2 (5)
liefern, was natürlich deutlich besser ist! Und erstaunlicherweise (oder eben auch
nicht), wissen Mathematiker schon seit langer Zeit [2, 3], wie solche magischen Nenner
aussehen - es sind die sogenannten Konvergenten der Kettenbruchentwicklung der
irrationalen Zahl18 . Was genau diese Kettenbrüche sind, das würde an dieser Stelle ein
klein wenig zu weit führen, aber es gibt eine Menge Literatur dazu, siehe nur [7, 9],
und wird außerdem sehr ausführlich in [1] erklärt. Für unsere Zwecke reicht es, daß
die magischen“ Konvergenten zu den Nennern x = 5 (pentatonisch), x = 12 (unse-
”
re normale Skala), x = 41 (ungebräuchlich19 ) und x = 53. Letztere Skala war wohl
schon den Pythagoräern bekannt20 und in [1] findet sich sogar einer Abbildung eines
53-tönigen Harmoniums21 zu dieser Skala. Das war’s dann wohl aber auch schon, denn
das nächste gute x findet sich bei 669 . . .
Gut, was ist nun die Aussage dieses Abschnitts? Ganz einfach: Es ist prinzipiell
unmöglich, eine Tonleiter nur aus konsonanten Intervallen aufzubauen, irgendwo
beisst sich’s immer, und dieser Biss“ ist das pythagoräische Komma 1 −
” 3x
2y der Skala.
Aber, und vielleicht viel wichtiger:
Es ist kein Zufall und keine Konsequenz pseudoreligiöser Zahlenmystik, daß unsere
westliche Skala gerade aus 12 Halbtönen aufgebaut ist.
5 Dem Reinen ist alles rein
Nach diesem kleinen mathematischen Picknick 22 aber jetzt zurück zu unseren Tonleitern
und unserer ” perfekten“ Bordunskala (2). Die ist zwar schön und umstimmbar,
aber birgt ein praktisches Problem und ein theoretisch-philosophisches Ärgernis, und
zwar die Brüche mit den sehr großen Zählern und Nennern, also beispielsweise 27
16ω ω für die Terz. Solche Verhältnisse sind nicht einfach zu
oder auch den Ditonus 81
64
18 Huygens verwendete dieses Prinzip bei der Konstruktion eines mechanischen Planetenmodells,
um die irrationalen Umlaufverhältnisse durch rationale Übersetzungsverhältnisse von Zahnrädern an-
zunähern.
19 Wohl auch, weil der Faktor 1
2
in (5) in diesem Fall fehlt.
20 Man kann sie ja auch ” experimentell“ bestimmen, indem man einfach quintenzirkelt, bis es irgendwann
passt. Man braucht nur Zeit und Beharrlichkeit.
21 Das den Namen wohl zurecht trägt, bei all den vielen Quinten, die es hat.
22 Also ein Exkurs mit vielen leckeren Dingen und die Mathematik der Kettenbrüche gehört wirklich
zum schönsten, was sich finden lässt.
7

konstruieren23 und außerdem entsprechen sie nicht dem pythagoräischen Harmonieverständnis,
in dem Harmonie als kleines ganzzahliges Zahlverhältnis angesehen wird
- dieses lässt sich ja auch über die Partialtöne erklären und begründen und ist nicht
nur eine pur philosophische Definition! Ein Ditonus ist auch kein wirklich konsonates
Intervall und bei hinreichend kräftigen Partialtönen knirscht der ganz schön. Deswegen
haben sich auch eine ganze Menge von mathematisch zumindest angehauchten
Naturphilosophen, unter ihnen Newton und Galilei24 , mit diesem Thema befasst und
Lösungsansätze geliefert. Am populärsten ist hierbei die reine Stimmung25 , bei der
Sekunde, Quarte, Quinte und Oktave beibehalten werden und nur die unschönen“
”
Töne mit den großen Nennern durch kleinere Zahlenverhältnisse ersetzt werden. Die
Verhältnisse sind nun
ω 9 6 5 4 3 8 5 9
ω ω / ω ω ω ω / ω ω /15ω
2 (6)
8 5 4 3 2 5 3 5 8
wobei für Terz, Sexte und Septime immer die große und kleine Version aufgelistet ist,
die restlichen Halbtöne sind erst mal weggelassen. Vorteil dieser Stimmung ist, daß
nun die Terzen besser klingen, was bei Akkordbegleitung durchaus vorteilhaft ist.
Die diatonische reine Dur-Skala“ mit großer Terz, Sexte und Septime besteht dann
”
aus den Tönen
ω 9 5 4 3 5 15
ω ω ω ω ω ω 2, (7)
8 4 3 2 3 8
die entsprechende Moll-Skala aus
ω 9 6 4 3 8 9
ω ω ω ω ω ω 2, (8)
8 5 3 2 5 5
und hier tut man gut daran, die Skala durch zusätzliche Daumenlöcher und/oder Gabelgriffe
zu realisieren, denn der Trick, einen Ton hochzugehen und dann bei einer
” Moll“skala zu landen, funktioniert zwar bei der quintenreinen pythagoräischen, nicht
aber bei der reinen Stimmung. Dazu vergleichen wir einfach mal die reinen Molltöne
zur Sekunde26 mit dem, was uns die Skala liefert, und um wieviel die Skala von den
reinen Molltönen absolut abweicht:
Rein Moll 9
8
Skala 9
8
ω 81
64
ω 5
4
Fehler 0 − 1
64
ω 54
40
ω 4
3
ω 3
2
ω 3
2
ω 27
16
ω 9
5
81 9 ω ω 40 4
5 15
ω ω 3 8 ω 2 9
4
1 − 0 − 60 1
48
3
40
1 − 40
Die relativ große Abweichung bei der Sexte löst man meistens durch einen Gabelgriff
27 , aber der Fluch der reinen Stimmung mit ihren schönen Terzen besteht eben
23 Auch wenn es sehr komplexe und clevere Konstruktionswerkzeuge, die sogenannten Propostional-
zikel, gab.
24 Siehe [4], dort wird das beschrieben.
25 Im Englischen als just intonation bezeichnet.
26 Also alle Töne der Mollskala mit dem Sekundenfaktor 9
8 multipliziert.
27 Auf ” C-Hümmelchen“ mit einem h ist meistens ein Gabelgriff möglich, mit dem man ein b = h ♭
bekommt, um so C-Dur und d-Moll spielen zu können.
8
0

darin, daß die Quinte in der Mollskala nicht mehr passt und damit das schönste Intervall
nach der Oktave futsch ist. Und der Fehler ist mit 1 schon relativ groß, das
48
Verhältnis der Töne ist ja 81,
der Fehler in der Frequenz liegt also bei 1.25%. Dann
80
kann man auch gleich temperiert stimmen.
6 Alle sind gleich - und wohl temperiert
Die temperierte Stimmung ist der Holzhammer unter den Stimmungen - man wählt
einfach alle 12 Intervalle gleichlang, allerdins im logarithmischen Sinne. Anders gesagt:
Das Verhältnis zwischen zwei aufeinanderfolgenden Halbtönen ist ein fester
Wert, sagen wir λ, und die Skala besteht aus den Tönen
ω λ ω λ 2 ω λ 3 ω · · · λ 11 ω λ 12 ω = 2ω,
und somit ist λ 12 = 2 oder eben λ = 2 1/12 = 12√ 2. Das schöne an der temperierten
Stimmung ist, daß sie mit jeder beliebigen Anzahl von ” Halbtönen“ funktioniert 28 , aber
man sollte schon darauf achten, daß die Skala näherungsweise Quarten und Quinten
enthalten. Das tut die temperierte mit den 12 Halbtönen 29 , denn
2 5/12 1.3348 4
3
und 2 7/12 1.4983 3
2 ,
aber halt eben nur näherungsweise. Diese Skala klingt also immer ein bisschen rein und
ein bisschen unrein - aber hat halt keine wirklich schön konsonanten Quinten. Dafür
ermöglicht sie es aber, mit anderen temperiert gestimmten Instrumenten zu spielen und
beliebig durch die Tonarten zu wandern 30 . Aber letzteres ist bei Borduninstrumenten
ja ohnehin eher lästig mit der ständigen Umstimmerei des Borduns, vor allem während
des Spielens.
7 Was bleibt . . .
Fazit: Stimmung gibt’s jede Menge in der Musik, nicht nur in der sogenannten Stim-
”
mungsmusik“ und die Finessen der Stimmungen und Skalen sind zahlreich31 . Welche
” richtig“ oder falsch“ ist, welche wo wie gut klingt und welchen der vielen mögli-
”
chen Kompromisse man eingehen sollte, das ist Geschmackssache und darüber lässt
28 So gibt es beispielsweise ” Vierteltonstimmungen“, die natürlich rein temperiert motiviert sind und
die eben zwischen je zwei Halbtönen noch ein Vierteltönchen einfügen. Rein ist das natürlich überhaupt
nichts mehr.
29 Und damit natürlich auch ihre Verfeinerung, die Vierteltonskala.
30 In [1] ist eine sehr schöne Erklärung, warum sich gerade die Klangfarbe eines Orchesters durch
Tonartwechsel ändern kann: Eine frei schwingende Saite klingt anders als eine gegriffene (das Dämpfungsverhalten
ist ein anderes); deswegen gibt es Stücke, bei denen ganz gezielt eine Verstimmung,
Scordatura des Instruments gefordert wird
31 Es gibt noch unzählige andere Stimmungssysteme
9

sich diskutieren, was Konsonanz ist und ob sie sich in einer bestimmten Skala finden
lässt, das hingegen ist Mathematik und als solche jenseits der Diskussion.
Literatur
[1] D. J. Benson, Music. A mathematical offering, Cambridge University Press, 2007.
[2] D. Bernoulli, Adversaria analytica miscellanes de fractionibus continuis,
N. C. Pet. 20 (1775).
[3] , Disquisitiones ulteriores de idole fractionum continuarum, N. C. Pet.
20 (1775).
[4] J. Fauvel, R. Flood, and R. Wilson (eds.), Music and mathematics. from pythagoras
to fractals, Oxford University Press, 2003.
[5] H. Helmholtz, On the sensations of tone, Longmans & Co, 1885, Translated by
A. J. Ellis, Dover reprint 1954.
[6] H. Heuser, Lehrbuch der Analysis. Teil 1, 3. ed., B. G. Teubner, 1984.
[7] A. Ya. Khinchin, Continued fractions, 3rd ed., University of Chicago Press, 1964,
Reprinted by Dover 1997.
[8] M. Mersenne, Traité de l’harmonie universelle, Corpus des œvres de philosophie
in langue française, Arthème Fayard, 2003, Reprint, original Paris, 1627.
[9] O. Perron, Die Lehre von den Kettenbrüchen I, 3rd ed., B. G. Teubner, 1954.
[10] C. Sagan, Unser Kosmos, Droemersche Verlagsanstalt Th. Knaur Nachf., 1989,
Deutsche Taschenbuchausgabe.
10