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Analysis auf Mannigfaltigkeiten 1
1 Analysis auf Mannigfaltigkeiten
1.1 Differentialformen
1.1.1 Alternierende Abbildungen
Definition 1.1.1.1 Sei E ein endlichdimensionaler R-Vektorraum und
φ1, . . . , φk ∈ E ∗ . Dann sei φ1 ∧ · · · ∧ φk : E × · · · × E → R definiert durch
φ1 ∧ · · · ∧ φk(v1, . . . , vk) := det(φi(vj)) i,j∈{1,...,k}.
Lemma 1.1.1.2 Sei E ein endlichdimensionaler R-Vektorraum und
φ1, . . . , φk ∈ E ∗ . Dann gilt:
1. φ1 ∧ · · · ∧ φk ∈ Λ k E ∗ .
2. Die Abbildung, die φ1, . . . , φk ∈ E ∗ auf φ1 ∧ · · · ∧ φk abbildet, liegt in
A k (E; Λ k E ∗ ).
Beweis: 1) Seien v1, . . . , vk ∈ E, π ∈ Σk. Dann ist φ1∧· · ·∧φk(vπ1, . . . , vπk) =
det(φi(vπj)) = sign π · det(φi(vj)) = sign π · φ1 ∧ · · · ∧ φk(v1, . . . , vk).
2) Die Abbildung ist alternierend: Seien wieder v1, . . . , vk ∈ E, π ∈ Σk.
Dann ist
φπ1 ∧· · ·∧φπk(v1, . . . , vk) = det(φπi(vj)) = det((φπi(vj)) ⊤ ) = det(φπj(vi)) =
sign π · det(φj(vi)) = sign π · det(φi(vj)) = sign π · (φ1 ∧ · · · ∧ φk)(v1, . . . , vk).
Die Multilinearität muss man dann nur noch im ersten Argument zeigen.
Das folgt aber, weil die Determinante multilinear ist. q. e. d.
Lemma 1.1.1.3 Sei E ein n-dimensionaler R-Vektorraum und φ1, . . . , φn
eine Basis von E ∗ . Dann ist {φi1 ∧ · · · ∧ φik | 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n} eine
Basis von Λ k E ∗ .
Beweis: Wir wählen eine Basis a1, . . . , an von E mit φi(aj) = δi j. Dann ist
φi1 ∧ · · · ∧ φik (aj1 , . . . , ajk ) = det(φil (ajm))l,m=1,...,k. Wir behaupten, dass
diese Determinante genau dann gleich 1 ist, wenn (i1, . . . , ik) = (j1, . . . , jk)
und gleich Null sonst. Dass det δi j = 1 ist klar. Sei andererseits p der kleinste
Index mit ip = jp. Wenn dann auch für alle q mit p ≤ q ≤ k gilt, dass
ip = jq, so stehen in der p-ten Zeile nur Nullen, weil nach unserer Wahl von
p für q < p gelten muss, dass ip = jq < jp. Also verschwindet die Determinante.
Ist andererseits q der kleinste Index mit ip = jq, so ist q > p, also ist
für alle m mit 1 ≤ m ≤ k im = jq−1; denn für m < p ist im = jm < jq−1,
aber ip = jq > jq−1, und für m > p ist im > ip = jq > jq−1, also stehen in
der (q − 1)−ten Spalte nur Nullen.
Sei nun ω ∈ ΛkE∗ . Für 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n setzen wir ωi1...ik :=
ω(ai1 , . . . , aik ) und behaupten, dass ω = ωi1,...,ikφi1 1≤i1

2 Christian C. Fenske
ωj1...jk , und für die rechte Seite haben wir gerade gesehen, dass alle Summanden
verschwinden, außer wenn (i1, . . . , ik) = (j1, . . . , jk), und in diesem
Fall ist der Wert ebenfalls ωj1...jk .
Sei nun
ωi1...ikφi1 1≤i1

Analysis auf Mannigfaltigkeiten 3
Beweis: Sei φ1, . . . , φn eine Basis von E∗ .
1) Schreibe
ω =
ωi1...ikφi1 1≤i1

4 Christian C. Fenske
Ist (E, g) ein pseudoeuklidischer Vektorraum, so wird auch E ∗ ein pseudoeuklidischer
Vektorraum, wenn wir g(φ, ψ) := g(φ ♯ , ψ ♯ ) setzen. Wir wollen uns
in Zukunft immer E ∗ immer in dieser Weise als pesudoeuklidischen Vektorraum
vorstellen.
Satz und Definition 1.1.2.4 Sei (E, g) ein pseudoeuklidischer Vektorraum.
1) Wir definieren eine Bilinearform g auf Λ ∗ E ∗ in folgender Weise: Sind
ω ∈ Λ k E ∗ und θ ∈ Λ l E ∗ mit k = l, so sei g(ω, θ) := 0. Sind
φ1, . . . , φk, ψ1, . . . , ψk ∈ E ∗ , ω := φ1 ∧ · · · ∧ φk, θ := ψ1 ∧ · · · ∧ ψk, so sei
g(ω, θ) := det(g(φi, ψj))i,j=1,...,k. Durch lineare Fortsetzung erhält man dann
eine symmetrische nicht ausgeartete Bilinearform.
2) Ist φ1, . . . , φm eine g-Orthonormalbasis von E ∗ , so ist
{φi1 ∧ · · · ∧ φik | 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ m} eine g-Orthonormalbasis von Λ k E ∗ .
Beweis: Wir zeigen zunächst 2): Es ist g(φi1 ∧ · · · ∧ φik , φi1 ∧ · · · ∧ φik ) =
det(g(φij , φil ))j,l=1,...,k = ±1, weil g(φij , φil ) = ±δj l. Sind aber (i1, . . . , ik)
und (j1, . . . , jk) verschiedene k-tupel, so finden wir
g(φi1 ∧ · · · ∧ φik , φj1 ∧ · · · ∧ φjk ) = det(g(φil , φjm))l,m=1,...,k. Seien nun
i1 = j1, . . . , in−1 = jn−1 und in = jn, so stehen in der n-ten Zeile und Spalte
nur Nullen, also verschwindet die Determinante.
1) Hat man aber eine Basis a1, . . . , am eines Vektorraums F und definiert
man g(ai, aj) := ±δi j und setzt dann linear fort, so erhält man stets eine
nicht ausgeartete symmetrische Bilinearform. q. e. d.
Satz und Definition 1.1.2.5 Sei (E, g) ein n-dimensionaler pseudoeuklidischer
Vektorraum. Dann gibt es ein µ ∈ Λ n E ∗ mit |µ(e1, . . . , en)| = 1 für
alle g-Orthonormalbasen von E. µ heißt ” Volumenelement“. Es gibt genau
zwei Volumenelemente µ und µ ′ , und diese erfüllen µ ′ = −µ.
Beweis: Sei e1, . . . , en eine g-Orthonormalbasis und µ := e ♭ 1 ∧ · · · ∧ e♭ n. Dann
ist µ(e1, . . . , en) = det(e ♭ i (ej)) = det(g(ei, ej)) = ɛg. Ist a1, . . . , an eine weitere
g-Orthonormalbasis, und A : E → E mit Aei = ai, so ist det A = ±1
und µ(a1, . . . , an) = ɛg det A. Weil dim Λ n E ∗ = 1, gibt es genau zwei Volumenelemente
µ, µ ′ , und es ist µ ′ = −µ. q. e. d.
Bemerkung 1.1.2.6 Ist φ1, . . . , φn eine g-Orthonormalbasis von E ∗ , so ist
φ1 ∧ · · · ∧ φn = µ oder = −µ.
Definition 1.1.2.7 Eine Orientierung eines endlichdimensionalen Vektorraums
E wird durch die Wahl einer Basis (a1, . . . , am) gegeben. Eine Basis
(b1, . . . , bm) heißt positiv orientiert, wenn det T > 0 für die lineare Abbildung
mit T ai = bi (i = 1, . . . , m). Ist E ein orientierter pseudoeuklidischer Vektorraum,
dessen Orientierung durch die Basis (a1, . . . , am) gegeben wird, so
orientieren wir E ∗ durch die duale Basis (a ♭ 1 , . . . , a♭ m). Ein Isomorphismus

Analysis auf Mannigfaltigkeiten 5
orientierter Vektorräume E und F heißt orientierungserhaltend, wenn er
eine positiv orientierte Basis von E auf eine positiv orientierte Basis von F
abbildet.
Satz und Definition 1.1.2.8 Sei (E, g) ein pseudoeuklidischer Vektorraum,
µ ∈ Λ n E ∗ ein Volumenelement und n := dim E. Dann gibt es genau eine
lineare Abbildung ∗ : Λ ∗ E ∗ → Λ ∗ E ∗ mit ∗(Λ p E ∗ ) = Λ n−p E ∗ , für die gilt
g(∗ω, θ) = g(ω ∧ θ, µ).
∗ heißt der ” Hodge ∗-Operator“. Es gilt: ist φ1, . . . , φn eine g-Orthonormalbasis
von E ∗ mit φ1 ∧ · · · ∧ φn = µ und setzen wir ci := g(φi, φi) für i = 1, . . . , n,
so gilt
1. ∗1 = µ, wo 1 das Basiselement von Λ 0 E ∗ ∼ = R ist.
2. ∗µ = ɛg · 1.
3. ∗(φ1 ∧ · · · ∧ φp) = c1 · · · cpφp+1 ∧ · · · ∧ φn.
4. Für eine Permutation π von {1, . . . , n} ist
∗(φπ1 ∧ · · · ∧ φπp) = cπ1 · · · cπp · sign π · φ π(p+1) ∧ · · · φπn.
5. Für ω ∈ Λ p E ∗ ist ∗ ∗ ω = (−1) p(n−p) ɛgω.
6. Für ω, θ ∈ Λ p E ∗ ist (∗ω)∧θ = (∗θ)∧ω und ω ∧∗θ = θ ∧∗ω = g(ω, θ)µ.
7. Für ω, θ ∈ Λ p E ∗ ist g(ω, θ) = ɛgg(∗ω, ∗θ).
Beweis: Sei θ ∈ Λ n−p E ∗ . Wenn wir ω eine g-Orthonormalbasis von Λ p E ∗
durchlaufen lassen, so sehen wir, dass es genau eine lineare Abbildung
∗ : Λ p E ∗ → Λ n−p E ∗ mit g(∗ω, θ) = g(ω ∧θ, µ) gibt. Seien nun φ1, . . . , φn wie
im Satz. Zunächst bemerken wir, dass g(µ, µ) = g(φ1∧· · ·∧φn, φ1∧· · ·∧φn) =
det(g(φi, φj))i,j=1,...,n = ɛg.
1) Sei ω = c · 1, dann ist g(µ, c · µ) = cɛg, aber auch g(1 ∧ cµ, µ) = cg(µ, µ) =
cɛg.
2) Es ist g(ɛg · 1, c · 1) = cɛg, aber auch g(µ ∧ c · 1, µ) = cɛg.
3) Es ist g(φp+1∧· · ·∧φn, φj1 ∧· · ·∧φjn−p) = 0 genau dann, wenn (j1, . . . , jn−p)
eine Permutation von (p + 1, . . . , n) ist. Weiter ist
g(φp+1 ∧ · · · ∧ φn, φp+1 ∧ · · · ∧ φn) = cp+1 · · · cn = ɛgc1 · · · cp, aber auch
c1 · · · cpg(φ1 ∧ · · · ∧ φn, µ) = c1 · · · cpg(µ, µ) = c1 · · · cpɛg.
4) Es ist
g(φπ1 ∧ · · · ∧ φπp ∧ φ π(p+1) ∧ · · · ∧ φπn, µ)
= sign π · g(φ1 ∧ · · · ∧ φn, µ) = sign π · g(µ, µ) = sign π · ɛg
und g(φ π(p+1) ∧· · ·∧φπn, φ π(p+1) ∧· · ·∧φπn) = c π(p+1) · · · cπn = ɛgcπ1 · · · cπn.

6 Christian C. Fenske
5) Es genügt wieder, den Fall ω = φi1 ∧ · · · ∧ φip zu betrachten. Dann ist mit
den Bezeichnungen aus 4): ∗ω = sign πcπ1 · · · cπpφ π(p+1) ∧ · · · ∧ φπn. Also ist
∗∗ω = sign π sign ρcπ1 · · · cπnω, wo ρ jetzt die Permutation ist, die (1, . . . , n)
auf (π(p+1), . . . , πn, π1, . . . , πp) abbildet. Also ist sign ρ = (−1) p(n−p) sign π.
Weil aber c1 · · · cn = ɛg, finden wir damit ∗ ∗ ω = (−1) p(n−p) ɛgω.
6) Es ist
g(∗ω ∧ θ, µ) = g(∗ ∗ ω, θ) = (−1) p(n−p) ɛgg(ω, θ)
= (−1) p(n−p) ɛgg(θ, ω) = g(∗ ∗ θ, ω)
= g(∗ θ ∧ ω, µ) und
ω ∧ ∗ θ = ɛgg(ω ∧ ∗ θ, µ)µ = (−1) p(n−p) ɛgg(∗ θ ∧ ω, µ)µ
= (−1) p(n−p) ɛgg(∗ ∗ θ, ω)µ = g(θ, ω)µ
= g(ω, θ)µ
Der Rest folgt, indem wir θ und ω vertauschen.
7) Es ist
g(∗ω, ∗ θ)µ = ∗ω ∧ ∗ ∗ θ = (−1) p(n−p) ɛg ∗ ω ∧ θ = ɛgθ ∧ ∗ω = ɛgg(ω, θ)µ
q. e. d.
Für spätere Zwecke brauchen wir noch ein
Lemma 1.1.2.9 Seien (E, g) und (F, h) pseudoeuklidische Vektorräume mit
Volumenelementen µg und µh und T : E → F ein orientierungserhaltender
Isomorphismus, der h(T x, T y) = g(x, y) für alle x, y ∈ E erfüllt, so ist
∗(T ∗ ω) = T ∗ (∗ω) für alle ω ∈ Λ ∗ F ∗ .
Beweis: Sei ω ∈ Λ p F ∗ . Ist ψ1, . . . , ψn eine h-Orthonormalbasis von F ∗ , so
reicht es, wenn wir den Fall ω = ψπ1 ∧ · · · ∧ ψπp betrachten. Zunächst bemerken
wir, dass die Voraussetzung impliziert, dass dann auch
φ1 = T ∗ ψ1, . . . , φn = T ∗ ψn eine h-Orthonormalbasis von E ∗ bilden. Sei
nämlich ψ ♯
j = T bj, so ist φj(x) = T ∗ ψj(x) = ψj(T x) = h(T bj, T x) =
g(bj, x), also bj = φ ♯
j
, d.h. ψ♯
j
h(ψi, ψj) = h(ψ ♯
i
= T (φ♯
j
, ∗ψ♯
j
) und damit
) = h(T (φ♯ i ), T (φ♯ j ))
= g(φ ♯
i , φ♯
j ) = g(φi, φj) = g(T ∗ ψi, T ∗ ψj)
Mit den Bezeichnungen aus dem Satz haben wir dann
∗ω = cπ1 · · · cπp sign π · ψ π(p+1) ∧ · · · ∧ ψπn, also
T ∗ (∗ω) = cπ1 · · · cπp sign π · T ∗ ψ π(p+1) ∧ · · · ∧ T ∗ ψπn. Nun ist aber
cπj = h(ψπj, ψπj) = g(T ∗ ψj, T ∗ ψj) = g(φj, φj), also
∗T ∗ ω = ∗(T ∗ ψπ1 ∧· · ·∧T ∗ ψπp) = cπ1 · · · cπp sign π·T ∗ ψ π(p+1) ∧· · ·∧T ∗ ψπn =
T ∗ (∗ω). q. e. d.

Analysis auf Mannigfaltigkeiten 7
Definition 1.1.2.10 Sei E ein dreidimensionaler euklidischer Vektorraum,
a, b ∈ E. Dann heißt a × b := [∗(a ♭ ∧ b ♭ )] ♯ das äußere Produkt von a und b.
Bemerkung 1.1.2.11 Das äußere Produkt ist also eine alternierende bilineare
Abbildung × : E × E → E. Wir stellen noch einige Eigenschaften des
äußeren Produktes zusammen, wobei wir mit µ wieder das Volumenelement
bezeichnen:
1. a × b steht senkrecht auf a und b: Es ist nämlich
〈a, a × b〉 µ = a, [∗(a ♭ ∧ b ♭ )] ♯
µ
= a ♭ , ∗(a ♭ ∧ b ♭
) µ = ∗(a ♭ ∧ b ♭ ), a ♭
µ
= a ♭ ∧ (a ♭ ∧ b ♭ ) = 0
2. Weiter haben wir, dass für a, b ∈ E a × b2 = a2b2 − 〈a, b〉 2 : Es
ist nämlich
a × b 2
= 〈a × b, a × b〉 = ∗(a ♭ ∧ b ♭ ), ∗(a ♭ ∧ b ♭
)
= a ♭ ∧ b ♭ , a ♭ ∧ b ♭
= a ♭
, a
♭
b ♭ , b ♭
− a ♭ , b ♭ 2
= 〈a, a〉 〈b, b〉 − 〈a, b〉 2 = a 2 b 2 − 〈a, b〉 2
3. Schließlich ist a × (b × c) = 〈a, c〉 b − 〈a, b〉 c: Zunächst ist a × (b × c)
orthogonal zu a und zu b × c. b × c ist aber orthogonal zu b und c. Also
ist a×(b×c) orthogonal zu a und liegt in der von b und c aufgespannten
Ebene. Es ist also a × (b × c) = βb + γc und β 〈a, b〉 + γ 〈a, c〉 = 0.
Weiter ist 〈b, a × (b × c)〉 = 〈a, c〉 b 2 − 〈a, b〉 〈b, c〉: Dazu berechnen
wir
〈b, a × (b × c)〉 µ =
Damit haben wir
b ♭ , [a × (b × c)] ♭
µ = a ♭ ∧ (b × c) ♭ ∧ b ♭
= a ♭ ∧ [∗(b ♭ ∧ c ♭ )] ∧ b ♭ = −a ♭ ∧ b ♭ ∧ [∗(b ♭ ∧ c ♭ )]
= − ∗(a ♭ ∧ b ♭ ), ∗(b ♭ ∧ c ♭
) µ = − a ♭ ∧ b ♭ , b ♭ ∧ c ♭
µ
= [− 〈a, b〉 〈b, c〉 + 〈a, c〉 〈b, b〉]µ
β 〈a, b〉 + γ 〈a, c〉 = 0
βb 2 + γ 〈b, c〉 = − 〈a, b〉 〈b, c〉 + 〈a, c〉 b 2
was β = 〈a, c〉 und γ = − 〈a, b〉 ergibt, wie behauptet war.

8 Christian C. Fenske
1.1.3 Mannigfaltigkeiten
Definition 1.1.3.1 Ein Hausdorffraum M heißt lokal euklidisch, wenn es zu
jedem a ∈ M eine offene Umgebung U ∈ U(a) und einen Homöomorphismus
φ von U auf eine offene Teilmenge eines R n gibt.
Bemerkung 1.1.3.2 Ist M zusammenhängend, so ist die Zahl n in der
obigen Definition eindeutig. Letzten Endes muss man dazu zeigen, dass für
n = m R n und R m nicht homöomorph sind. Man nennt dieses nicht triviale
Ergebnis ” Invarianz der Dimension“.
Ein lokal euklidischer Raum sieht also für das topologische Auge lokal so aus
wie der R n . Wir wollen aber Räume untersuchen, die lokal wie der R n aussehen,
wenn man sie durch eine schärfere Brille betrachtet, nämlich durch eine
solche, die auch differenzierbare Unterschiede wahrnimmt. Zunächst denkt
man, dazu müsse man in der Definition des lokal euklidischen Raumes nur
” Homöomorphismus“ durch Diffeomorphismus“ ersetzen, aber das geht so
”
nicht, weil wir für eine Abbildung eines topologischen Raumes in den R n gar
nicht definieren können, was Differenzierbarkeit bedeutet. Die Lösung liegt
aber relativ nahe: Was bedeutet es, wenn wir meinen, dass die Karten in einem
Schulatlas uns ein differenzierbares Bild der Erdoberfläche vermitteln?
Wir haben in unserem Atlas vielleicht eine Karte von Nord– (N) und eine
von Südhessen (S), und auf beiden könnte Gießen zu finden sein. Wir haben
also zwei Abbildungen u : N → R 2 und v : S → R 2 . Dann haben wir die
Abbildung v ◦ u −1 : u(N ∩ S) → v(N ∩ S), die also eine Umgebung des Bildes
von Gießen im Blatt von Nordhessen auf eine Umgebung des Bildes von
Gießen im Blatt von Südhessen abbildet, und von diesem ” Kartenwechsel“
können wir verlangen, dass er C ∞ ist.
Definition 1.1.3.3 Ein topologischer Raum (X, τ) besitzt eine abzählbare
Basis seiner Topologie, wenn es eine abzählbare Menge B offener Mengen
gibt, so dass sich jede offene Teilmenge von X als Vereinigung von Elementen
aus B schreiben lässt.
Definition 1.1.3.4 Eine (glatte) Mannigfaltigkeit ist ein Hausdorffraum M,
dessen Topologie eine abzählbare Basis besitzt und der einen (differenzierbaren)
Atlas A besitzt. Ein Atlas besteht aus einer offenen Überdeckung U von
M durch Kartenumgebungen, so dass es für jedes U ∈ U einen Homöomorphismus
(eine Karte) u : U → u(U) von U auf eine offene Teilmenge eines
R n gibt, wobei gilt: Sind u : U → u(U) und v : V → v(V ) Karten des Atlas
mit U ∩ V = ∅, so ist v ◦ u −1 eine C ∞ -Abbildung von u(U ∩ V ) auf v(U ∩ V ).
Ist u : U → u(U) eine Karte und p ∈ U, so heißt u Karte um p. Ein Atlas
heißt maximal, wenn er nicht durch Hinzunahme weiterer Karten vergrößert
werden kann.

Analysis auf Mannigfaltigkeiten 9
Bemerkung 1.1.3.5 1) Ist M zusammenhängend, so ist die Zahl n in
der obigen Definition eindeutig, und man nennt n =: dim M die Dimension
von M. Ist nämlich v ◦ u −1 ein Kartenwechsel wie in der Definition
und a ∈ U ∩ V , und sei etwa u(U) offen in R n , v(V ) offen in R m , so
ist d(v ◦ u −1 )(u(a)) : R n → R m ein Isomorphismus (denn die Inverse ist
d(u ◦ v −1 )(v(a))), also ist n = m.
2) Jeder Atlas ist in einem eindeutigen maximalen Atlas enthalten. Ist
nämlich A ein Atlas, so besteht der maximale Atlas offenbar aus allen Karten
u : U → u(U), für die gilt: ist v : V → v(V ) eine Karte aus A mit U ∩V = ∅,
so sind u ◦ v −1 : v(U ∩ V ) → u(U ∩ V ) und v ◦ u −1 : u(U ∩ V ) → v(U ∩ V )
C ∞ -Abbildungen.
Definition 1.1.3.6 Seien M, N Mannigfaltigkeiten. Eine Abbildung
f : M → N heißt differenzierbar (womit wir C ∞ meinen), wenn für jede
Karte u von M und v von N die Abbildung v ◦ f ◦ u −1 C ∞ ist.
Bemerkung 1.1.3.7 Wir hätten auch k-malige Differenzierbarkeit definieren
können, indem wir verlangen, dass v ◦ f ◦ u −1 k-mal differenzierbar ist.
Beispiel 1.1.3.8 1) Auf Rn definieren wir die folgende Äquivalenzrelation:
x ∼ y, wenn yi − xi ∈ Z für alle i ∈ {1, . . . , n}. Der Quotientenraum Rn / ∼
heißt n-dimensionaler Torus Tn . Sei π : Rn → Tn die Quotientenabbildung.
Ist U ⊂ Rn eine offene Kugel, die in einen Würfel der Kantenlänge 1 hineinpasst,
so ist π| U injectiv, also können wir (π| U) −1 als Karte benutzen. Die
Kartenwechsel sind dann einfach Translationen, also C∞ . Damit alles seine
Richtigkeit hat, müssen wir Tn noch zu einem topologischen Raum machen.
Dazu nennen wir G ⊂ Tn offen, wenn π−1 (G) offen ist.
2) Die Sphäre Sn = {x ∈ Rn+1 | x2 = 1} ist eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit.
Wir haben nämlich 2n + 2 Karten: Für i ∈ {1, . . . , n + 1} sei
U ± i = {x ∈ Sn | xi ≷ 0} und u ± i : U ± i → Rn definiert durch u ± i (x) =
(x1, . . . , ˆxi, . . . , xn+1), wobei ˆ bedeutet, dass das entsprechende Element
auszulassen ist. Die Kartenwechsel sind wieder C ∞ : Für den Kartenwechsel
u ± j ◦ (u± i )−1 rechnen wir den Fall u + 2 ◦ (u+ 1 )−1 vor; denn die anderen
unterscheiden sich nur durch mehr Bezeichnungsaufwand. Es ist
⎛
⎞ ⎛
n
n
⎝1
−
⎠ = ⎝1
−
(u + 2 ◦(u+ 1 )−1 )(x) = u + 2
j=1
x 2 j , x1, . . . , xn
j=1
x 2 j , x2, . . . , xn
offensichtlich C∞ .
3) Der n-dimensionale projektive Raum PnR ist insofern ein interessantes
Beispiel, als er nicht a priori in einem euklidischen Raum liegt. Für x, y ∈ Sn sei x y, wenn x = y oder x = −y. Wir bezeichnen wieder mit π : Sn →
PnR die Quotientenabbildung und definieren die U ± i wie in 2). Dann ist
π | U + i injectiv, und wir benutzen einfach u + i ◦ (π| U + i )−1 als Karten. Die
⎞
⎠

10 Christian C. Fenske
Kartenwechsel errechnen sich dann wie unter 2). Wir haben also einfach P n R
so zu einer Mannigfaltigkeit gemacht, dass π eine differenzierbare Abbildung
wird. Die Topologie auf P n R definieren wir wieder, indem wir G ⊂ P n offen
nennen, wenn π −1 (G) offen ist.
Wir hätten den Torus T n auch als Produkt S 1 × · · · S 1 beschreiben können:
Definition 1.1.3.9 Seien M, N Mannigfaltigkeiten, u : U → R m und
v : V → R n Karten von M, N. Dann definieren wir eine Karte
u × v : U × V → R m+n durch (u × v)(x, y) = (u(x), v(y)). Auf diese Weise
wird M × N zu einer Mannigfaltigkeit, der Produktmannigfaltigkeit von M
und N.
Eigentlich müsste man nachrechnen, dass die Kartenwechsel wieder glatt
sind — mit den offensichtlichen Bezeichnungen geht das so:
(u2×v2) −1◦(u1×v1) = (u −1
−1
2 ◦u1)×(v 2 ◦v1) ist glatt, weil die Komponenten
glatt sind. Natürlich können wir M × N auch mit einer Topologie versehen:
Wir nennen G ⊂ M × N offen, wenn es zu jedem (x, y) ∈ G offene Mengen
U ∋ x und V ∋ y gibt mit U ×V ⊂ G. Sind schließlich B1 und B2 abzählbare
Basen für die Topologien von M und N, so ist B1 × B2 offensichtlich eine
abzählbare Basis für die Topologie von M × N.
1.1.4 Tangentialvektoren
Definition 1.1.4.1 Sei M eine Mannigfaltigkeit und p ∈ M.
1. Sei γ : (−ɛ, ɛ) → M differenzierbar, p = γ(0). Sei U eine Umgebung
von p und f : U → R differenzierbar. Dann definieren wir die Richtungsableitung
von f längs γ in p als Dγ(f) := (f ◦ γ) ′ (0).
2. Seien f, g differenzierbare Funktionen, die jeweils in einer Umgebung
von p definiert sind. Wir nennen f und g äquivalent, wenn es eine
Umgebung U von p gibt mit f| U = g| U. Die Äquivalenzklasse [f]p =
Keimp f von f heißt Keim von f in p. Fp sei die Algebra der Keime
differenzierbarer Funktionen in p. Ist φ = Keimp f ∈ Fp, so sei φ(p) :=
f(p). Ist γ wie in 1) und φ ∈ Fp, so sei Dγ(φ) := Dγ(f), wo Keimp f =
φ.
3. Ist γ wie in 1), so heißt Dγ : Fp → R Tangentialvektor an M in p.
TpM sei die Menge der Tangentialvektoren an M in p.
Theorem 1.1.4.2 Sei M eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit und p ∈ M.
1. Sei γ : (−ɛ, ɛ) → M differenzierbar, p = γ(0). Dann ist Dγ : Fp → R
eine ” Derivation“ auf der Algebra Fp, d.h. für φ, ψ ∈ Fp und a, b ∈ R
ist
a) Dγ(aφ + bψ) = aDγφ + bDγψ.
b) Dγ(φψ) = (Dγφ)ψ(p) + φ(p)Dγψ.

Analysis auf Mannigfaltigkeiten 11
2. TpM ist ein n-dimensionaler Vektorraum.
3. Ist D : Fp → R eine Derivation, so gibt es ein v ∈ TpM mit D = v.
Beweis: 1) Sei Keimp f = φ, Keimp g = ψ. Dann ist Keimp(af + bg) =
aφ + bψ und
Dγ(aφ+bψ) = ((af+bg)◦γ) ′ (0) = a(f◦γ) ′ (0)+b(g◦γ) ′ (0) = aDγ(f)+bDγ(g)
und Keimp(fg) = φψ, also Dγ(φψ) = ((fg) ◦ γ) ′ (0) = ((f ◦ γ) · (g ◦ γ)) ′ (0) =
(f ◦ γ) ′ (0)g(γ(0)) + f(γ(0))(g ◦ γ) ′ (0) = (Dγφ)ψ(p) + φ(p)Dγψ.
2) Sei u : U → R n eine Karte mit p ∈ U. Dann schreibt sich u = (u1, . . . , un).
Wir wählen ein ɛ > 0 mit B(u(p); 2ɛ) ⊂ u(U). Sei für i ∈ {1, . . . , n}
γi : (−ɛ, ɛ) → M definiert durch γi(t) := u −1 (u(p) + tei), wo ei der i-te
Einheitsvektor ist. Dann ist γi differenzierbar: Ist nämlich v : V → v(V )
eine weitere Karte mit p ∈ V , so ist v ◦ γi(t) = (v ◦ u−1 )(u(p) + tei). Wir
schreiben jetzt und in Zukunft ∂
∂
(f) = Dγi (f). Es ist also (f) =
∂ui
∂ui
p
Di(f ◦ u −1 )(u(p)). Ist nun γ : (−δ, δ) → M differenzierbar mit γ(0) = p und
Keimp f ∈ Fp, so ist nach der Kettenregel
Dγ(f) =(f ◦ γ) ′ (0) = ((f ◦ u −1 ) ◦ (u ◦ γ)) ′ (0)
= d(f ◦ u −1 )(u(γ(0))( d(u ◦ γ)(0))
= d(f ◦ u −1 )(u(p))( d(u ◦ γ)(0)) =
=
n
(ui ◦ γ) ′ (0) ∂
∂ui
i=1
p
(f)
n
i=1
p
Di(f ◦ u −1 )(u(p))(u ◦ γ) ′ i(0)
Also ist jedes v ∈ TpM eine Linearkombination von ∂
, . . . ,
∂u1
p
∂
. Seien
∂un
p
umgekehrt a1, . . . , an ∈ R. Dann sei γ : (−δ, δ) → M definiert durch
γ(t) = u−1 (u(p) + t(a1, . . . , an)), wo wir nur δ so klein wählen müssen, dass
t(a1, . . . , an) ∈ B(0; 2ɛ). Dann ist Dγ = n i=1 ai
∂
. Also ist TpM ein
∂ui
p
Vektorraum. Es bleibt nur noch zu zeigen, dass die ∂
linear unabhängig
∂ui
p
sind. Sei also n i=1 ai
∂
= 0. Dann ist insbesondere für alle j ∈ {1, . . . , n}
∂ui
p
n i=1 ai
∂
uj = 0. Aber
∂ui
∂
uj = Di(uj ◦ u
∂ui
−1 )(u(p)) = δi j, also sind
alle aj = 0.
p
p

12 Christian C. Fenske
3) Sei nun D eine Derivation auf Fp und u wie in 2). Wir behaupten, dass
D = n i=1 Dui
∂
. Sei nämlich Keimp f ∈ Fp. Dann schreiben wir Df =
∂ui
D((f ◦ u −1 ) ◦ u). Nun ist für x ∈ U
p
(f ◦ u −1 )(u(x)) = f(p) +
1
= f(p) +
= f(p) +
n
i=1
0
1
0
1
((f ◦ u
0
−1 )(u(p) + t(u(x) − u(p))) ′ dt
d(f ◦ u −1 )(u(p) + t(u(x) − u(p)))(u(x) − u(p)) dt
Di(f ◦ u −1 )(u(p) + t(u(x) − u(p)))(ui(x) − ui(p)) dt
Setzen wir also gi(x) := 1
0 Di(f ◦ u−1 )(u(p) + t(u(x) − u(p))) dt, so wird
gi(p) = Di(f ◦ u−1 )(u(p)) = ∂
f, und wir haben
∂ui
p
f(x) = f(p) + n i=1 gi(x)(ui(x) − ui(p)). Nun ist für die konstante Funktion
1 D1 = D(1 · 1) = D(1) · 1 + 1 · D1 = 2D1, also ist D1 = 0. Also ist
Df = n i=1 [D(gi)(ui(p) − ui(p)) + gi(p)Dui] = n i=1 Dui
∂
f, wie wir
∂ui
behauptet hatten. q. e. d.
Definition 1.1.4.3 Sei M eine Mannigfaltigkeit. Ein Vektorfeld auf M ist
eine Abbildung X, die jedem p ∈ M ein X(p) ∈ TpM zuordnet. X heißt
differenzierbar in p ∈ M, wenn für jede differenzierbare Funktion f auf
einer Umgebung U von p die Funktion q ↦→ X(q)f differenzierbar auf U
ist. Ein Vektorfeld heißt differenzierbar, wenn es in jedem Punkt auf M
differenzierbar ist. Sind X, Y differenzierbare Vektorfelder auf M, so definieren
wir die Lieklammer von X, Y in p ∈ M als die Abbildung, die jeder
auf einer Umgebung U von p differenzierbaren Funktion f den Wert
[X, Y ](p) := X(p)(Y f) − Y (p)(Xf) zuordnet. Dabei bezeichnet Xf die
Funktion q ↦→ X(q)f.
Lemma 1.1.4.4 Sei M eine Mannigfaltigkeit und X, Y differenzierbare Vektorfelder
auf M. Dann ist für jedes p ∈ M [X, Y ](p) eine Derivation, also
ist [X, Y ] ein Vektorfeld.
Beweis: Seien f, g auf einer Umgebung von p differenzierbar. Dann ist
[X, Y ](p)(fg) = X(p)(Y (fg)) − Y (p)(X(fg))
= X(p)(f(Y g) + g(Y f)) − Y (p)(f(Xg) + g(Xf))
= (X(p)f)(Y (p)g) + f(p) · X(p)(Y g) + (X(p)g)(Y (p)f)
p

Analysis auf Mannigfaltigkeiten 13
q. e. d.
+ g(p) · X(p)(Y f) − (Y (p)f)(X(p)g) − f(p) · Y (p)(Xg)
− (Y (p)g)(X(p)f) − g(p) · Y (p)(X(f))
= f(p) · X(p)(Y g) + g(p) · X(p)(Y f) − f(p) · Y (p)(Xg)
− g(p) · Y (p)(X(f))
= f(p)[X, Y ](p)g + g(p)[X, Y ](p)f
Definition 1.1.4.5 Sei M eine Mannigfaltigkeit und p ∈ M. Ist
Keimp f ∈ Fp, so sei d pf : TpM → R definiert durch d pf(v) = v(f). d pf
ist also ein Element des Dualraumes T ∗ p M von TpM.
Bemerkung 1.1.4.6 Ist u : U → Rn eine Karte mit p ∈ U, so ist d pu1, . . . , d pun
die duale Basis zu ∂
, . . . ,
∂u1
p
∂
: Es ist nämlich
∂un
⎛
p
d puj ⎝ ∂
⎞
⎠ =
∂ui
∂
(uj) = Di(uj ◦ u
∂ui
−1 )(u(p)) = δij. Insbesondere ist
p
also für v ∈ TpM
p
v =
n
d pui(v) ∂
∂ui
i=1
Definition 1.1.4.7 Seien M, N Mannigfaltigkeiten, p ∈ M und φ : M → N
differenzierbar und Dγ ∈ TpM. Dann sei φ∗Dγ := Dφ◦γ.
Satz 1.1.4.8 Seien M, N, P Mannigfaltigkeiten, p ∈ M und φ : M → N,
ψ : N → P differenzierbar.
1. Dann ist φ∗ : TpM → TφpN eine lineare Abbildung.
2. Ist D ∈ TpM und Keimφp g ∈ Fφp, so ist (φ∗D)g = D(g ◦ φ).
3. (ψ ◦ φ)∗ = ψ∗ ◦ φ∗.
Beweis: 2) Sei Dγ ∈ TpM. Dann ist
(φ∗Dγ)(g) = Dφ◦γg = (g ◦ (φ ◦ γ)) ′ (0) = ((g ◦ φ) ◦ γ) ′ (0) = Dγ(g ◦ φ), und
das ist die Behauptung in 2).
1) Aus 2) sehen wir, dass φ∗ eine wohldefinierte Abbildung von TpM nach
TφpN ist. Sind v, w ∈ TpM, a, b ∈ R und Keimp f ∈ Fφp, so ist
φ∗(av + bw)(f) = (av + bw)(f ◦ φ) = av(f ◦ φ) + bw(f ◦ φ)
p
= aφ∗v(f) + bφ∗w(f) = (aφ∗v + bφ∗w)(f)

14 Christian C. Fenske
3) Mit D ∈ TpM und f mit Keim ψ◦φ(p) f ∈ F ψ◦φ(p) haben wir
((ψ ◦ φ)∗D)(f) = D(f ◦ (ψ ◦ φ)) = D((f ◦ ψ) ◦ φ)
q. e. d.
= (φ∗D)(f ◦ ψ) = (ψ∗ ◦ (φ∗D))f
Bemerkung 1.1.4.9 1) Speziell dürfen wir in dem Satz als φ auch eine
Kurve γ : (−ɛ, ɛ) → M benutzen. Den Tangentialvektor an R in 0, der der
üblichen Ableitung entspricht, bezeichnen wir als d
. Dann haben wir
dt
t=0
also γ∗( d
)(f) = (f ◦ γ)
dt
′ (0) = Dγ(f), also ist
t=0
γ∗
d
dt
t=0
= Dγ
2) Sei φ : M → N wie im Satz, p ∈ M, u : U → Rm eine Karte um p
und v : V → Rn eine Karte um φp. Dann muss es möglich sein, die lineare
Abbildung φ∗ : TpM → TφpN in den Basen ∂
und
∂ui
∂
durch eine Matrix
∂vj
auszudrücken. Es ist nämlich
φ∗( ∂
) =
∂uj
n
dvi(φ∗( ∂
i=1
∂uj
)) ∂
=
∂vi
n
i=1
φ∗( ∂
(vi))
∂uj
∂
=
∂vi
n ∂
(vi ◦ φ)
∂uj
∂
∂vi
∂
φ∗ wird also durch die Matrix (vi ◦ φ) beschrieben, also durch
∂uj
Dj(vi ◦ φ ◦ u −1 ).
1.1.5 Differentialformen
Bemerkung 1.1.5.1 Sei M eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit und u :
U → R n eine Karte um p. Dann sind dpu1, . . . , dpun eine Basis von T ∗ p M.
Jedes ω ∈ Λ k T ∗ p M schreibt sich also als
ω =
ωi1...ik dpui1 1≤i1

Analysis auf Mannigfaltigkeiten 15
alle 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n Funktionen ωi1...ik
: U → R mit ω|U =
ωi1...ik dui1 ∧ · · · ∧ duik . ω heißt stetig oder differenzierbar,
1≤i1 r und ψ(t) = 1, wenn |t| ≤ 1/2. Wir definieren
Ψ : R m → [0, 1] durch Ψ(x) := ψ(x) und setzen V := u −1 (B(0; 1/2)).
Dann definieren wir φ : M → R durch φ(x) := Ψ(u(x)), wenn x ∈ U ′ und
φ(x) = 0 sonst. Da φ außerhalb der kompakten Menge u −1 ( ¯ B(0; 1)) verschwindet,
ist φ differenzierbar, und wir haben, dass φ(x) = 1, wenn x ∈ V .
Sei dann Φ = 1−φ. Dann ist Φ·ω = ω, also dω = d(Φ·ω) = ( dΦ)ω +Φ dω.
Auf V verschwinden aber Φ und dφ, also ist dω(p) = 0. q. e. d.
Satz 1.1.5.7 Ist d eine äußere Ableitung auf einer Mannigfaltigkeit M, so
ist d ◦ d = 0.

16 Christian C. Fenske
Beweis: Sei ω ∈ Ω k (M) und p ∈ M. Wir müssen zeigen, dass d dω(p) = 0.
Dazu wählen wir eine Karte u : U → R n um p und eine differenzierbare
Funktion φ : M → [0, 1], die auf einer Umgebung von p gleich 1 ist und außerhalb
von U verschwindet. Weil wir nach dem vorstehenden Satz ω durch
φ · ω ersetzen dürfen, können wir annehmen, dass ω eine Summe von Termen
ωi1...ik dui1 ∧ · · · ∧ duik ist und dann reicht es, ω = f dg1 ∧ · · · ∧ dgk
mit differenzierbaren Funktionen f, g1, . . . , gk anzunehmen. Für k = 0 gilt
die Behauptung nach Voraussetzung. Sei also k = 1 und ω = f dg. Dann
ist dω = df ∧ dg + f d dg = df ∧ dg wieder nach Voraussetzung. Also
ist d dω = d df ∧ dg − df ∧ d dg = 0 wieder nach Voraussetzung. Sei die
Behauptung nun bewiesen für k-Formen und ω = f dg1 ∧ · · · ∧ dgk+1. Dann
ist dω = d(f dg1 ∧ · · · ∧ dgk) ∧ dgk+1 + (−1) k (f dg1 ∧ · · · dgk) ∧ d dgk+1,
und der letzte Summand ist wieder Null nach Voraussetzung. Also ist
d dω = d d (f dg1∧· · ·∧ dgk)∧ dgk+1+(−1) k+1 (f dg1∧· · · dgk)∧ d dgk+1 = 0,
weil der erste Term nach Induktionsvoraussetzung verschwindet und der
zweite wieder nach Voraussetzung. q. e. d.
Theorem 1.1.5.8 Sei M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dann gibt
es genau eine äußere Ableitung für M.
Beweis: Eindeutigkeit: Seien d und d ′ äußere Ableitungen. Sei nun p ∈ M
und u : U → Rn eine Karte um p. Da d und d ′ lokale Operatoren sind, reicht
es zu zeigen, dass dω|U = d ′ ω|U für alle k-Formen ω. Dazu reicht es wieder
zu zeigen, dass d(f dg1∧· · ·∧ dgk) = d ′ (f dg1∧· · ·∧ dgk), wenn f, g1, . . . , gk
differenzierbare Funktionen auf U sind. Wie wir im Beweis des letzten Satzes
gesehen haben, ist aber jeder dieser Ausdrücke gleich df ∧ dg1 ∧ · · · ∧ dgk.
Existenz: Weil wir schon wissen, dass d ein lokaler Operator ist, genügt es
wieder, den Fall ω = f dg1 ∧· · ·∧ dgk zu betrachten, wo die gk Komponenten
einer Karte u sind. Dann definieren wir dω = df ∧ dg1 ∧ · · · ∧ dgk. Dann ist
d offensichtlich R-linear, und Bedingung 1) und 2) gelten nach Definition.
3) sehen wir so: Es ist df = n i=1 ∂
∂ui f dui, also d df = n ∂
i=1 ( d( f)) ∧ ∂ui
dui, und wiederum d ∂
∂ui f = n j=1 ∂ ∂
∂uj ∂ui f duj = n j=1 DjDi(f ◦ u−1 ) duj,
also ist
n n
d df = DjDi(f ◦ u −1 ) duj ∧ dui
i=1 j=1
=
1≤j

Analysis auf Mannigfaltigkeiten 17
4) schließlich sehen wir so: Es genügt, den Fall
ω = f dg1 ∧ · · · ∧ dgk, θ = g dh1 ∧ · · · ∧ dhl zu betrachten. Dann ist
q. e. d.
d(ω ∧ θ) = d((f · g) dg1 ∧ · · · ∧ dgk ∧ dh1 ∧ · · · ∧ dhl)
= d(f · g) ∧ ( dg1 ∧ · · · ∧ dgk ∧ dh1 ∧ · · · ∧ dhl)
= ( df · g + f dg) ∧ ( dg1 ∧ · · · ∧ dgk ∧ dh1 ∧ · · · ∧ dhl)
= ( df ∧ dg1 ∧ · · · ∧ dgk) ∧ (g dh1 ∧ · · · ∧ dhl)
+ (−1) k (f dg1 ∧ · · · ∧ dgk) ∧ ( dg ∧ dh1 ∧ · · · ∧ dhl)
= dω ∧ θ + (−1) k ω ∧ dθ
Definition 1.1.5.9 Sei M eine Mannigfaltigkeit und ω ∈ Ω k (M) differenzierbar.
ω heißt geschlossen, wenn dω = 0 und exakt, wenn es ein θ ∈
Ω k−1 (M) gibt mit ω = dθ. Die k-te de Rhamsche Cohomologiegruppe von
M ist der R-Vektorraum H k (M) := Kern d/ d(Ω k−1 (M)). Die Restklasse
einer geschlossenen Form ω bezeichnen wir als [ω]. Wir haben eine bilineare
Abbildung ∧ : H p (M)×H q (M) → H p+q (M), die [ω], [θ] auf [ω ∧θ] abbildet.
Bemerkung 1.1.5.10 H 0 (M) ist der Vektorraum aller differenzierbaren
Funktionen f : M → R mit df = 0, das sind also die lokal konstanten
Funktionen, also wird H 0 (M) von den Zusammenhangskomponenten von
M erzeugt. Speziell ist also H 0 (M) ∼ = R, wenn M zusammenhängend ist.
Definition 1.1.5.11 Seien M, N Mannigfaltigkeiten und f : M → N differenzierbar.
Dann definieren wir f ∗ : Ω k (N) → Ω k (M) durch
f ∗ ω(v1, . . . , vk) = ω(f∗v1, . . . , f∗vk), wenn ω ∈ Ω k (N), p ∈ M und
v1, . . . , vk ∈ TpM. Ist g ∈ Ω 0 (N), so sei natürlich f ∗ (g) = g ◦ f.
Bemerkung 1.1.5.12 1) Ist g : N → R differenzierbar und v ∈ TpM, so ist
df ∗ (g)(v) = d(g ◦ f)(v) = v(g ◦ f) = f∗(v)(g) = dg(f∗v) = f ∗ ( dg)(v).
2) Die Definition ist insofern nicht ganz legitim, als wir nicht gezeigt haben,
dass f ∗ ω wieder differenzierbar ist. Das folgt aber aus 3) im folgenden
Satz 1.1.5.13 Seien L, M, N Mannigfaltigkeiten und g : L → M,
f : M → N differenzierbar. Dann gilt:
1. (f ◦ g) ∗ = g ∗ ◦ f ∗ .
2. Ist ω ∈ Ω k (N), θ ∈ Ω l (N), so ist f ∗ (ω ∧ θ) = f ∗ ω ∧ f ∗ θ.
3. Ist U ⊂ N offen und sind g, g1, . . . , gn : U → R differenzierbar, so ist
f ∗ (g dg1 ∧ · · · ∧ dgn) = (g ◦ f) d(g1 ◦ f) ∧ · · · ∧ d(gn ◦ f). Insbesondere
gilt dies also für eine Karte von N und zeigt, dass f ∗ differenzierbare
Formen in differenzierbare Formen abbildet.

18 Christian C. Fenske
4. Ist ω ∈ Ω k (N), so ist f ∗ ( dω) = d(f ∗ ω), f ∗ induziert also einen Ringhomomorphismus
f ∗ : H p (N) → H p (M).
Beweis: 1) Sei p ∈ L und ω ∈ Ω k (N) und v1, . . . , vk ∈ TpL. Dann ist
(f ◦ g) ∗ ω(v1, . . . , vk) = ω((f ◦ g)∗v1, . . . , (f ◦ g)∗vk)
= ω(f∗ ◦ g∗(v1), . . . , f∗ ◦ g∗(vk)) = (f ∗ ω)(g∗v1, . . . , g∗vk)
= g ∗ f ∗ ω(v1, . . . , vk)
2) Sei p ∈ M und φ1, . . . , φk ∈ T ∗ fp N. Sind dann v1, . . . , vk ∈ TpM, so ist
(f ∗ φ1 ∧ · · · ∧ f ∗ φk)(v1, . . . , vk) = det(f ∗ φi(vj)) = det(φi(f∗vj))
= (φ1 ∧ · · · ∧ φk)(f∗v1, . . . , f∗vk)
= f ∗ (φ1 ∧ · · · ∧ φk)(v1, . . . , vk)
also f ∗ (φ1 ∧ · · · ∧ φk) = f ∗ φ1 ∧ · · · ∧ f ∗ φk. Damit folgt die Behauptung, weil
es genügt, ω = φ1 ∧ · · · ∧ φk und θ = φk+1 ∧ · · · ∧ φk+l anzunehmen.
3)
f ∗ (g dg1 ∧ · · · ∧ dgk) =f ∗ g ∧ f ∗ dg1 ∧ · · · ∧ f ∗ dgk
= (g ◦ f) d(g1 ◦ f) ∧ · · · ∧ d(gk ◦ f)
4) Es genügt wieder, ω = g dg1 ∧ · · · ∧ dgk anzunehmen. Dann wird
q. e. d.
f ∗ ( dω) = f ∗ ( dg ∧ dg1 ∧ · · · ∧ dgk)
= d(g ◦ f) ∧ d(g1 ◦ f) ∧ · · · d(gk ◦ f)
= d((g ◦ f) d(g1 ◦ f) ∧ · · · d(gk ◦ f))
= d(f ∗ ω)
Satz 1.1.5.14 (Lemma von Poincaré) Sei U ⊂ R m offen. Für alle x ∈
U und alle t ∈ [0, 1] sei tx ∈ U. Sei k ≥ 1 und ω ∈ Ω k (U) geschlossen. Dann
ist ω exakt. Also ist H k U = 0.
Beweis: Für jedes p ≥ 1 definieren wir eine lineare Abbildung ∆p : Ω p (U) →
Ω p−1 (U). Sei nämlich η = f dxi1 ∧ · · · ∧ dxip. Zunächst definieren wir eine
Abbildung fx : [0, 1] → R durch fx(t) := f(tx) und dann Ip(f) : U → R
durch Ip(f)(x) = 1
0 fx(t)t p−1 dt. Damit setzen wir schließlich
∆p(η) := Ip(f)
p
(−1) j−1 xij dxi1 ∧ · · · ∧ dxij ∧ · · · ∧ dxip
j=1
Nun behaupten wir, dass ∆p+1 dη + d∆pη = η: Es genügt wieder, dies für
den Fall η = f dxi1 ∧ · · · ∧ dxip zu verifizieren. Zur Abkürzung setzen wir

Analysis auf Mannigfaltigkeiten 19
η0 := dxi1 ∧· · ·∧ dxip und ˆηj := dxi1 ∧· · ·∧ dxij ∧· · ·∧ dxip. Damit schreibt
sich also ∆pη = Ip(f) p j=1 (−1)j−1xij ˆηj. Zunächst ist
m
∆p+1 dη = ∆p+1
=
m
k=1
k=1
Ip+1(Dkf)
Dkf dxk ∧ η0
⎡
⎣xkη0 +
p
(−1) j xij dxk
⎤
∧ ˆηj ⎦
Man beachte, dass in dη vor dxi1 ∧· · ·∧ dxip erst noch dxk steht: das liefert
bei der Berechnung von ∆p+1 die erste Summe und verschiebt in der zweiten
den Exponenten um 1. Andererseits ist
⎛
p
d∆pη = d ⎝ (−1) j−1 Ip(f)xij ˆηj
⎞
⎠
=
=
j=1
p
(−1) j−1 d(Ip(f)xij ) ∧ ˆηj
j=1
j=1
j=1
p
(−1) j−1
m
Dk(Ip(f)xij + Ip(f)Dkxij dxk ∧ ˆηj
k=1
Nun ist Dkxij = 0, wenn k = ij. Weiter ist nach ?? Dk(Ip(f))(x) =
1
0 Dkfx(t)t p dt = Ip+1(Dkf). Damit finden wir
d∆pη =
=
p
(−1) j−1
m
Ip+1(Dkf)xij dxk
+ Ip(f) dxij ∧ ˆηj
j=1
p
j=1 k=1
k=1
m
(−1) j−1 Ip+1(Dkf)xij dxk ∧ ˆηj + pIp(f)η0
weil wir gerade j − 1 Transpositionen brauchen, um dxij an der Stelle einzufügen,
wo es ausgelassen ist. Nun ist der erste Term von d∆pη gerade das
Negative des zweiten Terms von ∆p+1 dη. Weiter ergibt partielle Integration
1
pIp(f)(x) = fx(t)pt p−1 dt = fx(t)t p | 1
0 −
1 m
(Dkf)x(t)xkt p dt
Damit finden wir
0
= f(x) −
∆p+1 dη + d∆pη =
= η
m
Ip+1(Dkf)(x)xk
k=0
m
[Ip+1(Dkf)]xkη0 + fη0 −
k=1
0
k=1
m
[Ip+1(Dkf)](xk)η0
k=1

20 Christian C. Fenske
Damit sind wir nun aber auch fertig; denn ω ist nach Voraussetzung geschlossen,
also ist ω = ∆k+1 dω + d∆kω = d∆kω exakt. q. e. d.
1.1.6 Die Coableitung
Definition 1.1.6.1 Eine Pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit ist ein Paar
(M, g), wobei M eine Mannigfaltigkeit und g eine Abbildung ist, die jedem
p ∈ M eine pseudoeuklidische Bilinearform gp auf TpM zuordnet, die in folgendem
Sinne differenzierbar ist: ist U ∋ p offen und sind X, Y differenzierbare
Vektorfelder auf U, so ist die Abbildung U → R mit q ↦→ gq(X(q), Y (q))
differenzierbar. g heißt pseudo-Riemannsche Metrik. (M, g) heißt Riemannsche
Mannigfaltigkeit und g Riemannsche Metrik, wenn jedes gp ein inneres
Produkt ist.
Bemerkung 1.1.6.2 1) Statt die Differenzierbarkeit von g(X, Y ) zu verlangen,
reicht es, die Differenzierbarkeit von gi j := g( ∂ ∂ , ) zu verlangen.
∂ui ∂uj
2) Wir werden uns später überlegen, dass man auf jeder Mannigfaltigkeit
eine Riemannsche Metrik einführen kann.
3) Ist (U, u) eine Karte von M mit zusammenhängendem U, so ist für alle
p ∈ U det(gp( ∂ ∂ , )) = 0, also entweder auf ganz U positiv oder auf ganz
∂ui ∂uj
U negativ. Ist also M zusammenhängend, so ist der Wert ɛgp für alle p ∈ M
derselbe:
Definition 1.1.6.3 Sei (M, g) eine zusammenhängende pseudo-Riemannsche
Mannigfaltigkeit. Dann bezeichnen wir mit ɛg den gemeinsamen Wert
aller ɛgp.
Definition 1.1.6.4 Eine Volumenform auf einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit
M ist ein µ ∈ Ω n (M) mit µ(p) = 0 für alle p ∈ M. Eine Mannigfaltigkeit
M heißt orientierbar, wenn es eine Volumenform auf M gibt.
Theorem 1.1.6.5 Sei M eine zusammenhängende n-dimensionale Mannigfaltigkeit.
Dann gilt
1. Genau dann ist M orientierbar, wenn es ein µ ∈ Ω n (M) gibt, für
das gilt: für jedes ω ∈ Ω n (M) gibt es eine differenzierbare Funktion
f : M → R mit ω = fµ.
2. Ist M orientierbar, so besitzt M einen Atlas (Uα, uα)α∈A mit folgender
Eigenschaft: Sind α, β ∈ A mit Uα ∩ Uβ = 0, so ist
det d(uβ ◦ u−1 α )(uα(x)) > 0 für alle x ∈ Uα ∩ Uβ. Ein derartiger Atlas
heißt orientiert“.
”
Wir werden im nächsten Kapitel sehen, dass auch die Umkehrung in 2) gilt.
Beweis: 1) ” ⇒“: Wir behaupten, dass die Volumenform µ der Bedingung
genügt. Da dim Λ n TpM = 1 für jedes p ∈ M gibt es ein eindeutiges
f : M → R mit ω(p) = f(p)µ(p). Da µ(p) = 0, ist f differenzierbar.

Analysis auf Mannigfaltigkeiten 21
” ⇐“: Die Bedingung sagt, dass µ(p) für jedes p ∈ M ein Erzeugendes von
ΛnTpM ist. Das geht aber nur, wenn µ(p) = 0, also ist µ eine Volumenform.
2) Wir wählen einen Atlas (Uα, vα)α∈A mit zusammenhängenden Uα. Sei
µ0 := dx1 ∧ · · · ∧ dxn die Standardvolumenform auf dem Rn . Wir schreiben
v∗ αµ0 = fαµ. Dann verschwindet fα nirgends. Indem wir notfalls eine
Komponente von vα durch ihr Negatives ersetzen, erhalten wir eine Karte
uα : Uα → Rn mit fα(x) > 0 für alle x ∈ Uα (da fα auf der zusammenhängenden
Menge Uα nicht das Vorzeichen wechseln kann). Sei nun
Uα ∩ Uβ = ∅. Dann ist aber
(uβ ◦ u −1
α ) ∗ µ0 = (u ∗ α) −1 u ∗ β µ0 = (u ∗ α) −1 fβµ = (fβ ◦ u −1
α )(u ∗ α) −1 µ
= (fβ ◦ u −1
α )(u ∗ α) −1 ( 1
fα
u ∗ αµ0) = fβ ◦ u−1 α
fα ◦ u −1
α
Andererseits ist aber nach 1.1.1.4 und 1.1.5.13 mit w := uβ ◦ u −1
α
(uβ ◦ u −1
α ) ∗ µ0 = w ∗ ( dx1 ∧ · · · ∧ dxn) = dw 1 ∧ · · · ∧ dw n = (det dw)µ0
womit wir sehen, dass det d(uβ ◦ u −1
α ) > 0. q. e. d.
Beispiel 1.1.6.6 Das Möbiusband
M := {(cos x · (1 + y cos x
x x
1
2 ), sin x · (1 + y cos 2 ), y sin 2 | 0 ≤ x ≤ 2π, − 2 <
y < 1
2 } ist eine nichtorientierbare Mannigfaltigkeit. Zunächst ist M wirklich
eine Mannigfaltigkeit; denn M wird durch die beiden lokalen Parameter
γ : (0, 2π) × (− 1 1
2 , 2 ) → R3 mit
γ(x, y) = (cos x · (1 + y cos x
x x
2 ), sin x · (1 + y cos 2 ), y sin 2 ) und δ : (−π, π) ×
(− 1 1
2 , 2 ) → R3 mit δ(x, y) = (cos x · (1 + y cos x
x x
2 ), sin x · (1 + y cos 2 ), y sin 2 )
beschrieben. δ−1 ◦ γ ist auf ((0, π) ∪ (π, 2π)) × (− 1 1 , ) definiert, und dort
2 2
ist δ−1 ◦ γ(x, y) = (x, y), wenn 0 < x < π und = (x − 2π, −y), wenn
π < x < 2π. Also ist nicht immer det d(δ−1 ◦ γ)(x, y) > 0. Das liegt nun
nicht etwa an einer besonders ungeschickten Wahl des Atlas: Angenommen
nämlich, es gäbe einen orientierten Atlas mit lokalen Parametern γi : Ui →
M, wobei die Ui ⊂ R2 zusammenhängend und offen sind. Dann setzen wir
U := (0, 2π) × (− 1 1
2 , 2 ). Dann ist für alle i γ(U) ∩ γi(Ui) = ∅, also können wir
annehmen, dass alle γ−1 ◦ γ orientierungstreu sind. Nun muss es ein i geben
mit γi(Ui) ∩ {(1 + y, 0, 0)| − 1 1
2 < y < 2 } = ∅ (Parameter x = 0 gesetzt). Wir
numerieren so, dass i = 1. Dann setzen wir V := (−π, π) × (− 1 1
2 , 2 ). Nach
Verkleinern von U1 können wir γ1(U1) ⊂ δ(V ) annehmen. Dann ist entweder
für alle a ∈ U1 det d(δ−1 ◦ γ1)(a) > 0 oder für alle a ∈ U1
det d(δ−1 ◦γ1)(a) < 0. Andererseits ist aber det d(γ −1
1 ◦γ)(a) für a ∈ U ∩U1
und damit
det d(δ −1 ◦ γ)(a) = det d(δ −1 ◦ γ1 ◦ γ −1
1
= det d(δ −1 ◦ γ1)(γ −1
1
◦ γ)(a)
µ0
(γ(a)) · det d(γ−1 ◦ γ)(a)
1

22 Christian C. Fenske
Daher muss det d(δ −1 ◦ γ) immer positiv oder immer negativ sein, da der
zweite Faktor positiv ist. Widerspruch.
Definition 1.1.6.7 Sei (M, g) eine zusammenhängende n-dimensionale pseudo-Riemannsche
Mannigfaltigkeit. Dann definieren wir den Hodge-Operator
∗ : Ω p (M) → Ω n−p (M) durch (∗ω)(p) := ∗(ω(p)) für p ∈ M und die Coableitung
δ : Ω ∗ (M) → Ω ∗ (M) durch δω := (−1) n(p−1) ∗ d ∗ ω für ω ∈ Ω p (M)
und den Laplace-Operator ∆ : Ω ∗ (M) → Ω ∗ (M) durch ∆ := dδ + δ d.
Bemerkung 1.1.6.8 1) Scheinbar hängt die Definition von δ von der Wahl
einer Orientierung (bzw. einer Volumenform) auf M ab. Sind aber µ und µ ′
zwei Volumenformen mit den beiden Hodge ∗-Operatoren ∗ und ∗ ′ , so gibt
es eine nichtverschwindende differenzierbare Funktion f mit µ ′ = fµ, also
ist ∗ ′ = ∗ oder ∗ ′ = −∗. Da in der Definition aber zweimal ∗ auftritt, kommt
es auf die Wahl der Orientierung nicht an.
2) Ist ω ∈ Ω p (M), so ist ∗ω ∈ Ω n−p (M), also d ∗ ω ∈ Ω n−p+1 (M) und damit
δω ∈ Ω p−1 (M).
1.1.7 Die Operationen der klassischen Vektoranalysis
Definition 1.1.7.1 Sei (E, 〈·, ·〉) ein endlichdimensionaler euklidischer Vektorraum.
Ist X ein Vektorfeld auf einer offenen Menge U in E, so bezeichne
X ♭ die 1-Form p ↦→ X(p) ♭ . Ist umgekehrt ω ∈ Ω 1 (U), so bezeichne ω ♯ das
Vektorfeld mit p ↦→ ω(p) ♯ .
Definition 1.1.7.2 Sei E ein endlichdimensionaler euklidischer Vektorraum,
U ⊂ E offen und X ein differenzierbares Vektorfeld auf U. Dann heißt
div X := ∗ d(∗X ♭ ) : U → R die Divergenz von X. Ist dim E = 3, so heißt
rot X := [∗( dX ♭ )] ♯ : U → E die Rotation von X.
Wir stellen einige Eigenschaften von Gradient, Divergenz und Rotation zusammen:
Satz 1.1.7.3 Sei E ein endlichdimensionaler euklidischer Vektorraum,
U ⊂ E offen, f, g : U → R differenzierbar, X, Y : U → E differenzierbar.
Dann gilt:
1. Ist dim E = 3, so ist rot(fX) = grad f × X + f rot X.
2. div(fX) = f div X + 〈grad f, X〉.
3. Ist dim E = 3 und X zweimal differenzierbar, so ist div rot X = 0.
4. Ist dim E = 3, so ist div(X × Y ) = 〈rot X, Y 〉 − 〈X, rot Y 〉.
5. Sind f und g zweimal differenzierbar, so ist div(grad f × grad g) = 0.

Analysis auf Mannigfaltigkeiten 23
6. Ist X zweimal differenzierbar, dim E = 3 und gibt es ein p ∈ U mit
{p + tx| 0 ≤ t ≤ 1} ⊂ U für alle x ∈ U und ist rot X = 0, so gibt es
ein differenzierbares f : U → R mit X = grad f. Ist div X = 0, so gibt
es ein differenzierbares Y : U → E mit X = rot Y .
Beweis: 1) Es ist
rot(fX) = [∗( d(fX) ♭ )] ♯ = [∗( d(f · X ♭ )] ♯
= {∗[( df) ∧ X ♭ + f dX ♭ ]} ♯
= {∗[( df) ♯♭ ∧ X ♭ ]} ♯ + f rot X
= {∗[(grad f) ♭ ∧ X ♭ ]} ♯ + f rot X
= grad f × X + f rot X
2) Zunächst bemerken wir, dass
df ∧ ∗X ♭ = ∗X ♭ ∧ df = X ♭ , df µ = 〈X, grad f〉 µ, also
div(fX) = ∗ d[∗((fX) ♭ )] = ∗ d[∗(f · X ♭ )]
= ∗ d[f · (∗(X ♭ ))] = ∗[( df) ∧ (∗(X ♭ )) + f d(∗X ♭ )]
= 〈X, grad f〉 ∗ µ + f div X = 〈X, grad f〉 + f div X
3) div rot X = ∗[ d ∗ (rot X) ♭ ] = ∗[ d ∗ (∗ d(X ♭ ))] = (−1) 1·2 ∗ d dX ♭ = 0.
4)
div(X × Y ) = ∗ d ∗ (X × Y ) ♭ = ∗ d ∗ ∗(X ♭ ∧ Y ♭ )
= (−1) 2·1 ∗ d(X ♭ ∧ Y ♭ ) = ∗[( dX ♭ ) ∧ Y ♭ − X ♭ ∧ dY ♭ ]
= ∗ ∗ dX ♭ , Y ♭
µ − X ♭ , ∗ dY ♭
µ
= ∗ [〈rot X, Y 〉 µ − 〈X, rot Y 〉 µ] = 〈rot X, Y 〉 − 〈X, rot Y 〉
5) div(grad f × grad g) = 〈rot grad f, rot grad g〉 = 0 nach 3).
6) Ist rot X = 0, so ist ∗ dX ♭ = 0, nach Poincaré gibt es also eine Funktion
f mit df = X ♭ , d.h. grad f = X. Ist div X = 0, so ist d ∗ X ♭ = 0, also gibt
es ein ω ∈ Ω 1 (U) mit ∗X ♭ = dω, d.h. X ♭ = ∗ ∗ X ♭ = ∗ dω = rot ω ♯ . q. e. d.
Bemerkung 1.1.7.4 1) Ist E ein euklidischer Vektorraum, U ⊂ E offen
und X ein differenzierbares Vektorfeld auf U, so ist div X = ∗ d ∗ X ♭ = δX ♭ .
2) Ist f : U → R zweimal differenzierbar, so ist δf = 0, also ∆f = δ df =
∗ d ∗ df = ∗ d ∗ (grad f) ♭ = div grad f.
3) Zur Übung berechnen wir jetzt noch ∆ω, wenn ω ∈ Ω p (U) mit p ≥ 1.
Es genügt dann ω = f dxi1 ∧ · · · ∧ dxip anzunehmen, und wir behaupten,
dass ∆ω = (∆f) dxi1 ∧ · · · ∧ dxip: Zunächst wählen wir (jp+1, . . . , jn) mit
∗( dxi1 ∧ · · · ∧ dxip) = dxjp+1 ∧ · · · ∧ dxjn. Dann ist also
dδω = (−1) n(p−1) d ∗ d ∗ (f dxi1 ∧ · · · ∧ dxik )

24 Christian C. Fenske
= (−1) n(p−1) d ∗ d(f dxjp+1 ∧ · · · ∧ dxjn)
= (−1) n(p−1)
n
d ∗ Dkf dxk ∧ dxjp+1 ∧ · · · ∧ dxjn
= (−1) n(p−1) d ∗
= d
p
k=1
k=1
p
k=1
Dik f dxik ∧ dxjp+1 ∧ · · · ∧ dxjn
(−1) k−1 Dik f dxi1 ∧ · · · ∧ dxik
∧ · · · ∧ dxip
weil wir zunächst n − p + k − 1 Transpositionen brauchen, um dxik
an die rich-
tige Stelle zu bringen, und dann noch einmal p(n − p), um die dxil und dxjm zu
vertauschen. Es ist aber (−1) n(p−1)+(n−p+k−1)+p(n−p) = (−1) k−1 .
=
=
p
n
k=1 l=1
p
k=1
+
(−1) k−1 DlDik f ∧ dxl ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik
(−1) k−1 D 2 ik f dxik ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik
p n−p
k=1 l=1
∧ · · · ∧ dxip
∧ · · · ∧ dxip
(−1) k−1 Djp+l Dik f dxjp+l ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik
p
= D 2 ikf
dxi1 ∧ · · · ∧ dxip
k=1
+
p n−p
k=1 j=1
(−1) k−1 Djp+l Dik f dxjp+l ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik
p
= D 2 ikf
dxi1 ∧ · · · ∧ dxip
k=1
+
p n−p
k=1 j=1
und andererseits
∧ · · · ∧ dxip
∧ · · · ∧ dxip
(−1) k+p Djp+l Dik f dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ∧ · · · ∧ dxip ∧ dxjp+l
δ dω = (−1) np ∗ d ∗ dω = (−1) np ∗ d ∗ d(f dxi1 ∧ · · · ∧ dxip)
= (−1) np
n−p
∗ d ∗ Djp+kf dxjp+k ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxip
= (−1) np ∗ d
k=1
n−p
(−1) p+k−1
Djp+kf dxjp+1 ∧ · · · ∧ dxj p+k ∧ · · · ∧ dxjn
k=1
weil wir p + k − 1 Transpositionen brauchen, um dxj p+k an die richtige Stelle zu bringen
= (−1) np ∗
= (−1) np ∗
n−p
k=1 l=1
n
(−1) p+k−1
DlDjp+k f dxl ∧ dxjp+1 ∧ · · · ∧ dxj p+k ∧ · · · ∧ dxjn
n−p
(−1) p+k−1 D 2
j f dxj p+k p+k dxjp+1 ∧ · · · ∧ dxj p+k ∧ · · · ∧ dxjn
k=1

Analysis III B 25
+ (−1) np ∗
= (−1) (n+1)p ∗
=
+ (−1) (n+1)p ∗
n−p
k=1 l=1
p
(−1) p+k−1
DilDjp+k f dxil ∧ dxjp+1 ∧ · · · ∧ dxj p+k ∧ · · · ∧ dxjn
n−p
D 2
j f dxj p+k p+1 ∧ · · · ∧ dxjn
k=1
n−p
k=1 l=1
n−p
D 2
j f dxi1 ∧ · · · ∧ dxi p+k k
k=1
n−p
+
k=1 l=1
p
(−1) k−1
DilDjp+k f dxil ∧ dxjp+1 ∧ · · · ∧ ∧ dxj p+k ∧ dxjn
p
(−1) p−l−1 DilDj+kf dxi1 ∧ · · · ∧ dxil ∧ · · · ∧ dxik ∧ dxjp+k weil wir zunächst p(n − p) Transpositionen brauchen, um
(il, jp+1, . . . , jp+k, . . . , jn, i1, . . . îl, . . . , ip, jp+k) in die Reihenfolge
(i1, . . . , îl, . . . , ip, jp+k, il, jp+1, . . . , jp+k, . . . , jn) zu bringen, dann k, um jp+k
an die richtige Stelle zu bringen und schließlich noch p − l, um il an die richtige
Stelle zu stellen. Es ist aber (−1) (n+1)p+k−1+p(n−p)+k+p−l = (−1) p−l−1 .
Nun heben sich die Doppelsummen in ( dδ+δ d)ω weg, und die ersten beiden
Summen ergeben zusammen ∆ω = (∆f) dxi1 ∧ · · · ∧ dxik .
1.2 Integration auf Mannigfaltigkeiten
1.2.1 Berandete Mannigfaltigkeiten
Definition 1.2.1.1 Sei R n − := {x ∈ R n | x1 ≤ 0}. Eine (n-dimensionale)
berandete Mannigfaltigkeit ist ein separabler Hausdorffraum, dessen Topologie
eine abzählbare Basis besitzt und für den gilt: es gibt eine offene Überdeckung
U von M und für jedes U ∈ U einen Homöomorphismus (eine Karte)
u von U auf eine offene Menge des R n −, so dass u◦v −1 : v(U ∩V ) → u(U ∩V )
ein Diffeomorphismus ist, wenn U, V ∈ U mit U ∩ V = ∅. p ∈ M heißt Randpunkt,
wenn u1(p) = 0, falls u eine Karte um p ist. ∂M sei die Menge der
Randpunkte von M. M heißt orientierbar, wenn man die Karten so wählen
kann, dass det d(u ◦ v −1 )(v(p)) > 0 für alle p ∈ U ∩ V . Sind M, N berandete
Mannigfaltigkeiten und ist D ⊂ M offen, so heißt f : D → N differenzierbar
in p ∈ D, wenn für jede Karte u um p und v um fp auch v ◦ f ◦ u −1 differenzierbar
ist. Für p ∈ M definieren wir wieder TpM als den Vektorraum
der Derivationen auf der Algebra der Keime differenzierbarer reellwertiger
Funktionen um p. Damit können wir dann auch wieder die Räume Ω k (M)
wie früher definieren.
Bemerkung 1.2.1.2 1) Nach dem Umkehrsatz kann eine offene Menge des
R n nicht zu einer offenen Menge des R n −, die {x ∈ R n | x1 = 0} schneidet,
diffeomorph sein. Der Rand von M ist also wohldefiniert.
2) Wie früher können wir auch in der Definition der differenzierbaren Funktion
statt ” für jede Karte“ wieder ” für eine Karte“ sagen.

26 Christian C. Fenske
wie früher definieren, und für
i = 1, . . . , n bilden diese Vektoren wieder eine Basis von TpM.
3) Ist u eine Karte um p, so können wir ∂
∂ui
Satz 1.2.1.3 Sei M eine n-dimensionale berandete Mannigfaltigkeit. Dann
gilt:
1. ∂M ist entweder leer oder eine (n − 1)-dimensionale Mannigfaltigkeit
(ohne Rand).
2. Ist M orientierbar, so ist ∂M orientierbar.
Beweis: 1) Sei A ein Atlas für M. A0 bestehe aus allen u| ∂M, wenn
u : U → R n − eine Karte mit U ∩ ∂M = ∅ ist. Dann bildet u| ∂M die in
∂M offene Menge U ∩ ∂M auf die in H := {x ∈ R n | x1 = 0} offene Menge
u(U ∩ ∂M) ab, und die Kartenwechsel (v| ∂M) ◦ (u| ∂M) −1 = (v ◦ u −1 )|H
sind wieder differenzierbar.
2) Nach 1.1.6.5 besitzt M einen orientierten Atlas. Seien dann
u : U → R n −, v : V → R n − Karten des orientierten Atlas und U ∩V ∩∂M = ∅.
Dann ist also für alle p ∈ U ∩ V : det d(u ◦ v −1 )(v(p)) > 0. Sei φ :=
u ◦ v −1 : v(U ∩ V ) → u(U ∩ V ). φ hat die Komponenten φ1, . . . , φn, und
es ist φ1(0, x2, . . . , xn) = 0 und φ(x1, . . . , xn) < 0, wenn x1 < 0. Also
ist D1φ(0, x2, . . . , xn) = limh→0 φ1(h, x2, . . . , xn)/h ≥ 0, weil im Nenner
nur h < 0 in Frage kommt und dann auch der Zähler negativ ist. Wegen
φ1(0, x2, . . . , xn) = 0 ist Diφ1(0, x2, . . . , xn) = 0 für i = 2, . . . , n. Also kann
det dφ(0, x2, . . . , xn) > 0 nur gelten, wenn D1φ1(0, x2, . . . , xn) > 0 und dann
ist auch det(Diφj(0, x2, . . . , xn))i,j=2,...,n > 0. Also liefert die Einschränkung
des orientierten Atlas für M auf ∂M eine Orientierung für ∂M. In Zukunft
versehen wir ∂M immer mit dieser Orientierung. q. e. d.
1.2.2 Zerlegungen der 1
Definition 1.2.2.1 Ein topologischer Raum X heißt separabel, wenn es eine
abzählbare Menge D ⊂ X gibt mit ¯ D = X.
Satz 1.2.2.2 Sei (X, τ) ein topologischer Raum. Wenn die Topologie von
(X, τ) eine abzählbare Basis besitzt, so ist (X, τ) separabel.
Beweis: Sei B eine abzählbare Basis der Topologie von X. In jedem B ∈ B
wählen wir einen Punkt xB und behaupten, dass D := {xB| B ∈ B} dicht
in X ist. Sei also x ∈ X und U ∈ τ eine Umgebung von x. Gesucht ist ein
B ∈ B mit x ∈ B ⊂ U. Nun ist aber U Vereinigung von Elementen aus B.
Eines davon muss den Punkt x enthalten. q. e. d.

Analysis III B 27
Definition 1.2.2.3 1) Sei M eine Menge und U, V Überdeckungen von M.
V heißt eine Verfeinerung von U (oder feiner als U), wenn jedes V ∈ V in
einem U ∈ U enthalten ist.
2) Sei (X, τ) ein topologischer Raum. Eine Überdeckung U von X heißt lokal
endlich, wenn jeder Punkt in X eine Umgebung besitzt, die nur endlich viele
U ∈ U trifft.
Satz 1.2.2.4 Sei (X, τ) ein topologischer Raum mit einer abzählbaren Basis
für die Topologie, in dem jeder Punkt eine Umgebung mit kompaktem
Abschluss besitzt. Dann lässt sich X als wachsende Vereinigung einer Folge
(Gn)n∈N offener Mengen mit kompaktem Abschluss schreiben, und jede offene
Überdeckung von X besitzt eine abzählbare lokal endliche Verfeinerung
durch offene Mengen mit kompaktem Abschluss.
Beweis: Sei zunächst B eine abzählbare Basis der Topologie von (X, τ). Wir
setzen C := {B ∈ B| ¯ B ist kompakt}. Wir behaupten, dass auch C eine Basis
der Topologie von X ist. Sei nämlich G ⊂ X offen und x ∈ G. Gesucht ist
wieder ein B ∈ C mit x ∈ B ⊂ G. Nach Voraussetzung gibt es eine offene
Menge U ∋ x mit kompaktem Abschluss. Dann hat auch G ∩ U kompakten
Abschluss. Nun wählen wir ein B ∈ B mit x ∈ B ⊂ G ∩ U. Offensichtlich ist
dann B ∈ C. Wir behaupten, dass wir eine Folge (Gn)n∈N offener Mengen
finden können mit
1. Alle ¯ Gn sind kompakt.
2. ¯ Gn ⊂ Gn+1 für alle n ∈ N.
3. X =
n∈N Gn.
Dazu zählen wir C als (Cn)n∈N ab und setzen G0 := C0. Seien dann
G0, . . . , Gn = C0 ∪ · · · ∪ Ckn gefunden. Sei dann kn+1 die kleinste Zahl mit
kn+1 > kn und ¯ Gn ⊂ kn+1 j=0 Cj. Dann setzen wir Gn+1 := kn+1 j=0 Cj.
Für alle n ≥ 2 ist ¯ Gn \Gn−1 kompakt und in der offenen Menge Gn+1 \ ¯ Gn−2
enthalten. Nun wird die kompakte Menge ¯ Gn \ Gn−1 von den nichtleeren
Mengen in {U ∩(Gn+1 \ ¯ Gn−2)| U ∈ U} überdeckt. Wir wählen eine endliche
Teilüberdeckung und dann noch eine endliche Teilüberdeckung der offenen
Überdeckung {U ∩ G2| U ∈ U} von ¯ G1. So erhalten wir eine abzählbare lokal
endliche Verfeinerung von U durch Mengen mit kompaktem Abschluss.
q. e. d.
Definition 1.2.2.5 Sei M eine (berandete oder unberandete) Mannigfaltigkeit
und U eine lokal endliche offene Überdeckung von M. Eine zu U
passende Zerlegung der 1 ist besteht aus einer Familie (φU)U∈U differenzierbarer
Funktionen φU : M → [0, 1] mit

28 Christian C. Fenske
1. Tr φU ⊂ U für alle U ∈ U und
2.
U∈U φU = 1.
Theorem 1.2.2.6 Sei M eine (berandete oder unberandete) Mannigfaltigkeit
und U eine offene Überdeckung von M. Dann gibt es eine lokal endliche
Verfeinerung V von U durch Mengen mit kompaktem Abschluss und eine zu
V passende Zerlegung der 1.
Beweis:
Wir wählen V nach dem vorstehenden Satz und schöpfen M =
n∈N Gn wie in diesem Satz aus. Sei G−1 := ∅. Sei nun p ∈ M. Dann
bezeichne np die größte Zahl mit p ∈ M \ ¯ Gn. Wir wählen ein Vp ∈ V mit
p ∈ Vp und eine Karte wp : Wp → R m (oder wp : Wp → R m − ) mit wp(p) = 0,
Wp ⊂ Vp ∩ (Gnp+2 \ ¯ Gnp) und so, dass wp(Wp) die abgeschlossene Kugel
vom Radius 2 (bzw. den Schnitt dieser Kugel mit R m − ) enthält. Nach 1.4.5.4
finden wir eine C ∞ -Funktion h : R → [0, 1] mit h(x) = 1, wenn |x| ≤ 1, und
h(x) = 0, wenn |x| ≥ 2. Dann definieren wir η(x) := h(x) für x ∈ w(W ).
Schließlich definieren wir eine differenzierbare Funktion ψp : M → [0, 1]
durch ψ(x) := η(wp(x)), wenn x ∈ Wp und ψp(x) = 0 sonst. Dann nimmt
ψp auf einer Umgebung von p den Wert 1 an und der Träger von ψp liegt in
Wp ⊂ Vp ∩ (Gnp+2 \ ¯ Gnp).
Für jedes n ∈ N wählen wir nun eine endliche Menge Fn mit ¯ Gn \ Gn−1 ⊂
n∈N Fn als (ψn)n∈N ab. Die Träger der
ψn bilden eine lokal endliche Überdeckung von M, also ist ψ := ∞
n=0 ψn eine
differenzierbare Funktion auf M, die überall positiv ist. Nun sei φn := ψn/ψ.
Sei jetzt V ∈ V. Wenn für kein n ∈ N der Träger von φn in V enthalten ist,
p∈Fn Wp und zählen die ψp mit p ∈
setzen wir φV := 0 und andernfalls φV :=
{n| Tr φn⊂V } φV . Auf diese Weise
erhalten wir eine zu V passende Zerlegung der 1. q. e. d.
Wir holen nun noch einige früher angekündigte Resultate nach:
Satz 1.2.2.7 Sei M eine Mannigfaltigkeit. Dann gibt es eine Riemannsche
Metrik auf M.
Beweis: Sei (Uα, uα)α∈A ein Atlas für M, wobei wir die Überdeckung
(Uα)α∈A lokal endlich annehmen dürfen. Sei (φα)α∈A eine passende Zerlegung
der 1. Zunächst definieren wir eine Riemannsche Metrik gα auf Uα
durch (gα)p(v, w) := 〈(uα)∗v, (uα)∗w〉. Dann ist g :=
α∈A φαgα die gesuchte
Riemannsche Metrik. q. e. d.
Satz 1.2.2.8 Sei M eine Mannigfaltigkeit. Genau dann ist M orientierbar,
wenn M einen orientierten Atlas besitzt.
Beweis: ” ⇒“: haben wir schon in 1.1.6.5 gesehen.

Analysis III B 29
” ⇐“: Sei (Uα, uα)α∈A ein orientierter Atlas, wobei wir die Überdeckung
(Uα)α∈A lokal endlich annehmen dürfen. Sei (φα)α∈A eine passende Zerlegung
der 1. Sei n := dim M und µ0 := dx1 ∧ · · · ∧ dxn die Standardvolumenform
auf dem R n . Dann definieren wir µα := u ∗ αµ0 ∈ Ω n (Uα) und
µ ′ α := φαµα auf Uα und 0 sonst. Schließlich setzen wir µ :=
α∈A µ′ α. Lokal
ist µ eine endliche Summe, also sehen wir, dass µ ∈ Ω n (M). Es bleibt zu
zeigen, dass µ(p) = 0 für p ∈ M. Sei also p ∈ M. Ist p ∈ Uα ∩ Uβ, so ist mit
w := uβ ◦ u −1
α nach 1.1.5.13 und 1.1.1.4
µβ = u ∗ β µ0 = u ∗ αw ∗ µ0 = u ∗ α dw1 ∧ · · · ∧ dwn
= u ∗ α(det dw)µ0 = ((det dw) ◦ uα)µα
Sei also {α ∈ A| p ∈ Uα} = {α0, . . . , αm}, so ist
µ(p) = φα0 + m φαk k=1 det d(uαk ◦ u−1 α0 ) µ ′ α0 > 0, da alle φα nichtnegativ
sind und die Kartenwechsel nach Voraussetzung positive Determinante haben.
q. e. d.
1.2.3 Integration von Differentialformen
Definition 1.2.3.1 1) Sei M eine berandete Mannigfaltigkeit und ω ∈
Ωk (M). Der Träger von ω, Tr ω, ist der Abschluss von {p ∈ M| ω(p) = 0}.
2) Sei ω ∈ Ωn (Rn ) oder ω ∈ Ωn (Rn −) mit kompaktem Träger. Es ist
ω = f dx1 ∧ · · · ∧ dxn, und wir setzen
Rn ω := f oder
Rn ω =
−
f.
3) Sei ω = f dx1 ∧ · · · ∧ dxn mit f ∈ L1 (Rn ). Dann sei
Rn ω := f.
Bemerkung 1.2.3.2 1) Sei U offen und zusammenhängend, Tr ω ⊂ U und
φ : V → U ein Diffeomorphismus. Dann ist nach 1.1.1.4
φ ∗ ω = (f ◦ φ) dφ1 ∧ · · · dφn = (f ◦ φ) det dφ · dx1 ∧ · · · ∧ dxn
also nach dem Transformationssatz φ∗ω = sign det dφ ω, wobei es auch
hier ausreicht, f ∈ L1 (U) anzunehmen.
2) Sei M eine orientierte berandete Mannigfaltigkeit, u : U → Rn − eine
Karte eines orientierten Atlas und ω ∈ Ωn (M) mit Tr ω ⊂ U, wobei wir
u(U) beschränkt annehmen dürfen. Ist v : V → Rn − eine weitere Karte des
orientierten Atlas mit Tr ω ⊂ V , so sei φ = v ◦ u−1 . Dann ist
(u −1 ) ∗ ω =
=
(v −1 ◦ v ◦ u −1 ) ∗ ω =
φ ∗ (v −1 ) ∗ ω =
(v −1 ) ∗ ω
(v ◦ u −1 ) ∗ (v −1 ) ∗ ω
Die obige Rechnung zeigt, dass es wieder reicht, wenn (u −1 ) ∗ ω = f dx1 ∧
· · · ∧ dxn mit einem f ∈ L 1 (u(U)).

30 Christian C. Fenske
3) Sei M wie in 2) und ω ∈ Ω n (M) mit kompaktem Träger. Wir wählen einen
orientierten Atlas (Uα, uα)α∈A, wobei wir annehmen dürfen, dass die Uα eine
lokal endliche Überdeckung von M bilden. Dann wählen wir eine zu dieser
Überdeckung passende Zerlegung der 1 (φα)α∈A. Dann gibt es nur endlich
viele Uα, die die kompakte Menge Tr ω treffen, also ist ω =
α∈A φαω.
Angenommen, wir wählen aus dem Atlas eine andere lokal endliche Über-
deckung (Vβ)β∈B und dazu eine passende Zerlegung der 1, (ψβ)β∈B, aus, so
ist ψβ =
α∈A φαψβ, also ψβω =
α∈A φαψβω und damit
ψβω =
φαψβω
β∈B
β∈B α∈A
=
α∈A β∈B
=
α∈A
φαω
φαψβω
Definition 1.2.3.3 Sei M eine n-dimensionale orientierte berandete Mannigfaltigkeit
und µ eine Volumenform für M. Sei (Uα)α∈A eine lokal endliche
Überdeckung aus Kartenumgebungen des orientierten Atlas mit Karten
uα : Uα → R n − und (φα)α∈A eine zu dieser Überdeckung passende Zerlegung
der 1.
1. Sei ω ∈ Ω n (M) mit kompaktem Träger. Dann setzen wir
α∈A
(u −1
α ) ∗ (φαω).
M
ω :=
2. Ist f : M → R eine Funktion, deren Träger in einem Uα liegt, so sagen
wir, dass f integrierbar ist, wenn f ◦ u−1
integrierbar ist und setzen
f := u−1∗ α (fµ).
3. Ist f : M → R eine Funktion mit kompaktem Träger, so sagen wir,
dass f ∈ L1 (M, µ), wenn (f · φα)µ für alle α ∈ A integrierbar ist, und
setzen
M f := α∈A (u−1 α ) ∗ ((φα · f)µ). Das Integral hängt also von
der Wahl der Volumenform ab.
4. Eine Menge A ⊂ M heißt integrierbar, wenn 1A ∈ L 1 (M, µ). Wir
setzen dann voln(A) =
M 1A. A heißt Nullmenge, wenn voln(A) = 0.
Bemerkung 1.2.3.4 1) Sind µ, µ ′ Volumenformen, so gibt es eine C ∞ -
Funktion g mit µ ′ = gµ. Ist also f ∈ L 1 (M, µ), α ∈ A, so ist g auf Tr f
beschränkt, also hängt die Integrierbarkeit nicht von der Wahl der Volumenform
ab (lediglich der Wert des Integrals). Ist A eine Nullmenge bezüglich
µ, so auch bezüglich µ ′ .
2) Sei M ⊂ R m eine orientierte k-dimensionale Mannigfaltigkeit und
(Uα, uα)α∈A ein orientierter Atlas. Wir wollen zeigen, dass nach Wahl einer

Analysis III B 31
geeigneten Volumenform die obige Definition mit der in Analysis II gegebenen
übereinstimmt. Ist α ∈ A, so kürzen wir u := uα ab und definieren
Gα : Uα → R durch Gα(p) := det(( du−1 (u(p))) ⊤ ◦ du−1 (u(p))). Dann setzen
wir µα(p) := Gα(p) du1 ∧ · · · ∧ duk. Ist auch p ∈ Uβ, so sei v := uβ.
Dann wird µβ(p) = Gβ(p) dv1 ∧ · · · ∧ dvk. Setzen wir τ := u−1v, so wird
nach 1.1.1.4 dv1 ∧ · · · ∧ dvk = du1τ ∧ · · · ∧ dukτ = τ ∗ du1 ∧ · · · ∧ τ ∗ duk =
det dτ du1 ∧ · · · ∧ duk. Nun haben wir aber bei der Behandlung der Gramschen
Determinante gesehen, dass √ Gα = Gβ det dτ, womit wir µα(p) =
µβ(p) erhalten. Also setzen sich die µα zu einer Volumenform µ zusammen.
Wir haben dann
fµ = U fµα =
u(U) u−1∗ (fµα), aber u−1∗ f(µα) =
U
(f◦u−1 ) √ Gα ◦ u−1u−1∗ ( du1∧· · ·∧ duk) = (f◦u−1 ) √ Gα ◦ u−1 dx1∧· · ·∧ dxk,
also
U
fµ =
u(U) (f ◦ u−1 ) √ Gu ◦ u −1 , aber das ist die Definition aus Ana-
lysis II (mit den dortigen Bezeichnungen ist gu = Gu ◦ u −1 ).
Satz 1.2.3.5 Seien M, N n-dimensionale orientierte berandete Mannigfaltigkeiten
und f : M → N ein orientierungserhaltender Diffeomorphismus
(d.h.: Ist (Vβ, vβ)β∈B ein orientierter Atlas von N, so ist (f −1 (Vβ), vβ ◦f)β∈B
ein orientierter Atlas von M). Dann ist
M f ∗ω =
N ω für jedes ω ∈ Ωn (N)
mit kompaktem Träger.
Beweis: Wir wählen einen lokal endlichen orientierten Atlas (Vβ, vβ)β∈B wie
im Satz und eine dazu passende Zerlegung der 1, (ψβ)β∈B. Dann können wir
die vβ ◦ f als Karten für M und die ψβ ◦ f als dazu passende Zerlegung der
1 benutzen. Dann wird
f ∗ ω =
((vβ ◦ f) −1 ) ∗ (ψβ ◦ f · f ∗ ω)
q. e. d.
M
β∈B
=
(v −1
β∈B
=
(v −1
β∈B
=
(v −1
β∈B
β )∗ (f −1 ) ∗ (ψβ ◦ f · f ∗ ω)
β )∗ (ψβ ◦ f ◦ f −1 · (f −1 ) ∗ f ∗ ω
β )∗ (ψβω) =
Theorem 1.2.3.6 (Satz von Stokes) Sei M eine n-dimensionale orientierte
berandete Mannigfaltigkeit und ω ∈ Ωn−1 (M) mit kompaktem Träger.
Dann ist
M dω = ∂M ω.
Beweis: Wir wählen eine lokal endliche Überdeckung (Uα, uα)α∈A durch
Karten eines orientierten Atlas und eine passende Zerlegung der 1, (φα)α∈A.
N
ω

32 Christian C. Fenske
Wenn wir zeigen können, dass
M d(φαω) =
∂M φαω, so erhalten wir
ω =
φαω =
d(φαω)
∂M
=
=
=
α∈A
M
M
M
∂M
d(
φαω)
α∈A
( d
dω
α∈A
α∈A
M
φα)ω + (
M
φα) dω
α∈A
weil das erste Integral wegen
α∈A φα = 1 verschwindet.
Also genügt es den Fall zu betrachten, in dem der Träger von ω eine kompak-
te Teilmenge eines Uα ist. Wir setzen H := {x ∈ R n | x1 = 0} und γα := u −1
α
und wählen ein Produkt kompakter Intervalle J = [a1, b1] × · · · ×[an, bn] mit
uα(Uα) ⊂ J. Dann müssen wir zeigen, dass
es differenzierbare Funktionen f1, . . . , fn mit
γ ∗ αω = n
i=1 (−1)i fi dx1 ∧ · · · ∧ dxi ∧ · · · ∧ dxn. Dann ist
d(γ ∗ ω) =
=
H∩J γ∗ αω =
J γ∗ α dω. Nun gibt
n
(−1) i dfi ∧ dx1 ∧ · · · ∧ dxi ∧ · · · ∧ dxn
i=1
n
Difi dx1 ∧ · · · ∧ dxn
i=1
Wir müssen zwei Fälle unterscheiden: Wenn J ∩ H = ∅, so liegen die Träger
von f1, . . . , fn alle im Innern von J, und es ist
J∩H fj = 0. Um
J Djfj zu
berechnen, integrieren wir mit Fubini zunächst über [aj, bj] und finden
bj
aj
Djfj = fj(x1 . . . , xj−1, bj, xj+1, . . . , xn) − f(x1, . . . , xj−1, aj, xj+1, . . . , xn)
= 0
weil die Argumente auf dem Rand von J liegen. Bleibt der Fall J ∩ H = ∅:
Wie im vorangehenden Fall ist wieder
J Djfj = 0 für j = 2, . . . , n. Für
j = 1 haben wir 0
a1 D1f1 = f(0, x2, . . . , xn) und daher
J
q. e. d.
d(γ ∗
αω) =
=
bn
D1f1 =
J
an
J∩H
γ ∗ αω
b2
· · ·
a2
f1(0, x2, . . . , xn) dx2 ∧ · · · ∧ dxn

Analysis III B 33
Beispiel 1.2.3.7 1) Sei M ⊂ R n eine kompakte berandete n-dimensionale
Mannigfaltigkeit, σ := 1
n
dσ = 1
n
= 1
n
also nach Stokes
voln(M) =
n
j=1 (−1)j−1 xj dx1 ∧ dxj ∧ · · · ∧ dxn, also
n
(−1) j−1 dxj ∧ dx1 ∧ · · · ∧ dxj ∧ · · · ∧ dxn
j=1
n
dx1 ∧ · · · ∧ dxn
j=1
= dx1 ∧ · · · dxn
= 1
n
M
1 =
M
∂M
j=1
dx1 ∧ · · · ∧ dxn =
∂M
n
(−1) j−1 xj dx1 ∧ · · · ∧ dxj ∧ · · · ∧ dxn
Ist
speziell n = 2 und parametrisieren wir ∂M als Kurve γ, so ist vol2(M) =
1
2 γ (x dy − y dx).
2) Sei n = 3 und a > 1. Der Volltorus M entstehe durch Rotation von
{(x, z)| (x − a) 2 + z2 ≤ 1} um die z-Achse. Wir definieren γ : R2 → ∂M
durch γ(s, t) := ((a + cos t) cos s, (a + cos t) sin s, sin t). Dann ist also ∂M =
γ([0, 2π] × [0, 2π]). Setzen wir Q := (0, 2π) × (0, 2π), so ist γ(Q) der Torus
∂M bis auf den äußeren Äquator und den Nullmeridian. Das sind aber
Nullmengen. Setzen wir ω := x dy ∧ dz − y dx ∧ dz + z dx ∧ dy, dann
ist
∂M ω = Q γ∗ω. Wir berechnen nun γ∗ω: D1γ1(s, t) = −(a + cos t) sin s D2γ1(s, t) = − sin t cos s
D1γ2(s, t) = (a + cos t) cos s D2γ2(s, t) = − sin t sin s
D1γ3(s, t) = 0 D2γ3(s, t) = cos t
Damit finden wir
γ ∗ ω = γ1 dγ2 ∧ dγ3 − γ2 dγ1 ∧ dγ3 + γ3 dγ1 ∧ dγ2
= (a + cos t) cos s(D1γ2 ds + D2γ2 dt) ∧ D2γ3 dt
− (a + cos t) sin s(D1γ1 ds + D2γ1 dt) ∧ D2γ3 dt
+ sin t(D1γ1 ds + D2γ1 dt) ∧ (D1γ2 ds + D2γ2 dt)
= (a + cos t) cos s(a + cos t) cos s cos t ds ∧ dt
+ (a + cos t) sin s(a + cos t) sin s cos t ds ∧ dt
+ sin t[(a + cos t) sin s sin t sin s + sin t cos s(a + cos t) cos s] ds ∧ dt
= (a + cos t)[(a + cos t) cos t] ds ∧ dt + (a + cos t) sin t sin t ds ∧ dt
= (a + cos t)[a cos t + cos 2 t + sin 2 t] ds ∧ dt
σ

34 Christian C. Fenske
∂M
= (a + cos t)(1 + a cos t) ds ∧ dt
= [a(1 + cos 2 t) + (1 + a 2 ) cos t] ds ∧ dt also
2π 2π
ω = [a(1 + cos 2 t) + (1 + a 2
) cos t] dt ds
0
0
= 4π 2 a + 2πa
= 4π 2 a + πa
= 6π 2 a
2π
Nach 1) ist also vol3(M) = 2π 2 a.
cos 2 t dt + (1 + a 2 2π
)2π cos t dt
0
0
2π
(1 + cos 2t) dt = 4π
0
2 a + 2π 2 2π
a + a
0
Corollar 1.2.3.8 Sei M eine m-dimensionale Mannigfaltigkeit,
ω ∈ Ωm−1 (M) und Tr ω kompakt. Dann gilt:
1. Ist M berandet und dω = 0, so ist
∂M ω = 0.
2. Ist M unberandet, so ist
dω = 0.
1.2.4 Klassische Integralsätze
M
cos 2t dt
Definition 1.2.4.1 Sei M ⊂ R n eine (n−1)-dimensionale Mannigfaltigkeit.
Ein Einheitsnormalenfeld auf M ist eine stetige Abbildung ν : M → R n , für
die gilt: für jedes p ∈ M ist ν(p) ein Normalenvektor der Länge 1 in p. Ist
M orientiert mit einer Volumenform µ, so heißt ein Einheitsnormalenfeld ν
positiv, wenn die Volumenform ν ♭ ∧ µ die Orientierung des R n ergibt.
Satz 1.2.4.2 Sei n ≥ 2 und M ⊂ R n eine (n − 1)-dimensionale Mannigfaltigkeit.
1. Ist M orientiert, so gibt es genau ein positives Einheitsnormalenfeld
auf M. Dieses lässt sich zu einer differenzierbaren Abbildung auf einer
Umgebung von M fortsetzen.
2. Besitzt M ein Einheitsnormalenfeld ν, so gibt es genau eine Orientierung
für M, die ν zu einem positiven Einheitsnormalenfeld macht.
Beweis: 1) Eindeutigkeit: Da dim TpM = n−1, gibt es in p ∈ M genau zwei
Normalenvektoren der Länge 1. Diese seien ±w. Sei nun µ die Volumenform
auf M und µ0 = dx1 ∧ · · · ∧ dxn, so ist entweder w♭
∧ µ, µ0 > 0, also
ν(p) = w, oder w♭
∧ µ, µ0 < 0, also ν(p) = −w.
Existenz: Wir wählen in jedem p ∈ M den eben beschriebenen Normalenvektor
ν(a). Sei dann p ∈ M. Wir wählen eine Umgebung U von p im Rn und eine C∞-Abbildung φ : U → R mit Rang φ = 1 und M ∩ U = {x ∈
U| φ(x) = 0}. Ist q ∈ U ∩ M, so ist n(b) := grad φ(q) ein Basisvektor des

Analysis III B 35
Normalenraumes an q, also ist grad φ(q) = 0. Indem wir notfalls zwei Kom-
1
ponenten von φ vertauschen, können wir annehmen, dass n(b)n(b) = ν(b),
womit die Differenzierbarkeit von ν gezeigt ist.
Sei nun v : V → Rn−1 eine Karte des orientierten Atlas um p und ψ := v−1 ,
so ist dψ(v(q))e1, . . . , dψ(v(q))en−1 für q ∈ U ∩ V eine Basis von TqM.
Weiter ist die Funktion q ↦→ 〈 dφ(b) ∧ µ(q), µ0〉 stetig und in p positiv, also
auch in einer Umgebung W von p positiv. Also setzen wir ν auf W durch
n fort.
ν = 1
n
2) Sei also p ∈ M. Wir definieren µ(p) := ∗ν ♭ (p), wo ∗ der Hodge-Operator
auf R n bezüglich des üblichen inneren Produktes ist. Zunächst ist µ ∈
Ω n−1 (R n ). Wir behaupten, dass aber bereits µ ∈ Ω n−1 (M): Wir wählen orthonormale
Vektoren v1, . . . , vn−1 mit 〈vj, ν(p)〉 = 0 und setzen vn := ν(p)
und φj := v♭ j . Dann bilden die ∗φj eine Basis von Λn−1Rn∗ , und es ist
〈µ(p), ∗φj〉 = ∗ν ♭
(p), ∗φj = ν ♭
(p), φj
= ν ♭ (p), v ♭
j = 〈ν(p), vj〉
gleich Null, außer wenn j = n. Nun ist aber
∗φj = (−1) j−1 φ1 ∧ · · · ∧ ˆ φj ∧ · · · ∧ φn, also bedeutet das, dass µ = ∗ν gerade
eine Linearkombination der Dachprodukte ist, die ν ♭ nicht enthalten, und
davon gibt es nur eines, nämlich (−1) n−1 φ1 ∧· · ·∧φn−1. Also dürfen wir uns
µ als (n − 1)-Form auf M vorstellen. Offensichtlich verschwindet µ nirgends,
und ν ist nach Konstruktion positiv. q. e. d.
Corollar 1.2.4.3 Sei M ⊂ Rn eine orientierte (n − 1)-dimensionale Mannigfaltigkeit,
ν das positive Einheitsnormalenfeld. Dann wird das Volumenelement
von M durch
n
dF := (−1) j+1 νj dx1 ∧ · · · ∧ dxj ∧ · · · ∧ dxn
gegeben.
j=1
Diese Bezeichnung ist allgemein üblich aber irreführend, weil sie suggeriert,
dass das Flächenelement exakt ist, was aber nicht stimmt.
Beweis: Es ist ν ♭ =
j=1 νj dxj, also
µ = ∗ν ♭ = n
j=1 (−1)j−1 νj dx1 ∧ · · · ∧ dxj ∧ · · · ∧ dxn. q. e. d.
Bemerkung 1.2.4.4 Die hier gegebene Definition stimmt mit der in Analysis
II gegebenen überein: Ist nämlich M ⊂ R m eine Mannigfaltigkeit,
die sich lokal als {(x ′ , g(x ′ ))| x ′ ∈ V } schreibt, wo V ⊂ R m−1 offen und
g : V → R differenzierbar ist, so haben wir in Analysis II in 2.3.5.5 2) gesehen,
dass νj(x ′ , xm) = −cDjg(x ′ ) für j = 1, . . . , m − 1 und νm(x ′ , xm) = c

36 Christian C. Fenske
mit c = (1 + grad g(x ′ )) −1/2 ist. Also ist ν ♭ (x ′ , xm) = c(−D1g(x ′ ) dx1 −
· · · − Dm−1g(x ′ ) dxm−1 + dxm). Nach dem Corollar ist das Volumenelement
gleich dF (x ′ , xm) = c m−1
j=1 (−1)j Djg(x ′ ) dx1 ∧ · · · ∧ dxj ∧ · · · ∧ dxm +
(−1) m+1 c dx1 ∧ · · · ∧ dxm−1. Damit finden wir ν ♭ ∧ dF = c[(D1g) 2 + · · · +
(Dm−1g) 2 + 1] dx1 ∧ · · · ∧ dxm = dx1 + · · · + dxm, also ist ν ein Einheitsnormalenfeld
im Sinne der obigen Definition.
Corollar 1.2.4.5 Sei M ⊂ R n eine orientierte (n − 1)-dimensionale Mannigfaltigkeit,
ν das positive Einheitsnormalenfeld, ω ∈ Ω n−1 (M) mit kom-
paktem Träger. Schreibt man ω = n
j=1 (−1)j+1 Gj dx1 ∧ · · · ∧ dxj ∧ · · · ∧
dxn = n
j=1 Gj ∗ dxj und G = (G1, . . . , Gn), so ist
M
Beweis: Es ist
q. e. d.
ω = 〈ω, dF 〉 dF =
=
n
j=1
n
Gjνj dF = 〈G, ν〉 dF
j=1
Gj ∗ dxj,
ω =
M
n
νj ∗ dxj dF
j=1
〈G, ν〉 dF .
Satz 1.2.4.6 (Satz von Gauß) Es sei M ⊂ Rn eine kompakte berandete
n-dimensionale Mannigfaltigkeit, ν das positive Einheitsnormalenfeld auf
∂M und f : M → Rn differenzierbar. Dann ist
M div f = ∂M 〈f, ν〉 dF .
Beweis: Sei ω := n
j=1 fj ∗ dxj. Dann ist
dω = n
j=1 ( dfj ∧ ∗ dxj + fj d ∗ dxj) = n
j=1 Djf dxj ∧ ∗ dxj = div f · µ0, al-
so nach Stokes und dem letzten Corollar
〈f, ν〉 dF . q. e. d.
∂M
M
div f =
M div fµ0 =
∂M
ω =
Satz 1.2.4.7 (Satz von Stokes) Sei M ⊂ R3 eine kompakte orientierte
berandete zweidimensionale Mannigfaltigkeit, ν das positive Einheitsnormalenfeld
auf M. Für a ∈ ∂M sei T (a) ∈ Ta∂M der positive Einheitsvektor.
ds ∈ T ∗ a ∂M sei definiert durch ds(T (a)) = 1. Sei f : M → R3 differenzierbar.
Dann ist
M
〈rot f, ν〉 dF =
(f1 dx + f2 dy + f3 dz) =
∂M
∂M
〈f, T 〉 ds
Beweis: Sei ω = f1 dx + f2 dy + f3 dz, also ist ω = f ♭ . Λ 2 T ∗ a M ist eindimensional
mit dem normierten Basiselement dF (a) = ∗ν ♭ (a), also haben wir
〈rot f, ν〉 dF = (rot f) ♭ , ν ♭ dF = ∗(rot f) ♭ , ∗ν ♭ dF = df ♭ , dF dF =
df ♭ = dω. Damit finden wir

Analysis III B 37
M 〈rot f, ν〉 dF = ∂M ω = ∂M (f1 dx + f2 dy + f3 dz).
Ist aber T = (T1, T2, T3), so ist T1 ds = dx, T2 ds = dy, T3 ds = dz, wie man
sieht, wenn man beide Seiten auf T anwendet. Also haben wir 〈f, T 〉 ds = ω.
q. e. d.
Beispiel 1.2.4.8 Sei B die Einheitskugel im R3 mit dem Rand S, f : B →
R3 die identische Abbildung, so ist div f = 3, 〈f, ν〉 = 1 auf S, also ist nach
Gauß 3
B dx∧ dy ∧ dz = S dF . Nun ist aber B dx∧ dy ∧ dz = vol3(B) =
4π/3, also ergibt sich der Flächeninhalt der Sphäre zu 4π.
Wir holen jetzt noch eine Eigenschaft des Integrals nach:
Satz 1.2.4.9 Sei f : Rm → R integrierbar. Dann ist für fast alle r ∈ (0, ∞)
die Funktion f über S(r) := {x ∈ Rm | x2 = r} integrierbar, und es
gilt f =
∞
0 S(r) f
dr =
∞
0 S(1) fr
rn−1 dr, wo fr : S(1) → R die
Funktion x ↦→ f(rx) bezeichnet.
Beweis: Sei H± = {x ∈ Rm | x ≷ 0}. Dann ist f = f1h+ + f1H− fast
überall. Sei H0 = {x ∈ Rm | xm = 0}. Da H0 ∩ S(r) für jedes r > 0 eine
Nullmenge ist, genügt es, den Satz für f1H+ und f1H− zu beweisen.
Dann reicht es auch, den Fall H+ zu betrachten. Wir nehmen also an,
dass f = f1H+ . Sei B = {x ∈ Rm−1 | x2 < 1} und Φ : B × (0, ∞) →
H+ definiert durch Φ(x, r) = (rx, r 1 − x2 ). Dann ist Φ ein Diffeomorphismus
mit det dΦ(x, r) = rm−1 √
1−x2 : Wir kürzen ρ := 1 − x2 ab
⎛
r 0 . . . 0 x1
⎜
0 r . . . 0 x2
⎜
und schreiben det dΦ(x, r) = det ⎜
.
⎜
. . .. . .
⎝ 0 0 . . . r xm−1
− x1 x2
ρ − ρ . . . − xm−1
⎞
⎟
⎟.
Wir
⎟
⎠
ρ ρ
entwickeln diese Determinante nach der letzten Spalte und dabei wieder
die Unterdeterminante, die zum Faktor xi gehört, nach der i-ten Spalte
(i = 1, . . . , m − 1), während zu dem Element (m, m) die Unterdeter-
minante r m−1 gehört. Dann finden wir det dΦ(x, r) = m−1
j=1
ρr m−1 = r m−1 ( x2
ρ
x 2 j r·rm−2
ρ
rm−1
+ ρ) = ρ (x2 + ρ2 ) = rm−1 √ . Der Transforma-
1−x2
f = H+ B×(0,r∞) f(rx, r1 − x2 r ) m−1
√ dx dr =
1−x2 √
1−x2 dx
dr nach Fubini. Das innere Integral
tionssatz ergibt also
∞
0 B f(rx, 1 − x2 r ) m−1
ist aber gleich
S(r) f dF : S(r) ∩ H+ ist nämlich der Graph der Funktion
F : B(r) → R mit B(r) = {x ∈ Rm−1 | x < r} und F (x) = r − x2 .
Nun ist DjF (x) = − xj
1
F (x) , also grad F (x) = − F (x) x, also 1+ grad F (x)2 =
+

38 Christian C. Fenske
1 + x2
F (x) 2 = r2
F (x) 2 . Nach 2.2.6 ist dies die Gramsche Determinante, also ist
S(r)
f dF =
B(r)
f(x, 1 − x2 r
r2 − x2 dx
=
B(1)
f(rx, 1 − x2 rm−1
1 − x2 dx,
wo wir die Transformation x ↦→ rx benutzt haben. q. e. d.
Corollar 1.2.4.10 Sei f : [0, ∞) → R eine Funktion, für die die Funktion
g : Rm → R mit g(x) = f(x) integrierbar ist. Dann ist g =
volm−1(Sm−1 ) ∞
0 f(t)tm−1 dt.
Beweis: Nach dem Satz ist g = ∞
0 Sm−1 f dF rm−1 dr =
Sm−1
dF ·
∞
0 f(t)tm−1 dt q. e. d.
Beispiel 1.2.4.11 1) Sei B die abgeschlossene Einheitskugel im R m . Wenden
wir das Corollar auf 1B an, so finden wir
volm(B) = volm−1(S m−1 1
)
0
r m−1 dr = 1
m volm−1(S m−1 ).
2) Seien 0 < r < R, B(r, R) := {x ∈ Rm | r ≤ x ≤ R} und f :
[r, R] → R eine Funktion, für die g : Rm → R mit g(x) = f(x) integrierbar
ist. Dann ist
B(r,R) g = m volm(B) R
r f(t)tm−1 dt. Sei etwa α ∈
R, so finden wir
B(r,R) xα dx = m volm(B) R
r tm+α−1 dt, also für α =
−m:
B(r,R) xα m volm(B)
dx = m+α (Rm+α − rm+α ) und
B(r,R) x−m dx =
m volm(B)(log R − log r).
3) Sei B(R) := {x ∈ Rm | x ≤ R}. Wir wollen
B(R) x2i dx für 1 ≤ i ≤ m
berechnen.
Der Integrand ist zwar nicht rotationssymmetrisch, aber es ist
B(R) x2
i dx = B(R) x2j dx, also
B(R) x2
1
i dx = m B(R) x2 = 1
m volm(B) R
0 rm+1 dr = volm(B)
m+2 Rm+2 .
4) Sei K ⊂ R3 kompakt und ρ : K → R integrierbar (die Dichte des Körpers
K). Ist L eine Gerade, so bezeichne d(x, L) := inf{x − y2| y ∈ L} den
euklidischen Abstand von x zu L. Das Trägheitsmoment von K bezüglich
der Achse L ist Θ :=
K d(·, L)2ρ. Ist speziell K = B(R), ρ > 0 konstant
und L eine Gerade durch 0, so können wir aus Symmetriegründen annehmen,
dass L die x1-Achse ist. Dann ist d(x, L) = x2 2 + x23 , also nach 3):
Θ = ρ
B(R) (x22 + x2 vol3(B)
3 ) = 2 5
R5ρ. Bezeichnet M =
B(R) ρ = vol3(B)R3ρ die Masse der Kugel, so erhält man für das Trägheitsmoment Θ = 2
5 r2 M.

Analysis III B 39
1.2.5 Die Maxwellschen Gleichungen
Definition 1.2.5.1 Seien E, B, J : R 3 × R → R und ρ : R 3 × R → R stetig
differenzierbar. Wir sagen, dass E, B, J und ρ die Maxwellschen Gleichungen
mit Ladungsdichte ρ und Stromdichte J erfüllen, wenn gilt
1. div E = ρ (Gaußsches Gesetz)
2. div B = 0 (es gibt keine magnetischen Quellen)
3. rot E + ∂
∂t B = 0 (Faradaysches Induktionsgesetz)
4. rot B − ∂
∂t E = J (Ampèresches Gesetz)
E heißt das elektrische und B das magnetische Feld. Ist Ω ⊂ R3 messbar,
so heißt
Ω ρ die Ladung von Ω.
Bemerkung 1.2.5.2 Ist Ω ⊂ R3 eine berandete Mannigfaltigkeit, so folgt
aus (1) nach dem Gaußschen Satz
∂Ω 〈E, ν〉 dF = Ω ρ =: Q, d.h. der elektrische
Fluss durch eine geschlossene Fläche ist gleich der Ladung innerhalb
dieser Fläche. Ebenso erhalten wir aus (2), dass
∂Ω 〈B, ν〉 dF = 0: der magnetische
Fluss durch eine geschlossene Fläche verschwindet. Sei nun S ⊂ R3 eine berandete Fläche, dann folgt mit Stokes aus (3), dass
〈E, ν〉 ds = 〈rot E, ν〉 dV = −
∂S
S
d
〈B, ν〉 dV
dt S
Dabei heißt
∂S 〈E, ν〉 dT die Spannung längs ∂S. Ebenso finden wir nach
(4), dass
〈B, ds〉 = 〈rot B, ν〉 dV =
∂S
S
∂
〈E, ν〉 dV + 〈J, ν〉 dV
∂t S
S
Definition 1.2.5.3 Sei M eine Mannigfaltigkeit, X ein Vektorfeld auf M
und ω ∈ Ω k+1 (M), so definieren wir iXω ∈ Ω k (M) durch iXω(X1, . . . , Xk) =
ω(X, X1, . . . , Xk). Ist k = −1, so setzen wir iXω = 0.
Im Folgenden versehen wir M = R 4 mit der Pseudometrik g(x, y) = x1y1 +
x2y2 + x3y3 − x4y4. Der Operator ♭ bezieht sich auf die ersten drei Koordinaten,
∗ wirkt im R 4 . Wir drücken nun erst einmal die Maxwellschen Gleichungen
in Differentialformen aus und zeigen dann, dass diese Gleichungen
Lorentz-invariant sind.
Satz und Definition 1.2.5.4 Es gibt eine eindeutige 2-Form F auf M,
die ” Faradaysche“ 2-Form, für die gilt
E ♭ = −i ∂ F
∂t
B ♭ = −i ∂ ∗ F
∂t
Es gibt eine eindeutige 1-Form j auf M, die Viererstrom“ 1-Form, für die
”
∗ j = ∗J ♭ .
gilt −i ∂ j = ρ und i ∂
∂t
∂t

40 Christian C. Fenske
Beweis: Wir schreiben
also
F = Fxy dx ∧ dy + Fzx dz ∧ dx + Fyz dy ∧ dz
+ Fxt dx ∧ dt + Fyt dy ∧ dt + Fzt dz ∧ dt
∗F = Fxy dz ∧ dt + Fzx dy ∧ dt + Fyz dx ∧ dt
− Fxt dy ∧ dz − Fyt dz ∧ dx − Fzt dx ∧ dy
Wenn wir nun i ∂ F berechnen, so fallen alle Dachprodukte weg, in denen
∂t
kein dt auftritt. Es ist
(i ∂ ( dx ∧ dy))(X) = ( dx ∧ dy)(
∂t
∂
, X)
∂t
= dx( ∂
∂
) dy(X) − dx(X) dy(
∂t ∂t )
= 0
Die anderen Terme lassen sich aber auch leicht berechnen: So ist z.B.
(i ∂ )( dx ∧ dt)(X) = ( dx ∧ dt)(
∂t
∂
, X)
∂t
= dx( ∂
∂
) dt(X) − dx(X) ( dt)
∂t ∂t
= − dx(X).
Also ist i ∂ ( dx ∧ dt) = − dx, womit wir finden:
∂t
−i ∂ F = Fxt dx + Fyt dy + Fzt dz und
∂t
−i ∂
∂t
∗ F = Fxy dz + Fzx dy + Fyz dx.
Damit sehen wir, dass F durch die beiden Forderungen im Satz eindeutig
bestimmt ist. Wir müssen nämlich setzen
F = E1 dx∧ dt+E2 dy∧ dt+E3 dz∧ dt+B3 dx∧ dy+B2 dz∧ dx+B1 dy∧ dz
Ebenso erhalten wir j = −ρ dt + J1 dx + J2 dy + J3 dz: Es ist nämlich
J ♭ = J1 dx+J2 dy+J3 dz, also ∗J ♭ = J1 dy∧ dz−J2 dx∧ dz+J3 dx∧ dy∧ dt
und ∗j = −ρ dx∧ dy∧ dz +J1 dy∧ dz ∧ dt−J2 dx∧ dz ∧ dt+J3 dx∧ dy∧ dt.
∗ j berechnen, fällt der Term
Dass −i ∂
∂t
j = ρ ist dann klar. Wenn wir i ∂
∂t
−ρ dx ∧ dy ∧ dz wieder weg. Wenn wir beispielsweise i ∂
∂t
berechnen wollen, müssen wir i ∂
∂t
dt( ∂
∂t
(J1 dy ∧ dz ∧ dt)
(J1 dy ∧ dz ∧ dt)(X, Y ) = J1 dy ∧ dz ∧
, X, Y ) bestimmen. In diesem Ausdruck fallen aber alle Summanden
angewandt wird.
weg, die einen Term enthalten, in dem dz oder dz auf ∂
∂t

Analysis III B 41
Dann bleibt aber nur J1( dy(X) dz(Y ) − dz(Y ) dy(X)) = J1 dy ∧ dz(X, Y )
erhalten, also ist i ∂ (J1 dy ∧ dz ∧ dt) = J1 dy ∧ dz. Entsprechendes gilt für
∂t
die übrigen Terme. q. e. d.
Satz 1.2.5.5 Die Maxwellschen Gleichungen sind äquivalent zu
Beweis: Zunächst haben wir
dF = 0 und δF = j
dF = dE1 ∧ dx ∧ dt + dE2 ∧ dy ∧ dt + dE3 ∧ dz ∧ dt
+ dB3 ∧ dx ∧ dy + dB2 ∧ dz ∧ dx + + dB1 ∧ dy ∧ dz
= (− ∂
∂y E1 dx ∧ dy + ∂
∂z E1 dx ∧ dz) ∧ dt
+ ( ∂
∂x E3 dx ∧ dy − ∂
∂z E3 dy ∧ dz) ∧ dt
+ ( ∂
∂x E3 dx ∧ dz + ∂
∂y E3 dy ∧ dz) ∧ dt
+ ( ∂
∂z B3 + ∂
∂y B2 + ∂
∂x B1) dx ∧ dy ∧ dz
+ ( ∂
∂t B3 dx ∧ dy + ∂
∂t B2 dz ∧ dx + ∂
∂t B1 dy ∧ dz) ∧ dt
= (rot E + ∂
B)(∧ dy ∧ dz + ∧ dz ∧ dx + dx ∧ dy) ∧ dt
∂t
+ div B dx ∧ dy ∧ dz
Also gilt dF = 0 genau dann, wenn die zweite und dritte Maxwellsche
Gleichung gilt.
Weiter ist F eine 2-Form und die Raumdimension ist 4, also ist
δ = (−1) 4(2−1) ∗ d∗ = ∗ d∗, womit wir finden (wenn wir bei der Berechnung
von ∗ beachten, dass c4 = −1!)
δF = ∗ d ∗ F
= ∗ (− dE1 ∧ dy ∧ dz − dE2 ∧ dz ∧ dx − dE3 ∧ dx ∧ dy
+( dB1 ∧ dx + dB2 ∧ dy + dB3 ∧ dz) ∧ dt)
∂
= ∗
∂x E1 dx ∧ dy ∧ dz − ∂
∂t E1 dy ∧ dz ∧ dt
− ∂
∂y E2 dx ∧ dy ∧ dz − ∂
∂t E2 dz ∧ dx ∧ dt
− ∂
∂z E3 dx ∧ dy ∧ dz − ∂
∂t E3 dx ∧ dy ∧ dt
+ − ∂
∂y B1 dx ∧ dy + ∂
∂z B1 dz ∧ dx

42 Christian C. Fenske
=
+ ∂
∂x B2 dx ∧ dy − ∂
∂z B2 dy ∧ dz
+ ∂
∂x B3 dx ∧ dz + ∂
∂y B3
dy ∧ dz
rot B − ∂
∂t E
+ rot B −
x
∂
∂t E
y
+ rot B − ∂
∂t E
− div E dt.
z
∧ dt
Damit sehen wir, dass δF = ρ zur ersten und vierten Maxwellschen Gleichung
äquivalent ist. q. e. d.
Bemerkung 1.2.5.6 Da δ 2 = 0 haben wir
0 = δ 2 F = δj = ∗ d ∗ j
= ∗ d(−ρ dx ∧ dy ∧ dz + (J1 dy ∧ dz − J2 dx ∧ dz + J3 dx ∧ dy) ∧ dt)
∂ρ ∂
= ∗ +
∂t ∂x J1 + ∂
∂y J2 + ∂
∂z J3
dx ∧ dy ∧ dz ∧ dt
= ∂ρ
+ div J
∂t
Damit finden wir die Kontinuitätsgleichung ∂ρ
∂t + div J = 0. Ist Ω ⊂ R3 offen
und beschränkt, so finden wir nach Gauß ˙ Q = ∂
∂t Ω ρ = − ∂Ω 〈J, ν〉 dS.
Definition 1.2.5.7
1. Eine Lorentz-Mannigfaltigkeit ist eine vierdimensionale pseudo-Riemannsche
Mannigfaltigkeit (M, g) mit ɛg = −1.
2. Die Lorentzgruppe ist die Gruppe L aller A ∈ GL(4), die g(Ax, Ay) =
g(x, y) für alle x, y ∈ R 4 erfüllen.
Bemerkung 1.2.5.8 Da dim M = 4, können wir in jedem Tangentialraum
eine g-Orthonormalbasis a1, . . . , a4 wählen, so dass g(aj, aj) für ein oder
für drei j negativ ist. Indem wir notfalls g durch −g ersetzen, können wir
annehmen, dass g(a1, a1) = g(a2, a2) = g(a3, a3) = 1 und g(a4, a4) = −1.
Auf einer Lorentz-Mannigfaltigkeit können wir die 2-Form F und die 1-
Form j definieren und die Maxwellschen Gleichungen dF = 0 und δj = ρ
formulieren. Überdies sind die Maxwellschen Gleichungen Lorentz-invariant,
d.h. genau dann erfüllen F und j die Maxwellschen Gleichungen, wenn A ∗ F
und A ∗ j für A ∈ L die Maxwellschen Gleichungen erfüllen. Das ist klar, da
dA ∗ F = A ∗ dF nach 1.1.5.13 und δA ∗ j = ∗ d∗A ∗ j = ∗ dA ∗ ∗j = A ∗ ∗ d∗j =
A ∗ δj nach 1.1.2.9. Damit sehen wir

Analysis III B 43
Theorem 1.2.5.9 Die Maxwellschen Gleichungen im R 4 sind Lorentz-invariant.
Bemerkung 1.2.5.10 Da dF = 0 auf ganz R4 können wir nach dem Lemma
von Poincaré eine 1-Form G finden mit dG = F . Beachte, dass G nicht
eindeutig bestimmt ist, da wir G durch G + df mit einer differenzierbaren
Funktion f ersetzen dürfen. Dann haben wir j = δF = δ dG, also wegen
∆ = dδ + δ d: ∆G = j − dδG. Es wäre günstig, wenn wir G so wählen
könnten, dass δG = 0. Nehmen wir dazu an, wir hätten irgendein G0 mit
dG0 = F gefunden. Dann setzen wir an G = G0 + df, wobei wir f also so
bestimmen wollen, dass 0 = δG = δG0 + δ df = δG0 + ∆f. Wir müssen f
also so wählen, dass die Eichbedingung ∆f = −δG0 erfüllt ist. Wenn uns
das gelingt, nehmen die Maxwellschen Gleichungen die Form ∆G = j an.
Um das etwas klassischer zu schreiben, schreiben wir G = A♭ + φ dt (mit
dem Vektorpotential A), wobei ♭ wieder im euklidischen R3 wirkt. Dann
schreibt sich die Eichbedingung als div grad f − ∂2f ∂t2 = −(div A + ∂φ
∂t ), und
das ist eine inhomogene Wellengleichung. Die homogene Wellengleichung
div grad f = ∂2 f
∂t 2 wird von f(x, y, z, t) := ψ(x−t, y−t, z−t) für eine beliebige
Funktion ψ gelöst. Diese Lösung bewegt den Graphen von ψ wie eine Welle
— daher der Name. Mit der ersten und vierten Maxwellschen Gleichung
erhalten wir dann
div grad φ − ∂2f ∂t2 = −ρ und ∆A − ∂2A = −J
∂t2 und das sind wieder inhomogene Wellengleichungen. Wenn A und φ umgekehrt
diese Gleichungen sowie div A + ∂φ
∂t = 0 erfüllen, so erfüllen E =
− grad φ − ∂A
∂z und B = rot A die Maxwellschen Gleichungen.