Lernzielkontrolle - Schule Rain

Lernzielkontrolle
Name: Datum;
3.1
m Berechne die fehlenden Angaben der quadratischen Pyramide und trage sie in die Tabelle ein.
: • a) y b) y:
a M cm 30 dm 24 mm 105 cm
hs 25 cm 14m
Vp-
40 dm
10 m
3 503 mm^
366 666,67 cm^
Berechne das Volumen und die Oberfläche der zusammengesetzten Körper (IVlaße in cm).
E Ein Zeltdach hat die Form einer quadratischen Pyramide dessen Grundl

0.=
3.2
Notiere eine Formel zur Oberflächenbereclnnung (OK) des Kegels in Abhängigkeit vom
Radius r und von der i\/lantellinie s. Die unteren 3 Bilder helfen dir.
(D Berechne die Oberfläche der jeweiligen Kegel.
(3) 1
a) r= 15 cm; s = 25 cm b) r = 7 cm; s = 21 cm c) d = 140 dm; s = 140 dm
Berechne die Oberfläche der Kegel (IVlaße in cm).
Achtung: Bei manchen Aufgaben musst du zunächst die Länge der IVlantellinie s berechnen.
Der Satz des Pythagoras hilft dir hier weiter.
o)
.10
Auf einem kegelförmigen Kirchturm soll das Dach neu gedeckt werden.
Der Kirchturm hat einen Durchmesser von 5 m, die Dachsparren sind
8 m lang.
a) Wie groß ist die Dachfläche?
b) Die Firma berechnet fijr einen Quadratmeter Dachfläche 132 €.
Wie viel Euro muss die Kirchengemeinde bezahlen, wenn noch
19 % Mehnwertssteuer hinzugerechnet werden mCissen?
1/
V V/U.'

Ein Sandliaufen hat folgende IVlaße: d = 1,40 m;
hk (Körperhöhe) = 3,80 m.
Wie groß muss die Plane mindestens sein, um den
Sandhaufen abzudecken?
Berechne die gesuchte Größe des Kegels.
- v
3;3
a) r = 2 cm; OK = 141,6 cm^; gesucht: s b) r = 35 mm; OK = 6 722,79 mm^; gesucht: s
c) r = 1,84 cm; OK = 25,93 cm^; gesucht: s d) s = 47 cm; r = 12 cm; gesucht: OK
Kreuze die Oberflächengröße des Kegels ohne schriftliche Berechnung an.
a) r = 4cm;s = 8cm b) r = 10 cm; s = 30 cm
O 150,7cm2 O 2 405,63 cm^
^2 O 578,63 cm^
O 24,34 cm'
O 527,4 cm^
Berechne die Oberfläche der dargestellten Figuren.
2 435 mm
O 1 256,63 cm'
Bei einem Kegel mit r = 8 cm ist die Mantellinie doppelt so lang wie der Radius.
a) Wie groß ist die Mantelfläche?
b) Wie groß ist die Oberfläche des Kegels?
c) Wie lang ist die Mantellinie?

Nachdem der abgebildete Kegel mit Wasser gefüllt
wurde, ist dessen Inhalt in den Zylinder geschüttet
worden. Dieser Vorgang musste insgesamt dreimal
durchgeführt werden, um den Zylinder komplett zu
füllen. Notiere eine Formel für das Volumen des
Kegels (VK) in Abhängigkeit von dessen Radius r
und dessen Höhe h^.
VK =
© Berechne das Kegelvolumen.
3.4
a) r = 8 cm; hk= 14 cm b) r = 40 mm; h^ = 50 mm c) d = 44 cm; h^ = 50 cm
CD Ein kegelförmiges Trinkglas hat einen Durchmesser von 7 cm und eine Höhe von 12 cm.
Wie groß ist das Fassungsvermögen des Glases?
© Ein kegelförmiger Sandhaufen ist 1,50 m hoch und hat
einen Durchmesser von 1,30 m.
Wie viel m^ Sand sind es?
Berechne das Kegelvolumen (Maße in cm).
Achtung: Bei manchen Aufgaben musst du zunächst die Körperhöhe h^ berechnen.
Der Satz des Pythagoras hilft dir hier weiter.
a)
20
@ Ein kegelförmiges Werkstück aus Eisen besitzt einen Durchmesser von 80 mm.
Die Mantellinie ist 130 mm lang. Wie schwer ist das Werkstück, wenn 1 cm^ Eisen
7,7 g schwer ist?
c)

@ Berechne die gesuchte Größe des Kegels.
3.5
a) r = 19 cm; VK = 34 006,2 cm^; gesucht: h^ b) d = 100 mm; VK = 628 000 mm^; gesucht: h,,
c) r = 11 dm; VK = 9118,56 dm^; gesucht: s d) r = 3,8 m; VK = 226,71 m^; gesucht: OK
® Kreuze die Volumengröße des Kegels ohne schriftliche Berechnung an.
a) r = 5cm; hk = 7cm b) r = 10 cm; h^ = 20 cm
O 906,2 cm^ O 18 740,4 cm^
O 549,2 cm^ O 2 094,4 cm^
O 183,2 cm^ O 6 280,4 cm^
Q Was passiert mit dem Kegelvolumen, wenn sich
a) die Körperhöhe h^ verdoppelt?
b) der Radius r verdoppelt?
c) der Radius r verdreifacht?
In verschiedene Holzwerkstücke (Maße in cm) werden kegelförmige Hohlräume herausgefräst.
Berechne das Volumen der Restkörper.
a) b)

Name: Datum:
Berechne die fehlenden Angaben und trage sie in die Tabelle ein.
3.6
Kegel : a) ; ; :>) : d) : : y e) '
Radius r ' : 7 cm 150 mm 10 cm
Durchmesser d 20 dm 5,20 m
IVlantellinie s 13 cm 260 mm
Körperhöhe h^ 18 dm
Oberfläche 0^ 853,98 cm^
Volumen VK
106,19 m^
Yanniks Mutter möchte zur Einschulung ihres Sohnes eine Schultijte aus Pappe basteln.
Die Schultüte soll einen Durchmesser von 34 cm haben und die Mantellinie der Tüte soll
90 cm lang sein. Für den Verschnitt und für die Klebefalze sollen 9 % hinzugerechnet werden.
Wie groß muss die benötigte Pappfläche sein?
Der Würfel besitzt eine Kantenlänge von 10 cm. Dies entspricht auch
dem Durchmesser und der Körperhöhe des Kegels.
a) Wie groß ist die Oberfläche der dargestellten Figur?
b) Wie groß ist das Fassungsvermögen des Kegels?
ffiS t ':•
• .,' If •
• 1 \. •/ •S t '
Ein Kegel aus Messing (Dichte: 8,6 -^) ist 30 cm hoch und besitzt einen Durchmesser von
14 cm. Wie schwer ist der Kegel? '^^
Wenn man die abgebildete Fläche um die Achse dreht, entsteht ein Drehkörper.
Berechne das Volumen und die Oberfläche des Drehkörpers.
a) Bda^ b)
3 cm
7 cm
11 cm
22 cm
•• f-y
p PI./

mathbu.ch9+
Repetitionsaufgaben zu LU 6 und LU 14
(Zusammenstellung aus Arbeitsblatt LU 06 und LU 14)
3.7
1. Erkläre anschaulich die Pyramiden- und Kegelformeln für die Grundfläche, den Mantel,
die Oberfläche und das Volumen.
2. Berechne das Volumen, die Mantelfläche und die Oberfläche der folgenden Pyramiden:
Grundfläche Quadrat Rechteck
Grundkanten a = 6 cm
a = 32 cm
b = 22 cm
gleichseitiges
Dreieck
a = 8 cm
Körperhöhe h = 15 cm h = 96 cm h = 12 cm
3. Welches Volumen und welche Oberflächeninhalt
hat der nebenstehende zusammengesetzte "^^^/^'^
Körper? (Masse in m)
4. Berechne den Inhalt der Oberfläche und das Volumen der folgenden Kreiskegel:
r = 5 cm h = 16 cm
d = 16cm h = 20cm
r = 6 cm s = 10 cm
h = 40 cm s = 50 cm
5. Ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a = 15 cm und b = 8 cm rotiert um die Kathete a.
Berechne den Inhalt der Oberfläche und das Volumen des entstandenen Kegels.
6. Ein Sandhaufen hat die Gestalt eines geraden Kreiskegels. Ein Durchmesser des
Grundkreises hat eine Länge von 6 m, die Länge einer Seitenkante beträgt 9 m. Wie viele m^
Sand sind dies?
7. Ein Kreissektor hat einen Zentriwinkel von 120°. Der Flächeninhalt beträgt 462 m^. Man biegt
den Kreissektor zu einem Kegel zusammen. Berechne die Länge eines Radius der
Grundfläche.
8. Wie viel wiegt ein Kegel aus Tannenholz (Dichte p = 0,6^) dessen Radius r der
Grundfläche 10 cm und dessen Höhe h = 20 cm beträgt?
16
32

mathbu.ch9+
LU 6 Pyrannide
1. Berechne das Volumen der folgenden Pyramiden:
Grundfläche Quadrat Rechteck
Grund kanten a = 6 cm
a = 32 cm
b = 22 cm
3.8
— gleichseitiges— —r^nfalnnäccinoc
Dreieck Sechseck
a = 8 cm a = 20 cm
Körperhöhe h = 15 cm h = 96 cm h = 12 cm h = 50 cm
2. Berechne den Inhalt der Mantelfläche und der Oberfläche bei den folgenden Pyramiden:
Grundfläche Quadrat Rechteck
Grundkanten a = 6 cm
a = 12 cm
b = 8 cm
gleichseitiges
Dreieck
regelmässiges
Sechseck
a = 6 cm a = 2 cm
Körperhöhe h = 24 cm h = 16 cm h = 3 cm h = 9 cm
3. Auf dem Abschlusspfeiler einer Brücke
befindet sich eine quadratische Granitplatte
mit der Seitenlange s = 84 cm. Die Dicke d
der Platte beträgt 14 cm. Auf der Platte steht
eine Pyramide, deren Grundfläche gleich
gross ist wie die Platte. Die Höhe h der
Pyramide misst 27 cm.
a) Können zwei Männer diesen
Pfeilerkopf wegtragen, wenn die
Dichte des Granits p = 2,7^ beträgt?
b) Der Pfeilerkopf soll allseitig behauen
werden. Wie gross ist die zu
bearbeitende Fläche?
4. Welches Volumen und welche
Oberflächeninhalt hat der
nebenstehende zusammengesetzte
Körper?
(Masse in m)

3.9
LU 14 Test zu den Kegeln 12.03.09 l!
1) Berechne die Oberfläche und das Volumen der folgenden Kreiskegel:
a) r = 5cm h = 16cm , c) r=6cm s = 10cm
b) d = 16cm h = 20cm d) h = 40 cm s = 50 cm
2} Ein Sandhaufen hat die Gestalt eines geraden Kreiskegels. Ein Durchmesser des Grundkreises
hat eine Länge von 6 m, die Länge einer Seitenkante beträgt 9 m. Wie viele Kubikmeter Sand
sind dies?
3) Ein Kreissektor hat einen Zentriwinkel von 120°. Der Flächeninhalt betägt 462 ml Man biegt den
Kreissektor zu einem Kegel zusammen. Berechne die Länge eines Radius der Grundfläche!
4) Wie viel Segeltuch, Überlappungen und Verschnitt nicht eingerechnet, ist für den Mantel eines
kegelförniigen Zeltes erforderlich, wenn die Höhe des Zeltes 4 m und ein Radius der Grundfläche
3 m betragen sollen?
5) Der Achsenschnitt eines geraden Kreiskegels ist ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge
a = 12 cm. Berechne die Oberfläche und das Volumen des Kegels!
6) Ein kegelfönniges Zelt soll 15 m^ Bodenfläche bedecken und eine Höhe von 3% m Länge haben.
Wie viel Stoff braucht es für den Mantel des Kegels?
7) Ein Trichter hat annähernd eine Kegelgestalt. Er ist bis zum Abflussrohr 36 cm tief
und hat oben einen Durchmesser von 50 cm Länge. Wie viele Liter fasst er?
. 8) Ein kegelfömiger Trichter hat oben einen Durchmesser von 20 cm Länge.
Wie hoch muss der Trichter sein, wenn er, ohne Ansatzrohr, genau einen Liter fassen soll?

mathbu.ch9+
LU 14 Kegel und Co.
3.10
1. Berechne den Inhalt der Oberfläche und das Volumen der folgenden Kreiskegel:
a) r = 5 cm h = 16 cm
b) d = 16 cm h = 20 cm
G) r = 6 cm s = 10 cm
ci) h = 40 cm s = 50 cm
2. Ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a = 15 cm und b = 8 cm rotiert um die Kathete a.
Berechne den Inhalt der Oberfläche und das Volumen des entstandenen Kegels.
3. Ein Sandhaufen hat die Gestalt eines geraden Kreiskegels. Ein Durchmesser des
Grundkreises hat eine Länge von 6 m, die Länge einer Seitenkante beträgt 9 m. Wie viele m^
Sand sind dies?
4. Ein Kreissektor hat einen Zentriwinkel von 120°. Der Flächeninhalt beträgt 462 m^. Man biegt
den Kreissektor zu einem Kegel zusammen. Berechne die Länge eines Radius der
Grundfläche.
5. Wie viel wiegt ein Kegel aus Tannenholz (Dichte p = 0,6^) dessen Radius r der
Grundfläche 10 cm und dessen Höhe h = 20 cm beträgt?
6. Wie viel Segeltuch, Überlappungen und Verschnitt nicht eingerechnet, ist für den Mantel
eines kegelförmigen Zeltes erforderlich, wenn die Höhe des Zeltes 4 m und ein Radius der
Grundfläche 3 m betragen sollen?
7. Der Achsenschnitt eines geraden Kreiskegels ist ein gleichseitiges Dreieck mit der
Seitenlänge a = 12 cm. Berechne den Inhalt der Oberfläche und das Volumen des Kegels.
8. Ein kegelförmiges Zelt soll 15 m^ Bodenfläche bedecken und eine Höhe von 3 % m Länge
haben. Wie viel Stoff braucht es für den Mantel des Kegels?
9. Ein Trichter hat annähernd eine Kegelgestalt. Erjst bis zum Abflussrohr 36 cm tief und hat
oben einen Durchmesser von 50 cm Länge. Wie viele Liter fasst er?
10. Ein kegelförmiger Trichter hat oben einen Durchmesser von 20 cm Länge. Wie hoch muss
der Trichter sein, wenn er, ohne Ansatzrohr, genau einen Liter fassen soll?
11. Der oberste Teil eines Kirchturms ist ein gerader Kreiskegel mit einer Höhe h = 4,8 m. Ein
Durchmesser d des Grundkreises misst 7 m. Diese Turmspitze soll mit Kupferplatten belegt
werden, die einen Flächeninhalt von je 200 cm^ haben. Wie viele Kupferplatten sind nötig bei
5 % Zuschlag für den Falz der Platten und für Abfälle?
12. Das Volumen eines Kegels ist V = 200,96 cm^. Ein Radius r der Grundfläche beträgt 4 cm.
Berechne aus diesen Angaben den Inhalt der Oberfläche des Kegels.
13. Einem Turm von kreisförmigem Grundriss, der einen Umfang von 35,5 m hat, soll ein
kegelförmiges Dach von 25 m Höhe aufgesetzt werden. Wie lang muss man die Sparren
(schräge Stützbalken) wählen? Welchen Flächeninhalt hat die Dachfläche?

Test Pyramiden II
3.11
1. Bei einem Würfel mit der Kantenlänge a = 12 cm wird auf einer Seite eine Pyramide
aufgesetzt, so dass die Grundkanten der Pyramide genau auf die Quadratseiten passen.
Das ganze Gebilde hat ein Volumen von 2400 cml Berechne die Höhe der Pyramide und
die Oberfläche des ganzen Körpers.
2. Eine 1,5 m hohe Pyramide aus Granit hat eine rechteckige Grundfläche deren Länge
1,1 m und deren Breite 80 cm misst. Berechne das Gewicht und die Mantelfläche dieser
Pyramide, (p = 3,2 g/cm^)
3. Die Höhe einer Pyramide mit regelmässiger sechseckiger Grundfläche beträgt 15 cm. Für
die Seitenkante hat man 12 cm gemessen. Berechne das Volumen und die Oberfläche
dieser Pyramide!
4. Abgebildet ist das Netz einer Pyramide
in Originalgrösse. Berechne das
Volumen und die Oberfläche dieser
Pyramide.
5. Das Volumen einer 2 m hohen, quadratischen Pyramide beträgt 425 dml Berechne die
Oberfläche der Pyramide
6. Ein 15 cm hoher Eisen-Zylinder mit r = 4 cm soll in eine quadratische Pyramide
umgegossen werden. Die Grundkante der Pyramide soll 8 cm betragen. Welche Höhe hat
die Pyramide?
7. Die Oberfläche einer Pyramide misst O = 600 cml Berechne das Volumen dieser
Pyramide, wenn die quadratische Grundfläche eine Kanteniänge von 15 cm hat
8. Sonja will ein Zelt nähen. Sie nimmt eine 5 m lange und 2 m breite Stoffbahn und
schneidet daraus 3 ganze gleichschenklige Dreiecke aus (Basislänge 2,5 m), so dass an
beiden Seiten noch 2 halbe Dreiecke übrig bleiben (für den Zelteingang). Damit erhält sie
ein Zelt mit quadratischer Grundfläche. Berechne die Höhe des Zeltes.
9. In einen 30 cm hohen Zylinder mit einem Durchmesser von 18 cm werden 2 l Wasser
gegossen. Wie hoch steht das Wasser?

Übungen zum Kreiskegel - 2
8. Ein zylinderförmiger Turm hat einen Umfang von 46,8 m. Auf dem Turm soll ein
kegelförmiges Dach mit einer Höhe von 16,4 m errichtet werden.
a) Berechne die Länge der Dachsparren.
b) Wie gross ist das Volumen des Dachraumes?
c) Eine Dachdeckerfirma soll das Dach des Turmes decken. Wie gross ist
die Fläche?
9. Aus einem Holzwürfel mit der Kantenlänge a = 12 cm soll ein möglichst grosser
Kegel gedrechselt werden. Berechne Volumen und Masse des Kegels,
(p = 0,8 g/cm^)
10. Ein Zirkuszelt hat die Form eines Zylinders mit aufgesetztem Kegel. Der
zylindrische Teil hat einen Durchmesser von 38 m und eine Höhe von 10 m.
Die Gesamthöhe des Zeltes ist 22 m. Berechne die Fläche der Zeltplane.
11. Ein kegelförmiger Trichter mit d = 30 cm soll 3 I fassen. Wie hoch muss er
mindestens sein?
12. Ein kegelförmig aufgeschütteter Getreidehaufen hat einen Umfang von 12 m
und eine Höhe von 2,1 m. Wie viel Getreide enthält der Getreidehaufen?
13. Eine Boje besteht aus 2 kongruenten Kegeln, jeder Kegel hat die Masse
r = 0,8 m und h = 1,5 m. Berechne Volumen und Oberfläche der Boje.
14. Aus einem Zylinder von 12 cm Durchmesser und 24 cm Höhe soll ein
grösstmöglicher Kegel herausgebohrt werden. Berechne Volumen und
Oberfläche des Kegels.
15. Über ein Förderband werden 800 m^ Salz kegelförmig aufgeschüttet. Welche
Fläche bedeckt der Salzhaufen bei einer Höhe von 8 m?
3.12

Geometrie - Prüfung (Pyramiden)
1 B^^c^r.^ O -^crA V einer Pyramide, die als Grundfläche ein
• regelmässiges Sechseck hat! (Grundkante a = 3 cm; Höhe der Pyramide
h = 5,5 cm)
3.13
2 Eine quadratische Pyramide (Länge der Grundkante a = 10 cm) und ein Würfel
' (Kantenlänge b = 10 cm) haben das gleiche Volumen. Berechne den Unterschied
der Oberflächeninhalte.
3 Eine regelmässige dreiseitige Pyramide hat als Grundfläche ein gleichseitiges
Dreieck mit 8 cm Seitenlänge. Die Höhe der Pyramide misst h - 7,5 cm.
Berechne das Volumen der Pyramide.
4 Ein 1 4 m langer Holzpfahl mit quadratischem Querschnitt (Länge der
Quadratseite = 12 cm) wird an einem Ende pyramidenförmig zugespitzt. Die so
entstehende Pyramide ist 20 cm hoch. 1 cm' des venwendeten Holzes wiegt
0,6 g. Wie schwer (Masse) Ist der Pfahl?
5 Ein Turmhelm entspricht einer regelmässigen vierseitigen Pyramide mit
• quadratischer Gmndfläche. Die Gmndkanten messen 3,6 m und die Hohe betragt
6 8m Das Ziegeldach darauf wird erneuert. Der Dachdecker verlangt einen Preis
von Fr 240.- pro m^ Wie gross wird der Rechnungsbetrag?
6 Das Volumen einer geraden quadratischen Pyramide beträgt 432 cm . Die Höhe
misst 12,5 cm. Berechne die Längen einer Gmndkante, einer Seitenkante und
den Inhalt der Oberfläche.
7. Eine steinerne Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den Seitenlängen
90 m und 115 m. ihre Höhe beträgt 43 m.
Wie viele m' Stein wurden für den Bau gebraucht?
Wie schwer ist diese Pyramide, wenn ein dm^ des venwendeten Steins 1,8 kg
wiegt?
Wie viele Güterzüge zu je 30 Wagen wären nötig, um diese Steinmasse zu
transportieren, wenn jeder Wagen mit 281 beladen würde?
8 Die Höhe einer Pyramide mit regelmässiger sechseckiger Grundfläche beträgt
13,2 cm. Für die Seitenhöhe hat man 15,5 cm gemessen. Berechne die Lange
einer Grundkante und das Volumen dieser Pyramide.
9 Auf die Begrenzungsquadrate eines Würfels mit der Kantenlänge 8 cm sind
Pyramiden von 5 cm Höhe aufgesetzt. Berechne den Oberflächeninhalt und das
Volumen des so entstandenen Körpers!

mathbu.ch9+
LU 14 Kegel und Co.
3.14
1. Berechne den Inhalt der Oberfläche und das Volumen der folgenden Kreiskegel:
a)
b)
Ii" = 5 cm
d = 16 cm
h = 16 cm
h = 20 cm
c) r = 6 cm s = 10 cm
d) h = 40 cm s = 50 cm
2. Ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a = 15 cm und b = 8 cm rotiert um die Kathete a.
Berechne den Inhalt der Oberfläche und das Volumen des entstandenen Kegels.
3. Ein Sandhaufen hat die Gestalt eines geraden Kreiskegels. Ein Durchmesser des
Grundkreises hat eine Länge von 6 m, die Länge einer Seitenkante beträgt 9 m. Wie viele m^
Sand sind dies?
4. Ein Kreissektor hat einen Zentriwinkel von 120°. Der Flächeninhalt beträgt 462 m^. Man biegt
den Kreissektor zu einem Kegel zusammen. Berechne die Länge eines Radius der
Grundfläche.
5. Wie viel wiegt ein Kegel aus Tannenholz (Dichte p = 0,6^) dessen Radius r der
Grundfläche 10 cm und dessen Höhe h = 20 cm beträgt?
6. Wie viel Segeltuch, Überlappungen und Verschnitt nicht eingerechnet, ist für den Mantel
eines kegelförmigen Zeltes erforderlich, wenn die Höhe des Zeltes 4 m und ein Radius der
Grundfläche 3 m betragen sollen?
7. Der Achsenschnitt eines geraden Kreiskegels ist ein gleichseitiges Dreieck mit der
Seitenlänge a = 12 cm. Berechne den Inhalt der Oberfläche und das Volumen des Kegels.
8. Ein kegelförmiges Zelt soll 15 m^ Bodenfläche bedecken und eine Höhe von 3 % m Länge
haben. Wie viel Stoff braucht es für den Mantel des Kegels?
9. Ein Trichter hat annähernd eine Kegelgestalt. Er ist bis zum Abflussrohr 36 cm tief und hat
oben einen Durchmesser von 50 cm Länge. Wie viele Liter fasst er?
10. Ein kegelförmiger Trichter hat oben einen Durchmesser von 20 cm Länge. Wie hoch muss
der Trichter sein, wenn er, ohne Ansatzrohr, genau einen Liter fassen soll?
11. Der oberste Teil eines Kirchturms ist ein gerader Kreiskegel mit einer Höhe h = 4,8 m. Ein
Durchmesser d des Grundkreises misst 7 m. Diese Turmspitze soll mit Kupferplatten belegt
werden, die einen Flächeninhalt von je 200 cm^ haben. Wie viele Kupferplatten sind nötig bei
5 % Zuschlag für den Falz der Platten und für Abfälle?
12. Das Volumen eines Kegels ist V = 200,96 cm^. Ein Radius r der Grundfläche beträgt 4 cm.
Berechne aus diesen Angaben den Inhalt der Oberfläche des Kegels.
13. Einem Turm von kreisförmigem Grundriss, der einen Umfang von 35,5 m hat, soll ein
kegelförmiges Dach von 25 m Höhe aufgesetzt werden. Wie lang muss man die Sparren
(schräge Stützbalken) wählen? Welchen Flächeninhalt hat die Dachfläche?

Pyramiden 3.15
Übungen: Pyramiden
1. Zeichne das Schrägbild einer regelmässigen sechsseitigen Pyramide mit der Seitenlänge
a = 3 cm und h = 7 cm und berechne Grundfläche, Seitenhöhe, Oberfläche und Volumen
dieser Pyramide.
2. Zeichne das Schrägbild einer regelmässigen dreiseitigen Pyramide mit der Seitenlänge
a = 6 cm und h = 7 cm und berechne Grundfläche, Seitenhöhe, Oberfläche und Volumen
dieser Pyramide.
3. Berechne das Volumen der folgenden Pyramiden:
Grundfläche Quadrat Rechteck
Grundkanten a = 6 cm a = 32 cm
b = 22 cm
gleichseitiges
Dreieck
regelmässiges
Sechseck
a = 8 cm a = 20 cm
Körperhöhe h = 15 cm h = 96 cm h = 12 cm h = 50 cm
4. Berechne den Inhalt der Mantelfläche und der Oberfläche bei den folgenden Pyramiden:
Grundfläche Quadrat Rechteck
Grundkanten a = 6 cm a = 12 cm
b = 8 cm
gleichseitiges
Dreieck
regelmässiges
Sechseck
a = 6 cm a = 2 cm
Körperhöhe h = 24 cm h = 16 cm h = 3 cm h = 9 cm
5. Die Grundfläche einer geraden quadratischen Pyramide beträgt 5184 cm^ die Körperhöhe
beträgt 77 cm. Berechne das Volumen und den Inhalt der Oberfläche der Pyramide.
6. Das Volumen V einer geraden quadratischen Pyramide beträgt 36,72 cm^, die Höhe h der
Pyramide misst 8,5 cm. Berechne die Längen einer Grundkante, einer Seitenkante und den
Inhalt der Oberfläche.
7. Die Grundfläche einer geraden Pyramide ist ein regelmässiges Sechseck. Die Höhe h der
Pyramide misst 12 cm, die Höhe hs der Seitendreiecke 13 cm. Berechne die Länge der
Grundkante, das Volumen und den Inhalt der Oberfläche der Pyramide!
8. Die Cheopspyramide in Ägypten hat eine quadratische Grundfläche von 230 m Seitenlänge.
Ihre Höhe misst 147 m. wie viele m^ Steine wurden für ihren Bau gebraucht?
a) Berechne das Gewicht dieser Pyramide, wenn die Dichte des Steines p = 2,3-^ beträgt!
b) Wie viele Güterzüge zu je 35 Wagen wären nötig, um diese Steinmasse herbeizuschaffen,
wenn jeder Wagen mit 201 beladen würde?
9. Ein Pyramidenzelt mit quadratischer Grundfläche ist aus dreieckigen Zeltbahnen aufgebaut.
Die Grundlinie der Dreiecke misst 2,50 m, ihre Höhe 1,9 m. Berechne den Luftraum, den
das Zeit umschliesst.
10. Ein Dach hat die Gestalt einer quadratischen Pyramide. Die Seitenkanten messen 6,3 m.
Die Seitenhöhe beträgt 4,8 m. Wie viele m^ Dachpappe, die Übedappungen nicht
eingerechnet, sind nötig, um das Dach zu decken?

Pyramiden
3.16
11. Das Dach eines Turmes bildet eine regelmässige sechsseitige Pyramide mit Grundkanten
der Länge 2,5 m und Seitenkanten der Länge 6,5 m. Es soll mit Schiefer beschlagen
werden. Was kostet die Arbeit, wenn man für 1 m^ Fr. 50.- rechnet?
12. Ein Gedenkstein aus Granit hat die Gestalt einer quadratischen Pyramide. Eine Grundkante
misst 2 m, die Höhe 5 m. Berechne die Masse des Gedenksteins, wenn die Dichte von
Granit p = 2,7 beträgt.
13. Auf die Seitenflächen eines Würfels mit der Kantenlänge a = 10 cm sind gerade Pyramiden
von 5 cm Höhe aufgesetzt. Berechne den Inhalt der Oberfläche und das Volumen des
entstandenen Körpers.
14. Eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche hat ein Volumen von 180 cml Eine
Grundkante misst 5 cm. Berechne die Höhe der Pyramide.
15. Die Cheopspyramide hat heute eine Grundfläche mit 227 m langen Kanten; die Höhe misst
137 m. Vor ungefähr 4500 Jahren waren die Grundkanten 3 m länger und die Höhe
wahrscheinlich 10 m grösser. Wieviele m^ Gestein sind demnach verwittert?
16. Berechne das Volumen und den Inhalt der Oberfläche eines regulären Oktaeders mit der
Kantenlänge a = 5 cm. (Ein Oktader besteht aus zwei „aneinandergeklebten" Pyramiden,
deren Seiten aus lauter gleichseitigen Dreiecken besteht.)
17. Berechne den Unterschied der Oberfläche einer quadratischen Pyramide mit einer
Grundkante a = 10 cm und der Oberfläche eines Würfels mit einer Kante a = 10 cm, wenn
beide Körper das gleiche Volumen haben.
18. Ein Würfel und eine quadratische Pyramide, stimmen sowohl in der Grösse ihrer
Grundfläche als auch im Inhalt ihrer Oberfläche überein. Wie gross ist das Volumen der
• Pyramide, wenn eine Würfelkante genau k = 1 m misst?
19. Auf dem Abschlusspfeiler einer Brücke befindet
sich eine quadratische Granitplatte mit der
Seitenlänge s = 84 cm. Die Dicke d der Platte
beträgt 14 cm. Auf der Platte steht eine
Pyramide, deren Grundfläche gleich gross ist
wie die Platte. Die Höhe h der Pyramide misst
27 cm.
a) Können zwei Männer diesen Pfeilerkopf
wegtragen, wenn die Dichte des Granits
p = 2,7^ beträgt?
b) Der Pfeilerkopf soll allseitig behauen
werden. Wie gross ist die zu bearbeitende
Fläche?
20. Welches Volumen und welche
Oberflächeninhalt hat der nebenstehende
zusammengesetzte Körper?
(Masse in m)

Kegel 3.17
Übungen: Kegel
1. Berechne den Inhalt der Oberfläche und das Volumen der folgenden Kreiskegel:
a) r = 5 cm h = 16 cm
b) d = 16cm h = 20cm
c) r = 6 cm s = 10 cm
d) h = 40 cm s = 50 cm
2. Ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a = 15 cm und b = 8 cm rotiert um die Kathete
a. Berechne den Inhalt der Oberfläche und das Volumen des entstandenen Kegels.
3. Ein Sandhaufen hat die Gestalt eines geraden Kreiskegels. Ein Durchmesser des
Grundkreises hat eine Länge von 6 m, die Länge einer Seitenkante beträgt 9 m. Wie viele m^
Sand sind dies?
4. Ein Kreissektor hat einen Zentriwinkel von 120°. Der Flächeninhalt beträgt 462 m^. Man biegt
den Kreissektor zu einem Kegel zusammen. Berechne die Länge eines Radius der
Grundfläche.
5. Wieviel wiegt ein Kegel aus Tannenholz (Dichte p = 0,6^) dessen Radius r der
Grundfläche 10 cm und dessen Höhe h = 20 cm beträgt?
6. Wieviel Segeltuch, Übedappungen und Verschnitt nicht eingerechnet, ist für den Mantel
eines kegelförmigen Zeltes erfordedich, wenn die Höhe des Zeltes 4 m und ein Radius der
Grundfläche 3 m betragen sollen?
7. Der Achsenschnitt eines geraden Kreiskegels ist ein gleichseitiges Dreieck mit der
Seitenlänge a = 12 cm. Berechne den Inhalt der Oberfläche und das Volumen des Kegels.
8. Ein kegelförmiges Zelt soll 15 m^ Bodenfläche bedecken und eine Höhe von 3 % m Länge
haben. Wieviel Stoff braucht es für den Mantel des Kegels?
9. Ein Trichter hat annähernd eine Kegelgestalt. Er ist bis zum Abflussrohr 36 cm tief und hat
oben einen Durchmesser von 50 cm Länge. Wie viele Liter fasst er?
10. Ein kegelförmiger Trichter hat oben einen Durchmesser von 20 cm Länge. Wie hoch muss
der Trichter sein, wenn er, ohne Ansatzrohr, genau einen Liter fassen soll?
11. Der oberste Teil eines Kirchturms ist ein gerader Kreiskegel mit einer Höhe h = 4,8 m. Ein
Durchmesser d des Grundkreises misst 7 m. Diese Turmspitze soll mit Kupferplatten belegt
werden, die einen Flächeninhalt von je 200 cm^ haben. Wie viele Kupferplatten sind nötig bei
5 % Zuschlag für den Falz der Platten und für Abfälle?
12. Das Volumen eines Kegels ist V = 200,96 cm^. Ein Radius r der Grundfläche beträgt 4 cm.
Berechne aus diesen Angaben den Inhalt der Oberfläche des Kegels.
13. Einem Turm von kreisförmigem Grundnss, der einen Umfang von 35,5 m hat, soll ein
kegelförmiges Dach von 25 m Höhe aufgesetzt werden. Wie lang muss man die Sparren
(schräge Stützbalken) wählen? Welchen Flächeninhalt hat die Dachfläche?

1 Pyramiden
1 Berechne die Körperhöhe k einer Pyramide
mit quadratischer Grundfläche.
(1) a = 6cm,V=198cm2
(2)
(3)
(4)
2 Berechne von einer Pyramide mit
quadratischer Grundfläche
a) die Körperhöhe k, b) das Volumen V.
(1) a = 8,4 cm, h-, = 16,2 cm
a) (2) =
(3)
(4)
b) (2) V
(3)
(4)
Berechne die Körperhöhe k der Pyramide mit
quadratischer Grundfläche.
3.18
Pyramide (1) Gegebene Werte a = 4 cm, V = 38 cm"*
notieren.
a = 4 cm
V=38cm3
1.1 Berechne die Körperhöhe k der Pyramide,
a) a =18 cm b) a =24 cm c) a =7,3 cm
V = 3024 cm^ V = 8640 cm^ V = 293,1 cm^
2.1 Berechne die Körperhöhe k und das Volumen V der
Pyramide.
a) a = 28 cm b) a =91 cm c) a =9,6 cm
ha = 26 cm ha = 68 cm ha = 21,8 cm
(2) Formel notieren, V = | • G • k | G = a^
evtl. umformen. V _1 a^-k
3 • V = a^ • k
3 • V
(3) Werte einsetzen,
berechnen.
(4) Ergebnis notieren.
3 Berechne
a) die Höhe h^ einer Seitenfläche,
b) die Dachfläche in m-^.
3,00 m
3.1 Berechne von Fig. 1 und Fig. 2
a) die Höhe ha der Seitenfläche b) die Mantelfläche M in m^.
Die Dachfläche beträgt
Fig. 1
3,35 m
(1)
a) (2) K =
• = k
k =
3 • V
k = 7,l cm
• a
3-38
16
Körperhöhe k
berechnen
k
Höhe ha berechnen
(3) Netz einer
Pyramide
(4)
b) (2) M
(3)
(4)
7,5; 10,8; 15,6; 16,5; 366,9
Fig. 2
3,96 m
M = 4'
M = 2 • a • ha
?/j zul-;
59

Körper
2 Kegel
1 Berechne die Körperhöhe k eines
Kegels.
(1) r = 4,5 cm, V = 468 cm^
(2)
(3)
(4)
2^- Berechne a) die Mantellinie s
b) den Oberflächeninhalt O des Kegels mit
(1) r =7 cm, k = 12,5 cm
a) (2) s2 =
(3)
(4)
b) (2) O
60
(3)
(4)
1.1 • Berechne die Körperhöhe k des Kegels,
a) V = 754 cm^ b) V = 809 cm^ c) V = 1673 cm^
r = 8 cm r = 4,3 cm r = 21,6 cm
2.1 Berechne zuerst die Mantellinie s, dann den Oberflächeninhalt
O des Kegels.
a) r = 6 cm b) r = 4,3 cm c) r = 21,6 cm
k=13cm k = 30cm k = 46,4 cm
3.1 Das Volumen V des Glases (Fig. 1) beträgt 122 cvc?.
Berechne den Durchmesser d.
4 Das Dach des Turmes (Fig. 2) muß neu mit Ziegeln gedeckt
werden. Berechne die Dachfläche.
Berechne die Körperhöhe k eines Kegels.
Kegel (1) Gegebene Werte
notieren. '
(2) Formel notieren,
evÜ. umformen.
3.19
r = 5cm,V = 404 cm^
V = ^-G-k |G=jfi^
V^^-TT-i^-k -3
3 • V = 7r-r2-k |:(7f^)
3 • V
k =
= k
3 • V
r = 5 cm (3) Werte einsetzen,
V = 404 cm^ berechnen.
(4) Ergebnis notieren, k = 15,4 cm
3 Das Volumen V des Sektglases
beträgt 112 cml
Berechne den Durchmesser d des Glases.
3-404
71-5^
(1) Mantellinie s
berechnen
(2)
(3)
(4)
6,9; 14,3; 22,1; 468,4
Fig. 1
Netz des Kegels
0 = G-fM
M O = 7t • r^ -f (rt • r • s)
= 71 - r(r -F s)
: • 1^ ZU 1 - 3
10,00 m
Fig. 2

3 Pyramidenstümpfe
1 Berechne das Volumen V des
Pyramidenshimpfes.
(1) Gl = 36 cml G2 = 9 cml k = 8 cm
(2^
(3)
(4)
2 Berechne das Volumen V des
Pyramidenstumpfes.
(1) Hl = 8 cm, a2 = 2 cm, k = 20 cm
(2)
(3)
(4)
4 Berechne vom Pyramidenstumpf
a) die Körperhöhe k,
(1) El = 12 cm, a2 = 4 cm, ha = 15 cm
(2) r =
(3)
(4)
1.1 Berechne das Volumen V des Pyramidenstumpfes.
a) Gl = 25 cm^, Gj = 16 cm^, k = 11 cm
b) Gl = 44,6 cm^ G2 = 20,4 cm^, k = 7,5 cm
2.1 Berechne das Volumen V des Pyramidenstumpfes.
a) ai = 6 cm, aj = 3 cm, k = 14 cm
b) ai = 44cm, a2.= 27 cm, k = 24cm
Berechne das Volumen V eines Pyramidenstumpfes.
ai = 5 cm
3.2 = 2 cm
k = 4 cm
3.20
(1) Gegebene Werte ai = 5'cm, a2 = 2 cm,
notieren. k = 4 cm
(2) Formel notieren, V = f k(Gi + v5^^+ Gj)
evü. Umformern y =i •k(a^\^+a22)
(3) Werte einsetzen, :TR
berechnen.
(4) Ergebnis notieren. V = 52 cm^
3 Berechne den Oberflächeninhalt 0 des
Pyramidenstumpfes.
(1) aj = 6 cm, a2 = 2 cm, h^ = 8,5 cm
(2)
(3)
(4)
b) das Volumen V.
(1)
(2) V
(3)
(4)
3.1 Berechne den Oberflächeninhalt O des Pyramidenstumpfes.
a) ai = 7cm, a2 = 4cm, ha=16cm
b) ai = 36 cm, a2 = 29 cm, hj = 13 cm
4.1 Berechne zuerst die Körperhöhe k, dann das Volumen V.
a) ai = 10cm, a2=2cm, ha=14cm
b) ai = 24 cm, a2 = 8 cm, h^ = 12,5 cm
14,5; 168; 176; 560; 1005,3
Netz des
Pyramidenstumpfes
n ^ ha]
a, G,
LJ
G, =a,2 G2 = a2'
M = 2-(a,+ a2)-h,
Oberflächeniniialt O
berechnen
0=0, + G2+ M
0=a,'+a2'+2-(a,+a2)'h,
Körperhöhe k
^1 berechnen
w -
k 1
k^ = h3^-(^-f)2
: zu 1 •
5 Berechne a) das Volumen V, b) die Höhe h^,
c) den Oberflächeninhalt O der Körper in Fig. 1 und 2.
Fig. 1
^^^2gcm^
33 cm
26 cm
61

Körper
4 Kegelstümpfe
1 Berechne das Volumen V des
Kegelstumpfes.
(1) ri = 6 cm, i2 = 3,cm, k = 10 cm
(2^
(3)
(4)
2 Berechne den Oberflächeninhalt O des
Kegelstumpfes.
Gl = 35,4 cuf, G2=ll,2cm2,
(1) M = 45,6 cm^
(2)
(3)
Berechne das Volumen V eines Kegelstumpfes
|k
3.21
(1) Gegebene Werte. Xi = 3 cm, r2 = 1,5 cm,
notieren. k = 9 cm
(2) Formel notieren, V = fk-7i:-(ri^+ri-rz+rz^)
evtl. umformen.
rj = 3 cm (3) Werte einsetzen, ^•9-Ji-(32+3-l,5+l,5^)
r2 = 1,5 cm berechnen,
k = 9 cm (4) Ergebnis notieren. V = 148,4 cm^
3 Berechne den Oberflächeninhalt O des
Kegelstumpfes.
(1) ri = 6 cm, r2 = 2 cm, s = 8 cm
(2)
(3)
(4) (4)
4 Berechne vom Kegelstumpf
a) die Körperhöhe k,
(1) ri = 9 cm, r2 = 4 cm, s = 9,6 cm
(2)k2 = (2) V =
(3)
b) das Volumen V.
(1)
(3)
(4) (4)
62
1.1 Berechne das Volumen V des Kegelstumpfes.
a) ri = 7 cm, r2 = 2 cm, k = 10 cm •
b) rj = 18 cm, rz = 4 cm, k = 24 cm
2.1 Berechne den Oberflächeninhalt O des Kegelstumpfes.
a) Gl = 113,1 cm^ G2=12,6cm^ M = 201,1 cm^
b) Gl = 28,3 cm^ G2 = 3,1 cm^ M = 31,4 cm^
3.1 Berechne den Oberflächeninhalt O des Kegelstumpfes.
a) ti = 8 cm, r2 = 3 cm, s = 15 cm
b) ri = 20 cm, r2 = 15 cm, s = 30 cm
4.1 Berechne zuerst die Körperhöhe k, dann das Volumen V.
a) r; = 9 cm, r2 = 6 cm, s = 12 cm
b) ri = 66 cm, r2 = 32 cm, s = 44 cm •
8,2; 92,2; 326,7; 659,7; 1142,1
5 Berechne a) das Volumen V, b) die Seitenlinie s,
c) den Oberflächeninhalt O der Körper in Fig. 1 und 2.
Fig.l
Fig. 2
16 cm 42 cm
36 cm
Netz des
Kegelstumpfes
G2 = II • r2'
; • M = JC • s • (t; + rz)
Oberflächeninhalt O
berechnen
0 = Gi + G2 + M
0=r.T|^+i;T/Tj;s-(r,+r2)
= 7t[r,2 + r2^^s(ri+i2)]
Körperhöhe k
berechnen
k \s
k2 = s^-(ri-r2)"
* ^ zu 1 - 4

Körper
6 Volumen zusammengesetzter Körper
1 Berechne das Volumen V des Körpers
im Kasten.
Teilkörper. A Teilkörper B
(1) Pyramide (1)
(2) a=b= k= (2)
(3) (3)
(4) (4)
(5) .
2' Berechne das Volumen V des Körpers
in Fig. 1.
TeiLkörper A
TeiLkörper B
(1)
(1)
(2) (2)
(3) (3)
(4) (4)
(5)
64
Volumen zusanunengcsetzter Körper berechnen.
Teilkörper
A
Teilkörper
B
K-
a = 5 cm, b = 5 cm
c = 3 cm, k = 7 cm
3 Berechne das Volumen V des Körpers
in Fig. 1 durch Kombinieren der
Einzelformeln.
Einzelformeln
notieren, evtl.
umformen.
Einzelformeln
kombinieren.
Vereinfachen.
Werte einsetzen,
berechnen.
Gesamtkörper
berechnen.
Berechne das Volumen V des Körpers (gefärbte Teile sind Hohlräume).
(1) Zuerst den Körper in Teilkörper
zerlegen,
die Teilkörper benennen.
(2) Gegebene Werte notieren.
(3) Formelnnotieren,
evtl. kombinieren.
32,7; 36; 58,3; 68,7; 68,7; 75; 133,3
(4) Werte einsetzen, berechnen.
(5) Gesamtkörper berechnen.
7 cm 3,6 cm 5 cm 4 cm
Ej Formeln kombinieren
' Sieiie S. 54
1
/ zu 1 - 3

7 Anwendungen
1 Berechne die Aufgabe im Kasten.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
2 Berechne, wieviel m^ Stoff man für deii
Lampenschirm (Fig. 1) braucht.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Berechne, wieviel Flüssigkeit der Trichter (ohne Rohr) faßt.
18 cm
ß
o
3.23
(1) Uberlege:
- Welche Körperform liegt vor?
- Was soll berechnet werden (V, 0,...)?
Lege eine Skizze ah.
S (2) Gegebene Werte notieren.
(3) Formel notieren, evtl. umformen.
(4) Werte einsetzen, berechnen.
(5) Antwortsatz notieren.
3 Berechne, wieviel Liter Erde der
Blumenkübel (Fig. 2) faßt.
4 Berechne die Oberfläche der Erde. Der Erddurchmesser beträgt ungefähr 12 740 km.
(10
(2)
(3)
(4)
(1) (4)
(2)
(3)
5 Ein 2,40 m hoher Sandhaufen (Fig. 3) hat einen Durchmesser
von 7 m. Wieviel m^ Sand sind aufgeschüttet?
6 Wieviel Liter Wasser faßt der Eimer (Fig. 4)?
(5)
(5)
7 Wieviel m^ Leder braucht man für einen Fußball mit dem
Durchmesser 23 cm (zuzüglich 10% Verschnitt)?
8 Eine Kugel liegt in einem mit Wasser gefüllten Zylinder
(Fig. 5). Wieviel l Wasser sind noch im Zylinder?
0,3; 48,4; 1696,5; 5,099 • 10^ 0
Fig. 3 Fig. 4 Fig. 5
20 cm
18 cm
Volumen
Oberflächeninhalt
1 dm^ = 1 /
zu 1-4
65

3. Berechne Volumen und Oberfläche der folgenden Körper.
Runde beim Satz des Pythagoras auf eine Stelle nach dem Komma.
Auf einer 1,8 m hohen und 0,30 m starken zylinderförmigen Betonsäule Ist ein Kegel mit
Grundfläche und 40 cm Höhe aufgesetzt.
Wie schwer ist die Säule (Dichte von Beton = 2,2 g/cm^)?
5. Sand wird mit einem Förderband zu einem kegelförmigen Berg aufgeschüttet
(siehe Skizze). Sein Volumen beträgt 4 200 m^ Wie groß ist der Abstand
zwischen dem Kegelrand und dem unteren Ende des Förderbandes?
> :—
" Länge Förderband: 46 m
• ; ' • 2 m
' /"''
; Skizze
. . — .._
\ \ 18 m .
-

40
3. Berechne Volumen und Oberfläche der folgenden Körper.
3.25
Runde beim Satz des Pythagoras auf eine Stelle nach dem Komma. Bei c) bleibt die Dachunterseite
unberücksichtigt.
24 cm
CD
CM
_24cm
T—r—r-
\ I ,
^ ' /
\ 11
\ II
\\l>
32 cm
32 cm
32 cm
4. Ein Werkstück aus Gusseisen hat folgendes Aussehen:
Aus einem Quader ist eine Pyramide mit quadratischer
Grundfläche herausgearbeitet.
Die Grundseite der Pyramide misst 12 cm.
a) Berechne das Volumen der Pyramide, wenn das Werkstück
eine ivlasse von 62,4 kg hat. Die Maße des Quaders sind
der Skizze zu entnehmen.
Die Dichte von Gusseisen beträgt 7,8 kg/dm^
b) Berechne die Körperhöhe der Pyramide.
Geometrie 2

Name: Klasse: Datum:
Raumlehre
Achte darauf, dass du immer mit den gleichen Raummaßen rechnest!
Raummaße werden in m^, cm^ usw. angegeben. Gehe am besten so vor:
1. Schritt: Lies die Aufgabe genau durch!
2. Schritt: Beachte unbedingt die Zeichnung, die zur Aufgabe gehört!
3. Schritt: Oft musst du die Maße dieser Zeichnung entnehmen. Achte darauf
in welcher I^aßeinheit diese angegeben sind!
4. Schritt: Fertige wenn nötig eine Hilfszeichnung an!
5. Schritt: Schreibe die Formeln auf die du benötigst!
6. Schritt: Achte auf die Angaben zum Runden!
In einem Schulgarten soll auf einem kreisförmigen
Beet mit einem Durchmesser von 1,60 m ein pyramidenförmiges
Gerüst für Kletterpflanzen errichtet werden.
Vier Ecken berühren den Rand des Beetes in
gleichen Abständen. Die Pyramide soll doppelt so
hoch wie die Länge einer Grundseite sein.
Berechne die Gesamtlänge der acht Holzlatten und
rechne 10 % Verschnitt dazu!
(Runde alle Ergebnisse, auch Zwischenergebnisse,
auf drei Kommastellen!)
Der Durchmesser des Kreises ist genauso lang wie die Diagonale des Quadrates.
Berechnung der Seitenlänge des Quadrates (Satz des Pythagoras):
a =
Berechnung der Höhe der Pyramide:
h, = :
Berechnung der Seitenkante der Pyramide (Satz des Pythagoras):
s ^
Berechnung der Gesamtlänge aller Kanten (4 Grundkanten, 4 Seitenkanten):
1 = :
Berechnung des Verschnitts:
Es werden insgesamt m Latten gebraucht.
3.26

Name: Klasse: Datum:
Raumlehre
Achte darauf, dass du immer mit den gleichen Raummaßen rechnest!
Raummaße werden in m^, cm^ usw. angegeben. Gehe am besten so vor:
1. Schritt: Lies die Aufgabe genau durch!
2. Schritt: Beachte unbedingt die Zeichnung, die zur Aufgabe gehört!
3. Schritt: Oft musst du die Maße dieser Zeichnung entnehmen. Achte darauf,
in welcher Maßeinheit diese angegeben sind!
4. Schritt: Fertige wenn nötig eine Hilfszeichnung an!
5. Schritt: Schreibe die Formeln auf die du benötigst!
6. Schritt: Achte auf die Angaben zum Runden!
7. Die Skizze zeigt ein Werkstück aus Aluminium.
Es besteht aus einer quadratischen Pyramide mit
einer kegelförmigen Vertiefung. Die Höhe des
Kegels beträgt f der Höhe der Pyramide.
a) Wie groß ist das Volumen des Werkstücks?
Rechne mit TT = 3,14!
b) Berechne die Masse des Werkstücks in
Gramm! Die Dichte von Aluminium beträgt
2,7 g/cm^.
c) Zur Herstellung mehrerer Werkstücke wird ein
Aluminiumquader mit den Maßen a = 0,7 m;
b = 0,8 m und c = 46,2 cm eingeschmolzen.
Wie viele ganze Werkstücke können daraus
gegossen werden?
a) Berechnung des Volumens der Pyramide: Berechnung der Höhe des Kegels:
^Pyramide = '• ~
^Pyramide ~^ —
3.27
Berechnung des Volumens des Kegels: Berechnung des Volumens des Werkstücks:
VKege, = ^ =
VKegel = ^ ^ =
b) Berechnung der Masse des Werkstücks:
m =
m =
c) Berechnung des Quadervolumens: Berechnung der Anzahl der möglichen
Werkstücke:
^Quader = —
^Quader — — —
Es können '. ganze Werkstücke hergestellt werden.

Raumlehre
-Klasse-^ -Bat-tim-:
Achte darauf, dass du immer mit den gleichen Raummaßen rechnest!
Raummaße werden in m^, cm^ usw. angegeben. Gehe am besten so vor:
1. Schritt: Lies die Aufgabe genau durch!
2. Schritt: Beachte unbedingt die Zeichnung, die zur Aufgabe gehört!
3. Schritt: Oft musst du die Maße dieser Zeichnung entnehmen. Achte darauf,
in welcher Maßeinheit diese angegeben sind!
4. Schritt: Fertige wenn nötig eine Hilfszeichnung an!
5. Schritt: Schreibe die Formeln auf die du benötigst!
6. Schritt: Achte auf die Angaben zum Runden!
4. Ein Werl

mathüB9+ Zusatzaufgaben
Berechnungen für den Profi
Berechnungen für den Profi
Pyramiden
3.29
Aufgabe 11 Die grösste der ägyptischen Pyramiden, die Cheopspyramide, hatte ursprünglich einen
quadratischen Grundriss mit 230 m Seitenlänge und eine Höhe von 146 m. Welche
Materialmenge in Tonnen war für den Bau erforderlich, wenn pro m^ mit 2,5 t Masse
gerechnet werden muss?
Aufgabe 12 Wie hoch ist eine regelmässige vierseitige Pyramide, deren Grundkante 12 cm und
deren Volumen 1 dm^ misst?
Aufgabe 13 Eine regelmässige sechsseitige Pyramide hat Grundkanten von 5 cm und Seitenkanten
von 13 cm. Berechne die Höhe der Pyramide.
Aufgabe 14 Bestimme das «Gewicht» einer Pyramide aus Glas, deren Grundfläche ein Rechteck
(1 = 8 cm, b = 6 cm) ist und deren Seitenkanten 13 cm messen.
(Spezifisches Gewicht von Glas ist: 2,6 g/cm^
Aufgabe 15 Berechne das Volumen und die Oberfläche der folgenden Pyramiden:
Pyramide 1 Pyramide 2 Pyramide 3 Pyramide 4
Grundfläche Quadrat Rechteck gleichseitiges Dreieck regelmässiges Sechseck
Grundkanten 8 = 5cm l = 12cm, b = 11 cm s = 6 cm s = 8 cm
Körperhöhe h = 12 cm h = 48 cm h = 12cm h = 30 cm

Schwierigere Aufgaben:
3.30
1) Die Cheopspyramide hat heute eine quadratische Grundfläche mit 227 m langen
Kanten; die Höhe misst 137 m. Vor ungefähr 4500 Jahren waren die Grundkanten
3 m länger und die Höhe wahrscheinlich 10 m grösser. Wie viele m^ Gestein
sind demnach verwittert?
2) Berechne das Volumen und den Inhalt der Oberfläche eines regulären Tetraeders
mit der Kantenlänge a. Setze In den gefundenen Formeln für a 4 cm ein!
3) Berechne das Volumen und den Inhalt der Oberfläche eines regulären Oktaeders!
Kantenlänge = a.
Setze in den gefundenen Formeln für a den Wert 5 cm ein!
4) Eine regelmässige sechsseitige Pyramide ist 15 cm hoch. Ihre Spitze hat vom Mittelpunkt
einer Grundkante den Abstand 17 cm. Berechne die Länge einer Seitenkante!
(Resultat auf mm genau I) "
5) Der Inhalt der Oberfläche eines regulären Tetraeders ist aus der Kantenlänge be­
rechnet worden zu 196 jTs" cm^. Berechne das Volumen dieses Tetraeders!
6) Eine regelmässige sechsseitige Pyramide mit einer Grundkante von a = 6 cm
Länge hat ein Volumen von 795 cm^. Berechne die Länge einer Seitenkante!
7) Bei einer regelmässigen sechsseitigen Pyramide misst eine Grundkante a 3,0 cm.
Die Höhe h beträgt 8,0 cm. Wie viele Prozente des ganzen Oberflächeninhalts
macht der Mantelflächeninhalt aus?
8) Berechne den Unterschied zwischen dem Inhalt der Oberfläche einer quadratischen
Pyramide mit einer Grundkante a = 10 cm und dem Inhalt der Oberfläche
eines Würfels mit einer Kante a = 10 cm, wenn die beiden Körper das gleiche Volumen
haben?
9) Ein Quarzkristall besteht aus einem regelmässigen sechsseitigen Prisma (Grundkante:
1,7 cm, Seitenkante: 6,2 cm) und zwei auf dessen Grundflächen aufgesetzten
sechsseitigen Pyramiden (Seitenkante: 2,5 cm). Berechne das Volumen
und das Gewicht des Kristalls, wenn die Dichte von Quarz 2,2 g/cm^ beträgt!

3.31
10) Bereiner quadratischen PyrärrTrae^lDeffagrdie^Länge einer GrunclkanTe a 6 cm.
Verkijrzt man. alle Kanten der Pyramide im Verhältnis 1:2, so hat der Mantel der
neuen Pyramide einen Flächeninhalt von 15 cm^. Berechne die Länge der Höhe
der ursprünglichen Pyramide!
11) Ein Quadrat wird um eine Diagonale gedreht. Berechne das Volumen und den
Inhalt der Oberfläche des entstandenen Rotationsdoppelkegels! Eine Seite des
Quadrates misst 8 cm.
12) Einer quadratischen Pyramide mit einer Grundkante a = 20 cm und der Höhe
h = 10 cm soll ein Kegel umbeschrieben werden. Berechne das Volumen und den
Inhalt des Mantels des Kegels!
13) Einem geraden Kreiskegel mit der Höhe h = 26,8 cm und einem Grundflächenradius
r = 15,7 cm ist ein Zylinder so einbeschrieben, dpss seine Grundfläche auf
der Kegelgrundfläche liegt. Die Zylinderhöhe beträgt 17,8 cm. Berechne das Volumen
des Zylinders!
14) Bei einem Kegel aus der Modellsammlung beträgt ein Durchmesser der Grundfläche
8 cm. Beim vollständigen Untertauchen des Kegels in einem zylindrischen
Gefäss, dessen innere Durchmesser 12 cm messen, steigt der Wasserspiegel um
2 cm. Berechne die Länge der Höhe des Kegels! (Resultat auf mm genau!)
1 5) Wieviel wiegt ein eiserner Drehkörper, bestehend aus einem Zylinder mit unten
ausgebohrtem und oben aufgesetztem Kegel von gleichem Durchmesser?
Höhe des Zylinders: 70 mm; Höhe des aufgesetzten Kegels: 21 mm; Höhe des
ausgebohrten Kegels: 35 mm; Durchmesser: 40 mm; TT ^ 3^. Dichte von Eisen
= 7,8 g/cm^.
16) Ein gut gewachsener kegelförmiger Tannenstamm hat am Fuss einen Umfang von
1 m 98 cm. Wie hoch ist er, wenn er, zu Brennholz aufgespalten, genau 1 Klafter
(3 m3) ergibt? TT Sy
17) Eine Sanduhr in Gestalt eines Doppelkegels ist soeben umgedreht worden. Aller
Sand befindet sich wieder im obern Teil und hat dort selbst die Gestalt eines geraden
Kreiskegels mit Grundkreisradius r = 4,2 cm und Höhe h = 10 cm. Der Sand
rinnt nun gleichmässig nach unten, und nach einiger Zeit hat die Höhe des oben
befindlichen Sandkegels um 3 cm abgenommen.
a) Wie viele cm^ Sand sind in der Sanduhr?
b) Wie viele cm^ Sand sind bereits hinbntergerieselt?
c) Wie viele Minuten sind verstrichen, während denen die Höhe des Sandkegels
um jene 3 cm zurückging, wenn die ganze Sandmenge in einer Stunde nach unten
rinnt? % ^ 3j
18) Ein gerader Kreiskegel hat einen Radius r. Der aufgerollte Mantel bildet einen
Kreissektor mit einem Zentriwinkel von 135°. Drücke den Inhalt des Mantels und
der Oberfläche und das Volumen mit Hilfe von r aus!
1 9) Durch einen geraden Kreiskegel mit einem Grundkreisradius r = 6 cm und der
Höhe h = 1 8 cm wird ein zylindrisches Loch mit einem Durchmesser d = 4 cm
gebohrt. Zylinderachse und Kegelachse fallen zusammen. Wie schwer ist der
Rest, wenn der ursprüngliche Kegel 814 g wiegt?

Berechne auch den Rauminhalt
der Pyramide. Bestimme zunächst
mit dem Satz des Pythagoras die
Höhe h.
a)
12 cm
Berechne den Rauminhalt
6 cm 6 cm ' Fig. 2
für die Körper in Fig. 2.
Berechne den Rauminhalt der Pyramide mit
a) G = 21 cm^; h = 11 cm; b) G = 2,5 m^; h = 1,8 m;
c) rechteckiger Grundfläche (a = 3 cm; b = 5 cm) und h = 8,5 cm.
a) Wieviel ml Flüssigkeit fassen die
Gläser in Fig. 1 ?
b) Wieviel l faßt ein kegelförmiger
Trichter (r = 7,5 cm; h = 10 cm)?
Welche Gefäße fassen gleich viel
Flüssigkeit?
a) Zylinder: r = 4 cm; h = 5 cm
b) . Kegel: r = 12 cm; h = 5 cm
c) Kegel: r = 4 cm; h = 15 cm 12m
C. Das Zelt in Fig. 2 ist ungefähr kegelförmig. Berechne
a) die Wohnfläche, b) den Luftraum.
, '7. Bei einem Kiesgrubenbesitzer geht eine Bestellung über 28 m^ Kies ein.
Reicht ein kegelförmig aufgeschütteter Haufen mit r = 3 m und h = 3 in?
S", Ein kegelförmiger Behälter mit r = 20 cm soll 5 l Flüssigkeit fassen.
Seine Höhe soll bestimmt werden.
Berechne erst die Größe der Grundfläche. Dann gib den Rauminhalt in cm^ a:
Aus beiden Größen kann dann die Höhe bestimmt werden.