Kapitalaufbau und Kapitalabbau 1. Kapitalaufbau Bsp ... - Aj-dons.de

1. Kapitalaufbau
Kapitalaufbau und Kapitalabbau
Bsp.: Am Beginn eines Jahres zahlen sie den Betrag von 1.000,00 i auf ein Sparkonto ein.
An jedem Jahresende (Jahresanfang) zahlen sie von ihrem Weihnachtsgeld zusätzlich
200,00 i auf das Sparkonto ein.
Über welches Guthaben verfügen Sie am Ende der fünf Jahre?
Analyse: Betrachten wir zunächst einmal den Fall, dass der einmalige Betrag auf ein Konto A,
die weiteren jährliche Zahlungen auf ein Konto B eingezahlt werden. Dann wird
verständlich, dass der Endwert, bedingt durch die einmalige Zahlung, nach der
Zinseszinsformel, der Endwert der jährlichen Zahlungen nach der Formel für den
Rentenendwert (vor- oder nachschüssig) berechnet werden kann.
Das Gesamtguthaben E ergibt sich dann aus der Summe der beiden Guthaben der
Konten A (K5) und B (R5):
Zahlt man zum Betrag Ko zusätzlich vorschüssig den Betrag r so gilt analog:
Damit gilt für das Guthaben nach fünf Jahren bei einer jährlichen Verzinsung von
3,5%:
dokl2006 Kapitalaufbau und - abbau Seite -1-

Anmerkung: Die Gleichung für den Kapitalaufbau wird auch Sparkassenformeln genannt.
Umformung nach r (nachschüssig):
Umformung nach r (vorschüssig):
Umformung nach Ko (nachschüssig):
Umformung nach Ko (vorschüssig):
Umformung nach n (nachschüssig):
dokl2006 Kapitalaufbau und - abbau Seite -2-

Umformung nach n (vorschüssig):
2. Kapitalabbau
Bsp.: Am Beginn eines Jahres verfügen Sie über ein Guthaben 20.000,00 i auf einem
Sparkonto.
An jedem Jahresende (Jahresanfang) heben Sie sie von ihrem Guthaben eine
gleichbleibenden Betrag von 2.000,00 i ab.
Über welches Guthaben verfügen Sie am Ende von fünf Jahren?
Analyse: Stellen wir uns wieder zwei Konten vor. Auf dem Konto A wird das Guthaben in den
fünf Jahren weiter verzinst, so dass es sich um ein Problem der Zinseszinsrechnung
handelt. Nehmen wir an, dass die Bank auf einem Konto B den Wert der
Auszahlungen über fünf Jahre berechnet. Den Wert der Auszahlungen der Bank kann
dann mit der Endwertgleichung der Rentenrechung (vor- oder nachschüssig)
berechnet werden. Für das Guthaben E nach fünf gilt dann folgerichtig: E = Wert
Konto A -Wert Konto B.
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Merke: Analog zum Kapitalaufbau gilt damit für den Kapitalabbau
bei nachschüssiger Auszahlung:
und
vorschüssiger Auszahlung :
Übung: Berechnen Sie den Endwert nach 5 Jahren bei nach- und vorschüssiger Auszahlung:
Umformungen der Gleichungen für den Kapitalabbau:
Da sich die Formeln für den Kapitalaufbau und Abbau nur in dem Vorzeichen unterscheiden gilt
analog zu den oben dargestellten Umformungen:
nach r (nachschüssig):
nach r (vorschüssig):
nach Ko (nachschüssig):
nach Ko (vorschüssig):
nach n (nachschüssig):
nach n (vorschüssig):
dokl2006 Kapitalaufbau und - abbau Seite -4-

3. Kapitalabbau - Sonderfall E n = 0
Situation: Ihre Eltern haben für Ihr Studium an einer Fachhochschule insgesamt einen Betrag
von 40.000,00 i angespart.
Unter der Voraussetzung, dass das Guthaben mit Beendigung des Studiums
aufgebraucht ist, können Sie sich fragen,
welchen Betrag Sie jährlich (vor-oder nachschüssig) abheben können, wenn Sie mit
einer Studiendauer von 5 Jahren rechnen
oder
Sie können fragen, wie viel Jahre Sie z.B. einen Betrag von 10.000,00 i jährlich
(vor-oder nachschüssig) abheben können.
Analyse: Für beide Situationen gilt : E n = 0 !
Allgemein gilt für nach- bzw. vorschüssige Zahlungen:
Mit E n = 0 folgt dann
und
Formt man diese Gleichungen nach r um so folgt:
Anmerkung: r ist damit der Betrag, den man n Jahre lang (nach- bzw. vorschüssig) abheben
kann, bis das Guthaben aufgebraucht ist (E = 0 ).
Formt man die Gleichungen nach n um so folgt:
Anmerkung: In n-Jahren ist dann bei jährlich konstanten Auszahlungen r das Guthaben
aufgebraucht (E = 0 ).
n
dokl2006 Kapitalaufbau und - abbau Seite -5-
n

Situation: Sie haben bei einer Bank ein Darlehen über 10.000,00 i aufgenommen. Dieses
Darlehen tilgen Sie über n-Jahre mit einem jährlich gleichbleibenden Betrag r.
Analyse: In diesem Fall interessiert es, welchen Betrag r man jährlich an die Bank zahlen muss,
damit in n-Jahren die Schuld getilgt oder wenn man nur einen Tilgungsbetrag von r
zahlen kann, in wie viel Jahren die Schuld getilgt ist.
Auch in diesem Fall können die Gleichungen für den Kapitalabbau angewandt
werden. Dabei ist anzumerken, dass der Betrag r zwei Anteile enthält und zwar einen
Zins- und Tilgungsanteil. Die Summe von Zins- und Tilgungsanteil bezeichnet man
auch als Annuität (A).
Sei r = A so gilt:
Hinweis: Wenn r = A = Zinsanteil + Tilgungsanteil, dann muss A > Zinsanteil sein, damit z.B.
ein Darlehen jemals zurückgezahlt werden kann.
Dies verdeutlichen die folgenden Überlegungen.
dokl2006 Kapitalaufbau und - abbau Seite -6-

Problem: Wie groß muss der jährlich zu zahlende Betrag für Zins- und Tilgung (Annuität)
mindestens sein, damit die Schuld verringert werden kann ?
Überlegung: Überlegen wir, die Anfangsschuld beträgt 10.000,00 i und der Zinssatz sei 6%.
Nehmen wir weiter an, dass die Schuld in 10 Jahren getilgt werden soll.
Mit Hilfe der Gleichung für den Kapitalabbau können wir dann r, das ist die
Summe, die für Zinsen und Tilgung (Annuität) zu zahlen ist, berechnen. Es gilt:
Aussage:
Zahlen wir mehr als 1.358,68 i, dann wird die Tilgungsdauer weniger als 10 Jahre
betragen.
Zahlen wir weniger, dann wird sich die Tilgungsdauer verlängern.
Frage:
Wann wird die Tilgungsdauer unendlich groß, d.h. die Schuld nimmt nie ab?
Nehmen wir an, wir zahlen nur den Betrag von 600,00 i. Prüfen wir dann, wie
groß En nach 10 = Jahren wird !
Wir stellen fest, dass die Anfangsschuld in Höhe von 10.000,00 i nicht abgenommen
hat. Sehen wir uns die Zahlen genauer an, so erkennen wir an dem Betrag von 600,00
i, dass der Schuldner nur Zinsen bezahlt hat. Er leistet keinen Beitrag zur Tilgung.
Fazit: Damit die Schuld überhaupt getilgt werden kann, muss der
Schuldner einen Betrag r zahlen, der größer ist als die
Jahreszinsen.
Antwort auf die oben gestellte Frage lautet :
dokl2006 Kapitalaufbau und - abbau Seite -7-

Veranschaulichung durch folgende EXCEL-Darstellungen:
Ko r
10000 601
n Ko q^n r(q^n-1)/(q- Differen
1)
z
1 10600 601 9999
2 11236 1238 9998
3 11910 1913 9997
4 12625 2629 9996
5 13382 3388 9994
6 14185 4192 9993
7 15036 5045 9992
8 15938 5948 9990
9 16895 6906 9989
10 17908 7922 9987
Ko r
10000 600
n Ko q^n r(q^n-1)/(q- Differen
1)
z
1 10600 600 10000
2 11236 1236 10000
3 11910 1910 10000
4 12625 2625 10000
5 13382 3382 10000
6 14185 4185 10000
7 15036 5036 10000
8 15938 5938 10000
9 16895 6895 10000
10 17908 7908 10000
Ko r
10000 599
n Ko q^n r(q^n-1)/(q- Differen
1)
z
1 10600 599 10001
2 11236 1234 10002
3 11910 1907 10003
4 12625 2620 10004
5 13382 3377 10006
6 14185 4178 10007
7 15036 5028 10008
8 15938 5929 10010
9 16895 6883 10011
10 17908 7895 10013
Für r = 800
Für r = 600
Für r = 400
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Aufgabe 1:
Übungen: Kapitalaufbau und Kapitalabbau
Eine Eigentümergemeinschaft verfügt über eine Instandsetzungsrücklage in Höhe von 15.000,00 i. Auf der
Eigentümerversammlung wird die in einigen Jahren notwendige Reparatur des Garagendachs diskutiert. Dabei
tauchen verschiedene Fragen auf, die der Verwalter zu beantworten hat. (Rechnen Sie bei den Fragen 1 - 4 mit
einem Zinsssatz von 4%)
Aufgabe 2:
1. Der Verwalter schlägt vor, dass zusätzlich jedes Jahr vorschüssig ein Betrag in Höhe von 8.000,00 i
in die Instandsetzungsrücklage eingezahlt wird.
Welches Guthaben weist dann das Konto “Instandsetzungsrücklage” in 5 Jahren auf?
(Lö.: 63.313,60)
2. Von einem Miteigentümer wird vorgetragen, dass mit einem Reparaturaufwand in Höhe von 80.000,00
i zu rechnen ist. Welcher Betrag muss dann jedes Jahr vorschüssig in die Instandsetzungsrücklage
eingezahlt werden, wenn in 5 Jahren ein Guthaben in Höhe von 80.000,00 i angespart werden soll?
(Lö.: 10.962,27)
3. In wie viel Jahren kann der Betrag von 80.000,00 i angespart werden, wenn jährlich nachschüssig ein
Betrag von 9.199,52 i zusätzlich eingezahlt wird?
(Lö.: 6 Jahre)
4. Die Eigentümergemeinschaft einigte sich, jährlich nachschüssig einen Betrag in Höhe von 8.631,36 i
fünf Jahre lang in die Instandsetzungsrücklage einzuzahlen. Welches Guthaben weist in diesem Fall die
Instandsetzungsrücklage nach 5 Jahren auf?
(Lö.: 65.000,02)
Von dem Unternehmen “Dicht&Sicher” liegt ein verbindliches Angebot in Höhe von 95.000,00 i vor.
Über welchen Betrag muss die Eigentümergemeinschaft, vertreten durch ihren Verwalter, einen Kredit
bei einem Geldinstitut aufnehmen?
(Lö.: 30.000)
5. Berechnen Sie die Restschuld nach fünf Jahren, wenn bei einem Zinssatz von 6% jährlich nachschüssig
ein Betrag von 4.500,00 i zurückgezahlt wird.
(Lö.: 14.779,85)
6. Welcher Betrag muss bei einem Zinssatz von 6,5% jährlich nachschüssig zurückgezahlt werden, wenn
die Restschuld (siehe 5.) in zwei Jahren zurückgezahlt werden soll?
(Lö.: 8118)
7. In wie viel Jahren kann die Restsschuld (siehe 5.) zurückgezahlt werden, wenn bei einem Zinssatz von
6,5% jährlich nachschüssig ein Betrag in Höhe von 5.580,51 i zurückgezahlt wird?
(Lö.: 3 Jahre)
Die Sportanlage des “SV Babenberg” soll im Rahmen des Baus einer neuen Umgehungsstraße, Fertigstellung
voraussichtlich 2018, verlegt und erweitert werden. Im Zusammenhang mit dem Bau des neuen Vereinshauses
kommen auf den Verein nicht unerhebliche finanzielle Belastungen zu.
Als Mitglied im Vorstand des “SV Babenberg” sind Sie an den Beratungen über die Finanzierung dieser
Maßnahme beteiligt.
dokl2006
Kapitalaufbau und - abbau Seite -9-

Aufgrund der vorliegenden Vorplanungen ist mit einem Investitionsvolumen in Höhe von 350.000 i zu rechnen.
Der Kassenwart unterbreitet dem Vorstand daher verschiedene Möglichkeiten, wie diese Maßnahme finanziert
werden könnte.
Bei seinen Überlegungen kann der Kassenwart von einem Startkapital von 50.000,00 i auf einem
einzurichtenden Baukonto ausgehen. Für die folgenden Überlegungen unterstellt der Kassenwart einen Zinssatz
von 5%.
1. Der Kassenwart erläutert dem Vorstand, über welches Guthaben der Verein in 10 Jahren verfügen
könnte, wenn er zusätzlich jährlich nachschüssig einen Betrag in Höhe von 15.000,00 auf ein zu
errichtendes Baukonto überweisen kann.
Welchen Betrag kann der Kassenwart dem Vorstand mitteilen?
(Lö.: 270.113,12)
2. Auch die Frage, welcher Betrag jährlich nachschüssig eingezahlt werden müßte, wenn man in 5 Jahren
den Betrag ansparen wollte, kann er beantworten.
Berechnen Sie diesen Betrag!
(Lö.: 51.792,44)
3. Weiterhin rechnet er vor, in wie viel Jahren der Betrag von 350.000 i angespart werden könnte, wenn
man jährlich nachschüssig einen Betrag von 21.351,37 i einzahlen könnte.
Wie lautet seine Rechnung?
(Lö.: n = 10 Jahre)
Der Vorstand geht nach diesen Überlegungen davon aus, dass jährlich nachschüssig 20.000,00 i erwirtschaftet
werden können.
Als dem Verein später mitgeteilt wird, dass die Verlagerung der Sportanlage bereits in 5 Jahren erfolgen soll,
werden vom Vorstand weitere Überlegungen angestellt.
Daher werden als Entscheidungshilfe folgende Rechnungen durchgeführt.
4. Berechnen Sie das Guthaben nach einer Ansparphase von 5 Jahren, in der jährlich nachschüssig
20.000,00 i eingezahlt wurden?
(Lö.: 174.326,70)
5. Über welchen Betrag müßte dann eine Hypothek aufgenommen werden, wenn die Baukosten durch
Eigenleistungen auf 300.000,00 gedrückt werden können?
(Lö.: 125.673,30)
6. Berechnen Sie die Restschuld, wenn 10 Jahre lang nachschüssig ein Betrag von 12.520,28 i an das
Geldinstitut zurückgezahlt wird. (Zinssatz: 5,5 %)
(Lö.: 53.465,12)
7. Welcher Betrag muss jährlich nachschüssig bei einem Zinssatz von 8% zurückgezahlt werden, wenn
die Restschuld (siehe 6.) in 5 Jahren zurückgezahlt werden soll.
(Lö.: 13.390,68)
8. Wie viel Jahre dauert die Rückzahlung der Restschuld (siehe 6.), wenn jährlich nachschüssig ein
Betrag in Höhe von 20.746,26 i zurückgezahlt wird? (p = 8%) (Lö.: 3 Jahre)
dokl2006
Kapitalaufbau und - abbau Seite -10-

Weitere Übungen
Aufgabe 3:
Bei Abschluss eines Sparvertrages verpflichten Sie sich, jährlich vorschüssig einen Betrag von 1.800,00
i auf ein Konto des betreffenden Geldinstitutes einzuzahlen.
Aufgabe 4:
1. Berechnen Sie Ihr Endkapital bei einer Vertragslaufzeit von 10 Jahren, wenn man von einer
durchschnittlichen Verzinsung von 5% ausgehen kann !
(Lö.: E10 = 23.772,22 i)
2. Um welchen Betrag erhöht sich Ihr Guthaben, wenn das Geldinstitut zusätzlich eine einmalige
Prämie in Höhe von 4% auf die geleisteten Sparbeiträge auszahlt?
(Lö.: von 10 * 1.800 i 4% Prämie: 720 i)
3. Über welchen Betrag würden Sie insgesamt verfügen, wenn Sie während der vereinbarten
Laufzeit zusätzlich einen Betrag von i 10.000,- zu 8,75% fest anlegen könnten?
(Lö.: K10 = 23.136,23 i; insgesamt 47.628,45 i)
4. Das Guthaben aus Punkt c.) (47.628,45 i) soll für die Finanzierung eines Studiums
verwendet werden. Welcher Betrag steht Ihnen jährlich vorschüssig für das Studium zur
Verfügung, wenn das Guthaben in 6 Jahren aufgebraucht werden soll? (Zinssatz: p = 5,5%)
(Lö.: r = 9037,17 i)
Eine Eigentümergemeinschaft (5 Miteigentümer) verfügt z.Z. über eine Instandsetzungsrücklage von
12.000,00 i. Die Sanierung des Garagendachs ist in 5 Jahren vorgesehen.
Aufgabe 5:
1. Welcher Betrag muss jährlich nachschüssig von jedem Miteigentümer auf das Konto der
Miteigentümergemeinschaft eingezahlt werden, wenn die Gesamtkosten der Sanierung ca.
50.000,- i betragen werden ?
Anm.: Der Betrag von 12.000,00 i wird zu 8,75% fest angelegt, während für die jährlichen
Einzahlungen ein Zinssatz von 4% vereinbart werden konnte.
(Lö.: r = 5.861,41 i)
2. Jeder Miteigentümer ist in der Lage, jährlich nachschüssig einen Betrag von 2.214,66 i zu
zahlen. Um wie viel Jahre kann dann die Sanierung vorgezogen werden?
(Hinweis 1: Beantworten Sie vorher die Frage, ob Sie n bei verschiedenen Zinssätzen
berechnen können?
Hinweis 2: Prüfen Sie n = 3 Jahre!)
(Lö.: nein, da z.Z. kein Lösungsverfahren für Gleichungen höheren Grades bekannt ist. )
Ein Kaufpreis eines älteren Siedlungshauses beträgt 118.500,00 i. Ein Käufer zahlt sofort 22.500,- i
und nimmt über die Restschuld eine Hypothek auf.
1. Für Zinsen und Tilgung berechnet die Bank bei einem Hypothekenzinssatz von 6% einen
jährlich nachschüssig zu zahlenden Betrag von 7.200,00 i .
dokl2006
Kapitalaufbau und - abbau Seite -11-

Aufgabe 6:
dokl2006
Nach wie viel Jahren ist das Haus schuldenfrei, wenn für die gesamte Tilgungsdauer ein
durchschnittlicher Hypothekenzins von 6% zugrunde gelegt wird ?
(Lö.: n = 27,62 Jahre)
2. Nach Ablauf von 5 Jahren wird aufgrund der Marktsituation der Zinssatz auf 8% erhöht.
Berechnen Sie den neuen, jährlich nachschüssig zu zahlenden Betrag, wenn die Tilgungsdauer
unverändert bleibt.
(Lö.: bei n = 28 Jahre; E5 = 87.882,59 i, r für die restlichen 23 Jahre bei En = 0:
r = 8.473,83 i)
Für Modernisierungsmaßnahmen nimmt ein Hausbesitzer am 30.5.1990 einen Kredit über 15.000,- i
zu 7% Zinsen auf. Er zahlt dafür jährlich nachschüssig 2.135,66 i an Zinsen + Tilgung zurück.
Aufgabe 7:
1. Berechnen Sie die Laufzeit des Kredits, wenn mit einem durchschnittlichen Zinssatz von 7%
während der gesamten Laufzeit gerechnet wird !
(Lö.: n = 10 Jahre)
2. Nach Ablauf von 5 Jahren erhöhte sich der Zinssatz auf 8% . Berechnen Sie bei unveränderter
Tilgungszeit die neue Annuität (r := Annuität) !
(Lö. E5 = 8.756,68 i, r für die restlichen 5 Jahre bei 8%: r = 2.193,16 i)
Bei einer staatlichen Lotterie kann man ein "Zusatzgehalt" von monatlich 6.000,00 i, zahlbar bis an
sein Lebensende, gewinnen. Der durchschnittliche Zinssatz für die folgenden Überlegungen wird mit
7% angenommen. Weiterhin ist eine durchschnittliche Lebenserwartung bei Männern von 68, bei
Frauen von 73 Jahren anzunehmen.
Anm.: Die jährlichen Zahlungen sollen vorschüssig gezahlt werden !
1. Ann (19) gewinnt. Sie will nicht monatlich 6.000,00 i (=jährlich 72.000,00 i), sondern
lieber den "Gegenwert" sofort ausgezahlt erhalten. Berechnen Sie den Gegenwert !
(Lö.: r pro Jahr: 72000,00 i; n = 55 Jahre; Barwert = 1.073.932,90 i)
2. Carl (20) gewinnt. Er kann bis zum Ende seiner Ausbildung (25) den jährlich erhaltenen
Gewinn auf ein Sparbuch einzahlen.
Das so angesammelte Guthaben, möchte er (beginnend mit dem 26. Lebensjahr) bis zu
seinem statistischen Lebensende ausgezahlt bekommen.
Um welchen Betrag erhöht sich seine monatliche 'Rente' von 6.000,00 i ?
(Lö.: R6 = 551.089,52 i; Aus En = 0 (Kapitalabbau folgt mit n = 43 Jahre ein jährlicher
Betrag für r von: R = 40.800,41 i (d.h. etwa 3400 i zusätzlich - ohne Berücksichtigung
von Monatszinsen)).
Kapitalaufbau und - abbau Seite -12-

Aufgabe 8:
Für spätere Anschaffungen zahlen Sie jährlich vorschüssig einen Betrag in Höhe von 1.000,00 i auf
ein Sparkonto.
Aufgabe 9:
1. Welcher Betrag steht Ihnen nach 10 Jahren bei einem Zinssatz von 7,25% zur Verfügung?
(Lö: 14.994,28 i)
2. Über welchen Betrag können Sie drei Jahre später verfügen, wenn Sie das Guthaben aus a.)
für weitere drei Jahre zinsgünstig anlegen können ? (p = 9,25%)
(Lö: 19.551,94 i)
3. Für eine größere Anschaffung nehmen Sie ein Darlehen auf. Zur Unterstützung bei der
Tilgung des Darlehens möchten Sie in den nächsten fünf Jahren von dem Sparkonto jährlich
vorschüssig einen gleichbleibenden Betrag abheben, bis das Geld auf dem Sparkonto
aufgebraucht ist (p = 8%). Welchen Betrag können Sie jährlich vorschüssig abheben?
(Lö: r = 4.534,18 i)
4. Nehmen wir an, ihnen genügt die Abhebung eines Betrages in Höhe von 2.000,00 i um die
Belastungen für die Tilgung tragen zu können. Wie viel Jahre könnte dann dieser Betrag
jährlich vorschüssig abgehoben werden?
(Lö: 16,73 Jahre)
Sie beabsichtigen, bei jährlich nachschüssiger Einzahlung auf ein Sparkonto in 20 Jahren ein Guthaben
von 50.000,00 i anzusparen. Sie rechnen dabei mit einer durchschnittlichen Verzinsung von 5%.
1. Berechnen Sie die jährlich gleichbleibende Sparrate. (Lö: r = 1.512,13 i)
2. Nach dem Sie 6 Jahre die unter a.) berechnete Sparrate eingezahlt haben, mußten Sie 4 Jahre
lang mit der Einzahlung aussetzen.
Welche Sparrate müssen Sie nun leisten, wenn Sie ihr Sparziel, 50.000,00 i nach insgesamt
20 Jahren, noch erreichen wollen ?
(Lö: R6 = 10.285,37 i; r = 2.356,17 i)
Aufgabe 10:
Ein Bausparer schließt einen Bausparvertrag über 200.000,00 i ab und zahlt bei Vertragsabschluss
sofort den Betrag von 20.000,00 i ein.
Weiterhin zahlt er jährlich vorschüssig einen gleichbleibenden Betrag in Höhe von 7.500,00 i auf das
Konto bei der Bausparkasse ein.
(Für die Rechnung in a.) und b.) gilt : p = 3,5%)
1. Berechnen Sie das Bausparguthaben nach 6 Jahren. (Lö.: E6 = 75.430,67 i)
2. Welchen Betrag hätte er jährlich nachschüssig einzahlen müssen, wenn das Bausparkonto
nach 5 Jahren ein Guthaben von 70.000,00 i ausweisen sollte?
(Lö: r = 8.624,07 i)
dokl2006
Kapitalaufbau und - abbau Seite -13-

3. Nach erfolgter Zuteilung erhält er ein Bauspardarlehen in Höhe von 50% der Vertragssumme
ausgezahlt.
3.1. Wie lange mußte er vorschüssig den Betrag von 7.500,00 i einzahlen, damit der Vertrag
zugeteilt werden konnte ? (p = 3,5%)
(Lö: angespart waren 100.000,00 i; aus En-Formel wird n = 8,3 Jahre)
3.2. Welchen Betrag für Zins und Tilgung (Annuität) muss der Bausparer an die Bausparkasse
jährlich vorschüssig (nachschüssig) zurückzahlen, wenn das Darlehen in 8 Jahren getilgt
werden soll? (p = 5%)
(Lö: 14.735,41 i vorschüssig; 15.472,18 nachschüssig)
3.3. Wie lange dauert die Tilgung des Darlehens, wenn der Bausparer jährlich nachschüssig
einen Tilgungsbetrag in Höhe von 12.950,46 i zahlen kann ?
p = 5% ! (Lö: En = 0; Ko = 100.000 i, n = 10 Jahre)
4. Nach dem der Bausparer zwei Jahre lang einen Tilgungsbetrag (siehe c.1) in Höhe von
8.235,88 i an die Bausparkasse gezahlt hatte, gerät der Bausparer in finanzielle
Bedrängnis. Daher bietet ihm die Bausparkasse eine Tilgungsstreckung in folgender Form
an: die Bausparkasse zahlt an den Bausparer jährlich vorschüssig 2.000,00 i als Zuschuss
und verzinst diese Beträge mit 5%.
4.1. Welchen Schuldenstand würde das Tilgungsstreckungskonto nach 10 Jahren aufweisen ?
(Lö:R = 26.413,57 i)
dokl2006
10
4.2. Der Bausparer beabsichtigt, die Schuld, die in 10 Jahren das Tilgungsstreckungskonto
aufweisen wird, durch zwei gleich hohe Raten, von denen die erste nach 5 Jahren und die
zweite nach 10 Jahren fällig wird, abzulösen. Berechnen Sie die Höhe der Raten.
5 10
(Lö: BW von 26.413,57= 16.215,64, BW = Rate(1/q + 1/q ); Rate 1 = Rate 2 =
11.603,82 i)
Aufgabe 11:
Jemand gewinnt im Lotto 1.500.000,00 i. Er ist 20 Jahre alt und rechnet mit einer Lebenserwartung
von 88 Jahren. Er möchte wissen, wie viel Geld ihm jährlich vorschüssig zur Verfügung stehen, wenn
er sofort den Betrag zu 6,25% und durch jährlich gleichbleibende vorschüssige Auszahlungen in der
angegebenen Lebenszeit aufbraucht. (Der angegebene Zinssatz gilt abzüglich anfallender Steuern)
(Lö: n = 69; En = 0, dann ist r = 89.601,83 i im Jahr)
Aufgabe 12:
Ein Bausparer zahlt sofort bei Vertragsabschluss am Jahresanfang den Betrag von 2.500,00 i auf das
Bausparkonto ein. Im gleichen Jahr beginnt er, jährlich nachschüssig sechs mal einen Betrag in Höhe
von 5.553,57 i auf das Bausparkonto zu überweisen. Bei der Überweisung der letzten Überweisung,
erhält er den vierfachen Betrag des Wertes seines angesammelten Guthabens ausgezahlt. (4%)
1. Berechnen Sie die Höhe des Auszahlungsbetrages.
(Lö: E6 bei 4% = 40.000,00 i, vierfacher Betrag: 160.000,00 i)
Kapitalaufbau und - abbau Seite -14-

2. Welchen Betrag muss der Bausparer an die Bausparkasse jährlich nachschüssig an Zins und
Tilgung zurückzahlen, wenn das Darlehen in 15 Jahren getilgt werden soll?
(Lö: Die Hypothek beträgt: 160.000,00 i- 40.000,00 i = 120.000,00 i; r = 10.792,93 i)
Aufgabe 13:
Die Großeltern machten ihrer Enkelin an ihrem 6. Geburtstag, 14.5.1990, eine Kapitalversicherung
zum Geschenk.
Die Großeltern verpflichten sich dabei, ab Versicherungsbeginn, 14.5.1990, jährlich vorschüssig und
an jedem weiteren Geburtstag einen Betrag von 312,- i auf das Versicherungskonto einzuzahlen.
Letzte Einzahlung: 18. Geburtstag; Versicherungsende: 14.5.2003
1. Über welchen Betrag kann die Enkelin am 14.5.2003 verfügen ? (Durchschnittliche
Verzinsung: 6 %)
(Lö: n = 13; R13 = 6.244,70)
2. Den fällig gewordenen Betrag (vgl.a) legt die Enkelin während ihrer dreijährigen
Berufsausbildung zu 8 % fest an.
Über welches Guthaben kann die Enkelin mit Beendigung der Ausbildung verfügen ? (Lö: K3
= 7.866,52)
3. Die Enkelin nimmt im Anschluss an die dreijährige Berufsausbildung sofort das Studium der
Wirtschaftswissenschaften auf. Sie rechnet mit einer Studiendauer von 6 Jahren.
3.1. Über welchen Betrag könnte Sie jährlich vorschüssig verfügen, wenn das in b.)
angesammelte Kapital restlos aufgebraucht wird ? (durchschnittliche Verzinsung: 4 %)
(Lö: 1.442,92)
3.2. Wie viel Jahre lang könnte sie vorschüssig einen Betrag von 929,39 i abheben ?
(Lö: n = 10,04)
Aufgabe 14:
Eine Eigentümergemeinschaft benötigt für die Erneuerung des Außenputzes insgesamt eine Betrag von
100.000,00 i.
Die Miteigentümerversammlung beschließt, ab dem 1.1.2009 einen Betrag von 20000,00 i aus der
Instandsetzungsrücklage für 10 Jahre fest anzulegen.
1. Welchen Betrag muss von der Eigentümergemeinschaft jährlich nachschüssig auf das
Sanierungskonto eingezahlt werden, wenn die Erneuerung des Putzes nach 10 Jahren erfolgen
kann? (Rechnen Sie mit einem durchschnittlichen Zinssatz von 5%)
(Lö.: r = 5360,36 i)
2. Anfang des 3. Jahres zeigte sich, dass die Schäden am Putz gravierender waren, als
ursprünglich angenommen. Der Verwalter berechnet daher das Guthaben am Ende des 3.
Jahres mit dem Ziel, der Gemeinschaft einen früheren Sanierungszeitpunkt vorschlagen zu
können. Zu welchem Ergebnis kommt der Verwalter?
(Lö.: E3 = 40.051,03 i)
dokl2006
Kapitalaufbau und - abbau Seite -15-

3. Auf der Miteigentümerversammlung am Anfang des 4. Jahres schlägt der Verwalter die
Erhöhung des jährlich nachschüssig zu zahlenden Sparbetrages vor. Von welcher weiteren
Sparzeit geht der Verwalter aus, wenn er der Versammlung einen Sparbeitrag in Höhe von
8.846,70 i vorschlägt?
(Lö.: n = 5)
4. Abweichend von den Überlegungen zu c.) informiert er die Miteigentümer über die Aussage
des Architekten, der die Sanierung nach Ablauf von 3 Jahren empfiehlt. Welcher Betrag
müßte in diesem Fall jährlich nachschüssig auf das Sanierungskonto eingezahlt werden?
(Lö.: r = 17.013,77 i)
5. Die Eigentümerversammlung beschließt die Sanierung nach Ablauf von acht Jahren
durchzuführen.
Dabei stellt sich heraus, dass die ursprünglichen Sanierungskosten aufgrund unvorhersehbarer
Baumängel und Preissteigerungen um 20% erhöht sind.
Über den Mehrbetrag nimmt die Eigentümergemeinschaft einen Kredit auf. Welchen Betrag
muss die Eigentümergemeinschaft jährlich nachschüssig an Zins und Tilgung zurückzahlen,
wenn der Kredit in 5 Jahren zurückgezahlt werden soll? (Zinssatz 6%)
(Lö.: Kredit: 20000,00 i , r = 4747,93 i)
6. Der Architekt unterbreitet der Eigentümergemeinschaft den Vorschlag, unter Ausnutzung von
Förderprogrammen, Energiesparmaßnahmen mit auszuführen. Die Aufwendungen für diese
Maßnahmen belaufen sich auf insgesamt 80.000,00 i.
Der Verwalter kann nach Gesprächen mit der Hausbank den Miteigentümern folgendes
Angebot unterbreiten:
Kredit: 80.000,00 i, Tilgungsdauer 10 Jahre bei einem Zinssatz von 5,2%, fest für 10 Jahre.
Aufgabe 15:
dokl2006
6.1. Erstellen Sie den Tilgungsplan für die ersten zwei Jahre.
6.2. Berechnen Sie mit geeigneten Formeln den Tilgungsanteil im letzten Tilgungsjahr.
(Lö.: A = 10.461,23 i; E9*= 9.944,14 i, T10 = 9.944,14, Z10 = 517,09 i)
Ein Enkelkind bekam an seinem 6. Geburtstag eine Kapitalversicherung von seinen Großeltern
geschenkt. Dabei hatten sich die Großeltern verpflichtet, beginnend mit dem 6. Geburtstag an jedem
weiteren Geburtstag einen Betrag von 3.000,00 i einzuzahlen. Das Ende der Versicherung wurde auf
das Erreichen der Volljährigkeit festgelegt.
1. Welchen Betrag können die Großeltern am Tage der Volljährigkeit bei einem
durchschnittlichen Zinssatz von 6,5% dem Enkelkind zur Finanzierung eines Studiums der
Wirtschaftswissenschaften schenken?
(Lö.: n =12; R12 vorsch. = 55.499,42 i)
2. Mit dem Tag der Volljährigkeit legt das Enkelkind das Guthaben für drei Jahre zu einem
Zinssatz von 8% auf einem “Studiengeldkonto” fest an, das es vor dem Studium erst eine
kaufmännische Berufsausbildung absolviert. Berechnen Sie das Guthaben am seiner
Berufsausbildung (nach drei Jahren).
(Lö.: K3 = 69.913,28 i)
Kapitalaufbau und - abbau Seite -16-

3. Nach der Ausbildung erhält das Enkelkind einen Studienplatz an der Fachhochschule
Dortmund. Es rechnet mit einer Studiendauer von 5 Jahren. Welche Betrag kann das
Enkelkind jährlich vorschüssig in dieser Zeit von dem “Studiengeldkonto” abheben, wenn das
Guthaben bei einem Zinssatz von 5,5% restlos aufgebraucht wird?
(Lö.: Beachte En = 0; daraus ist dann = 15.518,53 i)
4. Alternativ zu 3.) fragt sich das Enkelkind, wie viel Jahre lang ein Betrag in Höhe von
13.265,56 i jährlich vorschüssig abgehoben werden kann?
(Lö.: n = 6 Jahre)
Aufgabe 16:
Als Eltern erwägen Sie den Abschluss einer “Ausbildungsversicherung”, damit für sie die finanziellen
Belastungen während eines zukünftigen Studium ihres Kindes überschaubar bleiben.
Bei ihren Überlegungen gehen sie von folgenden Annahmen aus:
" Die Ausbildungsversicherung beginnt am 1. Geburtstag. Sie wird fällig mit dem 19.
Geburtstag, dem voraussichtlichen Ende der Schulzeit.
" Vor dem Studium sollte ihr Kind eine insgesamt dreijährige Berufsausbildung absolvieren.
Während dieser Zeit erwarten Sie, dass ihr Kind von der zu erwartenden
Ausbildungsvergütung jährlich nachschüssig einen Betrag von 1.200,00 i auf das
“Studienkonto” einzahlt. Das Guthaben der Ausbildungsversicherung wird ebenfalls auf das
“Studienkonto “ eingezahlt.
" Sie rechnen mit einer Studiendauer von 5 Jahren. Jährlich vorschüssig sollte dann ihrem Kind
damit ein Betrag von 6.000,00 i je Studienjahr zur Verfügung stehen.
Welchen Betrag müssen Sie jährlich vorschüssig, beginnend mit dem 1. Geburtstag in die
Ausbildungsversicherung einzahlen, um das angestrebte Ziel zu erreichen?
Berücksichtigen Sie einen durchschnittlichen Zinssatz von 3%.
(Lösungshinweise: Die folgende Abbildung stellt den Sparverlauf und Auszahlungsverlauf dar.
dokl2006
E 3 = K 0 aus der Formel des Kapitalabbaus mit En = 0, E 3 = K 0 = 28.302,59 i
R 18 = K 0 aus der Formel für den Kapitalaufbau über drei Jahre, R 18 = K 0 = 22.506,545
r vorschüssig folgt aus der Formel für R , r = 933,228 )
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Kapitalaufbau und - abbau Seite -17-

Aufgabe 17:
Der Verwalter teilt der Eigentümergemeinschaft auf der Eigentümerversammlung am Anfang des
Jahres mit, dass auf dem Konto “Instandsetzungsrücklage” ein Guthaben in Höhe von 20.000,00 i
vorhanden ist.
Auf Vorschlag des Verwalters wird beschlossen, in den kommenden 5 Jahren jährlich nachschüssig
einen Betrag in Höhe von 7.000,00 i in die Rücklage einzuzahlen.
1. Nach 5 Jahren wird für die Sanierung der Heizungsanlage eine Betrag in Höhe von 10.349,43 i der
Rücklage entnommen.
Berechnen Sie die Höhe des Guthabens auf dem Konto “Instandsetzungsrücklage” unter Beachtung
eines Zinssatzes von 3%..
(Lö.: E5 = 60.349,43 i; Guthaben: 50.000,00 i)
2. Die Eigentümerversammlung beschließt, das vorhandene Guthaben weiterhin zu einem Zinssatz von
3% für fünf weitere Jahre anzulegen. Gleichzeitig wird jeweils am Jahresende
von den Miteigentümern ein Betrag von insgesamt 9.801,28 i auf das Hauskonto überwiesen und
vom Verwalter auf das Konto “Instandsetzungsrücklage”umgebucht.
Berechnen Sie den Kontostand nach fünf Jahren.
(Lö.: E5 = 110.000,03 i)
3. Für Energetische Maßnahmen (Wärmedämmung der Außenwände und des Daches, Fenster) legt
der Verwalter nach den 5 Jahren eine verbindliche Kostenplanung über insgesamt 120.000,03 i
vor. Er empfiehlt der Eigentümerversammlung aufgrund günstiger Zinskonditionen die folgende
Finanzierung:
90.000,03 i Entnahme aus der Rücklage und Aufnahme eines Kredits bei der Hausbank über
30.000,00 i.
3.1. Über welches Guthaben auf dem Konto “Instandsetzungsrücklage verfügt dann noch die
Eigentümergemeinschaft.
(Lö.: 20.000,00 i)
3.2. Der Kredit soll bei einem Zinssatz von 4,5 % in 10 Jahren zurückgezahlt werden. Welcher
Betrag muss dann vom Verwalter jeweils am Jahresanfang an die Hausbank überwiesen werden?
(Lö.: r = 3.628,10 i)
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Kapitalaufbau und - abbau Seite -18-