Die Übergangsimpedanz einer kapazitiv angekoppelten Elektrode

(22)
0
f z, u
q~
u 0
d.h.die im Raumbereich formulierte Randbedingung (18) transformiert sich gemäß (22) in den
Wellenzahlbereich.
Nach der Formulierung der Randbedingungen wird nun die Differenzialgleichung für f gelöst.
Aus der Form von Gleichung (16) ergibt sich direkt, dass die Lösungen Funktionen der Form
z
e
sind, wobei berücksichtigt werden muss, dass im unteren Halbraum und in der Luft
unterschiedlich sind. Daraus ergibt sich folgender Ansatz für die Funktion f(z,u):
f
z, u
wobei
0 Ae
0z
Ae
Ce
z
Be
z
1
Be
,
z
z
0
,
0
,
0 z d
z d
z 0
(23a,b,c)
2
2
2
2
0 i0 0
u und 1 i 0
1
u
(24a,b)
die Parameter in Luft und im unteren Halbraum sind.
Die Vorzeichen der Exponenten in den Ansatzfunktionen in (23) ergeben sich jeweils aus der
Forderung, dass f(z,u) im Unendlichen sowohl für z0 verschwinden muss.
Die Randbedingungen an Schichtgrenzen ergeben sich aus den Stetigkeitsbedingungen für die
elektromagnetischen Felder. Da die Horizontalkomponenten von E und H an Schichtgrenzen
1 f
stetig sind, folgt mittels (13) und (14), dass f und stetig sein müssen.
z
Damit und mit der Sprungbedingung für f (Gl. (22)) lassen sich nun die Konstanten A,B und C
in Gl. (23) berechnen. Beispielsweise folgt aus (23a,b), dass
f
z 0
_ B A
z0 A B
f
und damit für den Sprung von f bei z=0:
fz, u
f z0fz02A (25a,b)
und mit (22) erhält man hieraus für A:
(26)
0
A q~
u (27)
2 0
Die Bestimmung von B und C aus den Stetigkeitsbedingungen erfolgt analog, ist aber
komplexer und wird hier nicht im Einzelnen ausgeführt. Man erhält folgendes Endergebnis
für f:
f
2
0 z, u
q~
u 0
e
e
T
0 z
0 z 2
d
Rue
0 z
0 z2d Rue
,
1
zd
0d
ue e ,
mit Reflektions-und Tranmissionsfaktor
,
z 0
0 z d
z d
23. Schmucker-Weidelt-Kolloquium für Elektromagnetische Tiefenforschung,
Heimvolkshochschule am Seddiner See, 28 September - 2 Oktober 2009
107
(28a,b,c)