SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

SMART
Sammlung mathematischer Aufgaben
als Hypertext mit TEX
Jahrgangsstufe 10 (G9) (Gymnasium)
herausgegeben vom
Zentrum zur Förderung des
mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts
der Universität Bayreuth ∗
1. Mai 2010
∗Die Aufgaben stehen für private und unterrichtliche Zwecke zur Verfügung. Eine kommerzielle
Nutzung bedarf der vorherigen Genehmigung.

Inhaltsverzeichnis
I. Algebra 3
1. Rechnen mit Potenzen 4
1.1. Numerisches Rechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Rechengesetze - Herleitung und Illustration . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3. Termumformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1. Nur Multiplikation und Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2. Alle Grundrechnungsarten treten auf . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4. Potenzgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.1. Potenzgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5. Polynomdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.5.1. Polynomdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.5.2. Anwendungsaufgaben mit fächerübergreifenden Aspekten . . . . . . 35
2. Potenzfunktionen 41
2.1. Eigenschaften und Klassifikation von Potenzfunktionen . . . . . . . . . . . 41
2.2. Funktionsterme, Graphen, Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3. Potenzfunktionen in Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3. Exponential- und Logarithmusfunktionen 48
3.1. Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.1.1. Exponentialfunktionen - Eigenschaften und Graphen . . . . . . . . 48
3.1.2. Exponentialgleichungen - Lösung ohne Logarithmen . . . . . . . . . 49
II. Geometrie 79
4. Kreismessung 80
4.1. Kreis - Umfang und Fläche - Approximationsverfahren . . . . . . . . . . . 80
4.1.1. Kreis - Umfang und Fläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.1.2. Ein- und umbeschriebene regelmäßige Vielecke . . . . . . . . . . . . 81
4.1.3. Archimedisches Verfahren mit Tabellenkalkulation (eine Aufgabe) . 86
4.2. Kreissektoren - Bogenlänge und Sektorfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.3. Kreisteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.3.1. Kreisteile - einfache Figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2

Inhaltsverzeichnis
4.3.2. Kreisteile - nur Sektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.3.3. Kreisteile - auch Segmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.3.4. Verschiedenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5. Zylinder, Kegel, Kugel 100
5.1. Zylinder - Volumen und Oberfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.2. Kegel - Volumen und Oberfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.3. Kegelstumpf - Volumen und Oberfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.4. Zylinder und Kegel - Volumen und Oberfläche . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.5. Kugel - Volumen und Oberfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.6. Zylinder, Kegel und Kugel - Volumen und Oberfläche . . . . . . . . . . . . 111
5.7. Umfüllaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.8. Rotationskörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.8.1. Rotationskörper ohne Kegelstümpfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.8.2. Rotationskörper mit Kegelstümpfen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.8.3. Einbeschreibungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.8.4. Anwendungen in der Physik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.8.5. Das Prinzip von Cavalieri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6. Trigonometrie 124
6.1. Winkel im Bogenmaß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.2. Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.2.1. Exakte Berechnung für bestimmte Winkel . . . . . . . . . . . . . . 125
6.2.2. Aufgaben zur Definition der Winkelfunktionen im rechtwinkligen
Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.2.3. Komplexere geometrische Situationen . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.2.4. Vermessungsaufgaben ohne Sinus- und Kosinussatz . . . . . . . . . 128
6.2.5. Anwendungen auf räumliche Situationen . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.3. Übergang zum allgemeinen Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.3.1. Berechnungen am allgemeinen Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.3.2. Vermessungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.4. Rechnen mit Winkelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.4.1. Zusammenhang zwischen den trigonometrischen Funktionen . . . . 139
6.4.2. Reduktionsformeln für Winkelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.4.3. Gleichungen, die exakt lösbar sind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.4.4. Gleichungen zur Verwendung des Taschenrechners . . . . . . . . . . 148
6.5. Die Graphen der Winkelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.6. Die allgemeine Sinusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.7. Additionstheoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.8. Vermischtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
3

Inhaltsverzeichnis
III. Addita 161
7. Zylinder- und Kegelschnitte 162
7.1. Kegelschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
8. Informatik 163
4

Teil I.
Algebra
5

1. Rechnen mit Potenzen
1.1. Numerisches Rechnen
1. Pluto, der äußerste Planet unseres Sonnensystems, bewegt sich mit einer mittleren
Geschwindigkeit von 4,75 km/s in 248 Jahren einmal um die Sonne. Wie groß ist der
Durchmesser seiner Bahn und damit der Durchmesser unseres Sonnensystems?
(DieBahnvonPlutokannalsKreisangesehen werden; einJahrsoll365Tagehaben.)
Lösung: 1,2·10 10 km
2. 1993 erreichte das Geldvermögen privater Haushalte in Deutschland 3925 Milliarden
€.Wieviel €hatteimDurchschnitt jeder der80,2MillionenEinwohner aufderhohen
Kante?
Wie ändert sich dieses Ergebnis, wenn man davon ausgeht, dass in Deutschland 7,25
Mio. Menschen keine Ersparnisse besitzen?
Lösung: 48940€ bzw. 53804€
3. 1993 waren in Deutschland 32,7 Millionen Autos zugelassen. Reihe in Gedanken die
durchschnittlich 4,2m langen Autos aneinander und vergleiche die Länge dieser Autokette
mit der Länge des Erdumfangs (40000km).
Lösung: 3,4·UErde
4. 1993 produzierten die 80,2 Millionen Einwohner Deutschlands 3,3·10 11 kg Müll.
(a) Wieviel Müll erzeugt jeder einzelne Einwohner täglich?
(b) Was kostet der Müll jährlich, wenn die Beseitigung einer Tonne 400 € kostet?
Lösung: 11,3kg, 132Mrd. €
5. Falte(inGedanken!) einBlattPapier derDicke0,1mm50mal.WiedickwäredasentstandeneGebilde?VergleichendasErgebnismitderLängedesErdumfangs(40000km)!
Lösung: 2815·UErde
6

1.1 Numerisches Rechnen
6. Schreibe in der Form a·10 m , so dass a eine Ziffer (= 0) vor dem Komma hat!
(a) 0,0436·10 7
(b) (0,53·10 6 )·(1,5 : 10 −3 )
Lösung: (a) 4,36·10 5 ; (b) 7,95·10 8
7. Gib jeweils in Gleitkommadarstellung (in der Form a·10 n mit n ∈ N und 1 ≦ a < 10)
an:
(a) 1023,40
(b) 35,36·10 2 km 2 in der Einheit m 2
Lösung: 1,02340·10 3 , 3,536·10 9 m 2
8. Die Erde ist 150 Millionen Kilometer von der Sonne entfernt. Berechne, wie lange
das Licht von der Sonne zur Erde benötigt und gib das Ergebnis in Gleitkommadarstellung
(d.h. in der Form a·10 n mit n ∈ N und 1 ≦ a < 10) mit drei gültigen Ziffern
in Sekunden an (Lichtgeschwindigkeit c = 299792458 m
s ).
Lösung: 5,00·10 2 s
9. Das Universum hat ein Volumen wie ein Würfel mit einer Kantenlänge a von zwanzig
8 m
Milliarden Lichtjahren (Lichtgeschwindigkeit: c = 3·10 ). Ein Proton beansprucht
s
ein Volumen wie ein Würfel mit der Kantenlänge b = 10−15m. Wie viele Protonen
passen in das Universum?
Lösung: a = 1,89·10 26 m; VUniversum = 6,77·10 78 m 3
VProton = 10 −45 m 3 ; N = VUniversum
VProton
= 6,77·10 123
10. Es gibt x = 26 1000 verschiedene Texte mit einer Länge von 1000 Buchstaben. Nach
einer geeigneten Umformung ist x mit Hilfe des Taschenrechners in der Gleitkommadarstellung
(a · 10 n mit 1 ≦ a < 10 und n ∈ N) mit drei geltenden Ziffern hinzuschreiben.
Lösung: x = (26 10 ) 100 = (1,41167·10 14 ) 100 = 1,41167 100 ·10 1400 = 9,40·10 1414
11. Die Staatsverschuldung Deutschlands beträgt (1995) ungefähr zwei Billionen Mark.
(a) Welche Verschuldung trifft bei einer Einwohnerzahl von 80 Millionen auf einen
Haushalt mit vier Personen?
7

1.1 Numerisches Rechnen
(b) Ein Zehnmarkschein ist 13cm lang, 6,5cm breit und 0,12mm dick. Wie lang ist
ein Güterzug mit einem Laderaum von 3m Breite und 2m Höhe, der mit den
gesamten Staatsschulden in Zehnmarkscheinen beladen ist?
(c) WelcheKantenlängehateinwürfelförmigerGeldspeicher,derdiegesamtenStaatsschulden
in Markstücken aufnimmt? Wir gehen davon aus, dass ein Markstück
bei der Lagerung 1cm 3 Rauminhalt beansprucht.
WielangistderGüterzugausTeilaufgabe(b),wennermitMarkstücken beladen
ist?
(d) Der Finanzminister soll die Staatsschulden zurückzahlen. Mit einem Geldkoffer
(Innenmaße: 39cmx26cmx8cm) trägt er Tausendmarkscheine (doppeltes Volumen
wie Zehnmarkscheine) vom Keller der Gelddruckerei in davor wartende
Geldtransporter. Für einen Gang braucht er mit Ein- und Auspacken zehn Minuten.
Wie lange braucht der Finanzminister für das Zurückzahlen der Schuld,
wenn er wöchentlich vierzig Stunden und jährlich vierzig Wochen daran arbeitet?
Wieviel Geld hat in dem Koffer Platz?
Lösung: Diese Aufgabe dient zur Veranschaulichung großer Zahlen.
(a) 100000DM (b) 33,8km (c) 126m; 333km
(d) ungefähr 52 Jahre
12. Gegeben ist der Term:
(0,0000001065) 4 · 0,0001900
3560000
(a) Stelle den Term mit Zehnerpotenzen dar (jeweils eine Stelle vor dem Komma)!
(b) Berechne den Term mit dem Taschenrechner (Ergebnis mit zwei Stellen vor dem
Komma und vier gültigen Ziffern)!
Lösung: (a): 1,0654 ·1,9
·10
3,56
−26
(b): 68,66·10 −28
13. Berechne mit dem Taschenrechner (5 gültige Ziffern):
Lösung: 5,1473
5
2,47 4 −0,1662 −2 ·0,47 3
8
0,21 3
.

1.2 Rechengesetze - Herleitung und Illustration
1.2. Rechengesetze - Herleitung und Illustration
1. M sei die Menge aller Potenzen, die jede der drei Ziffern 4, 3 und 2 genau einmal
und sonst keine Ziffer enthalten. Die Potenzen dürfen Klammern, aber keine Rechenzeichen
enthalten. Die beiden Potenzen (3 2 ) 4 und 32 4 sind z.B. Elemente von
M.
(a) Wie viele verschiedene Reihenfolgen der drei Ziffern gibt es? Wie viele verschieden
aussehende Potenzen mit diesen drei Ziffern sind also möglich?
(b) Suchen Sie die beiden größten und das kleinste Element von M, wobei alle
Versuche genau zu protokollieren und Strategien der Suche kurz zu erläutern
sind!
; ab c und a bc
Lösung: 6 Reihenfolgen, 4 Möglichkeiten: abc ; abc (ab und bc sind zweiziffrige Zahlen, keine Produkte!)
=⇒ 4·6 = 24 verschieden aussehende Möglichkeiten.
234 = 281 ≈ 2,42·10 24 ; 342 ≈ 1,09·10 20 ; 342 = 1156
2. Jemand glaubt, dass 6√ a+ 6√ b = 6√ a+b ist (a,b ∈ R). Überzeugen Sie ihn durch
ein einfaches Zahlenbeispiel, dass er nicht recht hat!
Nennen Sie eine Rechenregel, die so ähnlich aussieht und richtig ist!
Lösung: Wähle etwa a = 1, b = 64; Ersetze ” + “ durch ” · “!
3. Die Gleichung 3 2 +4 2 = 7 2 ist anscheinend falsch.
(a) Gibt es Zahlen a und b, für die die entsprechend gebildetete Gleichung a 2 +b 2 =
(a+b) 2 richtig ist? Begründen Sie Ihre Vermutung.
(b) Wann gilt die Gleichung a 3 +b 3 = (a+b) 3
Lösung: Die binomische Formel zeigt im ersten Fall, dass a = 0 oder b = 0 sein muss. Im zweiten
Fall genügt a = −b.
4. Unter welchen Bedingungen für m ∈ N, n ∈ N und x ∈ R gilt:
Lösung: (a) für x ≧ 0
(a)
m√ x n = x n
m (b)
m√ x n = |x| n
m
(b) für n gerade und x ∈ R bzw. für n ungerade und x ≧ 0
9

Lösung:
Lösung:
1.3 Termumformungen
5. Im Unterricht wurde das 1. Monotoniegesetz für Potenzen besprochen und bewiesen.
Hiernach gilt für n ∈ N und beliebige Zahlen x1,x2 ∈ R + :
x1 < x2 =⇒ x n 1 < x n 2
Führen Sie den Beweis nochmals im Detail durch!
6. Im Unterricht wurde das 2. Monotoniegesetz für Potenzen besprochen und bewiesen.
Hiernach gilt für x ∈ R + und beliebige natürliche Zahlen n1,n2 ∈ N:
n1 n2 x < x wenn 1 < x < ∞
n1 < n2 =⇒
xn1 n2 > x wenn 0 < x < 1
Führen Sie den Beweis nochmals im Detail durch!
7. Ordnen Sie der Größe nach und begründen Sie:
( 1
2 )403 , ( 1
4 )203 , ( 1
8 )120 , 16 102 , (− 1
4 )201 , 4 −210 , (−2) 360
Lösung: (− 1
4 )201 < 4 −210 < ( 1
4 )203 < ( 1
2 )403 < ( 1
8 )120 < (−2) 360 < 16 102
8. Ordnen Sie ohne Benutzung des Taschenrechners folgende Potenzen der Größe nach,
mit kurzer Begründung:
0,25 2,8 ; 5 −3,1 ; 4 −3,1 ; 5 −4,1
Lösung: 5 −4,1 < 5 −3,1 < 4 −3,1 < 0,25 2,8
1.3. Termumformungen
1.3.1. Nur Multiplikation und Division
Exponenten ganzzahlig
1. Vereinfachen Sie: 2 4
a (bc)
(ab) 4 c 3
5 0 2
a b c
·
a 7 c 6
Lösung: a −8 c −11
10
3

1.3 Termumformungen
2. VereinfachenSiemöglichstweitgehendundschreibenSiedasEndergebnisohneBruchstrich:
(3u4v−1 ) 2
(9u−2v−3 ) −1 : (2u−6v3 ) −3
(2u5v−2 ) 4
Lösung: 2 7 ·3 4 ·u 8 ·v −4
3. Vereinfachen und schreiben Sie das Ergebnis ohne Bruchstrich:
Lösung: 2,4a 5 b −8 c 5
4. Vereinfachen Sie: 2a −1 b 2
Lösung: − 8c
21ab 2
3a 5 c −3
0,8a 6 b −5 c 3
3 −3 a −3 b 4 : 9b−1
a −4 c 2
3
5. Vereinfachen Sie soweit wie möglich:
Lösung: −(3a−7b) 4n+2
6. Vereinfachen Sie:
Lösung: r m+4 a −1
7. Vereinfachen Sie:
− 3
3 ·
4
Lösung: −y 19m x −12n+7
6 −4
3a b
:
7a −2 c 4
−2
0
−c
·
7a
(3a−7b) 2n+1 ·(7b−3a) 2n+1
−y 2m+4
x n−2
r 3m+2
r2m−2
m+3 :
a a m+2
4
:
11
y m−8
x n+2
−2
−1
−2n+1
4x
·
3y −3m
−3

Lösung:
1.3 Termumformungen
8. Vereinfachen Sie so weit wie möglich (a,b ∈ Z):
x 5
y 5 ·z 5
x2a+5 (−y3 ) 2b+5 ·[(−z) 4 :
] 3b+3
x 2a
(yz) 6b+10 ·[(−z) 3 ] 2b−1
9. Vereinfachen Sie folgenden Term so weit wie möglich:
(−1,5) −6
· (2,5a) n b
·
(−1) n−1 ·(x+y) n+1
6
: a− 1
2 a
−n · (−y −x)n+1 ·b−1 15n−1 ·3−n −6 Lösung: 10 6
10. Vereinfachen Sie soweit wie möglich:
2 −2 6a b
Lösung: 2 5 ·3·a 6 c n−3
c n+1 d 2n
3
:
n 2(cd)
(ab) −1 · cnd2n 3ab−2 −2 11. Vereinfachen Sie soweit wie möglich und schreiben Sie ohne Nenner:
− 5akcm 3b−n
−4
1
·
(9c2m
−n 2
b
:
) 2 25
Lösung: a −4k b −2n c −8m
12. Vereinfachen Sie möglichst weitgehend und schreiben Sie das Ergebnis ohne Verwendung
von Klammern und Brüchen:
3n −7 r s
5s−4 −2 1−n r
:
s6 2 Lösung: 25r −4n−2 s 18
12

13. Geben Sie ohne Bruchstrich an:
Lösung: −1,5a m+n b −m−n cd 7
1.3 Termumformungen
−5a m b −n d 3
8c −2 : 10a−nb m d −4
24c −1
14. Schreiben Sie möglichst einfach mit positiven Exponenten:
(−3)(−a) −2 4−2m 0 c d
16b−3d−2 −2 −3 −9(−c)
·
8a−5b9
3 5 −7 a b
:
c5−m Lösung: 81c 3
2ab 5 d 4
15. Vereinfachen Sie folgenden Term so weit wie möglich! Im Ergebnis sollen nur positive
Exponenten auftreten!
Lösung: −
1
(50 3 ·y) 10
5x0 ·100
0,02−2 ·(−y) l−3
4 :
y 5−2l
−(−yx 2 ) 0
2 −5
16. Vereinfachen Sie: (−1) 2n+1 −(−1) 2n 5 ; n ∈ N
Lösung: −32
Exponenten rational oder reell
Lösung: 1
b
1. Vereinfachen Sie (b ∈ R + ): (b 2 ) −0,27 : b 0,46
2. Vereinfachen Sie:
4 √ a √ 2 √ 2
13
4
·(−0,02 −30 ) −1 ·(−5) −20

Lösung: √ a
1.3 Termumformungen
3. Berechnen Sie folgenden Term und schreiben Sie den Zahlenwert im Ergebnis als
Dezimalzahl:
0,000000512 ·x 3
8 · u 9
4
9
4
Lösung: 0,0016·u·x 1
6
Lösung:
4. Vereinfachen Sie so weit wie möglich und schreiben Sie das Ergebnis unter Verwendung
des Wurzelzeichens:
6
6· 4
6· 3√ 6
9√ 36
5. Vereinfachen Sie folgenden Term:
Lösung: a 1
8b 1
2c−1 4
a −7
8 ·b
c −1
2
: b12
·c 3
4
a
6. Vereinfachen Sie so weit wie möglich und schreiben Sie das Ergebnis ohne negative
Exponenten:
−3 2 4x y
z5 2
−
3 −2 16y
:
x−6z4 1
6
Lösung: xz4
4y
7. Vereinfachen Sie so weit wie möglich und schreiben Sie das Ergebnis ohne Nenner
(x,y ∈ R + ):
1
27 x3
8y−3 4
81x −5
6y
14
2
3
− 3
4

Lösung: 3x−3 8y 1
4
1.3 Termumformungen
8. Vereinfachen Sie so weit wie möglich und schreiben Sie das Ergebnis ohne Nenner
(a,b ∈ R + ):
16a−5 3
4
6b
Lösung: 2a−3 8b 1
4
Lösung:
Lösung:
1
8 a3
8b−3 4
− 2
3
9. Schreiben Sie mit nur einem Wurzelzeichen und rationalem Nenner (a > 0):
7√ a 3
a
a :
11
3
7 √a
√ a· 7 √ a 5
10. Vereinfachen Sie so weit wie möglich und stellen Sie das Ergebnis mit rationalem
Nenner dar:
6√ a· 3 √ b 2
b 2
11. Vereinfachen Sie soweit wie möglich:
Lösung: a 1
2b 1
2
(a 4 b −5 ) 1
⎛
⎜
⎝
6 · (b√ b) 1
2
a −1
8 5√ b 4
a 3
4
4√ a 2 b 5
2
a −5 b 1
5
15
⎞
⎟
⎠
1
3

1.3 Termumformungen
12. Vereinfachen Sie so weit wie möglich und schreiben Sie das Ergebnis ohne Nenner
(a,b,c ∈ R + ):
a−3 2b 4
3
−2 3
b 1
3c 2
c
3
:
5
4a−3 5
3
4
b 1
4a 4
1
2
5
Lösung: a 39
10 ·b−53 24 ·c−11 4
Lösung:
13. Schreiben Sie das Ergebnis mit nur einem Wurzelzeichen:
3 a2 b ·
a3 b ·
4 b3 a5 4√ a 3 ·b −1
14. Schreiben Sie das Ergebnis mit nur einem Wurzelzeichen:
5
c4 · 3√ c2
· c· 4√ c3 24
:
√ c41 Lösung: 10 √ c
15. Vereinfachen Sieso weit wiemöglich undgeben SiedasErgebnis nennerfrei an(u,x ∈
R + ):
m
u
n x
m
m
−
−2 n
n 1
· ·
x u ux
Lösung: u 4m
n
16. Vereinfachen Sie so weit wie möglich und schreiben Sie das Ergebnis unter Verwendung
des Wurzelzeichens:
x2y2 ab2 m+1 2m+1 a b
·
x2my2m+1 1
m
Lösung: m aby −1
16

1.3 Termumformungen
17. Vereinfachen Sie folgenden Term so weit wie möglich! Radizieren Sie soweit wie
möglich!
4
a 6√ b2
3 √8 ·a · a11 ·b−1 · b2 · 4√ a2 Lösung: ab 24√ b
18. Vereinfachen Sie so weit wie möglich (x,y ∈ R + ):
64x10y12
x 10
2 y 20
− 3
5
3
125x 5 y 21
3 6 4
· 5 xy 1
3
Lösung: −117x 2 y 2
19. Vereinfachen Sie so weit wie möglich (a,b ∈ R + ):
1
6 2 3 4 2
3 a b · 27a b 1
√
81a8b4 3 −
a 10
3 b 10
3
5
6
Lösung: 18a 2 b
1.3.2. Alle Grundrechnungsarten treten auf
Alle Grundrechnungsarten - Faktorzerlegung
1. Zerlegen Sie soweit wie möglich in Faktoren:
Lösung: 3v 3 (6u−v)(6u+v)
2. Faktorisieren Sie vollständig:
Lösung: 4z k−2 ·(2z 2 −1) 2
108u 2 v 3 −3v 5
16z k+2 −16z k +4z k−2
17

1.3 Termumformungen
3. Berechnen Sie und schreiben Sie als Potenz:
Lösung: (10x 3 ) 2
[−9(−x 2 ) 3 +(−4x 3 ) 2 ]·
2 1
0,5
4. Vereinfachen Sie so weit wie möglich und geben Sie das Ergebnis nennerfrei an (s,t ∈
R + ):
s 1
3 −t 1
3 · s 2
3 +(st) 1
3 +t 2
3
Lösung: s−t
5. Zerlegen Sie Zähler und Nenner vollständig in Faktoren und kürzen Sie:
Lösung: − 3an +1
a
9a 2n+1 − a
a 2 − 3a n+2
6. Vereinfachen Sie soweit wie möglich. Die Ergebnisse sollen vollständig gekürzt und
ohne Nenner geschrieben werden.
Lösung: −a(1+a m ) −1
a 2m+1 −a m+1
a m −a 3m
7. Vereinfachen und kürzen Sie soweit wie möglich:
Lösung: b m −a n
b m +a n
b 2m −a 2n
b 2m +2a n b m +a 2n
18

8. Vereinfachen Sie:
Lösung: −(a+3) 2m+1
1.3 Termumformungen
(a 2 +6a+9) 2m+1
(−a−3) 2m+1 ; m ∈ N
9. Vereinfachen Sie folgenden Term so weit wie möglich:
Lösung: 3x p +4
3x p ; Binomische Formeln!
−4
Lösung:
81x 9p −256x 5p
(16x 4p −24x 5p +9x 6p )·(9x 3p +16x p )
10. Zerlegen Sie Zähler und Nenner in Faktoren und kürzen Sie soweit wie möglich:
x m −y s
x m+3 +x 3 y s
11. Vereinfachen Sie so weit wie möglich:
Lösung: u13
−v 1
3
u 1
3 +v 1
3
Lösung:
12. Vereinfachen Sie so weit wie möglich:
a 1
3 −b 12
3
3
x 2m+5 −2x m+5 y s +x 5 y 2s
a 1
3 −b 1
3
x 2m+8 −y 2s x 8
u−2u 2
3 ·v 1
3 +u 1
3 ·v 2
3
u−u 1
3 ·v 2
3
·
a 2
3 +(ab) 1
3 +b 21
3
3
a − b
19

13. Vereinfachen Sie soweit wie möglich:
Lösung: a1 5 −1
a 1
5 +1
14. Vereinfachen Sie soweit wie möglich:
a Lösung: 2 (x13
+y 1
3)
15. Vereinfachen Sie so weit wie möglich:
Lösung: √ √3 3
b· a+ √
b
a 2
3 −b 2
3
3√ a− 3 √ b ·
16. Vereinfachen Sie soweit wie möglich:
Lösung: a 1
2(x4 −y3 )
1.3 Termumformungen
5√
a2 5
− √ 32a+1
(a−a 3
5) : 5√ ; a ∈ R+
a3 a 3
2x 2
3 −y 2
3a 3
2 +x 2
3a 3
2 −a 3
2y 2
3
4a 1
2x 1
3 −4y 1
3a 1
2
2,7·10 4 − 1
3 ·
6
6√ 5
30
·
10 −2
3
b 1
3 ·9 1
3
a 5
2 ·x8 √2·a 5
− 4 ·x2 ·y 3
2 2 + a5 ·y12 (a −1 ) −2 ·(x 4 +(−y) 3 )
17. Vereinfachen Sie und beachten Sie Fallunterscheidungen:
√ x 4 − y 6
x 4 −y 6
Lösung: 1
x 2 +y 3 für y ≧ 0 bzw 1
x 2 −y 3 für y ≦ 0 (und nicht x 2 = ±y 3 ).
20
− 3
2

1.3 Termumformungen
18. Vereinfachen Sie und beachten Sie Fallunterscheidungen:
√ x 4 + y 6
x 4 −y 6
Lösung: 1
x 2 −y 3 für y ≧ 0 bzw 1
x 2 +y 3 für y ≦ 0 (und nicht x 2 = ±y 3 ).
Lösung:
19. Kürzen Sie folgenden Bruchterm so weit wie möglich:
a 2n −1
a 4 ·(a 2n +1)
(−a 4 ) 2k+1 ·(a 2m−2n −2·a 2m +a 2m+2n )
(a 2m−2n −a 2m+2n )·[(−a) k+1 ] 8
20. Man stelle das Ergebnis als eine Wurzel mit möglichst einfachem Radikanden dar!
Lösung: 2n b 2 ·(a+b)
a 3
4 ·b·(b 2 −a2 ) 1
1
n
2
(b−a) 3
2
Alle Grundrechnungsarten - Bruchrechnung
Lösung:
·
(b−a) 1−3n ·a 3
1
−2n 2
1. Bringen Sie auf den kleinsten gemeinsamen Nenner und vereinfachen Sie:
y n−2
1−y 2
yn−2 yn−1 yn
− +
1−y 1+y y2 −1
2. Bringen Sie auf einen gemeinsamen Nenner und vereinfachen Sie:
Lösung: 2·x 2−n
1
x n−2 − 2xn+2 +5x 3
x 2n + 3xn−1 +5
x 2n−3
21

Lösung: 17
72
Lösung: 2x
3. Vereinfachen Sie soweit wie möglich:
4. Vereinfachen Sie soweit wie möglich:
1.3 Termumformungen
6 2k−1 +1
6 2k − 1−62k−3
2·6 2k−1 + 62 +36 k
3·6 2k+1
2−x k−1
1 4−3xk
− − k−2 k+4
x x x k−1 − 2x6 −4x 5 −1
x k+4
5. Fassen Sie zusammen und kürzen Sie so weit wie möglich:
Lösung: b −5n+4 −b n−2
Lösung: b n
Lösung:
6. Vereinfachen Sie soweit wie möglich:
b 3−3n −1 1+b−4n+4
2−n +
b b n − bn−1 +1
b 2n−1
2−b
b−n + b2 +1 b+b2
−
b−n+1 b−n+2 7. Fassen Sie zu einem Bruchterm zusammen und vereinfachen Sie so weit wie möglich!
1
2x n+2
2x n+1 +3x 6 +2x 5 +1
2x n+2
8. Vereinfachen Sie soweit wie möglich:
a n
(a−b)
− 2xn−4 +3
3xn−3 − 2xn−5 +9
6xn−4 (a−b)
(a−b) n
2an+1 2an+2
− +
n−2 n−1
22

Lösung: an (a 2 +b 2 )
(a−b) n
1.3 Termumformungen
9. Vereinfachen Sie soweit wie möglich. Die Ergebnisse sollen vollständig gekürzt sein
und ohne Nenner geschrieben werden.
Lösung: −b −2 (a+b)(a−b) −2n−1
b −2
(a−b) 2n + 2−2a2 b−2 +
(b−a) 2n+2
2b −1
(a−b) 2n+1
10. Vereinfachen Sie so weit wie möglich und geben Sie das Ergebnis ohne Minuszeichen
in den Exponenten an:
Lösung: a2q +a 2p
a 2q −a 2p
Lösung:
a −p −a −q
a −p +a −q − a−2p +a −2q
a −2p −a −2q + a−p +a −q
a −p −a −q
11. Fassen Sie zu einem Bruchterm zusammen und stellen Sie das Ergebnis möglichst
einfach dar:
xa−b−1 xa−1 ·(xa −xb ) −
1
xa+b 1
−
+x2b x2a −x2b 1
x 2a −x 2b
12. Vereinfachen Sie so weit wie möglich:
Lösung: 0
Sonstige Aufgaben
y 4
b
2
5
·
y 3
b 2
26
− 2
5
1. Vereinfachen Sie mit Hilfe einer Fallunterscheidung:
−
y 2
2 5
·b 6
7
(y 2 ·b) −1
5 ·b −1
7
(x−2a) n +(2x−4a) n −(2a−x) n
Lösung: 2 n (x−2a) n für n gerade; (2 n +2)(x−2a) n für n ungerade
23

1.4. Potenzgleichungen
1.4.1. Potenzgleichungen
1.4 Potenzgleichungen
Einfache Gleichungen - Lösen durch Potenzieren oder Basisvergleich
1. Bestimmen Sie die Lösungsmenge (keine Dezimalbrüche): (1−3x) 4 = 625
Lösung: L = {−4 3 ; 2}
2. Bestimmen Sie die Lösungsmenge:
Lösung: L = {6}
√ x 3 √ x 6√ x = 6
3. Bestimmen Sie die Lösungsmenge:
√ x 3 √ x 6√ x = −6
Lösung: L = {}
4. Bestimmen Sie die Lösungsmenge (keine Dezimalbrüche): 2,4x 1
5 −3 = 0,4x 1
5
Lösung: L = { 243
32 }
5. Bestimmen Sie die Lösungsmenge über der Grundmenge R:
Lösung: L = {2}
6. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung:
Lösung: L = {9}
4 √ x− 6√ 64x 3 = 6
24
5√ x+2 = (8x) 1
10

1.4 Potenzgleichungen
7. Bestimmen Sie die Lösungsmenge:
√ x 12 +126 = (2· 5 √ x 5 ) 6
Lösung: L = { 6√ 2}
8. Bestimmen Sie die Lösungsmenge:
Lösung: L = {60}
9. Bestimmen Sie die Lösungsmenge:
Lösung: L = {7}
3(x+4) 1
3 = 4(x−33) 1
3
34−7
1
3 4x−1
x−6
= 13
10. Formen Sie die linke Gleichungsseite in eine Potenz um, die den gleichen Exponenten
hat wie die rechte Seite und berechnen Sie dann die Lösungsmenge! Wenn nötig, sind
Fallunterscheidungen vorzunehmen!
(a) x 24 = a 6
(b) x 24 = a 8
Lösung: (a) |x 4 | = |a| =⇒ x 4 = |a| =⇒ L = {±|a| 1
4}
(c) x 12 = a 3
(b) |x 3 | = |a| =⇒ x 3 = ±|a| =⇒ L = {±|a| 1
3}
(c) (x 4 ) 3 = a 3 =⇒ x 4 1
{±a4} für a ≧ 0
= a =⇒ L =
{ } für a < 0
11. Berechnen Sie die Lösungsmenge, gegebenenfalls mit Fallunterscheidung:
(a) x 2n = −a ; n ∈ N (b) x −7 = a ; a < 0 (c) x −n = a ; a > 0 ; n ∈ N
{ } für a > 0 , da 2n gerade
Lösung: (a) L =
± 2n
|a| für a ≦ 0
(b) L = − 7
1
|a|
=
− 1
7√
−a
25

⎧
⎪⎨ ±
(c) L =
⎪⎩
n
1
a
n 1
a
1.4 Potenzgleichungen
für n gerade
für n ungerade
Lösen durch mehrfaches Potenzieren
1. Bestimmen Sie die Lösung der Gleichung (G = R):
Lösung: x = 8
(28+x 2
3) 3
5 = 8
2. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung:
(x 1
2 −2) 1
4 = (1−x 1
2) 1
4
Lösung: Potenzieren führt auf x = 9
4 . Die rechte Seite der Gleichung ist für diesen Wert nicht
definiert.
3. Bestimmen Sie die Lösungsmenge:
x −3
1
−2 2 −4
Lösung: L = { 1
4 }
= 1
2
4. Bestimmen Sie die Lösungsmenge:
x −1
3
4
2 +79 −27 = 0
Lösung: L = { 1
4 }
5. Bestimmen Sie die Lösungsmenge:
6x 3
2
−3 4 +181
26
= 1
49

Lösung: L = {81}
6. Bestimmen Sie die Lösungsmenge:
Lösung: L = {− 1 1
27 ; 27 }
1.4 Potenzgleichungen
(15· 3√ x −2 +121) 3
4 = 64
7. Bestimmen Sie Definitions- und Lösungsmenge und machen Sie die Probe:
Lösung: D = R + 0
; L = { 81
625 }
(125x 3
4 +316) −2
3 = 1
49
8. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichung:
Lösung: L = {256}
[(81x) 1
4 −3] −5
2 = 1
243
9. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung:
Lösung: x = ±3
19+2 3√ 7x2 1
−3 +1
= 1
3
10. Bestimmen Sie Definitions- und Lösungsmenge der folgenden Gleichung:
Lösung: D = [81;∞[; L = {625}
( √ x−9) 1
4 =
27
x 1
4 −1

1.4 Potenzgleichungen
11. Bestimmen Sie Definitions- und Lösungsmenge der folgenden Gleichung:
Lösung: D = R + 0 ; L = {729}
( 3√ x−8) 3 = ( 6√ x−4) 6
12. Berechnen Sie die Lösungsmenge folgender Gleichung in D = [7;∞[!
Lösung: L = {27}
Ausklammern und Faktorisieren
x 4
1
2
3 +27
= 1
3 ·
14x 4
1
2
3 −162
1. Lösen Sie folgende Gleichung durch Faktorisieren:
Lösung: L = {0;4}
x 7
2 −16x 3
2 = 0
2. Lösen Sie folgende Gleichung durch Faktorisieren:
Lösung: L = {0;− 4√ 8; 4√ 8}
Lösen durch kombinierte Verfahren
x 11 −16x 7 +64x 3 = 0
1. Bestimmen Sie rechnerisch die Lösungsmenge der folgenden Gleichung in G = R:
Lösung: L = {1; 1
16 }
8·x 3
2 −9·x 3
4 +1 = 0
28

2. Lösen Sie folgende Gleichung:
Lösung: L =
27
64
1.4 Potenzgleichungen
16·x 4
3 +23·x 2
3 −18 = 0
3. Bestimmen Sie die Lösungsmenge über der Grundmenge R: x 2
3 = 2x 1
3 +3
Lösung: L = {9}
4. Bestimmen Sie die Lösungsmenge über der Grundmenge R: x 1,5 = 7x 0,75 −6
Lösung: L = {1; 6 4
3 ≈ 10,9027}
5. Bestimmen Sie rechnerisch die Lösungsmenge der folgenden Gleichung in G = R:
Lösung: L = {8;216}
3x 4
3 −120x 2
3 +432 = 0
6. Bestimmen Sie rechnerisch die Lösungsmenge der folgenden Gleichung in G = R:
Lösung: L = {1; 1
243 }
54x 6
5 −56x 3
5 +2 = 0
7. Bestimmen Sie rechnerisch die Lösungsmenge der folgenden Gleichung in G = R:
Lösung: L = {16}
8. Lösen Sie folgende Gleichung:
3x 3
2 +351x 3
4 −3000 = 0
x 1
4 −3·x 1
6 +2 = 0
29

Lösung: L = {1;(1+ √ 3) 12 }
1.4 Potenzgleichungen
9. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung:
Lösung: L = {53}
10. Lösen Sie folgende Gleichung:
Lösung: L = {1;2 18 ;0,5 18 }
2− 3√ x+11+ 6√ x+11 = 0
2· 6√ x−7· 9√ x+7· 18√ x−2 = 0
11. Lösen Sie folgende Potenzgleichung über G = R:
Lösung: L = {27; 64
√
9 3}
12. Lösen Sie folgende Gleichung:
Lösung: L = {81}
13. Lösen Sie folgende Gleichung:
Lösung: L = {1; 27
8 }
14. Lösen Sie folgende Gleichung:
x 1
1
2
3 −1
Lösung: L = {125}
3·(x 2
3 −2) 2 −31·(x 2
3 −2) = −70
x 11
12 +2·x 1
4 −3·x 2
3 −6 = 0
4x−16·x 2
3 +21·x 1
3 −9 = 0
30
=
x 1
1
3
3 +3

Gleichungen ohne gängige Schemata
1.4 Potenzgleichungen
1. Bestimmen Sie die maximale Definitionsmenge und berechnen Sie dann die Lösungsmenge:
(−x) 52
: (−x) 52 √
= −x7 Lösung: D = R − = {x|x < 0};
−x 15 = |x 3 |· √ −x ∧ x < 0 =⇒ x 12 = √ −x =⇒ L = {−1}
2. Bestimmen Sie die maximale Definitionsmenge und berechnen Sie dann die Lösungsmenge:
(−x) 32
· (−x) 3−2 √
= x6 Lösung: D = R\{0}; −x 3 = |x 3 | =⇒ L = R − = {x|x < 0}
Lösung:
3. Was ist falsch in folgender Gleichungskette:
√ −64 = (−4) 3 = (−4) 3
2 = (−4) 6
4 = 4 (−4) 6 = 4√ 2 12 = 8
4
6
(−4) 6 = |−4| 4!!
(−4) 6
4 und die links davon stehenden Terme sind nicht definiert.
4. Lösen Sie folgende Gleichung zunächst graphisch und bestätigen Sie Ihr Ergebnis
dann durch Einsetzen:
3√ x = 1
2 x−2
Lösung: L = {8}
5. Lösen Sie folgende Gleichung zunächst graphisch und bestätigen Sie Ihr Ergebnis
dann durch Einsetzen:
x −2 = 7 3
x−
8 2
Lösung: L = {2}
6. Lösen Sie folgende Gleichung zunächst graphisch und bestätigen Sie Ihr Ergebnis
dann durch Einsetzen:
x 2
3 = (x−5) 2 −5
31

Lösung: L = {8}
Lösung graphisch oder numerisch
1.5. Polynomdivision
1.5.1. Polynomdivision
Linearfaktoren und Nullstellen
1.5 Polynomdivision
1. Führen Sie eine Polynomdivision durch:
Lösung: 5x 2 +3x+7
2. Führen Sie eine Polynomdivision durch:
Lösung: 2x 5 +6x 3 −2x 2 +x−3
(10x 3 −24x 2 −4x−42) : (2x−6)
(6x 6 +8x 5 +18x 4 +18x 3 −5x 2 −5x−12) : (3x+4)
3. Führen Sie eine Polynomdivision durch:
Lösung: 7x 2 +6x−2+ 2
5x−3
4. Führen Sie eine Polynomdivision durch:
Lösung: 5x−9− 5
8x+5
(35x 3 +9x 2 −28x+8) : (5x−3)
(40x 2 −47x−50) : (8x+5)
5. Zeigen Sie, dass x0 = −2 eine Nullstelle des Polynoms
p(x) = x 5 +2x 4 −34x 3 −68x 2 +225x+450
ist.
Zerlegen Sie dann das Polynom in Linearfaktoren und geben Sie alle Nullstellen an.
32

1.5 Polynomdivision
Lösung: p(x) = (x+2)(x−3)(x+3)(x−5)(x+5);
Nullstellen bei x = −2;−3;3;−5;5
6. Ein Polynom läßt sich folgendermaßen zerlegen:
2x 4 − 49
4 x3 + 9
4 x2 − 13
2
x+12 = (1
2 x−3)·(...)
Bestimmen Sie den fehlenden Faktor. Geben Sie anschließend eine Zahl an, die, wenn
sie im links vom Gleichheitszeichen stehenden Polynom eingesetzt wird, für dieses
Polynom den Wert 0 ergibt.
Lösung: (4x3 − 1
2x2 + 3
2
x−4); x = 6
7. Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichung: x 3 −x 2 −10x−8 = 0
Lösung: L = {−1;−2;4}
8. Zerlegen Sie in ein Produkt aus zwei Polynomen: x 3 +x 2 −21x−45
Lösung: Die vollständige Zerlegung lautet:(x+3) 2 (x−5)
9. Zerlegen Sie das Polynom f vollständig in Linearfaktoren:
Lösung: 2x(x−2)(x+3)(x−1,5)
10. Faktorisieren Sie soweit wie möglich:
Lösung: x·(x−1)·(x+1)·(x 2 +7x+15)
f(x) = 2x 4 −x 3 −15x 2 +18x
x 5 +7x 4 +14x 3 −7x 2 −15x
11. (a) Führen Sie folgende Polynomdivision durch (Ergebnis mit Restpolynom):
x 3 : (3x−1)
33

Lösung: (a): 1
1.5 Polynomdivision
(b) Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Gleichung! (Finden Sie eine Lösung
durch Probieren und führen Sie dann eine Polynomdivision durch!)
3x2 + 1 1
9x+ 27 + 1
27·(3x−1)
(b): L = {0;−2;± 4√ 5}
Division durch Polynome höheren Grades
1. Berechnen Sie: (x 5 +x 4 −x−1) : (x 2 −1)
Lösung: x 3 +x 2 +x+1
2. Führen Sie eine Polynomdivision durch:
Lösung: 12x 3 −9x 2 +5
x 6 −5x 2 = 10x−2x 5
(48x 5 −111x 3 +83x 2 +15x−35) : (4x 2 +3x−7)
3. Berechnen Sie: (81x 8 +4) : (9x 4 +6x 2 +2)
Lösung: 9x 4 −6x 2 +2
4. Führen Sie eine Polynomdivision durch:
Lösung: 2x 3 −2x+7
5. Führen Sie die Polynomdivision durch:
Lösung: 1
3 ·(4x3 +6x− 3
x )
6. (a) Dividieren Sie:
(4x 6 −4x 2 +28x−49) : (2x 3 +2x−7)
(4x 7 +14x 5 − 4
3 x4 +9x 3 −2x 2 −6x+1) : (3x 4 +6x 2 −x)
34

1.5 Polynomdivision
(x 4 +5x 3 +10x 2 +9x+3) : (x 2 +2x+1)
(b) Berechnen Sieunter BeachtungvonTeilaufgabe(a)dieNullstellen desPolynoms
x 4 +5x 3 +10x 2 +9x+3!
(c) Geben Sie ein Polynom 4. Grades an, das außer 2 keine weiteren Nullstellen hat!
Der Gedankengang muss klar erkennbar sein!
Lösung: (a): x 2 +3x+3
(b): genau eine Nullstelle bei x = −1
(c): z.B. x 4 −8x 3 +24x 2 −32x+16 = (x−2) 4
7. Gegeben sind die Polynome
A(x) = 6x4 +5x3 − 19
2 x2 +5x−1 und B(x) = 3x2 −2x+ 1
2 .
Führen Sie die Polynomdivision durch.
Lösung: 6x4 +5x3 − 19
2 x2 +5x−1 =
(3x2 −2x+ 1
2 )(2x2 +3x− 3
2 )+(1 2
x− 1
4 )
8. Gegeben sind die Polynome
A(x) = 6x4 −5x3 − 5
2x2 +4x−1 und B(x) = 3x2 +2x− 1
2 .
Führen Sie die Polynomdivision durch.
Lösung: 6x4 −5x3 − 5
2x2 +4x−1 =
(3x2 +2x− 1
2 )(2x2 −3x+ 3
2 )+(−1 2
x− 1
4 )
9. Gegeben sind die Polynome
N(x) = 4x 4 −x 3 +x 2 +3x+8 und D(x) = x 3 −x 2 +2.
Es ist folgende Darstellung möglich: N(x) = D(x)·Q(x)+R(x).
(a) Machen Sie Aussagen über die Grade der Polynome Q(x) und R(x)
(b) Bestimmen Sie die Polynome Q(x) und R(x).
Lösung: (a) Grad(Q) = 1 ; Grad(R) < 3
(b) 4x 4 −x 3 +x 2 +3x+8 =
(x 3 −x 2 +2)(4x+3)+(4x 2 −5x+2)
10. Gegeben sind die Polynome
N(x) = 3x 4 +4x 3 +x 2 +5x+4 und D(x) = x 3 −x+2.
Es ist folgende Darstellung möglich: N(x) = D(x)·Q(x)+R(x)
(a) Machen Sie Aussagen über die Grade der Polynome Q(x) und R(x).
(b) Bestimmen Sie die Polynome Q(x) und R(x).
35

Lösung: (a) Grad(Q) = 1 ; Grad(R) < 3
1.5 Polynomdivision
(b) 3x 4 +4x 3 +x 2 +5x+4 =
(x 3 −x+2)(3x+4)+(4x 2 +3x−4)
Polynome mit Formvariablen
1. Führen Sie die Polynomdivision durch (a ∈ R):
x 5 +ax 4 +x 3 −(1+a)·x 2 −2x+1 : (x 2 −1)
Lösung: x 3 +ax 2 +2x−1
2. Bestimmen Sie a ∈ R so, dass folgende Polynomdivision ohne Rest aufgeht:
x 5 −(4−2a 2 +5a)·x : (x 2 −x)
Lösung: 3,− 1
2
3. Gegeben ist das Polynom p(x) = 2x 3 +(3k −4)x 2 +(5−6k)x−10 mit k ∈ R.
(a) Zeigen Sie, dass das Polynom für alle k ∈ R bei 2 eine Nullstelle besitzt.
(b) Zerlegen Sie das Polynom in ein Produkt aus zwei Polynomen!
(c) Für welche k ∈ R besitzt das Polynom p(x) noch genau eine weitere Nullstelle?
√
10
Lösung: p(2) = 0; p(x) = (x−2)·(2x 2 +3kx+5); k1 = 2
√
3 10 und k2 = −2 3
Reihenentwicklung
1. Führen Sie folgende Division weiter aus:
1
1+x = 1 : (1+x) = 1−x+x2 ....
1+x
−x
−x−x 2
+x 2
.....
(a) Das Ergebnis der Division ist eine Summe mit unendlich vielen Summanden
(unendliche Reihe). Der Wert dieser Summe ist nur für x mit |x| < 1 definiert.
Überprüfen Sie diese Aussage für x = 0,1 und x = 2!
36

1.5 Polynomdivision
(b) Ist der Betrag von x sehr klein gegen 1 (|x| ≪ 1), dann kann man in der Reihe
die höheren Potenzen von x vernachlässigen und erhält folgende Näherungen:
1
≈ 1−x
1+x
1
≈ 1−x+x2
1+x
lineare Näherung quadratische Näherung
Berechnen Sie den relativen Fehler der beiden Näherungen für x = 0,1 und
x = 0,005!
(c) Um Näherungsformeln für √ √
1+x zu finden, quadriert man den Ansatz
2 1+x ≈ 1+ax+bx , vernachlässigt alle Summanden ab der dritten Potenz
und bestimmt dann a und b durch Koeffizientenvergleich. Wie lautet die lineare
und die quadratische Näherung für √ 1+x (|x| ≪ 1)? Berechnen Sie den
relativen Fehler der Näherungen für x = 0,02!
1
(d) Wie lauten die Näherungsformeln (linear und quadratisch) für
1−x und
√ 1
1−x? Leiten Sie daraus die lineare Näherung für √ her!
1−x
(e) Eine Atomuhr A wird mit der Geschwindigkeit v = 108 km von einer Uhr B zu
h
einer 300km entfernten Uhr C bewegt, die Uhren B und C zeigen für diesen
Vorgang die Zeitdauer t an. Nach Einstein misst A für den gleichen Vorgang
die Zeit t ′ = t · 1−β 2 mit β = v und der Lichtgeschwindigkeit c = 3 ·
c
8 m 10 s . Berechnen Sie ∆t = t−t′ mit der linearen Näherung! Versuchen Sie die
Berechnung auch ohne Näherungsformel mit dem Taschenrechner!
(f) Einstein leitete für die kinetische Energie die Formel W = mc2
√ 1
1−β2 −1
her. Weisen Sie nach, dass diese Formel in linearer Näherung mit der klassischen
Formel W = m
2 v2 übereinstimmt!
Lösung: (a) 1−x+x 2 −x 3 +x 4 ∓ ....
(b) linear: −1%, −0,0025%; quadratisch: 0,1%, 0,000125%
(c) √ 1+x ≈ 1+ x x2
−
2 8
linear: 0,0049%; quadratisch: −0,000049%
1
(d)
1−x ≈ 1+x+x2 ; √ 1−x ≈ 1− x x2
−
2 8 ;
1
√ ≈ 1+
1−x x
2
(e) ∆t ≈ s β2
·
v 2 = 5·10−11 s
1.5.2. Anwendungsaufgaben mit fächerübergreifenden Aspekten
1. Auf ein Konto wird an jedem Monatsersten, beginnend mit dem 1.1.2002, der konstante
Betrag m einbezahlt, der jährliche Zinssatz sei z. Der fällige Zins wird am
37

1.5 Polynomdivision
31.12. des jeweiligen Jahres gutgeschrieben. Die einzelnen Raten werden dabei im
Verhältnis zu ihrer tatsächlich auf dem Konto ruhenden Zeit berücksichtigt, der Zins
für die Februar-Rate ist z.B. ZFebruar = 11
12 ·z ·m. Mit an bezeichnen wir den Kontostand
nach n Jahren, d.h. am 31.12. im Jahre 2002+n−1.
Eine andere Bank schreibt den Zins an jedem Monatsletzten mit dem monatlichen
Zinssatz zm = z∗
12
gut, der Kontostand nach n Jahren sei hier bn.
Herr Traunicht spart seine zwölf Monatsraten im Sparstrumpf an und trägt sie erst
am31.12zur Bank. Sein Kontostand am31.12.im Jahre2002+n−1sei cn (jährlicher
Zinssatz z).
(a) Berechnen Sie zuerst a1 und dann an! Verwenden Sie die Abkürzung k = 1+z!
(b) Berechnen Sie bn unter Verwendung der Abkürzung q = 1+zm!
(c) Berechnen Sie cn!
(d) Berechnen Sie a10, b10 und c10 für m = 1000 € und z = z ∗ = 6%!
(e) Für welches z∗ wäre b10 = a10 (z = 6%)? Numerische Lösung durch Probieren
mit dem Taschenrechner!
Lösung: (a) a1 = 12m 1+ 13
24 z
n−1
, an = a1 k i
= 12m 1+ 13
24 z
kn −1
k−1
12n
(b) bn = m q i = mq q12n −1
q −1
i=1
n−1
(c) cn = 12m k i = 12m kn −1
k −1
i=0
(d) a10 = 163310,05€, b10 = 164698,74€, c10 = 158169,54€
(e) q q120 −1
q −1
i=0
= 163,31005; q = 1+ z∗
12 = 1,0048718; z∗ = 5,846%
2. Ein Konto wird monatlich mit dem Zinssatz zm verzinst. Für welches zm ist der
Kontostand nach einem Jahr genauso groß wie bei jährlicher Verzinsung mit dem
Zinssatz z? Wie groß ist zm für z = 6%?
Lösung: a0 ·(1+zm) 12 = a0 ·(1+z); zm = 12√ 1+z −1 = 0,4868%
38

1.5 Polynomdivision
3. Den maximalen Überhang xn von n+1
lose übereinander gestapelten gleichen
Quadern(Längea,Masse m)erhältman
durch folgende Überlegung: Der gemeinsame
Schwerpunkt der n oberen Quader
liegt genau über der rechten Kante des
(n+1)-tenQuaders.Sinds1 unds2 diex-
Koordinaten der Schwerpunkte von zwei
Körpern der Massen m1 und m2, dann
ist die x-Koordinate des gemeinsamen
Schwerpunkts der beiden Körper
s = m1s1 +m2s2
m1 +m2
(a) Beweisen Sie: xn = a
2 ·hn mit hn =
hn heißt harmonische Reihe.
n
ν=1
1
ν
x
✛
S3
S2
✛ a
(b) Die harmonische Reihe kann für n = 2 r auf folgende Art geschrieben werden:
hn =
n
ν=1
1
ν
= 1+ 1
2
c1
mit den Teilsummen ck =
1 1 1 1 1
+ + + + + +..... = 1+
3 4 5 6 7 8
c2 c3
1
+
2k
ν=2 k−1 +1
✛
✛
✛
S1
✛
x3
x4
x2
x1
r
k=1
1
ν . Beweisen Sie die Ungleichung ck ≥ 1
2
und leiten Sie daraus eine Ungleichung für hn ab! Welche Konsequenz hat diese
Ungleichung für den maximalen Überhang xn, wenn n immer größer gewählt
wird? Für welches n zum Beispiel ist xn sicher größer als 50a?
(c) Berechnen Sie x10! Ab welchem n ist xn > 2a?
Lösung: (a) xn+1 = n·m·xn +m· xn + a
2 a
= xn +
(n+1)m 2(n+1) und x1 = a
2 :
x2 = x1 + a
a
= 1+
4 2
1
, x3 = x2 +
2
a
a
= 1+
6 2
1
1
+ u.s.w.
2 3
(b) ck ≥ 2k 1 1 a
· = , x2r ≥ 1+
2 2k 2 2
r
→ ∞ wenn n = 2
2
r → ∞
a
x2r ≥ 1+
2
r
> 50a =⇒ r > 198 =⇒ n > 2
2
198 = 4,017·10 59
(c) x10 = 1,464·a , x30 = 1,997·a , x31 = 2,014·a ; ab n = 31
39
✲
✲
✲
✲
✲
ck

1.5 Polynomdivision
4. Ein Gummiball fällt zur Zeit τ = 0 aus der Höhe h1 auf den Boden und erreicht
bei jedem Sprung 81% seiner vorhergehenden Höhe. Die Zeitdauer für den Fall aus
2hν
der Höhe hν bzw. für den Sprung vom Boden bis zur Höhe hν ist tν = g mit
g = 9,81 m
s2. (a) Zeigen Sie, dass die Folgen hν bzw. tν geometrisch sind und geben Sie jeweils
den Quotienten an!
(b) Der Zeitpunkt des n-ten Aufpralls auf dem Boden sei τn, der gesamte vom Ball
zurückgelegte Weg bis zum n-ten Aufprall sei sn. Drücken Sie sn durch h1 und
τn durch t1 aus! Welche Werte können von sn bzw. τn nie überschritten werden,
auch wenn n noch so groß wird?
(c) Berechnen Sie sn und τn für h1 = 1m und n ∈ {10;20;100;1000}! An welche
Grenzwerte nähern sich hn und τn an, wenn n immer größer wird?
2
g ·hν = t1 ·0,9 ν−1
n
(b) sn = 2· hν −h1 = h1 · 2· 1−0,81n
0,19 −1
< 181
19 h1
Lösung: (a) hν+1 = 0,81hν ; hν = h1 ·0,81 ν−1 , tν =
(c)
τn = 2·
ν=1
n
tν −t1 = t1 ·[20(1−0,9 n )−1] < 19t1
ν=1
5. Nebenstehende Abbildung zeigt eine
Folge von Quadraten mit den
Kantenlängen aν und den Flächeninhalten
Aν. Die Quadrate werden
von zwei Geraden eingeschlossen,
die sich unter dem Winkel ϕ
schneiden. Mit Fn bezeichnen wir
dieGesamtflächedererstennQuadrate,
mit Un den Umfang der von
den ersten n Quadraten gebildeten,
treppenartigen Figur.
n 10 20 100 1000 ∞
sn in m 8,247 9,371 9,526 9,526 9,526
τn in s 5,430 7,481 8,5787 8,5789 8,5789
Folge von Quadraten
aν = k·bν = bν+1 −bν
a3
A4
a2 A3
ϕ A1 A2 ✚ ✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚
a4
b1 b2 b3 b4 b5
(a) Zeigen Sie, dass die Folgen der bν, aν und Aν geometrisch sind und berechnen
Sie die Quotienten der drei Folgen in Abhängigkeit von k (siehe Abbildung)!
40

1.5 Polynomdivision
(b) Drücken Sie Fn und Un durch a1 und k aus!
(c) Berechnen Sie F50 und U50 für a1 = 1cm und ϕ = 45 ◦ ! Vergleichen Sie die
Ergebnisse mit der Oberfläche und dem Umfang der Erde (Erdradius: R =
6370km)!
(d) Lösen Sie Teilaufgabe (c) für ϕ = 30 ◦ !
Lösung: (a) bν+1 = bν ·(1+k) , aν+1 = aν ·(1+k) , Aν+1 = Aν ·(1+k) 2
n
(b) Fn = Aν = a
ν=1
2 1 · (1+k)2n −1
(1+k) 2 −1
(1+k) n −1
Un = 2·(bn+1 −b1)+2an = 2a1 ·
k
+(1+k) n−1
(c) k = tan45 ◦ = 1 , F50 = 4,23·10 19 km 2 = 8,29·10 10 ·AErde
U50 = 3,38·10 10 km = 8,44·10 5 ·UErde
(d) k = tan30 ◦ = 0,577 , F50 = 4,17·10 9 km 2 = 8,18·AErde
U50 = 3,73·10 5 km = 9,32·UErde
6. Setzt man beim Roulette auf einfache Chancen (z.B. rot-schwarz), dann erhält man
bei einem Treffer den doppelten Einsatz zurück, d.h. der Gewinn ist gleich dem Einsatz.
Beim Martingale-System verdoppelt man nach jedem verlorenen Spiel den
Einsatz. Den Einsatz im ersten Spiel einer Verlust-Verlust-... -Gewinn-Serie bezeichnen
wir mit a1.
(a) Welchen Gewinn G erzielt man in einer Spielserie, bei der man n-mal hintereinander
verliert und das (n+1)-te Spiel gewinnt?
(b) Wieviel Geld muss man dabei haben, wenn man bei a0 = 100 € siebenmal
hintereinander verliert und das Spiel trotzdem fortsetzen möchte?
(c) Lösen Sie die Teilaufgaben (a) und (b) für ein Vervierfachen des Einsatzes nach
jedem Verlust!
Warnung!! Mit dem Martingale-System kann man auf Dauer nicht gewinnen,
da die Spielbanken Höchsteinsätze festlegen. Man kann zwar viele
kleine Gewinne erzielen, aber es kommt unweigerlich der Augenblick,
bei dem man wegen des Höchsteinsatzes nicht mehr verdoppeln
kann und auf einen Schlag viel verliert! Die Gewinnquoten
sowie die Mindest- und Höchsteinsätze sind so aufeinander abgestimmt,
dass manauf langeZeit gesehen immer verliert, ganz gleich
nach welchem System man spielt!
Lösung: (a) Einsatz beim k-ten Spiel: ak = a1 ·2 k−1
n
G = an+1 −
k=1
ak = a1
41

(b) a1 ·
8
2 k−1 = 25500€
k=1
1.5 Polynomdivision
(c) Einsatz beim k-ten Spiel: ak = a1 ·4 k−1
n
G = an+1 −
a1 ·
k=1
ak = a1 · 2·4n +1
3
8
4 k−1 = 2184500€
k=1
42

2. Potenzfunktionen
2.1. Eigenschaften und Klassifikation von
Potenzfunktionen
1. Ordnen Sie ohne Benutzung des Taschenrechners folgende Potenzen der Größe nach,
mit kurzer Begründung:
0,25 2,8 ; 5 −3,1 ; 4 −3,1 ; 5 −4,1
Lösung: 5 −4,1 < 5 −3,1 < 4 −3,1 < 0,25 2,8
2. Gegeben sei die Potenzfunktion x ↦−→ a · x b mit a ∈ R, b ∈ Z. Welche Aussagen
können Sie jeweils über a und b treffen, wenn
(a) der Graph der Funktion durch den Punkt (1|7) verläuft und symmetrisch zur
y-Achse ist?
(b) der Graph der Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist und die x-Achse
Asymptote des Funktionsgraphen ist?
(c) der Graph der Funktion im I. Quadranten monoton fallend und im II. Quadranten
monoton steigend ist?
(d) der Graph der Funktion im I. Quadranten monoton steigend und im II. Quadranten
monoton fallend ist?
(e) der Graph der Funktion im I. und im III. Quadranten monoton steigend ist?
(f) der Graph der Funktion im I. und im III. Quadranten monoton fallend ist?
Lösung: (a) a = 7; b ∈ Z, b gerade
(b) a ∈ R; b ∈ Z, b < 0 und ungerade
(c) a ∈ R; b ∈ Z, b < 0 und gerade
(d) a ∈ R; b ∈ N, b gerade
(e) a ∈ R; b ∈ N, b ungerade
(f) a ∈ R; b ∈ Z, b < 0 und ungerade
3. Gegeben ist die Funktion x ↦−→ a·x 1
b mit a ∈ R und b ∈ Z\{0}.
43

2.1 Eigenschaften und Klassifikation von Potenzfunktionen
(a) Geben Sie den maximalen Definitionsbereich in Abhängigkeit von b an!
(b) Der Graph der Funktion verläuft durch den Punkt P(1|5) und ist monoton
steigend bzw. monoton fallend. Was können Sie jeweils über a und b aussagen?
Lösung: D = R + 0 falls b > 0; D = R+ falls b < 0
a = 5; b > 0 bzw. b < 0
4. Untersuchen Sie auf Symmetrie und Monotonie:
f : x ↦−→ x 3n+1 n ∈ N, Df = R
Lösung: f gerade (ungerade) für ungerades (gerades) n;
f streng monoton steigend für gerades n;
f streng monoton fallend in R − und streng monoton steigend in R + für ungerades n
5. Untersuchen Sie die Funktion
f : x ↦−→ x 2z
z ∈ Z\{0} Df = R\{0}
in Abhängigkeit von z auf Symmetrie und Monotonie.
Lösung: f ist gerade für alle z ∈ Z\{0}
z > 0: streng monoton fallend auf R − ; streng monoton steigend auf R +
z < 0: streng monoton steigend auf R − ; streng monoton fallend auf R +
Lösung:
6. ImvorliegendenKoordinatensystemsinddieGraphenderFunktionenx ↦→ x −1 ,x ↦→ x 3 ,
x ↦→ x −1
3 und x ↦→ x 1
3 gezeichnet.
(a) Welcher Graph gehört zu welcher Funktion?
Beschriften Sie die Graphen entsprechend.
(b) Welche der vier Funktionen sind Umkehrfunktionen
zueinander? Wie erkennt man
das an den Graphen?
(c) Skizzieren Sie in dieses Koordinatensystem
den Graphen der Funktion x ↦→ x −3 ohne
eine Wertetabelle zu erstellen.
Begründen Sie Ihr Vorgehen!
44
y
4
3
2
1
✻
. .
..
... ..
.....
..
....
.
.
. ..
.
. . .
.. . .
. . . .
. . .
.
. .
.
.
. . . . . . . . .
. .
. . . .....
.... .. .. ...... ..
✲
1 2 3 4 x

2.2 Funktionsterme, Graphen, Umkehrfunktionen
2.2. Funktionsterme, Graphen, Umkehrfunktionen
1. Gegeben ist die Funktion f : x ↦−→ x −2
(a) Fertigen Sie eine sorgfältige Zeichnung des Graphen dieser Funktion an.
(Einheit 1cm auf beiden Achsen, mindestens 4 Punkte pro Kurvenast.)
(b) Berechnen Sie die x-Werte, für die der Funktionswert kleiner als 1
2 ist?
(c) Berechnen Sie die x-Werte, für die der Funktionswert größer als 1 ist?
Lösung: (b) x < − √ 2 oder √ 2 < x (c) −1 < x < 0 oder 0 < x < 1
2. Gegeben sei die Funktion f : x ↦−→ 1
10 x−3 +2
(a) Übertragen Sie die folgende Wertetabelle auf Ihr Arbeitsblatt und berechnen
Sie die fehlenden y-Werte:
x|−3 −1 −0,5 −0,3 −0,2
y|
(b) Zeichnen Sie den Graphen mit Hilfe der in (a) berechneten Werte. (1 Längeneinheit
= 1cm)
(c) Berechnen Sie die fehlende Koordinate des Punktes Q(?|−2,45) so, dass er auf
dem Graphen liegt (3 geltende Ziffern).
Lösung: (a) 2,0; 1,9; 1,2; −1,7; −10,5 (c) −0,282
3. Gegeben sind die Funktionen f : x ↦−→ 1
3 ·x2 mit Df = R und g : x ↦−→ −3·x −1
mit Dg = R\{0}.
(a) Legen Sie jeweils für x = 1,2,3,4 eine Wertetabelle an und zeichnen Sie ohne
weitere Rechnung die Graphen beider Funktionen im Intervall [−4;4] in ein
Koordinatensystem (Längeneinheit: 1cm) ein. Welche Eigenschaften der Funktionen
f und g verwenden Sie dabei?
(b) Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes S beider Funktionsgraphen!
Lösung: (a): Symmetrieeigenschaften; (b): S
−3 2
3 | 3 1
3
4. (a) Bestimmen Sie c und n so, dass die Punkte P(−1|−0,5) und Q(2|4) auf dem
Graphen der Funktion f(x) = c·x n liegen.
(b) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f(x) = 1
2 x3 für −2,5 ≤ x ≤ 2,5 in ein
Koordinatensystem (Schrittweite für die x-Koordinaten der Punkte: 0,5).
(c) Spiegeln Sie den Graphen ander Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten
und geben Sie für x ≥ 0 die Funktion an, die zum gespiegelten Graph gehört.
45

2.2 Funktionsterme, Graphen, Umkehrfunktionen
(d) Geben Sie für x ≤ 0 die Funktion an, die zum gespiegelten Graph gehört.
Lösung: (a) c = 0,5; n = 3
5. Skizzieren Sie die Graphen folgender Potenzfunktionen in ein gemeinsames Koordinatensystem:
f1 : x ↦−→ −x 3
f2 : x ↦−→ (x+3) 4 −2
f3 : x ↦−→ −(x−4) 3 +1
und geben Sie jeweils deren Definitions- und Wertemenge an!
Lösung: Df1 = Df2 = Df3 = R; Wf1 = R; Wf2 = [−2;∞[; Wf3 =]−∞;∞]
6. Gegeben ist die Funktion f: x ↦→ 7·x −2 5.
(a) Geben Sie den maximalen Definitionsbereich an!
(b) Geben Sie die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion g dieser Funktion an!
(c) Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes S von f und g!
Lösung: a) D = R + b) y = ( 1
7x)−52 c) S( 7√ 75 | 7√ 75 )
7. Gegeben ist die Funktion f: x ↦→ (3x) 3
5.
(a) Geben Sie den maximalen Definitionsbereich an!
(b) Für welche x-Werte sind dieFunktionswerte kleiner bzw. größer als diex-Werte?
(c) Geben Sie die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion g dieser Funktion an!
Lösung: a) D = R + 0 b) kleiner für x > √ 27, größer für 0 < x < √ 27 c) y = 1
3x53 8. Gegeben sind die beiden Potenzfunktionen
f1 : x ↦−→ a·x −2
3 −1 mit a ∈ R\0 sowie f2 : x ↦−→ x −4
3 −5
jeweils mit maximaler Definitionsmenge.
(a) Geben Sie für f1 und f2 jeweils Definitions- und Wertemenge ohne Begründung
an!
(b) Geben Sie für die Funktion f2 die Funktionswerte für x = 1;
3; 5; 7 auf 2 De-
3
zimalen gerundet an und zeichnen Sie dann den Graphen von f2 in ein Koordinatensystem
ein!
46

2.2 Funktionsterme, Graphen, Umkehrfunktionen
(c) Bestimmen Sie für die Funktion f1 den Wert von a so, dass der Punkt
P(8|−0,25) auf dem Graphen liegt!
Ab jetzt sei a = 3 gesetzt!
(d) Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes S der beiden Funktionsgraphen!
Lösung: (a) Df1 = R+ ; Wf1 =]−∞;−1[ falls a < 0; Wf1 =]−1;∞[ falls a > 0;
Df2 = R+ ; Wf2 =]−5;∞[
(b) −0,67; −4,77; −4,88; −4,93
(c) a = 3
(d) S 1
8 |11
9. Gegeben sind die beiden Potenzfunktionen p1 : x ↦−→ x −2
3 und p2 : x ↦−→ x 2
3 jeweils
mit der Definitionsmenge R + .
(a) Erstellen Sie für x = 1,1,3,8
eine Wertetabelle für beide Funktionen und zeich-
4
nen Sie dann die Graphen in ein Koordinatensystem ein!
(Längeneinheit: 1cm)
Nun werden die Funktionen f1 : x ↦−→ x −2
3 −2 und f2 : x ↦−→ 2·x 2
3 −1 jeweils mit
der Definitionsmenge R + betrachtet.
(b) Zeichnen Sie unter Beachtung von Teilaufgabe a) die Graphen der Funktionen
f1 und f2 in ein neues Koordinatensystem ein! (Längeneinheit: 1cm)
(c) Geben Sie die Wertemengen beider Funktionen an!
(d) Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes der Graphen von f1 und f2!
Lösung: (c) Wf1 =]−2;∞[; Wf2 =]−1;∞[
(d) Substitution, quadratische Gleichung; S 2−1,5 | 0
10. Gegeben ist die Funktion f: x ↦→ 3·x −2 3.
(a) Geben Sie den maximalen Definitionsbereich an!
(b) Die Punkte P(8|yP) und Q(xQ|6) liegen auf dem Graphen dieser Funktion. Bestimmen
Sie yP und xQ zunächst exakt und dann auf eine Dezimale gerundet.
(c) Für welche x-Werte sind dieFunktionswerte kleiner bzw. größer als diex-Werte?
(d) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f mit Hilfe der Ergebnisse aus a), b)
und c) ohne weitere Werte zu berechnen!
(e) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion g und skizzieren Sie
derenGrapheninobigesKoordinatensystemohneeineWertetabellezuerstellen!
47

2.3 Potenzfunktionen in Anwendungen
Lösung: a) D = R +
√
b) yP = 0,75 ≈ 0,8; xQ = 2
4
≈ 0,4
c) kleiner für x > 5√ 27, größer für 0 < x < 5√ 27
e) y = ( 1
3x)−3 2
11. Gegeben ist die Funktion y = a·x −3
2 +b, a,b ∈ R,a = 0 mit maximaler Definitionsmenge.
(a) Bestimmen Sie Definitionsmenge und Wertemenge dieser Funktion!
(b) Bestimmen Sie a und b so, dass die Punkte P(1|−1) und Q(4|−2,75) auf dem
Graphen liegen!
Nun sei y = 2·x −3
2 −3.
(c) Zeichnen Sie den Graphen dieser Funktion! (Längeneinheit: 1cm)
(d) Dieser Graph wird nun an der x-Achse gespiegelt. Wie lautet die Funktionsgleichung
des gespiegelten Graphen?
Lösung: (a) a > 0 : D = R + , W =]b;∞[; a < 0 : D = R + , W =]−∞;b[
(b) a = 2; b = −3
(d) y = −2x −3
2 +3
12. Bestimmen Sie mit Hilfe einer sauberen und übersichtlichen Zeichnung (ein Koordinatensystem
genügt!) die Zahl der Lösungen folgender Gleichung über G = R:
Lösung: |L| = 2
3√ 1
x+2 = −1
x2 2.3. Potenzfunktionen in Anwendungen
1. Aus einem Drahtstück der Gesamtlänge L soll ein Kantenmodell eines Würfels vom
Volumen V hergestellt werden.
(a) Stellen Sie die Länge L in Abhängigkeit vom Volumen V dar.
(b) Um welchen Faktor vergrößert sich die Länge, wenn man das Volumen verdoppelt?
Lösung: L = 12 3√ V, 3√ 2
48

2. Ein Würfel habe die Kantenlänge 2a.
2.3 Potenzfunktionen in Anwendungen
(a) Geben Sie die Funktionsgleichung der Funktion an, die jedem a das Volumen
des entsprechenden Würfels zuordnet.
Zeichnen Sie den zugehörigen Graphen für 0 ≤ a ≤ 1 in ein Koordinatensystem.
(Einheit auf der a-Achse: 10cm; Einheit auf der V-Achse: 1cm)
(b) GebenSiedieFunktionsgleichung derFunktionan,diedemRadiusaeinerKugel
das Volumen dieser Kugel zuordnet. Zeichnen Sie den zugehörigen Graphen in
dasselbe Koordinatensystem.
(c) Vergleichen Sie für gleiches a das Volumen des Würfels mit dem der Kugel!
Deuten Sie Ihr Ergebnis anschaulich!
(d) Entnehmen Sie der graphischen Darstellung, wie groß der Radius einer Kugel
ist, deren Volumen gleich dem Volumen eines Würfels mit der Kantenlänge 1m
ist.
Lösung: (a) VW(a) = 8a 3 ; (b) VK(a) = 4
3 a3 π; (c) VK(a) < VW(a); (d) a ≈ 0,62m
49

3. Exponential- und
Logarithmusfunktionen
3.1. Exponentialfunktionen
3.1.1. Exponentialfunktionen - Eigenschaften und Graphen
1. Gegeben ist die Exponentialfunktion f : x ↦−→ (
1
3 )x (x ∈ R).
(a) Welche Funktion erhält man durch Spiegelung von Gf an der y-Achse?
(b) Zeichnen Sie den Graphen Gf und finden Sie aus der Zeichnung eine Nähe-
rungslösung der Gleichung (
1
3 )x = 6.
1 Lösung: y = ( 3 )−x , präziser Wert: −2lg6
lg3 ≈ −3,26
Lösung:
2. Gegeben ist die Exponentialfunktion f : x ↦→ 2·
3 x
2
(a) Geben Sie den Definitionsbereich und den Wertebereich von f an!
(b) Erstellen Sie eine Wertetabelle für f für ganzzahlige x mit −3 ≤ x ≤ 3 und
zeichnen Sie damit den Graphen von f!
(c) Wie erhält man aus dem Graphen von f den Graphen der Umkehrfunktion g von
f? Zeichnen Sie den Graphen der Umkehrfunktion g in das Koordinatensystem
von b) ein!
(d) Bestimmen Sie durch Rechnung die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion!
Geben Sie ihren Definitionsbereich und Wertebereich an!
3. (a) Erstellen Sie für die Funktion f(x) =
2 x
eine Wertetabelle im x-Intervall
3
[−4;3] und zeichnen Sie den Graphen von f in der Einheit 1cm!
(b) Wir betrachten jetzt die Funktion g(x) =
2 x+2
−3. Schreiben Sie in Worten
3
hin, wie man den Graphen von g aus dem Graphen von f erhält! Zeichnen Sie
jetzt, ohne neue Werte zu berechnen, den Graphen von g in das schon vorhandene
Koordinatensystem!
50

3.1 Exponentialfunktionen
(c) Für welches x gilt g(x) = 0? Die graphisch gewonnene Lösung soll durch Probieren
mit dem Taschenrechner auf eine Genauigkeit von zwei Nachkommastellen
verbessert werden!
Lösung: (b) Verschiebung um 2 nach links und 3 nach unten. (c) x ≈ −4,71
4. (a) Ordnen Sie den abgebildeten Funktionsgraphen jeweils eine der folgenden Funktionsgleichungen
zu:
a) y = 2x b) y = x−3 c) y = 3,5x d) y = x 2
3 e) y = x 3
2 f) y = x3 (b) Wie lautet die Umkehrfunktion zu f4? Zeichnen Sie den Graphen ein.
(c) Durch Spiegeln des Graphen von f3 an der y-Achse erhält man einen neuen
Funktionsgraphen. Geben Sie den Funktionsterm dazu an.
10
8
f2
f3
6
..
...
...
4 .
.
..
. f4
2 .
.
.
.
. . . . . . .
. .... .. . .. .. . .. .. . .. .. . ..
−6 −4 −2 2 4 6
f1.. .......
..
...
... ...
.
.
....
.
.
.
.
.
.
.. . . . . . . . . .
Lösung: (a) Es gehört f3 zu a), f2 zu c) (beide sind Exponentialfunktionen), f1 gehört zu b)
(Potenzfunktion mit neg. Exponenten) und f4 zu d).
(b) y = x 3
2
(c) y = 2 −x
3.1.2. Exponentialgleichungen - Lösung ohne Logarithmen
Exponentialgleichungen - Lösung ohne Logarithmen
1. Bestimmen Sie die Lösungsmenge: 0,01 x = 100 4x−1
Lösung: L = { 1
5 }
51

2. Lösen Sie folgende Gleichung:
Lösung: L = { 9
8 }
3.1 Exponentialfunktionen
3,375 x = 1,5 3,375
3. Bestimmen Sie Definitions- und Lösungsmenge:
Lösung: D = R, L = {3}
4. Lösen Sie folgende Gleichung:
Lösung: L = {1; − 1
4 }
5. Bestimmen Sie die Lösungsmenge:
Lösung: Durch Exponentenvergleich: L = {2;4}
6. Bestimmen Sie die Lösungsmenge:
Lösung: L = −2 3 ;−3
2
3 x −4·3 x−2 = 15
5 4x −125·5 1
x = 0
(7 x ) 2x−4 = (7 x+4 ) x−2
(4 x ) 3x−1 − 8 −5x−2 = 0
7. Bestimmen Sie die Lösungsmenge:
81 5x−4 x = 27 2−3x
Lösung: L = 3
4 ;−2
5
52

8. Bestimmen Sie die Lösungsmenge:
Lösung: L = {0;3}
9. Bestimmen Sie die Lösungsmenge:
Lösung: L = {− 12
17 }
10. Bestimmen Sie die Lösungsmenge:
Lösung: L = { 1
8 ;3}
1. Bestimmen Sie die Lösungsmenge:
Lösung: L = { 5
6 }
2. Bestimmen Sie die Lösungsmenge:
Lösung: L = { 1
2 }
3. Bestimmen Sie die Lösungsmenge:
Lösung: L = { 14
19 }
3.1 Exponentialfunktionen
(5 2x ) x−1 = (25 x ) 2
4 2x ·8 x−4 −(32) 5x : 2 x = 0
(3 2x ) 2x−1 : (27) x+1 −(81 3x−7 ) x ·9 −x = 0
4 3x+2 +4 3x−2 −4 3x−1 −506 = 0
9 x +4·3 2x−1 +3·3 2x+1 = 34
64 2x−1 −2 x ·1024 3x−2 = 0
53

4. Bestimmen Sie die Lösungsmenge:
Lösung: L = { 1
2 }
5. Bestimmen Sie die Lösungsmenge:
Lösung: L = {− 1
2 }
3.1 Exponentialfunktionen
1
3 ·9x+2 −3·3 2x+1 = 9·6 2x
(9 x ) 2 = 27 2x+1 : 81 −x
6. Bestimmen Sie die Lösungsmenge: 81 3x −3·27 4x−1 −2·9 6x−1 = 2
Lösung: L = { 1
12 }
7. Bestimmen Sie die Lösungsmenge:
Lösung: L = {−1}
5
3
8. Bestimmen Sie die Lösungsmenge:
Lösung: L = { 2
3 }
2x−1 − 3x
x−1 +108 = 0
27
3 3x−1 −3 3x+2 +3 3x+3 = 165
9. Lösen Sie folgende Exponentialgleichung über G = R:
Lösung: L = {3}
81 x−1
x+1 ·27 x+1
x−1 = 3 7x2 +1
x2−1 54

3.1 Exponentialfunktionen
10. Berechnen Sie die Lösungsmenge (mit Brüchen rechnen):
5 x−3 x+3 =
Lösung: 7x 2 +48x = 7 =⇒ L = { 1
; −7}
7
625 2x2
390625 −6x+2
11. Berechnen Sie die Lösungsmenge (mit Brüchen rechnen):
7 5−x 5+x =
Lösung: 9x 2 +80x = 9 =⇒ L = { 1
; −9}
9
1. Bestimmen Sie die Lösungsmenge:
Lösung: L = {−0,5;−1}
2. Bestimmen Sie die Lösungsmenge:
Lösung: L = {−1;1}
3. Bestimmen Sie die Lösungsmenge:
Lösung: L = {2}
49 4x2
5764801 −2−10x
4 2x+2 +2 4x+2 −15·4 x + 5
2
5·25 x − 26·5 x + 5 = 0
3·9 x − 26·3 x − 9 = 0
55
= 0

4. Bestimmen Sie die Lösungsmenge:
Lösung: L = {−3}
3.1 Exponentialfunktionen
2 x+3 − 2 2−x + 31 = 0
5. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung:
Lösung: L = {2;3}
4 x−2 +4·4 2−x = 5
6. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichung:
Lösung: L = {−1}
5 2x+2 +3·5 x+2 −16 = 0
7. Lösen Sie folgende Exponentialgleichung über G = R:
Lösung: L = {−0,25}
8. Bestimmen Sie die Lösungsmenge:
Lösung: L = {2;log 26}
9. Bestimmen Sie die Lösungsmenge:
Lösung: L = {log 52}
3 0,5−2x − √ 12·9 x −1 = 0
(2 x −1) 2 −8(2 x −1)+15 = 0
5 x −1− 2
= 0
5x 56

3.1 Exponentialfunktionen
1. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f(x) = 2 x im Intervall [−2; 2] und bestimmen
Sie aus der Zeichnung die Lösung der Gleichung 2 x = −x. Verbessern Sie den
gefundenen Wert durch Probieren mit dem Taschenrechner auf fünf geltende Ziffern!
Lösung: x = −0,64119
2. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f(x) = x x im Intervall ]0; 2] und bestimmen
Sie aus der Zeichnung die Lösung der Gleichung x x = 2. Verbessern Sie den
gefundenen Wert durch Probieren mit dem Taschenrechner auf fünf geltende Ziffern!
Lösung: x = 1,5596
Wachstums- und Abklingvorgänge
1. Ein Ball fällt aus 2m Höhe auf eine feste Unterlage und springt nach jedem Aufprall
jeweils auf 80% der Höhe zurück, aus welcher er gefallen ist.
Stellen Sie die Funktionauf, die angibt welche Höhe der Ball nach demn-ten Aufprall
erreicht. Wie hoch springt der Ball nach dem 5. Aufprall?
Lösung: 0,66m
2. Am Eröffungstag eines Streichelzoos befanden sich 93 Meerschweinchen in einem
Gehege. Ein Jahr später waren es bereits 115 Meerschweinchen.
(a) Wieviele Meerschweinchen werden es am Tag des 10-jährigen Jubiläums sein,
wenn man annimmt, dass der Bestand linear wächst?
(b) Wieviele Meerschweinchen werden es an diesem Tag sein, wenn man ein exponentielles
Wachstum annimmt?
Lösung: a) 313; b) 777
3. Um die Funktion der Bauchspeicheldrüse zu testen, wird ein bestimmter Farbstoff in
sie eingespritzt und dessen Ausscheiden gemessen. Eine gesunde Bauchspeicheldrüse
scheidet pro Minute etwa 4% des jeweils noch vorhandenen Farbstoffs aus.
Bei einer Untersuchung wird einem Patienten 0,2 Gramm des Farbstoffes injiziert.
Nach 30 Minuten sind noch 0,09 Gramm des Farbstoffes in seiner Bauchspeicheldrüse
vorhanden.
Funktioniert seine Bauchspeicheldrüse normal?
Lösung: Nein, da nur noch 0,06g vorhanden sein dürfen
57

3.1 Exponentialfunktionen
4. Der Bierschaum einer bestimmten Biersorte zerfällt in 80Sekunden von 1dm auf
0,5dm Höhe. Nach weiteren 80Sekunden sind nur noch 0,25dm Schaum vorhanden
usw. Der Zerfall kann in guter Näherung als exponentiell angesehen werden.
(a) Ermitteln Sie den funktionellen Zusammenhang zwischen der Schaumhöhe y (in
dm) und der Zeit x (in Sekunden).
(b) Wie viel Prozent des Schaumes sind nach 10Minuten noch übrig (2 geltende
Ziffern)?
Lösung: a) x ↦−→ 0,99137 x b) 0,0055 = 0,55%
5. Radioaktive Stoffe zerfallen im Laufe der Zeit.
Ein bestimmter radioaktiver Stoff hat eine Halbwertszeit von 4 Tagen, d.h. nach 4
Tagen ist nur noch die Hälfte der ursprünglichen Stoffmenge vorhanden.
(a) Bestimmen Sie den Wachstumsfaktor!
(Zwischenergebnis: 0,84)
(b) Wieviel Prozenteiner anfangsvorhandenen Mengedieses Stoffeszerfallenjeweils
im Verlauf eines Tages?
(c) Welcher Bruchteil der anfangs vorhandenen Stoffmenge ist nach 2,3,4,6,8,10 Tagen
noch vorhanden? (Fertigen Sie eine Tabelle an!)
(d) Zeichnen Sie mit Hilfe der obigen Ergebnisse ein Schaubild der Zuordnung
Zeit in Tagen ↦→ vorhandener Bruchteil in Prozent
und ermittlen Sie graphisch nach wievielen Tagen nur noch 1 der anfangs vor-
5
handenen Stoffmenge vorhanden ist.
Lösung: a) 0,84 b) 16% c) 71%; 59%; 50%; 35%; 25%; 17%; d) nach ca. 9,3 Tagen
6. Radioaktive Stoffe zerfallen im Laufe der Zeit.
Ein bestimmter radioaktiver Stoff hat eine Halbwertszeit von 3 Tagen, d.h. nach 3
Tagen ist nur noch die Hälfte der ursprünglichen Stoffmenge vorhanden.
(a) Bestimmen Sie den Wachstumsfaktor!
(Zwischenergebnis: 0,79)
(b) Wieviel Prozenteiner anfangsvorhandenen Mengedieses Stoffeszerfallenjeweils
im Verlauf eines Tages?
(c) Welcher Bruchteil der anfangs vorhandenen Stoffmenge ist nach 2,3,4,6,8,10 Tagen
noch vorhanden? (Fertigen Sie eine Tabelle an!)
58

3.1 Exponentialfunktionen
(d) Zeichnen Sie mit Hilfe der obigen Ergebnisse ein Schaubild der Zuordnung
Zeit in Tagen ↦→ vorhandener Bruchteil in Prozent
und ermittlen Sie graphisch nach wievielen Tagen nur noch 1 der anfangs vor-
5
handenen Stoffmenge vorhanden ist.
Lösung: a) 0,79 b) 21% c) 62%; 49%; 39%; 24%; 15%; 9%; d) nach ca. 6,8 Tagen
7. Herr K. hat Geld bei der Bank XY angelegt. Nach 5 Jahren beträgt sein Guthaben
14140,95 €. Nach weiteren 3 Jahren beträgt es 17567,26 €.
(a) Welchen Zinssatz erhält er?
(b) Wieviel Geld hat Herr K. damals angelegt?
Lösung: (a) 7,5% (b) 9850€
8. (a) Ein Kunde legt bei einer Bank 10200 € an. Wieviel € beträgt sein Kapital (mit
Zinseszins) nach 7 Jahren bei einem Zinssatz von 6,5%?
(b) Eine andere Bank verspricht: Bei uns verdreifacht sich ihr Guthaben in 15 Jahren.
Dabei wird der Zins mitverzinst. Welchen Zinssatz gewährt diese Bank?
Lösung: 15850,66€; 7,6%
9. Eine Bakterienkultur enthält 3 Stunden nach dem Aufguß geschätzt 1200 Bakterien,
2 Stunden später geschätzt 10000 Bakterien.
(a) Wie viele Bakterien enthielt sie 1 Stunde, 2 Stunden, 4 Stunden nach diesem
Aufguß? Runden Sie die Ergebnisse jeweils auf 3 geltende Ziffern (nicht bei der
Rechnung!).
(b) Fertigen Sie eine graphische Darstellung des Wachstums an. Waagrechte Achse
Zeit mit 1h = 1cm, senkrechte Achse Anzahl mit 1000Bakterien = 1cm.
Lösung: (a) 144;416;3460
10. Bei einer Bank werden 37100 € angelegt. Nach 8 Jahren werden sie auf 53983,84 €
angewachsen sein.
GebenSiedieExponentialfunktionan,diedasAnwachsen derSpareinlagebeschreibt.
Wie hoch ist der Zinssatz in Prozent?
Lösung: x ↦−→ 37100·1,048 x (x in Jahren); Zinssatz 4,8 %
59

3.1 Exponentialfunktionen
11. (a) Ein fabrikneuer PKW der Marke Racing 12 kostet 56000 €. Er verliert in jeweils
zwei Jahren etwa 35% seines Zeitwertes.
Welchen Zeitwert hat dieser PKW nach einem bzw. nach vier Jahren?
Nehmen Sie an, dass der jährliche Wertverlust prozentual immer ungefähr gleich
groß ist und runden Sie auf 10 € genau.
(b) Ein PKW der Marke Stabil 02ist nach einem Jahr 39230 €undnach vier Jahren
25990 € wert.
Berechnen Sie dessen Neupreis (wieder auf 10 € genau gerundet) und dessen
prozentualen Wertverlust in jeweils zwei Jahren.
Lösung: ca.45150 €; 23660 €; ca.45000 €; ca.24%
12. FredS.sollinseinerBio-Facharbeituntersuchen, obdieVermehrungvonObstfliegen
exponentiell oder linear verläuft.
Nach 5 Tagen zählt er 269 Fliegen; nach 19 Tagen sind es bereits 605 Fliegen.
(a) Bestimmen Sie den Anfangsbestand der Fliegen, die tägliche Zuwachsrate (in
Prozent) und die Fliegenanzahl nach 31 Tagen bei exponentiellem Wachstum!
(b) Bestimmen Sie den Anfangsbestand, den täglichen Zuwachs und die Fliegenanzahl
nach 31 Tagen bei linearem Wachstum!
Lösung: (a) 201; 5,96%; 1209 (b) 149; 24; 893
13. Bevölkerungswachstum
Im Jahre 1990 lebten auf der Erde 5,3 Milliarden Menschen. Für das Jahr 2000
erwartet man eine Weltbevölkerung von 6,5 Milliarden.
(a) Rechnen Sie mit exponentiellem Wachstum! Stellen Sie die Wachstumsfunktion
auf und errechnen Sie die für das Jahr 2001 bzw. 2050 erwartete Weltbevölkerung.
(b) Rechnen Sie mit linearem Wachstum! Stellen Sie auch dazu die Wachstumsfunktion
auf und errechen Sie die Werte für die Jahre 2001 bzw. 2050.
(c) Wächst die Weltbevölkerung zur Zeit in Wahrheit etwa exponentiell oder etwa
linear? Geben Sie die jährliche Zuwachsrate in Prozent an! Ist es denkbar,
dass diese Zuwachsrate seit tausend Jahren gilt? Begründen Sie Ihre Antwort
mathematisch!
Lösung: (a) 6,6Mrd.; 18,0Mrd. (b) 6,6Mrd.; 12,5Mrd.
(c) 2%; im Jahre 990 hätte es dann nur ca. 13 Menschen gegeben!
60

Geometrische Folgen und Reihen
Lösung:
3.1 Exponentialfunktionen
1. In der Formelsammlung findet man zum Thema ” geometrische Reihen“:
ν=1
aν = a1 ·q ν−1 =⇒ sn =
n
ν=1
Beweisen Sie damit folgende Formeln:
n
(a) q ν = qn+1 −q n−1
(b) q
q −1
ν = qn −1
q −1
ν=0
aν = a1
(c)
q n −1
q −1
n
ν=0
q ν = qn+1 −1
q −1
2. Eine Folge von Zahlen, in welcher der Unterschied je zweier unmittelbar aufeinanderfolgender
Zahlen konstant ist, heißt arithmetische Folge.
Betrachtet werde nun eine aufsteigende arithmetische Folge mit vier Gliedern. Addiert
man zum ersten Folgenglied 1, zum zweiten 8, zum dritten 35 und zum vierten
122, so erhält man eine geometrische Folge. Bestimmen Sie die Glieder der beiden
Folgen!
Lösung: arithmetische Folge: 4,7,10,13 geometrische Folge: 5,15,45,135
3. Die Summe aus den ersten fünf Gliedern einer geometrischen Folge mit q = 0,8 hat
den Wert 420,2. Wie heißen der erste und der letzte Summand?
Lösung: a1 = 125; a5 = 51,2
4. In einer geometrischen Folge mit positiven Gliedern ist die Summe aus dem 2. und
4. Glied 102. Das 6. Glied ist 1536.
Berechnen Sie die Summe der ersten 7 Glieder.
Lösung: Anfangswert a = 1,5; Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder q = 4; s7 = 8191,5
5. In einer geometrischen Folge mit positiven Gliedern ist das Produkt aus dem zweiten
und vierten Glied gleich 1296, das fünfte Glied ist 16. Berechnen Sie die Summe der
ersten 10 Glieder.
Lösung: Es ist a1 = aq0 = 81, q = 2
3 und s10 = 9 i=0aqi = a q10−1 58025
q−1 = 243
6. Berechnen Sie den Wert der Summe −3 + 6 − 12 + 24 − ... − 3072 mit Hilfe der
Summenformel für geometrische Folgen.
61

Lösung: −2049
3.1 Exponentialfunktionen
7. Bei einer geometrischen Folge mit positiven rationalen Gliedern beträgt die Summe
des ersten und dritten Gliedes 20, die Summe des ersten und fünften Gliedes 17. Wie
lautet das erste und das zehnte Glied dieser Folge?
Lösung: 16, 1
32
8. Bei einer geometrischen Folge mit lauter positiven Gliedern beträgt das Produkt der
beiden ersten Glieder 324, die Summe der Quadrate dieser Glieder 1377.
(a) Berechnen Sie das erste Glied sowie den Quotienten dieser Folge!
(b) Berechnen Sie die Summe der ersten sieben Glieder!
Lösung: (a): 2 Lösungen: a1 = 9, q = 4 bzw. a1 = 36, q = 1
4
(b): 49149 bzw. 47 1021
1024
9. Die Summe der geraden Glieder einer geometrischen Folge von 5 rationalen Zahlen
beträgt 5
21
, die der ungeraden Glieder . Wie lauten die einzelnen Glieder?
2 4
Hinweis: Das mittlere Glied sei x; verwenden Sie 1
q2 +q2
1
=
q +q
2 −2!
Lösung: 0,25; 0,5; 1; 2; 4 bzw. 4; 2; 1; 0,5; 0,25
10. Der Brahmane Sissa, Erfinder des Schachspiels, erbat sich auf Aufforderung des indischen
Königs Shehram hin als Belohnung für seine Erfindung diejenige Summe
Weizenkörner, die sich ergibt, wenn man auf das erste Feld des Schachbretts ein einziges
Weizenkorn, auf das zweite Feld zwei, auf das dritte Feld 4, auf das vierte Feld
acht Körner usw. legt.
(a) Welche Summe von Weizenkörnern ergäbe sich?
(b) Welches Gewicht hätten diese insgesamt, wenn 20 Körner durchschnittlich 1g
wiegen?
(c) WiehochkönnteeinequadratischeFlächederSeitenlänge100kmdamitbedeckt
werden, wenn 15 Körner etwa 1cm 3 Raum einnehmen?
Lösung: (a): 2 64 −1 ≈ 1,84·10 19 (b): 9,22·10 11 t (c): ca. 120m
62

Lösung:
3.1 Exponentialfunktionen
11. Zwischen 2 Tönen mit den Schwingungszahlen 1000Hz und 2000Hz (Oktave!) sollen
elf Töne eingeschaltet werden, so dass die Folge der Schwingungszahlen dieser
dreizehn Töne eine geometrische Folge bildet. Wie lautet der Quotient dieser Folge?
12 √ 2
12. Schiebt man zwischen die Töne einer Oktave 11 Zwischentöne derart ein, dass deren
FrequenzeneinegeometrischeFolgebilden,soentstehteineTonleitermit ” gleichmäßigtemperierter
Stimmung “.
Beispiel: Der Ton c’ hat eine Frequenz von 261Hz, seine Oktave c” eine doppelt so
große. In C-Dur heißen die 11 Zwischentöne cis, d, dis, e, f, fis, g, gis, a, ais und h.
(a) Berechnen Sie den Quotienten dieser geometrischen Folge auf zwei Dezimalen
genau.
(b) Der 9. Zwischenton ist der Kammerton a’, der zum Stimmen von Musikinstrumenten
benutzt wird. Berechnen Sie seine Frequenz!
Lösung: 1,06; 441Hz
13. Einem Quadrat mit der Seitenlänge a wird ein
zweites Quadrat derart einbeschreiben, dass dessen
Ecken in den Seitenmitten des ersten liegen.
Setzt man dieses Verfahren fort, so ersteht eine
Folge von Quadraten. (vgl. Abb) .
(a) Stellen Sie den Flächeninhalt und den Umfang des n-ten Quadrats mit Hilfe der
Seitenlänge a des ersten Quadrats dar.
(b) Berechnen Sie die Summe der Umfänge der ersten 10 Quadrate für a = 15cm.
Lösung: An = a 2 ·( 1
2 )n−1 ; Un = 4a·( 1
√ 2 ) n−1 ; S10 ≈ 198.5cm
14. Ein Quadrat mit der Seitenlänge a wird durch eine
Diagonale in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegt.
In eines der beiden Dreiecke wird ein weiteres
Quadrat einbeschrieben, das wiederum durch seineDiagonaleinzwei
rechtwinklige Dreiecke zerlegt
wird.WiederholtmandiesesVerfahren,soentsteht
eine Folge von Quadraten. (vgl. Abb.)
63
.
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
.

3.1 Exponentialfunktionen
(a) Berechnen Sie den Flächeninhalt des n-ten Quadrats in Abhängigkeit der Seitenlänge
a des ersten Quadrats.
(b) Berechnen Sie die Summe der Flächeninhalte der ersten 8 Quadrate für a =
10cm.
Lösung: An = a 2 ·( 1
4 )n−1 ; S8 ≈ 133cm 2
Logarithmen
1. Betrachtet wird die Wachstumsfunktion
x ↦−→ N = N0 ·a x mit x ∈ R.
Für x = 3,0 ist N = 14929,92.
Für x = 2,5 ist N = 12441,60.
(a) Berechnen Sie N0 und den Wachstumsfaktor a!
(b) Um welchen Betrag muss x zunehmen, damit der Bestand N um ein Drittel
seines momentanen Wertes ansteigt?
Lösung: (a): N0 = 5000; a = 1,44
(b): ∆x = 0,79
2. (a) Zeichnen Sie für −3 ≦ x ≦ 3 den Graphen Gf der Funktion f : x ↦−→ 2 x
(Längeneinheit 1cm)
Nur eine genaue Zeichnung ermöglicht die Beantwortung der folgenden Teilaufgabe!
(b) Die Gleichungen log 2u = −1,7 und log 23 = v lassen sich nach geeigneter Umformung
mit Hilfe des Graphen Gf näherungsweise lösen.
Veranschaulichen Sie die Lösungen u und v als Strecken im Koordinatensystem
der Teilaufgabe (a) und geben Sie einen guten Näherungswert für u und einen
für v an!
Lösung: (b): u ≈ 0,3; v ≈ 1,6
3. Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 2·10 x −1 und maximaler Definitionsmenge
Df.
(a) Geben Sie Df und die Wertemenge Wf an!
(b) Berechnen Sie die Schnittpunkte des Graphen Gf mit den Koordinatenachsen!
(c) Bestimmen Sie den Term der Umkehrfunktion f ∗ von f!
(d) Bestimmen Sie die Schnittpunkte des Graphen Gf∗ mit den Koordinatenachsen
durch Überlegung! (Begründung angeben, keine Rechnung!)
64

Lösung: (a): Df = R; Wf =]−1;∞[
(b): (0|1) bzw. (−lg0,5|0)
(c): y = lg x+1
2
(d): (0|−lg0,5) bzw. (1|0)
3.1 Exponentialfunktionen
4. Die Graphen der Funktionen f und g mit f(x) = 5·3 x und g(x) = 2·x 3 ergeben bei
geeigneter Achseneinteilung jeweils eine Gerade.
(a) Welche Darstellung muss jeweils gewählt werden? (Keine Zeichnung.)
(b) BerechnenSiefürdiebeidenGeradendieSteigungmunddenAchsenabschnitt t.
Lösung: (a) Für f:einfach-logarithmisch, für g:doppelt-logarithmisch
(b) bei f: m = lg3, t = lg5, bei g: m = 3, t = lg2
5. Gegeben ist die Funktion
f : x ↦−→
1
2 1
3
x
, Df = R
Zeichnen Sie den Graphen im Intervall [−4;4]. (Längeneinheit auf beiden Achsen
1cm.)
(a) Wenn das Argument um 2 wächst, dann ändert sich der Funktionswert y in
charakteristischer Weise. Formulieren Sie diese Änderung in Worten und weisen
Sie die Allgemeingültigkeit nach, indem Sie die Funktionswerte für x1 und x2 =
x1 +2 vergleichen.
(b) Bestimmen Sie den Term der Umkehrfunktion und ihren Definitionsbereich.
Zeichne Sie den Graphen der Umkehrfunktion noch in das vorhandene Koordinatensystem
ein.
Lösung: (a) Er ändert sich um den Faktor 1
3
(b) y = − 2
lg3 lgx, Df−1 = R+
1. Berechnen Sie x:
a) log 1
a
3√ a = x b) 2·log2x = 5 c) log x 4
9
Lösung: a) x = − 1
3 b) x = 2 5
2 c) x = 3
2
= −2
2. Bestimmen Sie jeweils x:
a) log x0,008 = −3 b) log √ 32 0,125 = x c) log 4
65
7√ 16 = x

Lösung: a) 5, b) −6 2
5 , c) 7
3.1 Exponentialfunktionen
3. Geben Sie jeweils x an:
a) log u 1
u 3 = x b) log x 27
8 = 3 c) log 8x = 5
3
Lösung: a) −3; b) 3
2 ; c) 32
4. Für welches x gilt logx 256 = x? Am Ende der Rechnung darf probiert werden!
Lösung: x x = 256 ; x = 4
5. Für welches x gilt logx 3125 = x? Am Ende der Rechnung darf probiert werden!
Lösung: x x = 3125 ; x = 5
Lösung: 2
6. Welche natürliche Zahl x erfüllt die Gleichung: log x8 = x+1?
7. Formen Sie folgende Wortlaute in eine logarithmische Gleichung um und geben Sie
jeweils die Lösung an!
(a) Mit welcher Zahl muss man 7 potenzieren, um 2401 zu erhalten?
(b) Potenziert man eine Zahl mit 5, so erhält man 243
32 .
(c) Welche Zahl erhält man, wenn man 4
5
Lösung: (a) log72401 = x; x = 4
3 = 5; x =
243 (b) logx 32 2
(c) log 4 x = 3; x =
5
64
125
1. Geben Sie jeweils den Wert des Logarithmus an!
dreimal mit sich selbst multipliziert?
a) log 100,001 b) log 0,25256 c) log 3 √ a 2
Lösung: a) −3, b) −4, c) 9
4
2. Berechnen Sie ohne Verwendung des Taschenrechners:
log 5
66
1
7√ 125
√ a 3

Lösung: − 3
7
3.1 Exponentialfunktionen
3. Die folgende Aufgabe soll ohne Verwendung des Taschenrechners bearbeitet werden!
Fassen Sie den folgenden Term zunächst zu einem einzigen Logarithmusterm zusammen
und vereinfachen Sie diesen dann möglichst weit.
Lösung: lg0,3
1
3 ·lg27−3·lg2+2−3·lg5
4. Formen Sie folgende Wortlaute in eine logarithmische Gleichung um und geben Sie
jeweils die Lösung an!
(a) Mit welcher Zahl muss man 7 potenzieren, um 2401 zu erhalten?
(b) Potenziert man eine Zahl mit 5, so erhält man 243
32 .
(c) Welche Zahl erhält man, wenn man 4
5
Lösung: (a) log72401 = x; x = 4
3 = 5; x =
Lösung: 43
30
Lösung: 3
243 (b) logx 32 2
(c) log 4 x = 3; x =
5
64
125
5. Berechnen Sie folgenden Term:
log 1
a 2
6. Vereinfachen Sie soweit wie möglich:
log 2
3√ a − log √ a
dreimal mit sich selbst multipliziert?
1
a · 5√
a
8
7 −log √ 9
2 3+log2
5 −log2 67
√ 27
35

3.1 Exponentialfunktionen
7. Fassen Sie zu einem einzigen Logarithmus zusammen und vereinfachen Sie so weit
wie möglich:
2·log u − 3·log √ u + 1
·log u2
3
Lösung: log u 7
6
8. Fassen Sie folgenden Term so weit wie möglich zusammen:
Lösung: log a
Lösung: 3
ab
c 3
1
2 ·(1 + log ab − log ac 3 ) a,b,c ∈ R + ,a = 1
9. Vereinfachen Sie so weit wie möglich (a ∈ R + ,a = 1):
log 2
a
4 + 3·log √
2 8 − log4a 2 √
+ loga a
10. Das gleichseitige Dreieck ABC ist Grundfläche der Pyramide ABCS. Der Fußpunkt
der Pyramidenhöhe ist A, die Höhe 6m, das Volumen 8 √ 3m 3 groß.
(a) Erstellen Sie eine saubere und übersichtliche Schrägbildskizze!
(b) Berechnen Sie die Längen sämtlicher Pyramidenkanten!
(c) Welchen Neigungswinkel haben die Ebenen E(A;B;C) und E(B;C;S)?
Lösung: (b): AB = BC = AC = 4m; SC = SB = 2 √ 13m; SA = 6m
(c): 60 o
11. Vereinfachen Sie soweit wie möglich:
Lösung: −log az
log az −0,5 −0,25·log az +0,1·log a
68
√ z
z 3

12. Vereinfachen Sie soweit wie möglich:
Lösung: 3log a2x
2log a
13. Vereinfachen Sie soweit wie möglich:
Lösung: 2
3.1 Exponentialfunktionen
x
2 −3loga0,25y +logax √ 1 √
x−loga 3 −loga 4x
y
log b16−log b2 √ 2b+log b
√ 2b+logb(0,125b 2 )
14. (a) Weisen Sie die Gültigkeit der folgenden Gleichung nach:
Lösung: 3
5
log1 216 = −3
6
(b) Berechnen Sie unter Verwendung der Gleichung aus Aufgabe (a) den Wert des
Terms:
5√
1
log1 216·(log1 108−log1
6
6 6 2 )
log1
6
1
216
15. Für welche b,v,w ∈ R gilt: log b v w = w log b v
Lösung: v > 0; b > 0 und b = 1; w beliebig
16. Für welche b,x,y ∈ R gilt: log b(xy) = log b x+log b y
Lösung: x > 0; y > 0; b > 0 und b = 1
Lösung:
17. Gegeben ist die Formel:
log bz = 1
log zb
(a) Prüfen Sie die Formel am Beispiel: b = 8, z = 32
(b) Beweisen Sie die Formel. (Hinweis: Setze z = b u )
69

18. Gegeben ist der Term
3.1 Exponentialfunktionen
log 3[3 √ 3·(x 2 −y 2 )]−log 9(x−y) 4 −log 3(x+y)
wobei x und y reelle Zahlen vertreten.
(a) Welche Beziehung muss zwischen x und y bestehen, damit obiger Term definiert
ist?
(b) Man vereinfache den Term so weit wie möglich!
Lösung: (a): x+y > 0 ∧ x−y > 0 (b): 1,5−log 3(x−y)
19. Gesucht ist irgendein x > 2, so dass
2 x > x 1000000 .
Lösung: z.B. x = 2 25 (Monotonie des Logarithmus verwenden!)
1. Bestimmen Sie, falls möglich, die Lösung auf 3 geltende Ziffern genau:
a) 10 8x = −7 b) 1,8·10 x−7 = 4,32
Lösung: (a) L = {} (b) x = 7,38
2. Bestimmen Sie die Lösung auf 6 Dezimalen genau: 2 x +2 x+1 +2 x+2 = 2
Lösung: x ≈ −1,807355
3. Bestimmen Sie x:
Lösung: x = lg2
lg 5
3
4. Bestimmen Sie die Lösungsmenge:
Lösung: 1+ 1
lg1,5 = 6.67887
5 x = 2·3 x
3 x−1 = 5·2 x
70

3.1 Exponentialfunktionen
5. Berechnen Sie die Lösungsmenge: 5 2x −27·5 x = 0
Lösung: L = { lg27
lg5
} = {2,048}
6. Bestimmen Sie die Lösungsmenge:
Lösung: L = {−1; lg2
lg3 }
3·9 x − 7·3 x +2 = 0
7. Berechnen Sie die Lösungsmenge: 5 2x +50 = 27·5 x
Lösung: L =
2; lg2
lg5
8. Berechnen Sie die Lösungsmenge: 5 2x −27·5 x = 0
Lösung: L = { lg27
lg5
} = {2,048}
9. Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Gleichung:
2·5 x+1 −3·5 2−x = 5
Lösung: Substitution und Lösung einer quadratischen Gleichung: x = lg3
lg5
10. Bestimmen Sie die Lösungsmenge:
Lösung: L = {−1; lg3
lg5 }
5·25 x − 16·5 x +3 = 0
11. Berechnen Sie die Lösungsmenge: log0,01x+log1000(2x) = lg2
Lösung: D = R +
1
, L =
16
71

3.1 Exponentialfunktionen
12. BestimmenSiedieLösungsmengederfolgendenGleichunginderGrundmengeG = R:
Lösung: x1 = −1+log 53; x2 = −1
(5 x+1 ) 2 −4·5 x+1 +3 = 0
1. Wir untersuchen die Funktionf : x ↦−→ log 2x
(a) Zeichnen Sie zunächst den Graphen der Umkehrfunktion von f und entwickeln
Sie daraus den Graphen von f im Intervall [0;8] (Einheit 1 cm).
(b) Wie erhält man daraus geometrisch den Graphen von x ↦−→ log1 x? Zeichnung
2
und algebraische Begründung!
(c) Bestimmen Sie graphisch log 25.
Lösung: (a) Zeichnung mit Hilfe ganzzahliger Werte von y = 2 x . Spiegelung an der Winkelhalbierenden
des ersten Quadranten.
(b) Spiegelung an der x-Achse
(c) 2,32
2. (a) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f(x) = log 3x in Df = R + unter Zuhilfenahme
des Graphen einer geeigneten Exponentialfunktion g. Geben Sie die
Funktionsgleichung von g an!
(b) Die Punkte A(9|yA), B(xB| 1
2 ) und C(5|yC) liegen auf Gf. Geben Sie die fehlenden
Koordinaten zunächst exakt und dann auf zwei Dezimalen gerundet an!
(c) Für welche x-Werte sind die Funktionswerte von f größer als 5?
Lösung: g(x) = 3 x ; yA = 2; xB = √ 3 ≈ 1,73; yC = log 35 ≈ 1,46; x > 243
3. Gegeben ist die Funktion f durch die Gleichung
f(x) = lg(x 2 +1) in ihrem maximalen Definitionsbereich.
(a) Geben Sie den maximalen Definitionsbereich und die Wertemenge der Funktion
f an! (Begründung!)
(b) Fertigen Sie eine saubere Zeichnung des Funktionsgraphen Gf im Bereich 0 ≤
x ≤ 7! (Einheit auf beiden Achsen: 1cm)
Erstellen Sie dazu eine Wertetabelle für x ∈ {0;1;2;...;7}
(c) Für welchen Wert von a (a > 0) hat der Graph der Funktion g(x) = lg(ax) mit
Gf nur einen gemeinsamen Punkt?
72

Lösung: D = R; W = R + 0 ; a = 2
3.1 Exponentialfunktionen
4. Zeichnen Sie die Graphen der beiden Funktionen
Lösung: log 1
a
y = log2x und y = log1 x D = R
2
+
in ein Koordinatensystem.
Beweisen Sie anschließend: log 1 ax+log x = 0
a
x = log a x
log a 1
a
= −log ax
5. Bestimmte Logarithmuskurven liegen symmetrisch zueinander.
(a) Um welche Art von Symmetrie handelt es sich?
(b) Geben Sie ein Beispiel dafür an. Wie lautet der allgemeine Zusammenhang zwischen
den Funktionstermen zweier solcher Kurven?
Lösung: (a) Symmetrie zur x-Achse
(b) logbx und log 1 x
b
6. (a) Bestimmen Sie a und b so, dass sich die Graphen der Funktionen mit den Funktionsgleichungen
y = a x und y = log bx im Punkt P(3|8) schneiden.
(b) Bestimmen Sie jeweils die Umkehrfunktion und geben Sie einen Schnittpunkt
der Graphen der Umkehrfunktionen an.
(c) Welche Bedingung muss eine Funktion erfüllen, damit sie umkehrbar ist? (Ohne
Begründung!)
Lösung: (a) a = 2; b = 3 1
8 ≈ 1,1472
(b) y = log 2x ; y = ( 8√ 3) x ; Q(8|3)
(c) Jedem x-Wert darf höchstens ein x-Wert zugeordnet sein.
7. In dieser Aufgabe untersuchen wir die allgemeine Logarithmusfunktion
(a) Beweisen Sie, dass f(x) in der Form
f(x) = A·log B(Cx+D)+E
g(x) = a lg(x+b)+c
dargestellt werden kann und drücken Sie die Konstanten a, b und c durch A, B,
C, D und E aus!
73

3.1 Exponentialfunktionen
(b) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f(x) = lg8·log 2(100x+500)−5 nach
Umformung wie in Teilaufgabe (a)! Wie geht der Graph von f aus dem Graphen
von f0(x) = 3 lgx hervor? Berechnen Sie die Nullstelle von f!
(c) ErmittelnSiedieGleichungderallgemeinenLogarithmusfunktionf,derenGraph
die Punkte P(−2,9|−6), Q(−2|−2) und R(7|2) enthält! Zeichnen Sie den Graphen
von f nach Ermittlung der Definitionsmenge und der Nullstelle!
Hinweis: Verwenden Sie f(7)−f(−2,9)
f(7)−f(−2)
Lösung: (a) A = A D A lgC
, b = , c =
lgB C lgB +E
zur Berechnung von b!
(b) f(x) = 3 lg(x+5)+1. Verschiebung um 5 nach links und 1 nach oben. x0 = 10−1 3−5 ≈
−4,54
(c) lg b+7 b+7 b+7
= 2·lg =⇒
b−2,9 b−2 b−2,9 =
2 b+7
=⇒ b = 3
b−2
f(x) = 4 lg(x+3)−2 , Df =] −3; +∞[ , x0 = −3+ √ 10 ≈ 0,16
8. Die Graphen der Funktionen f und g mit f(x) = 5·3 x und g(x) = 2·x 3 ergeben bei
geeigneter Achseneinteilung jeweils eine Gerade.
(a) Welche Darstellung muss jeweils gewählt werden? (Keine Zeichnung.)
(b) BerechnenSiefürdiebeidenGeradendieSteigungmunddenAchsenabschnitt t.
Lösung: (a) Für f:einfach-logarithmisch, für g:doppelt-logarithmisch
(b) bei f: m = lg3, t = lg5, bei g: m = 3, t = lg2
1. Jod 131 hat eine Halbwertszeit von 8 Tagen. Nach wie vielen Tagen sind 95% einer
ursprünglich vorhandenen Stoffmenge zerfallen?
Lösung: 34,6 Tage
2. Faltet man ein Stück Papier im DIN-Format mehrfach längs einer Mittellinie, so
liegen erst zwei, dann vier Schichten übereinander. Es wird dabei immer kleiner und
dicker. Wie oft müsste man es falten können, um einen Turm zu erhalten, der bis
zum Mond reicht? (Entfernung des Mondes:384000km, Papierdicke 0,2mm)
Lösung: Bei einer Dicke von 0,2mm erhält man ca. n = 41 Faltungen.
74

3.1 Exponentialfunktionen
3. Am 1.1.1960 lebten a0 = 3,01 Milliarden Menschen auf der Erde. In welchem Jahr
überschreitet die Erdbevölkerung die 10 Milliardengrenze, wenn der jährliche Zuwachs
1,9% beträgt? In welchem Jahr erreichte die Menschheit die 2 Milliardengrenze?
Lösung: n ≈ 63,79a =⇒ im Jahre 2023 ; n ≈ −21,72a =⇒ im Jahre 1938
4. In einer Schale mit Nährflüssigkeit leben am 1.1.1995 um 0.00 Uhr genau N0 = 100
Bakterien. Die Bakterienkultur wächst täglich um 24%. An welchem Tag (Datum!)
überschreitet die Kultur die Millionengrenze? An welchem Tag wurde die Kultur mit
genau 8 Bakterien angesetzt?
Lösung: n ≈ 42,82d =⇒ am 12.02.1992 ; n ≈ −11,74d =⇒ am 20.12.1991
5. DieTemperatur einer vollen Kaffetasse ist um60 0 C höher als die Zimmertemperatur.
Nun wird der Temperaturunterschied ∆ϑ zur Zimmertemperatur in gleichmäßigen
Zeitabständen gemessen:
t in min 0 5 10 15 20 25
∆ϑ in 0 C 60 45 34 25 19 14
(a) ZeichnenSieaufdembeiliegendenhalblogarithmischenPapiereint-∆ϑ-Diagramm.
(b) Welche Bedeutung hat der geradlinige Verlauf des Graphen im Diagramm für
den Zusammenhang von t und ϑ?
Lösung: Ein geradliniger Verlauf in halblogarithmischer Darstellung entspricht einer Exponentialfunktion.
Der Ansatz ∆ϑ = 60 0 · 10 −βt liefert logarithmiert log ∆ϑ
60 0 = −βt. Substitution
y = log ∆ϑ
10 ergibt die Geradengleichung y = log60−βt und −β = ∆y
∆t
β = 1
25 min
·log 30
7
100
10
1
0 5 10
75
15 20 25
= log14−log60
25 min bzw.

3.1 Exponentialfunktionen
6. Die Helligkeit eine Sterns kann man physikalisch durch die auf der Erde einfallende
Lichtintensität E (Energie pro Flächen- und Zeiteinheit) beschreiben. n gleichartige
Sterne am selben Ort des Himmels bewirken also die n-fache Lichtintensität.
Die Helligkeitsempfindung im Auge hängt damit zusammen, wir bezeichnen sie als
scheinbare Helligkeit m. Zwischen E und m besteht folgender Zusammenhang
(Weber-Fechnersches Gesetz):
m = −2,5lg E
(Dabei ist E0 die Intensität eines Sternes der Helligkeit m = 0, die Helligkeit von
Mars und Saturn schwankt um diesen Wert.)
Lösung: (a) −2,5
(a) Ein bestimmter Stern hat die scheinbare Helligkeit m0. Wie würde sich diese
ändern, wenn am selben Ort nicht ein sondern 10 gleichartige Sterne wären?
(b) Die Sonne hat die scheinbare Helligkeit mS = −28. Um welchen Faktor unterscheidet
sich ihre Lichtintensität von der des Polarsterns mit mP = 2? (Löse die
Gleichung nach E auf!)
(b) 10 12
7. Die Intensität I einer Schallwelle ist
definiert als einfallende Leistung pro
Flächeundwirdin W
m2 gemessen. Das
Ohr eines jungen Menschen kann
im Frequenzbereich von ca. 1000Hz
gerade noch die Intensität I01 =
−12 W 10 m2 wahrnehmen (Hörschwelle),
beitiefenTönen(≈ 100Hz)liegt
die Hörschwelle bei I02 = 10
−9 W
m2. Die Lautstärke L einer Schallwelle
ist definiert durch
L = 10·lg I
E0
Schallquelle Schall-Leistung
menschliche Sprache 7·10 −6 W
Geige 1·10 −3 W
Flügel 2·10 −1 W
Trompete 3·10 −1 W
Hupe 5W
Orgel 10W
Lautsprecher 100W
Sirene 3000W
I0
phon,
wobei für I0 die Intensität der Hörschwelle bei der jeweiligen Frequenz einzusetzen
ist. Die Benennung phon gibt an, dass es sich um eine Lautstärke handelt, ist aber
keine Einheit im physikalischen Sinn.
(a) Berechnen Siefür die Schallquellen der Tabelle dieIntensitäten und Lautstärken
in der Entfernung d = 4m, und zwar einmal für 1000Hz und einmal für 100Hz.
Gehen Sie davon aus, dass die Schallwellen in alle Richtungen gleich stark abgestrahlt
werden.
76

3.1 Exponentialfunktionen
(b) Wie geht der Graph der Funktion L2(I) = 10 · lg I aus dem Graphen von
I02
L1(I) = 10 · lg I hervor? Zeichnen Sie beide Graphen einmal im Intervall
I01
−12 W 10 m2 −8 W ≦ I ≦ 10 m2 −12 W
und einmal im Intervall 10 m2 ≦ I ≦ 3 W
m2 jeweils
in ein Koordinatensystem! Versuchen Sie graphisch für beide Frequenzen die
I-Werte zu bestimmen, die zu den Lautstärken 35phon bzw. 85phon gehören!
Welche Schwierigkeit ergibt sich dabei?
(c) UmdieinTeilaufgabe(b)auftretendenSchwierigkeiten zubeseitigen, führenwir
die neue Variable x = lgI ein. Drücken Sie L1 und L2 durch x aus und zeichnen
−12 W
Sie die Graphen von L1(x) und L2(x) im Intervall 10 m2 3 W ≦ I ≦ 10 m2 in ein
Koordinatensystem! Bestimmen Sie graphisch und durch Rechnung die fehlenden
Werte in folgender Tabelle:
I in W
Lösung: (a) I = P
4πr 2, L2 = L1 −30
4·10 −6
m2 L1 in phon 9
L2 in phon 80
P in W 7·10 −6 0,001 0,2 0,3 5 10 100 3000
I in W
m 2 3,5·10 −8 5,0·10 −6 9,9·10 −4 0,0015 0,025 0,050 0,50 15
L1 in phon 45 67 90 92 104 107 117 132
L2 in phon 15 37 60 62 74 77 87 102
(b) Verschieben um 30 nach unten.
L1 = 35phon =⇒ I = 3,2·10 −9 W
m2 L2 = 85phon =⇒ I = 0,32 W
m2 Die beiden anderen Werte sind nicht ablesbar.
(c) L1(x) = 10x+120 , L2(x) = 10x+90
8. Das dritte Planetengesetz von Kepler
I in W
m 2 4·10 −6 7,9·10 −12 0,1
L1 in phon 66 9 110
L2 in phon 36 −21 80
In der folgenden Tabelle wird vereinfachend angenommen, die Planeten der Sonne
bewegten sich auf Kreisbahnen vom Radius a um die Sonne. Der Bahnradius der
Erde wird als Astronomische Einheit bezeichnet: 1AE = 1,496·10 8 km. Es wird ein
funktionaler Zusammenhang zwischen dem Bahnradius a und der Umlaufszeit U der
Planeten umdie Sonnegesucht, dieser wirdalsdrittes Keplersches Gesetz bezeichnet.
77

3.1 Exponentialfunktionen
Das dritte Keplersche Gesetz
Planet a in 10 8 km a ′ = a
1AE loga ′ U in Jahren logU
Merkur 0,579 0,241
Venus 1,082 0,615
Erde 1,496 1,000
Mars 2,274 1,880
Jupiter 7,779 11,860
Saturn 14,287 29,500
Uranus 28,723 84,000
Neptun 45,030 164,800
Pluto 59,391 247,700
(a) Vervollständigen Sie die Tabelle.
(b) Tragen Sie logU in Abhängigkeit von loga ′ auf.
(c) Leiten Sie mit Hilfe des Diagramms eine Gleichung zwischen U und a ′ her.
Lösung: Die Zahl der Planeten sollte bedarfsgerecht verringert werden. Die Quotienten der Logarithmen
variieren zwischen 1.499 und 1.508, mit dem Mittelwert 1,500. Dies ergibt
logU = loga ′1,5 bzw. U = a ′1,5
logU
loga ′
9. Die Explosion einer Atombombe läuft im Prinzip folgendermaßen ab:
EinNeutronspaltet einenPlutoniumkern, wobei dreiweitere Neutronenentstehen (1.
Zerfallsstufe). Jedes der drei erzeugten Neutronen spaltet einen weiteren Kern und es
entstehen insgesamt neun Neutronen (2. Zerfallsstufe). Dieses Spiel setzt sich solange
fort, bis alle Plutoniumkerne zerfallen sind (Kettenreaktion). Wie lange dauert der
vollständige Zerfall eines Plutoniumstücks mit N = 7,85 · 10 26 Kernen, wenn die
Dauer einer Zerfallsstufe τ = 10 −8 s beträgt?
Lösung: In der k-ten Stufe zerfallen ak = 3 k−1 Neutronen.
n
Nach n Stufen sind N = ak = 3n −1
Kerne zerfallen.
2
∆t = nτ =
lg(2N +1)
lg3
k=1
·τ = 5,7·10 −7 s
10. N0 Teilchen einer radioaktiven Strahlung treffen auf eine Bleiplatte der Dicke x.
Wegen der abschirmenden Wirkung des Bleis sind nach der Platte nur noch
N = f(x) = N0 ·10 −λx Teilchen mit λ = 0,40 1
cm vorhanden.
(a) Zeichnen Sie den Graphen von f(x) im Intervall [0; 5cm] (N0=10cm)!
(b) Für welche Plattendicke xH (Halbwertsdicke) wird die Strahlung auf die Hälfte
reduziert?
78

3.1 Exponentialfunktionen
(c) Welche Gleichung hat die Umkehrfunktion x = g(N)? Welche Definitionsmenge
ist für g nur sinnvoll? Zeichnen Sie den Graphen von g (N0=10cm)! Wie geht
der Graph von g aus dem Graphen von h(x) = lgN
λ hervor?
Lösung: (b) x = lg2
λ
= 0,75cm
(c) x = g(N) = lgN0 −lgN
; Dg =]0; N0]
λ
Spiegelung an der N-Achse und Verschiebung um lgN0
λ
nach oben.
11. Die Graphen der Funktionen f und g mit f(x) = 5·3 x und g(x) = 2·x 3 ergeben bei
geeigneter Achseneinteilung jeweils eine Gerade.
(a) Welche Darstellung muss jeweils gewählt werden? (Keine Zeichnung.)
(b) BerechnenSiefürdiebeidenGeradendieSteigungmunddenAchsenabschnitt t.
Lösung: (a) Für f:einfach-logarithmisch, für g:doppelt-logarithmisch
(b) bei f: m = lg3, t = lg5, bei g: m = 3, t = lg2
1. Wir betrachten die sehr große Zahl x = 738. Wie lang ist die ausgeschriebene Zahl,
wenn pro Ziffer 0,5cm beansprucht werden? Schreiben sie x als Gleitkommazahl mit
drei geltenden Ziffern hin!
Lösung: x = 4,88·10 5544 =⇒ 5545 Ziffern =27,725m
2. Wir betrachten die sehr große Zahl x = 846. Wie lang ist die ausgeschriebene Zahl,
wenn pro Ziffer 0,5cm beansprucht werden? Schreiben sie x als Gleitkommazahl mit
drei geltenden Ziffern hin!
Lösung: x = 1,14·10 3699 =⇒ 3700 Ziffern =18,5m
3. Die größte bekannte Primzahl war im Jahr 1994 die Zahl
p = 2 859433 −1
(a) a bezeichne eine Zahl aus dem Intervall [l;l+1[ (l ∈ N). Wie viele Stellen besitzt
die Zahl z = 10 a in der Dezimaldarstellung. Begründen Sie präzise!
(b) Wieviele Dezimalen hat die Zahl z = 2 859433 ?
(c) Begründen Sie, dass p die gleiche Anzahl von Dezimalen hat.
(d) Wieviele Seiten im DIN A4 Format füllt die Zahl, wenn man eine Seite mit 40
Zeilen zu 80 Zeichen bedruckt?
79

3.1 Exponentialfunktionen
Lösung: (a) Wegen der Monotonie gilt 10 l ≦ z < 10 l+1 , z hat also l +1 Stellen falls a < 10 l+1 .
(b) Die Stellenzahl von z = 2 859433 ist l = [log 102·859433] + 1 = 258716 (Gauss’sche
Klammer).
(c) Es kann nicht z = 10 l sein (warum?), also haben z und p gleiche Stellenzahl.
(d) 81 Seiten.
80

Teil II.
Geometrie
81

4. Kreismessung
4.1. Kreis - Umfang und Fläche -
Approximationsverfahren
4.1.1. Kreis - Umfang und Fläche
1. Die Differenz der Umfänge zweier Kreise beträgt 6π, die Differenz der Flächen 18π.
Berechnen Sie die Radien beider Kreise.
Lösung: r1 = 4,5; r2 = 1,5
2. Einem Kreis vom Radius r ist ein Quadrat einbeschrieben, dessen vier Ecken auf der
Kreislinie liegen. Wieviel Prozent der Kreisfläche werden von dem Quadrat bedeckt?
Lösung: 63,7%
3. Berechnen Sie den Inkreisradius r eines Quadrats,
wenn der Umfang des zugehörigen Umkreises mit
dem Radius R um 2,6026cm größer ist als der des
Inkreises!
Lösung: r = 1,0000cm
.
.
r
R ....... .
4. Unter einem Ankreis eines Dreiecks versteht man einen Kreis, der eine Dreiecksseite
und die Verlängerung der beiden anderen Dreiecksseiten berührt. Jedes Dreieck
besitzt also drei Ankreise.
82

4.1 Kreis - Umfang und Fläche - Approximationsverfahren
(a) Berechnen SiedenFlächeninhalt eines derdrei (untereinander kongruenten) Ankreise
eines gleichseitigen Dreiecks der Seitenlänge a! Erstellen Sie eine saubere
Überlegungsskizze!
(b) Wie verhalten sich die Umfänge von Inkreis, Umkreis und (einem) Ankreis eines
gleichseitigen Dreiecks der Seitenlänge a?
Lösung: (a) AAK = 3
4 a2 π (b) UIK : UUK : UAK = 1 : 2 : 3
5. Unter einem Ankreis eines Dreiecks versteht man einen Kreis, der eine Dreiecksseite
und die Verlängerung der beiden anderen Dreiecksseiten berührt. Jedes Dreieck besitzt
also drei Ankreise.
Gegeben sei nun ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck der Schenkellänge a. Fertigen
Sie eine übersichtliche Zeichnung an und berechnen Sie dann Umfang und
Flächeninhalt desjenigen Ankreises, der die Hypotenuse und die verlängerten Schenkel
berührt!
Lösung: UAK = aπ ·(2+ √ 2) AAK = a2
2 π ·(3+2√ 2)
4.1.2. Ein- und umbeschriebene regelmäßige Vielecke
Lösung:
1. Nebenstehende Skizze zeigt einen Ausschnitt zweier
regulärer n-Ecke mit den Seitenlängen B1B2 =
sn und A1A2 = tn, welche einem gegebenen Kreis
k(M;r) ein- bzw. umbeschrieben sind.
(a) ZeigenSie, dass für denFlächeninhalt Fn des
umbeschriebenen n-Ecks die Formel
Fn = 1 ·r ·Un 2
gilt, wobei Un den Umfang dieses n-Ecks bezeichnet.
(b) Beweisen Sie unter Verwendung des Strahlensatzes
die Formel
sn
tn =
1− sn
2r
2
83
M
. . .
. . .
. .
.
. .
.
. .
.
. .
.
.
.
.
.
.
. . r
.
. . .
. . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . sn
. .
.
.
. .
.
.
.
.
.
B1
A1
tn
B2
A2

4.1 Kreis - Umfang und Fläche - Approximationsverfahren
2. Im Unterricht wurden die folgenden zwei Formeln besprochen:
U2n = 2unUn
; u2n =
un +Un
unU2n
Dabei ist un der Umfang des einem Kreis mit dem Radius r einbeschriebenen regelmäßigen
n-Ecks, Un der Umfang des demselben Kreis umbeschriebenen regelmäßigen
n-Ecks.
(a) Geben Sie den Umfang des einem Kreis mit dem Radius r einbeschriebenen
regelmäßigen Sechsecks an. Bestimmen Sie auch den Umfang des demselben
Kreis umbeschriebenen regelmäßigen Sechsecks.
(b) Bestimmen Sie mit den oben angegebenen Formeln die Umfänge der demselben
Kreis umbeschriebenen und einbeschriebenen regelmäßigen Zwölfecke. Vereinfachen
Sie die erhaltenen Ausdrücke vor Anwendung des TR soweit wie möglich.
(c) Welche Abschätzung ergibtsichausdenin(b)berechneten Wertenfürπ?Geben
Sie auch an, um wieviel sich die beiden Werte prozentual von π unterscheiden.
Berechnen Sie schließlich das arithmetische Mittel der beiden Werte.
Lösung: (a) u6 = 6r; U6 = 4 √ 3·r (b) u12 = 6,2117r; U12 = 6,4308r
(c) −1,14 % bzw. +2,35 % ; m = 3,1606
3. Ein Kreis vom Radius r = 1 ist von einem einbeschriebenen und einem umbeschriebenen
regelmäßigen Sechseck eingeschlossen (vgl. Abb.).
(a) Schreiben Sie dieLängedesTangentenstücks
t6 als Vielfaches der halben Sehne s6.
(b) Der Umfang des umbeschriebenen Sechsecks
wird mit U6, der des einbeschriebenen Sechsecks
mit u6 bezeichnet. Schreiben Sie U6 als
Vielfaches von u6.
(c) Berechnen Sie Zahlenwerte für beide
Umfänge.
Lösung: Dies ist der Ausgangspunkt für die π-Berechnung nach Archimedes
a) t6 = 2 √ 3 s6 b) U6 = 2 √ 3 u6 c) u6 = 6,0000, U6 = 6,9282
4. Ein Kreis vom Radius r = 1 wird wie in der Abbildung von einem einbeschriebenen
und einem umbeschriebenen regelmäßigen n-Eck eingeschlossen (Umfänge un bzw.
Un). Beide Vielecke können in kongruente, gleichschenklige Dreiecke zerlegt werden,
84
.
.
.
. . .
t6
s6
..
....................... ..
.
.
↑ |
a6
|↓
.
...........
.

4.1 Kreis - Umfang und Fläche - Approximationsverfahren
für die folgende Bezeichnungen gewählt werden: an = MF für die Höhe des Dreiecks
ABM, sn = FB für die Hälfte der Sehne, tn = F ′ B ′ für das entsprechende
Tangentenstück.
(a) Zeige: tn = sn
an
(b) Welche Gleichungen
bestehen zwischen Un
und tn bzw. un und
sn?
(c) Begründen Sie Un =
un
an .
Lösung: a) Strahlensatz b) Un = 2ntn, un = 2nsn c) Division Un
un
.
.
.
. .
M
.
.
B
an
B’
.
......................
sn
tn
.
F F’
A A’
5. Untenstehende Abbildung zeigt ausschnittsweise das dem Einheitskreis (r = 1) umbeschriebene
regelmäßige n-Eck A1A2A3...An.
Die halbe Seitenlänge dieses n-Ecks werde mit tn bezeichnet.
Die Strecke [B1B2] ist die Seite des umbeschriebenen 2n-Ecks mit der Länge 2t2n.
(a) Geben Sie eine Formel für die Streckenlänge MA2 in Abhängigkeit von tn an!
1+t 2
n −1
(b) Beweisen Sie: t2n = .
(Anleitung: Es ist B2T2 = B2T3 = t2n.)
tn
(c) Berechnen Sie mit der Formel aus b) den Wert t8 und schätzen Sie damit die
Kreiszahl π nach oben ab!
(d) Begründen Sie kurz, dass die in b) hergeleitete Formel numerisch instabil ist
und leiten Sie dann die numerisch stabile Formel
her!
t2n =
tn
1+t 2 n +1
85
.

A1
4.1 Kreis - Umfang und Fläche - Approximationsverfahren
T1
B1
.
A2
.
.
T2
B2 T3 A3
....
M
.
.
Lösung: (a): MA2 = 1+t 2 n
(c): t8 = √ 2−1; π < 8 √ 2−8
(d): Der Nenner strebt bei laufender Verdoppelung von n gegen Null!
6. Einem Kreis k(M;r) ist ein reguläres 10-Eck einbeschrieben.
.
.........
An
(a) Berechnen Sie ausführlich die Größe eines Innenwinkels dieses Zehnecks!
Für die Seitenlänge s10 des Zehnecks gilt die Beziehung
s10 = r
2 ·(√ 5−1).
1
86
.

Lösung: (a): 144 ◦
4.1 Kreis - Umfang und Fläche - Approximationsverfahren
(b) Berechnen Sie den Inkreisradius ̺10 des Zehnecks in Abhängigkeit vom Radius
r des Kreises k(M;r)! Eine Skizze ist hilfreich!
(c) Wie groß muss der Radius r gewählt werden, damit s10 = 2cm gilt? Exaktes
Ergebnis ohne Wurzel im Nenner!
(b): ̺10 = r
4 · 10+2 √ 5
(c): r = ( √ 5+1)cm
7. Einem Kreis vom Radius r = 1 ist ein regelmäßiges Sechseck einbeschrieben. Dieses
wird zu einem regelmäßigen Zwölfeck verfeinert (linkes Bild). Eines der 12 kongruenten
Teildreiecke des Zwölfecks ist ABM. Die Höhe des Dreiecks ABM durch M
(rechtes Bild) wird mit a12 bezeichnet, s12 sei die halbe Länge der Sehne [AB].
(a) Begründen Sie, dass ABC rechtwinklig ist und dass 2·a12 = BC gilt.
1+a6
(b) Begründen Sie mit dem Kathetensatz a12 =
2
(c) Die Fläche des Dreiecks ABM kann auf zweierlei Weise berechnet werden: Be-
gründen Sie 2s12a12 = s6. Berechnen Sie mit Hilfe von s6 = 0.5 und a6 = √ 3
2
numerische Werte für a12 und s12.
(d) Durch zentrische Streckung wird aus dem einbeschriebenen ein umbeschriebenes
12-Eck (vgl. Ausschnitt, rechtes Bild). Es bezeichne t12 = B ′ F ′ die halbe
Seitenlänge. Begründen Sie die Gleichung t12
s12
= 1
a12
und berechnen Sie t12.
(e) Berechnen Sie die Umfänge u12 bzw. U12 des ein- bzw. des umbeschriebenen
regelmäßigen Zwölfecks.
B
.
.
.
s6
..
.
.
.
C
A
↑ |
a6
|
↓
M
............. .. .
B
.
.
.
.
2s12
.
.
..
.
.
.
a12
A
......
. .
.
.
.
M
.....
C
.
..
.
. F
B
.......
..................................................................................................................................................................................................................................................................................
Lösung: DergeschilderteLösungswegführtiteriertzurπ-BerechnungnachdemVerfahrenvonArchimedes.
Die Aufgabe ist sehr umfangreich und kann den Umfang einer halben Schulaufgabe
ausmachen. a12 = 0.96593, s12 = 0.25882, t12 = 0,26795, U12 = 6,4308 und u12 = 6,2117.
87
B’
F’
a12
...........
M
A’
A
. .. . ..... ..... .
.

4.2 Kreissektoren - Bogenlänge und Sektorfläche
4.1.3. Archimedisches Verfahren mit Tabellenkalkulation (eine
Aufgabe)
1. Ein Kreis vom Radius r = 1 wird wie in der Abbildung von einem einbeschriebenen
(Umfang un) und einem umbeschriebenen (Umfang Un) regelmäßigen n-Eck eingeschlossen.
Die Höhe des Dreiecks ABM wird mit an = MF bezeichnet.
Ferner gelten folgende Beziehungen:
1+an
• a2n =
2
• u2n = un
a2n
• U2n = u2n
a2n
.
.
.
. .
.
.
an
M A A’
(a) Die folgende Tabelle stellt einen Blattausschnitt eines Tabellenkalkulationsprogramms
dar. Füllen Sie die freien Felder mit den passenden Formeln in der
Sprache des Ihnen bekannten Programms, mit dem Ziel den Umfang der beiden
24-Ecke zu bestimmen.
A B C D
1 n an un Un
2 6 0.86602 6.00000
3 12
4 24
(b) Berechnen Sie mit dem Taschenrechner U24 und u24 nach diesem Verfahren.
Lösung: (a) Die Einträge sind programmabhängig, z.B. könnte in C3 stehen: (C2/B3), bzw. in B3:
(@SQRT((B2+1)/2)) (Sharewareprogramm aseasyas).
(b) U24 = 6,319320, u24 = 6,265257
4.2. Kreissektoren - Bogenlänge und Sektorfläche
1. Wieviel Grad hat der Mittelpunktswinkel zu einem Kreisbogen, dessen Länge gleich
dem Durchmesser des Kreises ist? (Skizze; Berechnung auf 4 geltende Ziffern genau)
Lösung: 114,6 ◦
2. Ein Kreissektor mit dem Radius r hat den Umfang U = 3r. Berechne den Mittelpunktswinkel
ϕ und drücke die Fläche A des Sektors durch r aus.
88
B
B’
.
...
..........
F
F’
.
.

Lösung: ϕ = 180◦
π
4.2 Kreissektoren - Bogenlänge und Sektorfläche
; A = r2
2
3. Der Umfang eines Kreises mit Radius r ist gleich dem Umfang eines Kreissektors mit
gleichem Radius r und einem noch zu bestimmenden Mittelpunktswinkel α.
Berechnen Sie diesen Mittelpunktswinkel α auf zwei Dezimalstellen gerundet!
Lösung: α ≈ 245,41 o
4. Einem Kreis mit Radius r ist ein Quadrat einbeschrieben. Welchen Mittelpunktswinkel
muss ein Kreissektor mit gleichem Radius haben, damit er denselben Flächeninhalt
hat wie das Quadrat?
Lösung: 720◦
π
5. Ein Kreisausschnitt zum Mittelpunktswinkel 27 ◦ hat eine Bogenlänge von 1,5cm.
Welchen Umfang und welchen Flächeninhalt hat der Kreis?
Lösung: Umfang: 20cm; Inhalt: 31,8cm 2
6. Wie groß sind Radius r und Mittelpunktswinkel ϕ (Bogenmaß!) eines Kreissektors,
dessen Umfang U = 10cm und dessen Flächeninhalt A = 6cm 2 beträgt?
Lösung: 1. Möglichkeit: r = 3cm; ϕ = 4
3
Lösung: 18 0
2. Möglichkeit: r = 2cm; ϕ = 3
7. Die Läufer A(nton) und B(enedikt) starten einen
Wettlauf auf einer kreisförmigen Rennbahn. Die
Kreisbahn von A hat den Radius rA = 19m, die
von B den Radius rB = 20m. A muss eine Runde
laufen.DamitbeidebiszumZielgleichweitlaufen,
muss der Startpunkt von B um einen bestimmten
Winkel vorverlegt werden. Bestimmen Sie diesen
Winkel.
89
B
.
.. .
Ziel
α
.
A
rA
.
. ..
......... .
.
.
rB
..

4.3. Kreisteile
4.3 Kreisteile
4.3.1. Kreisteile - einfache Figuren
1. Ein Kreissektor vom Radius r mit dem Mittelpunktswinkel µ ist flächengleich zu
einem Quadrat mit der Seitenlänge r. Begründen Sie anschaulich µ > 90 0 und berechnen
Sie µ im Gradmaß.
Lösung: µ = 360 0 : π = 114,6 0
2. Ein Kreisring mit den Radien R und r (r < R) hat den gleichen Flächeninhalt wie
ein Kreissektor mit dem Radius 2R und dem Mittelpunktswinkel α = 45 ◦ .
(a) Leiten Sie einen Zusammenhang zwischen r und R her!
(b) Berechnen und konstruieren Sie r für R = 6cm.
Lösung: (a) r 2 = 1
2 R2 ;
(b) r = 4,2cm; Konstruktion eines gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecks mit R als Hypotenuse
3. Gegeben sind zwei konzentrische Kreise mit den Radien a und b, wobei a < b.
(a) Berechnen Sie den Radius r eines Kreises, der denselben Inhalt hat wie der
Kreisring zwischen den beiden gegebenen Kreisen. Bestimmen Sie anschließend
mit dem TR den Wert von r für a = 4,5cm und b = 6,5cm.
(b) Konstruieren Sie den Radius r für a = 4,5cm und b = 6,5cm. Erläutern Sie Ihre
Konstruktion in einem kurzen Text.
Lösung: (a) r = √ b 2 −a 2 ≈ 4,7 cm (b) Thaleskreis, Satz des Pythagoras
4. Gegeben ist ein gleichseitiges Dreieck mit der Seite a. Bestimmen Sie den Umfang
des Inkreises. Bestimmen Sie auch das Verhältnis des Inhalts dieses Kreises zum
Inhalt des Dreiecks (Ausdruck mit π und Wurzel soweit wie möglich vereinfacht und
Lösung: (a) ̺ =
anschließend numerische Auswertung mit dem TR).
1
12
√
1 π a = 6 3a (b)
3 √ ≈ 0,6046
3
90

4.3.2. Kreisteile - nur Sektoren
4.3 Kreisteile
1. Drei sich von außen berührende Kreise vom Radius r schließen miteinander ein
Flächenstück ein. Berechnen Sie dessen Umfang und Inhalt!
Lösung: U = r ·π, A = 1
2 r2 ·(2 √ 3−π)
2. Man berechne Umfang und Inhalt der schattierten
Fläche!
Lösung: U = a·
√
2
2 ·π; A = a2 ·(1−π + π
√
2 2)
3. (a) Berechnen SieInhalt undUmfangder schraffierten
Fläche. (Der Kreisdurchmesser ist in
8 gleiche Abschnitte geteilt. Der Radius soll
mit a bezeichnet werden.)
(b) In welchem Verhältnis stehen die schraffierte
und die nicht schraffierte Fläche zueinander?
Begründung.
Lösung: U = 2πa, A = 1
2 πa2 , beide Teilflächen gleich groß.
91
.............
.............
.............
.
.............
.............
.............
.............
.
..........
.............
. .............
.... .
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←−−−− a −−−−→←−−−− a −−−−→
. .......... .....
...
..... ...
.
..................................................................................................................................................................................
.. ... ..................................................................................................................................................................................
.. ..
.... . ..
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a
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↓

4.3 Kreisteile
4. (a) Welchen Prozentsatz der Quadrat-
fläche füllt die schraffierte Fläche?
(b) Die vier Viertelkreise begrenzen ein
(krummliniges) Viereck. Berechnen Sie
den Radius des größten Kreises, den
man diesem einbeschreiben kann.
.....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ....
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↑ ||
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a
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.. . ......
Lösung: (a) 2·(1− π
4 ) = 0,429
(b) a
2 (√ 2−1)
5. Berechnen Sie den Flächeninhalt der punk-
tierten Fläche in Abhängigkeit von a!
............ .
a
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. ..
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Lösung: A = 2a 2 (1− π
4 )
6. Aus einem Blech werden kreisförmige Löcher
im abgebildeten ”hexagonalen” Muster ausge-
stanzt (d.h Mittelpunkte benachbarter Kreise bil-
dengleichseitigeDreiecke).DerMittenabstandvon
zwei benachbarten Löchern beträgt d1 = 12mm,
der Lochdurchmesser d2 = 9mm. Wieviele Prozent
des Gewichts werden eingespart? Hinweis: Es soll
vorausgesetzt werden, dass das Blech so groß ist,
dassesgleichgültigist,wiederRandangeschnitten
wird.
Lösung: Man betrachtet ein gleichseitiges Dreieck, gebildet von den Mittelpunkten dreier benach-
barter Löcher. Ergebnis: 51%
92

4.3 Kreisteile
7. Aus einem Blech werden kreisförmige Löcher
im abgebildeten ”quadratischen” Muster ausgestanzt
(d.h Mittelpunkte benachbarter Kreise bilden
Quadrate). Der Mittenabstand von zwei benachbartenLöchernbeträgtd1
= 12mm,derLochdurchmesser
d2 = 9mm. Wieviele Prozent des Gewichts
werden eingespart? Hinweis: Es soll vorausgesetzt
werden, dass das Blech so groß ist, dass es
gleichgültig ist, wie der Rand angeschnitten wird.
Lösung: ManbetrachteteinQuadrat,gebildetvondenMittelpunktenvonvierbenachbartenLöchern.
Ergebnis: 44%
8. Auseinem Blech werden wie inder Abbildung ovale
Löcher aus zwei Halbkreisen und einem Rechteck
ausgestanzt (Maße in mm). Wieviele Prozent
des Gewichts werden eingespart? Hinweis: Es soll
vorausgesetzt werden, dass das Blech so groß ist,
dassesgleichgültigist,wiederRandangeschnitten
wird.
Lösung: 51%
4.3.3. Kreisteile - auch Segmente
1. Die schattierte Fläche wird von zwei Kreisen mit
gleichem Radius r eingeschlossen. Dabei gilt für
die gemeinsame Sehne: BC = r.
Berechnen Sie für r = 1,00cm den Inhalt A der
schattierten Fläche!
.
r
Lösung: A ≈ 0,181cm 2
93
.
B . . C
. . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
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. . . . . . . . .
. . . . . .
.. .
r

4.3 Kreisteile
2. An den Orten B und C mit BC = 100km ist je ein Radiosender aufgestellt. Beide
Sender haben eine Reichweite von a = 100km. G ist die Menge aller Punkte, an
denen beide Sender gleichzeitig empfangen werden können. Fertigen Sie eine genaue
Zeichnung des Sachverhaltes im Maßstab 1 : 2000000 an und berechnen Sie den
Flächeninhalt A von G. Drücken Sie A zuerst allgemein durch a aus und setzen Sie
dann Zahlen ein (drei geltende Ziffern)!
Lösung: ϕ = 120 ◦ ; A = 2·(ASektor −ADreieck) = 2a 2
3. Die Flächen A, B und C werden von den Seiten
des gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecks
PQR sowie von den Kreisbögen um die
Ecken Q und R und den Seitenmittelpunkt
M begrenzt.
(a) Berechnen Sie die Flächeninhalte von
B und C in Abhängigkeit von a =
1
2 QR.
(b) Zeigen Sie, dass die Fächeninhalte von
A und B gleich sind.
π
3 −
Q
a
a
R
√
3
≈ 12300km
4
2
M
.
..
........
.
.......
.
..
...
............. .. .
450 450 ...
B
C
A
. . . ..
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Lösung: Es ist B = 1
2a2 ( 1
2π − 1). C hat die vierfache Fläche vermindert um die von B, ist also
dreimal so groß. A und B sind gleich groß, weil der Halbkreis um M und der Viertelkreis
um Q denselben Flächeinhalt haben.
4. In nebenstehender Figur ist ein Quadrat mit der
Seitenlänge a gegeben.
Lösung: (a): AA1
(b): UA1
(a) Zeigen Sie, dass die schattierten Flächen A1
und A2 gleichen Inhalt haben!
(b) Berechnen Sie jeweils den Umfang der schattierten
Flächen A1 und A2 in Abhängigkeit
von a!
UA2
= AA2 = a2
16
·(π +2)
= a
4 ·(4+π +2√ 2)
= a
2 ·(4+π −√ 2)
.
.
. . . .
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.....
.
. . .....
...........
. A2
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. . . .
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. . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . .
. . . . . A1
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. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
5. Berechnen Sie Fläche und Umfang der Figur in Abhängigkeit von a. (Beide Dreiecke
sind gleichschenklig-rechtwinklig, die Katheten werden durch die markierten Punkte
gleichmäßig im Abstand a geteilt, die Kreismittelpunkte liegen auf den Katheten.)
94
↑ ||
|
a
|
|
|
↓
P

Lösung: U = 5πa+ √ 2a, A = 3,25a 2 π −0,5a 2
4.3 Kreisteile
. . . . . . . . . . . . . . . . .
.....
. .
. .
. .
.
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.
.
a
6. Das abgebildete ” Osterei“ besteht aus Kreisbögen,
deren Mittelpunkte A, B, C und M und deren Radien
durch das gleichschenklig-rechtwinklige Dreieck
ABC festgelegt sind.
(a) Berechnen Sie die Radien BD und CD der
Kreisbögen um B bzw. C in Abhängigkeit
von AM = r.
(b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des ” Ostereies“.
Lösung: (a) BD = 2r und CD = (2− √ 2)r
(b)
+
1
2 πr2
+ 2· 1
1
4 π
.. .
8 π(2r)2 −r 2
(2− √ 2)r
2
= [(3− √ 2)π −1]r 2 ≈ 3,98r 2
95
A B
450 450 .
E
.
.
90
C
0
.
. .
D
. .

4.3 Kreisteile
7. Berechnen Sie den Flächeninhalt und den Umfang
der folgenden Figur in Abhängigkeit von a. (Die
Mittelpunkte der Kreisbögen sind die Punkte A,
B, C und D.)
Lösung: U = 7
√
3
3πa, A = (19
12π − 2 )a2
8. Gegeben ist die rechts gezeichnete Kreisbogenfigur.
Lösung: A = 1
2 a2
(a) ÜbertragenSie dieFiguraufdasArbeitsblatt
und bezeichnen Sie alle
benötigten Stücke.
(b) Berechnen Sie den punktierten
Flächeninhalt in Abhängigkeit
von a.
9. Berechnen Sie den Flächeninhalt und den Umfang
der punktierten Fläche in Abhängigkeit von a und
π!
96
.
.
.
...
.
. ..
. .
....... A B C ....
←−− a −−→
D
.
.......
.
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←−−−−−−−−− a −−−−−−−−−→
.
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.............
.
.........
..
.
......
.
a
. ............... ....
................. .
. . .
. .
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a . .
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Lösung: A = a2 ;U = a( 1
√
2 2π +2+π)
4.3 Kreisteile
10. Berechnen Sie den Flächeninhalt und den Umfang
der punktierten Fläche in Abhängigkeit von r und
π!
Hinweis: Das Dreieck SM1M3 ist ein besonderes
Dreieck!
Lösung: A = 17
24r2π − 1
√
4 3r2 13 ;U = 6 rπ
11. Das Dreieck ABC ist gleichschenklig und rechtwinklig.
Mit s ist die Kathetenlänge bezeichnet.
M halbiert die Hypotenuse [AB].
Berechnen Sie den Flächeninhalt und den Umfang
der punktierten Sichel in Abhängigkeit von s!
Lösung: A = 1
2 s2 ;U = 1
2 sπ(1+√ 2)
97
S•
M3
•.
↑
|
r
......... .......
|
•
↓
M1
M2•
.....
.
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.
C
•
s s
.
.
.
. ....
A B
. M
. .
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.

12. (a) Berechnen Sie r in Abhängigkeit
von s.
(b) Berechnen Sie den Flächeninhalt
der schraffierten
Fläche in Abhängigkeit
von s!
(c) Berechnen Sie den Umfang
der schraffierten Fläche in
Abhängigkeit von s!
Lösung: r = 1
√
2 2s; A = s2 1 (2− 2π); U = √ 2sπ
4.3 Kreisteile
M2
×
r
←−−−−− s −−−−−→ .. . .
.
×
. ↑
. . |||
.
.
.
×
.. .
s M1 s
|
r
|
|
↓
←−−−−− s −−−−−→ . ....
. × ×
.
.
.
. ×
13. Das Dreieck ABC ist gleichseitig mit der Seitenlänge a. Das Dreieck ABD ist gleichschenklig
und rechtwinklig. C und D sind die Mittelpunkte der gezeichneten Kreisbogenstücke.
(a) Für welches a hat die punktierte Sichel den
Umfang π ·(3 √ 2+4)?
(b) Berechnen Sie den Flächeninhalt der Sichel
in Abhängigkeit von a!
Lösung: a = 12; A = a2 (− 1
√
1 1
24π + 4 3− 4 )
.
×
.
C
D
a
×
.
A .
.
.. B
.... . ...
. . .
... .
... . . . . . . .
.
.
.
.
.
.. .. . . . . .. .. . .
.. .. .
. .
14. Die Ecken C und D eines Rechtecks ABCD sind Mittelpunkte von zwei Kreisen
vom Radius a, die sich im Mittelpunkt E einer Seite berühren und jeweils durch die
beiden anderen Ecken gehen.
98

Lösung: a = 9,4cm
Lösung:
4.3 Kreisteile
(a) Zeigen Sie, dass die schraffierte
Fläche und das Dreieck ABE inhaltsgleich
sind.
(b) Für welchen Wert von a ist der
Umfang der schraffierten Fläche
um 5cm länger als der Umfang
des Dreiecks ABE? Geben Sie
dasErgebnisincmmitzweigültigen
Ziffern an.
D
A
E
.
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15. Zwei konzentrische KreiseK1 undK2 mitdenRadienr und4r bildeneinenKreisring.
Im Abstand 2r vom gemeinsamen Mittelpunkt beider Kreise wird auf einem Radius
des größeren Kreises K2 eine Lotgerade errichtet, welche den Kreisring in zwei Teile
teilt. Bestimmen Sie das Verhältnis der Flächeninhalte zunächst exakt und dann
prozentual gerundet!
16π−12 √ 3
29π+12 √ = 0,26; Gleichseitiges Dreieck beachten!
3
16. Gegeben ist ein gleichseitiges Dreieck
mitderSeitenlängea.(DieMittelpunkte
der Kreisbögen sind durch Punkte
markiert.)
Lösung: (a) U = 2π
(a) Berechnen Sie Fläche und Umfang
des Umkreises.
(b) Berechnen Sie die Gesamtfläche
der 3 schraffierten Möndchen
über den Dreiecksseiten.
√ 3
3
a, A = π
(b) AMonde = 3
8 πa2 +
3 a2
√ 3
4 a2 − π
3 a2
.
.
...... ..
.
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. ....
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17. (a) Begründen Sie mit einem bekannten Satz oder durch Rechnung: 2α = µ
(b) Zeigen Sie: Der Flächeninhalt des Sektors ABD ist doppelt so groß, wie der des
Sektors AMC (Verwenden Sie dazu das obige Ergebnis.) und begründen Sie:
A1 +A3 = A2.
(c) C gleitet aufdemKreisumfangvonAnachB. ZeichnenSiedieFigurfürα = 45 0
und im Sonderfall α = 90 0 . Erklären Sie das Ergebnis aus b) für diesen Fall.
99
C
B

4.3 Kreisteile
(d) Drücken Sie den Flächeninhalt des Segments A4 mit Hilfe von A2, A3 und r aus
(vgl. Abb.) und zeigen Sie, dass A1 = A4 genau dann gilt, wenn α = 45 0 ist.
D
...... ....
.....
........ ......... .
A1
C
.
A4
A2 A3
A
µ
M
α
B
Lösung: (a) Umfangswinkelsatz oder direkte Rechnung.
(b) AABD = 0.5·(2r) 2 ·α, AAMC = 0.5·r 2 ·2α. Daraus ergibt sich A1 +A2 +A3 = 2A2.
(c) Im Fall α = 90 0 bedeutet dies: Der Viertelkreis um B hat die doppelte Fläche des
Halbkreises um M.
(d) Es ist A4 = π
2 r2 −A2 −A3. Aus A1 = A4 ergibt sich πr 2 = 2A2.
18. In einem Kreis mit dem Radius r überspannen zwei parallele Sehnen s1 bzw. s2 je
einen Bogen zu den Zentriwinkeln 60 ◦ bzw. 90 ◦ so, dass der Kreismittelpunkt zwischen
den beiden Sehnen liegt.
Erstellen Sie eine übersichtliche Skizze und berechnen Sie dann die Größe des zwischen
den beiden Sehnen liegenden Teils der Kreisfläche!
Lösung: 1
12 r2 ·(7π +6+3 √ 3)
4.3.4. Verschiedenes
1. Eisenrohre werden in einem Bündel wie in der Abbildung geliefert.
(a) Berechnen SiefürdasabgebildeteBündel die
Länge des Stahlbands, welches das Bündel
zusammenhält, wenn der Rohrdurchmesser
mit d bezeichnet wird.
(b) Wie groß ist die Fläche, die im Querschnitt
von dem Stahlband umfaßt wird? (Teile geschickt
auf.)
(c) Welchen Prozentsatz davon nehmen die 61
Rohre ein?
100
.
.
.
...
... . .
.
...
....
.
...
.
...
..... ..... ... .... ..
. .
.
. ...
.
...... .
..
.
... .
.
.
...... ..
.
....... .
...... .... . .
...
..... .
. ..
. ...
. ..
...
.
.
.
.
. ...
....... .
.... . .
. ..... ..
.
.. .
. ... .
......
. ........
...... . ...... . ...
.
.
...
. .
.
. .... .
. ... .. ..... .
... .

Lösung: (a) 24d+πd
4.3 Kreisteile
(b) Man zerlege in ein reguläres Sechseck mit Radius 4d, 6 Rechtecke mit der Breite d
2 und
der Länge 4d und 6 Kreissektoren mit Radius d
2 : A = 24√3d2 +12d2 + 1
4πd2 .
(c) 88%
101

5. Zylinder, Kegel, Kugel
5.1. Zylinder - Volumen und Oberfläche
1. Bei einem geraden Kreiszylinder sind der Radius r = 25 mm und der Inhalt der
Oberfläche O = 375 cm 2 gegeben. Leiten Sie Formeln für
a) die Mantelfläche M b) die Höhe h c) das Volumen V
jeweils in Abhängigkeit von r und O her und berechnen Sie die Zahlenwerte.
Lösung: i) M = O−2πr 2 = 336 cm 2
= 21.4 cm
ii) h = O−2πr2
2πr
iii) V = r
2 (O−2πr2 ) = 420cm3 2. Von einem geraden Kreiszylinder kennt man den Oberflächeninhalt O = 750cm 2 und
den Mantelflächeninhalt M = 450cm 2 .
Man berechne Radius r, Höhe h und Volumen V des Zylinders! (Rundung jeweils auf
1 Dezimale!)
Lösung: r = 6,9cm; h = 10,4cm; V = 1555,5cm 3
3. Eine außen undinnen zylinderförmige Glasvasehat einen Innenradius von 4,0cmund
eine Gesamthöhe von 32,0cm. Der Boden ist 1,0cm dick.
(a) Die Vase sei zur Hälfte mit Wasser gefüllt. Wie groß ist der Inhalt der vom
Wasser benetzten Glasfläche? Rundung auf cm 2 genau!
(b) Wie groß müsste die Wanddicke der Vase sein, damit der Glaskörper bei gleichbleibender
Bodendicke von 1,0cm dasselbe Volumen hat wie der Hohlraum der
Vase? Rundung auf 1 Dezimale!
Lösung: (a): 440cm 2 (b) : 1,6cm
4. Bestimmen Sie die Masse m eines Kupferrohrs, das die Länge l = 1m, den Außendurchmesser
2r = 4cm und die Wandstärke d = 3mm hat. Die Dichte von Kupfer
ist ̺ = 8,9 g
cm 3.
102

5.1 Zylinder - Volumen und Oberfläche
(a) Leiten Sie zunächst einen Ausdruck her, der m durch die Größen l,r,d,̺ ausdrückt.
(b) Berechen Sie den Wert dieses Ausdrucks für die angegebenen Werte der Größen
l,r,d,̺ mit dem Taschenrechner.
Lösung: (a) m = π̺ld(2r −d) (b) m = 3103,6g ≈ 3,1kg
5. Wir betrachten einen geraden Kreiszylinder mit dem Volumen V = 1
√ 8π m 3 , in dem
die Höhe das k-fache des Grundkreisradiuses ist (h = kr).
(a) Drücken Sie r durch V und k aus!
(b) Beweisen Sie, unter Nutzung des Ergebnisses von (a), für die Oberfläche des
Zylinders die Formel
A0 = 1+k
3√ k 2 m2 .
(c) Durch Probieren mit dem Taschenrechner ist herauszufinden, für welchen Wert
von k die Oberfläche A0 den kleinstmöglichen Wert annimmt! Erstellen sie ein
genaues Protokoll der Rechnungen in Form einer Wertetabelle mit geschickt
gewählten k-Werten.
Lösung: (a) r = 3
V
kπ
(c) A0 minimal für k = 2, d.h. h = 2r ; A0min = 1,889881575m2 6. Ein Würfel aus Kork (̺K = 0,2 g
cm 3) wird senkrecht zu einer Seitenfläche zylindrisch
Lösung: r =
durchbohrt. In diese Bohrung wird ein Aluminiumzylinder (̺Al = 2,7 g
cm 3) gleicher
Größe gesteckt. Die Kantenlänge a des Würfels beträgt 30cm.
Wie groß muss der Radius r der Bohrung sein, damit der Körper im Wasser (̺W =
1,0 g
cm 3) schwebt? Berechnen Sie zunächst allgemein den Radius r der Bohrung in
Abhängigkeit von der Kantenlänge a des Würfels und setzen Sie erst dann die gege-
benen Werte ein!
̺W−̺K
(̺Al−̺K)·π
·a = 9,6cm; Auftriebsgesetz von Archimedes verwenden!
7. Bei einem Brunnen liefert eine Röhre mit einem Innendurchmesser von 2,6cm in
der Minute 20 Liter Wasser. Wie groß ist die Ausflussgeschwindigkeit des Wassers?
Geben Sie das Ergebnis in der Einheit m
s an!
Lösung: 0,63 m
s
103

5.1 Zylinder - Volumen und Oberfläche
8. Die Höhe eines Zylinders, dessen Oberfläche 12πcm 2 beträgt, ist um 1cm größer als
sein Radius. Wie groß ist sein Volumen?
Lösung: 45
8 πcm3
9. Gegeben ist ein Rohr mit Länge l, Außendurchmesser da und Innendurchmesser di.
(a) Berechnen Sie das Volumen des massiven Teils des Rohres in Abhängigkeit von
den gegebenen Größen!
(b) Zeigen Sie, dass für die Oberfläche S des Rohres gilt:
S = π
2 ·(da +di)·(2l+da −di)
(c) Berechnen Sie S speziell für l = 1,5m; da = 50cm; di = 48cm und geben Sie
das Ergebnis sinnvoll gerundet in der Einheit m 2 an!
Lösung: (a) V = π
4 ·l·(d2 a −d2 i ) (c) S ≈ 4,6m2
10. Einem Zylinder (Radius r; Höhe h) wird ein gerades, regelmäßiges , sechsseitiges
Prisma umbeschrieben. Berechnen Sie das Verhältnis: VZylinder : VPrisma zunächst
exakt und dann in Prozent.
Lösung: VZylinder : VPrisma =
√ 3
6
·π ≈ 90,7%
11. Schraubenmuttern besitzen die Form eines geraden,
regelmäßigen, sechsseitigen Prismas aus dem
ein Zylinder herausgebohrt wurde. Zur Fertigung
einer bestimmten Sorte von Schraubenmuttern
verwendet man Hohlzylinder aus Metall (Durchmesser
außen: dA = 2,2cm; innen: dI = 0,8cm;
Höhe h = 0,9cm), die entsprechend zurechtgefräst
werden (vgl. Abbildung).
Berechnen Sie die Masse einer Mutter aus Messing
(Dichte ̺ = 8,4 g
cm 3).
Lösung: ca. 20g
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.....
...
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........
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12. EinRechteck mit denSeitenlängen aund10aläßtsich zur Mantelfläche eines geraden
Kreiszylinders mitderHöhe10aodermitderHöhearollen.Wieverhaltensichjeweils
die Volumina und die Oberflächen der beiden entstehenden Zylinder?
104

5.2 Kegel - Volumen und Oberfläche
Lösung: V1 : V2 = 1 : 10; O1 : O2 = (5+aπ) : (5+100aπ)
13. Der Grundfläche eines Zylinders ist ein Quadrat vom Umfang U = 28 √ 2 L.E. einbeschrieben,
das die Grundfläche einer geraden Pyramide mit der Seitenkantenlänge
s = 25L.E. bildet. Wie verhalten sich die Rauminhalte von Zylinder und Pyramide,
wenn beide Körper gleiche Höhe haben?
Lösung: VZyl : VPyr = 3π : 2
5.2. Kegel - Volumen und Oberfläche
Lösung: 33 ◦
1. Befördert man eineinhalb Kubikmeter Sand über ein feststehendes Förderband, so
entsteht nach dem Abfallen ein kegelförmiger Sandhaufen von 85cm Höhe.
Berechnen Sie auf Grad genau den Böschungswinkel dieses Schüttkegels!
(Der Böschungswinkel ist der Winkel zwischen einer Mantellinie und der Grundfläche.)
2. Der Mantel eines Kegels mit dem Grundkreisradius r = 2cm ergibt ausgerollt einen
Viertelkreis. Berechnen Sie Oberfläche und Volumen des Kegels!
Lösung: O = 62,8cm 2 ;V = 32,4cm 3
3. Ein Kegel und ein Zylinder haben gleiche Grundfläche, gleiche Höhe und gleiche
Mantelfläche. Berechnen Sie den Mittelpunktswinkel (Bogenmaß und Gradmaß!) des
Kreissektors, der beim Abrollen des Kegelmantels entsteht!
Lösung: √ 3π bzw. 311,8 ◦
4. Bei einem Kegel mit dem Grundkreisradius r = 6cm ist die Oberfläche 1,8 mal so
groß wie die Mantelfläche.
(a) Bestätigen Sie durch Rechnung, dass die Mantellinie m dieses Kegels eine Länge
von 7,5cm besitzt.
(b) Berechnen Sie den Mittelpunktswinkel α, der sich bei der Abwicklung dieses
Kegelmantels ergibt.
105

Lösung: α = 288 o
5.3 Kegelstumpf - Volumen und Oberfläche
5. Der Grundkreis eines geraden Kreiskegels hat einen Radius von 8 cm, die Höhe des
Kegels beträgt 15 cm.
Lösung: (a) 56,1 0
(a) Wie groß ist der Öffnungswinkel des Kegels?
(b) Der Kegelmantel wird zu einem Kreissektor aufgerollt. Wie groß ist der Mittelpunktswinkel
dieses Sektors?
(b) 169,4 0
5.3. Kegelstumpf - Volumen und Oberfläche
1. Oh Tannenbaum!
Das punktierte Flächenstück rotiert um die eingezeichnete
Achse a. Die Längenangaben sind in cm.
Berechnen SiedasVolumenunddieOberflächedes
entstehenden Rotationskörpers!
Hinweis:
Für einen Kegelstumpf mit den Radien r1 und r2,
der Höhe h und der Mantellinie s gilt:
VKST = 1 3 π(r2 1 +r1r2 +r 2 2)h
MKST = (r1 +r2)πs
Lösung: V = 160,0cm 3 ,O = 216,8cm 2
106
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Achse a
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...............
...............
...............
...............
...............
←− 3 −→ .
...............
←− 2 −→
...............
...............
...............
...............
←−−− 4 −−−→
...............
...............
...............
...............
...............
...............
........................................................................................................................
←− 2 −→
↑ |
3
|
↓
6
4

5.3 Kegelstumpf - Volumen und Oberfläche
2. In einen Kegelstumpf wird wie in der Abbildung
ein kegelförmiger Krater gebohrt.
(a) Berechnen Sie das Volumen V des
Körpers für beliebige Werte von r1, r2
und h.
(b) Wir beschränken uns jetzt auf den Fall
r1 = 2r2. Fertigen Sie eine Seitenansicht.
Wie verhält sich der Flächeninhalt
A des (Außen)-Mantels des Kegelstumpfs
zum Flächeninhalt I des
Kraters?
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r2 ..
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............................................
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↑
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||
h
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. |
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. r1 .
..
. |
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....
..... ↓.
......
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Lösung: (a) Bezeichnet man die Höhe des ursprünglichen Kegels mit H, so gilt H = hr1
r1−r2
erhält:
V = 1
3πr2 1
1H − 3πr2 1
2 (H −h)− 3πr2 1
2h = 3π(r1 +r2)hr1.
und man
(b) A = 1
22π2r2 ·2· h2 +r2 1
2 − 22πr2 · h2 +r2 1
2 und I = 22πr2 · h2 +r2 A
2 ergibt I = 3
3. Ein (umgekehrt) kegelförmiges Glas von 10 cm Höhe und 5 cm Radius (Innenmaße)
ist bis zur halben Höhe voller Saft.
Lösung: (a)
(a) Fertigen Sie eine Skizze an und berechnen Sie den Flächeninhalt der vom Saft
benetzte Glasfläche.
(b) Wie hoch steht der Saft im Glas, nachdem jemand eine Kirsche von 1 cm Radius
in das Glas geworfen hat?
(c) Wieviel Saftmussmannachgießen,damitdasGlas(ohneKirsche)halbvollwird?
√ 5π5 2
4 cm 2
(b) h = 3√ 141cm
(c) Ein Viertel des Glasvolumens: 250
12 πcm3
4. Ein 10cm hoher gerader Kegel soll parallel zu seiner Grundfläche durchgeschnitten
werden, so dass der Flächeninhalt der Schnittfläche halb so groß wie der der Grundfläche
ist.
In welchem Abstand von der Grundfläche muss der Kegel durchgeschnitten werden?
Lösung: h ≈ 2,9cm
107

5.4 Zylinder und Kegel - Volumen und Oberfläche
5. Ein 10cm hoher gerader Kegel soll parallel zu seiner Grundfläche durchgeschnitten
werden, so dass die beiden entstehenden Körper gleiches Volumen besitzen.
In welchem Abstand von der Grundfläche muss der Kegel durchgeschnitten werden?
Lösung: h ≈ 2,1cm
6. Befördert man 2m 3 Sand über ein feststehendes Förderband, so entsteht nach dem
Abfallen ein kegelförmiger Sandhaufen von 92cm Höhe.
(a) Welchen Durchmesser hat die Grundfläche dieses Schüttkegels?
Rundung des Ergebnisses auf cm!
Wenn Sie (a) nicht lösen konnten, so rechnen Sie im folgenden mit einem Radius von
144cm.
(b) Ein Käfer krabbelt von der Spitze des Schüttkegels auf kürzestem Weg zu seiner
Freundin, die auf dem Sandhaufen in halber Höhe über dem Boden (d.h. der
Kegelgrundfläche) wartet.
Welchen Weg (in cm) legt der Käfer zurück?
Lösung: (a): 288cm (b): 85cm
5.4. Zylinder und Kegel - Volumen und Oberfläche
1. Berechnen Sie den Oberflächeninhalt des
Körpers, der entsteht, wenn die Figur um die
Achse a rotiert!
Lösung: O = (75+3 √ 10)·π
108
10
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.......
...
.........
. . . . .
.
√
10 .
.
a
6
1

5.4 Zylinder und Kegel - Volumen und Oberfläche
2. Gegeben ist ein gerader Kreiskegel mit dem Radius
R = a und der Höhe H = 4
3 a.
(a) Berechnen Sie die Länge einer Mantellinie
in Abhängigkeit von a!
(b) BeimAbwickeln desKegelmantelsentsteht
ein Kreissektor. Berechnen Sie den Mittelpunktswinkel
des Kreissektors!
(c) Aus dem Kegel wird ein Zylinder mit der
Höhe h = aherausgebohrt (s. Skizze!). Berechnen
Sie das Volumen des Zylinders in
Abhängigkeit von a!
Lösung: (a): 5
3 a (b) : 216◦ (c) : π
16 a3
3. Ein Apfelmushersteller hat bei einer Dosenfabrik 12000 zylindrische Blechdosen mit
dem Radius r und der Höhe h = 2r in Auftrag gegeben. In die bestellten Dosen paßt
gerade sein gesamter Apfelmusvorrat. Der Designer der Dosenfabrik, ein mathematischer
Analphabet, ließ statt der zylindrischen kegelförmige Dosen mit dem Radius
R = 9cm und der Höhe H = 12cm herstellen. Die Oberfläche einer kegelförmigen
Dose ist genauso groß wie die Oberfläche einer bestellten zylindrischen Dose. Wie
viele kegelförmige Dosen müssen nachbestellt werden, damit der gesamte Musvorrat
abgepackt werden kann?
Lösung: r = 6cm; VK = 324πcm 2 ; VZ = 432πcm 2
Gesamtzahl der Kegel = 12000· VZ
=⇒ 4000 Kegel nachbestellen
VK
= 16000
4. Die nebenstehend gezeichnete, zur Achse
a symmetrische Figur rotiert um die
Achse a. Berechne das Volumen V und
die Oberfläche A des entstehenden Rotationskörpers!
Lösung: V = 54,6πcm 3
A = 56πcm 2
109
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✻
2cm
.
.
❄
.
a
✛ 3,5cm ✲
.
.
✛✲
.
R
1,5cm
h
H
.
✻
4,8cm
❄
.
✻
2cm
❄
.

5.4 Zylinder und Kegel - Volumen und Oberfläche
5. Aus alt mach neu!
Man nehme 35 Weihnachtskerzen, die eine Zylinderform mit 10mm Radius und
13,2cmHöhesowieeinen4mmdickenDochthaben.NachdemEntfernendesDochtes
werden die Kerzen in einem Topf zum Schmelzen gebracht.
(a) Welches Volumen hat die Wachsmasse?
(b) Schüttet man die flüssige Wachsmasse in
einen kegelförmigen Trichter mit einem Öffnungswinkel
von 60 o (vgl. Zeichnung), so entsteht
eine herrliche Geburtstagskerze. Wie
hoch steht die Wachsmasse im Trichter?
Lösung: 1393cm 3 und 15,86cm
6. Ein gleichseitiger Kegel (d.h. Grundkreisdurchmesser = Mantellinienlänge) und ein
gleichseitiger Zylinder (d.h. Grundkreisdurchmesser = Zylinderhöhe) haben gleiche
Oberflächen.
Wie verhalten sich ihre Rauminhalte?
Lösung: VZ : VK = √ 6 : 2
7. Einem Kegel mit Radius r und Höhe h ist ein Zylinder einbeschrieben, der auf der
Grundfläche des Kegels steht und dessen Grundkreisdurchmesser gleich seiner Höhe
ist. Wie verhalten sich die Volumina von Kegel und Zylinder zueinander?
Lösung: VKe : VZy = (2r +h) 3 : 6rh 2
8. Bei einem Kegel mit Grundkreisradius r und Höhe h ist die Mantellinienlänge m
doppelt so groß wie h. Dem Kegel ist ein Zylinder einbeschrieben, der auf der Grundfläche
des Kegels steht und dessen Mantelfläche ein Viertel der Mantelfläche des
Kegels beträgt. Welchen Radius ̺ besitzt der Zylinder?
Lösung: ̺ = r
2
110
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30o .
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5.5 Kugel - Volumen und Oberfläche
9. In eine zylinderförmige Eieruhr aus Plexiglas
(Radius r = 4cm, Höhe h = 12cm) sind
zwei gleiche Kegel eingeschliffen, die sich mit
den Spitzen berühren und dort gegenseitig
durchlässig sind (vgl. Abb.). Der obere Kegel
sei ganz mit feinem Sand gefüllt, der innerhalb
von 5 Minuten in den unteren Kegel
abfließen kann.
←− r −→←− r −→
. . . . . . . . . . . . . . . .
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(a) Wie viele Kubikmillimeter Sand fließen pro Sekunde ab, wenn eine gleichbleibende
Geschwindigkeit vorausgesetzt wird?
(b) Wie hoch steht der Sand im oberen Kegel nach 3 Minuten?
(c) Berechnen Sie die Masse der Eieruhr!
(̺Plexiglas = 1,2 kg
dm3; ̺Sand = 1,8 kg
dm3) Lösung: 335mm 3 ; 4,4cm; 664g
5.5. Kugel - Volumen und Oberfläche
1. Eine Firma erhält den Auftrag, Eisenkugeln zum Kugelstoßen herzustellen. Welchen
Durchmesser müssen die Kugeln mit der Masse m = 5kg haben?
(Dichte von Eisen: ̺ = 7,9 g
cm 3)
Lösung: 10,7cm
2. Eine geschälte Orange von 4cm Radius besteht aus 16 gleichen Schnitzen. Berechnen
Sie Volumen und Oberfläche eines Schnitzes!
Lösung: V = 16,8cm 3 ;O = 62,8cm 2
3. Eine Kugel mit dem Radius R hat das gleiche Volumen wie eine Halbkugel mit dem
Radiusr.BerechnenSiedasVerhältnisderOberflächenvonHalbkugelundKugel.
Lösung: r = R· 3√ 2 ; AHK = 3r 2 π ; AHK
= 3
3√ ≈ 1,19
16
AK
111
.
↑ ||
|
|
h
|
|
|
|
↓

Lösung: n
5.5 Kugel - Volumen und Oberfläche
4. Die Sonne sendet pro Sekunde ungefähr n0 = 1045 Lichtteilchen (Photonen) aus,
gleichmäßig auf alle Richtungen verteilt. Die Sonne ist mit dem bloßen Auge noch
sichtbar, wenn ca. n = 100 Photonen pro Sekunde die Pupille (A = 0,5cm2 ) treffen.
In wie vielen Lichtjahren Entfernung ist die Sonne mit freiem Auge gerade noch
8 m
sichtbar? (Lichtgeschwindigkeit = c = 3·10 s )
n0
= A
4πr 2 =⇒ r = 6,31·1018 m = 667LJ
5. Umwieviel ProzentmussdieKantenlängeeinesWürfelsvergrößertwerden, damitder
vergrößerte Würfel das gleiche Volumen wie die Umkugel des ursprünglichen Würfels
hat?
Lösung: 39,6%; Umkugelradius = halbe Raumdiagonale des Würfels
6. Eine hohle Kugel mit 10cm Außendurchmesser und 4mm Wanddicke schwimmt in
Wasser (Dichte ̺W = 1,0 g
cm3) und taucht genau bis zur Hälfte ein. Berechnen Sie die
Dichte ̺M des Materials, aus dem die Kugel besteht!
Lösung: 2,3 g
cm 3 (Auftriebsgesetz von Archimedes verwenden!)
7. K1 istein ” Achtelschnitz“ einerKugelmitRadiusr (einSchnitzwievoneinerOrange,
die aus acht gleichen Schnitzen besteht). K2 ist ein Viertel einer Halbkugel mit
Radius r.
(a) Berechnen Sie die Rauminhalte V1 und V2 der beiden Körper.
(b) Berechnen Sie das Verhältnis der Oberflächen A1 und A2 der beiden Körper.
Lösung: (a) V1 = V2 = π
6 r3
(b) A1 = 3
2 r2 π, A2 = 5
4 r2 π, A1
A2
= 6
5
8. Schneidet eine Ebene eine Kugel vom Radius R im Abstand d (0 ≦ d < R) vom
Kugelmittelpunkt, so wird eine sogenannte Kugelhaube der Höhe h = R − d abgeschnitten.
Für den Flächeninhalt F der Kugelhaube (ohne Boden) gilt dabei die
Formel
F = 2π·R·h (kein Nachweis!)
(a) Folgern Sie mit Hilfe dieser Beziehung die Formel zur Berechnung der Kugeloberfläche!
(b) In welcher Höhe H über dem Horizont überblickt man den n-ten Teil (n ≧ 2)
der Erdoberfläche (Erdradius R)? Erstellen Sie eine Überlegungsskizze!
112

Lösung: (b) H = 2R
n−2
5.6 Zylinder, Kegel und Kugel - Volumen und Oberfläche
9. (a) Zeigen Sie, dass für das Materialvolumen einer Hohlkugel mit dem Außendurchmesser
2r und der Wanddicke d gilt:
V = 4
3 πd(3r2 −3rd+d 2 )
(b) Betrachten Sie nun diese Hohlkugel als Schicht der Dicke d und der ” Grundfläche“S
und leiten Sie daraus einen näherungsweisen Zusammenhang zwischen
der Kugeloberfläche S, dem Radius r und der Wanddicke d her.
(c) Zeigen Sie nun mit Hilfe geeigneter Zahlenwerte:
Läßt man die Wanddicke d ” beliebig dünn“werden, so ergibt sich aus der Formel
aus Aufgabe (b) durch geschicktes Vernachlässigen die exakte Formel für die
Oberfläche einer Kugel vom Radius r.
Lösung: (b) S ≈ 4r 2 π −4rπd+ 4
3 πd2 (c) S = 4r 2 π
10. Umwieviel ProzentmussdieKantenlängeeinesWürfelsvergrößertwerden, damitder
vergrößerte Würfel das gleiche Volumen wie die Umkugel des ursprünglichen Würfels
hat?
Lösung: 39,6%
5.6. Zylinder, Kegel und Kugel - Volumen und Oberfläche
Lösung:
1. (a) Eine Glaskugel mit 12cm Durchmesser wird in einen möglichst kleinen zylinderförmigen
Karton verpackt. Wieviele Prozent des zur Verfügung stehenden
Raumes werden verschenkt?
(b) Der Glasbläser hat die Kugel aus einem 3cm dicken Tropfen Glas geblasen. Wie
dick ist die Glaswand der Kugel?
2πr 3 − 4
3 πr3
2πr 3 = 33%
4π
3 r3 0 ≈ 4πR2 d ergibt d ≈ 0,3mm; eine exakte Rechnung liefert dasselbe Ergebnis.
2. Ineinem Messzylinder mit deminnerenRadiusR = 1,2cmsteht eineFlüssigkeit 3cm
hoch. Diese Flüssigkeit wird in ein Reagenzglas mit dem inneren Radius r = 0,6cm
gegossen. Wiehoch(incm)steht dieFlüssigkeit imReagenzglasvomunterstenPunkt
aus gemessen?
Hinweis: Betrachten Sie das Reagenzglas als Zylinder mit angesetzter Halbkugel!
113

Lösung: 12,2cm
5.6 Zylinder, Kegel und Kugel - Volumen und Oberfläche
3. Berechnen Sie die Gesamtoberfläche des Rotationskörpers
in Abhängigkeit von a und π!
Lösung: O = a 2 π(20+2 √ 13)
Achse
.
←− 2a −→
↑ |
|
|
|
5a
. . .
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. . . . .
. |
|
|
|
↓
. . . . . . . . . . . . .
4. Eine Kugel wird in einem möglichst kleinen zylinderförmigen Karton verpackt. Wieviel
Prozent des Zylindervolumens bleiben frei?
Lösung: 33%
5. Einer Kugel vom Radius r ist ein Zylinder mit der Höhe h = 1,5r einbeschrieben.
Wie verhalten sich die Rauminhalte der beiden Körper?
Lösung: VZ : VK = 63 : 128
114

5.6 Zylinder, Kegel und Kugel - Volumen und Oberfläche
6. Aus dem gleichseitigen Dreieck ABC der Seitenlänge
2a werde die Figur DEFG mit dem
Halbkreisbogen DE herausgestanzt. Das restliche
Flächenstück rotiere um die Achse s. Ferner gilt
CG = 2
3a. Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Rotationskörpers
in Abhängigkeit von a und stellen
Sie das Ergebnis in möglichst einfacher Form dar!
Lösung: Strahlensatz!
VRot = 1
81 a3 π · 21 √ 3+2
7. Durch Rotation der schraffierten Fläche um die
Achse a entsteht ein Rotationskörper (runder
Turm mit halbkugelförmigem Innenraum).
(a) Berechnen Sie den Flächeninhalt der Dachfläche
in Abhängigkeit von d.
(b) Berechnen Sie den Rauminhalt des Rotationskörpers
in Abhängigkeit von d. Das Ergebnis
soll möglichst weit vereinfacht werden.
Lösung: A = √ 2πd 2 und V = 2
3 πd3
.
C
.
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F
.
.
.
G
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.
. . ...
A D . E B
.
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. ←−−− d −−−→ .
8. Tennisbälle werden in Sportgeschäften häufig in zylindrischen Blechdosen angeboten.
dabei werden 4 Bälle übereinander in der Dose gestapelt. Wie groß ist der in der Dose
verbleibende Hohlraum, wenn man von einem Balldurchmesser von 7cm ausgeht. Um
welchen Anteil des Dosenvolumens handelt es sich dabei?
Lösung: Anteil 1
3 , Volumen 359cm3
115
.
.
.
.
a
↑ ||
.
d
|
|
↓.
↑
||
d
|
|
↓
.
s

5.6 Zylinder, Kegel und Kugel - Volumen und Oberfläche
9. Ein Hohlzylinder (Höhe h = 10cm; Außendurchmesser d = 3cm; Wanddicke a =
2mm) aus Blei wird geschmolzen und
a) in eine Vollkugel
b) in eine Hohlkugel mit gleicher Wanddicke a
umgeformt. Berechne jeweils den Außendurchmesser der Kugel!
Lösung: a) dK = 3,2cm; b) dK = 5,4cm
10. Einer Kugel vom Radius R ist ein Zylinder einbeschrieben, dessen Mantelfläche sich
zur Kugeloberfläche wie 1:2 verhält. (Schnittskizze!)
Lösung: 53,0%
(a) Zeigen Sie, dass diese Bedingung nur erfüllt ist, wenn der Zylinderradius halb
so groß ist wie die Zylinderhöhe!
(b) Welchen prozentualen Anteil des Kugelvolumens macht das Zylindervolumen
aus?
11. Einem geraden Kreiskegel vom Grundkreisradius r, dessen Axialschnitt ein gleichseitiges
Dreieck ist, lassen sich eine Kugel vom Radius Re einbeschreiben und eine
Kugel vom Radius Ru umbeschreiben.
(a) Zeichnen Sie einen gemeinsamen Axialschnitt der drei Körper für r = 3cm!
(b) Stellen Sie allgemein die Radien Re und Ru der beiden Kugeln in Abhängigkeit
von r dar!
(Teilergebnis: Re = r
3
√ 3)
(c) Wie verhalten sich die Volumina von umbeschriebener Kugel, Kegel und einbeschriebener
Kugel?
Lösung: (b) Ru = 2
3 r√ 3 (c) Vu : VKe : Ve = 32 : 9 : 4
12. Ein auf der Spitze stehender gleichseitiger Hohlkegel (d.h. ein Axialschnitt des Kegels
ergibt ein gleichseitiges Dreieck) ist teilweise mit Wasser gefüllt. Wirft man in den
Kegel eine Kugel mit dem Radius r, so wird diese gerade ganz von Wasser bedeckt
und der Kegel ganz mit Wasser gefüllt. Berechnen Sie die Tiefe des Wassers vor und
nach dem Hineinwerfen der Kugel!
Lösung: vorher: r 3√ 15; nachher: 3r
116

5.7 Umfüllaufgaben
13. In einen auf der Spitze stehenden gleichseitigen Hohlkegel (d.h. ein Axialschnitt des
Kegels ergibt ein gleichseitiges Dreieck) wird eine Kugel vom Radius r geworfen.
Die Kugel taucht dabei gerade vollständig in den Kegel ein. Wie verhalten sich die
Oberflächeninhalte von Kegel und Kugel?
Lösung: OKe : OKu = 9 : 4
14. Einer Kugel vom Radius r wird ein gerader Kegel der Höhe 4r umbeschrieben.
Lösung: (a) tan α
2
(a) Berechnen Sie den Öffnungswinkel α des Kegels (Planfigur).
(b) Wie groß ist der Radius des Berührkreises?
(c) Welches Verhältnis bilden Mantelfläche und Kugeloberfläche?
= 1
3
(b) ̺ = √ 8sin α
2
(c) 3 : 2
5.7. Umfüllaufgaben
1. Ineinem Messzylinder mit deminnerenRadiusR = 1,2cmsteht eineFlüssigkeit 3cm
hoch. Diese Flüssigkeit wird in ein Reagenzglas mit dem inneren Radius r = 0,6cm
gegossen. Wiehoch(incm)steht dieFlüssigkeit imReagenzglasvomunterstenPunkt
aus gemessen?
Hinweis: Betrachten Sie das Reagenzglas als Zylinder mit angesetzter Halbkugel!
Lösung: 12,2cm
2. Aus alt mach neu!
Man nehme 35 Weihnachtskerzen, die eine Zylinderform mit 10mm Radius und
13,2cmHöhesowieeinen4mmdickenDochthaben.NachdemEntfernendesDochtes
werden die Kerzen in einem Topf zum Schmelzen gebracht.
(a) Welches Volumen hat die Wachsmasse?
(b) Schüttet man die flüssige Wachsmasse in
einen kegelförmigen Trichter mit einem Öffnungswinkel
von 60 o (vgl. Zeichnung), so entsteht
eine herrliche Geburtstagskerze. Wie
hoch steht die Wachsmasse im Trichter?
Lösung: 1393cm 3 und 15,86cm
117
.
.
.
.
.
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30o .
.
.
.

5.8. Rotationskörper
5.8 Rotationskörper
5.8.1. Rotationskörper ohne Kegelstümpfe
1. Durch Rotation der schraffierten Fläche um die
Achse a entsteht ein Rotationskörper (runder
Turm mit halbkugelförmigem Innenraum).
(a) Berechnen Sie den Flächeninhalt der Dachfläche
in Abhängigkeit von d.
(b) Berechnen Sie den Rauminhalt des Rotationskörpers
in Abhängigkeit von d. Das Ergebnis
soll möglichst weit vereinfacht werden.
Lösung: A = √ 2πd 2 und V = 2
3 πd3
2. Aus dem gleichseitigen Dreieck ABC der Seitenlänge
2a werde die Figur DEFG mit dem
Halbkreisbogen DE herausgestanzt. Das restliche
Flächenstück rotiere um die Achse s. Ferner gilt
CG = 2
3a. Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Rotationskörpers
in Abhängigkeit von a und stellen
Sie das Ergebnis in möglichst einfacher Form dar!
Lösung: Strahlensatz!
VRot = 1
81 a3 π · 21 √ 3+2
118
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........................................................................................................................................................................................................
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. ←−−− d −−−→ .
.
a
↑ ||
.
d
|
|
↓.
↑
||
d
|
|
↓
.
C
.
.
.
.
.
.
.
F
.
.
.
G
.
.
.
.
.
.
.
.
. . ...
A D . E B
s

5.8 Rotationskörper
3. Das Trapez ABCD in nebenstehender Skizze rotiert
um die Achse DC. Berechnen Sie Volumen
und Oberfläche des entstehenden Rotationskörpers!
Lösung: V = 7a 3 π; O = 10 √ 3a 2 π
4. Berechnen Sie die Gesamtoberfläche des Rotationskörpers
in Abhängigkeit von a und π!
Lösung: O = a 2 π(20+2 √ 13)
5. Einem Quadrat sind ein Kreis und ein gleichschenkliges
Dreieck einbeschrieben. Diese Figur
dreht sich um die Symmetrieachse (vgl. Zeichnung).
119
D a C
✡
✡
✡
2a ✡
✡
✡
✡
✡
❏
❏
❏ 2a
❏
❏
❏
❏
❏
A 3a B
.
Achse
. . .
. .
. . .
. .
. . .
. .
. . .
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. . .
. . .
. .
.
←− 2a −→
.
.
.
.
. .
...
. .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . .
. . . .
. . . . .
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. . . . .
. . . . .
. . . . | . . .
. . . ..
|
. . .
. . | . .
. .
. . |
|
↓
. . . . . . . . . . . . .
Achse
.
h
✻
❄
↑ |
|
|
|
5a
.............. .....
.
✻
a
❄

5.8 Rotationskörper
(a) Berechnen Sie jeweils das Volumen der drei dabei entstehenden Körper sowie
den Oberflächeninhalt des Kegels!
(b) Aus dem Zylinder wird die Kugel herausgeschnitten. Wie groß ist der Radius R
einer anderen Kugel, die denselben Rauminhalt wie der Restkörper hat?
(c) Die drei Körper werden in der Höhe h über der Grundfläche von einer zur
Grundfläche parallelen Ebene geschnitten. Wie groß sind die Flächeninhalte
von ” Kegelkreis “und ” Kugelkreis “?
Lösung: (a) VZy = 1
4πa3 ;VKU = 1
6πa3 ;VKe = 1
12πa3 ;OKe = 1
(b) 3
1
16a3 (c) AKe = ( a−h
2 )2π;AKu = (ah−h 2 )π
6. Berechnen Sie den Oberflächeninhalt des
Körpers, der entsteht, wenn die Figur um die
Achse a rotiert!
Lösung: O = (75+3 √ 10)·π
7. Die nebenstehende Figur rotiert um die Achse
a. Bestimmen Sie für den Rotationskörper
(a) das Volumen V
(b) die Oberfläche O
4 πa2 ( √ 5+1)
Lösung: (a) V = 1
3 (2l)2π ·1,5l+(1,5l) 2π ·1,5l − 1 4
2 · 3πl3 = 113
24 πl3
(b) Länge der Mantellinie: m = 2,5l.
Oberfläche:
.
....................
. ..................................... .............
...................................
. . .
←−− 2l −−→ a
l .
←−1,5l−→
O = 1
2 m·2π ·2l +1,5l ·2π ·1,5l +(π(2l)2 −πl 2 + 1
2 4πl2 = 14,5πl 2
120
......................................................................................................................................................
10
.
↑ |
1,5l
|↓ .
↑ |
1,5l
|↓ .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
......
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . .
.
√
. 10 .
.
a
6
1

5.8 Rotationskörper
5.8.2. Rotationskörper mit Kegelstümpfen
1. Oh Tannenbaum!
Das punktierte Flächenstück rotiert um die eingezeichnete
Achse a. Die Längenangaben sind in cm.
Berechnen SiedasVolumenunddieOberflächedes
entstehenden Rotationskörpers!
Hinweis:
Für einen Kegelstumpf mit den Radien r1 und r2,
der Höhe h und der Mantellinie s gilt:
VKST = 1 3 π(r2 1 +r1r2 +r 2 2 )h
MKST = (r1 +r2)πs
Lösung: V = 160,0cm 3 ,O = 216,8cm 2
2. Die nebenstehend gezeichnete, zur Achse
a symmetrische Figur rotiert um die
Achse a. Berechne das Volumen V und
die Oberfläche A des entstehenden Rotationskörpers!
Lösung: V = 54,6πcm 3
A = 56πcm 2
5.8.3. Einbeschreibungen
.
.
✻
2cm
.
.
❄
.
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a
✛ 3,5cm ✲
.
.
Achse a
...............
...............
...............
...............
...............
...............
←− 3 −→ .
...............
←− 2 −→
...............
...............
...............
...............
←−−− 4 −−−→
...............
...............
...............
..........
...............
...............
..........................................................................................................
←− 2 −→
✛✲
.
1,5cm
↑ |
3
|
↓
6
4
.
✻
4,8cm
❄
.
✻
2cm
❄
1. Eine Kugel wird in einem möglichst kleinen zylinderförmigen Karton verpackt. Wieviel
Prozent des Zylindervolumens bleiben frei?
121
.

Lösung: 33%
5.8 Rotationskörper
2. Einer Kugel vom Radius r ist ein Zylinder mit der Höhe h = 1,5r einbeschrieben.
Wie verhalten sich die Rauminhalte der beiden Körper?
Lösung: VZ : VK = 63 : 128
3. Umwieviel ProzentmussdieKantenlängeeinesWürfelsvergrößertwerden, damitder
vergrößerte Würfel das gleiche Volumen wie die Umkugel des ursprünglichen Würfels
hat?
Lösung: 39,6%; Umkugelradius = halbe Raumdiagonale des Würfels
Lösung:
4. (a) Eine Glaskugel mit 12cm Durchmesser wird in einen möglichst kleinen zylinderförmigen
Karton verpackt. Wieviele Prozent des zur Verfügung stehenden
Raumes werden verschenkt?
(b) Der Glasbläser hat die Kugel aus einem 3cm dicken Tropfen Glas geblasen. Wie
dick ist die Glaswand der Kugel?
2πr 3 − 4
3 πr3
2πr 3 = 33%
4π
3 r3 0 ≈ 4πR2 d ergibt d ≈ 0,3mm; eine exakte Rechnung liefert dasselbe Ergebnis.
5. Einem Kegel mit Radius r und Höhe h ist ein Zylinder einbeschrieben, der auf der
Grundfläche des Kegels steht und dessen Grundkreisdurchmesser gleich seiner Höhe
ist. Wie verhalten sich die Volumina von Kegel und Zylinder zueinander?
Lösung: VKe : VZy = (2r +h) 3 : 6rh 2
6. Bei einem Kegel mit Grundkreisradius r und Höhe h ist die Mantellinienlänge m
doppelt so groß wie h. Dem Kegel ist ein Zylinder einbeschrieben, der auf der Grundfläche
des Kegels steht und dessen Mantelfläche ein Viertel der Mantelfläche des
Kegels beträgt. Welchen Radius ̺ besitzt der Zylinder?
Lösung: ̺ = r
2
7. Einem geraden Kreiskegel vom Grundkreisradius r, dessen Axialschnitt ein gleichseitiges
Dreieck ist, lassen sich eine Kugel vom Radius Re einbeschreiben und eine
Kugel vom Radius Ru umbeschreiben.
122

5.8 Rotationskörper
(a) Zeichnen Sie einen gemeinsamen Axialschnitt der drei Körper für r = 3cm!
(b) Stellen Sie allgemein die Radien Re und Ru der beiden Kugeln in Abhängigkeit
von r dar!
(Teilergebnis: Re = r
3
√ 3)
(c) Wie verhalten sich die Volumina von umbeschriebener Kugel, Kegel und einbeschriebener
Kugel?
Lösung: (b) Ru = 2
3 r√ 3 (c) Vu : VKe : Ve = 32 : 9 : 4
8. Ein auf der Spitze stehender gleichseitiger Hohlkegel (d.h. ein Axialschnitt des Kegels
ergibt ein gleichseitiges Dreieck) ist teilweise mit Wasser gefüllt. Wirft man in den
Kegel eine Kugel mit dem Radius r, so wird diese gerade ganz von Wasser bedeckt
und der Kegel ganz mit Wasser gefüllt. Berechnen Sie die Tiefe des Wassers vor und
nach dem Hineinwerfen der Kugel!
Lösung: vorher: r 3√ 15; nachher: 3r
9. In einen auf der Spitze stehenden gleichseitigen Hohlkegel (d.h. ein Axialschnitt des
Kegels ergibt ein gleichseitiges Dreieck) wird eine Kugel vom Radius r geworfen.
Die Kugel taucht dabei gerade vollständig in den Kegel ein. Wie verhalten sich die
Oberflächeninhalte von Kegel und Kugel?
Lösung: OKe : OKu = 9 : 4
5.8.4. Anwendungen in der Physik
1. Eine Firma erhält den Auftrag, Eisenkugeln zum Kugelstoßen herzustellen. Welchen
Durchmesser müssen die Kugeln mit der Masse m = 5kg haben?
(Dichte von Eisen: ̺ = 7,9 g
cm 3)
Lösung: 10,7cm
2. Bestimmen Sie die Masse m eines Kupferrohrs, das die Länge l = 1m, den Außendurchmesser
2r = 4cm und die Wandstärke d = 3mm hat. Die Dichte von Kupfer
ist ̺ = 8,9 g
cm 3.
(a) Leiten Sie zunächst einen Ausdruck her, der m durch die Größen l,r,d,̺ ausdrückt.
123

5.8 Rotationskörper
(b) Berechen Sie den Wert dieses Ausdrucks für die angegebenen Werte der Größen
l,r,d,̺ mit dem Taschenrechner.
Lösung: (a) m = π̺ld(2r −d) (b) m = 3103,6g ≈ 3,1kg
3. Ein Würfel aus Kork (̺K = 0,2 g
cm 3) wird senkrecht zu einer Seitenfläche zylindrisch
Lösung: r =
durchbohrt. In diese Bohrung wird ein Aluminiumzylinder (̺Al = 2,7 g
cm 3) gleicher
Größe gesteckt. Die Kantenlänge a des Würfels beträgt 30cm.
Wie groß muss der Radius r der Bohrung sein, damit der Körper im Wasser (̺W =
1,0 g
cm 3) schwebt? Berechnen Sie zunächst allgemein den Radius r der Bohrung in
Abhängigkeit von der Kantenlänge a des Würfels und setzen Sie erst dann die gege-
benen Werte ein!
̺W−̺K
(̺Al−̺K)·π
5.8.5. Das Prinzip von Cavalieri
Lösung:
·a = 9,6cm; Auftriebsgesetz von Archimedes verwenden!
1. Bei der Rotation des im linken Bild schraffierten (rechtwinkligen) Dreiecks um die
vertikale Achse a entsteht ein Ring.
(a) Begründen Sie h = x und berechnen Sie die Grundfläche des Rings.
(b) Zeigen Sie, dass für sein Volumen V = πh2 (r − 1h)
gilt. 3
(c) Die Kugel (Maße vgl. Abb.) und der Ring werden in derselben Höhe y = r −h
von einer horizontalen Ebene geschnitten. Berechnen Sie den Flächeninhalt der
Schnittfigur in Abhängigkeit von r und h.
(d) Begründen Sie ohne weitere Rechnung mit dem Satz von Cavalieri, dass der
schraffierte Teil der Kugel (genannt Kugelabschnitt) dasselbe Volumen hat, wie
der Ring.
Neben den Formeln für Zylinder und Kegel darf noch die Formel für das Volumen
eines Kegelstumpfs verwendet werden: V = 1
3 πh(R2 +rR+r 2 )
↑ ||
r
|
|
↓
. .
h
......
.... .
.....
. . .
.
. x . ↑ |
y
|↓
.
.
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. . . . . . . . . . . . . . . .
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. . . . . a
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r
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..
. . . . . .
..................................................................................................
. . . .
.......................................................................................................
←−−− r −−−→
124
.

Lösung:
5.8 Rotationskörper
2. Von einem Zylinder (in der linken Abbildung liegend) wird ein keilförmiges Stück
durch einen ebenen Schnitt abgetrennt. Der Schnitt verläuft durch einen Durchmesser
der vorderen Kreisfläche (im Bild lotrecht) und streift den Umfang der hinteren
Kreisfläche. Durchmesser und Höhe des Zylinders stimmen überein und betragen 2
Längeneinheiten. Das Volumen des abgeschnittenen Keils soll berechnet werden.
DazudenkenwirunswieinderZeichnung einKoordinatensystemamZylinderfixiert,
die nicht eingezeichnete y-Achse ist die Symmetrieachse des Zylinders und zeigt nach
hinten.
.
....
.....
..................
..............
............................. .
.
.......
...
z
...........
. . . . . . . . . . . . .
. .
. .
y0
. .
.
....
.......
........
................
....
.
.
. .
........................
.
.
.
. x .
.
.
.
.
.
x0 .
.
. . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
.....................................
z0
. ........................................................................ .. .... ... ....
. ................................................................... . ....
...
......................................... ....
.
.
.... ... .... .... ... ....
.....
.......
.....
... .... .... ... .... .... ... .... ...
.
. .
....
.
.
. . .
....
. .
. .
................................................
.
. .
(a) Zeichne den Zylinder und die Schnittfläche von oben (Grundriß) und von vorne
(Aufriß).
(b) Eine horizontale Schnittfläche im Keil in der Höhe z0 hat die Form eines rechtwinkligen
Dreiecks (vgl. Abbildung) mit Katheten der Länge x0 und y0. Zeichne
das Dreieck in beide Risse ein.
(c) Zeige zunächst y0 = 2x0, x2 0 = 1−z2 0 und begründe, dass die Dreiecksfläche den
Inhalt A = 1−z 2 0 hat.
(d) Der abgebildete Quader hat als Grundfläche ein Quadrat der Seitenlänge 1 und
die Höhe 2. Aus ihm werden zwei Pyramiden herausgefräst, deren gemeinsame
Spitze der Quadermittelpunkt ist und die als Grundfläche jeweils die Grundbzw.
die Deckfläche des Quaders haben. Zeige: Die Inhalte der Schnittflächen
in der Höhe z0 durch den Restkörper bzw. durch den Keil stimmen überein.
(e) Begründe: Das Volumen des Keils beträgt V = 4
3 .
125

6. Trigonometrie
6.1. Winkel im Bogenmaß
1. Füllen Sie folgende Tabelle aus:
Winkel im Gradmaß 20 o 260 o
Winkel im Bogenmaß
1 13 Lösung: 9π; 9 π; 140o ; 292,5o 2. Gib folgende Winkel
7
9 π
3
(a) im Gradmaß auf 3 geltende Ziffern genau an: π; 2,87 4
(b) im Bogenmaß als Vielfache von π und als Dezimalzahl mit 3 geltenden Ziffern
an: 120◦ ; 72◦ Lösung: (a) 135◦ ; 164◦ (b) 2 2
3π ≈ 2,09; 5π ≈ 1,26
3. Der Winkel π im Bogenmaß ist gleich dem Winkel 180 ◦ im Gradmaß, d.h.
13
8 π
π = 180 ◦
1 ◦ ist also nichts anderes als eine Abkürzung für die reelle Zahl π
180 .
Jeder der folgenden Ausdrücke ist als Vielfaches von π und als Vielfaches von 1 ◦
anzugeben:
Lösung: (a) 30 ◦ = π
6
(d)
π 2
1080
= π
6 ·1◦
(b)
(e)
(a) 30 ◦ (b) (30 ◦ ) 2 (c) (30 2 ) ◦
(d) 30·(1 ◦ ) 2 (e)
π 2
36
= 5π ·1◦
5400
π 2 ·π = 972000
π 2 ·1 ◦
126
.
30
1 ◦ (f)
1
30 ◦
(c) 5π = 900 ◦
(f)
6 1080
·π =
π2 π2 ·1 ◦

6.2 Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck
6.2. Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck
6.2.1. Exakte Berechnung für bestimmte Winkel
1. Die Seitenlänge eines regulären 10-Ecks mit Umkreisradius 1 beträgt 1
2 · (√ 5 − 1).
Berechnen Sie anhand einer übersichtlichen Skizze die exakten Werte von cos 18 ◦
und sin 36 ◦ !
Hinweis: Verwenden Sie die allgemeingültige Beziehung sin 2α = 2·sin α·cos α!
Lösung: cos 18 ◦ = 1
4 · 10+2 √ 5; sin 36 ◦ = 1
4 · 10−2 √ 5
6.2.2. Aufgaben zur Definition der Winkelfunktionen im
rechtwinkligen Dreieck
1. Einem Kreis vom Radius 6,00cm ist ein reguläres 20-Eck einbeschrieben. Berechnen
Sie dessen Umfang. Wie groß ist die prozentuale Abweichung vom Kreisumfang?
Lösung: 37,54cm, 0,41%
2. Eine Leiter der Länge 4,7m wird an eine Wand gelehnt. Zwischen welchen Werten
darf sich ihr Neigungswinkel gegenüber der Wand bewegen, wenn der Fußpunkt der
Leiter mindestens 1m, aber nicht weiter als 2m von der Wand entfernt sein soll?
(3 geltende Ziffern)
Lösung: 12,3 ◦ ≦ α ≦ 25,2 ◦
3. Ein Flugzeug fliegt auf geradlinigem Kurs und in gleichbleibender Höhe von 4000m
mit einer Geschwindigkeit von 250 m genau über einen Beobachter hinweg. Wie weit
s
ist dasFlugzeug nach 20svom Beobachter entfernt, undunter welchem Winkel gegen
die Horizontale beobachtet er es dann? Fertige eine Skizze an.
Lösung: 6403m; 38,66 o
4. Der Giebel eines Hauses soll mit einem symmetrischen
Fachwerk verziert werden (vgl. Zeichnung).
Alle eingezeichneten Strecken stellen Balken dar.
Wieviel Meter Balken braucht man insgesamt,
wenn die Giebelbreite b = 6,40m und der Neigungswinkel
α = 50 o beträgt?
127
.
.
.
. α
←−−−−−−−−− b −−−−−−−−−→
·
.
.

Lösung: 28,82m
6.2 Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck
5. Von der Plattform eines 23,8m hohen Leuchtturmes sieht man mit einem Fernrohr
ein vor Anker liegendes Schiff unter einem Tiefenwinkel von 12,9 ◦ .
Wie weit ist das Schiff horizontal entfernt, wenn sich das Fernrohr 1,60m über der
Plattform befindet?
Lösung: ≈ 111m
6. Gegeben ist das Viereck ABCD mit der Symmetrieachse
AC (siehe Skizze) und
α = 70 ◦ , AB = 5,2cm, AC = 11,3cm.
Berechnen Sie BC,BD auf 1 Dezimale und den
Winkel γ auf 1 Grad genau!
Lösung: BC ≈ 7,6cm; BD ≈ 6,0cm; γ ≈ 46 ◦
7. VoneinemallgemeinenDreieckABC(sieheFigur!)
ist bekannt:
b = 7,0cm; c = 7,4cm; α = 53 ◦ .
Berechne ohne Verwendung des Satzes von Pythagoras:
(a) die Länge der Höhe h
(b) die Länge von [AF]
(c) den Winkel β
.
.
.
.
.
.
. . . . ... . . . . . . . .
.
. E .
(d) die Länge der Seite a. . ..
Lösung: (a): 5,6cm (b) : 4,2cm (c) : 60 ◦ (d) : 6,5cm
128
D
...
b
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
α β
A c F B
C
γ
α
A
C
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
h
a
B
.

6.2 Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck
8. EinHeißluftballonsteigtin500mEntfernungsenkrecht empor.Mansiehtihnzunächst
unter einem Winkel von 50 ◦ , einige Zeit später unter einem Winkel von 60 ◦ und
schließlich unter einem Winkel von 70 ◦ (jeweils gemessen gegen die Horizontale). Um
wie viele Meter ist der Ballon zwischen den ersten beiden Winkeln gestiegen, um wie
viele Meter zwischen den letzten beiden?
Lösung: ≈ 270m bzw. ≈ 508m
9. Gegebenisteingleichschenkliges TrapezABCD mitdenparallelenGrundseiten[AB]
und [CD], wobei AB > CD sein soll. Es sei AB = 2a und AD = a sowie

6.2 Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck
3. Die Höhendifferenz zwischen dem Wasserspiegel
eines Sees und einem über dem See gelegenen
Hotel H beträgt h = 75,4m. Vom Hotel
aus sieht ein Beobachter eine Wolke unter dem
Winkel α = 59,2 ◦ , ihr Spiegelbild im See unter
dem Winkel β = 62,3 ◦ .
Wie hoch steht die Wolke über dem See?
Lösung: WP = tanβ+tanα
tanβ−tanα ·h ≈ 1190m
4. Über einen Kanal führt eine Brücke wie in
der Skizze rechts dargestellt. Berechne aus
der Brückenlänge und aus den beiden Neigungswinkeln
die größte Tiefe d des Kanals.
Lösung: 26,7m
5. DieZeichnung stelltdieseitliche Wangeeiner
Treppe dar, von der die Maße a = 150 cm,
b = 120 cm, c = 30 cm und d = 30 cm gegeben
sind. Ihr Steigungswinkel ϕ soll berechnet
werden.
(a) Berechnen Sie AC und

6.2 Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck
r1 = 6946m; ϕ1 = 30,26 ◦
und r2 = 5000m; ϕ2 = 36,87 ◦ .
Erstelle eine Zeichnung des Sachverhaltes im Maßstab 1 : 100000 und berechne
die horizontale Geschwindigkeit vH, die Sinkgeschwindigkeit vs sowie die Gesamtgeschwindigkeit
v des Flugzeuges. Achte auf eine sinnvolle Genauigkeit.
Lösung: vH = 400 m
s
; vs = 100 m
s
; v = 412 m
s
2. Zwei Buben haben sich an den Orten A
und B aufgestellt (AB = 1000m) und bestimmen
mit selbstgebastelten Winkelmessern
die Winkel α = 30 ◦ und β = 45 ◦ eines
Flugzeuges F zur Horizontalen (siehe Abb.).
(a) Berechne die Höhe h des Flugzeuges
über Grund unter der Annahme, dass
die beiden gemessenen Winkel exakt
sind.
α
A B
(b) In welchem Intervall liegt h, wenn die gemessenen Winkel jeweils mit einem
Fehler von ±1 ◦ behaftet sind? Erstellen Sie unbedingt eine Überlegungsfigur!
Lösung: (a) h = AB ·
tanα tanβ
tanβ −tanα = 500m·(√ 3−1) ≈ 1366m
tan29
(b) hmin = 1000m ·
◦ tan46◦ tan46◦ ≈ 1193m
−tan29 ◦
tan31
hmax = 1000m ·
◦ tan44◦ tan44◦ ≈ 1590m
−tan31 ◦
3. Ein Turm der Höhe h = 25 m steht auf einem
Hang, der unter dem Winkel β = 28 o
gegen die Horizontale geneigt ist. Die Schattenlänge
s = AB des Turms beträgt bei
dem aus der Skizze ersichtlichen Sonnenstand
45 m. Berechnen Sie den Höhenwinkel
α, unter dem die Sonne erscheint,auf Grad
genau.
Lösung: tanα = h+ssinβ
scosβ
131
...
.
.
.
.
.
.
.
.............. .
.
.
.
.
. ...................................................................................
.
. B ......................................
.
.
.
.
.
.
.. .
.
.
. . .
.
.. ..
A . . . . .......
. .
. s
. α
β
.
.
.
β
....
. F
..
.
.
h
. .
.
.
.
. .
...... .
.
h

liefert α = 49,3 ◦
6.2 Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck
4. Ein Turm der Höhe h steht an einem Hang,
der unter dem Winkel β = 30 ◦ gegen die
Horizontale geneigt ist. Die Schattenlänge
s = AB des Turms ist bei dem aus der Skizze
ersichtlichen Sonnenstand gerade doppelt so
groß wie die Turmhöhe. Berechne den Winkel
α zwischen Sonnenstrahlen und Hang.
Fertige eine saubere Zeichnung an, aus der
dieBedeutungallerverwendeten Größenhervorgeht.
Lösung: tan(α+β) =
h+2h sinβ
2h cosβ
= 2
√ 3
; α ≈ 19,1 ◦
A
α
β
s
.
S
.
B
. ❡
Sonne
h = BS
5. Die Höhe eines Schlotes soll durch Winkelmessung mit einem Theodoliten bestimmt
werden. Weil der Turmfuß nicht sichtbar ist, wird folgendes Verfahren gewählt: Vom
Punkt A aus wird der Winkel α zwischen der Horizontalen und der Blickrichtung zur
Turmspitze gemessen. Anschließend wird der Theodolit waagrecht in Richtung des
Turms zum Punkt B bewegt und die Messung wiederholt (Winkel β).
(a) Berechnen Sie die Turmhöhe h aus AB = 51,7m, α = 23,65 0 und β = 26,20 0 .
(b) Wie ändert sich dieses Ergebnis, wenn annimmt,dass der Messwert von α mit
einem Fehler von ±0,05 0 behaftet ist? Runden Sie den Wert von h zweckmäßig.
Lösung: (a) h = sinαsinβ
·AB = 205,8m
sin(β −α)
(b) Fehler: ca. 4m, h = 206m
6.2.5. Anwendungen auf räumliche Situationen
1. Eine reguläre achtseitige Pyramide hat die Grundkante a = 2,25m und die Höhe
H = 12,28m.BerechnenSiedasVolumenV derPyramide! (RundungdesErgebnisses
auf 1 Dezimale!)
Lösung: V = 100,1m 3
132
.

Lösung: 33 ◦
6.3 Übergang zum allgemeinen Dreieck
2. Befördert man eineinhalb Kubikmeter Sand über ein feststehendes Förderband, so
entsteht nach dem Abfallen ein kegelförmiger Sandhaufen von 85cm Höhe.
Berechnen Sie auf Grad genau den Böschungswinkel dieses Schüttkegels!
(Der Böschungswinkel ist der Winkel zwischen einer Mantellinie und der Grundfläche.)
3. Von einem Quader ABCDEFGH sind bekannt:
(a) die Länge der Raumdiagonalen [BH] : BH = 21,5cm,
(b) der Neigungswinkel von [BH] gegen die Ebene ABC: γ = 42,3 ◦ ,
(c) der Winkel

6.3 Übergang zum allgemeinen Dreieck
Lösung: (a) β2 = 40 ◦ (b) keine Lösung
(c) α1 = 34 ◦ ; α2 = 146 ◦ (d) es muss a > e sein
Lösung: 38 ◦
2. Von einer geraden Landstraße zweigt in P nach rechts vorne eine gerade Seitenstraße
nach A ab. Geht man auf der Landstraße 4 km weiter, so führt ein Fußweg unter
einem Winkel von 60 ◦ nach rechts vorne ebenfalls nach A. Seitenstraße und Fußweg
treffen sich in A unter 45 ◦ . Nach B, das 5 km von A entfernt ist, führt von P aus eine
6 km lange Seitenstraße unter einem Winkel ϕ nach vorne links.
Erstellen Sie eine saubere Planskizze und berechnen Sie dann den Winkel ϕ auf Grad
genau!
3. (a) Berechnen Sie die Länge der Basis
und den Flächeninhalt des
Dreiecks ATC aus den in der
Zeichnung angegebenen Maßen.
(b) Wie groß muss β sein, damit CT
dieFlächedes Dreiecks ABC halbiert?
Lösung: AT = 1,433, A(ATC) = 1,338, β = 40,97 0
... ...
.
. .. . .....
4. Die Lage eines Punktes P auf einer Karte soll durch ”Vorwärtseinschneiden” bestimmt
werden. Dazu misst man von zwei trigonometrischen Punkten A und B aus
die Winkel ε =

Lösung: γ = 32,68 ◦ , α = 73,66 ◦ , c = 3,38cm
6.3 Übergang zum allgemeinen Dreieck
6. Beim Diskuswurf wirft der Sportler die
Scheibe meist ander Stelle Ades Wurfkreises
ab, verfehlt aber oft die Zielrichtung
(vgl. Skizze). Internationale
Sportregeln bestimmen, dass nicht die
tatsächliche Wurfweite w1 = AZ, sondern
w2 = BZ gewertet wird. Z ist der
Punkt, an dem der Diskus den Boden
beruhrt. Wieviele Zentimeter werden
dadurch bei einer tatsächlichen Wurfweite
w1 = 40m und einem Winkel
α = 22 0 ”verschenkt”? (Kreisradius
r = 1,25m.)
Lösung: Kosinussatz, verschenkt: ca. 9cm.
.
.
α
A
7. Berechnen SieimDreieckABCmit c = 5,0cm,sc = 4,0cmundα = 50 o diefehlenden
Winkel und Seiten auf eine Dezimale genau.
Lösung: b = 5,1cm; a = 4,3cm; β = 66,4 o ; γ = 63,6 o
8. Gegeben ist das Dreieck ABC durch die Seitenlänge c = 10cm und die Winkel
α = 60 ◦ und β = 80 ◦ .
Berechnen Sie den Inkreisradius ̺ dieses Dreiecks!
Lösung: ̺ ≈ 3,42cm
9. In der nebenstehenden, nicht maßstabgetreuen Figur
sind gegeben:
AB = 5,22cm;
AC = 7,15cm;
BC = 3,20cm.
Man berechne ohne Verwendung des Satzes von
Pythagoras die Länge x der Strecke [BD]!
135
M
r
B
w2
w1
.
............ ................. ......... .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Z
. . .
....
A B x D
C
.

Lösung: x ≈ 2,61cm
10. In nebenstehender Figur sind bekannt:
e = 5,0cm; f = 7,0cm; g = 6,0cm;
AEBC = 10,5cm 2 ; δ = 50 ◦ ; ϕ = 45 ◦
sowie [AE][DC].
(a) Berechnen Sie den Winkel ε!
(Ergebnis: ε = 30 ◦ )
6.3 Übergang zum allgemeinen Dreieck
(b) Berechnen Sie die Diagonalenlänge AD!
Lösung: (b): AD ≈ 11,5cm
11. In nebenstehendem Dreieck ABC ist wα die Winkelhalbierende
des Winkels α und sa die Seitenhalbierende
der Seite [BC].
Lösung: sa ≈ 8,1cm
(a) Beweisen Sie: CT : BT = sinβ : sinγ!
(b) Es sei nun γ = 60 ◦ , β = 45 ◦ , wα = 8,0cm
gegeben.
Berechnen Sie die Länge von sa!
e
E
.
A
ϕ
.
ε
.
......
g
.
.
. .
. .
wα . .
. .
.
.
.
. . sa . .
. .
.
. α .
. .
.
........
β
A B
12. Das gleichseitige Dreieck ABC ist Grundfläche der Pyramide ABCS. Der Fußpunkt
der Pyramidenhöhe ist A, die Höhe 6m, das Volumen 8 √ 3m 3 groß.
(a) Erstellen Sie eine saubere und übersichtliche Schrägbildskizze!
(b) Berechnen Sie die Längen sämtlicher Pyramidenkanten!
(c) Welchen Neigungswinkel haben die Ebenen E(A;B;C) und E(B;C;S)?
Lösung: (b): AB = BC = AC = 4m; SC = SB = 2 √ 13m; SA = 6m
(c): 60 o
136
C
γ
f
T
M
.
.
B
δ
.
.
D
C

6.3 Übergang zum allgemeinen Dreieck
13. Unter dem Sekans bzw. Kosekans eines Winkels α versteht man die Kehrwerte von
Sinus bzw. Kosinus des Winkels α (sofern diese Kehrwerte überhaupt existieren!).
Schreibweise: secα bzw. cscα
(a) Für welche Winkel sind Sekans und Kosekans jeweils nicht definiert?
(b) Zeigen Sie unter Zuhilfenahme einer übersichtlichen Skizze, dass sich der Umkreisradius
r eines beliebigen Dreiecks aus den Seitenlängen a, b und c und den
Innenwinkeln α, β und γ wie folgt berechnen läßt:
r = a b c
·secα = ·secβ =
2 2 2 ·secγ.
Lösung: (a) Sekans: k·180 ◦ (k ∈ Z), Kosekans: (2k +1)·90 ◦ (k ∈ Z)
14. Ein Gegenstand M befindet sich unter Wasser und
soll von einem Beobachter fixiert werden (s. Skizze!).
Die Lichtstrahlen, die von M ausgehen, werden
beim Übergang Wasser/Luft gebrochen. Einfallswinkel
α und Brechungswinkel β hängen nach
dem Snelliusschen Brechungsgesetz wie folgt zusammen:
sinβ
= n
sinα
Lösung: 86cm
(n: Brechzahl für den Übergang Luft/Wasser;
hier n = 1,3)
.
.
..
.
A
.
.
.
B C
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. α
. ...
.
.
.
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. M’
. d
.
(a) Wenn man die gebrochenen Strahlen in der Skizze rückwärts verlängert, so
schneiden sie sich in einem Punkt M ′ . Wie deutet dies ein Beobachter, in dessen
Auge diese Strahlen treffen?
(b) Um wieviel erscheint eine Münze, die in der Wassertiefe d = 3,00m am Boden
eines Schwimmbeckens liegt, angehoben, wenn in der Zeichnung CA = 0,82m
und CB = 0,80m gilt?
15. DieKräfte −→ F1 und −→ F2 bilden einen Winkel von 60 0 . Es ist F1 = 100Nund F2 = 200N.
BerechnenSiedieGrößederResultierendenbeiderKräftesowiedieGrößederWinkel,
die diese mit den beiden Kräften bildet.
137
β
.
.
.
M
.

6.3 Übergang zum allgemeinen Dreieck
Lösung: | −→ F1 + −→ F1| = 265N, Winkel 19,1 0 und 40,9 0 .
6.3.2. Vermessungsaufgaben
1. Vom Punkt T der Talstation einer Tragseilbahn
aussieht mandenGipfel G eines Berges unter dem
Höhenwinkel α = 60 o .
Die Seilbahn fährt zunächst a = 994m weit unter
einem Steigungswinkel von β = 30 o zur Mittelstation
M. Dort ist der Winkel γ =

6.3 Übergang zum allgemeinen Dreieck
(a) Berechnein Sie die Höhe h des Leuchtturms
gerundet auf Meter. (Ergebnis:
55 m)
(b) Eine Fähre, die die Linie [BF] befährt,
sendet im Punkt P ∈ [BF] ein Nebelhornsignal
aus, das in S genau 1,0 s
nach dem Aussenden empfangen wird
(Schallgeschwindigkeit v = 330 m
). Wie s
weit war die Fähre von F und bzw. von
A entfernt?
Lösung: h =
sinβ
tanδ ·AB = 55 m
sin(α+β)
PF = PS 2 −h2 = 325 m,
AP = AF 2 +PF 2 −2AF ·PF cos(180o −α−β) = 411 m
Lösung: 38 ◦
4. Von einer geraden Landstraße zweigt in P nach rechts vorne eine gerade Seitenstraße
nach A ab. Geht man auf der Landstraße 4 km weiter, so führt ein Fußweg unter
einem Winkel von 60 ◦ nach rechts vorne ebenfalls nach A. Seitenstraße und Fußweg
treffen sich in A unter 45 ◦ . Nach B, das 5 km von A entfernt ist, führt von P aus eine
6 km lange Seitenstraße unter einem Winkel ϕ nach vorne links.
Erstellen Sie eine saubere Planskizze und berechnen Sie dann den Winkel ϕ auf Grad
genau!
5. Die Lage eines Punktes P auf einer Karte soll durch ”Vorwärtseinschneiden” bestimmt
werden. Dazu misst man von zwei trigonometrischen Punkten A und B aus
die Winkel ε =

6.3 Übergang zum allgemeinen Dreieck
6. Beim”Rückwärtseinschneiden” werden
die Koordinaten des Standorts P durch
Winkelpeilung zu drei trigonometrischen
Punkten A, B und C bestimmt.
Im folgenden wird A als Koordinatenursprung)
benutzt (Einheit
1m): A(0|0), B(2188,12|−815,88),
C(402,26|403,66).
Gemessen werden α =

6.4 Rechnen mit Winkelfunktionen
6.4. Rechnen mit Winkelfunktionen
6.4.1. Zusammenhang zwischen den trigonometrischen Funktionen
Lösung: 1
1. Vereinfachen Sie für 0 ≤ α ≤ 90 o :
√ 1+tan 2 α·sin(90 o −α)
2. Berechnen Sie tanϕ ohne Taschenrechner, wenn |cosϕ| = 10
26 und ϕ ∈ [90o ;180 o ].
Lösung: −2,4
3. Für welche Winkel ϕ gilt: ϕ ∈ [0 o ;360 o ] und cosϕ = −sinϕ
Lösung: 135 o und 315 o
4. Vereinfachen Sie soweit wie möglich:
Lösung: tan2α
cosα
cosα−sinα −
cosα
cosα+sinα
5. Vereinfachen Sie die folgenden trigonometrischen Ausdrücke so weit wie möglich:
Lösung: (a) 1
sinα
(a) 1
tanαcosα
(b) sinα+ cosα
tanα
(c) √ 1+sinα· √ 1−sinα
1
(d)
1+(tanα) 2
(b) 1
sinα (c) |cosα| (d) (cosα) 2
6. Vereinfachen Sie so weit wie möglich:
1 − sin2
α
·tanα
1−cosα
Für welche α ∈ [0 ◦ ;360 ◦ [ ist dieser Term nicht definiert?
141

6.4 Rechnen mit Winkelfunktionen
Lösung: −sinα; Term nicht definiert für α = 0 ◦ ,90 ◦ ,270 ◦ .
7. Bestimmen Sie die Definitionsmenge des Terms
sinα
tanα·(tan 2 α+1)
in der Menge [0 0 ;360 0 [ und vereinfachen Sie diesen soweit wie möglich.
Lösung: a) D = [0 0 ;360 0 [\{0 0 ;90 0 ;180 0 ;270 0 } b) cos 3 α
8. Vereinfachen Sie folgenden Term soweit wie möglich:
tanα−tanα·sin 2 α
2sinαcosα
Für welche α ∈ [0 ◦ ;360 ◦ [ ist dieser Term nicht definiert?
Lösung: 1
2 ; Der Term ist nicht definiert für α ∈ {0o ;90 o ;180 o ;270 o }
9. Der Kotangens eines Winkels ist definiert als cotϕ = cosϕ
. Gib die Definitions-
sinϕ
menge an und vereinfache soweit wie möglich:
1
1+tan 2x +
1
1+cot 2x Lösung: D = R\{x|x = kπ oder x = π
+kπ mit k ∈ Z}
2
1
1+tan 2x +
1
1+ 1
tan2 = 1
x
10. (a) Für welche x ∈ R ist der folgende Term nicht definiert?
cos 2 ( π
2 −x)
1−sin 2 tan(−x)
+
x tan( π
2 −x)
(b) Vereinfachen Sie den Term soweit wie möglich!
Lösung: (a) für x = k· π
2 ; k ∈ Z; (b) 0
142

6.4 Rechnen mit Winkelfunktionen
11. Vereinfachen Sie folgenden Term soweit wie möglich. Grundmenge ist G = [0; π
2 [.
Lösung: tanx
cos( π
2 −x)· 1+(tanx) 2
12. Zeichnen Sie einen Kreis mit Radius 5cm. Dieser Kreis sei der Einheitskreis.
(a) Bestimmen Sie mit größtmöglicher Genauigkeit sin40 o und cos40 o und berechnen
Sie daraus tan40 o .
(b) Bestimmen Sie mit größtmöglicher Genauigkeit den Winkel β im I. Quadranten
so, dass sinβ = 0,8.
(c) Veranschaulichen Sie die Gleichung sin230 o = sin310 o . Welche allgemeine Formel
liegt dieser Gleichung zugrunde?
Lösung: zu (c): sinϕ = −sin(ϕ+180 o ) = −sin(360 o −ϕ) für 0 o < ϕ < 90 o
Lösung:
Lösung:
13. Begründen Sie anhand einer Zeichnung:
14. Begründen Sie anhand einer Zeichnung:
cos(90 o −α) = sinα
(cosα) 2 +(sinα) 2 = 1
15. Drücken Sie sinα für 0 ◦ ≤ α < 90 ◦ durch tanα aus.
Hinweis: Quadrieren Sie zunächst tanα.
tanα
Lösung: sinα = √
(tanα) 2 +1
143

6.4 Rechnen mit Winkelfunktionen
16. Zeigen Sie für 0 ◦ ≦ α < 90 ◦ die Gültigkeit folgender Formel:
cos α =
1
√ 1+tan 2 α
Geben Sie zwei Gründe dafür an, dass diese Formel nicht für alle Winkel im Bereich
0 ◦ ≦ α ≦ 360 ◦ gelten kann!
Lösung: Formel liefert z.B. im 2. Quadranten nicht das richtige Vorzeichen für den Kosinus. Außerdem
ist der Tangens für 90 ◦ und 270 ◦ nicht definiert.
6.4.2. Reduktionsformeln für Winkelfunktionen
1. Berechnen Sie tanϕ ohne Taschenrechner, wenn |cosϕ| = 10
26 und ϕ ∈ [90o ;180 o ].
Lösung: −2,4
2. Für welche Winkel ϕ gilt: ϕ ∈ [0 o ;360 o ] und cosϕ = −sinϕ
Lösung: 135 o und 315 o
Lösung:
3. Zeigen Sie, dass die folgende Gleichung erfüllt ist:
2cos217 ◦ +cos397 ◦ −sin307 ◦ = 0
Anleitung: Führen Sie die auftretenden Winkelfunktionen auf solche mit Argumenten
zwischen 0 und 90 Grad zurück. Eine Berechnung mit Näherungswerten (Taschenrechner!)
gilt nicht als Beweis.
4. Bestimmen Sie über der Grundmenge [0 ◦ ;360 ◦ [ die Lösungsmenge und stellen Sie sie
im Einheitskreis (1Längeneinheit = 2cm) graphisch dar: |cosϕ| ≧ 1
√
3 2
Lösung: L = {ϕ|0 ◦ ≦ ϕ ≦ 30 ◦ oder 150 ◦ ≦ ϕ ≦ 210 ◦ oder 330 ◦ ≦ ϕ < 360 ◦ }
5. Bestimmen Sie die Lösungsmenge in der Grundmenge [0 ◦ ;360 ◦ [:
(1+2·sin2ϕ) · (tanϕ−1) = 0
144

Lösung: L = {45 ◦ ;105 ◦ ;165 ◦ ;225 ◦ ;285 ◦ ;345 ◦ }
6.4 Rechnen mit Winkelfunktionen
6. (a) Beweisen Sie: sin1000 ◦ = sin10000 ◦ = sin100000 ◦ .
(b) Welches allgemeine Gesetz läßt sich aufgrund von Teilaufgabe (a) vermuten?
Beweisen Sie dieses Gesetz!
Lösung: (a) sin10000 ◦ = sin(25·360 ◦ +1000 ◦ ) = sin1000 ◦
sin100000 ◦ = sin(11·25·360 ◦ +1000 ◦ ) = sin1000 ◦
(b) Für n ∈ N und n ≧ 4 gilt
sin(10 n ) ◦ = sin(99...9000 ◦ +1000 ◦ ) =
= sin(11...1·25·360 ◦ +1000 ◦ ) = sin1000 ◦
7. Bestimmen Sie im Intervall [0 o ;360 o ] bzw. [0;2π] die Winkel im Grad- und Bogenmaß
(auf eine Dezimale genau), für welche gilt: cosx = −0,3759
Lösung: 112,1 o ; 247,9 o ; 2,0; 4,3
8. Beweise: Für n ∈ N und n ≧ 2 gilt sin(4·10 n ) ◦ = sin(4·10 n−1 ) ◦ !
Für welche Winkel ϕ ∈ [0; 360 ◦ [ gilt sinϕ = sin(4·10 13 ) ◦ ?
Lösung: δ = 4·10 n −4·10 n−1 = 360·10 n−2 ist für n ≧ 2 ein ganzzahliges Vielfaches von 360.
sin(4·10 13 ) ◦ = sin40 ◦
; ϕ1 = 40 ◦
; ϕ2 = 140 ◦
9. (a) Zeigen Sie, dass es für einen beliebigen im Gradmaß gemessenen Winkel ϕ einen
Winkel ψ ∈ [0 ◦ ;360 ◦ [ und ein k ∈ Z gibt, so dass gilt:
ϕ = 360 ◦ ·k +ψ
(b) Begründen Sie kurz, warum in der Situation von Teilaufgabe a) gilt:
sinϕ = sinψ
(c) Geben Sie in der Situation von Teilaufgabe a) jeweils für ψ ∈ [90 ◦ ;180 ◦ [, ψ ∈
[180 ◦ ;270 ◦ [ und ψ ∈ [270 ◦ ;360 ◦ [ denjenigen spitzen Winkel ω an, dessen Sinus
bisaufdasVorzeichenmitsinψ übereinstimmt. Welcher Zusammenhangbesteht
jeweils zwischen sinω und sinψ?
Lösung: (a) Division von ϕ durch 360 ◦ mit Rest
(b) Periodizität des Sinus
(c) ψ ∈ [90 ◦ ;180 ◦ [: sinψ = sinω, ω = 180 ◦ −ψ
ψ ∈ [180 ◦ ;270 ◦ [: sinψ = −sinω, ω = ψ −180 ◦
ψ ∈ [270 ◦ ;360 ◦ [: sinψ = −sinω, ω = 360 ◦ −ψ
145

6.4 Rechnen mit Winkelfunktionen
10. (a) Zeigen Sie, dass es für einen beliebigen im Gradmaß gemessenen Winkel ϕ einen
Winkel ψ ∈ [0 ◦ ;360 ◦ [ und ein k ∈ Z gibt, so dass gilt:
ϕ = 360 ◦ ·k +ψ
(b) Begründen Sie kurz, warum in der Situation von Teilaufgabe a) gilt:
cosϕ = cosψ
(c) Geben Sie in der Situation von Teilaufgabe a) jeweils für ψ ∈ [90 ◦ ;180 ◦ [,
ψ ∈ [180 ◦ ;270 ◦ [undψ ∈ [270 ◦ ;360 ◦ [denjenigenspitzenWinkel ω an,dessen Kosinus
bis auf das Vorzeichen mit cosψ übereinstimmt. Welcher Zusammenhang
besteht jeweils zwischen cosω und cosψ?
Lösung: (a) Division von ϕ durch 360 ◦ mit Rest
(b) Periodizität des Kosinus
(c) ψ ∈ [90 ◦ ;180 ◦ [: cosψ = −cosω, ω = 180 ◦ −ψ
ψ ∈ [180 ◦ ;270 ◦ [: cosψ = −cosω, ω = ψ −180 ◦
ψ ∈ [270 ◦ ;360 ◦ [: cosψ = cosω, ω = 360 ◦ −ψ
11. (a) Zeigen Sie, dass es für einen beliebigen im Gradmaß gemessenen Winkel ϕ einen
Winkel ψ ∈ [0 ◦ ;180 ◦ [ und ein k ∈ Z gibt, so dass gilt:
ϕ = 180 ◦ ·k +ψ
Für welche Winkel ϕ ist tanϕ nicht definiert?
(b) Begründen Sie kurz, warum in der Situation von Teilaufgabe a) gilt:
tanϕ = tanψ
(c) Geben Sie in der Situation von Teilaufgabe a) für ψ ∈]90 ◦ ;180 ◦ [ denjenigen
spitzen Winkel ω an, dessen Tangens bis auf das Vorzeichen mit tanψ übereinstimmt.
Welcher Zusammenhang besteht jeweils zwischen tanω und tanψ?
Lösung: (a) Division von ϕ durch 180 ◦ mit Rest; ϕ = 90 ◦ ·(2l +1), l ∈ Z
(b) Periodizität des Tangens
(c) tanψ = −tanω mit ω = 180 ◦ −ψ
12. Zeichnen Sie einen Kreis mit Radius 5cm. Dieser Kreis sei der Einheitskreis.
(a) Bestimmen Sie mit größtmöglicher Genauigkeit sin40 o und cos40 o und berechnen
Sie daraus tan40 o .
(b) Bestimmen Sie mit größtmöglicher Genauigkeit den Winkel β im I. Quadranten
so, dass sinβ = 0,8.
(c) Veranschaulichen Sie die Gleichung sin230 o = sin310 o . Welche allgemeine Formel
liegt dieser Gleichung zugrunde?
146

6.4 Rechnen mit Winkelfunktionen
Lösung: zu (c): sinϕ = −sin(ϕ+180 o ) = −sin(360 o −ϕ) für 0 o < ϕ < 90 o
Lösung:
Lösung:
Lösung:
Lösung:
13. Begründen Sie anhand einer Zeichnung:
Für 270 o < α < 360 o gilt: sinα = −sin(360 o −α)
14. Begründen Sie anhand einer Zeichnung:
Für 180 o < α < 270 o gilt: cosα = −cos(α−180 o )
15. Begründen Sie anhand des Einheitskreises:
Für 270 o < α < 360 o gilt: tanα = −tan(360 o −α)
16. Begründen Sie anhand einer Zeichnung:
cos(−α) = cosα
6.4.3. Gleichungen, die exakt lösbar sind
1. Für welche Winkel ϕ gilt: ϕ ∈ [0 o ;360 o ] und cosϕ = −sinϕ
Lösung: 135 o und 315 o
2. Lösen Sie folgende Gleichung über der Grundmenge G = [0;2π]:
sin x− 2π
+
3
√
2·sin x− 2π
·cos 2x = 0
3
147

Lösung: L = 2π
3
; 5π
3
; 3π
8
; 5π
8
; 11π
8
6.4 Rechnen mit Winkelfunktionen
13π ; 8
3. Für welche k ∈ R hat die folgende Gleichung Lösungen? Diese Lösungen sind nicht
zu bestimmen!
sin(180 ◦ +ϕ)−cos(90 ◦ −ϕ) = −2k
Lösung: −1 ≦ k ≦ 1
4. Bestimmen Sie über der Grundmenge [0 ◦ ;360 ◦ [ die Lösungsmenge und stellen Sie sie
im Einheitskreis (1Längeneinheit = 2cm) graphisch dar: |cosϕ| ≧ 1
√
3 2
Lösung: L = {ϕ|0 ◦ ≦ ϕ ≦ 30 ◦ oder 150 ◦ ≦ ϕ ≦ 210 ◦ oder 330 ◦ ≦ ϕ < 360 ◦ }
Lösung:
5. Zeigen Sie, dass die folgende Gleichung erfüllt ist:
2cos217 ◦ +cos397 ◦ −sin307 ◦ = 0
Anleitung: Führen Sie die auftretenden Winkelfunktionen auf solche mit Argumenten
zwischen 0 und 90 Grad zurück. Eine Berechnung mit Näherungswerten (Taschenrechner!)
gilt nicht als Beweis.
6. Bestimmen Sie die Lösungsmenge in der Grundmenge [0 ◦ ;360 ◦ [:
Lösung: L = {45 ◦ ;105 ◦ ;165 ◦ ;225 ◦ ;285 ◦ ;345 ◦ }
(1+2·sin2ϕ) · (tanϕ−1) = 0
7. Berechnen Sie die Lösungsmenge für die Grundmenge [−5;5]:
Lösung: L = {2;± π
2 ;±3π
2 }
2cosx−xcosx = 0
8. Bestimmen Sie die Lösungsmenge in der Grundmenge [0;2π[:
4sin 2 x−2sinx = 0
148

Lösung: L = {0; π 5
6 ; 6π; π}
6.4 Rechnen mit Winkelfunktionen
9. Bestimmen Sie die Lösungsmenge in der Grundmenge[0;2π[:
√ 3cosx−2cosxsin2x = 0
Lösung: L = { π
6
; π
3
; π
2
; 7
6
4 3 π; 3π; 2π} 10. Lösen Sie folgende Gleichung in der Grundmenge G = [0 ◦ ;360 ◦ ]:
(Zwischenergebnis: cos2ϕ = −0,5)
Lösung: L = {60 ◦ ;120 ◦ ;240 ◦ ;300 ◦ }
Lösung:
9 1
cos2ϕ +2 − 6·3 1
cos2ϕ +1 + 1 = 0
11. Zeigen Sie die Gültigkeit der Gleichung sin 345 ◦ +cos 285 ◦ = 0!
Anleitung: Führen Sie die auftretenden Winkelfunktionen auf solche mit Argumenten
zwischen 0 und 90 Grad zurück. Eine Berechnung mit Näherungswerten (Taschenrechner)
gilt nicht als Begründung!
12. Gegeben sei die Gleichung:
2sin( π
2 −x)−
√
2cosx
sinx
(a) Geben Sie (mit Begründung) an, für welche x ∈ [0;π] diese Gleichung nicht
definiert ist.
(b) Welche x ∈ [0;π] erfüllen die Gleichung?
Lösung: (a) für x ∈ {0;π}; (b) L = { π π 3π
2 ; 4 ; 4 }
13. Bestimmen Sie in der Grundmenge G = [0;360 o [ die Lösungsmenge der Gleichung:
Lösung: L = {60 o ;180 o ;300 o }
= 0
cosα·(1−cosα) = 3(sinα) 2 −2
149

6.5 Die Graphen der Winkelfunktionen
14. Berechnen Sie in der Grundmenge G = [0 o ;360 o [ die Lösungen der Gleichung:
Lösung: L = {135 o ;315 o }
2(sinα) 2 +tanα = 1−2(cosα) 2
6.4.4. Gleichungen zur Verwendung des Taschenrechners
1. Bestimmen Sie über der Grundmenge [0;2π[ die Lösungsmenge der folgenden Gleichung:
(cosx−0,6)·cosx = 0
GebenSie die Ergebnisse soweit möglich als Vielfache von π, ansonsten auf 3 geltende
Ziffern genau an.
Lösung: L = { 1 3
2π; 2π; 0,927; 5,36}
2. Bestimmen Sie über der Grundmenge G = [0 ◦ ;360 ◦ [ die Lösungsmenge der folgenden
Gleichung (4 geltende Ziffern): (1+3cosϕ)·sin3ϕ = 0
Lösung: 0 ◦ ; 60,00 ◦ ; 120,0 ◦ ; 180,0 ◦ ; 240,0 ◦ ; 300,0 ◦ ; 109,5 ◦ ; 250,5 ◦
3. Bestimmen Sie im Intervall [0 o ;360 o ] bzw. [0;2π] die Winkel im Grad- und Bogenmaß
(auf eine Dezimale genau), für welche gilt: cosx = −0,3759
Lösung: 112,1 o ; 247,9 o ; 2,0; 4,3
6.5. Die Graphen der Winkelfunktionen
Lösung:
1. Zeichnen Sie für x ∈ [−π;π] mit verschiedenen (nichtroten) Farben der Reihe nach
die Graphen der Funktionen
(a) y = sinx, (b) y = sin3x, (c) y = −2·cos3x.
(Längeneinheit: 2cm auf beiden Achsen; π ≈ 3)
150

Lösung:
Lösung:
Lösung:
6.5 Die Graphen der Winkelfunktionen
2. Stellen Sie in einem kartesischen Koordinatensystem (Längeneinheit: 2cm auf beiden
Achsen; π ≈ 3) folgende Punktmenge M graphisch dar:
M = {(x,y)| 0 ≦ x < 2π und |tanx| ≦ y < |cosx|+1}
Eine genaue und saubere Zeichnung ist gefordert!
Beachten Sie: Gehört der begrenzende Rand zu M, so ist er farbig zu zeichnen. Sind
die Endpunkte farbiger Linien keine Elemente von M, so ist dies in der Zeichnung
entsprechend zu verdeutlichen!
3. Stellen Sie in einem kartesischen Koordinatensystem (Längeneinheit: 2cm auf beiden
Achsen; π ≈ 3; Querformat!) folgende Punktmenge M graphisch dar:
M = {(x,y)| −2π < x ≦ 2π und sin(−x) ≦ y < |cosx|}
Eine genaue und saubere Zeichnung ist gefordert!
Beachten Sie: Gehört der begrenzende Rand zu M, so ist er farbig zu zeichnen. Sind
die Endpunkte farbiger Linien keine Elemente von M, so ist dies in der Zeichnung
entsprechend zu verdeutlichen!
4. Stellen Sie in einem kartesischen Koordinatensystem (Längeneinheit: 2cm auf beiden
Achsen; π ≈ 3) folgende Punktmenge M graphisch dar:
M = {(x|y)| −1 ≦ x < 5 und cos x < y ≦ 1+sin x}
Eine genaue und saubere Zeichnung ist gefordert!
Beachten Sie: Gehört der begrenzende Rand zu M, so ist er farbig zu zeichnen. Sind
die Endpunkte farbiger Linien keine Elemente von M, so ist dies in der Zeichnung
entsprechend zu verdeutlichen!
5. Gegeben sind die Funktionsvorschriften
1
f0 : x ↦−→ tan x, f1 : x ↦−→ tan
2 x
1
, f2 : x ↦−→ 2+tan
2 x
.
(a) Bestimmen Sie die maximale Definitionsmenge von f1 und untersuchen Sie diese
Funktion rechnerisch auf Symmetrie.
(b) Beschreiben Sie knapp, wie der Graph von f2 aus dem Graphen von f0 über
den Graphen von f1 hervorgeht. Skizzieren Sie den Graphen von f2 im Bereich
x ∈ [−π;π].
151

6.5 Die Graphen der Winkelfunktionen
Lösung: (a): Df1 = R\{(2k +1)·π/k ∈ Z}; f1 ist ungerade.
(b): Dehnung des Graphen von f0 um den Faktor 2 in x-Richtung liefert den
Graphen von f1. Eine anschließende Verschiebung um 2 in y-Richtung
nach oben ergibt den Graphen von f2.
6. Gegeben ist die Funktion f durch
f(x) = sinx+cosx mit Df = R.
(a) Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f!
(b) Zeichnen Sie durch Überlagerung der Graphen von Sinus und Kosinus den Graphen
Gf in einem kartesischen Koordinatensystem (Längeneinheit 1cm; π ≈ 3)
im Intervall [−2π;2π]! Verwenden Sie hierzu auch das Ergebnis von Teilaufgabe
a)!
Lösung: (a): Nullstellen bei x = π
4 ·(3+4k), k ∈ Z
7. Gegeben ist die Funktion
f(x) = sinx·tanx−cosx
(a) Geben Sie die maximale Definitionsmenge an.
(b) Bestimmen Sie die Nullstellen.
(c) Untersuchen Sie f auf Symmetrie.
Lösung: Df,max = R\{ π
2 +k·π};k ∈ Z;
Nullstellen bei x = π π
4 +k· 2 ;k ∈ Z
Der Graph von f ist symmetrisch zur y-Achse
8. Gegeben sind die folgenden drei Funktionsterme
f(x) = 4·cos(3x), g(x) = 3·sin(2x+1), h(x) = sin(2x)·tan x
jeweils mit maximalem Definitionsbereich.
(a) Geben Sie die Definitionsbereiche Df, Dg und Dh an!
(b) Geben Sie die Nullstellenmengen dieser drei Funktionen an!
(c) Geben Sie das Symmetrieverhalten dieser drei Funktionen an!
Lösung: Df = Dg = R; Dh = R\{ π
2 ·(1+2k)}, k ∈ Z
f und h sind gerade Funktionen, der Graph von g ist punktsymmetrisch zum Punkt (−1|0)
eines Koordinatensystems.
152

6.6 Die allgemeine Sinusfunktion
6.6. Die allgemeine Sinusfunktion
1. Zeichnen Sie eine volle Periode des Graphen der Funktion mit der Gleichung
1 π
y = 3·sin x+ − 1,5 (Längeneinheit: 1cm)
2 4
und berechnen Sie die exakten Werte der Schnittstellen des Graphen mit der x-Achse
im Intervall [−2π;2π].
Lösung: Schnittstellen bei −1 7
6π, 6π 2. (a) Leiten Sie eine Formel zur Berechnung der Nullstellen xn (n ∈ Z) der Funktion
her!
f(x) = sin 2 x
(b) Berechnen Sie alle Nullstellen im Intervall [1;4] mit einer Genauigkeit von drei
geltenden Ziffern!
(c) Wie viele Nullstellen gibt es im Intervall [1;10]?
(d) Skizzieren Sie den Graphen von f im Intervall [-4;4].
Lösung: (a) xn = lg(nπ)
lg 2
(c) 325NS
; (b)
n 1 2 3 4 5
xn 1,65 2,65 3,24 3,65 3,97
3. (a) Leiten Sie eine Formel zur Berechnung der Nullstellen xn (n ∈ Z) der Funktion
her!
f(x) = sin(log 2x)
(b) Berechnen Sie alle Nullstellen von f im Intervall [0,01;1000] mit einer Genauigkeit
von drei geltenden Ziffern!
(c) Wie viele Nullstellen von f gibt es im Intervall [1;10 100 ]?
(d) Skizzieren Sie den Graphen von f im Intervall [0,1;10].
Lösung: (a) xn = 2 nπ
(c) 106NS
; (b)
n −2 −1 0 1 2 3
xn 0,0128 0,113 1 8,82 77,9 687
153

4. Nebenstehende Abbildung zeigt den
Graphen einer Sinus-Funktion f(x).
Ermittlen Sie die Gleichung von f.
Übertragen Sie dazu den Graphen
auf Ihr Blatt und zeichnen Sie die
für die Rechnung wichtigen Größen
ein.
Das Ergebnis soll Brüche (keine Dezimalbrüche)
enthalten!
6.6 Die allgemeine Sinusfunktion
Lösung: f(x) = Asin(kx+a)+vy = Asin[k(x−vx)]+vy
y
2
1
0
π
0 2 π x
Amplitude: A = 2−0,5
=
2
3
4 , Verschiebung in y-Richtung: vy = 0,5+A = 5
4
3π π
Periodenlänge: p = 2· − =
4 12
4π
=⇒ k =
3
2π 3
=
p 2
Verschiebung in x-Richtung: vx = 5π
12 =⇒ a = −kvx = − 5π
8
f(x) = 3
4 ·sin
3 5π
x− +
2 8
5
4
5. Nebenstehende Abbildung zeigt den Graphen
einer Sinus-Funktion f(x).
Ermittlen Sie die Gleichung von f.
Übertragen Sie dazu den Graphen auf Ihr
Blatt und zeichnen Sie die für die Rechnung
wichtigen Größen ein.
Das Ergebnis soll Brüche (keine Dezimalbrüche) enthalten!
Lösung: f(x) = 3
5 ·sin
6 7π
x−
5 10
+ 4
5
6. Wir betrachten die Funktion f(x) = sin 4 x−cos 4 x.
(a) Zerlegen Sie den Funktionsterm von f in Faktoren und vereinfachen Sie ihn!
Berechnen Sie die Nullstellen von f und zeichnen Sie den Graphen von f im
Intervall [0; 2π] (x = π =3cm)!
(b) DerGraphvonf könnteauchderGrapheinerKosinusfunktiong(x) = A·cos kx
sein. Berechne A und k und beweise, dass f(x) = g(x) gilt!
Lösung: f(x) = sin 2 x−cos 2 x = −cos2x ; Nullstellen: π 3π 5π 7π
4 ; 4 ; 4 ; 4 ;
154
1,4
1,0
0,2
y
0
. .
π
2
π
..
x
.

6.6 Die allgemeine Sinusfunktion
7. A und B seien die Endpunkte eines Kreisbogens zum Mittelpunktswinkel ϕ.
(a) Für welchen Winkel ϕ = ϕ1 halbiert dieSehne [AB] dieSektorfläche AS? Stellen
Sie zunächst eine Gleichung für ϕ1 auf und vereinfachen Sie diese soweit wie
möglich. Zeichnen Sie dann die Graphen der linken und rechten Gleichungsseite
zur Bestimmung einer Näherungslösung für ϕ1! Verbessern Sie den graphisch
gefundenen Wert durch Probieren mit dem Taschenrechner auf eine Genauigkeit
von vier geltenden Ziffern!
(b) Für welchen Winkel ϕ = ϕ2 ist die Länge des Kreisbogens ⌢
AB doppelt so
groß wie die Sehnenlänge AB? Stellen Sie zunächst eine Gleichung für ϕ2 auf
und vereinfachen Sie diese soweit wie möglich. Drücken Sie ϕ2 durch ϕ1 aus
Teilaufgabe (a) aus!
Lösung: (a) 2·sinϕ1 = ϕ1 ; ϕ1 = 1,8955 = 108,6 ◦
(b) 2·sin ϕ2
2
= ϕ2
2
; ϕ2 = 2ϕ1 = 3,7910 = 217,2 ◦
8. Betrachtet wird die für alle x ∈ R erklärte allgemeine Sinusfunktion
x ↦−→ y = a·sin(b·x+c) mit a,b,c ∈ R; a = 0, b = 0.
(a) Geben Sie die Nullstellen dieser Funktion sowie deren gegenseitigen Abstand
an!
(b) Wie ändern sich Amplitude (betragsmäßig größter Funktionswert), Lage und
gegenseitiger Abstand der Nullstellen dieser Funktion, falls
(α) die Parameter a und b verdoppelt werden (bei konstantem c),
(β) die Parameter a und c halbiert werden (bei konstantem b),
(γ) die Parameter b und c halbiert werden (bei konstantem a)?
(c) Wann findet in der Situation von Teilaufgabe b) eine Stauchung, wann eine
Dehnung des Funktionsgraphen in Richtung der x-Achse statt?
Lösung: (a): Nullstellen bei x = 1
π
b ·(k ·π −c) k ∈ Z; gegenseitiger Abstand: b
(b): (α): doppelte Amplitude, Nullstellen bei x = 1
2b ·(k·π−c), Nullstellenabstand
wird halbiert
(β): halbe Amplitude, Nullstellen bei x = 1 c
b ·(k ·π − 2 ), Nullstellenabstand
bleibt konstant
(γ): Amplitude bleibt konstant, Nullstellen bei x = 1
b ·(2k·π−c), Nullstellenabstand
wird verdoppelt
(c): Stauchung in der Situation (α), Dehnung in der Situation (γ)
155

6.6 Die allgemeine Sinusfunktion
9. Gegeben sind die Funktionsvorschriften
1
f0 : x ↦−→ tan x, f1 : x ↦−→ tan
2 x
1
, f2 : x ↦−→ 2+tan
2 x
.
(a) Bestimmen Sie die maximale Definitionsmenge von f1 und untersuchen Sie diese
Funktion rechnerisch auf Symmetrie.
(b) Beschreiben Sie knapp, wie der Graph von f2 aus dem Graphen von f0 über
den Graphen von f1 hervorgeht. Skizzieren Sie den Graphen von f2 im Bereich
x ∈ [−π;π].
Lösung: (a): Df1 = R\{(2k +1)·π/k ∈ Z}; f1 ist ungerade.
(b): Dehnung des Graphen von f0 um den Faktor 2 in x-Richtung liefert den
Graphen von f1. Eine anschließende Verschiebung um 2 in y-Richtung
nach oben ergibt den Graphen von f2.
Lösung:
10. (a) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion
x ↦−→ sin(2x) für x ∈ [−π;π]. (Längeneinheit: 2cm)
(b) Zeigen Sie mit Hilfe der in (a) angefertigten Zeichnung, dass für x ≥ π
2 die
folgende Ungleichung gilt:
x−sin(2x) ≥ π
2
11. (a) Welche Wertemenge und welche Periode hat die Funktion
f(x) = 1+sin( 1x)
D = R?
2
(b) Zeichnen Sie den Graphen Gf der Funktion f im Intervall [0;4π]! (Längeneinheit
1cm; π bei 3cm)
Lösung: Wf = [0;2]; Periode: 4π
12. Gegeben ist die Funktion f(x) = 1,5·sin[(2·(x− π)]
mit x ∈ R. 3
(a) Bestimmen Sie die Periodenlänge und die Wertemenge von f.
(b) Bestimmen Sie alle Nullstellen und die x-Werte aller Hochpunkte der Funktion.
(c) Zeichnen Sie den Graphen von f im Intervall [−2π;2π] mit Hilfe der Ergebnisse
von a) und b) (Längeneinheit: 1cm, π ≈ 3).
Lösung: Periode π; W = [−1,5;1,5]; Nullstellen bei x = π
3
mit k ∈ Z
156
π
7
+k · 2 ; Hochpunkte bei x = 12π +k ·π

6.7 Additionstheoreme
13. (a) Zeichnen Sie in dasselbe Koordinatensystem mit verschiedenen Farben im Intervall
[0;4π] die Graphen der angegebenen Funktionen.
(Längeneinheit: 1cm, π ≈ 3)
i. y = 2·sin(x+2)
ii. y = 2·sin[0,5·(x+2)]
iii. y = 0,5cosx
(b) Bestimmen Sie die x-Werte aller Tiefpunkte der drei Funktionen.
Lösung: i) x = 3
2π +k ·2π −2; k ∈ Z
ii) x = 3π +k·4π −2; k ∈ Z
iii)x = π +k ·2π; k ∈ Z
14. Wieviele Nullstellen besitzt die Funktion f : x ↦−→ sinx · cosx zwischen 50 und
62?
Lösung: Nullstellen kπ und kπ + π
2
für k ∈ {16,17,18,19}.
15. Gegeben sind die folgenden drei Funktionsterme
f(x) = 4·cos(3x), g(x) = 3·sin(2x+1), h(x) = sin(2x)·tan x
jeweils mit maximalem Definitionsbereich.
(a) Geben Sie die Definitionsbereiche Df, Dg und Dh an!
(b) Geben Sie die Nullstellenmengen dieser drei Funktionen an!
(c) Geben Sie das Symmetrieverhalten dieser drei Funktionen an!
Lösung: Df = Dg = R; Dh = R\{ π
2 ·(1+2k)}, k ∈ Z
f und h sind gerade Funktionen, der Graph von g ist punktsymmetrisch zum Punkt (−1|0)
eines Koordinatensystems.
6.7. Additionstheoreme
1. Vereinfachen Sie soweit wie möglich:
Lösung: cosx
cos 4 ( x
2 )−sin4 ( x
2 )
157

Lösung: 1
4
Lösung:
Lösung:
6.7 Additionstheoreme
2. Berechnen Sie mit Hilfe der Additionstheoreme den exakten Wert von cos105o !
√ √
2(1− 3)
3. Weisen Sie unter Zuhilfenahme nebenstehender
Skizze die Gültigkeit des Additionstheorems
sin(α+β) = sinα·cosβ +sinβ ·cosα
nach!
(Hinweis: Zeigen Sie zunächst:

6.7 Additionstheoreme
6. Bestätigen Sie die Additionstheoreme, indem Sie die Aufgaben sowohl ” direkt“als
auch mit Hilfe der Additionstheoreme lösen:
(a) cos(210 o +90 o )
(b) sin(240 o −60 o )
Lösung: (a) 0,5; (b) 0
7. (a) Zeigen Sie anhand eines geeigneten Beispiels, dass im allgemeinen gilt:
sin3x = 3sinx
(b) Stellen Sie sin3x in Abhängigkeit von sinx dar!
Lösung: sin3x = 3sinx−4(sinx) 3
8. (a) Zeigen Sie anhand eines geeigneten Beispiels, dass im allgemeinen gilt:
cos3x = 3cosx
(b) Stellen Sie cos3x in Abhängigkeit von cosx dar!
Lösung: cos3x = 4(cosx) 3 −3cosx
9. Berechnen Sie aus
die exakten Werte von
(a) sin36 o
(b) tan36 o
(c) cos72 o
Lösung: sin36 o = 1
4 ( 10−2 √ 5)
tan36 o = 5−2 √ 5
cos72 o = 1
4 (√ 5−1)
cos36 o = 1+√ 5
4
10. Einem Kreis mit Radius 1 wird ein regelmäßiges 10-Eck einbeschrieben. Der Umfang
des 10-Ecks beträgt 5( √ 5−1). Berechnen Sie daraus die exakten Werte von
(a) sin18 o
159

(b) sin36 o
(c) cos36 o
Lösung: sin18 o = 1
4 (√ 5−1);
sin36 o = 1
4 ( 10−2 √ 5);
cos36 o = 1
4 (√ 5+1);
6.7 Additionstheoreme
11. (a) Das folgende Rechteck kann für beliebige Winkel α > 0 und β > 0 mit α+β <
90 0 konstruiert werden. Beschreiben Sie knapp, ausgehend vom rechtwinkligen
Dreieck mit der Hypotenuse der Länge 1 und dem Winkel α, eine Reihe möglicher
Konstruktionsschritte.
.
.....
α
β 1
(b) Geben Sie die Größe der beiden durch Bögen markierten Winkel mit Hilfe von
α und β an.
(c) Berechnen Sie die Längen der Rechteckseiten und ihrer Abschnitte mit Hilfe der
Sinus- und Cosinuswerte der Winkel α, β und α+β.
(d) Leiten Sie daraus durch Vergleich die Additionstheoreme für sin(α+β) und
cos(α+β) her.
Lösung: (a) Man kann z.B. über der Kathete des ersten Dreiecks ein zweites rechtwinkliges Dreiecks
mit dem Winkel β konstruieren. Das Rechteck ergibt sich daraus mit Hilfe von
Parallelen.
(b) unten β, rechts oben α+β
(c)
cosβcosα
.
sin(α+β)
α
β 1
cosα
....................................................................................................................................................................................................................................
.
.
.
sinα
sinβcosα cosβsinα
160
.
.
.
cos(α+β)
sinβsinα

12. Berechnen Sie exakt: sin555◦ √ √
2( 3−1)
Lösung: − 1
4
6.8 Vermischtes
13. Die Seitenlänge eines regulären 10-Ecks mit Umkreisradius 1 beträgt 1
2 · (√ 5 − 1).
Berechnen Sie anhand einer übersichtlichen Skizze die exakten Werte von cos 18 ◦
und sin 36 ◦ !
Hinweis: Verwenden Sie die allgemeingültige Beziehung sin 2α = 2·sin α·cos α!
Lösung: cos 18 ◦ = 1
4 · 10+2 √ 5; sin 36 ◦ = 1
4 · 10−2 √ 5
6.8. Vermischtes
1. A und B seien die Endpunkte eines Kreisbogens zum Mittelpunktswinkel ϕ.
(a) Für welchen Winkel ϕ = ϕ1 halbiert dieSehne [AB] dieSektorfläche AS? Stellen
Sie zunächst eine Gleichung für ϕ1 auf und vereinfachen Sie diese soweit wie
möglich. Zeichnen Sie dann die Graphen der linken und rechten Gleichungsseite
zur Bestimmung einer Näherungslösung für ϕ1! Verbessern Sie den graphisch
gefundenen Wert durch Probieren mit dem Taschenrechner auf eine Genauigkeit
von vier geltenden Ziffern!
(b) Für welchen Winkel ϕ = ϕ2 ist die Länge des Kreisbogens ⌢
AB doppelt so
groß wie die Sehnenlänge AB? Stellen Sie zunächst eine Gleichung für ϕ2 auf
und vereinfachen Sie diese soweit wie möglich. Drücken Sie ϕ2 durch ϕ1 aus
Teilaufgabe (a) aus!
Lösung: (a) 2·sinϕ1 = ϕ1 ; ϕ1 = 1,8955 = 108,6 ◦
(b) 2·sin ϕ2
2
= ϕ2
2
; ϕ2 = 2ϕ1 = 3,7910 = 217,2 ◦
2. DieLibelleeiner Wasserwaagehatbei einemPräzisionsgerät einenKrümmungsradius
von 80m.
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6.8 Vermischtes
(a) Bei ungenauer Ablesung ist die Waage geneigt. Wir nehmen an, dass sie so
gehalten wird, dass sich die Luftblase in der Libelle um einen Millimeter neben
der Mitte befindet. Welche Ungenauigkeit in Grad ergibt sich daraus für die
Neigung der Wasserwaage?
(b) Die Wasserwaage wird benutzt um ein optisches Messgerät horizontal zu justieren,
mit dem ein Punkt in einer Entfernung von 100m anvisiert wird. Welche
Unsicherheit in der Höhe ergibt sich unter den obigen Voraussetzungen für diesen
Punkt.
Lösung: (a) ca 7,2·10 −4 Grad
(b) ca 1,25mm
3. Die Ameise Julia, die in einem kartesischen Koordinatensystem im Ursprung O(0|0)
wohnt, will ihre Tante besuchen. Ihre Wegstrecke ist dabei in einem Winkel von 26,5 ◦
gegen die positive x-Achse geneigt. Auch die Ameise Romeo aus R(10|−1) will ihren
Onkel, der in P(4|8) wohnt, auf kürzestem Weg besuchen. Julia und Romeo richten
es nun so ein, dass sie sich begegnen.
Legen Sie eine Zeichnung an und berechnen Sie die Koordinaten des Treffpunktes T
sowie die Entfernung des Punktes T vom Ursprung, ohne den Satz des Pythagoras
zu verwenden! (Ergebnisse auf 1 Dezimale runden!)
Lösung: T(7,0|3,5); OT ≈ 7,8
162

Teil III.
Addita
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7. Zylinder- und Kegelschnitte
7.1. Kegelschnitte
Lösung:
1. Wir stellen uns einen Punkt P vor, der sich auf einer Ellipsenbahn (Halbachsen
b ≦ a) um einen der Brennpunkte bewegt. Der kleinste bzw. größte Abstand von
diesem wird mit rmin bzw. rmax bezeichnet. Begründen Sie: √ rmin ·rmax = b.
2. Die Achsen einer Ellipse mit dem Scheitelpunkt A1(−5|0) liegen auf den Koordinatenachsen.
(a) Bestimmen Sie die Mittelpunktsgleichung der Ellipse, wenn der Punkt P(3|2)
auf der Ellipse liegt.
(b) Begründen Sie geometrisch, warum der Punkt Q(3|−2) ebenfalls auf der Ellipse
liegt.
(c) Die Punkte P und Q bilden zusammen mit den beiden Brennpunkten ein Viereck.
Bestimmen Sie auf möglichst einfache Art dessen Umfang und begründen
Sie Ihre Antwort.
Lösung: (a) x2
5 2 + y2
(2,5) 2 = 1
(b) Symmetrie zur x-Achse
(c) 4·a = 20
164

8. Informatik
165