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Übungen zur Vorlesung
Model Checking
WWU Münster
Institut für Informatik
Prof. Dr. Markus Müller-Olm
Sebastian Kenter
WS 12/13 Übungsblatt 4 06.11.2012
Besprechung: Die Aufgaben werden in der Übung am Freitag, dem 16.11.12, um 12:00
Uhr im M4 besprochen.
Abgabe: Bis Dienstag, 13.11.12, 12:00 Uhr. Abgabe per E-Mail an s.kenter@unimuenster.de,
Betreff: Abgabe MC, oder in Briefkasten 142.
• Die Übungsaufgaben bitte möglichst in 2er-Gruppen bearbeiten.
• Nicht vergessen, die Abgabe mit Namen und Matrikelnummern zu versehen.
Aufgabe 4.1. [Äquivalenz]
Untersuchen Sie die folgenden vier Kripke-Transitionssysteme paarweise auf Trace- und Bisimulationsäquivalenz
und begründen Sie Ihre Antworten. Die einem Zustand zugeordneten
atomaren Propositionen sind hier direkt im Zustand angegeben.
K1 :
p0
{Y }
K3 :
D
p1
{X} B
A
C
B
p3
{X}
D
B
A
u0
{Y }
u1
{X}
u2
{Y }
A
D
C
D
B
C
u3
{X}
D
A
u4
{X}
p2
{Y }
er
K2 :
q0
{Y }
C K4 :
D
C
A
v0
{X}
v2
{Y }
q1
{X}
A
B D
C
C
C
A B A
v1
{X}
v3
{Y }
D B
q2
{Y }
C

Übungsblatt 4 Model Checking Seite 2
Aufgabe 4.2. [Bisimulationen]
Das KTS K = (S, S0, Act, R, L) sei durch folgenden Graphen gegeben, wobei alle Zustände
mit der leeren Menge ∅ von atomaren Propositionen annotiert sind:
p0
M
p1
T
K
P
P
1. Betrachten Sie die Relationen X, Y ⊆ S × S mit
p2
p4
p3
Beweisen oder widerlegen Sie:
P
P
M
• X ist eine Äquivalenzrelation.
• X ist eine Bisimulation.
• Y ist eine Äquivalenzrelation.
• Y ist eine Bisimulation.
p5
T
K
X = {(p0, p4), (p1, p5), (p2, p6), (p3, p7)} und
Y = X ∪ {(p4, p0), (p5, p1), (p6, p2), (p7, p3)}.
2. Geben Sie die größte Bisimulation ∼ ⊆ S ×S an und begründen Sie, dass die von Ihnen
angegebene Relation tatsächlich die größte Bisimulation ist. Ist ∼ eine Äquivalenzrelation?
p6
p7

Übungsblatt 4 Model Checking Seite 3
Aufgabe 4.3. [Schwache Bisimulationsäquivalenz]
Sei τ ∈ Act und K = (S, S0, Act ∪ {τ}, R, L) ein Kripke-Transitionssystem über AP .
Für s, s ′ ∈ S und a ∈ Act ∪ {τ} schreiben wir zur Vereinfachung
s a → s ′
statt (s, a, s ′ ) ∈ R.
Wir schreiben außerdem s τ → ∗
s ′ , wenn es eine (leere oder nicht leere) Folge von τ-Transitionen
von s nach s ′ gibt, also wenn gilt:
s = s ′ oder es gibt t0, . . . , tm ∈ S mit m > 0 und
s = t0
τ
→ . . . τ → tm = s ′ .
Ferner schreiben wir s a ⇒ s ′ , wenn es t, t ′ ∈ S gibt mit
s τ → ∗
t a → t ′ τ ∗
→ s ′ .
Seien nun K = (S, S0, Act ∪ {τ}, R, L) und K ′ = (S ′ , S ′ 0, Act ∪ {τ}, R ′ , L ′ ) zwei Kripke-
Transitionssysteme über AP mit gleicher Aktionsmenge.
• Eine Relation B ⊆ S × S ′ heißt schwache Bisimulation, falls für alle (s, s ′ ) ∈ B gilt:
(a) L(s) = L ′ (s ′ ),
(b) ∀t ∈ S, a ∈ Act : s a → t impliziert ∃t ′ ∈ S ′ : s ′ a ⇒ t ′ ∧ (t, t ′ ) ∈ B,
(c) ∀t ′ ∈ S ′ , a ∈ Act : s ′ a → t ′ impliziert ∃t ∈ S : s a ⇒ t ∧ (t, t ′ ) ∈ B,
(d) ∀t ∈ S : s τ → t impliziert ∃t ′ ∈ S ′ : s ′ τ → ∗
t ′ ∧ (t, t ′ ) ∈ B,
(e) ∀t ′ ∈ S ′ : s ′ τ → t ′ impliziert ∃t ∈ S : s τ → ∗
t ∧ (t, t ′ ) ∈ B.
• K und K ′ heißen schwach bisimilar, in Zeichen K ≈ K ′ , genau dann wenn gilt:
(i) ∀s ∈ S0 ∃s ′ ∈ S ′ 0 : Es gibt eine schwache Bisimulation B mit (s, s ′ ) ∈ B,
(ii) ∀s ′ ∈ S ′ 0
∃s ∈ S0 : Es gibt eine schwache Bisimulation B mit (s, s ′ ) ∈ B.
1. Zeigen Sie, dass auch ≈ eine Äquivalenzrelation auf Kripke-Transitionssystemen ist.
2. Beweisen oder widerlegen Sie: K ∼ K ′ ⇒ K ≈ K ′ .
3. Beweisen oder widerlegen Sie: K ≈ K ′ ⇒ K ∼ K ′ .
Aufgabe 4.4. [Äquivalenz bei deterministischen KTSen]
Ein Kripke-Transitionssystem K = (S, S0, Act, R, L) heißt deterministisch, falls |S0| = 1 und
falls es für jeden Zustand s ∈ S und jede Aktion a ∈ Act höchstens einen Zustand s ′ ∈ S
gibt mit (s, a, s ′ ) ∈ R.
Seien K und K ′ zwei Trace-äquivalente deterministische Kripke-Transitionssysteme über
AP . Zeigen Sie, dass K und K ′ auch bisimulationsäquivalent sind.