HUMBOLDT-UNIVERSIT¨AT ZU BERLIN - HU Berlin

HUMBOLDT-UNIVERSITÄT ZU BERLIN
FACHINSTITUT THEORETISCHE BIOLOGIE
Prof. Dr. Susanne Schreiber
Institut für Biologie Telefon: 030-2093-9112
Humboldt-Universität zu Berlin Fax: 030-2093-8801
Invalidenstraße 43 e-mail: itb@biologie.hu-berlin.de
10115 Berlin http://itb.biologie.hu-berlin.de/
Mathematik für Biologen — 7. Übung — zur Vorlesung vom 29.11.2011
Abgabe am 6. Dezember zu Beginn der Vorlesung mit dem Namen Ihrer Tutorin/Ihres Tutors
und dem Termin Ihres Tutoriums.
Aktuelle Infos unter http://itb.biologie.hu-berlin.de/∼pfeiffer/mathe.html
E-mails an: mathetutor(at)yahoo.de
1. (Wdh. Komposition von Funktionen, Umkehrfunktion)
Skizzieren Sie die Funktion f : R → R, x → f(x) = 2e −x2 −x−0.25 . (Hinweis: Versuchen Sie zunächst, f(x)
geeignet zu vereinfachen.) Welchen Definitionsbereich, welche Ziel- und Wertemenge hat die Funktion?
Ist sie injektiv und/oder surjektiv? Auf welchen Bereichen lässt sich f(x) umkehren? Wie lautet dort die
Umkehrfunktion?
2. (Lineare Iterierte Abbildung)
Ein Feld wird zu Beginn des Jahres mit 10 g Dünger pro Quadratmeter gedüngt. Durch Frühlingsregen
wird 30% des vorhandenen Düngers ausgewaschen. Vom Rest wird 15% von Pflanzen aufgenommen und
letztlich durch die Ernte abgeführt.
(a) Wie entwickelt sich die Menge des vorhandenen Düngers über die Jahre? Begründen Sie, warum die
rekursiv definierte Folge (Iterierte Abbildung) xt+1 = 0,595xt+5,95 die Entwicklung der Düngermenge
beschreibt. Wofür stehen die Variablen x und t und in welchen Einheiten werden sie gemessen?
(b) Bestimmen Sie den Fixpunkt der iterierten Abbildung.
(c) Zeichnen Sie den Graphen der Iterationsfunktion und die Winkelhalbierende und illustrieren Sie
darin die Entwicklung der Düngermenge für mehrere qualitativ unterschiedliche Anfangswerte.
(d) Skizzieren Sie die Entwicklung der Düngermenge für diese Anfangswerte als Funktion der Zeit in
einer separaten Skizze.
(e) Diskutieren Sie die Ähnlichkeiten und Unterschiede zwischen diesem Modell und dem Fischereimodell
aus Aufgabe 6, Übungsblatt 6. Berücksichtigen Sie formale Aspekte und das dynamische Verhalten.
→

3. (Lineare Iterierte Abbildung)
In einem großen Fischteich lebt seit längerer Zeit eine stabile Population von etwa 9000 Plötzen (Rutilus
rutilus). Davon sind 6.2% fortpflanzungsfähig und es gibt genauso viele Männchen wie Weibchen. Jedes
der geschlechtsreifen Weibchen legt im Schnitt 10 000 Eier pro Jahr ab. Davon erleben nur 0.2% das
nächste Jahr. Von den Tieren, die das erste Jahr überlebt haben, gehen jedes Jahr 50% zugrunde 1 .
Wir wollen aus diesen Angaben ein Modell für die Populationsgröße der Plötzen erstellen. Da Plötzen nur
einmal im Jahr laichen, bietet sich eine lineare Iterierte Abbildung als einfachstes Modell für die Anzahl
der Plötzen xn im Jahr n an. Um ein derartiges Modell aus obigen Angaben zu entwickeln, beantworten
Sie bitte folgende Fragen:
(a) Wie viele der aus den 10 000 Eiern eines Weibchens geschlüpften Jungfische leben noch im darauffolgenden
Jahr?
(b) Welcher Bruchteil der Gesamtpopulation ist überhaupt in der Lage Eier zu legen?
(c) Zeigen Sie, dass die Geburtenrate α (Anzahl der Nachkommen pro Tier und Jahr) gleich 0,62 ist.
Berücksichtigen Sie auch das Ergebnis aus (a).
(d) Wie groß ist die Sterberate β (Anzahl der toten Tiere pro Tier und Jahr)?
(e) Geben Sie nun die homogene lineare Iterierten Abbildung xn+1 = f(xn) = rxn für die Anzahl der
Plötzen xn+1 im Jahr n + 1 in Abhängigkeit von der Populationsgröße xn im Jahr n an. Hierfür
müssen sie den Parameter r bestimmen.
(f) Skizzieren Sie den Graph der Funktion f(xn).
(g) Geben Sie die explizite Lösung (xn)n∈N der linearen Iterierten Abbildung xn+1 = f(xn) für beliebige
Anfangspopulationen x0 > 0 an und skizzieren Sie den typischen Lösungsverlauf.
(h) Wie wird sich die Population nach dieser Formel im Laufe der Zeit entwickeln? Warum macht das
biologisch keinen Sinn?
4. (Nichtlineare Iterierte Abbildung)
In der Aufgabe 3 haben Sie gesehen, dass die lineare Iterierte Abbildung als Modell für die Plötzenpopulation
keine stabile Populationsgröße beschreiben kann. Ein erweitertes Modell, das Individuenzahlen nach
oben beschränkt, ist die Logistische Abbildung xn+1 = rxn(1 − xn/C). Zum linearen Modell xn+1 = rxn
kommt hier also noch der Faktor 1 − xn/C mit einem weiteren Parameter C hinzu.
(a) Berechnen Sie für beliebige r ∈ (0; 4] und C > 0 die Fixpunkte der logistischen Abbildung!
(b) Wie groß muss der Parameter C sein, damit die Logistische Abbildung für den speziellen Wert von
r = 1,12 eine stabile Population von 9000 Tieren reproduziert?
(c) Es sei nun C = 1, r = 3,2 und x0 = 0,8. Berechnen Sie die ersten sechs Werte der Logistischen
Abbildung und tragen Sie die zeitliche Entwicklung in ein Achsenkreuz ein. Was fällt Ihnen auf?
5. –Zusatzaufgabe– (Geometrische Reihe)
Ein Altersforscher entdeckt kurz nach seiner Pensionierung einen Weg, sein Altern aufzuhalten. Seine
Ersparnisse von 250 000 Euro will er nun nutzen, um sich in den nächsten 100 Jahren seine Pension
aufzubessern und sich den Übergang zu einem Leben nur von der Pension zu erleichtern. Er möchte dazu
in jedem Jahr den Betrag, den er von seinen Ersparnissen verbraucht, um einen konstanten Faktor von
10% reduzieren. Da er den Banken misstraut, hat er all sein Geld unter dem Kopfkissen und bekommt
keine Zinsen.
Wieviel Geld kann er sich im ersten Jahr genehmigen? In welchem Jahr nimmt er sich nur noch weniger
als 10 Euro? Wieviel bleibt ihm im letzten der 100 Jahre?
n
Hinweis: Die Summenformel für eine geometrische Reihe lautet: a ν 1 − an+1
= (a ∈ R, a = 1) .
1 − a
1 80% davon werden von Fressfeinden erbeutet, 18% verhungern, 1.999% werden geangelt und nur 0.001% sterben eines
natürlichen Todes.
ν=0