8. Übung (pdf) - ITB Berlin

HUMBOLDT-UNIVERSITÄT ZU BERLIN
Prof. Hanspeter Herzel
Matthias Futschik & Adrian Granda
FACHINSTITUT THEORETISCHE BIOLOGIE
Nichtlineare Dynamik und Zeitreihenanalyse — 8. Übung
Aktuelle Infos und Übungsblätter unter http://itb.biologie.hu-berlin.de/∼futschik/lehre/zeit
In der letzten Übung haben wir mit Java-Programmen die Logistische Abbildung untersucht.
In dieser Übung sollen eindimensionale Bifurkationsdiagramme für die Logistische Abbildung
und die Kreisabbildung mit Hilfe von Matlab selber erstellt werden.
1. Online-Tutorial für MATLAB-Einführung:
Auf der Webpage http://itb.biologie.hu-berlin.de/~futschik/lehre/zeit sind
Links aufgeführt, um den elementaren Umgang mit MATLAB kennenzulernen. Falls Sie
Matlab noch nicht kennen, finden Sie heraus, wie man Matrizen erzeugt werden und wie
mit Schleifen Programmabläufe gesteuert werden können.
2. Bifurkationsanalyse der logistischen Abbildung:
Versuchen Sie, selbst ein MATLAB-Programm zur Bifurkationsanalyse zu schreiben. Alternativ
können Sie das MATLAB-Skript biflog.m oder biflog simple.m verwenden, das Sie
zuerst versuchen sollten zu verstehen. Variieren Sie dann den Bifurkationsparameter so,
daß Sie das gesamte Bifurkationsdiagramm für Parameterwerte von 0 bis 4 erhalten. Variieren
Sie dabei auch die Werte für die Anzahl der transienten Iterationen. Welchen Effekt
beobachten Sie, wenn Sie dabei vor allem auf das Verhalten der periodischen Lösungen
achten? Vergrößern Sie einige periodische Fenster im Chaos, indem Sie den Parameterbereich
einschränken, die Schrittweite verkleinern und auch in der Darstellung der Werte der
Lösung eine kleinere Skala wählen. Dabei sollten Sie eine Periodenverdopplungskaskade
beobachten.
3. Bestimmung einer Feigenbaumkonstanten:
Bestimmen Sie die Punkte rn, n = 1 . . . 6 innerhalb der anfänglichen Periodenverdopplungskaskade,
bei denen jeweils die Periodenverdopplung auftritt. Bestimmen Sie damit
die Verhältnisse (rn−rn−1)/(rn+1−rn) für mehrere aufeinanderfolgende Periodenverdopplungsbifurkationen.
Dieser Ausdruck ist das Verhältnis der Abstände aufeinanderfolgender
Periodenverdopplungsbifurkationen. Vergrößern Sie dafür gegebenenfalls Bereiche der
Periodenverdopplungskaskade. Feigenbaum (1977) hat gezeigt, daß der Grenzwert dieser
Verhältnisse für eine ganze Klasse von Abbildungen ähnlich der logistischen Abbildung
gegen den Grenzwert δ = 4.6692016091029909 . . . geht. Diese Konstante ist eine der universellen
Feigenbaum-Konstanten.
4. Zeitreihenanalyse selbst erzeugter Zeitreihen:
Versuchen Sie, selbst ein MATLAB-Programm zur Erzeugung von Zeitreihen der logistischen
Abbildung zu schreiben. Alternativ können Sie wieder ein fertiges MATLAB-Skript
serieslog.m verwenden.

Erzeugen Sie Zeitreihen der Länge 8192 für den Attraktor der Parameterwerte 3.5, 3.7 und
4.0 (d.h. nach Abwarten der Transienten). Speichern Sie die Zeitreihen ab und analysieren
Sie sie anschließend mit XMGR.
Berechnen Sie mit XMGR die Histogramme, die Autokorrelationsfunktion und das Fourierspektrum
(logarithmische Darstellung) der Zeitreihen. Was beobachten Sie? Vergleichen
Sie vor allem das Fourierspektrum für 3.7 mit dem von 4.0. Gegenbenenfalls sollten
Sie die Fouriertransformation noch mit einem Running average-Filter glätten.