6. Uebung - Humboldt-Universität zu Berlin

HUMBOLDT-UNIVERSITÄT ZU BERLIN
FACHINSTITUT THEORETISCHE BIOLOGIE
Prof. Dr. Hanspeter Herzel
Institut für Biologie Telefon: (030)2093-9101
Humboldt-Universität zu Berlin Fax: (030)2093-8801
Invalidenstraße 43 E-mail: itb(at)biologie.hu-berlin.de
10115 Berlin Web: itb.biologie.hu-berlin.de
Mathematik für Biologen — 6. Übung — zur Vorlesung vom 20.11.2012
Die Lösungen zu diesem Übungsblatt müssen am 27.11.2012 zu Beginn der Vorlesung abgegeben werden.
Für jedes vollständig gelöste Übungsblatt gibt es 2 Punkte.
Als Voraussetzung für die Zulassung zur Klausur sind mindestens 80 % der Übungsblätter abzugeben.
Bitte versehen Sie Ihre abgegebenen Übungsblätter mit dem Namen Ihrer Tutorin/Ihres Tutors und dem
Termin Ihres Tutoriums sowie Ihren eigenen Angaben (Name und Matrikelnummer).
Mit (Bsp) gekennzeichnete Aufgaben werden als Beispiele in den Tutorien vorgerechnet und gehören folglich
nicht zu den Hausaufgaben.
Aktuelle Infos unter http://itb.biologie.hu-berlin.de/Research/students/material/mathe
E-Mails an mathetutor(at)biologie.hu-berlin.de
1. (Folgen)
Diskutieren Sie für jede der unten stehenden Folgen die folgenden Punkte:
(i) Ist die Folge nach oben und/oder nach unten beschränkt?
(ii) Ist die Folge monoton, streng monoton oder nicht monoton?
(iii) Konvergiert die Folge? Bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.
Begründen Sie Ihre Antworten formal!
Tipps: Oft wird es hilfreich sein, nach einer ersten groben Analyse (z.B. durch eine Skizze) die
Eigenschaften in einer strategisch sinnvollen Reihenfolge zu diskutieren. So ist z.B. eine monotone und
beschränkte Folge immer konvergent, was dann nicht extra bewiesen werden muss.
Verwenden Sie auch Ergebnisse, die aus der Vorlesung, dem Skript oder den Übungsaufgaben bekannt
sind.
(Bsp) (xn)n∈N =
(a) (an)n∈N = 1
(b) (ym)m∈N =
2. (Summen)
n 1
+ 1
2
− 1
m 2
Berechnen Sie die Summe
N
n=−N
3
|n|
4
(c) αn+1 = 2·αn (α0 = 1, n ∈ N0)
(d) (zk)k∈N = k − 1
k
(e)
(cn)n∈N = sin n π
2
mit Hilfe der Formel für die geometrische Reihe.
(Bitte wenden) →

3. (Reihen)
Diskutieren Sie die folgenden Reihen bzgl. Monotonie, Beschränktheit und Konvergenz.
(Bsp)
n 1
xn =
3i (a)
n 1
rn =
3
(b)
n 1
sn =
j + 2
(c)
n 3
tn =
2k i=3
ν=1
4. (Rekursive Folgen, Beispiel aus der Evolutionsgenetik)
Wir betrachten eine Bakterienpopulation, die sich durch Zellteilung vermehrt. Der Einfachheit halber
nehmen wir an, dass es eine strikte Generationenfolge gibt, d.h. dass sich alle Bakterien gleichzeitig
teilen (verdoppeln). Die Bakterien kommen in zwei verschiedenen Genotypen vor: dem Wildtyp a
und der Mutante A. Der Zellzyklus der Bakterien besteht aus einer vegetativen und einer generativen
Phase. In der vegetativen Phase stirbt ein Teil der Bakterien
ab. Von den a-Bakterien überlebt ein Anteil r (mit 0 < r < 1);
die A-Bakterien sind empfindlicher, von ihnen überlebt nur ein
Anteil r/2. An die vegetative Phase schließt sich die generative
Phase an, in der die Zellteilung erfolgt. Dabei geht der Typ a
durch Mutation mit der Wahrscheinlichkeit m = 0,003 in den
Typ A über, so dass aus einem a-Bakterium zwei A-Bakterien
werden. Eine Rückmutation von A nach a ist so selten, dass sie
hier nicht betrachtet werden muss.
j=0
a A
a A
a A
k=2
r r/2
2(1-m) 2m 2
Generation
n
n+1
(vegetative
Phase)
(generative
Phase)
(a) Wie entwickeln sich die a- und A-Populationen von Generation zu Generation? Stellen Sie
für beide Populationen eine rekursive Vorschrift auf, welche die Bakterienmenge nach der
generativen (und vor der nächsten vegetativen) Phase beschreibt. (Tipp: für r = 0,6 gilt
An+1 = 0,0036 an + 0,6 An.)
(b) Zeigen Sie, dass r = 1
zu erhalten.
2(1−m)
gelten muss, um eine konstante Populationsgröße der a-Bakterien
(c) Wie verändern sich Ihre Ergebnisse aus (a) (a), wenn Sie die Bakterienmengen nach der vegetativen
(und vor der nächsten generativen) Phase beschreiben? Warum bleibt das Ergebnis aus (b)
gleich?
5. (Lineare iterierte Abbildung)
Eine Population von Fischen im Meer wachse in jedem Jahr um 2%. Dieses Wachstum werde durch
Fischerei gestört. Die Fangquote sei auf 300 Tonnen pro Jahr festgelegt und werde auch voll ausgenutzt.
Ein einzelner Fisch wiege etwa 3 kg.
(a) Machen Sie sich klar, warum die Entwicklung der Population von Jahr zu Jahr durch folgende
iterierte Abbildung beschrieben werden kann: an+1 = 1,02an − 10 5 . Wofür stehen die Variablen
a und n und in welchen Einheiten werden sie gemessen?
(b) Wie viele Fische dieser Art muss es im Fanggebiet geben, damit der Fischbestand unter diesen
Bedingungen konstant bleibt?
(c) Skizzieren Sie den Graphen der Iterationsfunktion an+1 = f(an) und zeichnen Sie die Winkelhalbierende
ebenfalls mit ein.
(d) Illustrieren Sie im Graphen aus (c) (c), wie sich die Population für verschiedene Anfangswerte der
Populationsgröße entwickelt. Wie viele qualitativ unterschiedliche Fälle gibt es?
(e) Skizzieren Sie die Populationsentwicklung in einem separaten Graphen als Funktion der Zeit
für mehrere qualitativ unterschiedliche Anfangswerte.
(f) Welche Probleme treten auf lange Sicht bei der Entwicklung der Population und der einfachen
Formulierung als lineare iterierte Abbildung auf?
(g) Alternativ könnte die Populationsentwicklung beschrieben werden durch die iterierte Abbildung
an+1 = 1,02(an−105 ). Wie ändert sich die Interpretation dieser Iterationsvorschrift im Vergleich
zur Gleichung aus (a) (a)?