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Physik I Zusammenfassung D-ITET WS 04/05 und SS 05 01.09.2005
von Stefan Scheidegger
1. Mechanik
1.1 Kinematik
Geschwindigkeit:
v() t bekannt:
Beschleunigung:
a( t ) bekannt:
∆s
v= = s
∆t
( ) ( )
s t1 = s0 +∫v
t dt
∆v
a = = v
= s
∆t
t
t
1
0
( ) ( )
v t1 = v0 +∫a
t dt
t
t
konstante Geschwindigkeit: v v , s= s0 + v0 t− t0
, s= v0⋅ t
konstante Beschleunigung: a a ,
freier Fall:
1
0
= 0 ( )
= v( t) v a( t t )
0
= 0 + − 0 , 0
v= a ⋅ t,
v= 2⋅a0⋅ s,
() ( ) ( ) 2
2
1
1 2 v
s t = s0 + v0 t− t0 + a0⋅ t− t0
, s= ⋅a0⋅ t , s = ,
2
2 2a ⋅ 0
freier Fall: a = − g
t
f
( )
2
v0 + v0 + 2⋅g⋅h 2
= , vf = − v0 + 2⋅g⋅ h
g
3-dimensional:
⎛x t ⎞ ⎛x⎞ ⎛ x ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
r() t = ⎜y() t ⎟,
v= ⎜
y
⎜ ⎟
⎟
, a =
⎜
y
⎟
⎜z() t ⎟ ⎜
⎝ ⎠ z ⎟
⎝ ⎜
⎠ z ⎟
⎝ ⎠
Normal- und Tangentialkomponenten:
2
v
r und v tangential zur Bahnkurve, anormal = ⋅enormal R
Newton-Axiome: 1. Trägheitsgesetz (Körper behält Richtung und Geschwindigkeit, solange
d
keine äusseren Kräfte angreifen.) 2. Aktionsgesetz: F= ( m⋅
v)
Kraft =
dt
zeitliche Änderung des Impulses. ( F= a⋅m, p= m⋅v) 3. actio = reactio
F12 = −F21
Rotation: ω=ϕ , α=ω=ϕ
Gleichförmige Kreisbewegung:
d
v=ω× r , a = ω× v=
( ω× R)
dt
zeigt zum Zentrum
Zentripetalbeschleunigung
2
2 v
konstante Winkelgeschwindigkeit: a =ω ⋅ R = ( a = ω⋅ v,
v= ω⋅ R)
R
1.2 Kraft und Arbeit
Kraft:
kg ⋅ m d
[ F] = N = , F= 2 ( m⋅
v ) , m konstant: F= m⋅ a = p
s dt
Federkraft: F= c⋅s Hangabtrieb: F = F ⋅sin( α ) , F = F ⋅cos( α ) , ( FReibung = FN⋅µ)
H G
N G
1 / 21

t2
dp
Impuls: p= m⋅v (2. Newton: F = ), p= ()
dt ∫ F t dt
t1
dp
Impulserhaltungssatz: keine Kräfte (bzw. nur innere): ∆ p = 0 , sonst Fäussere
=
dt
Dynamik von mehreren Massenpunkten: 1. Finnere = 0,
2. keine Äusseren Kräfte:
∑
p= konst.
1
Massenmittelpunkt: r = ( m r + m r + ... + m r )
∑
s 1 1 2 2 N N
M
F = m ⋅a
, a s
Summe der äusseren Kräfte: a tot s F = 0⇔ a = 0
Arbeit:
s2 s2
dW = F⋅ ds = F⋅ds⋅cos( F,ds ) , W12 = ∫ dW = ∫ F⋅ds
Hubarbeit: F= m⋅g, W = m⋅g⋅h, (s=
h)
s s
1 1
Hangabtrieb:
⎛ h ⎞
F= m⋅g⋅sin( α) , W = m⋅g⋅ h,
⎜s= ⎜ ⎟
sin ( α)
⎟
⎝ ⎠
Reibung: F=µ⋅ F =µ⋅m⋅g, W = µ⋅m⋅g ⋅ s
N
, M = m + m + ... + m
1 2 N
2 2
1 2 2 ⎛ v2 − v ⎞ 1
Beschleunigung: F= m⋅ a,
W = m( v2 − v1)
, ⎜s= ⎟
2
⎝ 2a ⋅ ⎠
1 2 2
Verformung (Feder): Frück =−c⋅ x,
W = c( x2 − x1)
, ( s= x2 − x1)
2
m⋅M r
⎛1 1 ⎞
Hubarbeit gegen Gravitation: FG
=−γG⋅ ⋅ , W =γ 2
G ⋅M⋅m⋅⎜ − ⎟,
s= ( r2 −r1)
r r
⎝r1 r2
⎠
Kraftfelder F( r)
: konservativ, falls die Arbeit nicht vom Weg abhängt ∫ Fds = 0
Bemerkungen: 1. F nur konservativ, falls rotF = 0 , ∇ F= 0,
⎛ ⎛ d d d ⎞ ⎞
⎜∇= ⎜ , , ⎟,rotF=∇×
F⎟,
2. nicht jedes F( r)
ist konstant. 3. Falls
⎝ ⎝dx dy dz ⎠
⎠
F() t ≠ konst. ist das Feld nicht konstant. 4. Im Allgemeinen ist ein ∇ -
abhängiges nicht konstant. 5. Falls ro
F
tF = 0 , nennt man F wirbelfrei.
E r + E r = E r + E r
Energieerhaltung: ( ) ( ) ( ) ( )
kin 1 pot 1 kin 2 pot 2
Stösse: elastisch ( bleibt erhalten) und unelastisch)
kin
∑
E i
p konst.
=
( )
Elastischer Stoss: mv 1 1 mv 2 2 mv′ ⎛
+ = 1 1 + mv′
2 2 , ⎜v ′
1 =
⎝
m1− m2 v1+ 2⋅m2v2 ⎞
,v ′
2 analog⎟
m1+ m2
⎠
Unelastischer:
mv 1 1+ mv 2 2
v′
=
m + m
1 2
schiefer, zentraler Stoss: v ′ = v , v
Leistung: P
= W = F⋅v 1x 1x
v ′
2x = v2x
,
v
1y
′ =
2y
( )
m − m ⋅ v + 2⋅m ⋅v
1 2 1y 2 2y
m + m
1 2
( )
2m ⋅ ⋅ v + m−m⋅v ′ =
m + m
2 / 21
1 1y 2 1 2y
1 2
,

Druck: p
dF
dA
N kg
= = = = 10 bar
2 2
m m⋅s −5
= , [ p] Pa
1.3 Drehbewegung
Winkelgeschwindigkeit ω:
v=ω× r
Drehimpuls L : , (
L= r× p p= m⋅v) , L= J⋅ω
(entspricht Impuls p)
Drehmoment M : M= r× F,
M= J⋅α,
M = L
, [ M] = N⋅ m= J (entspricht Kraft F)
2
Massenträgheitsmoment J: J= m⋅r ,
2
J = ∑ m ⋅ r = ∫ r dm, [ J] = kg⋅m (entspricht Masse
2 2
i i
i M
m)
Dynamik: dL M
dt =
, keine äusseren Kräfte ( M = 0):
L = konst. (Drehimpulserhaltung)
rot 1 2 1 2
Mechanik starrer Körper: Ekin = m⋅ v = J⋅ω
2 2
2
Massenträgheitsmomente von Körpern: dJ = r ⋅ dm , r Abstand von der Achse
Arbeit: dW = M ⋅dϕ 1 2
1
2 2
Trägheitsmomente: dünner Stab: Js= ⋅m⋅l , ⊥ l , Quader: Js= ⋅m⋅ ( a + b ) , c ,
12
12
2 2
1 2
⎛r h ⎞
Zylinder: Js= ⋅m⋅r , h , Js= m⋅ ⎜ + ⎟,
⊥ h , Hohlzylinder:
2
⎝ 4 12⎠
1 2 2
2 2
Js = ⋅m⋅ ( r1 + r2
) , h , Kugel (voll): Js= ⋅m⋅ r , Kugel (hohl):
2
5
2 2
Js≈⋅m⋅ r
3
1 2
Kinetische Energie: Erot = ⋅J⋅ω 2
Leistung: P= W = m ⋅ω
1.4 Weiteres
dm
Schubkraft: FSchub = vrel
⋅
dt
2
2 v
Zentripetalkraft: az=−ω ⋅ R =− ,
R
Erdrotation: F F am Äquator
Präzession: P
Seilwelle: s
g = z
M
Lcos
F F
= =
A m
2
Fz= m⋅ω ⋅ r
ω = , ( mgcos ⋅ ⋅ ϑ= F)
⋅ ϑ
v
ρ
kg
m
G
1 1
2 2
′ , 2 2 2
[ m′
] = , Etot = ⋅m⋅ω ⋅ A = ∫ ⋅m′ ⋅vs(
x)
1 2 dE dE dx
dE 1 2
E′ tot = ⋅m′ ⋅ vs,
p= = ⋅ = E′ ⋅vs,
ω = = ⋅ρ⋅ˆv,
2
dt dx dt
dV 2
2
2 0 E
1
F du
I=ω⋅ c= ⋅c⋅ρ⋅ vˆ=
, longitudinal: = E ⋅ , c long =
2 2Z
A dx
E
ρ
,
3 / 21
m0
dx

Z=ρm0 ⋅ clong= E⋅ρ
m0 , transversal:
Z=ρm0 ⋅ ctrans= G⋅ρ
m0
∆Z ∆Z
∆l
Michelson: dϕ= 2π = 2π n = 2π
λ λ λ
Satz von Steiner:
n 0
P = S+ 2
P ⋅
J J r m
2. Schwingungen und Wellen
2.1 Schwingung
Frequenz:
f
1
T
f
−
= s = Hz
y t = y t+ T
= , [ ] 1
Auslenkung: () ( )
Weg-Zeit-Gleichung: () ( )
opt
x t = A⋅cos ω⋅ t+ϕ = Re A⋅ e
0
F du G
= G ⋅ , c trans = ,
A dx
ρ
i( ω⋅ t+ϕ)
( )
Geschwindigkeits-Zeit-Gleichung: ( ) ( )
m0
i( ω⋅ t+ϕ)
( )
x t =−A⋅ω⋅sin ω⋅ t+ϕ = Re i⋅ω⋅A⋅e ( )
2 2 i( ω⋅ t+ϕ)
Beschleunigungs-Zeit-Gleichung: ( ) ( )
x t =−A⋅ω⋅cos ω⋅ t+ϕ = Re −ω ⋅A⋅e 2⋅
π
2
harmonische Schwingung: y() t = yˆ ⋅cos( ω 0t)
, ω 0 = 2⋅π⋅ f = , vˆ = ω⋅ ˆ 0 y,
aˆ=ω ˆ 0 ⋅y,
T
c
λ j
fj = j⋅ = j⋅f1, Seillänge: L= j⋅ 2L ⋅
2
c
c
offene Pfeife: fj= j⋅ , gedackte Pfeife: fj= ( 2j−1) ⋅
2L ⋅
4L ⋅
f1 T1
Temperatur-Unterschied: =
f T
Eulersche Formel:
( ω +ϕ )
i t
Feder-Masse-Schwingsystem:
2 2
( ( 0 0) ( 0 0)
)
0 0 r e r cos t i sin t
⋅ = ω +ϕ + ⋅ ω +ϕ
c
y+ y= 0,
m
2
0
c
m
F= a⋅m⇒−c⋅ y= m⋅ y
( )
y t = yˆ ⋅cos ω t),
ω = , Lösungsansatz: ( ) ( 0
1 2 1 2 2
Energie: Epot = ⋅c⋅ y() t = ⋅c⋅yˆ⋅cos ( ω0⋅ t+ϕ
0 ) ,
2 2
1 2 1 2 2 1
2
Ekin = ⋅m⋅ v() t = ⋅m⋅yˆ⋅ω0⋅sin ( ω0⋅ t +ϕ 0) = ⋅c⋅yˆ⋅sin ( ω0⋅ t +ϕ 0)
,
2 2 2
2 ( c= m⋅ω
0 ) , Etot 1 2 1 2 2 1 2
= ⋅c⋅ yˆ = ⋅m⋅ω ˆ 0 ⋅ y = ⋅m⋅ˆv 2 2 2
d
Bewegungsgleichung ableiten aus Energieerhaltung: Eges = 0
dt
Pendel:
g
β+ ⋅sin ( β ) = 0
l
⎛ c
⎜⇔
y+ ⋅ y=
0
⎝ m ⎠
⎞ g
⎟ , Approximation: β 2 g
+ ⋅β= 0 mit ω 0 =
l
l
g
l
ω 0 = 0
T 2
l
g
= π , ( F= a⋅m⇒−m⋅g⋅β= m⋅l⋅β)
4 / 21

mgr ⋅ ⋅
Physisches Pendel: β+ ⋅β= 0 ,
J
A
Viskose Reibung: F =−b⋅v, Luftreibung: v 2
F = d⋅
Federkraft:
Reib
FF=−c⋅y gedämpfte Schwingung:
2 mgr ⋅ ⋅
ω 0 = , ( M= JA⋅α⇒−m⋅g⋅r⋅β= JA⋅β)
JA
Reib
b c
c
y+ y + y= 0,
ω 0 = , Abklingkoeffizient:
m m
m
Dämpfungsgrad: D δ
= , Verlustfaktor: d = 2D,
ω
Güte/Qualitätsfaktor:
Differentialgleichung:
Schwingfall: δω , D< 1,
R 0:
0
c b
ω = − = ω −δ
m 4⋅m 2
2 2
d 2 0
0
0
1 m⋅ω
m⋅c
= = = ,
0
Q
2D b b
y+ 2⋅D⋅ω ⋅ y +ω ⋅ y= 0
2
0 0
−δt
> y( t) yˆ e cos( t )
= ⋅ ⋅ ω +ϕ ,
,
0 d
2
ω d =ω0⋅ 1− D
2 2 2 2
0 0
< () ( 1 2 )
δ −ω ⋅t − δ −ω ⋅t −δt
Kriechfall: ω 1,
R 0:
y t = A ⋅ e + A ⋅e ⋅ e
t
Grenzfall: ω =δ, D= 1,
R = 0:
x( t) ( A A t) e −δ
= + ⋅ ⋅
gedämpfte Frequenz:
0
1 2
0
b
δ= ,
2m ⋅
ω =
⎛ 2 2
ω0−γ für γ

Frequenzen ω1 und 2 verschieden:
ω ⎛ω−ω 1 2 ⎞ ⎛ω+ω
1 2 ⎞
y ˆ
1+ y2 = 2⋅y⋅cos⎜ t ⎟⋅cos⎜ t ⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ,
⎛ ⎛α+β⎞ ⎛α−β⎞⎞
⎜cos α+ cosβ= 2⋅cos ⎜ ⎟cos⎜ ⎟⎟
⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎠
Schwebung falls ω ≈ω , ∆ω=ω −ω ω , ω : y t = 2⋅yˆ⋅cos π⋅f ⋅t ⋅cos ω t
1 2 1 2 1 2 ( ) ( schweb ) ( neu )
f1+ f2
fschweb = f2−f1, fneu
=
2
Überlagerung von harmonischen Schwingungen mit ganzzahligen Frequenzverhältnissen:
Fourier-Analyse, -Synthese. Periodische Funktion:
∞ a0
yR () t = + ∑( ak ⋅cos( k⋅ω⋅ t) + bk⋅sin( k⋅ω⋅t) ) , a k,bk Fourier-Koeffizienten
2 k= 1
c y −c y − y = m⋅ y −c⋅y −c y − y = m⋅ y,
Gekoppelte Schwingsysteme: − ⋅ ( ) , ( )
1 12 1 2 1
2
d c
2 1 2 1 2
Addition: ( y y ) ( y y )
2 12 2 1
dt
+ +
m
+ = 0,
Subtraktion:
2
d
c+ 2⋅c12 c
2 ( y1− y2) + ( y1− y2)
=0, Funktionalschwingungen ω 1 = ,
dt m
m
ω1
= , T1= 2⋅π⋅
2π
m
, ω 2 =
c
c+ 2⋅c12 ω2
, f2
=
m 2π
f1
allgemein: N gekoppelte Schwingsysteme N Grundschwingungen mit N Frequenzen. Falls
das System in einer Grundschwingung ist, bleibt es darin.
2 2
c12
f2 − f1
Kopplungsstärke: Kopplungsgrad k ≡ , k ≡ 2 2
c+ c12
f2 + f1
2.2 Wellen
0
Ausbreitungsgeschwindigkeit:
c ⎛ ω ⎞
c=λ⋅ f⎜=
=
n k
⎟
⎝ ⎠
2π
Wellenzahl: k =
λ
Harmonische Wellen: math. Zusammenhang zwischen Auslenkung y, Ort x und Zeit t.
2π
Wellengleichung: y( x,t) = yˆ ⋅cos( ω⋅t∓ k⋅ x+ϕ0)
, k = Wellenzahl, – : Welle läuft nach
λ
rechts, + : Welle läuft nach links (negative x-Richtung)
Ortsbild zur Zeit t = t0:
y( x,t = t0) = yˆ ⋅cos( k⋅ x+ϕ1)
, ϕ 1 =ϕ 0 +ω⋅t0
Zeitliche Entwicklung am Ort x = x0:
y( x = x 0,t) = yˆ ⋅cos( ω⋅ t+ϕ
2)
, ϕ 2 =ϕ0 −x⋅ t
kg
Mechanische Welle: dV ⋅ρ= dm , ρ : Massendichte , kinetische Energie:
3
m
1 2 1
2 2
dE = ρ⋅dV ⋅ vˆ = ρ⋅dV ⋅yˆ ⋅ω
2 2
Longitudinalwelle: E σ ∆l
dF E
= , ε= , σ= , c = , ρ : Dichte
ε l dA ρ
6 / 21
,

Energietransport: Energie
Energiedichte
Volumen =
dE 1 2 2
Energiedichte: w = = ρ⋅yˆ⋅ω dV 2
Energiestromdichte, Intensität: S= w⋅c (Energie pro Zeit und Fläche)
1 2 2
speziell mechanisch: S= ρ⋅yˆ⋅ω ⋅ c
2
1 1
Elektromagnetische Wellen: w = ( E⋅ D+ H⋅ B) = ( εr⋅ε0⋅ E+µ r⋅µ 0⋅H)
, c:
2 2
Lichtgeschwindigkeit
2 2
dy F dy
Wellengleichung: = ⋅ , y= y 2 2 ( x,t)
dt A ⋅ρ dx
Überlagerung von Wellen: konstruktive, destruktive Interferenz; Gangunterschied;
Phasenunterschied
Stehende Wellen: beachte die Randbedingungen (Knoten, Bäuche)
⎛ vB
⎞
Dopplereffekt: Q| ← B:fB = fQ⎜1+ ⎟
⎝ c ⎠ , ⎛ vB
⎞
Q|B → :fB = fQ⎜1− ⎟
⎝ c ⎠ ,
fQ
Q → |B:fB=
v
1−
c
fQ
c+ vB
c−vB ← Q|B:fB
= , Q →← | B:fB = fQ , ←Q|B → :fB = fQ ,
vQ
c−vQ c+ vQ
1+
c
c+ vB
c−vB c+ vrel
←Q| ← B:fB = fQ , Q →|B → :fB = fQ , Licht: fB = fQ⋅
c+ v
c−v c−v Q
c ⎛ 1 ⎞
Überschallknall: halber Öffnungswinkel des Kegels: sin α= =⎜ ⎟,
Ma
: Machzahl
vQ ⎝Ma ⎠
Überlagerung von Wellen unterschiedlicher Frequenzen: Addition
ω 1+ω2 k1+ k2
ω−ω 1 2
y = 2⋅yˆ ⋅cos( ω⋅t−k⋅x) cos( ∆ω⋅t−∆k⋅x) , ω= , k = , ∆ω = ,
2 2
2
k1−k2 ∆ k =
2
ω ω+ω 1 2 dx ∆ω ω−ω 1 2
Phasengeschwindigkeit: c = = , Gruppengeschwindigkeit: cgr
= = =
k k + k
dt ∆kk−k 3. Optik
Snellius: n1⋅sinα 1 = n2⋅sinα2 n2
Totalreflexion: sin α tot =
n
Brechungsindex:
Gangunterschied: 1
1
1 2
cvac
n = , ( c=λ⋅f) c
d 1
+ =
λ 2
⎛d1 1 ⎞ d
∆= ⎜ + ⎟−⋅n
⎝ λ 2 ⎠ λ
2
# Wellenberg auf d1, d
Q
⋅ n = # Wellenberg auf d2,
λ
2 , konstruktive Interferenz: n
7 / 21
rel
∆ = ⋅λ, ϕ= n ⋅2⋅π, Q
,
1 2

(Gangunterschied
ϕ= ( 2n + 1)
π
ϕ
2
λ
∆= 2n + 1 ⋅ ,
2
∆ = ⋅λ), destruktive Interferenz: ( )
λ
Interferenz an dünnen Schichten (ev. Beugung am Keil):
2
λ
Einfallswinkel, konstruktiv: ∆= m⋅λ
, destruktiv: ∆ = ( 2m ⋅ + 1) ⋅ , Helligkeit:
2
2d ⋅ ⋅ n −sin ⎞
ε = ⎜m+
λ
⎝ 2 ⎠
# Beugungsmaxima = m + 1
2 2 ⎛ 1
max
Beugung am Keil: destruktiv:
2 2
∆ = 2d ⋅ ⋅ n −sinε − , ε :
2 2
⎟ , Dunkelheit: 2d n sin ( m 1)
⋅ ⋅ − ε = + λ,
m = 0,1,...
2 2
∆= 2d ⋅ ⋅ n −sinε= m⋅λ,
m = 1,2,... , dn 2 = ⋅tan Φ
Keilwinkel, dn
: dunkle Streifen pro Meter
dx
⎛ 1 ⎞
Radien der Kreise: hell: rm= ⎜m+ ⎟⋅λ⋅R
, dunkel: rm= m⋅λ⋅ R
⎝ 2 ⎠
λ b
Beugung am Spalt: d= x⋅sinα, Auslöschung: = ⋅sin α, n⋅λ= b⋅sinα, 2 2
2 ⎛πb⎞ sin ⎜ sin α ⎟
λ
Iα= I0⋅
⎝ ⎠
, I: Intensität , 1. Minimum wo λ= b⋅sin α,
2
⎛πb⎞ ⎜ sin α ⎟
⎝ λ ⎠
λ
⎛ 1 ⎞ λ
Minima: sin α m =± m ⋅ , Maxima: ± ⎜m+ ⎟⋅
, m = 1,2,...
b
⎝ 2⎠ b
Frauenhofer’sche Beugung: Beugung am Spalt mit Lichtquelle und Beobachtungspunkt im
Unendlichen. (Alle Formeln wie oben.)
λ
Beugung am Doppelspalt: sin α m = m ⋅ , b: Spaltöffnung, Gangunterschied: ∆= dsin ⋅ Θ,
d:
b
Spaltabstand, Θ : Winkel von der Mitte zwischen den Spalten gegenüber der
∆
Mittelsenkrechten, Phasendifferenz: Φ = 2⋅π⋅
, Maxima: Φ = 2⋅π⋅ n,
Minima:
λ
⎛ 1 ⎞
Φ= 2⋅π⋅ ⎜n+ ⎟
⎝ 2 ⎠
λ
Fresnel-Bedingung: sin α≥1.22⋅ (Auflösungsvermögen), b: Blendendurchmesser, α :
b
halber Öffnungswinkel
8 / 21
dx
λ
, Φ :

λ
Beugung an der Lochblende: 1. Minimum bei sin α 1 = 1.22⋅ d
Beugung am Gitter: Gangunterschiede versch. Spaltenintensitäten ∆ = g ⋅sin α,
⎛2π⎞ Phasenunterschied ϕ = ⎜ ⎟⋅gsin
⋅ α, Intensität bei Winkel α :
⎝ λ ⎠
2⎛π⋅b ⎞ 2⎛
π⋅g
⎞
sin ⎜ ⋅sin α⎟ sin ⎜p⋅
⋅sin
α⎟⎠ λ λ
Iα= I0⋅
⎝ ⎠
⋅
⎝
2
⎛π⋅b ⎞ 2 2⎛π⋅g
⎞
⎜ ⋅sin α⎟ p ⋅sin ⎜ sinα⎟
⎝ λ ⎠ ⎝ λ ⎠
⎛p⋅ϕ⎞ sin ⎜ ⎟
2
Summation der Teilwellen E: Eα= E⋅
⎝ ⎠
2
, p: Anzahl Spalten, Intensität ≈ E ,
⎛ϕ⎞ sin ⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
2 ⎛ π⋅g
⎞
sin ⎜p⋅⋅sin α⎟
λ
Iα= I⋅
⎝ ⎠
2 ⎛π⋅g ⎞
sin ⎜ sin α⎟
⎝ λ ⎠
2⎛π⋅b ⎞ 2⎛
π⋅g
⎞
sin sin sin p sin
I
⎜ ⋅ α⎟ ⎜ ⋅ ⋅ α⎟
α λ λ
Totale Intensität: =
⎝ ⎠
⋅
⎝
⎠
2
I0 ⎛π⋅b ⎞
2 ⎛π⋅g ⎞
⎜ ⋅sin α⎟ sin ⎜ ⋅sin α⎟
⎝ λ ⎠ ⎝ λ ⎠
Röntgenstrahlen an Kristallen: Gitterabstände vergleichbar zur Wellenlänge λx
Gedrehtes Gitter: Licht trifft im Winkel β auf das Gitter: Gangunterschied:
g( sin sin ) , Maxima: ( )
∆= α− β
λ
Auflösungsvermögen des Gitters: = m⋅p dλ
gsin ⋅ α −sinβ =± m⋅λ
4. Elektrizität und Magnetismus
4.1 Elektrizität
−19
Elementarladung e = 1.6021⋅10 C (Protonen, Myonen +e, Elektronen, Pionen –e)
−19
Elektronenvolt: 1eV = 1.60219⋅10 J
Ladung:
dQ
σ=
dA
9 / 21
m

Q ⋅Q
r
Q ⋅Q
r
1 2 12
1 2 12
Coulomb: F12
≈ ⋅ 2 , F12
= ⋅ ⋅ 2
r r12
4⋅π⋅ε0 r r12
Dielektrizitätskonstante im Vakuum,
1
0
C
, ε = 8.854⋅10 N⋅m 2
−12
0 2
1
9 N⋅m = 8.988⋅10 2
4⋅π⋅ε C
2
, Analogie zur
1
Gravitationskraft γ⋅ ⋅M 2 1⋅ M2
r
F 1 Q
Das E-Feld: E= = ⋅ ⋅r
3
Q 4πε0 r
Ladungsdichte ρ( r ) :
dQ = ρ( r ) ⋅dτ, dτ : Volumenelement,
1 ρ ( r ) r−r′
E( r) = ⋅ ⋅ d
2
4⋅π⋅ε ∫∫∫ ⋅ τ
0 r
Ladungsverteilung r−r′ −r′
Fluss: dΦ= v⋅df , Vol
umen = df ⋅ h = df ⋅n⋅v⋅ dt = v⋅df⋅dt, df: Flächenelement, n
Normaleneinheitsvektor,
df = n ⋅df
Fluss durch beliebige Fläche:
Φ= vdf ⋅
∫∫
Fläche
n
Satz von Gauss: Φ= DdA ⋅ =∑Qi,
D: Verschiebungsdichte, A: Fläche, Φ : Fluss
∫
i= 1
n 1 1
Maxwell: ∫ EdA ⋅ = ⋅ ∑Qi=
⋅ pi () ⋅dv
ε0 i= 1 ε ∫
0 v
1
Fluss von Punktladung im Zentrum einer Kugelfläche: ∫∫ E⋅ df = ⋅Q
2 ε
4πr 0
1
Fluss durch allgemeine Fläche: ∫∫ E⋅ df = ⋅Q,
Q totale umschlossene Ladung
ε
Geschl.Fl.
0
1
dE dE x y dEz
Differentialform: divE = ⋅ρ,
ρ : Ladungsdichte, divE = + +
ε0
dx dy dz
4⋅
π 3
1 Q
E-Feld einer homogen geladenen Kugel: ausserhalb: Q= ⋅R ⋅ρ 0 , E( r)
= ⋅ wie 2
3
4⋅π⋅ε r
⎛r′ ⎞
1 Q
Punktladung, innerhalb: Q′ = ⎜ ⎟ ⋅Q,
E( r′ ) = ⋅ ⋅r′
3
⎝ r ⎠
4⋅π⋅ε0 r
1 Q
Homogene Kugelschicht: innen: E= 0,
aussen: E = ⋅ 2
4⋅π⋅ε0 r
1 Q 1
Ebene, unendlich ausgedehnte Flächenladung: E = ⋅ = ⋅σ
2⋅ε A 2⋅ε
E-Feld um Stab: aussen:
1 λ
E = ⋅
2⋅π⋅ε r
0
3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ m ⎠
, [ ] C
λ =
10 / 21
0 0
0

1 λ ⎛ C ⎞
Zylinder: innen: E= ⋅ ⋅r,
2 ⎜[ λ ] = ⎟
2⋅π⋅ε0 R ⎝ M ⎠
Q
2 Zylinder ineinander: dazwischen: E( r)
=
2⋅π⋅ε0 ⋅r
1
Dünne Platte: beidseitig: E = σ
2⋅ε0
1 U
2 dünne Platten: dazwischen: E = σ,
E = , d: Abstand
ε0
d
1
Leiter: oberfläche: E = σ
ε
Kugel:
Q
E = =
R
∫
0
0
( ) ( )
ρ r ⋅A r ⋅dr
ε0⋅A ε0⋅A( r)
E als Gradient eines Potentialfeldes: E( r) =−gradV(
r)
,
2
⎛ ⎞
⎜ E⋅ dr = 0, E( r) ⋅ dr = V( r ) −V(
r)
⎟
∫ ∫
Spannung: dU = E ⋅ds,
U= E⋅d, U E ds
Arbeit:
Q
ϕ ( r)
=
4⋅π⋅ε ⋅r
0
2 2
W = F r ⋅ dr = Q⋅ E⋅ dr = Q V r −V
r
( ) ( ) ( )
∫ ∫
2 1
⎝ 1
⎠
⎛ ⎞
B
WAB Q 1 1
AB = = A B
Q ∫ ⋅ = ⎜ − ⎟=ϕ
−ϕ
4 A
0 rA rB
( )
12 1 2
1 1
i
⋅π⋅ε0 i i
∑ , ( )
0
⋅π⋅ε ⎝ ⎠
1 2
Energie: Epot = Q⋅ϕ,
Ekin = ⋅m⋅ v = Q⋅U
2
1 Q
Beispiel Punktladung, E kugelsymmetrisch: V( r)
= ⋅
4⋅π⋅ε0 r
1 Q 1 ρ(
r′
)
Superpositionsprinzip: V = ⋅ V r = ⋅ ⋅dxdydz
4 r 4⋅π⋅ε ∫∫∫
r−r′ 1
Leiter und el. Feld: E = ⋅σ
ε0
Q
Faraday’scher Käfig: E = 0 im Innern, C ≡
V − V
Kapazität:
Q
C =
U
Zylinderkondensator: E( r)
Plattenkondensator: 0
C
m
, Influenzladungen, σ : Dichte in 2
1 2
Q
2⋅π⋅ε0 ⋅l
≅ , Kapazität C ≅
2⋅π⋅ε0 ⋅r⋅l ⎛r⎞ 2 ln ⎜ ⎟
⎝ r1
⎠
A
C ⋅ε ∼
d d
1 , A: Plattenfläche
11 / 21
,

freistehende Kugel: C= 4⋅π⋅ε⋅ r,
Kugelkondensator:
1
Energie im Kondensator: E = ⋅U⋅Q 2
eE ⋅
Teilchen quer zum E-Feld: y= 2
2m ⋅ ⋅v ⋅ x
UKond
=
4dU ⋅ ⋅
2 2
e 0x a
⎛1 1 ⎞
C= 4⋅π⋅ε⋅⎜
− ⎟
r r
x ,
⎝ i a ⎠
vy eE ⋅ eEl ⋅ ⋅ l⋅UKond tan ϕ= = ⋅ t = = ,
2
v0x me⋅v0xme⋅v0x2⋅d⋅Ua eEls ⋅ ⋅ ⋅ e⋅UKond ⋅l⋅s ls ⋅ UKond
b = = = ⋅ , mit b: Auslenkung am Schirm, d:
2 2
me⋅v0x med⋅v0x 2⋅d Ua
Plattenabstand, l: Plattenlänge, s: Kondensatormitte-Schirm
eE ⋅ 2eE ⋅ ⋅ 1 e⋅E 2
Teilchen parallel zum E-Feld: v= ⋅t,
v= ⋅ y,
y= ⋅ ⋅ t
m
m 2 m
2QU ⋅ ⋅
Brown’sche Röhre: Geschwindigkeit v = , Ablenkwinkel
m
eE ⋅ I⋅UC lc⋅s Uc
tan ϕ= ⋅ t = , Auslenkung b = ⋅
me⋅v0x 2⋅d⋅Ua 2d ⋅ Ua
divgrad V r =∆ V r = 0 , ∆ Laplace-Operator,
Laplace-Gleichung: ( ) ( )
1
∆ V r + ⋅ρ r = 0
ε
Poisson: ( ) ( )
0
P
2 2 2
V V V
V 2 2
x y z 2
∂ ∂ ∂
∆ = + +
∂ ∂ ∂
2
1 2 1 Q
Energie des el. Feldes: ∫ dW = ⋅C⋅ V = ⋅
2 2 C
1 2
Energiedichte: w = ⋅ε0⋅E (Energie pro Volumen)
2
↑ ↓ Vvorher
Nichtleiter im E-Feld: Q= C ⋅V , : Materialkonstante, C hat sich um εr
erhöht.
Vnacher
Polarisation des Dielektrikums: Ematerie = E0− Epol,
Dm = ε⋅ r D0 = D0 + P,
D =ε ⋅ε ⋅ E=ε⋅ E+ P,
P=ε ⋅E⋅ε−1 , D
: Dichte der Verschiebungsladung, P :
m 0 r 0
0 r
( )
Polarisationsdichte, Suszeptibilität (Materialeigenschaft)
1 χ=ε −
Energiedichte:
1
w = ε0⋅εr⋅ E
2
2
dQ
Stromstärke: I = , Q= I() t d
dt ∫ t
Q⋅V C
Strom: I = , [ I] = A= l
s
I A
Stromdichte: j = , [ j] = , j=σ⋅E 2
A m
d
∂ρ(
r,t)
∫∫ i( r,t) df =− ρ( r,t) dτ
dt ∫∫∫ , divi + = 0
∂t
∂G
G
t
t
1
2
r
12 / 21
p
p
−1

l
spezifischer Widerstand: R =ρ⋅
A
4.2 Magnetismus
Strom als Ursache von magn. Felder:
Hds ⋅ = jdA ⋅
∫ ∫
I
stromdurchflossener Leiter: H =
2⋅π⋅r N⋅I lange Spule: H =
l
N⋅I d
Ringspule: H = , R
2⋅π⋅R 2
Ids ⋅
Leiter beliebiger Geometrie: dH = ⋅sin
ϕ 2
4⋅π⋅r I
stromdurchflossener Kreis: H =
2r ⋅
N⋅I N⋅I kurze Spule: Mitte: H = , Rand: H =
2 2 2 2
l + 4R
2⋅4⋅ R + l
H I
Feldlinien sind geschlossen. Es gibt keine magnetischen monopole. H( r)
=
2⋅π⋅r U() t dt
Magnetsiche Flussdichte: ∆Φ =
N
∫ , [ Φ ] = Vs ⋅ = Wb
Φ Vs ⋅
−4
−4
B-Feld: B = , [ B] = = T,
1Gauss = 10 Tesla , Erdmagnetfeld: ∼ 0.5⋅10 T ,
2
A m
Stabmagnet (1cm): ∼ 0.01T − 0.1T
−7
Vs ⋅
Im Vakuum sind H und B parallel: B= µ 0 ⋅H,
µ 0 = 4⋅π⋅10 , in Materie: B=µ⋅µ 0 ⋅H,
A⋅m µ Materialgrösse
Lorenzkraft: FL= q⋅ ( v× B)
FL= I⋅ l× B
Halleffekt: F F , U = B ⋅v ⋅ b= Uy
Lorenz = el.Feld h z x
2
Materie im H-, B-Feld: µ= I⋅s ⎡
⎣A⋅m ⎤
⎦
Mechanisches Drehmoment: Mmech =µ× B
∑
µ ⎡A⎤ Magnetisierung: M =
∂V ⎢
⎣m⎥ ⎦
I
Ersatzstrom: Mz = I⋅a⋅b⇒ Mz =
c
A
, Kraft auf bewegte Ladung im Leiter: ( )
13 / 21

eh ⋅
µ ≈µ =
2m ⋅
Mikroskopisch: mikr Pole
0
, e: el. Ladung, h: Planksches Wirkungsquantum
−34
−31
h = 1.05⋅10 J⋅s, Elektronenmasse m0= 9.8⋅10 kg
Allgemein:
∂M ∂My ∂M imolekular = rotM,
i x = − , i y =
∂y ∂z ∂z
rotB =µ i + i rotH = i
∂M −
∂x ∂My
∂M
,iz
= −
∂x ∂y
( )
0 Leiter Molek.
L ∗ = L pro Länge, C ∗ = C pro Länge
∗ µ⋅µ ⎛ 0 R ⎞ 2
Koaxialleitung: L = ⋅ln⎜ ⎟,
C
2⋅π ⎝ R1⎠
z x z x
, Leiter
∗
2⋅π⋅ε⋅ε0
=
⎛R⎞ 2 ln ⎜ ⎟
R
⎝ 1 ⎠
1
L ⋅ C =ε⋅ε ⋅µ⋅µ , µ 0⋅ε 0 = 2
c
∗ ∗
0 0
∗ ∗ µ ⋅ε
L ⋅ C = , c Lichtgeschwindigkeit
2
c
1 2
1
Selbstinduktivität: Arbeit W = ⋅L⋅I , Energiedichte w = ⋅B⋅ H
2
2
dD
Maxwell’sche Gleichungen: 1. Durchflutungsgesetz: rotH = i + ,
dt
⎛dD ⎞
∂B
d
∫ Hds ⋅ = ∫∫⎜i+
⎟dA;
2. Induktionsgesetz: rotE =− , E⋅ ds =− B⋅dA ⎝ dt ⎠
∂t
∫ dt ∫∫ ;
Quellengleichungen: ∫∫ DdA ⋅ = Q,
∫∫ BdA ⋅ = 0
∂E 1 ∂E
∂B
im Vakuum: ρ= 0 , σ= 0 , B=µ⋅µ 0 ⋅H;
1. rotB = ε0⋅µ 0⋅ε⋅µ ⋅ = ⋅ , 2. rotE =− ,
2
∂t c ∂t
∂t
3. divB = 0,
4. divE = 0
2
∂ E
2
1 ∂ B
Wellengleichung für das E-Feld: ∆ E =ε0⋅µ 0⋅ε⋅µ⋅ , analog ∆ B = ⋅ , B und E sind
2
2 2
∂t
c ∂t
senkrecht auf die Ausbreitungsrichtung der Welle. B⊥E. Im freien Raum sind E und
B in Phase.
Kapazität: Q = C⋅U Ausbreitung längs einer Doppelleitung:
2 ∗
2 2 ∗
2
∂ I R ∂I 1 ∂ I ∂ U R ∂U 1 ∂ U
Telegraphengleichung: + ⋅ = ⋅ , + ⋅ = ⋅
2 ∗ ∗ ∗ 2 2 ∗ ∗ ∗ 2
∂t L ∂t L ⋅C
∂x
∂t L ∂t L ⋅C ∂x
allg. Lösung für Cosinus-Signale: ( )
I e
U 1
−ϕ i 0
0 = = ⋅
∗ n+ i⋅χ
5. Weiteres
I. Physik
L
C
∗
0
ω⋅χ ⎛n⎞ − ⋅x i⋅ω⎜ ⋅x−t⎟ c ⎝ c ⎠
U x,t = U ⋅e ⋅ e , χ , n reell, mit
14 / 21
,

Volumen:
V d
3
= ∫ r
G
∫ ∫
3
3
Masse: m= ρ d r =ρ⋅ d r,
für ρ konstant
G G
b b
1
1 1 m
Sp= x,y,z ⋅ρd
r
m ∫
, Sx= ⋅ x⋅
dm= ⋅ x⋅ ⋅dx
m m A
Schwerpunkt: ( ) 3
Bogenlänge: v =γ, b
l= v dt = γ()
t dt
G
∫ ∫
∫
a
∫ ∫ , …
a a
2
Trägheitsmoment: I = d ⋅ρ⋅dx
dydz mit d Abstand zur Rotationsachse
B
⎛x⎞ G⋅m1⋅m G⋅m ( )
2
1⋅m2⋅ P1−P2 G⋅m1⎜ ⎟
Gravitation: F = , F= = ⋅ y ⋅ρ⋅V
2
3 3
r
r r ⎜ ⎟
⎜z⎟ ⎝ ⎠
Integrationsgrenzen: 1. Skizze machen (ev. Schnitte versch. Ebenen)
2. geeignete Koordinaten wählen
3. konstante grenzen in einer Dimension finden (z.B. Radius, Höhe)
4. die anderen Grenzen in Abhängigkeit der gefundenen ausdrücken
Bsp: ( )
3 2 2 2
{ ≤ }
B: = x,y,z ∈ x + y ≤R ,0≤ x+ y+ z 1
[ ]
⎧ x∈−R,R ⎫
⎪ ⎪
⎪ 3 2 2 2
( x,y,z ) y ⎡ 2 ⎪
= ⎨ ∈∈ − R −x , R −x⎤
⎣ ⎦
⎬
⎪ ⎪
⎪⎩ z∈− [ x−y,1−x−y] ⎪⎭
2 2
R R −x
1−x−y ( ) ( ) ( )
∫ ∫ ∫ ∫
⇒ f x,y,z dµ x,y,z =
f x,y,z dzdydx
B −R 2 2 −x−y − R −x
II. Geometrie für Arme
Gegenkathete Ankathete sin ϕ Gegenkathete
sin ϕ= , cos ϕ= , tan ϕ= =
,
Hypothenuse Hypothenuse cos ϕ Ankathete
cos ϕ Ankathete
cot ϕ= =
sin ϕ Gegenkathete
Sinussatz:
a b c
= = , Cosinussatz:
sin α sinβ sin γ
ϕ sin( ϕ ) cos( ϕ )
sin( ϕ)
tan( ϕ ) =
cos( ϕ)
0 (0°) 0 1 0
π
(30°)
6
1
2
3
2
3
3
15 / 21
2 2 2
a = b+ c−2bccos ⋅ ⋅ ⋅ α

π
(45°)
4
π
(60°)
3
2
2
3
2
2
2
1
2
π
(90°) 1 0 undef. ( ∞ )
1
3
2
Identitäten:
2 2
2 1
Grundlegende: sin α+ cos α= 1,
1+ tan α= 2
cos α ,
2 1
1+ cot α= 2
sin α
α±β: sin sin cos cos sin , cos α ±β = cos αcosβ∓ sin αsinβ, ( α±β ) = α β± α β ( )
2⋅α:
tan α± tan β
cot α cot β ∓ 1
tan ( α±β ) =
, cot ( α±β ) =
1∓tanαtanβ cot α ± cot β
2tanα
sin ( 2α ) = 2sin αcosα= , 2
1+ tan α
2
2 2 1−tan α
2 2
cos( 2α ) = cos α−sinα= = 1−2sin α = 2cos α−1,
2
1+ tan α
2
2tanα
cot α −1
tan ( 2α
) = , cot 2 ( 2α
) =
1−tan α 2cotα
3⋅α
3
3
3
3tanα−tan α
sin ( 3α ) = 3sin α−4sin α , cos( 3α ) = 4cos α−3cos α, tan ( 3α
) =
2
1−3tan α
α
2
⎛α⎞ sin ⎜ ⎟ =
⎝ 2⎠ 1
⎛α⎞ ( 1−cosα) , cos⎜ ⎟ =
2
⎝ 2⎠ 1
⎛α⎞ 1−cosα sinα
( 1+ cosα)
, tan
2
⎜ ⎟ = =
⎝ 2 ⎠ sinα 1+ cosα
⎛α+β⎞ ⎛α−β⎞
⎛α +β⎞ ⎛α−β⎞ Summen: sin α+ sin β= 2sin ⎜ ⎟cos⎜ ⎟,
sin α−sinβ= 2cos⎜ ⎟sin ⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ,
⎛α+β⎞ ⎛α−β⎞ ⎛α+β⎞ ⎛α−β⎞ cosα+ cosβ= 2cos⎜ ⎟cos⎜ ⎟⎠,
cos α−cosβ=−2sin ⎜ ⎟sin ⎜ ⎟,
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
sin ( α±β)
tan α± tanβ=
cos αcosβ 1
1
Produkte: sin αsin β= ( −cos( α+β ) + cos(
α−β)
) , sin α cosβ= ( sin ( α+β ) + sin ( α−β ) ) ,
2
2
1
1
cos αcosβ= ( cos( α+β ) + cos(
α−β ) ) , cosα sin β= ( sin ( α+β) −sin ( α−β ) )
2
2
2 1
3 1
Potenzen: sin α= ( 1−cos( 2α
) ) , sin α = ( 3sin α−sin ( 3α
) ) ,
2
4
4 1
2 1
sin α= ( cos( 4α) −4cos( 2α ) + 3)
, cos α = ( 1+ cos( 2α
) ) ,
8
2
3 1
4 1
cos α= ( 3cosα+ cos( 3α
) ) , cos α = ( cos( 4α ) + 4cos( 2α ) + 3)
4
8
iz ⋅ −iz ⋅
iz ⋅ −⋅ iz
e + e
e − e
Komplexe Definition: cos( z)
= , sin ( z)
=
2
2i
16 / 21

1
2
sinh x
1
2
cosh x
=
sinh x
x −x
x −x
hyperbolische: cosh ( x) = ( e + e ) , sinh ( x) = ( e − e )
tanh x
( )
( ) = , coth ( x)
cosh ( x)
( )
( )
2
2
Inverse: ar sinh ( x) = ln ( x + x + 1)
, ar cosh ( x) ln ( x x 1)
1 ⎛1+ x⎞
ar tanh ( x) = ln ⎜ ⎟
2 ⎝1−x⎠ Identitäten: Grundlegende:
III. Wichtiges
2
a x b x c 0 x1,2
, ( )
= + − ,
1 ⎛x+ 1⎞
ar coth x = ln ⎜ ⎟
2 ⎝x−1⎠ 2 2
cosh x − sinh x = 1
⋅ + ⋅ + = ⇒
− b ±
=
2
b −4⋅a⋅c 2a ⋅
n
n ⎛n⎞ n−k k ⎛n⎞ ⎛ n ⎞ ⎛n⎞ ⎛ n ⎞ ⎛n+ 1⎞
a+ b = ∑ ⎜ ⎟a
b , ⎜ ⎟= ⎜ ⎟,
⎜ ⎟+ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟
k= 0⎝k⎠
⎝k⎠ ⎝n−k⎠ ⎝k⎠ ⎝k+ 1⎠ ⎝k+ 1⎠
( )
17 / 21

2 2 2
Kreisgleichung: ( x− u) + ( y− v) = r
⎧x
= u+ rcosϕ
⎨ , Mittelpunkt (u,v)
⎩ y= v+ rsinϕ
Ellipsengleichung:
2 2
x y ⎧x
= acost
+ = 1 ⎨
a b ⎩y=
bsint
( ) ( )
( )( ) 2
2 3 2
Polynomdivision: p(x) = x− 1 x+ 3 = x + x − 5x+ 3,
1
p(x) = x− 1 x+ 3= x + 2x−3π 2
p(x) 1 = + − + + − = −
p(x)
2
3 2 2
(x x 5x 3):(x 2x 3) x 1
LinAlg:
⎛a ⎜
det
⎜
d
⎜
⎝g b
e
h
c⎞
⎟
f
⎟
= aei + bfg + cdh −gec −hfa −idb
i⎟
⎠
Logarithmen: log () 1 = 0 , ln ( a b) ln ( a) ln ( b)
⎛a⎞ ln ⎜ ⎟=
ln a
⎝b⎠ −ln
b
k
n 1
ln ( a ) = k ⋅ ln ( a)
, ln ( a ) = ⋅ ln ( a)
n
ln ( b)
x
loga ( x)
loga ( b)
= , loga ( a) = 1,
loga ( a ) = x , a = x
ln a
( )
n
⋅ = + , ( ) ( )
⎛ 1 ⎞
e = lim ⎜1+ ⎟
n→∞⎝
n ⎠
= 2.718281828
Zahlenwerte: π= 3.14159265 , 2 = 1.414213562
Beschränktheit: Gebiet beschränkt nicht bis ∞
Kartesisches Blatt:
2
3 3
⎛ a⋅t ⎞ ⎛ a⋅t ⎞
x + y = a⋅x⋅y x() t = ⎜ 3 ⎟,
y() t = ⎜ 3 ⎟
⎝1+ t ⎠ ⎝1+ t ⎠
Fläche:
Zykloide: x t r t rsin t ,
( ) () ′ ()
∫ ∫ ∫
dµ x,y = x⋅ dy= x t ⋅y
t dt
F ∂F
a
() = ⋅ − () y() t = r⋅t− rcos( t)
ebene Körper: (U: Umfang, A: Fläche)
Gleichseitiges Dreieck: U= 3⋅a, A= a ⋅
3
2
1 2 ⎛π⎞ reguläres n-Eck: U= n⋅a, A= n⋅a ⋅cot⎜ ⎟
4 ⎝n⎠ 2
Kreis: U= 2πr, A=πr 1 2
Kreissektor: U= 2r+ rϕ,
A= r ϕ
2
⎛ϕ⎞ 1 2
Kreissegment: U= rϕ+ 2rsin⎜ ⎟ A= r
⎝ 2 ⎠ 2
ϕ−sin ϕ
, ( )
b
( )
18 / 21
,

äumliche Körper: (A: Oberfläche, V: Volumen)
2
3
Würfel: A= 6a , V = a
Quader: A= 2⋅ ab+ bc+ ac , V= abc
( )
1
Pyramide: V= A⋅h
3
2
Reguläres Tetraeder: A= a
2 3
3,
V= a
12
Gerader Kreiszylinder: A= 2πr⋅ r+ h
2
, V=πr h
( )
=π
2 4 3
Kugel: A= 4πr , V= π r
3
+ +
1 2
, V= π r h
3
2 2
Gerader Kreiskegel: A r( r r h )
IV. Aus der Analysis
Linienintegral:
b
Kdx = K x t
ix
t dt (Arbeitsintegral)
∫ ∫
γ
a
( () ) ()
Oberflächenintegrale:
ϕ x dx: = ϕ f u,v ⋅ f u ,v × f u ,v dudv
( )
f D
( )
( ( ) ) u( 0 0) v( 0 0)
∫∫ ∫∫ , Skalarfeld
∫∫ V( x) dx: = ∫∫ V( f( u,v) ) ⋅ ( fu( u 0,v0) × fv( u 0,v0) ) dudv,
Vektorfeld
( )
f D
grad f
=∇ f x 0
⎛δf ( x0) δf
( x0)
⎞
=⎜ ,..., ⎟
⎝ δx1 δxn
⎠
zeigt in Richtung des stärksten Anstiegs von f in
Gradient: ( ) ( )
∇f ( x0
) 0 x
r+ L⋅e 1
e⋅∇ϕ= lim ϕdl
L→0L∫ e
r
, der Einheitsvektor in Richtung von L
1
Divergenz: div v : = Px + Qy + R z bei v= ( P,Q,R)
, divV = lim V dF
v→0 v ∫∫ ⋅
∂v
Rotation: e⋅ rotV= lim V⋅dl, e normaler Einheitsvektor auf Fläche F
∫
F→∞0 ∂F
⎛δK3 δK2 δK1 δK3
δK2 δK
⎞ 1
rot K = ⎜ − , − , − ⎟ (zyklische Vertauschung)
⎝ δx2 δx3 δx3 δx1 δx1 δx2
⎠
⎛ δ δ δ ⎞
rot K : = ( R y −Q z, Pz −R x,Qx − P y)
= " ⎜ , , ⎟×
( P,Q, R ) "
⎝δx δy δz⎠
3
Laplace-Operator: ∆ u: = div∇ u = u + u + u in
( ) xx yy zz
2 2
δ u δ u n
∆ u : = + ... + in , ∆ V : = divV − rot rot V
2 2
δx1 δxn
Rechenregeln für die Operatoren: V,W Vektorfelder, ϕ , ϑ Skalarfelder, c Konstante, c
Gradient: c 0,
konstanter Vektor
∇ = ∇( c⋅ϕ ) = c⋅∇ϕ
, ∇( ϕ+ϑ ) =∇ϕ +∇ϑ, ( )
19 / 21
∇ ϕ⋅ϑ =ϕ⋅∇ϑ+ϑ⋅∇ϕ

( ϕ⋅ ) = ⋅∇ϕ+ϕ⋅ ( )
div( V + W) = divV + div W , ( )
= rot ( ϕ⋅ V) = ( ∇ϕ ) × V +ϕ⋅ rot V
rot ( V + W) = rot V + rot W
( )
Kombinationen: rot ( ∇ϕ ) = 0 , div( rot V) = 0
Divergenz: d ivc , ,
div V V divV div c⋅ V = c⋅ divV ,
div V × W = W ⋅rot V −V⋅ rot W
Rotation: rot c 0 , , rot c⋅ V = c⋅ rot V ,
V. Konstanten
Gravitationskonstante
Lichtgeschwindigkeit im Vakuum
Schallgeschwindigkeit in Luft
Magnetische Feldkonstante
Elektrische Feldkonstante
G = 6.673⋅10 N ⋅m⋅ kg
−11 2 −2
c 2.99792458 10 m s −
= ⋅ ⋅ ⋅
1
c 343 m s −
= ⋅ ⋅
S
8 1
µ = ⋅π⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
7 1
0 4 10 V s A m 1
− − −
1
ε = = 8.85418782... ⋅10 ⋅A⋅s⋅V⋅m 0 2
µ 0 ⋅c
−19
Elementarladung ( )
e = 1.602176462 63 ⋅10 ⋅ C
−34
Plancksches Wirkungsquantum ( )
h = 6.62606876 52 ⋅10 ⋅J⋅ s
−31
Ruhemasse Elektron ( )
m = 9.10938188 72 ⋅10 ⋅ kg
−27
Ruhemasse Proton ( )
e
m = 1.67262158 13 ⋅10 ⋅ kg
−27
Ruhemasse Neutron ( )
Fallbeschleunigung
Erdradius
p
m = 1.67492716 13 ⋅10 ⋅ kg
n
1
g 9.80665 m s −
= ⋅ ⋅
6
R E = 6.3782⋅10 ⋅ m
20 / 21
−12 −1−1

Index
Abklingkoeffizient 5
Abstand zur Rotationsachse
15
actio 1
Aktionsgesetz 1
Arbeit 1, 2, 3, 11, 14
Arbeitsintegral 19
Auflösungsvermögen 8
Auflösungsvermögen des
Gitters 9
Ausbreitungsgeschwindigke
it 6
Ausbreitungsrichtung 14
Auslenkung 4, 12
Auslöschung 8
Bäuche 7
Beobachtungspunkt 8
Beschleunigung 1, 2
Beschleunigungs-Zeit-
Gleichung 4
Beschränktheit 18
Beugung am Doppelspalt 8
Beugung am Gitter 9
Beugung am Keil 8
Beugung am Spalt 8
Beugung an der Lochblende
9
Beugungsmaxima 8
Bewegungsgleichung 4
B-Feld 13
Blendendurchmesser 8
Bogenlänge 15
Brechungsindex 7
Brown’sche Röhre 12
Cosinussatz 15
Coulomb 10
Dämpfungsgrad 5
destruktive Interferenz 8
Dielektrikums 12
Dielektrizitätskonstante 10
Differentialform 10
Divergenz 19
Doppelleitung 14
Doppelspalt 8
Dopplereffekt 7
Drehbewegung 3
Drehimpuls 3
Drehimpulserhaltung 3
Drehmoment 3, 13
Dreieck 18
Druck 3
Dunkelheit 8
dünner Stab 3
Durchflutungsgesetz 14
Dynamik 3
ebene Körper 18
E-Feld 10
Elastischer Stoss 2
Elektrische Feldkonstante
20
Elektrizität 9
Elektromagnetische Wellen
7
Elektron 20
Elektronen 9
Elektronenmasse 14
Elektronenvolt 9
Elementarladung 9, 20
Ellipsengleichung 18
Energie 4, 11
Energie des el. Feldes 12
Energiedichte 7, 12, 14
Energieerhaltung 2, 4
Energiestromdichte 7
Energietransport 7
Erdmagnetfeld 13
Erdradius 20
Erdrotation 3
Erreger 5
Ersatzstrom 13
Erzwungene Schwingung 5
Eulersche Formel 4
Fallbeschleunigung 20
Faraday’scher Käfig 11
Feder 2
Federkraft 1, 5
Feder-Masse-
Schwingsystem 4
Feldlinien 13
Flächenladung 10
Fluss 10
Flussdichte 13
Fourier-Analyse 6
Fourier-Koeffizienten 6
Fourier-Synthese 6
Frauenhofer’sche Beugung
8
freier Fall 1
Frequenz 4
Fresnel-Bedingung 8
Funktionalschwingungen 6
Gangunterschied 7
Gangunterschiede 9
Gauss 10
gedackte Pfeife 4
gedämpfte Frequenz 5
gedämpfte Schwingung 5
Gedrehtes Gitter 9
Gekoppelte
Schwingsysteme 6
Geometrie für Arme 15
Gerader Kreiskegel 19
Gerader Kreiszylinder 19
Geschwindigkeit 1
Geschwindigkeits-Zeit-
Gleichung 4
Gitter 9
Gitterabstände 9
Gleichförmige
Kreisbewegung 1
Gleichseitiges Dreieck 18
Gradient 11, 19
Gravitation 15
Gravitationskonstante 20
Gravitationskraft 10
Grenzfall 5
Grundschwingungen 6
Gruppengeschwindigkeit 7
Güte 5
Halleffekt 13
Hangabtrieb 1, 2
harmonische Schwingung 4
Harmonische Wellen 6
Helligkeit 8
Hohlzylinder 3
Hubarbeit 2
hyperbolische 17
Identitäten 16, 17
Impuls 2
Impulserhaltungssatz 2
Impulses 1
Induktionsgesetz 14
Influenzladungen 11
Integrationsgrenzen 15
Intensität 7, 8, 9
Interferenz 7
Interferenz an dünnen
Schichten 8
Inverse 17
Kapazität 11, 14
Kartesisches Blatt 18
Kegels 7
Keilwinkel 8
Kinematik 1
kinetische Energie 6
Kinetische Energie 3
Knoten 7
Koaxialleitung 14
Komplexe Definition 16
kondensator 11
konservativ 2
konstante Beschleunigung
1
konstante Geschwindigkeit
1
konstante
Winkelgeschwindigkeit
1
Konstanten 20
konstruktive Interferenz 7
Kopplungsgrad 6
Kopplungsstärke 6
Körper 19
Kraft 1
Kraftfelder 2
Kreis 13, 18
Kreisbewegung 1
Kreisgleichung 18
Kreiskegel 19
Kreissegment 18
Kreissektor 18
Kreiszylinder 19
Kriechfall 5
Kristallen 9
Kugel 3, 10, 11, 19
Kugelfläche 10
Kugelkondensator 12
Kugelschicht 10
Ladung 9
Ladungsdichte 10
Laplace-Gleichung 12
Laplace-Operator 12, 19
Leistung 2, 3
Leiter 11
Lichtgeschwindigkeit 20
Lichtquelle 8
LinAlg 18
Linienintegral 19
Lissajous-Figuren 5
Lochblende 9
Logarithmen 18
longitudinal 3
Longitudinalwelle 6
Lorenzkraft 13
Luftreibung 5
Machzahl 7
magn. Felder 13
Magnetische Feldkonstante
20
magnetischen monopole 13
Magnetisierung 13
Magnetismus 13
Magnetsiche Flussdichte 13
Masse 15
Massendichte 6
Massenmittelpunkt 2
Massenpunkten 2
Massenträgheitsmoment 3
Massenträgheitsmomente
von Körpern 3
Materialgrösse 13
Materialkonstante 12
21 / 21
Materie 13
Maxwell 10
Maxwell’sche Gleichungen
14
Mechanik 1
Mechanik starrer Körper 3
Mechanische Welle 6
Mechanisches Drehmoment
13
Michelson 4
Mikroskopisch 14
Mittelpunkt 18
Myonen 9
n-Eck 18
Neutron 20
Newton-Axiome 1
Nichtleiter 12
Normaleneinheitsvektor 10
Normalkomponenten 1
Oberflächenintegrale 19
offene Pfeife 4
Öffnungswinkel 8
Optik 7
Ortsbild 6
Pendel 4
Periodische Funktion 6
Pfeife 4
Phasendifferenz 8
Phasengeschwindigkeit 7
Phasenunterschied 7, 9
Physik 14
Physisches Pendel 5
Pionen 9
Plancksches
Wirkungsquantum 20
Planksches
Wirkungsquantum 14
Platte 11
Plattenabstand 12
Plattenkondensator 11
Poisson 12
Polarisation 12
Polarisationsdichte 12
Polynomdivision 18
Präzession 3
Proton 20
Protonen 9
Punktladung 10, 11
Pyramide 19
Quader 3, 19
Qualitätsfaktor 5
Quellengleichungen 14
Radien der Kreise 8
Randbedingungen 7
räumliche Körper 19
reactio 1
reguläres n-Eck 18
Reguläres Tetraeder 19
Reibung 2
Resonator 5
Ringspule 13
Rotation 1, 19
Rotationsachse 15
Ruhemasse Elektron 20
Ruhemasse Neutron 20
Ruhemasse Proton 20
Satz von Gauss 10
Satz von Steiner 4
Schallgeschwindigkeit 20
schiefer, zentraler Stoss 2
Schirm 12
Schubkraft 3
Schwebung 6
Schwerpunkt 15
Schwingfall 5
Schwingung 4
Seillänge 4
Seilwelle 3
Selbstinduktivität 14
Sinussatz 15
Snellius 7
Spaltabstand 8
Spaltenintensitäten 9
Spaltöffnung 8
Spannung 11
spezifischer Widerstand 13
Spule 13
Stab 10
Stabmagnet 13
Stehende Wellen 7
Steiner 4
Stösse 2
Strom 12
Stromdichte 12
stromdurchflossener Leiter
13
Stromstärke 12
Superpositionsprinzip 11
Suszeptibilität 12
Tangentialkomponenten 1
Telegraphengleichung 14
Temperatur-Unterschied 4
Tetraeder 19
Totale Intensität 9
Totalreflexion 7
Trägheitsgesetz 1
Trägheitsmoment 15
Trägheitsmomente 3
transversal 4
Überlagerung 5
Überlagerung von
Schwingungen 5
Überlagerung von Wellen 7
Überschallknall 7
Unelastischer Stoss 2
Vakuum 10
Verformung 2
Verlustfaktor 5
Verschiebungsladung 12
Viskose Reibung 5
Volumen 15
Volumenelement 10
Weg-Zeit-Gleichung 4
Wellen 6
Wellenberg 7
Wellengleichung 6, 7
Wellengleichung für das E-
Feld 14
Wellenzahl 6
Wichtiges 17
Winkelgeschwindigkeit 1,
3
wirbelfrei 2
Wirkungsquantum 14
Würfel 19
Zahlenwerte 18
Zeitkonstante der Dämpfun
5
Zeitliche Entwicklung 6
Zentripetalbeschleunigung
1
Zentripetalkraft 3
zyklische Vertauschung 19
Zykloide 18
Zylinder 3, 11
Zylinderkondensator 11