KLAUSUR WS-SS 0708 mit LOESUNGEN 2,3,4,6,7.pdf - its

,
Klausur
Diskrete Mathematik I
Donnerstag, den 29.02.2008 um 14 Uhr
Aufgabenblätter
. Füllen Sie das Deckblattvollständigaus.
. Prüfen Sie, ob die Klausur 8 Aufgaben enthält.
. Kennzeichnen Sie alle verwendeten Blätter zuerst mit Ihrem Namen.
. Die Klausur muss als Ganzes abgegeben werden, auch wenn einige Aufgaben nicht gelöst
wurden.
. Halten Sie Ihren Studienausweis und einen Lichtbildausweis bereit.
Bewertung
. Geben Sie Begründungen, Zwischenergebnisse und verwendete Formeln an. Ein
nicht vorhandener Lösungsweg oder Unleserlichkeitführen zu Punktabzug.
. Die Gesamtnote ergibt sich aus der Klausurnote und dem in den Hausübungen erzielten
Bonus.
Zugelassene Hilfsmittel
. Zulässige Hilfsmittel: Bücher Diskrete Strukturen 1+11(Angelika Steger) und das Vorlesungsskript.
Der Tisch soll sonst leer sein.
. Elektronische Geräte (Handys, PDAs, Laptops, programmierbare Taschenrechner) bitte der
Klausuraufsicht zur Verwahrung geben.
. Studierende, deren Muttersprache nicht Deutsch ist, können zusätzlich ein zweisprachiges
Wörterbuch verwenden.
Dauer der Prüfung und zu bearbeitende Aufgaben
. Studierende aus dem Studiengang SiT (SiT02): 4h, Aufgabe 1 - Aufgabe 10 (**)
. Studierende aus dem Studiengang SiT (BachelorjMaster): 2h, Aufgabe 1 - Aufgabe 6
. AlleanderenStudierende:3h, Aufgabe1 - Aufgabe 8 (*)
Name:
Geburtsdatum:
Matrikelnummer:
Studiengang:
Viel Erfolg!

Name:
Vorname:
Aufgabe 1
AUFGABE 1
12 Punkte
Jede korrekt beantwortete Teilaufgabe, wird mit +2 Punkten bewertet. Jede falsch beantwortete
Teilaufgabe, wird mit -2 Punkten bestraft. Keine Antwort wird mit 0 Punkten bewertet. Wird in
der Summe ein negativer Punktwert erreicht,so wird die Aufgabe mit 0 Punkten gewertet.
a) Welchen Wert hat 87,3?
o 155 0 301
b) Jeder bipartititeGraph besitzt ein perfektes Matching.
o Ja 0 Nein
c) Die multiplikativeGruppe eines endlichen Körpers mit mindestens 3 Elementen besitzt
mindestens 2 Generatoren.
o Ja 0 Nein
d) Die worst-case Laufzeit von Quicksort ist
o O(n log n) DO(n2)
e) Für beliebige Ereignisse A, B gilt Pr[A] + Pr[B] < 1 + Pr[B]Pr[AIB].
o Ja 0 Nein
f) Sei T(n) = 4. TG) + n2. Dann gilt
o T(n) = 8(nlog34) 0 T(n) = 8(n2)

Name:
Vorname:
Aufgabe 2
AUFGABE 2
12=4+4+4 Punkte
a) Wieviele Zahlen 1 ::;n < 1200 gibt es, die durch 4, 6 oder 10 teilbar sind?
b) Peter, Hannah und Klaus teilen sich eine Torte mit 12 Stückchen.
. Wieviele Möglickeiten haben sie dafür, wenn jeder ein Stück Torte bekommen soll?
. Wieviele Möglichkeiten gibt es, wenn sie für jeden mindestens ein Stückchen aufbewahren,
sonst aber beliebig verteilen?

Aufgabe 2)
a) Wieviele Zahlen 1 n 1200 gibt es, die durch 4, 6 oder 10 teilbar sind?
{ [ ] ( ) ( ) ( ) }
{ [ ] }
Sei A = x∈ 1200 4|x oder 6|x oder 10|x
− Definiere A : = n ∈ 1200 k teilt n . Damit gilt A = A ∪A∪A k 4 6 10
1200
− Für Kardinalität A erhalten wir A : = .
k k ⎢ k ⎥
− Außerdem gilt A ∩ A = A
i j kgV{ i ,j}
− Damit erhalten wir insgesamt
A = A ∪A ∪A
4 6 10
= A + A + A − A ∩A
4 6 10 4
+ A ∩A ∩A
4 6 10
⎢ ⎥
⎣ ⎦
( + A ∩ A + A ∩A
)
6 4 10 6 10
( )
= A + A + A − A + A + A + A
4 6 10 12 20 30 60
siehe Vorlesung 4
Folie 41
_________________________________________________________________
⎢1200 ⎥
A : = 4 ⎢ 300;
4
⎥ =
⎣ ⎦
⎢1200 ⎥
A : = 200; 6 ⎢
6
⎥ =
⎣ ⎦
⎢1200 ⎥
A : = = 120;
10 ⎢
10
⎥
⎣ ⎦
⎢1200 ⎥
A : = 12 ⎢ 100;
12
⎥ =
⎣ ⎦
⎢1200 ⎥
A : = 60 ⎢ 20
60
⎥ =
⎣ ⎦
⎢1200 ⎥
A : = 20 ⎢ 60;
20
⎥ =
⎣ ⎦
⎢1200 ⎥
A : = 40;
30 ⎢
30
⎥ =
⎣ ⎦
_________________________________________________________________
⇒ A = A4+ A6+ A10− ( A12 + A20 + A30) + A60
A = 300 + 200 + 120 − 100 + 60 + 40
+ 20
⇒ ( )
=
440

) Peter, Hannah und Klaus teilen sich eine Torte mit 12 Stückchen.
Wieviele Möglichkeiten haben Sie dafür, wenn jeder ein Stück Torte
bekommen soll?
Unterscheidbare Personen ( Urnen ), Ununterscheidbare Tortenstückchen ( Bälle ).
siehe Vorlesung 6, Folie 68
f bijektiv = Für |B|=n=m=|U|gilt:
Jede Person bekommt ein Stückchen Torte: genau eine Möglichkeit
Wieviele Möglichkeiten gibt es, wenn sie für jeden mindestens ein Stückchen
aufbewahren, sonst aber beliebig verteilen?
Unterscheidbare Personen ( Urnen ), Ununterscheidbare Tortenstückchen ( Bälle ).
siehe Vorlesung 6, Folie 68
f surjektiv = Für |B|=n m=|U|gilt:
Jede Person ( Urne ) u i bekomme x i Stückchen Torte für i = 1,...,m
Die x i bilden eine m – Zahlpartition von n, da
x1 + x2 +...+x m = n.
⎛n−1 ⎞
D.h. wir erhalten ⎜ ⎟Möglichkeiten.
⎝m−1⎠ 11 ⎛ ⎞
⎜ ⎟=55
Möglichkeiten.
⎝ 2 ⎠

Name:
Vorname:
Aufgabe 3
Gegeben ist der Graph
wobei
G:= ({I,..., 7},E) ,
E:= }{{2,3},{2,4},{1,3},{1,4},{1,7},{3,6},{3,5},{4,6},{4,7} ,
und die Gewichtsfunktionw : E -t JRmit folgender Wertetabelle:
AUFGABE 3
12=2+8+2 Punkte
e {2,3} {2,4} {1,3} {1,4} {1,7} {3,6} {3,5} {4,6} {4,7}
w(e) 3 2 0 3 1 3 5 1 2
a) Zeichnen Sie G.
b) Berechnen Sie mit dem Algorithmus von Kruskal einen minimalen Spannbaum. Geben Sie
dazu bei jeder Iteration die Kante an, die neu zur Menge ET hinzugefügt wird.
c) Zeichnen Sie den resultierenden minimalen Spannbaum und geben Sie sein Gewicht an.

Aufgabe 3)
Gegeben ist der Graph
wobei
( { } )
G : = 1,...,7 ,E
{ { } { } { } { } { } { } { } { } { } }
E : = 2,3 , 2,4 , 1,3 , 1,4 , 1,7 , 3,6 , 3,5 , 4,6 , 4,7 ,
und die Gewichtsfunktion w : E R mit folgender Wertetabelle:
e {2, 3} {2, 4} {1, 3} {1, 4} {1, 7} {3, 6} {3, 5} {4, 6} {4, 7}
w(e) 3 2 0 3 1 3 5 1 2
(a) Zeichne G.
3
4
2
2
1
3
2
3
6
3
5
5
(b) Berechnen Sie mit dem Algorithmus von Kruskal einen minimalen Spannbaum. Geben
Sie dazu bei jeder Iteration die Kante an, die neu zur Menge ET hinzugefügt wird.
ALGORITHMUS KRUSKAL:
EINGABE: G = (V, E)
1. ET
2. Sortiere die Kanten aufsteigend nach Gewicht
3. For e E in Reihenfolge aufsteigenden Gewichts
a. If((V, ET e) ist Kreisfrei) then ET ET e.
AUSGABE: Minimaler Spannbaum (MST) T = (V, ET)
1.
4
2
0
7
1
1
6 7
3
5
1

2.
3.
4
i=4;
e={2,4};
w(e)=2
2
w(e) e i Kreisfrei
0 {1, 3} 1 ja
1 {1, 7} 2 ja
1 {4, 6} 3 ja
2 {2, 4} 4 ja
2 {4, 7} 5 ja
3 {2, 3} 6 nein
3 {1, 4} 7 nein
3 {3, 6} 8 nein
5 {3, 5} 9 ja
i=5; e={4,7}; w(e)=2
i=3; e={4,6};
6
w(e)=1
3
i=9;
e={1,3};
w(e)=5
5
i=1; e={1,3};
w(e)=0
7
i=2;
e={1,7};
w(e)=1
1
(c) Zeichnen Sie den resultierenden minimalen Spannbaum und geben Sie sein Gewicht
an.
e⊂ET ( )
() ( )
Das Gewicht w t eines Spannbaums T = V,E ist :
∑
∑ we ( )
e⊂ET 2
we
= 5+ 2+ 2+ 1+ 1+ 0= 11
Somit ist das Gewicht ( )
w(e)
2 2 1 0 5
4 7
1
3
1
6
w t des minimalen Spannbaums w t = .
T
() 11
5

Name:
Vorname:
Aufgabe 4
Wir betrachten einen Wurf mit zwei fairen Würfeln.
a) Geben Sie einen geeigneten diskreten Wahrscheinlichkeitsraum an.
b) Beweisen oder widerlegen Sie die folgende Aussage: Die beiden Ereignisse
(A) Der erste Wurf hat eine ungerade Augenzahl und
(B) die Summe der Augen ist > 9
sind unabhängig.
AUFGABE 4
12=3+9 Punkte

Aufgabe 4)
Wir betrachten einen Wurf mit zwei fairen Würfeln.
1) Geben Sie einen geeigneten diskreten Wahrscheinlichkeitsraum an.
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}{1, 2, 3, 4, 5, 6}=[6]²
1
Pr(w)=
Ω
1
= 2
6
∀ω ∈Ω
2) Beweisen oder widerlegen Sie die folgende Aussage: Die beiden Ereignisse
(a) Der erste Wurf hat eine ungerade Augenzahl und
ΩA = {1, 2, 3, 4, 5, 6}=[6]
A 1, 3, 53
A
Pr[A]=
ΩA
3 1
= =
6 2
(b) die Summe der Augen ist 9
ΩB {1, 2, 3, 4, 5, 6}{1, 2, 3, 4, 5, 6}=[6]²
B = {(3,6), (4,5), (4,6), (5,4), (5,5), (5,6), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}=[10]
Pr[B]=
B 10 5
= =
Ω 36 18
B
{ }
( ) ( ) ( ) ( )
A ∩ B = 3,6 , 5,4 , 5,5 , 5,6 =⎡ ⎣4⎦ ⎤
A∩B 4 2
Pr ⎡⎣A∩B⎤ ⎦ = = =
Ω 36 18
1 5 5
Pr ⎡⎣A⎤⋅ ⎦ Pr ⎣⎡B⎦ ⎤ = ⋅ =
2 18 36
sind unabhängig.
B
Wenn die Ereignisse statistisch
unabhängig sind, dann gilt :
⇒ Pr A ∩ B = Pr A ⋅Pr
B
[ ] [ ] [ ]
2 4 5
Pr ⎡⎣ A ∩B⎤ ⎦ = = ≠ = Pr ⎡A⎤⋅Pr ⎡B⎤ 18 36 36
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Die beiden Ereignisse sind statistisch abhängig.
Hinweis: Die Ereignismenge A besitzt {1, 3, 5}, wobei {1} bei der Ereignismenge
A∩ B nicht vorkommt, da sonst die Summe der Augen nicht 9 ist.

Name:
Vorname:
AUFGABE 5
12=6+6 Punkte
Aufgabe 5
Gesucht ist ein Graph G = (V, E), der aus einer geraden Anzahl Knoten lVI = n und einer
ungeradenAnzahlKanten lEI = m besteht und eulerschist.
a) Finden Sie einen solchen Graphen mit minimaler Knotenanzahl.
b) Begründen Sie die Minimalität Ihrer Wahl.

Name:
Vorname:
Aufgabe 6
Die Folge (an)n2:0 ist durch die folgende Rekursion gegeben: ao = al = 1 und
fürn > 2
AUFGABE 6
14 Punkte
Finden Sie eine geschlossene Form. Verwenden Sie dazu das in der Vorlesung vorgestellteVerfahren
mit Hilfevon erzeugenden Funktionen.

Aufgabe 6)
Die Folge (an)n0 ist durch die folgende Rekursion gegeben: a0 = a1 = 1 und
a = a + 2a , für n≥ 2
n n−1 n−2 Finden Sie eine geschlossene Form. Verwenden Sie dazu das in der Vorlesung vorgestellte
Verfahren mit Hilfe von Erzeugenden Funktionen.
( )
A x = a x
( )
∑
n≥0 n
n
⇒ A x = a x + a x + a x
0 1 n
0 1 n
n≥2 ∑
= 1+ x+ a x
n≥2 n
n
∑(
n−1 n−2) = 1+ x+ a + 2a x
n≥2 ∑
∑ ∑
= 1+ x + a ⋅ x + 2a ⋅x
n n
n−1 n−2 n≥2 n≥2 n
⎛ n−1⎞ 2 ⎛ n−2⎞ = 1+ x + x⋅⎜∑a⋅ x x 2a x
n−1⎟+ ⋅⎜∑ ⋅ n−2⎟ ⎝ n≥2⎠ ⎝ n≥2⎠ ⎛ n⎞ 2 ⎛ n⎞
= 1+ x + x⋅⎜∑a⋅ x x 2a x
n ⎟+ ⋅⎜∑ ⋅ n ⎟
⎝ n≥1⎠ ⎝ n≥0⎠ ⎛ 0
n⎞ 2 ⎛ n⎞
= 1+ x+ x⋅⎜−a x + 0 ∑a ⋅ x n ⎟+ 2x ⋅⎜∑a ⋅x
n ⎟
⎝ n≥0⎠ ⎝ n≥0⎠ ⎛ ⎞
0 ⎛ n⎞ 2 ⎛ n⎞
= 1+ x+ x⋅⎜− a x ⎟+
x⋅ a ⋅ x + 2x ⋅ a ⋅x
0
n n
⎜ ⎟
⎜∑ ⎟ ⎜∑ ⎟
n≥0 n≥0 ⎝ −1
⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ Ax ( ) Ax ( )
2
= 1+ x− x+ x⋅ A x + 2x ⋅A
x
( ) = + ( ) ⋅ ( 2
+ )
A( x) ( 1 x
2
2x ) 1
A x 1 A x 2x x
⇒ ⋅ − − =
A x =
1
( )
2 ( 1−x−2x )
( ) ( )

Partialbruchzerlegung:
erste Nullstelle : x
( 0,1 )
=−1
2
−2x − x+ 1 : x+ 1 =− 2x+ 1
( ) ( )
( 2
2x 2x )
− − −
______________
( x+ 1)
( x 1)
− +
______________
0
1 1
A( x)
= =
2 ( −2x − x + 1)
( x+ 1)( − 2x+ 1)
x+ 1
1
− 2x+ 1
A B
= +
x+ 1 − 2x+ 1
( )( )
1
( ) ( − 2x + 1)
A⋅ x+ 1
=
x+ 1
+
( ) ( )
B⋅ ( x+ 1) ( − 2x+ 1)
− 2x + 1
1 = A⋅ − 2x+ 1 + B⋅ x+ 1
___________________________________________________________
I 1 = A+ B
II 0x =−2⋅A⋅ x + B⋅x ⇔ 0 =− 2A + B
⇒ B= 2A
⇒ II in I einsetzen :
1 = A+ B= A+ 2A= 3A
1
⇔ A= 3
1
1
= A+ B= + B
3
2
⇔ B=
3
___________________________________________________________
n 1
A( x) = ∑a
x = n
n≥0 ( 1+ x)( − 2x+ 1) 1 1
= A⋅ + B⋅
( 1+ x) ( − 2x+ 1)
1 1 2 1
= ⋅ +
3 ( 1+ x) 3 ( − 2x+ 1)
1 1 2 1
= ⋅ + ⋅
3 ( 1−( −x) ) 3 ( 1−( 2x)
)
___________________________________________________________

Beachte:
( 1−( −x)
)
( c)
(
( c)
)
( )
( ⋅ )
( )
1− d⋅x ( 1− d⋅x )
( 1− d⋅x )
( 1−( 2x)
)
( )
1
= ⋅∑( − )
2
+ ∑(
)
2
∑(
)
n≥0 n
= c d⋅x ;
∑(
)( )
= c n+ 1 d⋅x ;
n≥0 c x c
= ⋅ n d x
2 ∑ ⋅ ⋅
d
n n
n≥0 n≥0 n n n n
n≥0 n≥0 n ⎛1 n 2 n⎞
( ) ( )
n
∑ x
n≥0 3
(
n
1) 3
n+ 1
( 2)
n
∑ x
n≥0 ⎛ 1 n n+ 1 ⎞
⎜ ( ( 1) ( 2)
)
3
⎟
⎝ ⎠
n≥0 ( )
1 1 2 1
⇒ = ⋅ + ⋅
3 3
( 1−( −x) ) ( 1−( 2x)
)
1 1 1 1
⋅ : = c = ; d=−1 ⇒ ⋅ −1x
3 3 3
n
n
∑(
)
n≥0 2 1 2 2
⋅ : = c = ; d= 2 ⇒ ⋅ 2x
3 3 3
A x
3
1x
3
2x
1
= ⋅∑( −1) 3
⋅ x
2
+ ⋅∑( 2) 3
⋅x
∑
= x
n≥0 ⋅⎜ ⋅ − 1
⎝3 + ⋅
3
2 ⎟
⎠
=
⎛1 ⋅⎜ ⋅ −
⎝
1
+ ⋅
⎞
⎟
⎠
= ⋅ ⋅ − +
n n+1
( ( ) ( ) )
1
⇒a = ⋅ ‐1 + 2
n
3
an
∑(
)
n≥0 n
n

Name:
Vorname:
Aufgabe 7
Finden Sie die kleinste positive ganze Zahl X, die folgende simultane Kongruenz löst:
2 .x = 1 (mod 5)
5 . X = 2 (mod 6)
X = 4 (mod 7)
AUFGABE 7
12 Punkte

Aufgabe 7)
Finden Sie die kleinste positive ganze Zahl x, die folgende simultane Kongruenz löst:
2⋅x≡1 mod5
5⋅x≡2 mod6
x ≡ 4 mod7
Berechne x i:
Berechne M:
M
⇒ x = ∑x
⋅M ⋅c ; ⇒ M =
m
i i i i
i≥1 i
∏
⇒ M = m ⇒ c = M m
i≥1
−1
2 ⋅2≡1 mod5
−1
i; i i mod i
x ⇒ 1 2⋅x1 ≡1
mod5
−1 −1
2 ⋅2⋅x≡2 ⋅1
mod5
1
x1
−1
≡ 2 mod5
___________________________________________
32 ⋅ = 6≡1mod5 ___________________________________________
⇒ x ≡3mod5
1
___________________________________________
x ⇒ 2 5⋅x2 ≡2
mod6
−1 5 ⋅5⋅x2 −1
≡5 ⋅2
mod6
x2
−1 −1
≡5 ⋅2
mod6
___________________________________________
−1
5 ⋅5≡1 mod6
5⋅ 5 = 25 ≡1mod6
___________________________________________
⇒
x ≡ 5mod5
2
___________________________________________
x ⇒ 3 x3
≡4
mod 7
___________________________________________
⇒ M =∏m i m m m
1 2 3
i≥1
= ⋅ ⋅ = 567 ⋅ ⋅ = 210

Berechne M i:
Berechne x i:
Berechne x:
⇒ = ⋅ ⋅
M
⇒ M1 =
m
1
M
⇒ M2 =
m
2
M
M
m
210
= = 42
5
210
= = 35
6
210
⇒ 3 = = = 30
7
3
⇒ c = M mod m
−1
1 1 1
−1
= 42
−1
mod 5
≡ 2 mod 5
= 3mod5
⇒ c = M mod m
−1
2 2 2
−1
= 35
−1
mod 6
≡ 5 mod 6
= 5mod6
⇒ c = M mod m
−1
3 3 3
−1
= 30
−1
mod 7
≡ 2 mod 7
= 4 mod 7
3
∑ i i i
1 1 1 2 2 2 3 3 3
i=1
x x M c mod M = x ⋅M ⋅c +x ⋅M ⋅c +x ⋅M ⋅c
mod M
= 3423 ⋅ ⋅ + 4355 ⋅ ⋅ + 4304mod210
⋅ ⋅
= 378 + 700 + 480 mod 210
= 378 mod 210 + 700 mod 210
+ 480 mod 210
≡ 168 + 70 + 60 mod 210
= 298 mod 210
≡ 88 mod 210

Überprüfen:
2⋅x≡1 mod5
288 ⋅ = 166mod5≡1 5⋅x≡2 mod6
588 ⋅ = 440mod6≡2 x
≡ 4 mod7
88 ≡ 4

Name:
Vorname:
Aufgabe 8
AUFGABE 8
14 Punkte
Entwerfen Sie einen effizientenAlgorithmus nach dem Oivide-and-Conquer Ansatz, der als Eingabe
eine Liste von ganzen Zahlen der Länge n = 2k erwartet und als Ausgabe Minima und Maxima
der in der Liste enthaltenen Zahlen liefert.
Hinweis: Brechen Sie die Rekursion bei Listenlänge n = 2 ab.
a) Geben Sie den entsprechenden Algorithmus als Pseudocode an.
b) Bestimmen Sie die Anzahl der Vergleiche, die der Algorithmus ausführt und zeig-enSie, dass
dies besser istals2n -2 Vergleiche,die bei einernaiven Berechnung benötigtwerden.