HUMBOLDT-UNIVERSIT¨AT ZU BERLIN

HUMBOLDT-UNIVERSITÄT ZU BERLIN
FACHINSTITUT THEORETISCHE BIOLOGIE
Prof. Dr. Richard Kempter
Institut für Biologie Telefon: 030-2093-9112
Humboldt-Universität zu Berlin Fax: 030-2093-8801
Invalidenstraße 43 e-mail: itb@biologie.hu-berlin.de
10115 Berlin http://itb.biologie.hu-berlin.de/
Mathematik für Biologen — 8. Übung — zur Vorlesung vom 07.12.2010
Abgabe am 14. Dezember zu Beginn der Vorlesung mit dem Namen Ihrer Tutorin/Ihres Tutors
und dem Termin Ihres Tutoriums.
Wichtige Tippfehler aus dem Mathe-Skript sind als Errata online unter
http://itb.biologie.hu-berlin.de/∼kempter/Teaching/2010-WS-Mathematik/index.html zu finden.
Für weitere Hinweise auf Tippfehler wären wir dankbar.
Für alle Fragen, die nach den regulären Tutorien noch offen bleiben, bieten wir ab Januar 2011 ein
Zusatztutorium an. Es wird voraussichtlich donnerstags ab 16 Uhr stattfinden. Interessenten melden
sich bitte unter martina michalikova(at)yahoo.de.
Aktuelle Infos unter http://itb.biologie.hu-berlin.de/∼michalikova/mathe.html
1. (Grenzwerte, Stetigkeit) Gegeben sei die Funktion f : R → R mit
(Bsp) f(x) =
1 für x = 2
−1 für x = 2
(a) f(x) =
x für x < 2
x − 1 für x ≥ 2
(i) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f(x).
(ii) Welchen Funktionswert hat f(x) an der Stelle x = 2 ?
(iii) Wie lauten der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert lim f(x) und lim g(x) ?
x→2− x→2 +
(iv) Existiert der Grenzwert lim f(x)?
x→2
(v) Ist die Funktion f(x) stetig? Ist sie stetig auf ihrem Definitionsbereich? Begründen Sie Ihre Antwort.
2. (Grenzwerte) Gegeben ist die Funktion
g(x) = 1
− 1
x − 3
(a) Wie geht diese Funktion aus der Hyperbel h(x) = 1/x hervor?
(b) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion g(x).
(c) Wie lauten der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert lim g(x) und lim g(x) ?
x→3− x→3 +
(d) Existiert lim g(x) ?
x→3
3. (Stetigkeit) Welche der folgenden Funktionen sind stetig? Welche sind stetig auf ihrem Definitionsbereich?
Begründen Sie Ihre Antworten.
(Bsp) f(x) = x3 − x + 4
x2 (Bsp) f(x) = x3 − x + 4
x2 (a) g(x) = 2x
+ 2
2 + 3x 3 + 5x 5
(b) h(t) = t2
t2 t(t + 3)
(c) k(t) =
t + 3
− 1 (d) l(x) = x3 − x + 4
x3 + 1
→

4. (Lineare und Nichtlineare Iterierte Abbildung) Fruchtfliegen (Drosophila melanogaster) lassen sich
sehr einfach in einem großen Glas züchten. Wenn die Anzahl der Fruchtfliegen xn am Tag n noch nicht
zu groß ist, dann kann das Wachstum der Fruchtfliegenpopulation durch folgende Iterierte Abbildung
näherungsweise beschrieben werden:
xn+1 = axn , x0 = 100 , a = 1.5 . (1)
(a) Skizzieren Sie den Graphen der Iterierationsfunktion zusammen mit der Winkelhalbierenden sowie
sowie den Graphen der Zeitentwicklung der Fliegenpopulation.
(b) Geben Sie eine explizite Lösung xn für beliebige x0 an!
(c) Wie wird sich die Fliegenpopulation in diesem Modell langfristig entwickeln? Ist das realistisch?
Wenn sich zu viele Fliegen in dem Glas befinden, sollte die Wachstumsrate a kleiner werden, da nicht
mehr genug Ressourcen für alle Fliegen vorhanden sind. Bei einer mathematischen Modellierung kann
dies erreicht werden, indem man die konstante Wachstumsrate a durch den Term a(1 − x/K) ersetzt,
sodass die effektive Wachstumsrate mit wachsender Population kleiner wird. Die resultierende Iterierte
Abbildung wird auch “Logistische Abbildung” genannt:
xn+1 = axn (1 − xn/K) .
(d) Machen Sie sich klar, warum für kleine Populationsgrößen (0 < xn ≪ K) die Logistische Abbildung
der Iterierten Abbildung in Gleichung (1) entspricht.
(e) Bestimmen Sie die Nullstellen und den Scheitelpunkt von f(x) = ax (1 − x/K) mittels quadratischer
Ergänzung und skizzieren Sie den Graphen der Logistischen Abbildung (Iterationsfunktion).
(f) Wie groß darf xn maximal sein, damit xn+1 positiv ist?
(g) Für welchen Wert von xn ist xn+1 maximal? Wie groß darf also a maximal sein, damit die Populationsgröße
(xn+2) keine negativen Werte annimmt?
(h) Bei welchen Populationsgrößen xn hat die Logistische Abbildung Fixpunkte (für allgemeine Werte
von a)? Sind sie für a = 1.5 stabil oder instabil?
(i) Wie verhält sich die Populationsgröße langfristig?
5. (Lineare Iterierte Abbildung)
In einem Wald werden jedes Jahr k Bäume neu gepflanzt und 25% des bisherigen Gesamtbestandes
gerodet. Zusätzlich verringert sich der bisherige Baumbestand wegen Schädlingsbefalls jährlich um weitere
5%. (Nehmen Sie der Einfachheit halber an, die neuen Bäume seien im Jahr der Pflanzung vom Befall
noch nicht betroffen).
(a) Wie entwickelt sich die Anzahl der Bäume über die Jahre? Geben Sie sowohl eine rekursive, als auch
eine nichtrekursiv definierte Folge an.
(b) Zeichnen Sie den Graphen der Iterationsfunktion und illustrieren Sie graphisch die Entwicklung des
Baumbestands für verschiedene Anfangswerte. Wie hängt das dynamische Verhalten von k ab?
(c) Wie viele Bäume sind nach sehr langer Zeit zu erwarten (näherungsweise nach unendlich vielen
Jahren)? Begründen Sie Ihre Aussage mit dem Grenzwert der nichtrekursiv definierten Folge.
(Zur Probe: für k = 300 erwarten wir 1000 Bäume.)
(d) Zusatzaufgabe: Ein junger Baum kann erst im Alter von N Jahren gefällt werden. Wieviele Bäume
k ′ sind vor dem jährlichen Fällen genau N Jahre alt? Stellen Sie nun die Dynamik für die Population
der jeweils fällbaren Bäume auf. Gehen Sie davon aus, dass zu Beginn der Betrachtungen bereits
b0 fällbare Bäume vorhanden sind, die älter als N Jahre sind. Die kleinen Bäume werden im Alter
von wenigen Monaten gepflanzt, d.h. ein N Jahre alter Baum wurde auch vor N Jahren gepflanzt.
Nehmen Sie weiterhin an, dass nun auch 25% der fällbaren Bäume gerodet werden und dass jährlich
5% aller Bäume wegen Schädlingsbefall zugrunde gehen. Was ändert sich hier im Vergleich zu (a)
und (c)?