Folien

Formale Sprachen und Automaten 

Kapitel 2: Typ 3 

Vorlesung an der DHBW Karlsruhe 

Thomas Worsch 

Karlsruher Institut für Technologie, Fakultät für Informatik 

Wintersemester 2012

Kapitel 2 Typ 3 

Deterministische endliche Automaten 

Reguläre Ausdrücke 

Grammatiken 

Typ-3-Grammatiken 

Nichtdeterministische endliche Automaten 

Zustandsminimierung endlicher Automaten 

Inhalt 2/124



Grammatiken 




Deterministische endliche Automaten 3/124

Ziel 

Kennenlernen des einfachsten Automatentyps 

◮ Definition 

◮ Notationen 

◮ Arbeitsweise 

◮ Beispiele und Nichtbeispiele 


2.1 Beispiel: Parkplatz mit 5 Stellplätzen 

◮ Schranke an der Einfahrt, 

Induktionsschleifen an Ein- und Ausfahrt 

◮ vereinfachende Annahme: nicht gleichzeitig Signal von beiden 

Induktionsschleifen 

◮ elektrisches System soll Schranke steuern und 

Zähler mit der Anzahl geparkter Autos verwalten. 

◮ Einfahrschranke: 

◮ soll nur aufgehen, wenn noch ein Parkplatz frei ist; 

◮ sonst rote Ampel an der Einfahrt 

◮ Operateur: 

◮ Warnsignal, wenn Parkplatz leer, aber Signal von 

Ausfahrtsschleife 

◮ sonst Mitteilung, dass Anzahl Autos erniedrigt 


2.1 Beispiel: Parkplatz mit 5 Parkplätzen (2) 

Formalisierung: 

◮ Eingabesignale für System: 

Eingabealphabet X = {E, A} 

◮ Ausgabesignale von System: 

Ausgabealphabet Y = {↑, ⊗, −, ?!} 

◮ Zähler mit Wert in Z = {0, 1, 2, 3, 4, 5}: 

(Belegungs-)Zustand des Parkplatzes 



Arbeitsweise 

◮ Änderungen des Zählers: 

Eingabe 

◮ erzeugte Ausgabesignale: 

Eingabe 

alter Zählerstand 

0 1 2 3 4 5 

E 1 2 3 4 5 5 

A 0 0 1 2 3 4 

alter Zählerstand 

0 1 2 3 4 5 

E ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ⊗ 

A ?! − − − − − 



Grafische Darstellung: 

E/ ↑ E/ ↑ E/ ↑ E/ ↑ E/ ↑ 

A/?! 0 1 2 3 4 5 E/⊗ 

A/− A/− A/− A/− A/− 

◮ Knoten: Zustand des Zählers 

◮ Kante von Knoten i zu Knoten j, mit x/y beschriftet 

◮ Übergang von Zustand i bei Eingabe von x in Zustand j 

◮ dabei die Ausgabe y erzeugt 


2.2 Definition 

Ein endlicher Automat ist festgelegt durch 

◮ eine endliche Zustandsmenge Z 

◮ einen Anfangszustand z0 ∈ Z 

◮ ein Eingabealphabet X 

◮ eine Überführungsfunktion f : Z × X → Z 

Ausgaben: kommen später dazu 


2.3 Beispiel 

◮ Zustandsmenge Z = {A, B, M, Q}, 

◮ Anfangszustand A 

◮ Eingabealphabet X = {0, 1, -} 

◮ Überführungsfunktion: A B M Q 

0 B B B Q 

A 

0,1 

0,1 

B 

1 

- 

B 

M 

B 

Q 

B 

Q 

Q 

Q 

- 0,1 

M 

- 

- 

Q 

0,1,- 



Endlicher Automat mit f : Z × X → Z 

Erweiterungen für Eingabe eines ganzen Wortes w ∈ X ∗ : 

◮ f ∗ (z, w) zuletzt erreichter Zustand 

f ∗ : Z × X ∗ → Z 

f ∗ (z, ε) = z 

∀w ∈ X ∗ ∀x ∈ X : f ∗ (z, wx) = f (f ∗ (z, w), x) 

◮ f ∗∗ (z, w) alle durchlaufenen Zustände 

f ∗∗ : Z × X ∗ → Z ∗ 

f ∗∗ (z, ε) = z 

∀w ∈ X ∗ ∀x ∈ X : f ∗∗ (z, wx) = f ∗∗ (z, w)f (f ∗ (z, w), x) 


2.5 (induktive Definitionen) 

Definitionen wie in 2.4 nennt man auch rekursiv oder induktiv. 

Z. B. Funktionswerte einer Funktion festgelegt durch 

◮ einen (oder evtl. mehrere) Funktionswerte für den (oder evtl. 

mehrere) „kleinste“ Argumentwerte und 

◮ Vorschrift, wie sich 

◮ aus Funktionswert(en) für „kleinere“ Argumentwerte 

◮ der Funktionswert für einen „größeren“ Argumentwert 

ergibt. 

Oben: „Größe“ des zweiten Arguments ist seine Länge 

◮ Kleinster Argumentwert: leeres Wort 

◮ von längeren Argumentwerten wird letztes Symbol abgespalten 

der kürzere Rest wird als kleinerer Argumentwert benutzt 


2.5 (induktive Beweise) 

Beweis einer Eigenschaft einer so definierten Funktion 

◮ kann unter Umständen dieser Struktur folgen 

◮ z. B. vollständige Induktion, wenn die Größe eine natürliche 

Zahl ist. 


2.6 Beispiel 

Zeige: Für alle z ∈ Z und alle w ∈ X ∗ gilt: 

|f ∗∗ (z, w)| = 1 + |w| . 

Es sei z ∈ Z beliebig. 

Wir führen eine Induktion über die Länge n = |w| von w: 

◮ Induktionsanfang n = 0: 

◮ Dann muss w = ε sein. Folglich: 

◮ |f ∗∗ (z, w)| = |f ∗∗ (z, ε)| = |z| = 1 = 1 + 0 = 1 + |ε| wie 

behauptet. 


2.6 Beispiel (Forts.) 

◮ Induktionsschritt n − 1 ❀ n: 

◮ Induktionsannahme oder Induktionsvoraussetzung: 

Für Wörter w ′ der Länge n − 1 gilt: 

|f ∗∗ (z, w ′ )| = 1 + |w ′ | = 1 + (n − 1) = n. 

◮ Wort w habe Länge n ≥ 1, also 

w = w ′ x mit |w ′ | = n − 1 und x ∈ X . 

◮ Laut Def.: f ∗∗ (z, w ′ x) = f ∗∗ (z, w ′ )f (f ∗ (z, w ′ ), x). Folglich 

◮ |f ∗∗ (z, w ′ x)| = |f ∗∗ (z, w ′ )f (f ∗ (z, w ′ ), x)| 

= |f ∗∗ (z, w ′ )| + |f (f ∗ (z, w ′ ), x)|. 

◮ Induktionsvoraussetzung: |f ∗∗ (z, w ′ )| = n. 

◮ Außerdem: |f (f ∗ (z, w ′ ), x)| = |f (. . . , x)| = 1 

◮ Insgesamt: |f ∗∗ (z, w ′ x)| = n + 1 wie behauptet. 


2.7 Beobachtung 

Für alle Wörter w1, w2 ∈ X ∗ und alle Zustände z gilt: 

f ∗ (z, w1w2) = f ∗ (f ∗ (z, w1), w2) . 

Das ist inhaltlich völlig banal. 

Trotzdem müsste man es genau genommen beweisen . . . 



◮ Ausgabealphabet Y 

◮ Ausgabefunktion g: zwei Varianten 

◮ Mealy-Automat: g : Z × X → Y 

für jede Eingabe bekommt man eine Ausgabe 

◮ Moore-Automat: g : Z → Y 

in jedem Zustand bekommt man eine Ausgabe 


2.10 Beispiel (Fortsetzung von 2.3) 




A 

0,1 

B 

- 0,1 

M 

0,1 

- 

- 

Q 

0,1,- 






◮ Y = {0, 1} 

A 

0,1 

B 

- 0,1 

M 

0,1 

- 

- 

Q 

0,1,- 






◮ Y = {0, 1} 

◮ g(B) = 1 und g(z) = 0 für alle z ∈ {A, M, Q} 

A 

0,1 

B 

- 0,1 

M 

0,1 

- 

- 

Q 

0,1,- 






◮ Y = {0, 1} 

◮ g(B) = 1 und g(z) = 0 für alle z ∈ {A, M, Q} 

A 

0,1 

B 

- 0,1 

M 

0,1 

- 

- 

Q 

0,1,- 


2.12 Festlegung 

◮ Sei Y = {0, 1} und nur das letzte Ausgabesymbol von 

Interesse 

◮ Zu Y und g äquivalente Spezifikation: 

Teilmenge F ⊂ Z der Zustände z mit Ausgabe g(z) = 1 

◮ in F : akzeptierende Zustände 

◮ So ein Automat heißt auch ein Akzeptor. 



Von endlichem Akzeptor M = (Z, z0, X , f , F ) erkannte Sprache: 

L(M) = {w ∈ X ∗ | f ∗ (z0, w) ∈ F } 



Von endlichem Akzeptor M = (Z, z0, X , f , F ) erkannte Sprache: 

L(M) = {w ∈ X ∗ | f ∗ (z0, w) ∈ F } 

Frage: Welche Sprachen kann man mit endlichen Akzeptoren 

erkennen? 


2.14 Beispiel 

Gesucht: endlicher Akzeptor für die formale Sprache 

L = {0 k 1 ℓ | k, ℓ ∈ N0} 

= {w ∈ {0, 1} ∗ | in w kommen alle 0 vor allen 1 } 


2.14 Beispiel 


L = {0 k 1 ℓ | k, ℓ ∈ N0} 

= {w ∈ {0, 1} ∗ | in w kommen alle 0 vor allen 1 } 

0 

1 

0,1 

1 0 

A B C 

Zustand A: noch keine 1 in der Eingabe 

Zustand B: schon mindestens eine 1 in der Eingabe, aber danach 

noch keine 0, 

Zustand C: Zeichenfolge 10 kam in der Eingabe vor 


2.15 Beispiel 


L = {w ∈ {0, 1} ∗ | in w kommen vor jeder 1 mindestens zwei 0 vor } 


2.15 Beispiel 


L = {w ∈ {0, 1} ∗ | in w kommen vor jeder 1 mindestens zwei 0 vor } 

0 0 

0 1 2 

1 

1 

Q 

1 

0,1 

Deterministische endliche Automaten 22/124 

0

2.16 Grenzen endlicher Akzeptoren 

Es gibt eine formale Sprache, die von keinem endlichen Akzeptor 

erkannt werden kann. Selbst dann, wenn man nur X = {0} erlaubt. 

Verschiedene Beweise; z. B.: 

1. Es gibt abzählbar unendlich viele („N viele“) endliche 

Akzeptoren. 

2. Es gibt überabzählbar unendlich viele („R viele“) formale 

Sprachen über {0}. 

3. Es gibt keine surjektive Abbildung von N auf R (Cantor). 

Man lernt aber auch etwas an konkreten Beispielen . . . 


2.17 Lemma 

Die formale Sprache 

L ={0 k 1 k | k ∈ N0} 

={000 · · · 0111 · · · 1 | Anzahl der 0 und Anzahl der 1 sind gleich} 

wird von keinem endlichen Akzeptor erkannt. 


2.17 Lemma 


L ={0 k 1 k | k ∈ N0} 

={000 · · · 0111 · · · 1 | Anzahl der 0 und Anzahl der 1 sind gleich} 


◮ L = {ε, 01, 0011, 000111, . . .} 

◮ z. B. 00111 /∈ L und 1010 /∈ L 


2.18 Beweisidee 

Mit endlich vielen Zuständen kann man sich nicht jede mögliche 

Länge des 0-Blockes merken, und das müsste man ja „irgendwie“ 

. . . 


2.19 Beweis 

◮ Beweis indirekt 

◮ Annahme, es gäbe doch einen endlichen Akzeptor 

M = (Z, z0, X , f , F ) mit L(M) = L. 

◮ Ziel: Widerspruch 

◮ Anzahl Zustände |Z| = m. 


2.19 Beweis 

◮ Beweis indirekt 

◮ Annahme, es gäbe doch einen endlichen Akzeptor 

M = (Z, z0, X , f , F ) mit L(M) = L. 

◮ Ziel: Widerspruch 

◮ Anzahl Zustände |Z| = m. 

◮ Drei Schritte: 

1. Betrachte spezielle Eingabe w = 0 m 1 m . 

2. Was genau macht der Automat für diese Eingabe . . . ? 

3. Aha! Dann können wir ihn doch „reinlegen“ . . . 


2.19 Beweis (2) 

1. Offensichtlich ist w = 0 m 1 m ∈ L. 

Da L(M) = L ist, muss M bei Eingabe w in einen Endzustand 

gelangen: f ∗ (z0, w) = zf ∈ F . 


2.19 Beweis (3) 

2. Betrachte durchlaufene Zustände für Eingabe 0 m : 

◮ das sind 


2.19 Beweis (3) 


◮ das sind 

◮ z0 


2.19 Beweis (3) 


◮ das sind 

◮ z0 

◮ f (z0, 0) = z1 


2.19 Beweis (3) 


◮ das sind 

◮ z0 

◮ f (z0, 0) = z1 

◮ f (z1, 0) = z2 


2.19 Beweis (3) 


◮ das sind 

◮ z0 

◮ f (z0, 0) = z1 

◮ f (z1, 0) = z2 

◮ . . . 


2.19 Beweis (3) 


◮ das sind 

◮ z0 

◮ f (z0, 0) = z1 

◮ f (z1, 0) = z2 

◮ . . . 

◮ f (zm−1, 0) = zm 


2.19 Beweis (3) 


◮ das sind 

◮ z0 

◮ f (z0, 0) = z1 

◮ f (z1, 0) = z2 

◮ . . . 

◮ f (zm−1, 0) = zm 

◮ f ∗∗ (z0, 0 m ) = z0z1 · · · zm. 


2.19 Beweis (3) 


◮ das sind 

◮ z0 

◮ f (z0, 0) = z1 

◮ f (z1, 0) = z2 

◮ . . . 

◮ f (zm−1, 0) = zm 

◮ f ∗∗ (z0, 0 m ) = z0z1 · · · zm. 

◮ Offensichtlich: f ∗ (zm, 1 m ) = zf ∈ F . 


2.19 Beweis (3) 


◮ das sind 

◮ z0 

◮ f (z0, 0) = z1 

◮ f (z1, 0) = z2 

◮ . . . 

◮ f (zm−1, 0) = zm 

◮ f ∗∗ (z0, 0 m ) = z0z1 · · · zm. 


◮ Liste z0z1 · · · zm besteht aus m + 1 Zuständen. 


2.19 Beweis (3) 


◮ das sind 

◮ z0 

◮ f (z0, 0) = z1 

◮ f (z1, 0) = z2 

◮ . . . 

◮ f (zm−1, 0) = zm 

◮ f ∗∗ (z0, 0 m ) = z0z1 · · · zm. 



◮ Aber M hat nur m verschiedene Zustände. 


2.19 Beweis (3) 


◮ das sind 

◮ z0 

◮ f (z0, 0) = z1 

◮ f (z1, 0) = z2 

◮ . . . 

◮ f (zm−1, 0) = zm 

◮ f ∗∗ (z0, 0 m ) = z0z1 · · · zm. 




◮ Also kommt mindestens ein Zustand doppelt vor. 


2.19 Beweis (3) 


◮ das sind 

◮ z0 

◮ f (z0, 0) = z1 

◮ f (z1, 0) = z2 

◮ . . . 

◮ f (zm−1, 0) = zm 

◮ f ∗∗ (z0, 0 m ) = z0z1 · · · zm. 




◮ Also kommt mindestens ein Zustand doppelt vor. 

◮ Automat befindet sich in einer Schleife. 


2.19 Beweis (4) 

2. (Forts.) Automat befindet sich in einer Schleife. 

◮ Sei zi das erste und zj das zweite Auftreten des ersten 

doppelten Zustandes. 

◮ Länge der Schleife: ℓ = j − i ≥ 1. 

◮ Automat bleibt in Schleife, solange Eingabesymbol 0. 

◮ Also ist auch zm−ℓ = zm. 

zf 

1 

· · · 

1 

zm+1 

· · · 

zj−1 

1 

0 

zm−ℓ = zm 

0 0 

z0 

0 

z1 

0 

· · · 

0 

zi = zj 

0 

0 

· · · 

0 

zi+1 = zj+1 


2.19 Beweis (5) 

3. Durchlaufe die Schleife einmal weniger: 

◮ betrachte Eingabe w ′ = 0 m−ℓ 1 m 


2.19 Beweis (5) 



◮ Was macht der Akzeptor? 


2.19 Beweis (5) 




◮ Nach Präfix 0 m−ℓ ist er in Zustand zm−ℓ und zm−ℓ = zm. 


2.19 Beweis (5) 





◮ Wir wissen: f ∗ (zm, 1 m ) = zf ∈ F . 


2.19 Beweis (5) 






◮ Also: 

f ∗ (z0, 0 m−ℓ 1 m ) 


2.19 Beweis (5) 






◮ Also: 

f ∗ (z0, 0 m−ℓ 1 m ) = f ∗ (f ∗ (z0, 0 m−ℓ ), 1 m ) 


2.19 Beweis (5) 






◮ Also: 

f ∗ (z0, 0 m−ℓ 1 m ) = f ∗ (f ∗ (z0, 0 m−ℓ ), 1 m ) 

= f ∗ (zm−ℓ, 1 m ) 


2.19 Beweis (5) 






◮ Also: 

f ∗ (z0, 0 m−ℓ 1 m ) = f ∗ (f ∗ (z0, 0 m−ℓ ), 1 m ) 

= f ∗ (zm−ℓ, 1 m ) 

= f ∗ (zm, 1 m ) 


2.19 Beweis (5) 






◮ Also: 

f ∗ (z0, 0 m−ℓ 1 m ) = f ∗ (f ∗ (z0, 0 m−ℓ ), 1 m ) 

= f ∗ (zm−ℓ, 1 m ) 

= f ∗ (zm, 1 m ) 

= zf ∈ F . 


2.19 Beweis (5) 






◮ Also: 

f ∗ (z0, 0 m−ℓ 1 m ) = f ∗ (f ∗ (z0, 0 m−ℓ ), 1 m ) 

= f ∗ (zm−ℓ, 1 m ) 

= f ∗ (zm, 1 m ) 

= zf ∈ F . 

◮ Also akzeptiert M Eingabe w ′ = 0 m−ℓ 1 m 


2.19 Beweis (5) 






◮ Also: 

f ∗ (z0, 0 m−ℓ 1 m ) = f ∗ (f ∗ (z0, 0 m−ℓ ), 1 m ) 

= f ∗ (zm−ℓ, 1 m ) 

= f ∗ (zm, 1 m ) 

= zf ∈ F . 


◮ Aber w ′ /∈ L ! 


2.19 Beweis (5) 






◮ Also: 

f ∗ (z0, 0 m−ℓ 1 m ) = f ∗ (f ∗ (z0, 0 m−ℓ ), 1 m ) 

= f ∗ (zm−ℓ, 1 m ) 

= f ∗ (zm, 1 m ) 

= zf ∈ F . 


◮ Aber w ′ /∈ L ! 

◮ Also ist L(M) = L. 


2.19 Beweis (5) 






◮ Also: 

f ∗ (z0, 0 m−ℓ 1 m ) = f ∗ (f ∗ (z0, 0 m−ℓ ), 1 m ) 

= f ∗ (zm−ℓ, 1 m ) 

= f ∗ (zm, 1 m ) 

= zf ∈ F . 


◮ Aber w ′ /∈ L ! 

◮ Also ist L(M) = L. 

◮ Widerspruch! 


2.20 Beispiel 


L = {0 k 1 i 0 k 1 j | i, j, k ∈ N} 





Grammatiken 




Reguläre Ausdrücke 32/124

Ziel 

◮ Definition regulärer Ausdruck 

◮ Definition der dadurch beschriebenen formalen Sprache 

◮ Zusammenhang mit endlichen Akzeptoren, Teil 1 



◮ Alphabet A enthalte keines der fünf Zeichen aus 

Z = {|, (, ), *, O/} 

◮ regulärer Ausdruck über A: Zeichenfolge über Alphabet A ∪ Z, 

die gewissen Vorschriften genügt. 

◮ Die Menge der regulären Ausdrücke ist wie folgt festgelegt: 

◮ O/ ist ein regulärer Ausdruck. 

◮ Für jedes a ∈ A ist a ein regulärer Ausdruck. 

◮ Wenn R1 und R2 reguläre Ausdrücke sind, 

dann auch (R1|R2) und (R1R2). 

◮ Wenn R ein regulärer Ausdruck ist, dann auch (R*). 

◮ Nichts anderes sind reguläre Ausdrücke. 

(Nur das, was man in 

◮ endlich vielen Schritten 

◮ aus den atomaren regulären Ausdrücken 

◮ gemäß obigen Regeln 

konstruieren kann.) 


Reguläre Ausdrücke (Forts.) 

Klammervereinfachungsregeln: 

◮ „Stern vor Punkt“ und „Punkt vor Strich“: 

R1|R2R3* statt (R1|(R2(R3*))) 

◮ „links vor rechts“: 

R1|R2|R3 statt ((R1|R2)|R3) 


2.22 Beispiele 

• O/ • 0 • 1 

• (01) • ((01)0) • (((01)0)0) • ((01)(00)) 

• (O/|1) • (0|1) • ((0(0|1))|1) • (0|(1|(0|0))) 

• (O/*) • (0*) • ((10)(1*)) • (((10)1)*) 

• ((0*)*) • (((((01)1)*)*)|(O/*)) 

Mit Klammereinsparungsregeln: 

• 01 • 010 • 0100 • 01(00) 

• O/|1 • 0|1 • 0(0|1)|1 • (0|(1|(0|0))) 

• O/* • 0* • 101* • (101)* 

• 0** • (011)**|O/* 


2.22 Nicht-Beispiele 

Das sind z. B. alles keine regulären Ausdrücke über {0, 1}: 

◮ (|1) 

◮ |O/| 

◮ ()01 

◮ ((01) 

◮ *(01) 

◮ 2* 



Von regulärem Ausdruck R beschriebene formale Sprache 〈R〉: 

◮ 〈O/〉 = ∅ (leere Menge). 

◮ Für a ∈ A ist 〈a〉 = {a}. 

◮ Sind R1 und R2 reguläre Ausdrücke, so ist 

〈R1|R2〉 = 〈R1〉 ∪ 〈R2〉. 

◮ Sind R1 und R2 reguläre Ausdrücke, so ist 

〈R1R2〉 = 〈R1〉 · 〈R2〉. 

◮ Ist R ein regulärer Ausdruck, so ist 〈R*〉 = 〈R〉 ∗ . 

Falls w ∈ 〈R〉 ist, sagt man auch 

„w passt zu dem Muster R“ oder „R matcht w“. 


2.24 Beispiele 

◮ R = 0|1: Dann ist 

〈R〉 = 〈0|1〉 = 〈0〉 ∪ 〈1〉 = {0} ∪ {1} = {0, 1}. 

◮ R = (0|1)*: Dann ist 

〈R〉 = 〈(0|1)*〉 = 〈0|1〉 ∗ = {0, 1} ∗ . 

◮ R = (0*1*)*: Dann ist 

〈R〉 = 〈(0*1*)*〉 = 〈0*1*〉 ∗ = (〈0*〉〈1*〉) ∗ = (〈0〉 ∗ 〈1〉 ∗ ) ∗ = 

({0} ∗ {1} ∗ ) ∗ . 

NB: {0, 1} ∗ = ({0} ∗ {1} ∗ ) ∗ , aber die 

regulären Ausdrücke (0|1)* und (0*1*)* sind verschieden! 


2.25 

Man kann eine formale Sprache durch verschiedene reguläre 

Ausdrücke beschreiben — wenn sie denn überhaupt so beschreibbar 

ist. 

Fragen: 

1. Welche formalen Sprachen sind denn durch reguläre Ausdrücke 

beschreibbar? 

2. Kann man algorithmisch von zwei beliebigen regulären 

Ausdrücken R1, R2 feststellen, ob sie die gleiche formale 

Sprache beschreiben, d. h. ob 〈R1〉 = 〈R2〉 ist? 


2.26 Äquivalenz regulärer Ausdrücke 

◮ Das Problem ist PSPACE-vollständig (was auch immer das 

sei). 

◮ Alle bisher bekannten Algorithmen sind sehr sehr langsam: die 

Rechenzeit wächst „stark exponentiell“ (z. B. wie 2n2 o.ä.) mit 

der Länge n der regulären Ausdrücke. 

◮ Man weiß nicht, ob es signifikant schnellere Algorithmen für 

das Problem gibt, aber man sie „nur“ noch nicht gefunden hat. 


2.27 Satz 

Für jede formale Sprache L sind die folgenden beiden Aussagen 

äquivalent: 

◮ L kann von einem endlichen Akzeptor erkannt werden. 

◮ L kann durch einen regulären Ausdruck beschrieben werden. 


2.27 Satz 

Für jede formale Sprache L sind die folgenden beiden Aussagen 

äquivalent: 

◮ L kann von einem endlichen Akzeptor erkannt werden. 

◮ L kann durch einen regulären Ausdruck beschrieben werden. 

Die eine Hälfte beweisen wir gleich, die andere später. 



Eine reguläre Sprache ist eine formale Sprache, die die 

Eigenschaften aus Satz 2.27 hat. 


2.29 Lemma 

Für jeden endlichen Akzeptor M ist L(M) durch einen regulären 

Ausdruck beschreibbar. 


2.30 Beweisskizze 

Nun 

◮ M = (Z, z0, X , f , F ) endlicher Akzeptor mit m = |Z| 

Zuständen 

◮ Zustände: z0, z1, . . . , zm−1 

◮ Für 0 ≤ k ≤ m sei Zk = {zℓ | ℓ < k} 

◮ also ist z. B. Z0 = ∅ und Zm = Z 

◮ definiere für alle i, j ∈ {0, 1, . . . , m − 1} und alle 

k ∈ {0, 1, . . . , m} die formale Sprache 

L k 

ij = w ∈ X ∗ 

 

 

f ∗∗ (zi, w) ∈ {zi}Z ∗ k {zj} 

 

∨ (i = j ∧ w = ε) 

Beachte: das hochgestellte k soll keine Potenz, sondern ein dritter 

„Index“ sein. 


2.30 Beweisskizze (2) 

Es gilt: 

1. L(M) kann man als Vereinigung einiger L k ij ausdrücken. 

2. Jede Sprache L k ij kann man durch einen regulären Ausdruck Rk ij 

beschreiben. 

Das geht so: 

1. Bezeichnet IF die Menge der Indizes der akzeptierenden 

Zustände, so ist 

L(M) = 

L m 0j . 

2. Beweis durch Induktion über k. 

j∈IF 



◮ Als erstes überlegt man sich, wie die Sprachen L 0 ij aussehen: 

L 0 ij = {w ∈ X ∗ | f ∗∗ (zi, w) ∈ {zi}Z ∗ 0 {zj} ∨ (i = j ∧ w = ε)} 

= {w ∈ X ∗ | f ∗∗ (zi, w) ∈ {zi}{zj} ∨ (i = j ∧ w = ε)} 

= {x ∈ X | f (zi, x) = zj} ∪ 

 

{ε} falls i = j 

{} falls i = j 

◮ Das sind endliche Mengen von Eingabesymbole (und evtl. ε), 

◮ also durch reguläre Ausdrücke R 0 ij beschreibbar. 



◮ Als erstes überlegt man sich, wie die Sprachen L 0 ij aussehen: 

L 0 ij = {w ∈ X ∗ | f ∗∗ (zi, w) ∈ {zi}Z ∗ 0 {zj} ∨ (i = j ∧ w = ε)} 

= {w ∈ X ∗ | f ∗∗ (zi, w) ∈ {zi}{zj} ∨ (i = j ∧ w = ε)} 

= {x ∈ X | f (zi, x) = zj} ∪ 

 

{ε} falls i = j 

{} falls i = j 

◮ Das sind endliche Mengen von Eingabesymbole (und evtl. ε), 

◮ also durch reguläre Ausdrücke R 0 ij beschreibbar. 

◮ Und für k > 0 gilt folgende Gleichung: 

Also ist dann 

L k ij = L k−1 

ij 

R k ij = (R k−1 

ij 

∪ Lk−1 

i,k−1 (Lk−1 

k−1,k−1 )∗L k−1 

k−1,j 

| (R k−1 

i,k−1 (Rk−1 

k−1,k−1 )* Rk−1 

k−1,j )) 

und man kann ausgehend von den R0 ij sukzessive die R1 ij , die 

R2 ij , usw. bis zu den Rm ij konstruieren. 


2.31 Warum so spartanisch? 

◮ Frage: Warum nicht auch Symbole für die 

mengentheoretischen Operationen Durchschnitt und 

Komplementbildung in regulären Ausdrücken? 

◮ Man könnte ja zum Beispiel Definition 2.22 um den Punkt 

◮ Wenn R ein regulärer Ausdruck ist, dann auch (^R). 

erweitern und Definition 2.24 um 

◮ Ist R ein regulärer Ausdruck, so ist 〈(^R)〉 = A ∗ 〈R〉. 

◮ Antwort: Das ist überflüssig. 


2.32 Satz 

Sind L1 und L2 reguläre Sprachen über einem Alphabet A, dann 

sind auch A ∗ L1 und L1 ∩ L2 reguläre Sprachen. 


2.33 Beweis 

Benutze die Charakterisierung über endliche Akzeptoren. 

Es seien M1 = (Z1, A, f1, F1, z01) resp. M2 = (Z2, A, f2, F2, z02) 

endliche Akzeptoren von L1 resp. L2. 

◮ Komplement: 

endlicher Akzeptor M ′ für A ∗ L1: 

muss genau dann akzeptieren, wenn M1 nicht akzeptiert. 


2.33 Beweis 

Benutze die Charakterisierung über endliche Akzeptoren. 

Es seien M1 = (Z1, A, f1, F1, z01) resp. M2 = (Z2, A, f2, F2, z02) 

endliche Akzeptoren von L1 resp. L2. 

◮ Komplement: 

endlicher Akzeptor M ′ für A ∗ L1: 

muss genau dann akzeptieren, wenn M1 nicht akzeptiert. 

Also leistet M ′ = (Z1, A, f1, Z1 F1, z01) das Gewünschte. 


2.33 Beweis (2) 

◮ Durchschnitt: 

◮ Konstruiere M = (Z, z0, A, f , F ) mit L(M) = L1 ∩ L2. 

◮ Idee: beide Akzeptoren M1 und M2 „parallel“ laufen lassen. 

◮ M „merkt sich“ immer sowohl den Zustand, in dem M1 nach 

einer Eingabe wäre, als auch den, in dem M2 danach wäre: 

◮ Z = Z1 × Z2 = {(z1, z2) | z1 ∈ Z1 ∧ z2 ∈ Z2}; 

◮ z0 = (z01, z02). 

◮ für alle (z1, z2) ∈ Z und alle a ∈ A: 

f ((z1, z2), a) = (f1(z1, a), f2(z2, a)), 

denn M soll die Arbeit beider Akzeptoren Mi nachvollziehen; 

◮ F = F1 × F2, denn M soll genau dann akzeptieren, wenn ein 

Eingabewort in L1 ∩ L2 liegt, also wenn beide Akzeptoren Mi 

es akzeptieren. 




Grammatiken 




Grammatiken 52/124


(erzeugende) Grammatik G = (N, T , S, P); dabei 

◮ N Alphabet der Nichtterminalsymbole, 

◮ T Alphabet der Terminalsymbole, zu N disjunkt, 

◮ S ∈ N ausgezeichnetes Startsymbol und 

◮ P ⊂ V ∗ NV ∗ × V ∗ endliche Menge von Produktionen. 

Abkürzung: V = N ∪ T . 

Produktion: 

◮ (v, w) ∈ P, meist geschrieben als v → w 

◮ linke Seite v ∈ V ∗ NV ∗ muss Nichtterminalsymbol enthalten 

◮ rechte Seite w ∈ V ∗ beliebig 

◮ gelesen: „v geht über in w“, „v wird ersetzt durch w“, o.ä. 

Grammatiken 53/124

2.35 Abkürzung 

◮ statt v → w1, v → w2, v → w3 

◮ kürzer v → w1|w2|w3 

Grammatiken 54/124

2.36 Beispiel 

G = (N, T , S, P) mit 

◮ N = {X } 

◮ T = {0, 1} 

◮ S = X 

◮ P = {X → 01, X → 0X 1} = {X → 01|0X 1} 

Grammatiken 55/124

2.37 Beispiel 

G = ({B, Q, S, X , Y , Z}, {a}, S, P) mit 

⎧ 

⎫ 

⎪⎨ 

S → aXBZ, 

⎪⎬ 

XB → Q, QB → Q, QZ → ε, 

P = 

⎪⎩ 

XB → aXYB, YB → aaBY , YZ → BZ, ⎪⎭ 

X a → aX , Ba → aB 

Wofür auch immer dieses Kauderwelsch gut sein mag . . . 

Grammatiken 56/124

2.38 Beispiel 

G = (N, T , S, P) mit 

◮ N = {Xz, Xm, Xv , Xn, Xe, Xb} 

◮ T = {0, 1, -, ., E} 

◮ S = Xz 

◮ P = { Xz → XmXv XnXe 

Xm → - | ε 

Xv → Xb 

Xn → .Xb | ε 

Xe → EXmXb | ε 

Xb → 0Xb | 1Xb | 0 | 1 

} 

Grammatiken 57/124

2.38 Beispiel: besser 

lesbare Form mit Folgen deutscher Buchstaben umgeben von 

spitzen Klammern als einzelnen Nichtterminalsymbolen: 

◮ N = { 〈zahl〉, 〈opt.minus〉, 〈vorkomma〉, 〈opt.nachkomma〉, 

〈opt.exponent〉, 〈bitfolge〉 } 

◮ T = {0, 1, -, ., E} 

◮ S = 〈zahl〉 

◮ P = { 〈zahl〉 → 〈opt.minus〉〈vorkomma〉· 

·〈opt.nachkomma〉〈opt.exponent〉 

〈opt.minus〉 → - | ε 

〈vorkomma〉 → 〈bitfolge〉 

〈opt.nachkomma〉 → .〈bitfolge〉 | ε 

〈opt.exponent〉 → E〈opt.minus〉〈bitfolge〉 | ε 

〈bitfolge〉 → 0〈bitfolge〉 | 1〈bitfolge〉 | 0 | 1 

} 

Grammatiken 58/124


Es sei G = (N, T , S, P) eine Grammatik und w1, w2 ∈ V ∗ 

◮ w1 ⇒ w2, 

falls es Wörter u, u ′ ∈ V ∗ und Produktion v → w gibt, so dass 

w1 = uvu ′ und w2 = uwu ′ ist. 

Gelegentlich deutlicher: uvu ′ ⇒ uwu ′ . 

◮ w1 ⇒ ∗ w2, falls 

Also: 

◮ w1 = w2 oder 

◮ es gibt ein w ∈ V ∗ mit w1 ⇒ ∗ w und w ⇒ w2 

◮ Wenn w1 ⇒ w2, dann w1 ⇒ ∗ w2 

◮ w1 ⇒ ∗ w2, falls man in endlich vielen Schritten 

mit ⇒ von w1 zu w2 kommt. 

◮ Wenn w1 ⇒ ∗ w2 und w2 ⇒ ∗ w3, dann auch w1 ⇒ ∗ w3. 

◮ ⇒ ∗ ist die reflexiv-transitive Hülle von ⇒. 

Grammatiken 59/124

2.40 Beispiel 

Grammatik aus 2.38: 

Xz ⇒ XmXv XnXe 

⇒ -Xv XnXe 

⇒ -Xv εXe 

⇒ -XbXe 

⇒ -1XbXe 

⇒ -10XbXe 

⇒ -101Xe 

⇒ -101 

und deswegen also Xz ⇒ ∗ -101 

Grammatiken 60/124

2.40 Beispiel (Fortsetzung) 

Was kann man aus Xb mit den Produktionen 

Xb → 0Xb | 1Xb | 0 | 1 ableiten? 

◮ Xb ⇒ 0 und Xb ⇒ 1. 

◮ Xb ⇒ 0Xb ⇒ 00 und Xb ⇒ 0Xb ⇒ 01 sowie 

Xb ⇒ 1Xb ⇒ 10 und Xb ⇒ 1Xb ⇒ 11. 

◮ „und so weiter“. 

Genauer gesagt: 

Für jedes k ∈ N und jedes Wort w ∈ {0, 1} k gilt Xb ⇒ ∗ w und 

Xb ⇒ ∗ wXb. 

Grammatiken 61/124

2.40 Beispiel (Fortsetzung) 

Behauptung: 

Für alle k ∈ N und alle w ∈ {0, 1} k gilt: Xb ⇒ ∗ w und 

Xb ⇒ ∗ wXb. 

◮ Induktionsanfang k = 1: 

„offensichtlich“ richtig. 

◮ Induktionsschritt k ❀ k + 1: 

betrachte beliebiges w = w ′ x ∈ {0, 1} k {0, 1}. Zeige: 

◮ Xb ⇒ ∗ w 

◮ Xb ⇒ ∗ wXb 

Induktionsvoraussetzung: Xb ⇒ ∗ w ′ Xb. 

◮ Da Xb → x Produktion, gilt auch w ′ Xb ⇒ w ′ x, also Xb ⇒ ∗ w. 

◮ Außerdem ist Xb → xXb Produktion. Folglich: 

Xb ⇒ ∗ w ′ Xb ⇒ w ′ xXb = wXb. 

Grammatiken 62/124


Die von einer Grammatik G = (N, T , S, P) erzeugte Sprache ist 

L(G) = {w ∈ T ∗ | S ⇒ ∗ w}. 

Beachte: nur Wörter aus Terminalsymbolen werden aufgenommen. 

Grammatiken 63/124

2.42 Beispiel 

G = ({X }, {0, 1}, X , {X → 01, X → 0X 1}. 

◮ Ableitung eines Terminalwortes muss mit Produktion X → 01 

enden. 

◮ Vorher muss man (wenn überhaupt) stets Produktion 

X → 0X 1 anwenden. 

◮ Wenn das k − 1 mal geschieht, ergibt sich 

X ⇒ 0X 1 ⇒ 00X 11 ⇒ · · · ⇒ 0 k−1 X 1 k−1 ⇒ 0 k 1 k . 

◮ Also ist L(G) = {0 k 1 k | k ∈ N}. 

◮ Vgl. 2.17: Sprache wird von keinem endlichen Akzeptor 

erkannt. 

◮ Man kann mit Grammatiken formale Sprachen spezifizieren 

(erzeugen), die man mit endlichen Akzeptoren nicht 

spezifizieren (erkennen) kann. 

Grammatiken 64/124

2.43 Beispiel 

Grammatik aus 2.37 

Was kann man mit 

⎧ 

⎫ 

⎪⎨ 

S → aXBZ, 

⎪⎬ 

XB → Q, QB → Q, QZ → ε, 

P = 

ableiten? 

⎪⎩ 

XB → aXYB, YB → aaBY , YZ → BZ, ⎪⎭ 

X a → aX , Ba → aB 

Behauptungen: 

◮ Für alle k ∈ N gilt: XB k Z ⇒ ∗ ε. 

◮ Für alle k ∈ N gilt: XB k Z ⇒ ∗ a 2k+1 XB k+1 Z. 

◮ Für alle k ∈ N gilt: ak2XBk Z ⇒∗ a (k+1)2XBk+1Z. 

◮ L(G) = {a k2 

| k ∈ N}. 

Grammatiken 65/124

2.44 Beispiel 

Betrachte G = (N, T , S, P) mit 

◮ N = {X0, X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7} 

◮ T = {0, 1, -, ., E} 

◮ S = X0 

◮ P = { X0 → -X1 | X1 

X1 → 0X2 | 1X2 

X2 → 0X2 | 1X2 | ε | X3 

X3 → .0X4 | .1X4 | X5 

X4 → 0X4 | 1X4 | ε | X5 

X5 → E-X6 | EX6 

X6 → 0X7 | 1X7 

X7 → 0X7 | 1X7 | ε 

} 

Grammatiken 66/124

Scharfes Hinsehen ergibt 

◮ Auch diese Grammatik erzeugt die formale Sprache gewisser 

Zahldarstellungen wie die Grammatik in Beispiel 2.38. 

◮ Unterschied zu vorhin: 

◮ auf der rechten Seite immer nur ein Nichtterminalsymbol 

◮ und außerdem immer am rechten Ende 

◮ Also werden bei jeder Ableitung eines terminalen Wortes die 

Symbole „der Reihe nach von links nach rechts“ erzeugt. 

Grammatiken 67/124

Scharfes Hinsehen ergibt 

◮ Auch diese Grammatik erzeugt die formale Sprache gewisser 

Zahldarstellungen wie die Grammatik in Beispiel 2.38. 

◮ Unterschied zu vorhin: 

◮ auf der rechten Seite immer nur ein Nichtterminalsymbol 

◮ und außerdem immer am rechten Ende 

◮ Also werden bei jeder Ableitung eines terminalen Wortes die 

Symbole „der Reihe nach von links nach rechts“ erzeugt. 

◮ Ein endlicher Akzeptor liest die Symbole des Eingabewortes 

„der Reihe nach von links nach rechts“. 

◮ Na? 

Grammatiken 67/124



Grammatiken 




Typ-3-Grammatiken 68/124

Ziele 

◮ Definition des am weitesten eingeschränkten Grammatiktyps 

◮ Zusammenhang mit regulären Ausdrücken 



Eine Typ-3-Grammatik ist eine Grammatik, bei der jede Produktion 

◮ entweder von der Form X → w 

◮ oder von der Form X → wY 

ist, wobei w ∈ T ∗ und X , Y ∈ N. 

Sprechweisen: rechtslineare Produktionen und rechtslineare 

Grammatiken 


2.48 Satz 

Für jede formale Sprache L sind die folgenden drei Aussagen 

äquivalent: 

1. L kann von einem endlichen Akzeptor erkannt werden. 

2. L kann durch einen regulären Ausdruck beschrieben werden. 

3. L kann von einer Typ-3-Grammatik erzeugt werden. 


2.49 Lemma 

Wird eine formale Sprache L von einem endlichen Akzeptor erkannt, 

dann kann sie auch von einer Typ-3-Grammatik erzeugt werden. 



Es sei M = (Z, z0, X , f , F ) ein endlicher Akzeptor. 

Definiere G = (N, T , S, P) wie folgt: 

◮ N = {Xz | z ∈ Z} 

◮ T = X 

◮ S = Xz0 

◮ P = {Xz → xXz ′ | f (z, x) = z′ } ∪ {Xz → ε | z ∈ F }. 





◮ N = {Xz | z ∈ Z} 

◮ T = X 

◮ S = Xz0 

◮ P = {Xz → xXz ′ | f (z, x) = z′ } ∪ {Xz → ε | z ∈ F }. M.a.W.: 

◮ Wenn M bei Eingabe x von Zustand z in Zustand z ′ übergeht, 





◮ N = {Xz | z ∈ Z} 

◮ T = X 

◮ S = Xz0 



◮ dann und nur dann 





◮ N = {Xz | z ∈ Z} 

◮ T = X 

◮ S = Xz0 




◮ erlaubt die Grammatik die Erzeugung von x beim Übergang 

vom Nichtterminalsymbol Xz zum Nichtterminalsymbol Xz ′ 





◮ N = {Xz | z ∈ Z} 

◮ T = X 

◮ S = Xz0 






Man müsste nun beweisen, dass L(G) = L(M) ist, 





◮ N = {Xz | z ∈ Z} 

◮ T = X 

◮ S = Xz0 






Man müsste nun beweisen, dass L(G) = L(M) ist, also 

◮ L(G) ⊇ L(M), d. h. G erzeugt alle „richtigen“ Wörter 

◮ L(G) ⊆ L(M), d. h. G erzeugt keine „falschen“ Wörter 


2.52 Lemma 

Sind G1 = (N1, T1, X01, P1) und G2 = (N2, T2, X02, P2) zwei T3G, 

dann gibt es T3G GV , GK und GS, so dass gilt: 

a) L(GV ) = L(G1) ∪ L(G2) 

b) L(GK ) = L(G1)L(G2) 

c) L(GS) = L(G1) ∗ 



O. B. d. A. seien N1 und N2 disjunkt. 

a) Man wählt ein „neues“ Nichtterminalsymbol XV und setzt 

GV = (NV , TV , XV , PV ) mit NV = N1 ∪ N2 ∪ {XV }, 

TV = T1 ∪ T2, und PV = P1 ∪ P2 ∪ {X → X01|X02}. 

b) Man setzt GK = (NK , TK , X01, PK ) mit NK = N1 ∪ N2, 

TK = T1 ∪ T2, und 

PK = ((P1 ∪ P2) {X → w | w ∈ T ∗ 1 ∧ X → w ∈ P1}) 

∧ X → w ∈ P1}. 

∪{X → wX02 | w ∈ T ∗ 1 

c) GS kann man nach einer ähnlichen Idee konstruieren wir GK : 

Übungsaufgabe. 

Beachte: Die Disjunktheit von N1 und N2 ist wichtig! 


2.54 Korollar 

Zu jedem regulären Ausdruck R gibt es eine Typ-3-Grammatik G 

mit L(G) = 〈R〉. 




Grammatiken 




Nichtdeterministische endliche Automaten 77/124

Ziele 

◮ Definition dieser Verallgemeinerung von DEA 

◮ Zusammenhang mit T3G und DEA 



Für eine Menge Z bezeichne 2 Z die Potenzmenge von Z, d. h. 

die Menge, deren Elemente gerade die Teilmengen von Z sind. 


2.57 Beispiel 

1. Ist Z = {0}, dann ist 2 Z = {∅, {0}}. 

2. Ist Z = {0, 1}, dann ist 2 Z = {∅, {0}, {1}, {0, 1}}. 

3. Ist Z = {0, 1, 2}, dann ist 

2 Z = {∅, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}}. 

4. Ist Z = ∅, dann ist 2 Z = {∅}. 

Schreibweise 2 Z : 

Für eine endliche Menge Z mit n Elementen 

hat ihre Potenzmenge gerade 2 n Elemente: 2 Z = 2 |Z| . 



Ein nichtdeterministischer endlicher Akzeptor (kurz NEA) 

N = (Z, z0, X , g, F ) ist festgelegt durch: 

◮ eine endliche Zustandsmenge Z, 

◮ einen Anfangszustand z0 ∈ Z, 

◮ ein Eingabealphabet X , 

◮ eine Menge F ⊆ Z akzeptierender Zustände und 

◮ eine Überführungsfunktion g : Z × X ∗ → 2 Z , 

wobei nur für endlich viele Paare (z, w) gilt: g(z, w) = ∅. 


2.60 Interpretation 

Es sei g(z, w) = {z1, . . . , zk}. 

Dies bedeutet, dass der NEA von Zustand z bei Eingabe von w 

◮ in den Zustand z1 übergehen kann oder 

◮ in den Zustand z2 übergehen kann oder 

◮ usw. . . . oder 

◮ in den Zustand zk übergehen kann. 

Schreibweise: z w 

−→ zi 


2.60 Interpretation (2) 

Beachte: 

◮ |g(z, w)| ≥ 2: neuer Zustand nicht eindeutig, 

nichtdeterministischer endlicher Akzeptor (NEA) 

◮ g(z, w) = ∅: NEA kann dann in keinen neuen Zustand 

übergehen. 

◮ |w| ≥ 2: Übergang nur für ganze Folge von Eingabezeichen 

◮ |w| = ε: „spontaner“ Zustandsübergang 


2.61 Beispiel 

◮ Z = {0, 1, 2} 

◮ Anfangszustand 0 

◮ X = {0, 1} 

◮ F = Z 

◮ Überführungsfunktion: 

0 1 2 

0 {1} {2} {2} 

1 ∅ ∅ {0} 

1 

0 0 

0 1 2 

Nichtdeterministische endliche Automaten 84/124 

0

2.61 Beispiel 

◮ Z = {0, 1, 2} 

◮ Anfangszustand 0 

◮ X = {0, 1} 

◮ F = Z 


0 1 2 

0 {1} {2} {2} 

1 ∅ ∅ {0} 

Beachte: 

◮ Alle Zustände sind akzeptierend, 

◮ aber es werden nicht alle Wörter akzeptiert! 

1 

0 0 

0 1 2 


0


Für z1, z2 ∈ Z und w ∈ X ∗ schreibt man z1 w 

−→ ∗ z2 falls 

◮ z1 = z2 und w = ε ist oder 

◮ es z ′ ∈ Z und w ′ , w ′′ ∈ X ∗ gibt mit w = w ′ w ′′ und 

w ′ 

z1 −→ ∗ z ′ w ′′ 

−→ z2 

Damit ist g ∗ : Z × X ∗ → 2Z definiert durch 

g ∗ (z1, w) = {z2 | z1 w 

−→ ∗ z2} . 



Von nichtdeterministischem endlichen Automaten N erkannte 

Sprache: 

L(N) = {w ∈ X ∗ | g ∗ (z0, w) ∩ F = ∅} 

Das sind alle Wörter, bei deren Eingabe N vom Anfangszustand z0 

in einen akzeptierenden Zustand z ∈ F übergehen kann. 



Von nichtdeterministischem endlichen Automaten N erkannte 

Sprache: 

L(N) = {w ∈ X ∗ | g ∗ (z0, w) ∩ F = ∅} 

Das sind alle Wörter, bei deren Eingabe N vom Anfangszustand z0 

in einen akzeptierenden Zustand z ∈ F übergehen kann. 

Äquivalent ist 

L(N) = {w ∈ X ∗ | ∃zf ∈ F : z0 w 

−→ ∗ zf } 


2.66 Beispiel 

◮ N = ({0, 2, 5}, 0, {0, 1}, g, {2, 5}) 


0 2 5 

ε {2, 5} ∅ ∅ 

01 ∅ {2} ∅ 

001 ∅ ∅ {5} 

Welche Eingabewörter akzeptiert N? 


0 

ε 

ε 

2 

5 

01 

001

2.68 Lemma 

Zu jeder T3G G gibt es einen NEA N mit L(N) = L(G). 



◮ Sei G = (N, T , X0, P) eine T3G, d. h. 

jede Produktion ist von einer der Formen X → w oder 

X → wY 

◮ Konstruiere NEA N = (Z, z0, X , g, F ) wie folgt: 

◮ Z = {zX | X ∈ N} ∪ {zf }; dabei ist zf ein „neuer“ Zustand; 

◮ z0 = zX0 ; 

◮ X = T ; 

◮ F = {zf }; 

◮ g(zX , w) = {zY | X → wY ∈ P} ∪ {zf | X → w ∈ P}. 


2.70 Lemma 

Zu jedem NEA N gibt es einen DEA M mit L(M) = L(N). 


2.70 Lemma 

Zu jedem NEA N gibt es einen DEA M mit L(M) = L(N). 

Beweis konstruktiv in drei Schritten: 

1. Beseitigung von Übergängen z w 

−→ z ′ mit |w| ≥ 2; 

2. Beseitigung von Übergängen z 

ε 

−→ z ′ ; 

3. Beseitigung von Nichtdeterminismus, d. h. der Fälle 

|g(z, w)| ≥ 2 und g(z, w) = ∅. 


2.71 Beweisskizze (Schritt 1) 

Für w = x1x2 · · · xk wähle man neue Zustände z1, . . . , zk−1 und 

ersetze 

z w 

−→ z ′ 

durch z x1 

−→ z1 

x2 

−→ z2 · · · zk−1 

x k 

−→ z ′ : 



Für w = x1x2 · · · xk wähle man neue Zustände z1, . . . , zk−1 und 

ersetze 

z w 

−→ z ′ 

0 

ε 

ε 

2 

5 

durch z x1 

−→ z1 

01 

001 

wird zu 0 

x2 

−→ z2 · · · zk−1 

x k 

−→ z ′ : 

1 

1 2 

ε 

0 

ε 

0 1 

3 4 5 


0


ε ′ a 

−→z ′′ a 

füge Übergang z −→ z ′′ hinzu. 

◮ Für z ′′ a ε 

−→ z−→z ′ füge Übergang z ′′ a 

−→ z ′ hinzu. 

ε 

◮ Entferne z −→ z ′ aus dem NEA. 

◮ Für z −→ z 



ε ′ a 

−→z ′′ a 





ε 


◮ Für z −→ z 

Falsch! Falsch! Falsch! Falsch! Falsch! Falsch! Falsch! Falsch! 



ε ′ a 

−→z ′′ a 





ε 


◮ Für z −→ z 

Falsch! Falsch! Falsch! Falsch! Falsch! Falsch! Falsch! Falsch! 

0 

1 

1 2 

ε 

0 

ε 

0 1 

3 4 5 

0 

würde zu 0 

0 

0 

0 

1 

1 2 

0 1 

3 4 5 


0

2.72 Beweisskizze (Schritt 2): richtig gemacht 

Vor Entfernung der ε-Übergänge muss man F vergrößern: 

◮ Wenn z 

ε 

−→ z ′ ein Übergang mit z ′ ∈ F ist, 

◮ dann nehme man z zu F hinzu. 

0 

1 

1 2 

ε 

0 

ε 

0 1 

3 4 5 

0 

wird zu 0 

1 

1 2 

ε 

0 

ε 

0 1 

3 4 5 


0

2.72 Beweisskizze (Schritt 2): richtig gemacht 

Anschließend Entfernung der ε-Übergänge: 

0 

1 

1 2 

ε 

0 

ε 

0 1 

3 4 5 

0 

wird zu 0 

0 

0 

0 

1 

1 2 

0 1 

3 4 5 


0

2.73 Zum Nachdenken 

◮ Vergrößerung von F ändert nichts an der akzeptierten Sprache. 

◮ Es wäre falsch, auch die „umgekehrte“ Vergrößerung von F 

durchzuführen. 

ε 

Damit ist gemeint: Ist z −→ z ′ ein Übergang und ist z ∈ F , 

dann kann die Hinzunahme von z ′ zu F dazu führen, dass sich 

die vom NEA akzeptierte Sprache ändert. 

◮ Entfernung der ε-Übergänge und deren Ersetzung durch 

andere Übergänge ändert nichts an der akzeptierten Sprache. 



◮ Gegeben NEA N = (ZN, z0N, X , g, FN), der schon obige 

„Normalisierungsschritte“ durchlaufen hat. 

◮ Alle Übergänge sind für einzelne Symbole. 

◮ Konstruiere äquivalenten DEA M = (ZM, z0M, X , f , FM) 

aber wie? 



◮ Gegeben NEA N = (ZN, z0N, X , g, FN), der schon obige 

„Normalisierungsschritte“ durchlaufen hat. 

◮ Alle Übergänge sind für einzelne Symbole. 

◮ Konstruiere äquivalenten DEA M = (ZM, z0M, X , f , FM) 

wie folgt: 

◮ ZM = 2ZN , also die Teilmengen S ⊆ ZN von Zuständen von N. 

◮ z0M = {z0N}. 

◮ FM = {S ⊂ ZN | S ∩ FN = ∅}. 

◮ f : ZM × X → ZM mit f (S, x) = 

g(z, x). 

z∈S 

◮ Es bliebe im wesentlichen zu zeigen, dass für alle S ⊆ ZN und 

alle w ∈ X ∗ gilt: g ∗ (S, w) = f ∗ (S, w). 

◮ Das ist wirklich nur noch langweilig, also . . . 


2.75 Explosion 

◮ Bei der eben beschriebenen Konstruktion explodiert die 

Zustandszahl. 

◮ Wenn der NEA k Zustände hat, dann hat der zugehörige 

äquivalente DEA 2 k Zustände. 

◮ Für manche regulären Sprachen muss das so sein. Selbst der 

kleinste DEA hat für sie so viele Zustände mehr als der 

kleinste NEA. 

◮ Und solche Beispiele gibt es für beliebig „komplizierte“ reguläre 

Sprachen, soll heißen auch solche, die schon 

nichtdeterministisch sehr viele Zustände erfordern. 


2.76 Zusammenfassung 

◮ Zu jedem DEA gibt es einen äquivalenten regulären Ausdruck. 

◮ Zu jedem regulären Ausdruck gibt es eine äquivalenten 

Typ-3-Grammatik. 

◮ Zu jeder Typ-3-Grammatik gibt es einen äquivalenten NEA. 

◮ Zu jedem NEA gibt es einen äquivalenten DEA. 




Grammatiken 




Zustandsminimierung endlicher Automaten 99/124

Ziel 

ein Algorithmus, der zu jedem DEA M einen DEA M ′ konstruiert, 

so dass 

◮ L(M) = L(M ′ ) und 

◮ unter allen solchen DEA M ′ minimale Zustandszahl hat. 


2.77 Mitteilung 

Man kann zeigen: Minimale DEA sind bis auf Isomorphie eindeutig, 

d.h. alle minimalen ergeben sich auseinander durch Umbenennung 

der Zustände. 



◮ Betrachte M = ({A, B, C, D}, A, {0, 1}, f , {A}) mit 

f (z, x) = z für alle z und alle x. 



◮ Betrachte M = ({A, B, C, D}, A, {0, 1}, f , {A}) mit 

f (z, x) = z für alle z und alle x. 

◮ Man kann sich auf jeden Fall auf die von z0 aus erreichbaren 

Zustände beschränken! 


2.79 Lemma 

Es sei M = (Z, z0, X , f , F ) DEA mit z, z ′ ∈ Z 

Ist z ′ von z durch Eingabe w erreichbar, d. h. f ∗ (z, w) = z ′ , 

dann gibt es w ′ mit f ∗ (z, w ′ ) = z ′ und |w ′ | ≤ |Z| − 1. 



◮ Es sei f ∗ (z, w) = z ′ . 



◮ Es sei f ∗ (z, w) = z ′ . 

◮ Ist |w| < |Z|, dann ist man schon fertig. 



◮ Es sei f ∗ (z, w) = z ′ . 


◮ Sonst: w = x1 · · · xn mit xi ∈ X und |w| = n ≥ |Z|. 



◮ Es sei f ∗ (z, w) = z ′ . 



◮ Betrachte Folge z, z1 = f ∗ (z, x1), z2 = f ∗ (z, x1x2), . . . , 

zn = f ∗ (z, x1 · · · xn). 



◮ Es sei f ∗ (z, w) = z ′ . 




zn = f ∗ (z, x1 · · · xn). 

◮ Das sind n + 1 > |Z| Zustände, d. h. mindestens einer kommt 

doppelt vor 



◮ Es sei f ∗ (z, w) = z ′ . 




zn = f ∗ (z, x1 · · · xn). 


doppelt vor 

=⇒ Schleifen 



◮ Es sei f ∗ (z, w) = z ′ . 




zn = f ∗ (z, x1 · · · xn). 


doppelt vor 


◮ Vage formuliert: Entferne aus w alle Symbole, die zu Schleifen 

gehören. 



◮ Es sei f ∗ (z, w) = z ′ . 




zn = f ∗ (z, x1 · · · xn). 


doppelt vor 



gehören. 

◮ Dann ergibt sich w ′ = x ′ 1 · · · x ′ k mit: 



◮ Es sei f ∗ (z, w) = z ′ . 




zn = f ∗ (z, x1 · · · xn). 


doppelt vor 



gehören. 


◮ f ∗ (z, w ′ ) = z ′ 



◮ Es sei f ∗ (z, w) = z ′ . 




zn = f ∗ (z, x1 · · · xn). 


doppelt vor 



gehören. 


◮ f ∗ (z, w ′ ) = z ′ 

), . . . , 

) enthält keinen Zustand doppelt. 

◮ Folge z, z ′ 1 = f ∗ (z, x ′ 1 ), z′ 2 = f ∗ (z, x ′ 1x ′ 2 

z ′ n = f ∗ (z, x ′ 1 · · · x ′ k 



◮ Es sei f ∗ (z, w) = z ′ . 




zn = f ∗ (z, x1 · · · xn). 


doppelt vor 



gehören. 


◮ f ∗ (z, w ′ ) = z ′ 

), . . . , 

◮ Folge z, z ′ 1 = f ∗ (z, x ′ 1 ), z′ 2 = f ∗ (z, x ′ 1x ′ 2 

z ′ n = f ∗ (z, x ′ 1 · · · x ′ k ) enthält keinen Zustand doppelt. 

◮ Also muss 1 + k ≤ |Z| sein, d. h. |w ′ | < |Z|. 


2.81 Korollar 

◮ Um zu prüfen, ob ein Zustand z von z0 aus erreichbar ist, 

muss man nur 

◮ für die endlich vielen „kurzen“ Wörter 

w ∈ 

|Z|−1 

 

i=0 

überprüfen, ob f ∗ (z0, w) = z ist. 

X i 

Der folgende Algorithmus ist noch „schlauer“. 


2.82 Algorithmus 

S und S ′ speichern jeweils eine Teilmenge aller Zustände des 

Automaten: 

S ← {z0} 

repeat 

S ′ ← S 

for each (z, x) ∈ S ′ × X do 

S ← S ∪ {f (z, x)} 

od 

until S ′ = S 

Achtung: Tippfehler in einer alten Version des Skripts! 

Es muss S ← S ∪ {f (z, x)} heißen 

(Ist behoben, richtig?) 


2.83 Überlegung 

◮ Ein DEA kann sich mit Hilfe seiner Zustände gewisse 

Unterschiede bei verarbeiteten Eingaben merken. 

◮ Beispiel: 

L = {0 k 1 ℓ | k, ℓ ∈ N0} 

= {w ∈ {0, 1} ∗ | in w sind alle 0 vor allen 1 } 

0 

1 

0,1 

1 0 

A B C 

◮ Welche Unterschiede muss sich ein DEA merken? 


2.83 Überlegung (2) 

◮ Erinnerung: L = {0 k 1 k | k ∈ N} ist nicht regulär. 

◮ Jeder hypothetische DEA kann zwei Eingaben w1 = 0m und 

w2 = 0m−ℓ nicht unterscheiden, 

◮ aber durch Anhängen von w = 1m erhält man 

◮ einerseits ein Wort w1w ∈ L und 

◮ andererseits ein Wort w2w /∈ L. 

◮ Diese Katastrophe ist nur so zu vermeiden: 

◮ Wenn es zu w1 und w2 ein w gibt, so dass 

w1w ∈ L und w2w /∈ L ist, 

◮ dann muss ein DEA, der L erkennt, w1 und w2 unterscheiden, 

◮ nämlich dadurch, dass f ∗ (z0, w1) = f ∗ (z0, w2) ist. 


2.83 Überlegung (3) 

Beispiel: 

L = {0 k 1 ℓ | k, ℓ ∈ N0} 

= {w ∈ {0, 1} ∗ | in w sind alle 0 vor allen 1 } 

0 

1 

0,1 

1 0 

A B C 

DEA unterscheidet w1 = 000 und w2 = 01, weil 

für w = 0 zwar w1w = 0000 ∈ L ist, aber w2w = 010 /∈ L. 



Sind w1, w2 und w drei Wörter, so dass w1w ∈ L und w2w /∈ L, 

dann sagen wir, dass (bezüglich L) w1 und w2 von w getrennt 

werden. 



Es sei L reguläre Sprache, die von DEA M = (Z, . . .) erkannt wird. 

Wenn w1 und w2 von einem Wort w getrennt werden, 

dann auch von einem Wort w ′ mit einer Länge |w ′ | < |Z|. 



Eine Relation R ⊆ M × M auf einer Menge M ist eine 

Äquivalenzrelation, falls gilt: 

◮ R ist reflexiv: 

für alle x ∈ M gilt: (x, x) ∈ R; 

◮ R ist symmetrisch: 

für alle x, y ∈ M gilt: Wenn (x, y) ∈ R ist, dann ist auch 

(y, x) ∈ R; 

◮ R ist transitiv: 

für alle x, y, z ∈ M gilt: Wenn (x, y) ∈ R und (y, z) ∈ R, dann 

auch (x, z) ∈ R. 


2.86 Definition (2) 

◮ Schreibweise: häufig Infixnotation mit Symbol wie 

z. B. ≡ (oder ≈, . . . ). 

Statt (x, y) ∈ R schreibt man also x ≡ y. 

◮ Äquivalenzrelation teilt Menge M in Äquivalenzklassen ein. 

◮ Äquivalenzklasse von x ∈ M ist [x] = {y | y ≡ x}. 

◮ Wenn x ≡ y ist, dann ist [x] = [y] und umgekehrt. 

◮ Für die Menge aller Äquivalenzklassen schreibt man auch M/≡. 


2.87 Beispiel 

Gleichheit ist Äquivalenzrelation (auf jeder beliebigen Menge), denn 

◮ es ist immer x = x, 

◮ wenn x = y ist, dann auch y = x, und 

◮ wenn x = y ist und y = z, dann ist auch x = z. 

In diesem Fall besteht jede Äquivalenzklasse aus nur einem 

Element: [x] = {x}. 


2.88 Beispiel 

Bezeichne zwei natürliche Zahlen als äquivalent, wenn sie die 

gleiche Anzahl von Primfaktoren haben. 

◮ Z.B. sind 6 = 2 · 3 und 77 = 7 · 11 äquivalent, weil beide 

Produkt zweier Primzahlen sind. 

◮ Z.B. sind 41 und 13 äquivalent, weil beide (das Produkt) 

eine(r) Primzahl sind. 

◮ Die Äquivalenzklasse von 2 ist die Menge aller Primzahlen: 

[2] = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . .} 

M.a.W.: [2] = [3] = [5] = [7] = · · · 

◮ unendlich viele Äquivalenzklassen: [2 1 ], [2 2 ], [2 3 ], [2 4 ], . . . 

denn verschiedene Zweierpotenzen haben verschieden viele 

Primfaktoren 


2.89 eine lange Überlegung 

◮ DEA M = (ZM, z0M, X , fM, FM) sei gegeben. 

◮ Zustandsminimierung: suche Einteilung der Zustände von M in 

möglichst wenige Äquivalenzklassen zu finden, so dass 

◮ man Zustände aus verschiedenen Klassen wirklich 

unterscheiden muss, 

◮ aber Zustände aus der gleichen Klasse nicht. 

◮ Algorithmus findet die geeignete Äquivalenzrelation in 

mehreren Schritten. 

◮ Er beginnt mit sehr grober Äquivalenzrelation ≡0 und 

◮ verfeinert diese zu Äquivalenzrelationen ≡1, ≡2, usw., bis das 

Ziel erreicht ist. 


2.89 eine lange Überlegung (2) 

Anschauliche Bedeutung von ≡i: 

◮ z, z ′ ∈ Z sind „i-äquivalent“, wenn gilt: Mit Hilfe von 

Eingabewörtern w der Länge |w| ≤ i können anhand der 

„Ausgaben“ des DEA (d. h. w akzeptiert oder nicht) die 

Zustände nicht unterschieden werden. Also: 

z ≡i z ′ ⇐⇒ für alle w ∈ A ∗ mit |w| ≤ i gilt: 

f ∗ (z, w) ∈ F ⇐⇒ f ∗ (z ′ , w) ∈ F 

◮ Betrachte i = 0: 

Zwei Zustände sind 0-äquivalent, wenn sie durch das leere 

Wort nicht zu unterscheiden sind, also wenn entweder beide 

Zustände akzeptierende Zustände sind oder beide nicht. 


2.89 eine lange Überlegung (3) 

◮ Angenommen, z, z ′ sind (i + 1)-äquivalent. 

◮ Dann sind sie auch i-äquivalent, und 

◮ für jedes x ∈ X sind ¯z = f (z, x) und ¯z ′ = f (z ′ , x) i-äquivalent. 

◮ Angenommen, z, z ′ sind nicht (i + 1)-äquivalent. 

◮ Dann sind sie nicht i-äquivalent, 

◮ oder es gibt x ∈ X , so dass 

¯z = f (z, x) und ¯z ′ = f (z ′ , x) nicht i-äquivalent sind. 

◮ Also: 

z ≡i+1 z ′ ⇐⇒ z ≡i z ′ und ∀x ∈ X gilt: f (z, x) ≡i f (z ′ , x). 


2.90 Algorithmus 

◮ Gegeben DEA M = (ZM, z0M, X , fM, FM). 

◮ Konstruiere minimalen äquivalenten DEA 

K = (ZK , z0K , X , fK , FK ) wie folgt. 

◮ Berechne so lange alle Äquivalenzklassen [z]i der 

Äquivalenzrelationen ≡0, ≡1, . . . bis sich nichts mehr ändert. 

◮ ≡0 hat zwei Äquivalenzklassen: 

 

FM 

[z]0 = 

falls z ∈ FM 

ZM FM falls z /∈ FM 


2.90 Algorithmus (2) 

i ← 0 

repeat 

for each 〈Paar (z, z ′ ) mit z ≡i z ′ 〉 do 

z ≡i+1 z ′ falls für alle x ∈ X gilt: f (z, x) ≡i f (z ′ , x) 

od 

until ≡i+1 stimmt mit ≡i überein 


2.90 Algorithmus (3) 

Definiere nun den reduzierten DEA so: 

◮ ZK ist die Menge der Äquivalenzklassen des zuletzt 

berechneten ≡i. 

◮ zOK = [z0M]i. 

◮ fK ([z]i, x) = [f (z, x)]i. 

◮ Fm = {[z]i | z ∈ FM}. 

Beachte: Alle Festlegungen sind repräsentanten-unabhängig. 


2.91 Mitteilung 

Obige Konstruktion liefert 

◮ einen wohl definierten DEA und 

◮ einen kleinsten DEA, der die gleiche formale Sprache 

akzeptiert wie der Ausgangsautomat. 


2.92 Beispiel 

Es sei der DEA M = ({A, B, . . . , G}, A, {a, b}, f , {C, D, G}) mit 

der folgenden Überführungsfunktion gegeben: 

A B C D E F G 

a B C D C E E G 

b F E D D E G C 

A 

a 

b 

a,b 

a 

B C D 

a 

b 

a 

E 

a,b 

b 

F G 

Zustandsminimierung endlicher Automaten 123/124 

b 

a 

b

2.92 Beispiel (2) 

Nach längerer Rechnung an der Tafel ergibt sich, dass der 

reduzierte DEA die folgende Form hat: 

A 

a 

b 

B 

F 

a 

b 

a 

E 

b 

a,b 

CDG 

Zustandsminimierung endlicher Automaten 124/124 

a,b

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