1. Ellipsen in der Koordinatenebene - LSGM
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Korrespondenzzirkel Klasse 8/9<br />
Brief Oktober 2009<br />
Diesmal wollen wir uns zum Thema ” <strong>Ellipsen</strong>“ auf e<strong>in</strong>en Ausflug <strong>in</strong> die Geometrie begeben:<br />
<strong>Ellipsen</strong> lassen sich auf verschiedene Arten def<strong>in</strong>ieren. In diesem Brief wollen wir e<strong>in</strong>en kurzen<br />
Überblick über die gängigsten Def<strong>in</strong>itionen geben und <strong>der</strong>en Äquivalenz zeigen. Im Kapitel 1 werden<br />
wir dazu <strong>Ellipsen</strong> als spezielle Kurven <strong>in</strong> <strong>der</strong> Ebene betrachten und ihre Eigenschaften mit<br />
verschiedenen Methoden <strong>der</strong> analytischen Geometrie und <strong>der</strong> klassischen euklidischen Geometrie<br />
untersuchen. Im Kapitel 2 dann liegen unsere <strong>Ellipsen</strong> im Raum. Das macht die Sache zunächst<br />
schwieriger, so braucht man nun statt e<strong>in</strong>es zweidimensionalen Koord<strong>in</strong>atensystems e<strong>in</strong> dreidimensionales,<br />
erlaubt dafür aber e<strong>in</strong>ige sehr elegante neue Ansätze.<br />
Inge Hachtel, Dr. Daniel Herden<br />
<strong>1.</strong> <strong>Ellipsen</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> Koord<strong>in</strong>atenebene<br />
In diesem Kapitel werden wir <strong>Ellipsen</strong> zunächst als spezielle Kurven im Koord<strong>in</strong>atensystem e<strong>in</strong>führen<br />
und daraus e<strong>in</strong>ige Folgerungen ableiten.<br />
Def<strong>in</strong>ition 1: <strong>Ellipsen</strong> als gestauchte/gestreckte Kreise<br />
a<br />
x y<br />
k<br />
P<br />
Man zeichne im Achsenkreuz e<strong>in</strong>en Kreis k um den Nullpunkt mit Radius a. Für alle Punkte P (x, y)<br />
auf dem Kreis gilt dann nach Satz des Pythagoras die Kreisgleichung x 2 + y 2 = a 2 .<br />
Es sei nun b ≤ a e<strong>in</strong>e weitere positive reelle Zahl. Für jeden Kreispunkt P (x, y) wird die y-<br />
Koord<strong>in</strong>ate um dem Faktor b/a ≤ 1 gestaucht (für b > a spricht man von ” gestreckt“). Aus<br />
P (x, y) entsteht auf diese Weise <strong>der</strong> Bildpunkt P ′ (x, b/a · y). Die Kurve, die von allen so gewonnenen<br />
Punkten P ′ gebildet wird, bezeichnet man als e<strong>in</strong>e Ellipse, genauer: Es ist die Ellipse, die<br />
aus dem Kreis k durch Stauchung (für b > a spricht man von ” Streckung“) parallel zur y-Achse<br />
um dem Faktor b/a entsteht. <strong>Ellipsen</strong> kann man also als Bil<strong>der</strong> von Kreisen unter geometrischen<br />
Abbildungen auffassen, die als Parallelstreckungen/-stauchungen bekannt s<strong>in</strong>d.<br />
Erste Beobachtungen zur Ellipse: Kreise s<strong>in</strong>d selbst <strong>Ellipsen</strong> (a = b).<br />
Offensichtlich s<strong>in</strong>d die x- und die y-Achse Symmetrieachsen unserer konstruierten Ellipse und sie<br />
ist punktsymmetrisch mit dem Symmetriezentrum M(0, 0), dem Mittelpunkt <strong>der</strong> Ellipse. Für<br />
jeden Punkt P ′ <strong>der</strong> Ellipse liegt also se<strong>in</strong> Spiegelbild Q ′ bei Punktspiegelung an M wie<strong>der</strong> auf <strong>der</strong><br />
Ellipse und die Strecke P ′ Q ′ bildet e<strong>in</strong>en Durchmesser“, wobei die Ellipse aus <strong>der</strong> x-Achse den<br />
”<br />
” längsten Durchmesser“ (Länge 2a) und aus <strong>der</strong> y-Achse den kürzesten Durchmesser“ (Länge 2b)<br />
”<br />
ausschneidet. Man nennt daher a auch die große Halbachse und b die kle<strong>in</strong>e Halbachse <strong>der</strong><br />
Ellipse.<br />
1<br />
a<br />
b<br />
b<br />
P'<br />
a<br />
P<br />
k
Begründung: Die Länge des ” Durchmessers“ ist durch |P ′ Q ′ | = 2|MP ′ | gegeben, wobei für |MP ′ | 2<br />
die Abschätzung<br />
b 2 =<br />
2 b<br />
a<br />
a<br />
2 =<br />
und somit b ≤ |MP ′ | ≤ a gilt. ✷<br />
2 b<br />
(x<br />
a<br />
2 + y 2 ) ≤ x 2 +<br />
2 b<br />
y<br />
a<br />
2 = |MP ′ | 2 ≤ x 2 + y 2 = a 2<br />
Im nachfolgenden Abschnitt ” Gärtnerkonstruktion“ f<strong>in</strong>dest Du e<strong>in</strong>en weiteren sehr eleganten Beweis<br />
für diesen Zusammenhang.<br />
Def<strong>in</strong>ition 1: Die Bil<strong>der</strong> von Kreisen unter Parallelstreckungen/-stauchungen s<strong>in</strong>d <strong>Ellipsen</strong>.<br />
Def<strong>in</strong>ition 2: <strong>Ellipsen</strong> und die Gärtnerkonstruktion<br />
Möchte e<strong>in</strong> Gärtner e<strong>in</strong> Blumenbeet anlegen, welches die Form<br />
e<strong>in</strong>er Ellipse hat, kann er folgen<strong>der</strong>maßen vorgehen:<br />
Er schlägt zunächst zwei Pflöcke im Abstand von z.B. 2 Metern<br />
<strong>in</strong> den Boden und b<strong>in</strong>det an die Pflöcke die beiden Enden e<strong>in</strong>er<br />
z.B. 7 Meter langen Schnur. Mit e<strong>in</strong>em dritten Pflock, den wir<br />
P nennen, spannt er anschließend diese Schnur, wie es die Abbildung<br />
zeigt, und markiert mit P e<strong>in</strong>en Punkt im Boden. Alle<br />
Punkt, die sich so mit Hilfe <strong>der</strong> gespannten Schnur markieren<br />
F e e F<br />
1 2<br />
lassen, liegen auf e<strong>in</strong>er Kurve, die, wie wir sehen werden, e<strong>in</strong>e Ellipse ist. Wir bezeichnen dazu die<br />
beiden Pflöcke allgeme<strong>in</strong> mit F1 und F2, ihren Abstand mit 2e und die Länge <strong>der</strong> Schnur mit 2s.<br />
Def<strong>in</strong>ition 2: Gegeben seien positive reelle Zahlen e < s und zwei Punkte F1, F2 <strong>der</strong> Ebene mit<br />
| F1F2| = 2e. Der Ort aller Punkte P <strong>der</strong> Ebene mit | P F1| + | P F2| = 2s ist dann e<strong>in</strong>e Ellipse.<br />
In Worten: Die Menge <strong>der</strong> Punkte, für die die Summe <strong>der</strong> Abstände von zwei festen Punkten<br />
konstant ist, bildet e<strong>in</strong>e Ellipse.<br />
Man muss sich nun davon überzeugen, dass die Def<strong>in</strong>itionen 1 und 2 <strong>der</strong> Ellipse übere<strong>in</strong>stimmen.<br />
Den Beweis hierfür sollst Du Dir <strong>in</strong> E<strong>in</strong>sendeaufgabe 3 selbständig erarbeiten.<br />
Die <strong>in</strong> Def<strong>in</strong>ition 2 beschriebene <strong>Ellipsen</strong>konstruktion ist auch als Gärtnerkonstruktion bekannt<br />
und liefert e<strong>in</strong>e elegante und schnelle Methode, <strong>Ellipsen</strong> mit Hilfe zweier Reisszwecken und e<strong>in</strong>es<br />
Fadens zu konstruieren. Die beiden Punkte F1 und F2 (F für lat. ” focus“) bezeichnet man dabei<br />
als die Brennpunkte und e als die l<strong>in</strong>eare Exzentrizität <strong>der</strong> Ellipse.<br />
Die Ellipse mit den Brennpunkten F1 und F2 ist nach Konstruktion<br />
punktsymmetrisch zum Mittelpunkt M <strong>der</strong> Strecke<br />
F1F2, dem Mittelpunkt <strong>der</strong> Ellipse. Außerdem liegen F1 und<br />
F2 auf dem ” längsten Durchmesser“ <strong>der</strong> Ellipse, wie die folgende<br />
e<strong>in</strong>fache Überlegung zeigt:<br />
Sei P e<strong>in</strong> beliebiger Punkt auf <strong>der</strong> Ellipse. Se<strong>in</strong> Spiegelpunkt<br />
Q an M liegt dann ebenfalls auf <strong>der</strong> Ellipse. Wendet man nun<br />
Q<br />
im Parallelogramm P F1QF2 die Dreiecksungleichung an, so<br />
ergibt sich die Abschätzung |P Q| ≤ |P F2| + |F2Q| = |P F2| + |P F1| = 2s. Den längsten Durchmes-<br />
”<br />
ser“ erhält man bei Gleichheit <strong>in</strong> dieser Abschätzung, was genau dann <strong>der</strong> Fall ist, wenn P auf <strong>der</strong><br />
Geraden F1F2 liegt.<br />
P<br />
F M F<br />
1 2<br />
Aus <strong>der</strong> Praxis: Die Planeten bewegen sich um die Sonne auf elliptischen Bahnen, <strong>in</strong> <strong>der</strong>en<br />
e<strong>in</strong>em Brennpunkt die Sonne liegt. Dieser Zusammenhang wurde erstmals von Johannes Kepler<br />
(1571-1630) entdeckt und von Isaak Newton (1643-1727) über die wirkenden Gravitationskräfte<br />
begründet.<br />
2<br />
P
2. <strong>Ellipsen</strong> im Raum<br />
In diesem Kapitel werden wir <strong>Ellipsen</strong> als ebene Schnittflächen von Zyl<strong>in</strong><strong>der</strong>n und Kegeln kennenlernen.<br />
Dies erlaubt nebenbei e<strong>in</strong>en zweiten Beweis <strong>der</strong> Äquivalenz von Def<strong>in</strong>ition 1 und 2.<br />
Die Überlegungen <strong>in</strong> diesem Kapitel erfor<strong>der</strong>n e<strong>in</strong> solides räumliches Vorstellungsvermögen und<br />
wir hoffen natürlich, dass Du diese Herausfor<strong>der</strong>ung meistern wirst. Sollten dennoch Verständnisschwierigkeiten<br />
auftreten, kannst Du notfalls den Anfang dieses Kapitels auslassen und direkt zum<br />
Abschnitt ” <strong>Ellipsen</strong> und die Dandel<strong>in</strong>schen Kugeln“ wechseln, das E<strong>in</strong>sendeaufgabe 5 vorbereitet.<br />
Def<strong>in</strong>ition 3: <strong>Ellipsen</strong> als Zyl<strong>in</strong><strong>der</strong>schnitte<br />
Schneidet man e<strong>in</strong>en Zyl<strong>in</strong><strong>der</strong> mit e<strong>in</strong>er Ebene E, die nicht parallel zur Achse des Zyl<strong>in</strong><strong>der</strong>s ist, so<br />
ist die Schnittfläche e<strong>in</strong>e Ellipse im S<strong>in</strong>ne <strong>der</strong> Def<strong>in</strong>ition <strong>1.</strong> Wir wollen <strong>in</strong> diesem Abschnitt zwei<br />
verschiedene Beweise für diesen Zusammenhang vorstellen.<br />
Wir starten mit e<strong>in</strong>igen vorbereitenden Überlegungen und Bezeichnungen:<br />
Zunächst führen wir wie <strong>in</strong> <strong>der</strong> l<strong>in</strong>ken Abbildung weiter unten dargestellt e<strong>in</strong> dreidimensionales<br />
Achsenkreuz e<strong>in</strong>, so dass die x-Achse nach rechts, die y-Achse nach h<strong>in</strong>ten und die z-Achse nach<br />
oben zeigt. Die z-Achse soll darüberh<strong>in</strong>aus mit <strong>der</strong> Achse des Zyl<strong>in</strong><strong>der</strong>s zusammenfallen und wird<br />
von <strong>der</strong> Ebene E im Punkt O geschnitten. Der Zyl<strong>in</strong><strong>der</strong>querschnitt, <strong>der</strong> den Punkt O enthält, habe<br />
mit <strong>der</strong> Ebene E die geme<strong>in</strong>same Schnittgerade u. Diese Gerade u steht nun auf <strong>der</strong> z-Achse unseres<br />
dreidimensionalen Achsenkreuzes senkrecht und wir können ohne E<strong>in</strong>schränkung die x-Achse des<br />
Koord<strong>in</strong>atensystems so ausrichten, dass sie zu u parallel ist.<br />
Wir benutzen zusätzlich e<strong>in</strong> zweites Achsenkreuz: Es ist zweidimensional, liegt <strong>in</strong> <strong>der</strong> Ebene E<br />
und hat die Gerade u als Koord<strong>in</strong>atenachse mit Koord<strong>in</strong>atenursprung O. Die v-Achse steht <strong>in</strong><br />
O auf u senkrecht und schneidet den Mantel des Zyl<strong>in</strong><strong>der</strong>s im Punkt U. Die u- und v-Achsen<br />
des neuen Koord<strong>in</strong>atensystems gehen dann bei senkrechter Projektion <strong>in</strong> die x- und y-Achsen<br />
unseres räumlichen Koord<strong>in</strong>atensystems über, und ist a <strong>der</strong> Grundkreisradius unseres Zyl<strong>in</strong><strong>der</strong>s, so<br />
schneidet <strong>der</strong> Zyl<strong>in</strong><strong>der</strong> aus <strong>der</strong> u-Achse e<strong>in</strong>en Durchmesser <strong>der</strong> Länge 2a und aus <strong>der</strong> v-Achse e<strong>in</strong>e<br />
Strecke <strong>der</strong> Länge 2b (a ≤ b) aus.<br />
O<br />
z<br />
b<br />
U<br />
v<br />
R<br />
T<br />
a<br />
Q<br />
P<br />
S<br />
u<br />
z<br />
O,Q<br />
u<br />
x<br />
P<br />
S<br />
U<br />
T<br />
v<br />
Schnittebene<br />
Es sei nun P e<strong>in</strong> beliebiger Punkt <strong>der</strong> Schnittkurve des Zyl<strong>in</strong><strong>der</strong>s mit <strong>der</strong> Ebene E. Die Punkte S<br />
und T s<strong>in</strong>d die Bil<strong>der</strong> von P und U bei senkrechter Projektion auf den Zyl<strong>in</strong><strong>der</strong>querschnitt durch O.<br />
Weiter ist Q <strong>der</strong> Schnittpunkt von u mit <strong>der</strong> Ebene E ′ , die parallel zur yz-Ebene durch den Punkt<br />
P verläuft. Die soeben konstruierten Punkte s<strong>in</strong>d <strong>in</strong> <strong>der</strong> mittleren Abbildung dargestellt, während<br />
3<br />
α<br />
α<br />
h<br />
y
das rechte Bild e<strong>in</strong>en schematischen Blick von <strong>der</strong> Seite auf den Zyl<strong>in</strong><strong>der</strong> und die Schnittebene zeigt.<br />
Dabei hat <strong>der</strong> Betrachter sich die Schnittebene als senkrecht auf <strong>der</strong> Bildebene stehend vorzustellen,<br />
so dass man tatsächlich nur e<strong>in</strong>e ” Gerade“ sieht. Auch die x- und die u-Achse ragen senkrecht aus<br />
<strong>der</strong> Bildebene hervor. Beachte bei dieser Darstellung außerdem, dass das Dreieck OT U zur yz-Ebene<br />
Ebene, das Dreieck QSP jedoch zur Ebene E ′ gehört, wobei diese beiden Ebenen ” verschieden tief<br />
im Raum“ liegen.<br />
<strong>1.</strong> Beweis (Ähnliche Dreiecke):<br />
Das Dreieck OT U ist nun rechtw<strong>in</strong>klig mit <strong>der</strong> Hypotenusenlänge |OT | = a und <strong>der</strong> Kathetenlänge<br />
|OU| = b. Desweiteren ist nach Konstruktion ∠UT O = ∠P SQ = 90 ◦ und ∠T OU = ∠SQP = α<br />
<strong>der</strong> geme<strong>in</strong>same Schnittw<strong>in</strong>kel <strong>der</strong> Ebene E mit <strong>der</strong> xy-Ebene, womit die Dreiecke OT U und QSP<br />
ähnlich s<strong>in</strong>d. Es gilt <strong>in</strong>sbeson<strong>der</strong>e<br />
|QP |<br />
|QS|<br />
= |OU|<br />
|OT |<br />
b<br />
= . (2.1)<br />
a<br />
Bezeichnet weiter R <strong>in</strong> <strong>der</strong> Ebene E denjenigen Schnittpunkt <strong>der</strong> Geraden P Q mit dem Kreis k<br />
um O mit Radius a, <strong>der</strong> im selben Quadranten des Koord<strong>in</strong>atensystems liegt wie P , folgt<br />
|QP | = b b<br />
· |QS| = · |QR| . (2.2)<br />
a a<br />
Dies beweist, dass die Schnittkurve aus dem Kreis k durch e<strong>in</strong>e Streckung parallel zur v-Achse um<br />
den Faktor b/a entsteht und somit e<strong>in</strong>e Ellipse im S<strong>in</strong>ne <strong>der</strong> Def<strong>in</strong>ition 1 ist. ✷<br />
2. Beweis (Pythagoras):<br />
Wir betrachten zunächst e<strong>in</strong> zweidimensionales Achsenkreuz mit e<strong>in</strong>er<br />
x- und e<strong>in</strong>er y-Achse und die Gerade g mit <strong>der</strong> Steigung m > 0 und <strong>der</strong><br />
Geradengleichung y = m · x. Jedem Punkt S(s, 0) auf <strong>der</strong> x-Achse lässt<br />
sich dann <strong>der</strong> Punkt S ′ (s, ms) auf <strong>der</strong> Geraden g zuordnen. Ist d <strong>der</strong><br />
Abstand des Punktes S ′ vom Ursprung, so gilt<br />
d 2 = s 2 + (ms) 2 = (1 + m 2 ) · s 2 und d = √ 1 + m 2 · |s| . (2.3)<br />
Ist α <strong>der</strong> W<strong>in</strong>kel, den g mit <strong>der</strong> x-Achse bildet, so erhält man S ′ , <strong>in</strong>dem<br />
man S zuerst vom Ursprung aus entlang <strong>der</strong> x-Achse mit dem Faktor<br />
√ 1 + m 2 streckt und anschließend am Ursprung um den W<strong>in</strong>kel α dreht.<br />
y<br />
d S'<br />
α<br />
s S<br />
g<br />
ms<br />
y = mx<br />
Wir kehren zu unserem Zyl<strong>in</strong><strong>der</strong> und dem dreidimensionalen Koord<strong>in</strong>atensystem zurück und nehmen<br />
im folgenden ohne E<strong>in</strong>schränkung an, dass die x-Achse unseres räumlichen Koord<strong>in</strong>atensystems<br />
mit <strong>der</strong> Geraden u zusammenfällt. Es ist dann O(0, 0, 0) <strong>der</strong> Koord<strong>in</strong>atenursprung und die Punkte<br />
S und T liegen <strong>in</strong> <strong>der</strong> xy-Ebene. Wir können jetzt für die yz-Ebene dieselben Betrachtungen anstellen<br />
wie oben für die xy-Ebene des zweidimensionalen Achsenkreuzes: Die Punkte O, U und T<br />
liegen <strong>in</strong> <strong>der</strong> yz-Ebene. Ist nun <strong>der</strong> Punkt U durch die Koord<strong>in</strong>aten U(0, a, h) mit h = |T U| > 0<br />
gegeben, so wird die Schnittgerade <strong>der</strong> yz-Ebene mit <strong>der</strong> Ebene E durch<br />
z = h<br />
· y und x = 0 (2.4)<br />
a<br />
beschrieben. Bezeichnen wir mit α den Schnittw<strong>in</strong>kel <strong>der</strong> Ebene E mit <strong>der</strong> xy-Ebene und setzen<br />
m := h/a, so entsteht U aus T , <strong>in</strong>dem man T <strong>in</strong> <strong>der</strong> yz-Ebene erst entlang <strong>der</strong> y-Achse mit dem<br />
Faktor √ 1 + m2 streckt und anschließend am Punkt O um den W<strong>in</strong>kel α dreht.<br />
Entsprechendes gilt nicht nur für Punkte auf <strong>der</strong> Geraden OU, son<strong>der</strong>n für alle Punkte <strong>der</strong> Ebene<br />
E. Insbeson<strong>der</strong>e entsteht <strong>der</strong> Punkt P aus dem Punkt S, <strong>in</strong>dem man S zunächst <strong>in</strong> <strong>der</strong> xy-Ebene<br />
parallel zur y-Achse mit dem Faktor √ 1 + m2 streckt und anschließend um die x-Achse um den<br />
W<strong>in</strong>kel α dreht. Und die gesamte Schnittkurve des Zyl<strong>in</strong><strong>der</strong>s mit <strong>der</strong> Ebene E entsteht aus dem<br />
kreisförmigen Zyl<strong>in</strong><strong>der</strong>querschnitt mit <strong>der</strong> xy-Ebene durch e<strong>in</strong>e Parallelstreckung mit dem Faktor<br />
4<br />
x
√ 1 + m 2 parallel zur y-Achse und e<strong>in</strong>e anschließende Drehung um die x-Achse, ist also e<strong>in</strong>e Ellipse<br />
im S<strong>in</strong>ne <strong>der</strong> Def<strong>in</strong>ition <strong>1.</strong> ✷<br />
Da sich umgekehrt auch tatsächlich jede Ellipse im S<strong>in</strong>ne <strong>der</strong> Def<strong>in</strong>ition 1 leicht als Schnitt e<strong>in</strong>er<br />
Ebene mit e<strong>in</strong>em geeignet gewählten Zyl<strong>in</strong><strong>der</strong> erzeugen lässt, formulieren wir<br />
Def<strong>in</strong>ition 3: Zyl<strong>in</strong><strong>der</strong>schnitte s<strong>in</strong>d <strong>Ellipsen</strong>.<br />
Aus <strong>der</strong> Praxis: Schneidet man von e<strong>in</strong>er zyl<strong>in</strong><strong>der</strong>förmigen Wurst ebene Wurstscheiben ab, so<br />
s<strong>in</strong>d die entstehenden Schnittflächen <strong>Ellipsen</strong>.<br />
Unter <strong>der</strong> Sonne wirft e<strong>in</strong> hüpfen<strong>der</strong> Ball auf ebenen Bodenflächen elliptische Schatten. Die Ursache<br />
hierfür liegt dar<strong>in</strong> begründet, dass Sonnenstrahlen (annähernd) parallel s<strong>in</strong>d und dadurch e<strong>in</strong>e<br />
Parallelstreckung simulieren. Der Schatten des Balls ergibt sich nun durch Parallelstreckung aus<br />
e<strong>in</strong>em kreisförmigen Querschnitt des Balls, ist also e<strong>in</strong>e Ellipse.<br />
<strong>Ellipsen</strong> und die Dandel<strong>in</strong>schen Kugeln<br />
In diesem Abschnitt werden wir e<strong>in</strong>en dritten Beweis dafür geben,<br />
dass Zyl<strong>in</strong><strong>der</strong>schnitte <strong>Ellipsen</strong> s<strong>in</strong>d, <strong>in</strong>dem wir diesmal die Äquivalenz<br />
<strong>der</strong> Def<strong>in</strong>itionen 2 und 3 nachweisen.<br />
Vorbereitend stellen wir uns zunächst vor, dass sowohl von oben<br />
als auch von unten <strong>in</strong> den Zyl<strong>in</strong><strong>der</strong> passgenau je e<strong>in</strong>e Kugel <strong>der</strong>art<br />
e<strong>in</strong>gefügt wird, dass beide Kugeln die Schnittebene berühren.<br />
Diese Berührungspunkte werden mit F1 und F2 bezeichnet. Das<br />
folgende Bild zeigt hierzu wie<strong>der</strong> e<strong>in</strong>en schematischen Blick von<br />
<strong>der</strong> Seite auf den Zyl<strong>in</strong><strong>der</strong> und die Schnittebene, wobei M1 und<br />
M2 die Mittelpunkte <strong>der</strong> e<strong>in</strong>gepassten Kugeln k1 und k2 bezeichnen<br />
und P e<strong>in</strong> beliebiger Punkt auf dem Rand <strong>der</strong> geme<strong>in</strong>samen<br />
Schnittfläche von Ebene und Zyl<strong>in</strong><strong>der</strong> ist. Desweiteren ist R1R2 die<br />
Mantell<strong>in</strong>ie des Zyl<strong>in</strong><strong>der</strong>s durch den Punkt P , wobei R1<br />
zusätzlich auf k1 und R2 zusätzlich auf k2 liegen soll.<br />
Beachte, dass auch hier die Punkte F1, F2, M1, M2, P, R1<br />
und R2 nicht <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er Ebene liegen, wie es das Bild vielleicht<br />
suggeriert, son<strong>der</strong>n vielmehr ” verschieden tief im<br />
Raum“.<br />
Es lässt sich nun zeigen, dass die Summe | P F1| + | P F2|<br />
konstant ist, dass die Punkte P auf dem Rand <strong>der</strong><br />
Schnittfläche also e<strong>in</strong>e Ellipse mit den Brennpunkten F1<br />
und F2 bilden. Diesen Beweis sollst Du <strong>in</strong> <strong>der</strong> E<strong>in</strong>sendeaufgabe<br />
5 selbständig führen.<br />
(Umgekehrt kann man sich auch leicht davon überzeugen,<br />
dass jede Ellipse im S<strong>in</strong>ne von Def<strong>in</strong>ition 2 als Schnitt e<strong>in</strong>er<br />
Ebene mit e<strong>in</strong>em Zyl<strong>in</strong><strong>der</strong> erzeugt werden kann!)<br />
Die e<strong>in</strong>gepassten Kugeln k1 und k2 heißen Dandel<strong>in</strong>sche<br />
Kugeln, benannt nach ihrem Erf<strong>in</strong><strong>der</strong> G. Pierre<br />
Dandel<strong>in</strong> (1794-1847).<br />
5<br />
F 2<br />
R 1<br />
P<br />
R 2<br />
M 1<br />
M 2<br />
k 1<br />
k 2<br />
F 1<br />
Schnittebene
Def<strong>in</strong>ition 4: <strong>Ellipsen</strong> als Kegelschnitte<br />
Wir schneiden diesmal e<strong>in</strong>en Kegel. Die Schnittebene soll<br />
dabei so gewählt se<strong>in</strong>, dass die sich ergebende Schnittfläche<br />
räumlich begrenzt ist. Auch hier lässt sich wie<strong>der</strong><br />
” Dandel<strong>in</strong>s Kugeltrick“ anwenden, woraus folgt, dass<br />
die sich ergebende Schnittfläche <strong>der</strong> Gärtnerkonstruktion<br />
genügt und somit e<strong>in</strong>e Ellipse se<strong>in</strong> muss. (Mach dir Dandel<strong>in</strong>s<br />
Gedankengang am nebenstehenden Bild nochmal<br />
klar!)<br />
Def<strong>in</strong>ition 4: Räumlich begrenzte Kegelschnitte s<strong>in</strong>d <strong>Ellipsen</strong>.<br />
Beachte, dass es auch Schnitte durch e<strong>in</strong>en Kegel gibt, bei<br />
denen die Schnittfläche nicht räumlich begrenzt ist (z.B.<br />
bei e<strong>in</strong>em Schnitt parallel zu e<strong>in</strong>er Mantell<strong>in</strong>ie). Die dabei<br />
entstehenden Schnittflächen haben ebenfalls e<strong>in</strong>e wichtige<br />
Bedeutung <strong>in</strong> Mathematik und Physik und s<strong>in</strong>d als<br />
Parabeln und Hyperbeln bekannt.<br />
Aus <strong>der</strong> Praxis: Schneidet man die Spitze e<strong>in</strong>es Eishörnchens ab, so ist die entstehende Schnittfläche<br />
e<strong>in</strong>e Ellipse.<br />
3. Die E<strong>in</strong>sendeaufgaben<br />
Wir haben 4 verschiedene Def<strong>in</strong>itionen <strong>der</strong> Ellipse kennen gelernt.<br />
Def<strong>in</strong>ition 1: Gestauchte und gestreckte Kreise s<strong>in</strong>d <strong>Ellipsen</strong>. (3.1)<br />
Def<strong>in</strong>ition 2: Die Menge <strong>der</strong> Punkte, für die die Summe <strong>der</strong> Abstände von zwei festen<br />
Punkten konstant ist, bildet e<strong>in</strong>e Ellipse. (3.2)<br />
Def<strong>in</strong>ition 3: Zyl<strong>in</strong><strong>der</strong>schnitte s<strong>in</strong>d <strong>Ellipsen</strong>. (3.3)<br />
Def<strong>in</strong>ition 4: Räumlich begrenzte Kegelschnitte s<strong>in</strong>d <strong>Ellipsen</strong>. (3.4)<br />
In e<strong>in</strong>er vollständigen Abhandlung über <strong>Ellipsen</strong> müsste die Äquivalenz dieser vier Def<strong>in</strong>itionen<br />
bewiesen werden. Diese Äquivalenz ist das Hauptthema <strong>der</strong> gestellten Aufgaben.<br />
Aufgabe 1 hat nur die erste Def<strong>in</strong>ition zum Inhalt. Es soll bewiesen werden, dass aus ihr die<br />
allgeme<strong>in</strong>e <strong>Ellipsen</strong>gleichung (3.5) folgt. Du darfst hier deshalb nur Def<strong>in</strong>ition 1 benutzen!<br />
In Aufgabe 3 wird gezeigt, dass aus <strong>der</strong> <strong>Ellipsen</strong>gleichung (3.5) die Eigenschaft (3.2) folgt.<br />
Zusammen mit Aufgabe 1 bedeutet das: Aus (3.1) folgt (3.2). Der Versuch dies zu beweisen wird<br />
Dich vermutlich zu umfangreichen komplizierten Rechnungen mit Wurzeln führen. Wenn das zu<br />
schwierig wird, lass diesen Aufgabenteil weg!<br />
Aufgabe 2 zeigt ebenfalls Zusammenhänge zwischen den Def<strong>in</strong>itionen auf. Wie kann ich aus den<br />
<strong>in</strong> Def<strong>in</strong>ition 2 benutzten Größen e und s die <strong>in</strong> Def<strong>in</strong>ition 1 benutzten Größen a und b berechnen<br />
und wie bestimmen umgekehrt a und b die Größen e und s? Wie f<strong>in</strong>de ich die beiden Brennpunkte,<br />
wenn ich a und b kenne?<br />
Überlege Dir folgendes: Wenn Du diese Zusammenhänge gefunden hast, kannst Du dann auch<br />
beweisen, dass (3.1) aus (3.2) folgt?<br />
In Aufgabe 4 werden weitere Eigenschaften <strong>der</strong> Ellipse gezeigt und Möglichkeiten gefunden, wie<br />
man <strong>Ellipsen</strong> konstruieren kann. Aufgabe 5 hat <strong>Ellipsen</strong> im Raum zum Thema. Es soll gezeigt<br />
werden, dass aus Def<strong>in</strong>ition (3.3) die Eigenschaft (3.2) folgt.<br />
6
E<strong>in</strong>sendeaufgabe 1<br />
a) Zur Def<strong>in</strong>ition 1: Zeichne den Kreis mit <strong>der</strong> Kreisgleichung x 2 + y 2 = 25.<br />
Führe die Stauchung parallel zur y-Achse durch, bei <strong>der</strong> e<strong>in</strong>e Ellipse mit den Halbachsen a = 5 und<br />
b = 3 entsteht. Konstruiere e<strong>in</strong>ige <strong>Ellipsen</strong>punkte.<br />
b) Beweise, dass für die Punkte P (x, y) auf <strong>der</strong> <strong>in</strong> a) konstruierten Ellipse die Gleichung<br />
<br />
x<br />
2 +<br />
5<br />
<br />
y<br />
2 = 1 gilt.<br />
3<br />
c) Zeige allgeme<strong>in</strong>, dass die Gleichung<br />
<br />
x<br />
2 <br />
y<br />
2 + = 1 (3.5)<br />
a b<br />
e<strong>in</strong>e Ellipse mit den Halbachsen a und b beschreibt.<br />
E<strong>in</strong>sendeaufgabe 2<br />
a) Zur Def<strong>in</strong>ition 2: Führe die Gärtnerkonstruktion für e<strong>in</strong>e Ellipse mit e = 4 und s = 9 aus.<br />
b) E<strong>in</strong>e Ellipse sei durch die Gleichung | P F1| + | P F2| = 2s gegeben. Zeige, dass dann für alle<br />
Punkt Q <strong>in</strong>nerhalb <strong>der</strong> Ellipse | QF1| + | QF2| < 2s und für alle Punkte R außerhalb <strong>der</strong> Ellipse<br />
| RF1| + | RF2| > 2s gilt.<br />
c) Bestimme e und s für die <strong>in</strong> Aufgabe 1a) gegebene Ellipse, sowie a und b für die <strong>in</strong> 2a) gegebene<br />
Ellipse. Beweise, dass zwischen den Größen a, b, e und s die allgeme<strong>in</strong>en Zusammenhänge s = a<br />
und s 2 = e 2 + b 2 gelten.<br />
E<strong>in</strong>sendeaufgabe 3<br />
Wir betrachten für positive Zahlen a > b die durch Gleichung (3.5) gegebene Ellipse, sowie die<br />
beiden Punkte F1(− a 2 − b 2 , 0) und F2( a 2 − b 2 , 0) .<br />
Berechne mit dem Satz des Pythagoras für jeden Punkt P <strong>der</strong> Ellipse die Streckenlängen |P F1|<br />
und |P F2|, und beweise<br />
| P F1| + | P F2| = 2a. (3.6)<br />
H<strong>in</strong>weis: Dieser Beweis ist sehr anspruchsvoll. Falls Du nicht über ausreichend Übung im Umgang<br />
mit Wurzelgleichungen verfügst, solltest Du ihn auslassen. Bestimme stattdessen e und s für die<br />
durch Gleichung (3.6) gegebene Ellipse und vergleiche De<strong>in</strong>e Resultate mit Aufgabe 2c).<br />
E<strong>in</strong>sendeaufgabe 4 (Tangenten und die Leitkreiskonstruktion)<br />
a) Den Kreis um F1 mit dem Radius 2s bezeichnet man als e<strong>in</strong>en Leitkreis <strong>der</strong> Ellipse. Zeichne<br />
den Leitkreis für die Ellipse aus Aufgabe 2a). Wähle e<strong>in</strong>en Punkt Q auf dem Leitkreis. Verb<strong>in</strong>de Q<br />
mit F2 und konstruiere die Mittelsenkrechte <strong>der</strong> Strecke F2Q. Der geme<strong>in</strong>same Schnittpunkt von<br />
F1Q mit dieser Mittelsenkrechten sei P . Beweise, dass <strong>der</strong> so konstruierte Punkt P auf <strong>der</strong> Ellipse<br />
liegt.<br />
b) Beweise außerdem, dass die Mittelsenkrechte von F2Q mit <strong>der</strong> Ellipse nur den Punkt P geme<strong>in</strong>sam<br />
hat, also e<strong>in</strong>e Tangente <strong>der</strong> Ellipse ist. Zeige auch, dass die Senkrechte auf dieser Tangenten<br />
im Punkt P den W<strong>in</strong>kel ∠F1P F2 halbiert.<br />
c) Es sei ABC e<strong>in</strong> spitzw<strong>in</strong>kliges, nicht gleichseitiges Dreieck mit Höhenschnittpunkt H und Umkreismittelpunkt<br />
U. Beweise, dass e<strong>in</strong>e Ellipse mit den Brennpunkten H und U existiert, die alle<br />
Seiten des Dreiecks berührt (d.h. als Tangenten hat).<br />
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E<strong>in</strong>sendeaufgabe 5<br />
Beweise, dass für die auf Seite 5 def<strong>in</strong>ierten Punkte P , F1 und F2 gilt:<br />
Die Summe <strong>der</strong> Abstände | P F1| + | P F2| ist unabhängig von <strong>der</strong> Wahl des Punktes P auf dem<br />
Rand <strong>der</strong> geme<strong>in</strong>samen Schnittfläche von Ebene und Zyl<strong>in</strong><strong>der</strong>.<br />
E<strong>in</strong>sendeschluss (für Aufgabe 1 bis 5): 6. November 2009 (Datum des Poststempels).<br />
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